(1) (2) (3) Figura Histograma cu bare verticale a distribuţiilor absolute

Transcription

1 PRELEGEREA III STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Descrierea scalelor de măsură 3.1. Scale de măsură discrete a) Scala nominală (sau scala calitativă, categorială, de clasificare) precizează diferenţele calitative ale entităţilor măsurate. Aceasta este formată din categorii care permit clasificarea entităţilor dintr-un eşantion după un atribut sau o caracteristică. Aplicaţie. Pentru un studiu antropometric, ne propunem să caracterizăm 70 de persoane după vîrstă. Valorile posibile ale variabilei studiate (vîrsta) sînt în ordine naturală şi vor fi codificate numeric. Vîrstă Nr. de persoane Cod Copii (pînă în 18 ani) 10 1 sau a sau a1 Adulţi (între 18 şi 50 ani) 35 b b1 Bătrîni (peste 50 ani) 5 3 c c1 Tabelul Distribuţia vîrstelor Se observă că, numărul persoanelor cu vîrsta pînă în 18 ani este de 10, peste 50 de ani este de 5, iar categoria din mijloc este cea mai numeroasă, formată din 35 persoane. Ultima coloană cuprinde diverse tipuri de codificări ale celor trei categorii pentru simplificarea, ulterior, a mînuirii lor: numerice, alfabetice sau alfanumerice. Următorul tabel cuprinde codificarea numerică a celor trei categorii de vîrstă, distribuţia frecvenţelor absolute şi relative şi distribuţia procentajului frecvenţelor relative. Codificarea categoriilor Frecvenţa Frecvenţa Procentaj absolută (n i ) relativă (f i ) (fp i ) % % % Tabelul Distribuţia virstelor Separat, cele trei distribuţii pot fi reprezentate grafic prin diferite tipuri de histograme. Distribuţia frecvenţei absolute constituie obiectul diagramelor din următoarele trei figuri de mai jos: diagramă cu bare (sau cu coloane) orizontale, diagramă cu bare (sau cu coloane) verticale şi diagrama cu linii. (1) () (3) Figura Histograma cu bare verticale a distribuţiilor absolute

2 Figura Histograma cu bare orizontale a distribuţiilor absolute Categoriile variabililor măsurate sînt discrete, iar coloanele sînt separate între ele de o distanţă egală cu ½ din lăţimea lor. (1) () (3) Figura 3.3. Histograma cu linii a distribuţiilor absolute Pentru distribuţia procentajelor s-a folosit diagrama circulară recomandată, doar, în situaţia cînd variabila cercetată are mai puţin de şase sau şapte categorii: 14% 50% 36% Figura Diagrama circulară a procentajelor După cum se vede, diagrama circulară este un cerc împărţit într-un număr de sectoare egal cu numărul de categorii ale variabilei studiată, iar mărimea unui sector este proporţională cu procentajul de cazuri dintr-o anumită categorie. Vizual, se evidenţiază cu claritate preponderenţa relativă a distribuţiei frecvenţelor în procentaj pentru variabila măsurată. Observaţie. Categoriile unei scale nominale pot suporta operaţii de grupare (condensare), de rafinare (diversificare) sau şi una şi alta. Deci, prin grupare o scală cu n categorii se va transforma în una cu m categorii, m<n, iar prin rafinare o scală nominală cu n categorii se va transforma în una cu m categorii, m>n. Aceste operaţii nu se fac în mod arbitrar, ci trebuie să respecte exigenţe de conţinut şi de logică. b) Scala ordinală (sau scală de ordine, scală de rang, scală ierarhică) Crearea unei scale ordinale presupune, în plus, faţă de respectarea tuturor proprietăţilor unei scale nominale, precizarea unei relaţii de ordine între valorile posibile ale variabilei studiate (de la mic la mare, de la simplu la complex, de la restrîns la larg, etc.). De

3 aceea, pentru codificarea sau etichetarea categoriilor se recomandă a se prefera numere cu ordonare natural acceptată. Sînt valabile şi cu aceleaşi principii de aplicare noţiunile de: frecvenţă absolută, frecvenţă relativă, frecvenţă absolută şi frecvenţă relativă cumulată ascendent sau descendent, procentaj, tabel statistic, histogramă, valoare mod, distribuţie unimodală sau multimodală şi indice de variaţie calitativ. Ordinea categoriilor fiind invariabilă, din forma distribuţiei se pot extrage informaţii utile legate de repartizarea cazurilor în diverse categorii şi concluzii privind gradul de reprezentivitate al eşantionului. Acestea vor fi descrise în termeni de genul: simetrie antisimetrie, grad de simetrie, asimetrie stînga (negativă), asimetrie dreapta (pozitivă) sau grad de aplatizare. Aşa cum am văzut în capitolul anterior, partea existentă în plus, stabileşte direcţia asimetriei. Aplicaţie. În tabelul de mai jos s-au înregistrat 4 tipuri de fire noi, fabricate de-a lungul unui an şi cantitatea (tone) realizată : Tipul de fir Cod Frecvenţa absolută (n i ) Total 6 Tabelul Distribuţia absolută a tipurilor de fire noi Dacă se includ frecvenţe absolute, frecvenţe relative şi frecvenţe absolute şi relative cumulate ascendent şi descendent, atunci tabelul 3.1.3, va arăta astfel: Cod Frecv. abs. Frecv. absolută cumulat ascend. Frecv. absolută cumulat descend Frecv. relat. % Frecv. rel. cum. ascend Frecv. relativă cumulat descend Total Tabelul Tipuri de distribuţii Grafic, nu sînt utilizate histogramele cu bare orizontale, fiind estompată ordinea indusă pe mulţimea observaţiilor. Pentru exemplul de mai sus, histograma cu bare verticale a distribuţiilor absolute se prezintă în modul următor: 0 (1) () (3) (4) Figura Histograma distribuţiei absolute

4 Se observă că, distribuţia absolută este unimodală, cu asimetrie negativă şi supraînălţată. Pentru o interpretare corectă a datelor reprezentate în histograme, este bine să se precizeze tipul distribuţiei avută în vedere, obişnuită sau cumulată. Observaţie. Scala ordinală poate suporta următoarele operaţii: - de grupare şi/sau de rafinare, ca şi cele nominale; - de transformare monotonă: 1. adunarea sau scăderea unui aceluiaşi număr peste tot;. înmulţirea cu un acelaşi număr peste tot sau împărţirea prin acelaşi număr peste tot, cu restricţia de a se păstra ordinea categoriilor. De exemplu, se pot aplica transformări ale datelor observate, de tipul: y i = x i - A sau y i = x i * A, unde A este o cantitate constantă. Media aritmetică a datelor iniţiale se regăseşte corespunzător prin formulele x = A + y sau respectiv x = y / A. Practic, prelucrarea valorilor cuprinse între 0.01 şi se poate face mai uşor, dacă acestea se înmulţesc cu factorul Scale de măsură continue a) Scala de intervale Pe lîngă proprietăţile menţionate la scala ordinală, la scala de intervale se adaugă precizarea distanţei dintre intervale. Datele experimentale obţinute pe o scală de intervale se numesc date de interval şi reflectă cantitatea exactă de caracteristică existentă în observaţii. Datorită acestui fapt, creşte gradul de complexitate al statisticilor aplicate pe diferite eşantioane studiate. Alcătuirea unei scale de interval presupune: - izarea distanţei dintre două caracteristici (aspecte). Adică, distanţa sau diferenţa dintre două caracteristci trebuie să fie egală cu distanţa dintre alte două caracteristci; - codificarea caracteristicilor studiate, prin atribuirea de numere, trebuie să respecte cerinţa ca la două distanţe experimentale egale să corespundă două diferenţe numerice egale. De exemplu, la rigla gradată utilizată în măsurarea lungimilor, diferenţa dintre 5 cm şi 30 cm este aceeaşi cu cea dintre 37 cm şi 4 cm. De multe ori, această cerinţă este dificil de îndeplinit, mai ales, în ştiinţele sociale; - un interval poate fi divizat la infinit în subintervale. De aceea, scala de intervale este o scală continuă. De exemplu, metrul este divizat în dm, cm, etc. Datorită continuităţii scalei de intervale, numărul efectivelor (scorurilor) măsurate fiind mare, se impune prezentarea mai compactă a datelor, prin gruparea acestora în intervale, aşa numitele date de interval. Deci, pe scurt, se impun următoarele: 1) efectuarea operaţiei de ordonare şi concentrare a datelor (stabilirea mulţimii iniţiale de date); ) marcarea valorilor multiple şi raportarea lor sub formă de frecvenţe, observaţiile fiind foarte diferite între ele şi nu doar în limitele unui număr finit de categorii de clasificare, 3) stabilirea lungimii unui interval şi a numărului de intervale de grupare. Se recomandă ca intervalele să aibă aceeaşi lungime, care se determină împărţind diferenţa dintre cea mai mare valoare şi cea mai mică (amplitudinea mulţimii de date) la numărul intervalelor de clasă şi rotunjind la un număr întreg.

5 De regulă, numărul de intervale se stabileşte între 5 şi 0 de intervale, în funcţie de numărul de scoruri din mulţimea iniţială de date şi de scopurile urmărite. Acesta trebuie să fie suficient de mare încît să permită sesizarea predominanţei relative a unor grupuri de scoruri, dar nici atît de mic încît să conducă la pierderea informaţiei. Limitele intervalului pot fi de raportare (stabilite) sau exacte (reale). Limitele de raportare se regăsesc în distribuţia frecvenţelor iniţiale, pe baza acestora stabilindu-se limitele exacte. Limitele intervalelor prezentate, mai jos, în tabelul 3..1 sînt de raportare. Definiţia Se numesc limite exacte ale unui interval, acele valori pentru care valorile intermediare aparţin, prin rotunjire, intervalului avut în vedere. Limitele exacte se suprapun parţial două cîte două, astfel încît distribuţia să apară continuă. Se notează cu l i şi l s, limita inferioară şi respectiv limita superioară pentru un interval oarecare. Diferenţa l = l s l i constituie lungimea intervalului (sau, după caz, amplitudinea clasei). Centrul (sau media aritmetică) unui interval se determină prin: c = (li + l s )/ sau c = l i +l/. În reprezentarea grafică a datelor de interval se foloseşte doar histograma cu bare verticale, barele fiind unite între ele pentru a evidenţia continuitatea datelor de interval. Prin unirea punctelor de mijloc (sau a colţurilor din dreapta) ale laturilor superioare dintr-o histogramă, se obţine poligonul frecvenţelor de un anume tip. Poligonul frecvenţelor se închide, considerînd cîte un interval suplimentar cu frecvenţa zero la fiecare capăt al distribuţiei, aşa cum se vede în figura 3... Poligoanele frecvenţelor cumulate se numesc şi ogive (curbe cumulative ale frecvenţei). O ogivă utilizează limite exacte de clase reale superioare (LCRS). Ogiva se închide doar la stînga. O scală de interval admite atît operaţii de grupare şi/sau de rafinare, cît şi de transformare monotonă Ca statistici, în cazul scalelor continue se urmăresc aspecte legate de concentrarea datelor (tendinţa centrală a datelor) şi gradul de împrăştiere a valorilor, intervenind elemente tehnice teoretice noi în aprecierea simetriei distribuţiei şi a gradului de aplatizare. Aplicaţie. Măsurînd înălţimea unor persoane cuprinsă între 160cm şi 194cm, se obţin 36 de numere distincte, unde precizia admisă este de un centimetru. Tabelul statistic corespunzător se prezintă după cum urmează: Intervalul (clasa) Frecvenţa absolută Cod Total 36 Tabelul Împărţirea pe intervale

6 S-ar putea ca indivizi să difere prin sau 3mm, dar ei vor fi înregistraţi la aceeaşi înălţime. Lungimea unui interval de raportare este de 5cm, iar numărul finit de gradaţii nu provine din natura scalei (ea este continuă), ci din gradul de precizie acceptat în studiul nostru. Centrul primului interval, înregistrat în tabelul de mai sus, este: c = ( )/ = 16. Pentru stabilirea limitelor exacte, distanţa aritmetică dintre intervalele de clasă iniţiale (în exemplul nostru 1cm) se împarte la şi rezultatul obţinut se adună şi se scade la limita stabilită (de raportare) inferioară şi respectiv cea superioară. De exemplu, intervalul [159.5; 164.5] poate fi considerat unul cu limite exacte pentru intervalul de raportare [160; 164]. Ca distribuţia să apară continuă, limitele reale se suprapun parţial două cîte două. Poligunul frecvenţelor absolute corespunzător datelor conţinute de tabelul de mai sus se prezintă în figura 3... (1) () (3) (4) (5) (6) Figura 3... Hristograma şi poligonul distribuţiilor absolute În mod analog, se reprezintă frecvenţele relative simple şi cumulate şi diverse tipuri de procentaje. Observaţie. Valorile intermediare dintr-un interval pot fi aproximate prin centrul intervalului. Acest tip de aproximare satisface criteriul celor mai mici erori, eroarea maximă posibilă fiind egală cu l/ (jumătatea lungimii intervalului). b) Scala de reper (sau, de aparate, de raport, de proporţii). În plus, faţă de scala de intervale, scala de reper se distinge prin: 1. existenţa unei origini naturale şi. precizarea unei unităţi de măsură (a unui pas scalar). Aceste atribute permit compararea raporturilor dintre gradaţiile scalei. Rigla, termometrul sau ruleta sînt instrumente de măsură a căror scale satisfac atributele precizate în definiţia scalei de aparate. Pe o astfel de scală, numerele oferă informaţii cu privire la: - ordinea de rang a obiectelor; - mărimea relativă a diferenţelor dintre obiecte; - relaţii despre rapoartele dintre ele. De exemplu, dacă pentru obiectele A, B, C şi D, gradul de reliefare a unei anumite caracteristici este exprimat prin numerele, 4, 7 şi respectiv 1 într-o scară de proporţii, atunci se poate spune că: - B este dublul caracteristicii pe care o are A; - C este de 3.5 ori mai mult faţă de caracteristica pe care o are A; - D este de 3 ori mai mult faţă de caracteristica pe care o are B, etc.

7 Măsurarea presupune existenţa şi cunoaşterea punctului 0 (a originii), precum şi a unui pas scalar identic de-a lungul întregii scale. Se cunoaşte direcţia continuumului, există paşi egali ai scalei şi se poate raporta exact fiecare poziţie individuală a unui continuum relativ la originea scalei (punctul de referinţă). Valorile individuale vor fi precizate fără a cunoaşte valoarea altor obiecte pe aceeaşi scală. Numerele reprezintă în mod real gradul de prezenţă al unui atribut la un individ sau la un obiect, această scală fiind cea care permite informaţiile cele mai complete. Metodele statistice utilizate sînt cele similare ca la scala de intervale, iar despre operaţiile algebrice suportate de scala de reper se poate spune că: - doar operaţiile de multiplicare şi divizare printr-o constantă conservă ordinea obiectelor, proporţiile între intervale şi între efective, iar originea scalei rămîne prezentă. - operaţiile de adunare sau scădere a unei constante vor modifica ordinea obiectelor, vor conserva proporţiile şi zero absolut va dispărea. Se revine la scala de intervale. Se observă în acest sens, cu cît mai precise sînt informaţiile furnizate printr-o scală, cu atît mai mică este libertatea de a transforma scala, fără a modifica informaţiile originare. 3.3 Cîteva concluzii După realizarea unor măsurători statistice, se recomandă ca datelor brute să li se aplice următoarele operaţii: - de ordonare (sortare); - de fixare a tipului datelor observate: discret sau continuu. Pentru cele continue, măsurate pe o scală de intervale, se permite inserarea unei valori intermediare între oricare alte două valori. În cazul valorilor ordinale, cu un număr important de gradaţii, pot fi considerate, fără a se produce o mare eroare, valori continue şi deci pot fi beneficiarele unor prelucrări mai complexe. Adică, se poate discuta despre o variabilă continuă, dar cu valori observabile discret; - de aflare a limitelor extreme ale împrăştierii numerice din ochi, adică amplitudinea seriei de sondaj, A = x max x min, şi de precizare a anumitor repetări ale valorilor observate: - de aranjare a datelor observate în forme de grupare adecvată (categorii, intervale): a) mai întîi, să se stabilească variantele de variaţie. Acestea există într-un număr de x max x min + 1. Acestă operaţie se recomandă atunci cînd caracteristica de grupare conţine un număr mare de valori individuale; b) se poate lua în considerare şi valorile cu frecvenţa absolută zero. Dacă numărul acestora este foarte mare, este mai comod să se înregistreze doar cele cu frecvenţe absolute nenule; c) să se completeze tabelul cu frecvenţe absolute conform cu variantele de variaţie; d) să se prezinte histograma conform cu datele conţinute de tabelul de mai sus; e) dacă este cazul, să se concentreze datele observate pe intervale de lungimi egale. Practic, numărul intervalelor se poate afla în două moduri: 1. după formula empirică a lui H. D. Sturges, acceptată de majoritatea staticienilor: k = lg(n), unde n este volumul seriei statistice avută în vedere.. după formula lui Kohen-

8 Shapiro: k = [n/5], unde parantezele pătrate reprezintă funcţia matematică de parte întreagă. Lungimea unui interval fiind egală cu: l = (x max x min )/k. Este bine ca numărul de intervale să fie impar, existînd o clasă centrală şi se poate observa mai bine simetria distribuţiei. De asemenea, se recomandă rotunjirea prin adaos a limitelor intervalului pentru flexibilitatea calculului făcut ulterior; f) să se completeze tabelul statistic cu frecvenţe relative şi cumulate şi cu procentaje, după cum este cazul. În general, frecvenţa relativă este o frecvenţa de clasă exprimată ca proporţie a frecvenţei totale. Frecvenţa cumulată ascendent poate răspunde la întrebarea cîte observaţii sînt mai mici decît, iar frecvenţa cumulată descendent poate răspunde la întrebarea cîte observaţii sînt mai mari decît ; g) alte informaţii privitoare la distribuţia seriei de date studiată se obţin prin utilizarea indicatorilor de măsură a localizării şi a împrăştierii. II. Consideraţii practice asupra indicatorilor statistici de măsură Indicatorii de măsură a localizării şi împrăştierii datelor statistice se găsesc în literatura de specialitate şi sub denumirea de valori tipice sau valori calculate. Ei cuprind într-o formă sintetică aspecte legate de comportamentul unei variabile, în vederea caracterizării ei sau a comparării cu alta. Informaţii referitoare la concentrarea sau împrăştierea valorilor observate sînt reflectate de următoarele valori tipice: amplitudinea, valoarea medie, quantila de ordin α, valoarea mod sau respectiv momentul de ordin r, momentul centrat de ordin r, dispersia, abaterea standard şi coeficientul de variaţie. Pentru aprecierea gradului de simetrie a unei distribuţii se poate utiliza coeficientul de asimeterie, coeficientul de boltire şi excesul. Dintr-un astfel de indicator statistic se pot extrage informaţii: - istorice, ce s-a întîmplat într-o situaţie dată la un anumit moment; - comparative, cum se raportează situaţii similare unele faţă de altele; - predictive, ce se poate spune despre evoluţia viitoare a unui fenomen bazîndune pe cunoaşterea evoluţiei anterioare. De exemplu, situaţia şcolară a doi studenţi este următoarea: studentul A: 9, 8, 9, 7, 8, 8, 9, 9, studentul B: 10, 6, 7, 7, 10, 9, 8, 7. Cei doi studenţi au medii egale: Din acest punct de vedere se poate aprecia că au acelaşi nivel de pregătire. Însă, pentru viitor nu se poate face o prognoză asemănătoare asupra performanţei universitare a celor doi. Studentul A poate fi apreciat cu o notă cuprinsă între 8 şi 9, fiind notat de cele mai multe ori cu 8 sau 9. Nu acelaşi lucru se poate spune despre studentul B, care poate lua orice notă. Observaţie. Cele două serii de date se diferenţiază prin gradul de împrăştiere, notele primului student sînt mai adunate, în timp ce ale celui de al doilea sînt mai împrăştiate. În general, indicatorii de măsură a împrăştierii măresc valoarea predictivă a indicatorilor de tendinţă centrală sau de măsură a localizării şi respectă condiţii analoge prevăzute pentru aceştia: - să se bazeze pe toate observaţiile: - să fie uşor de calculat;

9 - să nu fie afectaţi de fluctuaţiile de selecţie; - să fie adecvaţi pentru un studiu algebric. Definiţiile lor vor cuprinde două părţi, prima privitoare la date de tip discret (negrupat), iar a doua la cele de tip continuu (grupat) Indicatori de măsură a tendinţei centrale Fie x 1, x,, x n seria de valori măsurate pentru o caracteristică X oarecare, X = (x 1, x,, x n ) Valoarea mod Valoarea mod (moda sau modul), cu notaţia Mo, se defineşte în modul următor: - pentru datele discrete, valoarea mod este valoarea cea mai frecventă (cu frecvenţa maximală); - pentru datele continue, valoarea mod este egală cu centrul intervalului care are frecvenţa maximă. Aplicaţie. Pentru seria de valori: 1, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8 valoarea 3 apare cel mai frecvent (de 4 ori). Prin urmare, Mo = Mediana Am văzut în capitolul anterior că, mediana (notată, Me) defineşte punctul de mijloc al unei distribuţii de valori. Mediana împarte observaţiile măsurate din seria experimentală în două jumătăţi. Jumătate din observaţii (ca număr de categorii sau intervale) vor fi clasate sub mediană (centrală), iar cealaltă jumătate deasupra ei. Cu alte cuvinte, frecvenţa valorilor mai mici decît mediana este egală cu frecvenţa valorilor mai mari decît mediana. Practic, se procedează în funcţie de tipul datelor: - în cazul discret, se ordonează crescător sau descrescător valorile seriei experimentale. Se notează cu respective, x (1), x (),, x (n) seria experimentală şi se foloseşte formula: x n+ 1 daca n este impar ( ) Me = ( x n + x n+ )/ ( ) ( ) daca n este par - în cazul continuu (tehnica de grupare presupune, deja, operaţia de ordonare a valorilor) se determină intervalul median care conţine observaţia din mijlocul seriei ordonate (poate fi indentificat din şirul frecvenţelor cumulate drept intervalul (clasa) a cărui frecvenţă cumulată depăşeşte jumătatea numărului de observaţii): n fi 1 Me = l i + l, unde fi l i este limita inferioară exactă a intervalului median, l este lungimea intervalului median, n numărul total de observaţii,

10 f i este frecvenţa (necumulată) a intervalului median, fi 1 - este frecvenţa cumulată pentru intervalul anterior intervalului median. Formula este, în fapt, una de interpolare liniară prin care se adaugă la limita inferioară exactă a intervalului median o lungime proporţională cu numărul de observaţii care mai sînt necesare pentru atingerea observaţiilor din mijlocul seriei ordonate. Aplicaţii. 1. Fie setul de valori ordinale: 13, 3, 7, 5, 10 care ordonat în mod crescător este: 3, 7, 10, 13, 5. Pentru că are un număr impar de valori: Me = x ( n +1 ) = x 3 = 10.. Fie setul de valori ordinale ordonat descrescător: 40, 15, 7, 7, 3, 1. În această situaţie: Me = x ( n ) = X (3) = 7 sau Me = x ( n + ) = X 4 = 7. Mediana este 7, acest caz fiind unul fericit, deoarece frecvenţa valorilor mai mici decăt mediana este egală cu frecvenţa valorilor mai mari decît mediana. În majoritatea situaţiilor, X ( n ) X ( n + ),, atunci localizarea medianei se face prin negociere în spiritul definiţiei. 3. Pentru datele cuprinse în tabelul , completat cu coloana frecvenţelor cumulate ascendent, s-a calculat mediana: Intervalul (clasa) f i f i Total 35 Tabelul Căutarea medianei Aplicînd formula, se obţine: Me = = Utilizînd ca mediană mijlocul intervalului median (aproape jumătate din observaţii sînt situate sub acesta), marcat în tabel cu caractere îngroşate, Me = 177, se observă că cele două valori sînt comparabile. Prin considerarea unei proporţii diferită de ½, se poate trece de la noţiunea de mediană la una generalizată, şi anume, la noţiunea de quantilă Valorea medie Valoarea medie (M(X) sau X ) este punctul de echilibru al distribuţiei (centrul de greutate al datelor) în sensul că suma abaterilor de la medie pentru observaţiile mai mici decît media este egală cu suma abaterilor de la medie pentru observaţiile mai mari decît media. Practic, se pot utiliza formulele următoare:

11 x1 + x xn - pentru date discrete: M(X) =, unde n este numărul n observaţiilor, iar x 1, x,, x n reprezintă seria de valori; - pentru date continue: M ( X ) = f c + f c fkc = 1 1 k f1 c1 + fc fkck, unde: k este numărul n f1 + f fk intervalelor de grupare, c i centrul intervalelor de grupare, n - numărul total de observaţii, f i frecvenţele absolute. În fapt, formula este media ponderată a centrelor intervalelor, ponderile fiind frecvenţele intervalelor. Proprietăţi: a) M(c) = c; b) M(X 1 + X + + X k ) = M(X 1 ) + M(X ) + +M(X k ); c) M(X 1. X.. X k ) = M(X 1 ). M(X )..M(X k ); d)m(cx) = cm(x); e) M(c 1 ± c X) = c 1 ± c M(X),unde X 1, X,,X k, X sînt v. a., iar c, c 1 şi c sînt constante oarecare. Aplicaţii. 1. M(3) = 3.. Dacă într-o sesiune de examene un student a obţinut notele: 7, 8, 9 şi 10, atunci el încheie semestrul cu media: ( )/4 = În proba aruncării zarului ideal pe o suprafaţă perfect orizontală avem p i = 6 1, i = 1,, 3, 4, 5, 6. Valoarea medie va fi: M(X) = = Dacă în aruncarea cu două zaruri se notează cu X numărul obţinut la primul zar, iar cu Y numărul obţinut la doilea zar, atunci suma celor două numere este o nouă variabilă aleatoare discretă, Z. Atunci: M(Z) = M(X) + M(Y) = = Producţia unei fabrici de ţesut într-un timp limitat de timp ( o lună) poate fi considerată o v.a. Luînd în considerare producţia medie a trei fabrici: M(X) = 1000m, M(Y) = 150m şi M(Z) = 750m. Se obţine: M(X +Y + Z) = M(X) + M(Y) + M(Z) = 3000m. Observaţii. 1. Dacă distribuţia unei serii experimentale este unimodală şi moderat asimetrică, atunci între cei trei indicatori statistici există următoarea legătură: Moda = 3xMediana - x Media_aritmetică.. Pentru a răspunde la întrebarea Care indicator dintre cei trei este mai bun în aprecierea tendinţei centrale?, vom adăuga încă o valoare la seria de date prezentată în exemplificarea modei: 1, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9. Se observă că, Mo = 3, rămîne neschimbată, mediana va fi aceeaşi, Me = 5, iar media se schimbă, în prima situaţie M = 4, iar în a

12 doua, M = 4.4. Prin urmare, media este cea mai sensibilă la fluctuaţiile de valori dintr-o serie statistică, deci este cea mai descriptivă. Ea se recomandă să se utilizeze în descrierea, mai ales, a distribuţiilor simetrice şi unimodale, iar, în rest, moda şi mediana Alte tipuri de tendinţă centrală Alături de medie, ca indicator de măsură a tendinţei centrală se enumeră: 1. Media armonică. În formula de calcul a mediei armonice intervin inversele valorilor diferite de zero: n Mh = x1 x x n. Media geometrică (proporţională). Media geometrică a n valori pozitive sau nule este egală cu rădăcină de ordin n din produsul valorilor respective: Mg = n x 1 x... xn. Se poate semnala că, logaritmul mediei geometrice este egal cu media geometrică a logaritmilor din fiecare valoare. 3. Media pătratică. Ea se obţine extrăgînd rădăcină pătrată din media aritmetică a pătratelor valorilor componente seriei statistice studiată: x1 + x xn Mp =. n 4-. Media cubică, media de ordinul al 4-lea, etc. Acestea se definesc în mod analog ca media pătratică, dar valorile se ridică la cub, la puterea a patra, etc. Se poate demonstra că media aritmetică este inferioară mediei pătratice, care la rîndul ei este inferioară mediei cubice, etc. Un program Turbo C++ se recomandă pentru aflarea unui indicator din această categorie: //tipuri de medii utilizate in studiul tendintei centrale a unei serii de experimentale cu limbajul C++ #include<iostream.h> #include<conio.h> #include<math.h> int n; float media_aritmetica(float v[100],float ma) {float aux=0; for(int i=0;i<n;i++) aux=aux+v[i]; ma=aux/n; cout<<"\n media aritmetica a elementelor din serie este: "<<ma; float media_armonica(float v[100], float mh) { float aux=0; for (int i=0;i<n;i++) aux=aux+1/v[i];

13 mh=n/aux; cout<<"\media armonica a elementelor din serie este: "<<mh; float media_geometrica(float v[100], float mg) { float aux=1; for(int i=0;i<n;i++) aux=aux*v[i]; mg=exp(log(aux)/n); cout<<"\n media geometrica a elementelor dn serie este: "<<mg; float media_patratica(float v[100], float mp) { float aux=0; for (int i=0;i<n;i++) aux=aux+v[i]*v[i]; mp=sqrt(aux/n); cout<<"\n media patratica a elementelor din serie este: "<<mp; float media_cubica(float v[100], float mp3) { float aux=0; for(int i=0;i<n;i++) aux=aux+v[i]*v[i]*v[i]; mp3=sqrt(aux/n); cout<<"\n media cubica a elementelor din serie este: "<<mp3; float media_ordk(float v[100], float mpk) { float aux=0;int k; cout<<"\n dati valoarea k: "; cin>>k; for(int i=0;i<n;i++) aux=aux+pow(v[i],k); mpk=sqrt(aux/n); cout<<"\n media de ordin "<<k<<" a elementelor din serie este: "<<mpk; float afisarea(float v[100]) { for(int i=0;i<n;i++) cout<<"\n v["<<i<<"]="<<v[i]; void main() { clrscr(); float v[100],ma,mh,mg,mp,mp3,mpk; cout<<"\n dati numarul n al elementelor seriei:"; cin>>n; int opt;

14 while(opt!=9) { cout<<"\n MENIU "; cout<<"\n 1.Introducere"; cout<<"\n.afisare"; cout<<"\n 3.Media artimetica"; cout<<"\n 4.Media armonica"; cout<<"\n 5.Media geometrica"; cout<<"\n 6.Media patratica"; cout<<"\n 7.Media cubica"; cout<<"\n 8.Media de ordin k"; cout<<"\n 9.Iesire"; cout<<"\n dati optiunea:"; cin>>opt; switch(opt) { case 1: { clrscr(); for(int i=0;i<n;i++) { cout<<"\ndati v["<<i<<"]="; cin>>v[i]; getche(); break; case : afisarea(v); getche(); break; case 3: media_aritmetica(v,ma); getche(); break; case 4: media_armonica(v,mh); getche(); break; case 5: media_geometrica(v,mg); getche(); break; case 6: media_patratica(v,mp); getche(); break; case 7: media_cubica(v,mp3); getche(); break; case 8: media_ordk(v,mpk); getche(); break; getche(); Dintre opţiunile menu-ului afişate pe ecranul display-ului se poate alege media dorită, codificată printr-un număr întreg care constituie valoarea selctorului opt. Prin variantă selectată din instrucţiunea switc(), se apelează funcţia C++ al cărui conţinut descrie media pentru care s-a făcut opţiunea. Se observă că, volumul seriei experimentale poate fi cel mult 100. Secvenţial, în aceeaşi sesiune de lucru se pot calcula mai multe tipuri de medii.