Peter Heinig. August 2007 TUM

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1 The same thing may be shown in the case of points of concourse where ve boundaries meet Der unwahrscheinliche Irrtum des Alfred Kempe und wie er damit einen randomisierten Algorithmus erfand Teil 1 Peter Heinig TUM August 2007

2 Worum es geht: Satz (Vierfarbensatz) Jeder planare Graph ist vierfärbbar, d.h. seine Knotenmenge kann in vier Mengen partitioniert werden, sodass keine zwei Knoten aus derselben Partition benachbart sind.

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4 Geschichte

5 Geschichte Problem bezeugt seit Oktober 1852:

6 Geschichte Problem bezeugt seit Oktober 1852: Francis Guthrie fragt Augustus De Morgan,

7 Geschichte Problem bezeugt seit Oktober 1852: Francis Guthrie fragt Augustus De Morgan, Augustus De Morgan fragt Hamilton,

8 Geschichte Problem bezeugt seit Oktober 1852: Francis Guthrie fragt Augustus De Morgan, Augustus De Morgan fragt Hamilton, Hamilton hat keine Lust:

9 Geschichte Problem bezeugt seit Oktober 1852: Francis Guthrie fragt Augustus De Morgan, Augustus De Morgan fragt Hamilton, Hamilton hat keine Lust: I am not likely to attempt your quaternion of colour very soon.

10 Geschichte De Morgan popularisiert das Problem,

11 Geschichte De Morgan popularisiert das Problem, Problem seit den 1850ern gut bekannt in mathematischen Kreisen in Amerika und England,

12 Geschichte De Morgan popularisiert das Problem, Problem seit den 1850ern gut bekannt in mathematischen Kreisen in Amerika und England, Cayley erfährt 1878 von dem Problem,

13 Geschichte De Morgan popularisiert das Problem, Problem seit den 1850ern gut bekannt in mathematischen Kreisen in Amerika und England, Cayley erfährt 1878 von dem Problem, Cayley kann es nicht lösen,

14 Geschichte De Morgan popularisiert das Problem, Problem seit den 1850ern gut bekannt in mathematischen Kreisen in Amerika und England, Cayley erfährt 1878 von dem Problem, Cayley kann es nicht lösen, Cayley fragt die LMS ob es jemand gelöst hat und erhält keine Antwort.

15 Geschichte Sommer 1879: Alfred Kempe ( ) reicht einen Beweis beim American Journal of Mathematics ein, der noch im selben Jahr veröentlicht wird.

16 Geschichte Sommer 1879: Alfred Kempe ( ) reicht einen Beweis beim American Journal of Mathematics ein, der noch im selben Jahr veröentlicht wird. Beweis elf Jahre lang akzeptiert,

17 Geschichte Sommer 1879: Alfred Kempe ( ) reicht einen Beweis beim American Journal of Mathematics ein, der noch im selben Jahr veröentlicht wird. Beweis elf Jahre lang akzeptiert, Beweis zerstört 1890 durch Percy Heawood ( ),

18 Geschichte Sommer 1879: Alfred Kempe ( ) reicht einen Beweis beim American Journal of Mathematics ein, der noch im selben Jahr veröentlicht wird. Beweis elf Jahre lang akzeptiert, Beweis zerstört 1890 durch Percy Heawood ( ), Heawood rettet genug vom Beweis um zu zeigen, dass fünf Farben reichen,

19 Geschichte Sommer 1879: Alfred Kempe ( ) reicht einen Beweis beim American Journal of Mathematics ein, der noch im selben Jahr veröentlicht wird. Beweis elf Jahre lang akzeptiert, Beweis zerstört 1890 durch Percy Heawood ( ), Heawood rettet genug vom Beweis um zu zeigen, dass fünf Farben reichen, Kein Beweis bis zu Appel und Hakens hochumstrittenem Beweis von 1976 mit massiver Computerhilfe,

20 Geschichte Sommer 1879: Alfred Kempe ( ) reicht einen Beweis beim American Journal of Mathematics ein, der noch im selben Jahr veröentlicht wird. Beweis elf Jahre lang akzeptiert, Beweis zerstört 1890 durch Percy Heawood ( ), Heawood rettet genug vom Beweis um zu zeigen, dass fünf Farben reichen, Kein Beweis bis zu Appel und Hakens hochumstrittenem Beweis von 1976 mit massiver Computerhilfe, Bis heute kein Beweis ohne Computer.

21 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn:

22 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn: Jeder planare Graph entsteht aus Triangulierung durch Weglassen von Kanten.

23 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn: Jeder planare Graph entsteht aus Triangulierung durch Weglassen von Kanten. Eine Vierfärbung bleibt bestehen nach Weglassen von Kanten:

24 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn: Jeder planare Graph entsteht aus Triangulierung durch Weglassen von Kanten. Eine Vierfärbung bleibt bestehen nach Weglassen von Kanten:

25 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn: Jeder planare Graph entsteht aus Triangulierung durch Weglassen von Kanten. Eine Vierfärbung bleibt bestehen nach Weglassen von Kanten:

26 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn: Jeder planare Graph entsteht aus Triangulierung durch Weglassen von Kanten. Eine Vierfärbung bleibt bestehen nach Weglassen von Kanten: Induktion über die Anzahl der Knoten

27 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn: Jeder planare Graph entsteht aus Triangulierung durch Weglassen von Kanten. Eine Vierfärbung bleibt bestehen nach Weglassen von Kanten: Induktion über die Anzahl der Knoten Induktionsbeginn klar.

28 Beweis Genügt, Satz für Triangulierungen zu zeigen, denn: Jeder planare Graph entsteht aus Triangulierung durch Weglassen von Kanten. Eine Vierfärbung bleibt bestehen nach Weglassen von Kanten: Induktion über die Anzahl der Knoten Induktionsbeginn klar. Entscheidend: Welchen Knoten herausreiÿen im Induktionsschritt?

29 Der Beweis von Kempe Kempe: After a somewhat arduous search, I have succeeded, suddenly, as might be expected, in hitting upon the weak point, which proved an easy one to attack. The result is, that the experience of the map-makers has not deceived them, the maps they had to deal with, viz: those drawn on simply connected surfaces, can, in every case, be painted with four colours. How this can be done I will endeavourat the request of the Editor-in-Chiefto explain.

30 Der Beweis von Kempe Gib jedem Knoten die Ladung 6, jeder Kante die Ladung 6, jeder Facette die Ladung 6.

31 Der Beweis von Kempe Gib jedem Knoten die Ladung 6, jeder Kante die Ladung 6, jeder Facette die Ladung 6. Verwende Eulers Formel und verschiebe alle Ladung gleichmäÿig in die Knoten =

32 Der Beweis von Kempe Gib jedem Knoten die Ladung 6, jeder Kante die Ladung 6, jeder Facette die Ladung 6. Verwende Eulers Formel und verschiebe alle Ladung gleichmäÿig in die Knoten = k=2 (6 k)n k = 4n 2 + 3n 3 + 2n 4 + 1n 5 + 0n 6 n 7 2n 8... = 12 wobei n k = Anzahl der Knoten mit Grad k =

33 Der Beweis von Kempe Gib jedem Knoten die Ladung 6, jeder Kante die Ladung 6, jeder Facette die Ladung 6. Verwende Eulers Formel und verschiebe alle Ladung gleichmäÿig in die Knoten = k=2 (6 k)n k = 4n 2 + 3n 3 + 2n 4 + 1n 5 + 0n 6 n 7 2n 8... = 12 wobei n k = Anzahl der Knoten mit Grad k = Es gibt einen Knoten mit Grad kleiner als sechs.

34 Der Beweis von Kempe Gib jedem Knoten die Ladung 6, jeder Kante die Ladung 6, jeder Facette die Ladung 6. Verwende Eulers Formel und verschiebe alle Ladung gleichmäÿig in die Knoten = k=2 (6 k)n k = 4n 2 + 3n 3 + 2n 4 + 1n 5 + 0n 6 n 7 2n 8... = 12 wobei n k = Anzahl der Knoten mit Grad k = Es gibt einen Knoten mit Grad kleiner als sechs. Blick in Kempes Artikel:

35 Der Beweis von Kempe Kempes unvermeidliche Menge: {,,,, }

36 Der Beweis von Kempe Kempes unvermeidliche Menge: {,,,, } Aber reduzibel ist sie nicht...

37 Grad des entfernten Knotens gleich eins

38 Grad des entfernten Knotens gleich eins

39 Grad des entfernten Knotens gleich eins

40 Grad des entfernten Knotens gleich eins

41 Grad des entfernten Knotens gleich zwei

42 Grad des entfernten Knotens gleich zwei

43 Grad des entfernten Knotens gleich zwei

44 Grad des entfernten Knotens gleich zwei

45 Grad des entfernten Knotens gleich drei

46 Grad des entfernten Knotens gleich drei

47 Grad des entfernten Knotens gleich drei

48 Grad des entfernten Knotens gleich drei

49 Grad des entfernten Knotens gleich vier

50 Grad des entfernten Knotens gleich vier

51 Grad des entfernten Knotens gleich vier

52 Grad des entfernten Knotens gleich vier

53 Grad des entfernten Knotens gleich vier

54 Grad des entfernten Knotens gleich vier

55 Grad des entfernten Knotens gleich vier

56 Grad des entfernten Knotens gleich vier

57 Grad des entfernten Knotens gleich vier

58 Grad des entfernten Knotens gleich vier

59 Kempe-Ketten

60 Kempe-Ketten

61 Kempe-Ketten

62 Kempe-Ketten

63 Kempe-Ketten

64 Kempe-Ketten

65 Kempe-Ketten

66 Kempe-Ketten

67 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

68 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

69 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

70 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

71 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

72 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

73 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

74 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

75 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

76 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

77 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

78 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

79 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

80 Grad des entfernten Knotens gleich fünf

81 Wie Kempe es sagte Kempe: The same thing may be shown in the case of points of concourse where ve boundaries meet. The districts meeting at the point may happen to be coloured with only three colours, but they happen to be coloured with four. Fig. 6 shows the only form which the colouring can take in that case, one colour of course occurring twice.

82 Wie Kempe es sagte

83 Wie Kempe es sagte Kempe: If a and d belong to dierent red and green regions, interchanging the colours in either, a and d become both red or both green.

84 Wie Kempe es sagte If a and d belong to the same red and green region, see if a and c belong to different red and yellow regions; if they do, interchanging the colours in either region, a and c become both red or both yellow.

85 Wie Kempe es sagte If a and c belong to the same red and yellow region and a and d belong to the same red and green region, the two regions cut o b from e, so that the blue and green region to which b belongs is dierent from that to which d and e belong, and the blue and yellow region to which e belongs is dierent from that to which b and c belong.

86 Wie Kempe es sagte Thus, interchanging the colours in the blue and green region to which b belongs, and in the blue and yellow region to which e belongs, b becomes green and e yellow, a, c, and d remaining unchanged. In each of the three cases the number of colours at the point of concourse is reduced to three.

87 Der Irrtum

88 Der Irrtum

89 Der Irrtum

90 Der Irrtum

91 Der Irrtum

92 Prä-Kempe-Ketten

93 Prä-Kempe-Ketten

94 Prä-Kempe-Ketten

95 Die andere Reihenfolge scheitert auch.

96 Die andere Reihenfolge scheitert auch.

97 Die andere Reihenfolge scheitert auch.