Construcţii geometrice realizate cu Cabri Geometry II

Transcription

1 Construcţii geometrice realizate cu Cabri Geometry II Nicolae Păuna Şcoala Coresi Târgovişte, Gabriel Gorghiu Universitatea Valahia din Târgovişte, Facultatea de Inginerie Electrică, Abstract În învăţământul gimnazial, dezvoltarea capacităţilor elevilor, a competenţelor şi atitudinilor acestora bazate pe gândirea critică, logică şi creativă, se realizează în mod indubitabil în cadrul lecţiilor de Geometrie. În cele mai multe situaţii, în rezolvarea problemelor, se remarcă faptul că un desen extrem de bine realizat, duce la rezolvarea unei probleme în proporţie de 60%. În acest sens, construcţia geometrică devine un factor cheie, iar pentru realizarea acesteia se pot folosi instrumente tradiţionale (riglă, compas, echer, raportor) dar şi mijloace software dedicate. Lucrarea abordează problematica construcţiilor geometrice, pornind de la utilizarea instrumentelor tradiţionale şi propune o aplicaţie specifică de construcţie geometrică realizată cu pachetul software Cabri Geometry II, care permite crearea figurilor geometrice plane în spaţiul virtual şi explorarea dinamică a acestora. 1. Introducere Problemele de construcţii geometrice sunt acele probleme de geometrie în care se cere să se construiască o anumită figură cu ajutorul unor elemente date, sau construirea unei figuri astfel încât elementele ce o compun să aibă anumite proprietăţi. Problemele de construcţie pot fi privite ca o aplicare practică a problemelor de geometrie [1]. Într-o problemă de construcţie geometrică se cere să se contruiască o figură F care să posede anumite proprietăţi P. La unele probleme mai simple se pot executa construcţii imediat pe baza condiţiilor P, dar la problemele mai complicate această construcţie imediată nu este posibilă. În aceste cazuri mai complicate, se presupune problema rezolvată cu figura construită, mai precis figura construită care să posede proprietăţile P şi se caută să se descopere şi alte proprietăţi ale figurii pe baza cărora se poate executa construcţia figurii. Fie T aceste proprietăţi. Cu alte cuvinte, s-a demonstrat propoziţia: i) Dacă figura F are proprietăţile P, atunci ea are şi proprietăţile T. Când se trece la construcţia figurii, se folosesc proprietăţile T şi o parte din proprietăţile P. Se numesc P acele proprietăţi din P utilizate în construcţia figurii. Deci, figura construită posedă proprietăţile T şi P - dar s-a cerut construcţia unei figuri cu proprietăţile P. Este deci necesar să se demonstreze că figura construită îndeplineşte condiţiile iniţiale P. Pentru acest lucru se demonstrează propoziţia: ii) Dacă figura F are proprietăţile T şi P, atunci ea posedă şi proprietăţile P. Condiţiile iniţiale P ale problemei pot prezenta diferite cazuri şi uneori construcţia şi numărul soluţiilor diferă între ele de la un caz la altul. În general, în rezolvarea unei probleme de construcţie, se pot deosebi patru etape [2, 3]: a) Analiza problemei (aflarea soluţiei) - în acestă etapă se presupune figura construită şi se caută alte proprietăţi pe baza cărora se poate efectua construcţia (se demonstrează propoziţia i); b) Construcţia efectivă - din analiza problemei se identifică acele proprietăţi care fac posibilă o înlanţuire de construcţii elementare având ca finalitate obţinerea rezultatului; c) Demonstraţia - se arată că figura construită în etapa a doua îndeplineşte condiţiile iniţiale (se demonstrează propoziţia ii);

2 270 Universitatea din Bucureşti şi Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi d) Discuţia - se consideră toate cazurile pe care le pot prezenta condiţiile iniţiale P şi se arată cum se efectuează constucţia şi câte soluţii sunt în fiecare caz. În situaţia în care pe baza cunoştinţelor existente se poate executa construcţia, atunci rezolvarea necesită numai etapele b)-d). În acest caz, se poate spune că rezolvarea s-a făcut prin metoda sintezei. Când rezolvarea cuprinde şi prima etapă, se spune că ea s-a făcut prin metoda analizei. 2. Construcţia geometrică tradiţională În mod tradiţional, pentru realizarea construcţiilor geometrice se folosesc instrumente clasice : riglă, compas, echer, raportor. De exemplu, folosind rigla şi compasul, se pot realiza urmatoarele 5 construcţii simple, fundamentale [4]: a) construcţia unui segment (a unei drepte) care trece prin două puncte date; b) determinarea punctului de intersecţie a două drepte date; c) construcţia unui cerc cu centrul şi raza date; d) determinarea punctelor de intersecţie dintre o dreaptă şi un cerc, date; e) determinarea punctelor de intersecţie a două cercuri date. Lema următoare clarifică condiţia de rezolvare a unei probleme de construcţie geometrică cu rigla şi compasul: O problemă de construcţie geometrică este rezolvabilă cu rigla şi compasul dacă pentru soluţionarea ei este necesar un număr finit de construcţii elementare de genul a)-e) [5]. Rigla şi compasul prezintă o serie de particularităţi care justifică alegerea lor pentru rezolvarea problemelor de construcţie. De exemplu, rigla conservă direcţia, iar cu ajutorul ei se pot construi puncte coliniare cu două puncte date, se poate trasa o dreaptă, se poate verifica coliniaritatea, se poate prelungi o dreaptă. Compasul conservă distanţa, iar cu ajutorul acestuia se pot construi puncte egal depărtate de un punct dat, se poate construi un cerc cu centrul şi raza date şi se pot compara lungimile segmentelor. Dar nu orice construcţie geometrică se poate realiza numai cu rigla şi compasul. Astaza, în matematica modernă s-a demonstrat când o construcţie este posibilă cu rigla şi compasul şi când nu. Într-adevăr, dacă o problemă este posibilă de a fi rezolvată cu rigla şi compasul atunci fiecare punct al figurii se poate obţine ca intersecţie a două drepte, a unei drepte cu un cerc sau a două cercuri. Într-o astfel de problemă (şi cu ajutorul unei ecuaţii), se observă că totul se reduce la a rezolva ecuaţii liniare sau cuadratice [2, 3]. 3. Construcţia geometrică virtuală. Cabri Geometry II Construcţiile geometrice se pot realiza şi utilizând pachete de aplicaţii (software) dedicate. În acest sens, modulele de instruire Aplicaţii ale instrumentaţiei virtuale în domeniul Ştiinţelor, desfăşurate în cadrul proiectului Socrates-Comenius 2.1. VccSSe - Virtual Community Collaborating Space for Science Education ( coordonat de Universitatea Valahia din Târgovişte, au propus profesorilor de matematică participanţi, familiarizarea cu pachetul software Cabri Geometry II [6]. Acest produs este un software educţional pentru instrumentaţie virtuală, special destinat geometriei, care propune dezvoltarea unor strategii didactice bazate pe investigaţie, explorare si interactivitate. El permite realizarea unei palete largi de figuri geometrice, precum şi explorarea dinamică a acestora. Utilizatorii pot să manipuleze fără restricţii figurile geometrice, să testeze construcţiile realizate, să emită ipoteze, să măsoare, să calculeze, să şteargă, să modifice sau să anuleze ceea ce au realizat. În plus, situaţiile de învăţare care se pot crea, pot avea un mare grad de interactivitate [7]. În Cabri Geometry II, formele geometrice care apar pe ecranul calculatorului pot fi modificate în timp ce anumite proprietăţi sau caracteristici ale acestora se păstrează. În acest sens, acţiunile

3 Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a VII-a, elevilor devin însoţite în cea mai mare parte de feedback vizual şi numeric, precum şi de mesaje de tip text, pentru ca elevii să nu fie dezorientaţi în mediul virtual. Facilităţile propuse de Cabri Geometry II oferă elevilor şi oportunităţi de dezvoltare a capacitaţilor creative în contrast cu mediile tradiţionale inactive precum cele bazate pe utilizarea creionului şi hârtiei. Varietatea de instrumente oferite de Cabri Geometry II le asigură utilizatorilor ocazia de a-l selecta pe cel mai potrivit pentru structurarea strategiei de rezolvare a unei probleme, dar şi posibilitatea de a realiza strategii pentru rezolvarea în mai multe moduri a acesteia. Mai mult, produsul permite înregistrarea pas cu pas a construcţiilor geometrice făcute, această facilitate permiţând elevilor şi profesorului reluarea dinamică a etapelor construcţiei şi evidenţierea momentelor cheie din demersul didactic îndeplinit. Astfel, Cabri Geometry II oferă posibilitatea evidenţierii şi analizei etapelor construcţiei geometrice efective, cerute. 4. Rezultate şi discuţii În cele ce urmează, se exemplifică o problemă de construcţie geometrică, care face apel la Cabri Geometry II pentru rezolvarea acesteia. Sunt precizate etapele specifice de parcurs pentru a atinge rezultatul final, precum şi câteva consideraţii despre modul de utilizare al aplicaţiei software în acest caz. Enunţ: Să se construiască triunghiul ABC cunoscând punctele A 4, A 6 şi A 7 în care înălţimea, bisectoarea interioară şi mediana duse din A taie cercul circumscris triunghiului ABC. Rezolvarea problemei implică parcurgerea celor patru etape amintite anterior: a) Analiza problemei - se presupune problema rezolvată (figura 1) şi se face următorul raţionament: - se ştie că într-un triunghi oarecare ABC, bisectoarea interioară [AA 6, se găseşte între înălţimea [AA 1 ] şi mediana [AA 2 ]; Presupunând AB<AC şi problema rezolvată, se observă că: - în figura 1, punctele A 4, A 6 şi A 7, fiind situate pe cercul circumscris, sunt puncte necoliniare în această ordine, A 6 fiind între A 4 şi A 7 ; - pentru ca ordinea A 4 - A 6 - A 7 să aibă sens, este necesar ca arcul de cerc A 4 A 6 A 7 să aibă măsura mai mică dacât 180 º ; - în cazul în care arcul de cerc A 4 A 6 A 7 are măsura de 180 º, triunghiul ABC nu există pentru că arcul mic de cerc AB, ar avea măsura de 0º, deci A=B; - în cazul în care arcul de cerc A 4 A 6 A 7 are măsura mai mare de 180 º, unul dintre punctele A 4 sau A 7 s-ar găsi între celelalte două şi ipoteza n-ar A mai fi respectată; - cercul circumscris triunghiului ABC este acelaşi cu cercul circumscris triunghiului A 4 A 6 A 7 ; - din faptul că [AA 6 este bisectoarea interioară A2 C B A1 unghiului BAC A 6 este mijlocul arcului O BA 6 C OA 6 BC în A 2, A 2 fiind mijlocul A4 A6 Figura 1. Construcţia geometrică (în etapa de analiză a problemei) A7 laturii [BC] şi OA 6 // AA 1. b) Efectuarea construcţiei (sunt prezentate două secvenţe în figura 2): - se desenează un cerc de centru O şi rază R, iar pe el se iau în ordine punctele A4, A6 şi A7; - paralela prin A 4 la OA 6 taie cercul circumscris în A; - semidreapta [AA 7 taie OA 6 în A 2 ;

4 272 Universitatea din Bucureşti şi Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi - perpendiculara dusă în A 2 pe OA 6 taie cercul circumscris în B şi C; - se unesc succesiv A cu B şi A cu C şi se obţine triunghiul ABC. Figura 2. Secvenţe surprinse în etapa de realizare a construcţiei c) Demonstraţia construcţiei - [AA 1 ] este înălţime, fiind paralel cu dreapta OA 2 ; OA 2 este perpendiculară pe BC; - din OA 6 BC rezultă că punctul A 6 este mijlocul arcului BC, deci [AA 6 este bisectoare interioară în triunghiul ABC; - din OA 6 BC în A 2 rezultă că [AA 2 ] este mediană. d) Numărul soluţiilor Dacă punctele A 4, A 6 şi A 7 sunt necoliniare şi în această ordine pe arcul de cerc BC (care nu conţine pe A) - arcul A 4 A 6 A 7 are măsura<180º - atunci problema are soluţie unică. În orice altă situaţie, problema nu are nici o soluţie. Pe lângă uşurinţa realizării construcţiei geometrice în Cabri Geometry II, opţiunea Hide/Show Button permite utilizatorului să ascundă părţi ale figurii geometrice construite, pe care, datorită

5 Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a VII-a, caracterului dinamic al desenului, să le pună în evidenţă la momentul oportun, putându-se crea în acest fel, situaţii de învăţare problematice, benefice unei mai bune înţelegeri a problemei de geometrie. În momentul în care o construcţie geometrică este modificată, folosind facilitatea de glisare, utilizatorul poate vizualiza pe ecran o infinitate de construcţii geometrice cu aceleaşi caracteristici, dar cu forme diferite. Fiecare construcţie geometrică realizată cu Cabri Geometry II reprezintă de fapt clase de construcţii geometrice cu proprietăţi geometrice comune. În contextul figurilor geometrice create cu acest produs software, observând o varietate de construcţii geometrice cu aceleaşi proprietăţi, elevii au putut experimenta, face generalizări sau realiza conexiuni referitoare la caracteristicile acestora şi la validitatea ipotezelor. În cazul problemei descrise, timpul afectat rezolvării a fost mult mai mic decât folosind metoda clasică, elevii au fost extrem de implicaţi şi activi în găsirea soluţiei, iar întregul demers didactic mult uşurat. 5. Concluzii În studiul geometriei, construcţia geometrică este un element important care poate fi realizată făcând apel la instrumente tradiţionale (riglă, compas, echer, raportor) dar şi la aplicaţii software dedicate. Pachetele de aplicaţii educaţionale de tipul Cabri Geometry II sprijină dezvoltarea interacţiunii dintre elementele vizuale şi cele conceptuale ale logicii geometrice. Elevii pot emite şi verifica ipoteze, pot crea exemple alternative ale construcţiei geometrice sau pot intregra imaginile în procesoare de documente şi/sau să le distribuie pe Internet. Alternativa utilizării unui software specific pentru realizarea construcţiilor geometrice repezintă o soluţie modernă, primită cu entuziasm de către elevi şi foarte utilă şi eficientă pentru profesori. BIBLIOGRAFIE [1] I. Marinescu, Problemele de construcţii geometrice, Revista Orizont, Grupul Şcolar Industrial I.C. Petrescu, Stâlpeni, 2008, nr_3.pdf [2] C. Lupu, D. Săvulescu, Metodica predării geometriei, Editura Paralela 45, Piteşti, 2003 [3] M. C. Badea, Metode şi procedee de rezolvare a problemelor de geometrie în gimnaziu, Referat metodic, 2008, [4] L. Nicolescu, V. Boskoff, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1990 [5] I. Dăncilă, Construcţii cu rigla şi compasul, Editura Sigma, Bucureşti, 2000 [6] ***, Cabri: Maths Software for Students. 3D Geometry and Algebra Sofware. Learn Mathematics with Cabri, [7] G. Gorghiu (coord.), Aplicaţii ale instrumentaţiei virtuale în educaţie, Editura Bibliotheca, Târgovişte, 2007