4 Operasies Op Data 4.1. Foundations of Computer Science Cengage Learning

Size: px

Start display at page:

Download "4 Operasies Op Data 4.1. Foundations of Computer Science Cengage Learning"

Jessie Williams
5 years ago
Views:

1 4 Operasies Op Data 4.1 Foundations of Computer Science Cengage Learning

2 Doelwitte: Nadat hierdie hoofstuk bestudeer is sal jy kan: Lys die 3 kategorieë van operasies wat op data uitgevoer word. Voer unêre en binêre logiese operasies uit op bispatrone. Onderskei tussen logiese skuifoperasies en rekenkundige skuifoperasies. Voer optelling en aftrekking uit op heelgetalle wanneer hulle gestoor word in twee s kompliment formaat. Voer optelling en aftrekking uit op heelgetalle wanneer hulle gestoor word in teken-en-grootte formaat. Voer optelling en aftrekking uit op reële getalle wat gestoor word in dwarspunt formaat. 4.2

3 4-1 LOGIESE OPERASIES In Hoofstuk 3 het ons die feit dat data in `n rekenaar gestoor word as patrone van bisse bespreek. Logiese operasies verwys na daardie operasies wat van toepassing is op dieselfde basiese operasie op individuele bisse of op `n patroon van bisse, of op twee ooreenstemmende bisse van `n patroon. Dit beteken dat ons logiese operasie kan definiëer op bis vlak en op patroon vlak. `n Logiese operasie op die patroon vlak is gelykstaande aan n van dieselfde tipe logiese operasies op die bis vlak, waar n die aantal bisse is in die patroon. 4.3

4 Logiese operasies op die bis vlak `n Bis kan een van die twee waardes: 0 of 1 aanneem. As ons 0 as die waarde vals interpreteer en 1 as die waarde waar, kan ons die operasies soos gedefiniëer in Boolse algebra toepas om bisse te manipuleer. Boolse algebra, vernoem na George Boole, behoort aan `n spesiale veld van Wiskunde genaamd logika. Boolse algebra en die toepassing daarvan op die bou van ligiese stroombane in rekenaars word kortliks bespreek in Appendix E. In hierdie afdeling wys ons kortliks vier bis vlak operasies wat gebruik word om bisse te manipuleer: NOT, AND, OR, enxor. 4.4 i Boolse algebra en logiese stroombane word bespreek in Appendix E.

5 4.5 Figure 4.1 Logic operations at the bit level

6 NOT Die NOT operator is `n unêre operator: dit neem slegs een invoer. Die uitvoer bis is dus die kompliment van die invoer. AND Die AND operator is `n binêre operator: dit neem twee invoere. Die uitvoer bis is 1 as beide invoere 1 e is en die uitvoer is 0 vir enige ander geval. i Vir x = 0 of 1 x AND AND x 0 Vir x = 0 of 1 x AND 1 x 1 AND x x 4.6

7 OR Die OR operator is `n binêre operator: dit neem twee invoere. Die uitvoer bis is 0 as beide invoere 0 e is en die uitvoer is 1 vir enige ander geval. i Vir x = 0 of 1 x OR OR x 1 Vir x = 0 of 1 x OR 0 x 0 OR x x 4.7

8 XOR Die XOR operator is `n binêre operator soos die OR operator, met slegs een verskil: die uitvoer is 0 as beide invoere 1 e is. i Vir x = 0 of 1 1 XOR x NOT x xxor 1 NOT x Vir x = 0 of 1 0 XOR x x xxor 0 x 4.8

9 Voorbeeld 4.1 In Afrikaans gebruik ons die samevoegsel of om partykeer `n inklusiewe-of te beteken, en partykeer om `n eksklusiewe-of te beteken. a. Die sin Ek sal daarvan hou om `n motor of `n huis te hê gebruik of op die inklusiewe manier Ek sou daarvan hou om `n motor, `n huis, of beide te hê. b. Die sin Vandag is of Maandag of Dinsdag gebruik of in op die eksklusiewe manier vandag is of Maandag of Dinsdag, maar dit kan nie beide wees nie. 4.9

10 Voorbeeld 4.2 Die XOR operator is nie eintlik `n nuwe operator nie. Ons kan dit altyd simuleer deur die ander drie operatore te gebruik. Die volgende twee uitdrukkings is ekwivalent: x XOR y [x AND (NOT y)] OR [(NOT x) AND y] Die ekwivalensie kan bewys word deur `n waarheidstabel te teken: x y [x AND (NOT y)] OR [(NOT x) AND y] Result 0 0 [0 AND 1] OR [1 AND 0] [0 AND 0] OR [1 AND 1] [1 AND 1] OR [0 AND 0] [1 AND 0] OR [0 AND 1]

11 Logiese operasies op patroon vlak Dieselfde vier operasies (NOT, AND, OR, en XOR) kan toegepas word op `n n-bis patroon. Die effek is dieselfde as om elke operator toe te pas op elke individuele bis vir NOT en vir elke ooreenstemmende paar van bisse vir die ander drie operatore. Figuur 4.2 wys hierdie vier operatore met invoer en uitvoer patrone Figure 4.2 Logic operators applied to bit patterns

12 Voorbeeld 4.3 Gebruik die NOT operator op die bis patroon Oplossing Die oplossing is hieronder. Let op dat die NOT operator elke 0 verander na`n 1 en elke 1 verander na `n 0. Ons sê partykeer dat ons elke bis flip 4.12

Voorbeeld 4.4 Gebruik die AND operator op die bis patrone 10011000 en 00101010.

13 Voorbeeld 4.4 Gebruik die AND operator op die bis patrone en Oplossing Die oplossing is hieronder. Let op dat slegs een bis in die uitvoer 1 is, dus waar beide ooreenstemmende invoere 1 e is. 4.13

Voorbeeld 4.5 Gebruik die OR operator op die bis patrone 10011001 en 00101110.

14 Voorbeeld 4.5 Gebruik die OR operator op die bis patrone en Oplossing Die oplossing is hieronder. Let op dat slegs een bis in die uitvoer 0 is, dus waar beide ooreenstemmende invoere 0 e is. 4.14

Voorbeeld 4.6 Gebruik die XOR operator op die bis patrone 10011001 en 00101110. Oplossing Die oplossing is hieronder. Vergelyk die uitvoer in hierdie voorbeeld met die een in Voorbeeld 4.5.

15 Voorbeeld 4.6 Gebruik die XOR operator op die bis patrone en Oplossing Die oplossing is hieronder. Vergelyk die uitvoer in hierdie voorbeeld met die een in Voorbeeld 4.5. Die enigste verskil is dat wanneer die twee invoere 1 e is, die resultaat 0 is (die effek van eksklusie/uitsluiting). Met ander woorde, dis of die een of die ander; altwee kan nie dieselfde wees nie. 4.15

16 Toepassings Die vier logiese operatore kan gebruik word om `n bis patroon te verander. Komplimenteer (NOT) Ontstel (Unset) (AND) Stel (Set) (OR) Flip (XOR) 4.16

17 Voorbeeld 4.7 Gebruik `n masker om die vyf linkerkantste bisse van `n bispatroon te ontstel (skoon te maak met 0 e). Toets die masker met die patroon Oplossing Die masker is Die resultaat nadat die masker toegepas is: 4.17

18 Voorbeeld 4.8 Gebruik `n masker om die vyf linkerkantste bisse van `n bispatroon te stel (almal te verander na 1 e). Toets die masker met die patroon Oplossing Die masker is Die resultaat nadat die masker toegepas is: 4.18

19 Voorbeeld 4.9 Gebruik `n masker om die vyf linkerkantste bisse van `n bispatroon te flip (alle 1 e na 0 e en alle 0 e na 1 e). Toets die masker met die patroon Oplossing Die masker is Die resultaat nadat die masker toegepas is: 4.19

20 4-2 SKUIF OPERASIES Skuif operasies skuif die bisse in `n patroon, en verander die posisies van die bisse. Die operasies kan bisse skuif na links of na regs. Ons kan skuif operasies in twee kategorieë verdeel: logiese skuif operasies en rekenkundige skuifoperasies. 4.20

21 Logiese skuifoperasies `n Logiese skuifoperasie word toegepas op `n patroon wat nie `n getekende getal voorstel nie. Die rede hiervoor is dat hierdie skuifoperasies die teken van die getal mag verander wat gedefiniëer word deur die heel linkerkantste bis in die patroon. Ons onderskei tussen twee tipes logiese skuif operasies, soos hieronder beskryf: Logiese skuif Logiese sirkulêre skuif (Roteer) 4.21

22 4.22 Figure 4.3 Logical shift operations

23 4.23 Figure 4.4 Circular shift operations

Voorbeeld 4.10 Gebruik `n logiese links skuif operasie op die bis patroon 10011000.

24 Voorbeeld 4.10 Gebruik `n logiese links skuif operasie op die bis patroon Oplossing Die oplossing word hieronder gewys. Die linkerkantste bis is verlore en n 0 word ingevoeg in die regterkantste bis. Discarded Added 4.24

25 Voorbeeld 4.11 Gebruik `n logiese sirkulêre links skuif operasie op die bis patroon Oplossing Die oplossing word hieronder gewys. Die linkerkantste bis word gesirkuleer en word die regterkantste bis. 4.25

Rekenkundige skuif operasies Rekenkundige skuif operasies neem aan dat die bis patroon is `n getekende heelgetal in twee s kompliment formaat.

26 Rekenkundige skuif operasies Rekenkundige skuif operasies neem aan dat die bis patroon is `n getekende heelgetal in twee s kompliment formaat. Rekenkundige regs skuif word gebruik om `n heelgetal deur 2 te deel, terwyl rekenkundige links skuif gebruik word om `n heelgetal met 2 te vermenigvuldig. Figure 4.5 Arithmetic shift operations 4.26

Voorbeeld 4.12 Gebruik `n rekenkundige regs skuif operasie op die bis patroon 10011001. Die patroon is `n heelgetaal in twee s kompliment formaat. Oplossing Die oplossing word hieronder gewys.

27 Voorbeeld 4.12 Gebruik `n rekenkundige regs skuif operasie op die bis patroon Die patroon is `n heelgetaal in twee s kompliment formaat. Oplossing Die oplossing word hieronder gewys. Die linkerkantste bis word behou en ook gekopiëer na die regterkantste bis. Die oorsprinklike getal was 103 en die nuwe getal is 52, wat die resultaat is van 103 gedeel deur 2 en die res (0.5) afgerond word na die kleiner heelgetal. 4.27

Voorbeeld 4.13 Gebruik `n rekenkundige links skuif operasie op die bis patroon 10011001. Die patroon is `n heelgetaal in twee s kompliment formaat. Oplossing Die oplossing word hieronder gewys.

28 Voorbeeld 4.13 Gebruik `n rekenkundige links skuif operasie op die bis patroon Die patroon is `n heelgetaal in twee s kompliment formaat. Oplossing Die oplossing word hieronder gewys. Die linkerkantste bis is verlore en `n 0 word ingevoeg in die regterkantste bis. Die oorsprinklike getal was 39 en die nuwe getal is 78. Die oorspronklike getal is vermenigvuldig met 2. Die operasie is geldig want geen ondervloei het voorgekom nie. 4.28

Voorbeeld 4.14 Gebruik `n rekenkundige links skuif operasie op die bis patroon 01111111. Die patroon is `n heelgetaal in twee s kompliment formaat. Oplossing Die oplossing word hieronder gewys.

29 Voorbeeld 4.14 Gebruik `n rekenkundige links skuif operasie op die bis patroon Die patroon is `n heelgetaal in twee s kompliment formaat. Oplossing Die oplossing word hieronder gewys. Die linkerkantste bis is verlore en `n 0 word ingevoeg in die regterkantste bis. Die oorspronklike getal was 127 en die nuwe getal is 2. Hier is die resultaat nie geldig nie want `n oorvloei het plaasgevind. Die verwagte antwoord = 254 kan nie voorgestel word deur `n 8-bis patroon nie. 4.29

30 Voorbeeld 4.15 Om logiese operasies en logiese skuif operasies te kombineer gee vir ons maniere om bispatrone te manipuleer. Gestel ons het `n patroon en moet die derde bis van regs af gebruik in `n besluitnemingsproses. Ons wil weet of hierdie bis 0 of 1 is. Die volgende wys hoe kan ons dit uitvind. Ons kan dan die resultaat toets: as dit `n ongetekende heelgetal 1 is, dan was die teiken bis 1, maar as die resultaat `n ongetekende heelgetal 0 is, was die teiken bis

31 4-3 REKENKUNDIGE OPERASIES Rekenkundige operasies sluit in optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling. Ons kan hierdie operasies toepas op heelgetalle en dwarspuntgetalle. 4.31

32 Rekenkundige operasies op heelgetalle Alle rekenkundige bewerkings soos optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling kan op heelgetalle uitgevoer word. Alhoewel vermenigvuldiging/deling van heelgetalle gedoen kan word deur herhaaldelike optelling/aftrekking, is die prosedure nie effektief nie. Daar is meer effektiewe prosedures vir vermenigvuldiging en deling, soos Booth prosedures, maar dit is benewe die omvang van hierdie boek. Vir hierdie rede bespreek ons slegs optelling en aftrekking van heelgetalle. 4.32

33 Twee s kompliment heelgetalle Wanneer die aftrek operasie teëgekom word, verander die rekenaar dit eenvoudig na `n optel operasie, maar gebruik twee s kompliment vir die tweede getal. Met ander woorde: A B A + (B + 1) Waar B die een s kompliment van B is en (B + 1) beteken die twee s kompliment van B 4.33

34 Ons moet onthou dat ons heelgetalle kolom vir kolom bymekaartel, van regs na links. Die volgende tabel wys die som en die oordrag (carry)(c). Let op dat as ons `n bis oordra op die heel linkerkantste kolom, word hierdie bis weggegooi. 4.34

35 Optelling van twee heelgetalle in twee s kompliment: A is die linkerkantste getal, B is die regterkantste getal Stap 1 As ons moet aftrek, stel B na die twee s kompliment van B Stap 2 Voer optelling van A en B uit, bis-vir-bis, van regs na links 4.35

36 4.36 Figure 4.6 Addition and subtraction of integers in two s complement format

37 Voorbeeld 4.16 Twee heelgetalle A en B is gestoor in twee s kompliment formaat. Wys hoe B by A getel word. A = ( ) 2 B = ( ) 2 Oplossing Die operasie is optelling. A word by B getel en die resultaat word in R gestoor. (+17) + (+22) = (+39). 4.37

38 Voorbeeld 4.17 Twee heelgetalle A en B is gestoor in twee s kompliment formaat. Wys hoe B by A getel word. A = ( ) 2 B = ( ) 2 Oplossing Die operasie is optelling. A word by B getel en die resultaat word in R gestoor. (+24) + ( 17) = (+7). 4.38

39 Voorbeeld 4.18 Twee heelgetalle A en B is gestoor in twee s kompliment formaat. Wys hoe B afgetrek word van A. A = ( ) 2 B = ( ) 2 Oplossing Die operasie is aftrekking. A word getel by (B + 1) en die resultaat is gestoor in R. (+24) ( 17) = (+41). 4.39

40 Voorbeeld 4.19 Twee heelgetalle A en B is gestoor in twee s kompliment formaat. Wys hoe B afgetrek word van A. A = ( ) 2 B = ( ) 2 Oplossing Die operasie is aftrekking. A word getel by (B + 1) en die resultaat is gestoor in R. ( 35) (+20) = ( 55). 4.40

41 Voorbeeld 4.20 Twee heelgetalle A en B is gestoor in twee s kompliment formaat. Wys hoe B by A getel word. A = ( ) 2 B = ( ) 2 Oplossing Die operasie is optelling. A word by B getel en die resultaat word in R gestoor Ons verwag dat die resultaat = 130 sal wees, maar die antwoord is 126. Die fout is as gevolg van `n oorvloei, want die antwoord (+130) is nie in die verwagte grense 128 tot +127 nie.

42 i Wanneer ons rekenkundige operasies uitvoer op getalle in `n rekenaar, moet ons onthou dat elke getal en die resultaat moet in die reeks wees soos gedefiniëer deur die bis allokasie. 4.42

43 Teken-en-grootte heelgetalle Optelling en aftrekking van heelgetalle in die teken-engrootte voorstelling lyk vreeslik kompleks (maar is eintlik eenvoudig). Ons het vier verskillende kombinasies van tekens (twee tekens elk vir twee waardes) vir optelling en vier verskillende kondisies vir aftrekking. Dit beteken dat ons agt verskillende situasies in ag moet neem. Alhoewel, as ons eers na die tekens kyk, kan ons die aantal gevalle verminder soos gewys in Figuur

44 Figure 4.7 Addition and subtraction of integers in sign-and-magnitude format 4.44

45 Optel/aftrek van 2 teken-en-grootte heelgetalle: A is die linkerkantste getal, B is die regterkantste getal Groottes (Magnitudes) is A M en B M Stap 1 Indien ons moet aftrek, flip B se teken bis, en doen optelling (stap 2) Stap 2 XOR die twee teken bisse (of beskou hulle is hulle dieslefde?) Resultaat = 0: hulle teken is dieselfde Tel A M en B M op en gebruik die teken bis van A en B Resultaat = 1: hulle tekens verskil Tel A M by die twee s kompliment van B M (i.e. A M - B M ) As daar `n oordrag bis afval, is daar `n oorvloei: die optel resultaat word net so gebruik, en kry A se teken As daar nie `n oordrag bis afval nie, is daar geen oorvloei nie: die resultaat is die twee s komplement van die optel resultaat, en kry B se teken 4.45

46 Voorbeeld 4.22 Twee heelgetalle A en B is gestoor in teken-en-grootte formaat. Wys hoe B by A getel word. A = ( ) 2 B = ( ) 2 Oplossing Stap 1: Die operasie is optelling: die teken van B word nie verander Stap 2: Teken bisse verskil, so R M =A M +(B M +1) Stap 3: Geen oorvloei, so neem twee s kompliment van R M Stap 4: Die teken van R is die teken van B Toets die resultaat: (+17) + ( 22) = ( 5) stoor: ( ) 4.46

47 Voorbeeld 4.23 Twee heelgetalle A en B is gestoor in teken-en-grootte formaat. Wys hoe B afgetrek word van A. A = ( ) 2 B = ( ) 2 Oplossing Stap 1: Die operasie is aftrekking: S B =S B,soB = ( ) 2 Stap 2: Teken bisse verskil, so R M =A M +(B M +1) 0 Typo Stap 3: Daar is oorvloei, so die waarde van R M is finaal Stap 4: Die teken van R is die teken van A; R M = Toets die resultaat: ( 81) ( 22) = ( 59) 4.47

48 Rekenkundige operasies op reële getalle Alle rekenkundige bewerkings soos optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling kan op reële getalle uitgevoer word wat gestoor is in dwarspunt formaat. Vermenigvuldiging van twee reële getalle behels die vermenigvuldiging van twee heelgetalle in teken-en-grootte voorstelling. Deling van twee reële getalle behels die deling van twee heelgetalle in teken-en-grootte voorstelling. Omdat ons nie die vermenigvuldiging en deling van heelgetalle in teken-en-grootte voorstelling bespreek het nie, sal ons nie die vermenigvuldiging en deling van reële getalle bespreek nie, en ons doen dus slegs optelling en aftrekking van reële getalle. 4.48

49 Optelling en aftrekking van reële getalle Optelling en aftrekking van reële getalle gestoor in dwarspunt getalle word verminder na optelling en aftrekking van twee heelgetalle gestoor in teken-en-grootte (kombinasie van teken en mantissa) na die belyning van desimale punte. Figuur 4.8 wys `n vereenvoudigde weergawe van die prosedure (daar is `n paar spesiale gevalle soos oorvloeiïng wat ons ignoreer). 4.49

50 Ignore these steps (they may be included after the next step, as optimizations) 4.50 Figure 4.8 Addition and subtraction of reals in floating-point format

51 Optel/aftrekking van twee dwarspunt waardes: A is die linkerkantste getal, B is die regterkantste getal Stap 1: As die operasie aftrekking is, flip die teken van B, tel dan op Stap 2: Denormaliseer A en B Voeg `n 1 bis by die linkerkant van die mantissas, voeg 1 by (inkrimenteer) die eksponente Stap 3: Belyn (skuif) klyner eksponent met die groter een Voeg herhaaldelik 1 by (inkrimenteer) die eksponent, skuif die mantissa regs Stap 4: Hanteer tekens en mantissas as teken-en-grootte heelgetalle Tel teken en mantissa van A en B bymekaar Stap 5: Normaliseer die resultaat om die ekstra bis in die mantissa te verwyder 4.51

52 Voorbeeld 4.24 Wys hoe die rekenaar die volgende resultaat kry: (+5.75) + ( ) = ( ). Oplossing Ons het gesien in Hoofstuk 3, Hierdie twee getalle word gestoor in dwarspunt formaat, soos gewys hieronder, maar ons moet onthou dat elke nommer het `n versteekte 1 in die mantissa (wat nie gestoor word nie, maar wat implisiet aangeneem word). 4.52

53 Voorbeeld 4.24 Stap 1: Ons tel op, so die teken van B verander nie Stap 2: Ons de-normaliseer die getalle deur eers die versteekte 1 vooraan die mantissa te voeg en die eksponent te inkrimenteer. Nou is beide gede-normaliseerde mantissas 24 bisse en sluit die versteekte (implisiete) 1s in. Hulle moet in `n stoorspasie gestoor word wat 24 bisse kan hou. Elke eksponent was ook geïnkrimenteer deur by elkeen te tel. 4.53

54 Voorbeeld 4.24 Stap 3: Belyn kleiner eksponent (A: 130) met groter een (B: 135) S E Denormalized M A (plus 5) (5 regs skuif) B Stap 4: Nou doen ons teken-en-grootte optelling van die tekens (S) en die twee mantissas, van elke getal te hanteer as een heelgetal gestoor in die teken-en-grootte voorstelling S E Denormalized M A B R Stap 5: Normaliseer die resultaat (R) verwyder die ekstra 1 aan die linkerkant van die mantissa, en trek 1 af van die eksponent 4.54 Verseker 23 bisse

55 Voorbeeld 4.25 Wys hoe die rekenaar die resultaat vind van (+5.75) + ( ) = Oplossing Hierdie twee getalle word gestoor in dwarspuntformaat, soos hieronder gewys: Stap 1: Ons tel op, so die teken van B verander nie 4.55

56 Voorbeeld 4.25 Stap 2: Ons de-normaliseer die getalle deur eers die versteekte 1 vooraan die mantissa te voeg en die eksponent te inkrimenteer met 1 Stap 3: Belyning is nie nodig nie (beide eksponente is dieselfde) Stap 4: Nou doen ons teken-en-grootte optelling van die tekens (S) en die twee mantissas, van elke getal te hanteer as een heelgetal gestoor in die teken-en-grootte voorstelling S E Denormalized M A B (2 s comp.) (no overflow) R (2 s comp.) 4.56

57 Voorbeeld 4.25 Step 5: Normaliseer die resultaat (R) Beweeg die punt in die mantissa 3 na regs (deur seker te maak ons gebruik presies 23 bisse), en trek 3 af van die eksponent; en verwyser dan die 1 en die punt vooraan 4.57

Elektriese stroombane: Weerstand (Graad 11) *

OpenStax-CNX module: m39203 Elektriese stroombane: Weerstand (Graad * Free High School Science Texts Project Based on Electric Circuits: Resistance (Grade by Free High School Science Texts Project This