Biostatistica. Statistica aplicata in domeniul medicinei si biologiei

Transcription

1 Biostatistica Statistica aplicata in domeniul medicinei si biologiei

2 Date contact &... WWW: Glosar statistica R Programming for Bioinformatics Carte: Bernard Rosner, Fundamentals of Biostatistics (7th Edition), 2

3 Calculul notei la Biostatistica Nota in catalog: =ROUND(0.3*Partial1+0.3*NotaLab+0.4*Partial2,2) adica 30% Partial 1; 30% Teme laborator si 40% Partial 2 Nota laborator = MEDIA aritmetica a celor 11 teme de casa pentru fiecare laborator (punctate de la 0-10) 0 - trimis nimic 1-10 nota obtinuta pentru trimis tema respectiva OBLIGATORII: Tema laborator si Partial 2 (tine loc de examen daca-l promovati) 3

4 Ce este Biostatistica Biostatistica este o teorie și o metodologie pentru achiziționarea și utilizarea datelor cantitative în cercetarea biomedicală. Biostatisticienii dezvoltă modele inovatoare și metode analitice care vizează sporirea informațiilor disponibile, îmbunătățind relevanța și validitatea analizelor statistice, utilizarea cât mai bună a informațiilor disponibile și comunicarea incertitudinii relevante. Johns Hopkins Department of Biostatistics,

5 If the World were 100 PEOPLE 50 would be female 50 would be male 26 would be children There would be 74 adults, 8 of whom would be 65 and older There would be: 60 Asians 15 Africans 14 people from the Americas 11 Europeans 5

6 If the World were 100 PEOPLE 33 Christians 22 Muslims 14 Hindus 7 Buddhists 12 people who practice other religions 12 people who would not be aligned with a religion 6

7 If the World were 100 PEOPLE 12 would speak Chinese 说中国 6 would speak Spanish hablar español 5 would speak English speak English 4 would speak Arabic يتحدثون العربية 3 would speak Hindi ह द ब लन 3 would speak Bengali ব ল কথ বল 3 would speak Portuguese falam Português 2 would speak Russian говорим на русском 2 would speak Japanese 日本語を話す 60 would speak other languages alte limbi 7

8 If the World were 100 PEOPLE 86 would be able to read and write; 14 would not 7 would have a college degree 40 would have an Internet connection 22 would own or share a computer 78 people would have a place to shelter them from the wind and the rain, but 22 would not 8

9 If the World were 100 PEOPLE 1 would be dying of starvation 11 would be undernourished 22 would be overweight 91 would have access to safe drinking water 9 people would have no clean, safe water to drink 9

10 Generalitati Statistica este stiinta in care deductiile, referitoare la anumite fenomenie aleatorii specifice, sunt facute pe baza unui esantion relativ mic de date. Exista doua mari domenii ale statisticii: Statistica matematica Statistica aplicata 10

11 Generalitati Statistica matematică se ocupă cu dezvoltarea de noi metode de inferență statistică. Ea necesită cunoștințe aprofundate de matematică abstractă pentru punerea sa în aplicare. Statistica Aplicată utilizează metodele statisticii matematice in domenii specifice cum ar fi: economie, psihologie sau sănătatea publică. Biostatistica este ramură a statisticii aplicate in care se aplică metodele statistice sunt utilizate la rezolvarea problemelor din medicina și biologie. 11

12 Organizarea cursului 1 Statistica descriptiva Tipuri de date si Scale de masura Distributii proprietati descriptive (frecventa, frecventa relativa, histograma, simetrie/asimetrie, mod) Concepte fundamentale (populatie, esantion) Masurarea locatiei (medie, mediana), Masurarea imprastierii (dispersie, abatere standard, Coeficient de variatie) Măsuri specifice eșantionului: medie, dispersie, abatere standard si coeficient de variatie x, s 2, s, CV Momentele unei variabile aleatoare Sumarul din 5 numere, boxplot, Stem-and-Leaf Plot 12

13 Tipuri de date: Scale de masura Nominal (Categorial) Dihotomice: Gen (masculin/feminin) Nedihotomice: Ordinal Nationalitate (American, Chinez,..) Dihotomice: Sanatate (sanatos/bolnav), Adevar (adevarat/fals), Frumusete (frumos/urat) Nedihotomice: Opinie ( sunt complet de acord" /"sunt de acord în mare parte" / "nu sunt de acord în mare parte" / nu sunt deloc de acord") 13

14 Tipuri de date: Scale de masura -2 Interval (au sens diferentele) Dată (de la 1457 î.hr. la d.hr. 2013) Latitudine (de la 90 până la -90 ) Temperatura Celsius (-10 C până la +20 C) Rational (au sens rapoartele) Ex. Dan este de 2 ori mai mare decat Ion Varsta: (0,..,120) ani Temperatura Kelvin: 20 K Scalele au fost introduse de psihologul Stanley Smith Stevens 14

15 Tipuri de date: Scale de masura -3 Operatii permise Tipul Scalei Nominal Ordinal Interval Rational / < > 15

16 Tendința centrală În statistică, o tendință centrală (sau, mai frecvent, o măsură a tendinței centrale) este o valoare centrală sau o valoare tipică pentru o distribuție de probabilitate. In functie de tipul datelor (Nominal, Ordinal, Interval, rational) vom folosi pentru aprecierea tendintei centrale proceduri dedicate. Tipul Scalei Măsura tendinței centrale Nominal Ordinal Interval Rațional Modul Mediana Media aritmetică Media geometrică 16

17 Histograma Histograma vine cu doua noțiuni: frecvență și interval (bin) 17

18 Histograma 2 Frecvența, notată cu f i, reprezintă numărul de elemente din setul de date care aparțin intervalului i. Interval, canal, clasă (bin) Interval de valori pentru care se deseneaza o bară in histogramă Frecvență relativă: fr i =f i /suma(f i ) fi Histogramă Simetrică fr i f i Histogramă Asimetrică Left (negative) skewed Right (positive) skewed 18

19 Histograma 3 Mod. Modul este valoarea care apare cel mai frecvent într-un set de date. In histograma, reprezinta pozitia maximului Distribuție bimodală, Exista distributii rezultate din amestecul a doua populatii cu caracteristici distincte. Apar astfel in histogramă două maxime distincte. Distribuție bimodală Distribuție multimodală 19

20 Concepte de baza Populaţie statistică, pe scurt populaţie 1. O populaţie este orice colecţie completă de oameni, animale, plante, sau lucruri despre care se pot culege date numerice. 2. Este grupul complet pe care dorim să-l descriem, sau să tragem concluzii statistice despre el. 3. Atunci când definim o populaţie în statistică trebuie să precizăm complet membrii ei, fie printr-o listă (dacă populaţia este finită), fie prin proprietăţi definitorii pentru membrii ei. 20

21 Concepte de baza Populaţie statistică, pe scurt populaţie 21

22 Concepte de baza Eşantion, probă (sample) În statistică, un eșantion de date este un set de date colectat și/sau selectat dintr-o populație, după o procedură definită. Concret, eşantionul colectat/selectat din populaţie este o mulţime de n numere reale {x 1,x 2,...,x n }, unde n este numit mărimea (uneori volumul) eşantionului. 22

23 Măsuri specifice eșantionului Media eșantionului (Sample Mean) este notată de regulă x x = Med X = 1 x n k k=1 Dispersia de probă, dispersia eșantionului (Sample Variance), s 2. s 2 = 1 n 1 n k=0 x k x 2 n Med (X x) 2 Abaterea standard a eșantionului (Sample standard deviation), s s = s 2 23

24 Măsuri specifice eșantionului - 2 Coeficientul de variație al eșantionului (Coefficient of Variation) este notat de regulă cu CV CV % = 100 s x Coeficientul de variație este o măsură adimensională a împrăștierii unui eșantion cu medie diferită de 0. 24

25 Fie o Populație de 200 de Marțieni Suntem interesați de distribuția după înălțime a acestei populații 25

26 Exemplu de trei eşantioane de populatie 26

27 Analiza exemplu anterior Dintr-o populatie de 200 martieni careia ii studiem distributia inaltimilor au fost alese 3 eşantioane diferite a cate 10 martieni. Pentru fiecare in parte putem calcula media si abaterea standard pentru acest eşantion. Este evident ca informatia provenind de la toate cele trei eşantioane este mai bogata decat cea provenind de la una singura! Extragerea informatiei utile provenind de la mai multe eșantioane va fi tratata pe larg in acest curs. 27

28 Măsurarea localizării Media aritmetică (Arithmetic mean, AM) unui set de numere reale este definită prin AM X = x = 1 n x k k=1 Media este o măsură a localizării centrului acestui set de numere. In acest curs pentru media unei v.a. X folosim notația funcțională Med(X) x = Med X n 28

29 Măsurarea localizării -2 Media aritmetică: Proprietăti Dacă y i = x i + c, i = 1,..., n atunci y x c Dacă y i = cx i, i = 1,..., n atunci y cx Dacă y i = c 1 x i +c 2, i = 1,..., n atunci y c x 1 c 2 29

30 Măsurarea localizării -3 Mediana În statistică și teoria probabilității, mediana, notata cu med(x), este valoarea numerică care separă jumătatea superioară a unui eșantion de date, o populație, sau o distribuție de probabilitate, de jumătatea inferioară. In esenta mediana stabileste unde este localizat mijlocul unei distributii (esantion de date, sau populatie) In cazul unei v.a. discreta med(x) se defineste prin: xmed Pr X x 1/ X 2 In cazul unei v.a. continua med(x) se defineste prin: xmed f X X t dt 1/ 2 30

31 Mediana Măsurarea localizării -4 Mediana, medie, mod si interval de incredere 31

32 Măsurarea localizării -5 Media geometrică MG (Geometric mean, GM) unui set de numere reale este definită prin n GM X = k=1 x k MG este o măsură a localizării centrului unui set de numere pozitive (variabile raționale). Media aritmetică a logaritmului este utilă atunci cînd datele se întind pe mai mult de o decadă. log a X = 1 n n i=1 n log ax i Cu aceasta notatie putem calcula GM X = a log ax 32

33 Măsurarea localizării -6 Multe tipuri de date de laborator, în special de date sub formă de concentrații de o substanță în alta, evaluate prin tehnici de diluție în serie, pot fi exprimate fie ca multipli de 2 fie ca o constantă înmulțită cu o putere a lui 2; In general, atunci când datele sunt împrăștiate pe mai multe decade este util să folosim media geometrică in loc de cea aritmetică. Vezi tabelul următor: 33

34 Valoare aşteptată (Expected value) Valoarea aşteptată a unei variabile aleatoare este media ei, gândită ca media la limită a valorilor v.a. obţinute în experimente independente repetate. Se notează uzual cu Exp(X) sau cu E(X). În cazul unei v.a. discrete, valoarea aşteptată este media ponderată a valorilor posibile, ponderile fiind probabilităţile p i = Pr X = x i cu care v.a. ia diferitele valori. n - v.a. discrete, cu n finit Exp X = i=1 p i x i - v.a. discrete cu spectru numărabil seria să fie absolut convergentă. - v.a. continue unidimensionale: Exp X = xf x dx, unde f este funcţia densitate de probabilitate. 34

35 Valoare aşteptată (Expected value) 2 Proprietăţi: Exp(X+Y) = Exp(X) + Exp(Y) Exp (X Y) = Exp(X) Exp(Y), dacă X şi Y sunt independente Exp(a X ) = a Exp(X). 35

36 Valoare aşteptată (Expected value) 3 Observaţie. Diferenţa dintre media aritmetică şi Valoarea asteptată este atât conceptuală cât şi procedurală. Spre exemplu dacă am un set de date {x i, i=1..n} referitor la o variabilă aleatoare X, pentru acest eşantion putem calcula valoarea medie, Med(X), folosind formula mediei aritmetice. Proprietate Med Med 1 n X x n i1 ax b amedx b a, b R x i,unde 36

37 Valoare aşteptată (Expected value) 4 Daca insa avem o variabila aleatoare X cu spectru discret de realizari {x i, i=1..n} si repetam de un numar mare N de ori experimentul guvernat de v.a. X, constatam ca frecventele f i (numărul de apariţii al valorii x i ) raportate la N, tind catre anumite valori p i, numite probabilitatile de aparitie a valorii x i. Cu alte cuvinte exita limitele p i Lim N fi N cu conditia de normare n i1 p i 1 37

38 Măsurarea împrăștierii Gama (range) este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică observație dintr-un eșantion (în general dintr-un set de date numerice) Gama(X)=Max(X)-Min(X) Proprietati: Gama(aX+b)=aGama(X) 38

39 Măsurarea împrăștierii Dispersia, Varianța (Variance) este Dispersia este media abaterilor de la medie ridicata la patrat. Dispersia unei populatii, notată de regulă cu σ 2, este o măsură a împrăștierii datelor întregii populații. σ 2 este un parametru al populatiei Proprietati: Var(aX+b)=Var(aX)=a 2 *Var(x) Var(x) se defineste prin: Var X Exp X ExpX 2 (Tema) 39

40 Măsurarea împrăștierii -2 Dispersia, Varianța (variance) In cazul unei v.a. discreta Var(x) se defineste prin: Var 2 X x Med X PrX x Toate valorile lui x In cazul unei v.a. continua Var(x) se defineste prin: Var 2 X t Med X f t Toate valorile lui t X dt 40

41 Măsurarea împrăștierii -3 Abaterea standard (standard deviation), SD(X), este egala cu radical din varianta. SD(X)=sqrt(Var(X)) Abaterea standard este o altă măsură a împrăștierii datelor (populației). Este foarte apropiata de noțiunea de rază de girație. În mecanică, raza de giraţie (de inerție) este distanţa faţa de axa de rotaţie unde ar trebui concentrată toată masa corpului pentru a da acelaşi moment de inerţie faţă de acea axă Proprietate: Sd(aX+b)=a*Sd(X) 41

42 Concepte de baza Valoare aşteptată (Expected value), notata Exp(x) Dacă printr-un astfel de procedeu experimental, sau printr-o ipoteză teoretică (de exemplu feţele unui zar echilibrat au probabilitatea de apariţie 1/6) cunoaştem aceste probabilităţi, atunci putem estima media variabilei X, Med(X) folosind definiţia valorii aşteptate. unde Exp X i p i i 1 x i p i 42

43 Concepte de baza Media populaţiei (Population Mean) Este media aritmetică numerelor unei populaţii numerice. Această valoare este un parametru al populaţiei, spre deosebire de media calculată dintr-un eşantion, care este doar o estimaţie a parametrului. Aici Med Media de sondaj (Sample Mean) x, numită uneori media eşantionului, notata cu X bar. Este media aritmetică a unui eşantion (aleatoriu) dintr-o populaţie. Proprietăţi Exp x adică Valoarea aşteptată a mediei de sondaj este media populaţiei. X 43

44 Măsuri specifice populaţiei 1. Daca avem informatii despre intreaga populatie N Media populaţiei (Population Mean) este notată de regulă μ. Media populaţiei este: μ = Med X = 1 N n k=1 x k Dispersia populaţiei, (Population Variance),σ 2. σ 2 = 1 N n k=0 x k x 2 = Med (X x) 2 Abaterea standard a populaţiei, (Population standard deviation), σ σ = σ 2 44

45 Măsuri specifice populaţiei 2 1. Daca NU avem informatii despre întreaga populație, dar avem informati certe despre distribuția populatiei, definitiile se bazeaza pe definitia valorii asteptate Exp. Media populaţiei (Population Mean) este notată de regulă μ. Media populaţiei are doua definitii: μ = Med X = Exp X Dispersia populaţiei, (Population Variance),σ 2. σ 2 = Var X = Exp (X Exp X ) 2 Abaterea standard a populaţiei, (Population standard deviation), σ σ = sqrt Var X = σ 2 45

46 Funcţia de repartiţie Funcţia de repartiţie (Probability Distribution Function, or Cumulative distribution function CDF) Funcţia de repartiţie a probabilitaţii (numele complet) a unei variabile aleatoare continue este definită prin F X (x) = Pr ( X <= x), oricare ar fi x real. Prin urmare Funcţia de repartiţie dă, pentru fiecare număr x, probabilitatea ca valoarea X este mai mică sau egală cu x. Nota. Uneori vom intalni in limba romana si traducerea CDF prin funcția de distribuție cumulativă (FDC) 46

47 Funcţia de repartiţie Funcţia de repartiţie (Probability Distribution Function, or Cumulative distribution function CDF) 75 % Pr(Xx) [%] Prima și a treia cuartilă 50 % 25 % x 47