STUDIUL CARACTERISTICILOR MAGNETICE ALE MATERIALELOR MAGNETICE MOI STUDY OF MAGNETIC CHARACTERISTICS OF SOFT MAGNETIC MATERIALS

Transcription

1 UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICĂ ŞI ŞTIINŢA CALCULATOARELOR Ing. Septimiu Daniel MOTOAŞCĂ STUDIUL CARACTERISTICILOR MAGNETICE ALE MATERIALELOR MAGNETICE MOI STUDY OF MAGNETIC CHARACTERISTICS OF SOFT MAGNETIC MATERIALS REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducator ştiinţific Prof. dr.doc. ing. Andrei NICOLAIDE BRAŞOV 2010

2 MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ŞI SPORTULUI UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV BRAŞOV, B-dul EROILOR, Nr. 29, , Tel , Fax RECTORAT D-nei/lui COMPONENŢA Comisiei de doctorat Numită prin Ordinul Rectorului Universităţii Transilvania din Braşov nr. 3994/ PREŞEDINTE 1. Prof. dr. ing. Sorin MORARU Decan - Facultatea de Inginerie Electrică şi Ştiinţa Calculatoarelor UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV COND. ŞTIINŢIFIC 2. Prof. dr.doc. ing. Andrei NICOLAIDE UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV REFERENŢI 3. Prof. dr. ing. Radu MUNTEANU UNIVERSITATEA TEHNICĂ DIN CLUJ-NAPOCA 4. Prof. dr. ing. Valentin IONIŢĂ UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI 5. Prof. dr. ing. Elena HELEREA UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV Data, ora şi locul susţinerii publice a tezei de doctorat: Sâmbătă, 20 martie 2010, ora 11.00, Aula universităţii transilvania din Braşov, sala U II 3. Eventualele aprecieri sau observaţii asupra conţinutului lucrării vă rugam să le transmiteţi, în timp util pe adresa Universităţii Transilvania din Braşov, la Catedra de Electrotehnică a Facultăţii de Inginerie Electrică şi ştiinţa Calculatoarelor sau pe mail: motoascas@yahoo.com. 1

3

4 Cuprins 1. Introducere Scopul lucrării Evoluţia în timp a studiilor asupra materialelor magnetice Aspecte teoretice privind materialele magnetice moi Tipuri de materiale magnetice Fenomene care se produc în interiorul materialelor magnetice moi Fenomenele magnetice legate de porţiunile caracteristicilor magnetice Cicluri de histerezis caracteristice Metode de ridicare a caracteristicilor magnetice Ridicarea caracteristicilor magnetice în curent continuu Rezultatele măsurătorilor efectuate în c. c. şi interpretarea datelor Ridicarea caracteristicilor magnetice în curent alternativ(metoda cadrului Epstein si dispozitivului unitolă) Rezultatele măsurătorilor efectuate în c. a. şi interpretarea datelor Modelarea numerică a ciclului de histerezis Modelul Preisach Modelul Jiles-Atherton Modelul analitico-geometric Concluzii Contribuţii personale Bibliografie Bibliografie selectivă - 46 Curriculum Vitae - 48 T R

5 1. Introducere Scopul lucrării Chiar dacă fenomenele magnetice se cunosc şi au fost studiate încă din antichitate, odată cu descoperirea electricităţii materialele magnetice au fost mai intens studiate datorită potenţialului lor de a fi utilizate în diverse aplicaţii ce ţin de electricitate. Aceste materiale se regăsesc în aproape toate aplicaţiile din jurul nostru pornind de la motoarele electrice, transformatoare şi până la mediile de stocare magnetică. Materialele magnetice au fost împărţite în funcţie de caracteristicile lor în materiale magnetice moi şi dure. Materialele magnetice moi sunt caracterizate de inducţia remanentă mică, inducţia de saturaţie relativ mare, ciclul de histerezis îngust şi pierderi mici prin histerezis şi curenţi turbionari. Cele mai utilizate materiale magnetice moi (din punct de vedere cantitativ) sunt tablele electrotehnice care sunt realizate din aliaje ale fierului cu un anumit procent de siliciu din masa totală a aliajului. Caracteristica inducţie magnetică sau magnetizaţie în funcţie de intensitatea câmpului magnetic are formă de ciclu neliniar care poartă denumirea de ciclu de histerezis. Modelarea acestor caracteristici a fost şi a rămas un domeniu de interes. Lucrarea de faţă se doreşte o contribuţie la studiul materialelor magnetice moi şi în special a tablelor electrotehnice. Tabla electrotehnică cu un procent de până la 3-4% siliciu este din punct de vedere cantitativ cea mai utiliztă în construcţia maşinilor electrice. Lucrarea a fost structurată în patru capitole urmate de concluziile aferente studiului şi anexele cu programele realizate. Capitolul 1 face introducerea în lucrare şi un scurt istoric al celor mai semnificative descoperiri în domeniul magnetismului. Capitolul 2 face trecerea în revistă a principalelor fenomene care se produc în interiorul materialelor magnetice şi legarea acestor fenomene de caracteristicile magnetice. Capitolul 3 al acestei lucrări a fost dedicat măsurătorilor magnetice. Lucrarea prezintă principalele metode de măsurare a caracteristicilor magnetice în curent continuu şi curent alternativ care sunt prevăzute şi în standardul internaţional CEI 60404, precum şi realizarea practică a acestor măsurători şi interpretarea rezultatelor. În capitolul 4, sunt prezentate câteva modele mai des folosite pentru simularea caracteristicilor magnetice ale materialelor magnetice. Sunt prezentate aspecte teoretice şi programele de calcul pentru simulare folosind modelul Preisach clasic şi Jiles-Atherton. În plus faţă de acestea, este prezentată o variantă a modelului analitic prezentat în [38] bazat pe utilizarea elementelor din geometria analitică pentru aproximarea ciclurilor de histerezis pentru materialele magnetice dure. Metoda propusă de modelare a ciclului de histerezis cu un număr minim de parametri este optimizată astfel încât să se suprapună pentru caracteristicile măsurate în capitolul anterior. Pentru implementarea modelului propus şi a modelelor de comparaţie s-a utilizat programul LabVIEW. 2

6 2. Aspecte teoretice privind materialele magnetice moi 2.1. Tipuri de materiale magnetice Materialele magnetice moi, sunt caracterizate de intensităţi ale câmpului magnetic coercitiv de valori scazute (până la 1000 A/m), inducţie remanentă mică, inducţie de saturaţie relativ mare, ciclu de histerezis îngust şi pierderi mici prin histerezis şi curenţi turbionari. Toate materialele pot fi clasificate, din punct de vedere magnetic, în cinci mari categorii [10], şi anume: Materialele diamagnetice au o susceptibilitate magnetică subunitară şi negativă. Ele se magnetizeaza invers decât câmpul magnetic aplicat. Datorită susceptibilităţii foarte mici materialul nu rămâne magnetizat în absenţa câmpului. Tabelul 1. Principalele materiale magnetice moi şi caracteristicile lor magnetice. Inducţia Câmpul Compoziţia Permeabilitatea la magnetic Materialul de masă maximă saturaţie coercitiv [%] µ B sat [T] H c [A/m] max Fier pur Fe (100 %) Fe-Si (cu grăunţi neorientaţi) Fe-Si (cu grăunţi orientaţi) Permalloy 78 Supermalloy Mumetal Permendur Fe (96 %) Si (4 %) Fe (97 %) Si (3 %) Ni (78 %) Fe (22 %) Ni (79 %) Fe (16 %) Mo (5 %) Ni (77 %) Fe (16 %) Cu (5 %) Cr (2 %) Fe (50 %) Co (50 %) Ferite moi MO Fe 2 O 3 (M = Zn, Mn) Materialele paramagnetice au o susceptibilitate magnetică pozitivă dar de valori mici. Ele se magnetizează în sensul câmpului magnetic aplicat. La fel ca la 3

7 materialele diamagnetice starea de magnetizare dispare odată cu dispariţia câmpului extern. Materialele feromagnetice sunt reprezentate de aliaje ale fierului cu nichelul şi siliciul sub formă de table electrotehnice. Adăugarea de siliciu are ca efect creşterea rezistivităţii şi a permeabilităţii magnetice. În tabelul 1 sunt prezentate principalele materiale magnetice Materialele antiferomagnetice au în structura lor două subreţele magnetice cu momente magnetice egale şi orientate antiparalel. Materialele antiferomagnetice (cele mai cunoscute fiind MnO, FeO) nu au importanţă practică deosebită. Materialele ferimagnetice au de asemenea două (sau mai multe) subreţele magnetice cu momente magnetice opuse dar acestea sunt necompensate. Materialele ferimagnetice au rezistivităţi ridicate care determină pierderi reduse prin curenţi turbionari. Materialele metalo-ceramice cu proprietăţi ferimagnetice se numesc ferite Fenomene care se produc în interiorul materialelor magnetice moi Explicaţia fenomenului de magnetizare considerând modelul atomic Explicaţia fenomenului de magnetizare se poate face pornind de la modelul atomic [38] al lui Bohr şi considerănd momentele magnetice ale particulelor componente ale acestuia (electroni, protoni şi neutroni). Fiecare electron se învârteşte pe câte o orbită, şi produce aşa numitul moment magnetic orbital. Pentru atomii multielectronici calculele sunt mai complicate. Fiecare strat poate avea un anumit număr maxim de electroni şi de aici un număr maxim de substraturi. Fiecare orbită se află la o anumită distanţă faţă de nucleu, şi de aceea electronul aflat pe o orbită poate avea doar o anumită valoare a energiei. Această energie este alcătuită din doi termeni, şi anume: energia potenţială a electronului în câmpul electric al nucleului şi energia cinetică. Un substrat poate fi complet sau incomplet ocupat cu electroni. Cel mai exterior strat este cel care defineşte proprietăţile chimice ale substanţei denumit strat de valenţă. Aceşti electroni se numesc electroni de valenţă, iar orbitele lor, orbite de valenţă. Mai mult, se presupune că fiecare electron are o rotaţie de spin. Această mişcare de spin corespunde unui moment cinetic de spin şi unui moment magnetic de spin Teoria domeniilor de magnetizare spontană (domeniile Weiss) În anul 1907, Weiss a considerat că materialele feromagnetice sunt alcătuite dintr-o mulţime de mici domenii, fiecare dintre ele fiind magnetizate spontan, la starea de saturaţie. Din acest motiv magnetizarea şi demagnetizarea unui corp este un fenomen macroscopic rezultat din compunerea acestor câmpuri magnetice produse de aceste mici domenii, având momente magnetice. Aceste domenii se numesc domenii moleculare, domenii de magnetizare elementară sau domenii Weiss. 4

8 Pentru aceste domenii Weiss a introdus conceptul de câmp molecular (valoarea medie a intensităţii câmpului magnetic). Conform teoriei bazate pe acest concept, câmpul magnetic care apare într-un domeniu molecular nu este câmpul magnetic de intensitate H din teoria clasică, dar este un câmp a cărui intensitate este denumită intensitatea câmpului magnetic efectiv: H ef = H + b M (1) unde: - M este magnetizaţia şi - b este coeficientul câmpului molecular Weiss. Sub acţiunea unui câmp exterior, momentele magnetice ale domeniilor moleculare se orientează de-a lungul direcţiei câmpului exterior. Dacă acest câmp exterior slăbeşte sau dispare complet, starea anterioară de magnetizare se menţine parţial. Această stare poate fi distrusă de mai mulţi factori printre care: încălzirea, stabilirea unui câmp magnetic opus celui precedent, destul de puternic pentru a magnetiza corpul în direcţia lui (cunoscut sub denumirea de câmp magnetic coercitiv) Explicaţia originii magnetismului În substanţele cristaline atomii nu sunt izolaţi, ci interacţionează între ei, în aşa numita reţea cristalină. Luând în considerare distribuţia electronilor în jurul nucleului, există diferite tipuri de legături între atomi, cum ar fi: ionică, covalentă, moleculară şi metalică Forţele care acţionează asupra particulelor având momente magnetice Tipuri de forţe Momentul magnetic al unui atom este dat de următoarele momente magnetice: momentul magnetic de spin al electronilor, momentul magnetic orbital al electronilor, momentul magnetic al nucleului (este neglijabil faţă de celelalte momente magnetice). Forţele datorate momentului magnetic de spin, care acţionează asuptra momentului magnetic atomic prin schimbarea direcţiei se numesc forţe de schimb sau acţiuni de schimb. Forţele de schimb acţionează asupra momentelor magnetice ale atomilor pe distanţe scurte, pe când forţele magnetocristaline acţionează asupra momentelor magnetice ale atomilor pe distanţe lungi Anizotropia magnetică Anizotropia magnetică este proprietatea materialelor magnetice de a prezenta proprietăţi diferite după direcţii diferite. Cauzele anizotropiei magnetice sunt numeroase, dar putem aminti: 1. anizotropia magnetică cristalină. Este dată de direcţia structurii cristaline a materialului. 2. anizotropia magnetică de formă. Această formă de anizotropie apare în materialele constituite din granule cu forme alungite. In cazul acestor materiale, 5

9 dacă particula care are moment magnetic este liberă, ea tinde să se orienteze după cea mai lungă dimensiune a granulei. 3. anizotropia tensiunii mecanice. Acest fel de anizotropie duce la o direcţie de magnetizare uşoară de-a lungul direcţiei de tracţiune sau compresiune Pereţii dintre domenii Stratul despărţitor dintre două domenii vecine se numeşte peretele domeniilor sau peretele Bloch. Fiecare perete Bloch conţine mai multe straturi de atomi, fiecare dintre ei având momente magnetice rotite gradat, astfel încât să facă trecerea de la valoarea unghiului primului domeniu la valoarea unghiului celui de al doilea domeniu. În figura 3 se observă structura cu domenii Weiss şi pereţi Bloch. M Perete Bloch M Domeniu Weiss Fig. 3. Structura domeniilor Weiss şi pereţii Bloch Energia cristalului Un cristal dintr-un material feromagnetic este compus dintr-un set de domenii elementare (Weiss). În starea de echilibru a substanţei, energia totală a unui domeniu care constituie cristalul este minimă. Energia totală a unui cristal are următoarele componente [38]: 1. energia de schimb 2. energia magneto-cristalină 3. energia magneto-elastică 4. energia în câmpul magnetic al altor atomi Pentru domeniile considerate toate aceste componente ale energiei sunt importante, iar pentru pereţi cele mai importante sunt energia de schimb şi energia magneto-cristalină Calculul expresiei energiei de schimb Interacţiunile de schimb reprezintă de fapt interacţiuni de natură electrostatică între atomi vecini cu ajutorul electronilor comuni. Se consideră cazul în care fiecare atom are un singur electron. Conform mecanicii cuantice, energia corespunzătoare a doi atomi, în concordanţă cu modelul propus de Heisenberg, poate fi exprimată sub forma: 6

10 W = 2 J s s (2) ij ij i j unde au fost utilizate următoarele simboluri: i, j - numerele de ordine ale celor doi atomi s i, s j - vectorii de spin ale celor doi atomi cu câte un electron J ij - integrala de schimb dintre cei doi atomi În cazul a doi atomi cu câte n electroni, ultima expresie se va înlocui cu: W 2 J S S (3) = ij e i j unde S i, S j vectorii de spin ale celor doi atomi cu câte n electroni. Dacă un atom are câte Z atomi vecini, energia de schimb dintre atom şi cei Z atomi vecini va fi: Z W = 2J S S (4) i e i j= 1 j sau W = Z 2J S ( S ) i e i j med (5) unde ( S ) j med este valoarea medie în spaţiu şi timp a vectorului de spin magnetic al atomilor învecinaţi. Momentul magnetic amperian rezultant al unui atom (cu numărul de ordine j) va fi notat cu m j. Se presupune că materialul are n 0 momente magnetice de spin pe unitatea de volum. Magnetizaţia poate fi exprimată ca: M = n m (6) ( ) med 0 j Un electron cu spin necompensat, care contribuie la spinul atomului se numeşte electron activ. Pentru simplificare se va considera un atom cu un electron. În acest caz daca S i este paralel cu axa Oz atunci S iz =1/2. Pornind de la relaţia (5), m = 2mS i i (7) rezultă că: m = ms (8) ( ) med ( 2 ) j j med Înlocuind ecuaţia (7) în ecuaţia (5) rezultă: 1 ( S ) = M (9) j med 2n 0 m În consecinţă energia de interacţiune a unui atom cu momentul magnetic m i cu câmpul magnetic extern H este dată de relaţia: W = µ m H = 2µ mh S (10) i 0 i 0 i care poate fi înlocuită de: 1 W = 2µ m H Z M S i + J e (11) 0 2 i 2n µ m 0 0 sau W = µ 0 m ( H + b M ) (12) i i unde 7

11 ZJ e b = 2nµ m (13) unde bm reprezintă câmpul magnetic molecular al lui Weiss Formarea domeniilor şi pereţilor Presupunem un monocristal de formă prismatică, asa cum este prezentat în figura 4a, care este în acelaşi timp monodomeniu. După o magnetizare spontană sarcinile magnetice polarizate trec pe cele două baze opuse. a) b) c) Fig. 4. Formarea domeniilor Weiss şi a pereţilor Bloch: a) cazul domeniului prismatic b) domenii multiprismatice c) domenii prismatice cu energie mică. Situaţia obţinută, adică împărţirea sarcinilor pe cele două feţe opuse necesita un aport mare de energie. Starea de echilibru implica o energie minimă. Pentru a utiliza o energie mai mică configuraţia este implicit divizată în mai multe domenii, de exemplu în două prisme cu magnetizări opuse. Se va presupune intensitatea câmpului magnetic exterior nul, iar pentru simplificare se presupune ca dimensiunea h este mult mai mare decât b. În acest caz intensitatea câmpului magnetic demagnetizant în centrul domeniului este proporţională cu (ρ ms b l)/(h/2) 2 unde ρ ms =M jn reprezintă densitatea de suprafaţă a sarcinii magnetice fictive. În cazul figurii 4b, energia este mai mică deoarece aria bazei este (b/2)l, jumătate decât cea din cazul din figura 4a. În cazul figurii 4c, energia este nulă deoarece, dacă scoatem pereţii, sarcinile din jurul pereţilor sunt nule, şi nu ar avea loc separarea sarcinilor Fenomnele magnetice legate de porţiunile caracteristicilor magnetice Porţiunile curbei de primă magnetizare a materialelor feromagnetice Considerăm punctul de început al curbei de magnetizare ca fiind starea în care intensitatea câmpului magnetic şi magnetizaţia sunt zero. Pentru o creştere relativ mică a intensităţii câmpului magnetic până la valoarea H a, creşterea rezultantei macroscopice a magnetizaţiei este obţinută mai ales prin mărirea volumului acelor domenii elementare al căror vector moment magnetic face un unghi ascuţit cu vectorul intensitatea câmpului magnetic. Creşterea domeniilor se obţine prin deplasarea în salt a pereţilor domeniilor. Acest stadiu apare la o anumită intensitate a câmpului magnetic notată cu H d. 8

12 Crescând mai mult intensitatea câmpului magnetic, se obţine creşterea magnetizaţiei macroscopice mai ales datorită rotaţiei vectorilor magnetizaţie ai domeniilor elementare, în direcţia câmpului magnetic extern. Mărind intensitatea câmpului magnetic extern se ajunge în situaţia în care vectorii magnetizaţie ai domeniilor sunt în direcţia câmpului magnetic exterior. Se obţine valoarea M s a saturaţiei vectorului magnetizaţie, respectiv a vectorului inducţie magnetică de saturaţie B s. Rotaţia vectorilor domeniilor este parţial reversibilă. Când ne referim la întreaga curbă de histerezis a unei substanţe feromagnetice, ramura descendentă pornind din punctul în care intensitatea câmpului magnetic este H s, până la un punct din al doilea cadran, apare o rotire parţială a vectorilor moment magnetic ai domeniilor. Mergând mai departe în cadranul al treilea, de-a lungul aceleiaşi caracteristici, apare o deplasare ireversibilă a pereţilor domeniilor. Mai departe se obţine saturaţia în punctul - H s. Din punctul - H s se produc fenomene similare ca pentru curba descendentă din punctul H s, dar de direcţie opusă. Fig. 5. Caracteristica de primă magnetizare cu explicarea fenomenelor care se produc în interiorul materialului. H a H d H s Deoarece magnetizaţia scade în al doilea cadran de la valoarea remanentă la zero, această porţiune din curbă se numeşte curbă de demagnetizare. Trebuie menţionat că demagnetizarea unui corp este favorizată de fenomenul numit nucleaţie magnetică. Formarea unui nucleu, o mică regiune în care începe magnetizarea inversă, sub acţiunea unei intensităţi relativ mici a câmpului magnetic extern, se numeşte nucleaţie. Fig. 6. Nucleaţia magnetică. Dacă eşantionul are anumite defecte, cum ar fi impurităţi sau neuniformităţi ale structurii cristaline, atunci este posibil ca pentru un câmp magnetic de amplitudine mai mică să se producă reversarea momentelor magnetice din regiunile înconjurătoare locului de defect. 9

13 Ca o consecinţă, apare un perete de separţie al acestei regiuni de restul. Acest perete sub acţiunea câmpului magnetic aplicat se mişcă ducând la demagnetizarea întregului eşantion. În timpul acestei mişcări peretele este străpuns de alte puncte de defect ale eşantionului. Este posibil să apară mai multe puncte de nucleaţie în acelaşi timp. O astfel de nucleaţie este reprezentată în figura Dependenţa proprietăţilor magnetice de temperatură Substanţe feromagnetice Temperatura influenţează curba de magnetizare. Partea de saturaţie a curbei de primă magnetizare, scade odată cu creşterea temperaturii. În substanţele feromagnetice în intervalul [0, T C ] apare magnetizarea spontană, care nu depinde de câmpul magnetic exterior, şi această magnetizare este egală cu magnetizaţia de saturaţie. Peste această temperatură propreietăţile magnetice dispar. Se pot trage următoarele concluzii: - Pentru T < T C magnetizaţia spontană există chiar în absenţa câmpului magnetic exterior. Magnetizaţia creşte odată cu scăderea temperaturii, şi tinde la saturaţie în apropierea temperaturii de 0 K. - Pentru T > T C magnetizaţia spontană nu mai există în absenţa unui câmp magnetic extern, iar substanţa devine paramagnetică Substanţe antiferomagnetice. Susceptibilitatea magnetică a substanţelor antiferomagnetice care se comportă ca materiale paramagnetice, la temperaturi scăzute prezintă o variaţie bruscă pentru o anumită temperatură denumită temperatură Neel, T N, unde are un maxim. Sub influenţa unui câmp magnetic exterior destul de mare substantele antiferomagnetice trec la o stare feromagnetică. Primele substanţe antiferomagnetice descoperite au fost oxizii metalici: NiO, CoO, FeO Cicluri de histerezis caracteristice Tipuri de fenomene de histerezis Curba de histerezis reprezintă dependenţa dintre una dintre mărimile: magnetizaţie M, polarizaţie magnetică M j, sau inducţie magnetică B, şi intensitatea câmpului magnetic H, pentru o variaţie a lui H într-un interval cuprins între anumite valori H 1 şi H 2, după cum urmează: H 1 H 2 H 1. Pentru materialele feromagnetice se obţine o curbă închisă, care este denumită curbă de histerezis sau ciclu de histerezis. Curba de histerezis şi fenomenul de histerezis pot fi de două feluri: - histerezis alternant - Curba de histerezis este obţiuntă în următoarele condiţii: direcţia câmpului magnetic rămâne neschimbată, dar amplitudinea şi semnul variază. 10

14 - histerezis rotativ - Curba de histerezis este obţinută în următoarele condiţii: valoarea intensităţii câmpului magnetic ramâne neschimbată, dar variază direcţia acestuia Cauzele fenomenului de histerezis Acestea se încadrează în două categorii: rămânerea în urmă a pereţilor domeniilor, în cazul unui câmp magnetic de o intensitate destul de mare. rămânerea în urmă a rotaţiei vectorilor magnetizaţie ai domeniilor elementare când câmpul extern este modificat. Energia pereţilor domeniilor depinde de poziţia lor. Datorită defectelor şi a prezenţei incluziunilor în reţeaua cristalină, această poziţie poate varia într-un mod aleatoriu în orice direcţie, având maxime şi minime (vârfuri şi văi energetice). Dacă dintr-un motiv oarecare, de exemplu un câmp magnetic extern, peretele este deplasat dar rămâne aproape de nivelul de energie minim, deplasarea este reversibilă, deoarece peretele revine la poziţia iniţială după încetarea acţiunii câmpului extern. Dacă deplasarea peretelui trece de un vârf de energie deplasarea nu mai este reversibilă, peretele ramănând în valea următoare cu energie minimă. Pentru a aduce înapoi peretele este necesar un câmp magnetic extern cu direcţie opusă, de o valoare destul de mare pentru a face trecerea înapoi peste vârful de energie. Cea de a doua cauză îşi are explicaţia în faptul că la finalul magnetizării unui corp feromagnetic, magnetizaţia creşte datorită modificării bruşte a direcţiei de magnetizaţie spontană a domeniilor elementare de-a lungul câmpului magnetic extern Pierderi în materialele feromagnetice datorită fenomenului de histerezis Într-o bucată de material feromagnetic traversat de un flux magnetic variabil în timp, apar pierderi care produc încălzirea piesei. Pierderile se pot separa în două componente: pierderi prin histerezis şi pierderi prin curenţi turbionari. Pierderile prin histerezis sunt determinate de lucrul necesar pentru deplasarea pereţilor domeniilor şi rotaţia magnetizaţiei domeniilor. Aceste pierderi sunt proporţionale cu aria ciclului de histerezis. Forţele electromotoare induse de fluxul variabil din bucata considerată stabilesc un curent electric, care produce pierderi prin efect Joule-Lenz. Aceşti curenţi sunt denumiţi curenţi turbionari, şi modifică distribuţia inducţiei în materialele feromagnetice. Pentru a reduce pierderile prin histerezis este necesar să reducem aria ciclului de histerezis. Pentru acest lucru este necesar ca inducţia magnetică remanentă şi intensitatea câmpului coercitiv să fie mai mici. Adăugarea de siliciu (0,5-4%) şi efectuarea unui anumit tratament termic conduc la o creştere a permeabilităţii magnetice şi la o reducere a pierderilor prin histerezis. Ca o consecinţă, rezistivitatea la temperatura de aproximativ 20 C, creşte de la Ωm la (4-8) 10-7 Ωm, şi în consecinţă pierderile prin curenţi turbionari scad. 11

15 Curbe de histerezis majore şi minore. Curbe de histerezis simetrice şi nesimetrice. Curba de histerezis obţinută când creştem şi descreştem succesiv intensitatea câmpului magnetic de la valoarea pozitivă la valoarea negativă de saturaţie, dar având aceeaşi valoare absolută este denumită curbă de histerezis limită sau curbă majoră sau de saturaţie. Această curbă poate fi obţinută experimental şi pe cale analitică pornind de la un număr destul de mic de date experimentale. O curbă de histerezis se obţine chiar dacă magnetizaţia nu este dusă până la saturaţie. Curbele de histerezis conţinute în curba de histerezis majoră sunt denumite curbe parţiale, cicluri parţiale sau curbe de histerezis minore. Fig. 8. Ciclul de histerezis la saturaţie şi un ciclu de histerezis minor nesimetric. Fig. 9. Cicluri de histerezis simetrice, curba de primă magnetizare (roşu) şi curba fundamentală de magnetizare (obţinută prin unirea vârfurilor ciclurilor minore simetrice până la saturaţie) (albastru). Curbele de histerezis care se trasează între două valori ale intensităţii câmpului magnetic simetrice faţă de origine (H = 0, B = 0), se numesc curbe de histerezis simetrice. Locul geometric al vârfurilor curbelor de histerezis minore simetrice reprezintă o curbă denumită curbă fundamentală de magnetizare sau curba normală de magnetizare. Această curbă este relativ apropiată de curba de primă magnetizare. Coordonatele varfului din primul cadran ale curbei de histerezis majoră se notează cu H s şi M js sau B s, iar pentru curbele minore de histerezis cu H max şi M jmax sau B max Curbe de întoarcere de ordinui întâi. În cazul în care după ce corpul magnetic a fost adus în starea de magnetizare de saturaţie negativă, iar magnetizaţia este crescută până la o valoare mai mică decât valoarea de saturaţie pozitivă, iar apoi descrescută iarăşi până la starea de saturaţie negativă, magnetizaţia va descreşte pe anumite curbe. 12

16 a) b) Fig 10. Curbe de întoarcere de ordinul întâi a) ramura ascendentă, b) ramura descendentă. Curbele obţinute astfel se numesc: curbe de întoarcere, curbe de reversare sau curbe de tranziţie de ordinul întâi şi pot fi observate în figura 10a pentru ramura descendentă iar în figura 10b pentru ramura ascendentă. Dacă înainte de atingerea valorii de saturaţie negativă, câmpul magnetic este crescut din nou, magnetizaţia va creşte de-a lungul unei curbe denumite curbe de tranziţie de ordinul doi. Curbe similare se obţin şi pentru partea pozitivă Stabilizarea curbei de histerezis şi acomodarea magnetică. 13 Dacă intensitatea câmpului magnetic variază între două valori cu acelaşi semn sau două valori cu semn diferit dar neegale în valoare absolută, se obţin curbe de histerezis nesimetrice faţă de originea sistemului de coordonate (figura 8) care se numesc cicluri de histerezis parţiale sau nesimetrice. Fig. 11. Acomodarea magnetică pe un ciclu de histerezis major. Ciclurile de histerezis limită, atât simetrice cât şi nesimetrice sunt obţinute după mai multe variaţii ale intensităţii câmpului magnetic între valorile limită. Numărul de variaţii necesar pentru a se obţine o curbă închisă sunt 5-10 până la 100. În cazul limitelor H s şi H s acest fenomen se numeşte acomodare pentru bucla majoră şi este prezentată în figura 11.

17 Curbele fenomenului de acomodare sunt dificil de studiat. Dacă intensitatea câmpului magnetic variază între valorile H 1 şi H 2 succesiv, se obţine o curbă deschisă nestabilizată, deoarece începutul şi sfarşitul unui ciclu nu se suprapun. Prin repetarea de mai multe ori a ciclurilor de histerezis între două valori H 1 H 2 se obţin magnetizaţii mai mari decât cele obţinute aplicând un câmp magnetic constant pentru un timp foarte lung. Un astfel de fenomen este prezentat în figura 12 pentru un ciclu nesimetric minor. Fig. 12. Fenomenul de acomodare la cicluri minore nesimetrice Alunecarea ciclurilor de histerezis şi reptaţia magnetică Acest fenomen constă în faptul că ciclurile de histerezis succesive, nesimetrice, nu se suprapun după mai multe variaţii ale câmpului magnetic între limitele impuse, dar se deplasează încet către zonele care au o magnetizaţie mai mare. Reptaţia magnetică constă în variaţia în timp a magnetizaţiei produsă de două cauze: fluctuaţia magnetică şi fenomenul de difuzie. Fenomenul de reptaţie magnetică duce la scăderea, cu timpul, a magnetizaţiei corpurilor magnetice. Deci apare îmbătrânirea magneţilor permanenţi Post-efect magnetic Fenomenul este reprezentat de o întârziere a magnetizaţiei în concordanţă cu intensitatea câmpului magnetic. Dacă se aplică brusc un câmp magnetic de o anumită intensitate şi apoi aceasta se păstrează la o valoare constantă, magnetizaţia nu atinge această valoare imediat ci după un timp. Acest fenomen poartă denumirea de post-efect magnetic, sau viscozitate ori relaxare magnetică. 14

18 3. Metode de ridicare a caracteristicilor magnetice Ridicarea caracteristicilor de magnetizare în curent continuu Materialul studiat În această lucrare s-au făcut măsurători pe eşantioane executate din tablă electrotehnică tip M800-65A produse de Erdemir Târgovişte şi folosite de întreprinderea Electroprecizia, Săcele, pentru realizarea circuitului magnetic statoric sau rotoric al maşinilor asincrone. În tabelul 2, este prezentată o selecţie din foaia de catalog a producătorului care corespunde cu standardul internaţional EN Tabelul 2. Datele de catalog pentru materialul studiat Tipul Inducţia magnetică Pierderile specifice tablei minimă pentru H (conform EN ,0T (50 Hz) 1,5T (50 Hz) 1) W/kg 1,5T (60 Hz) 2500 A/m 5000 A/m A/m Anizotropia pierderilor Pentru realizarea măsurătorilor magnetice s-a utilizat, ca referinţă, standardul internaţional CEI În partea a patra a acestui standard sunt prevăzute normele pentru măsurarea caracteristicilor materialelor magnetice moi în curent continuu folosind un miez în formă de tor din materialul magnetic care se doreşte a fi studiat. Standardul specifică anumite detalii constructive pentru miezul din materialul magnetic care se doreşte a fi studiat şi anumite constrângeri în ceea ce priveşte secţiunea materialului, diametrul interior respectiv exterior al torului, precum si ordinea în care se fac bobinajele pe tor, temperatura la care se face măsurarea, acţionarea întrerupătoarelor şi creşterea sau descreşterea câmpului magnetic, 15 % Densitatea g/cm 3 M800-65A 3,60 8,00 10,26 1,60 1,7 1, Fig. 13 Structura microscopică a materialului studiat M800-65A. În figura 13 se poate observa că materialul prezintă grăunţi poligonali de recristalizare, ceea ce indică faptul că materialul a fost livrat in stare recristalizată. Trebuie remarcat faptul că în material se găsesc frecvente incluziuni de tipul oxizilor şi zgură. Acest fapt poate avea influenţe negative din punct de vedere mecanic putând conduce la fisuri în material obţinute chiar prin aplicarea câmpului magnetic rotativ Măsurători în curent continuu

19 precum şi timpul în care se realizează o măsurătoare. Toate aceste constrângeri au fost respectate în efectuarea măsurătorilor şi vor fi prezentate in continuare. Pentru realizarea acestor măsurători, din materialul de studiat au fost ştanţate un număr de 16 tole cu grosimea de 0,65 mm sub formă de inel cu diametrul interior 160 mm iar diametrul exterior de 170 mm. Aceste dimensiuni asigură o suprafaţă transversală a torului de 104 mm 2 ceea ce corespunde cu cerinţele CEI care prevede ca aria secţiunii transversale a torului să fie cuprinsă între 100 şi 500 mm 2. Diametrele alese au fost impuse de cele care se folosesc în practică pentru realizarea motoarelor electrice, dar ele respectă condiţiile din normativ, în care se specifică faptul că între diametrul interior d şi diametrul exterior D trebuie să existe relaţia: D 1,1 d. Un lucru foarte important care trebuie avut în vedere este faptul că temperatura torului aflat în studiu, conform normativului, nu trebuie să depăşească valoarea de 50 C iar temperatura de lucru trebuie să fie cuprinsă între C. Din acest motiv, a fost facut, în prealabil, un calcul termic la dimensionarea înfăşurărilor astfel încât miezul magnetic să nu se încălzească peste valoarea maximă de lucru şi să rămână în plaja de temperaturi de lucru. Valoarea lungimii medii a circuitului magnetic se calculează utilizând formula: D + d l = π = π = 518 mm (14) 2 2 Pentru calculul câmpului magnetic se foloseşte relaţia: N I 1 H = (15) l unde: H intensitatea câmpului magnetic, N 1 numărul de spire ale înfăşurării de magnetizare, I curentul din înfăşurarea de magnetizare, l lungimea medie a circuitului magnetic. Variaţia fluxului magnetic din înfăşurarea secundară se calculează folosind relaţia: K α b b B = (16) N A 2 unde: DB variaţia fluxului magnetic [T] K b constanta fluxmetrului [Vs] a b deviaţia acului indicator N 2 numărul de spire din înfăşurarea secundară A secţiunea transversală a torului [m 2 ] Fig. 14. Torul realizat Din aceste calcule, a reieşit că pentru înfăşurarea de magnetizare sunt necesare 3850 de spire care au fost dispuse în 13 straturi. Pentru înfăşurarea de măsură, ţinând cont de specificaţiile fluxmetrului analogic avut la dispoziţie, a reieşit că sunt necesare 350 de spire, care au fost dispuse pe un singur strat pe miezul 16

20 magnetic. Peste această înfăşurare a fost bobinată înfăşurarea de magnetizare, în felul acesta s-a respectat specificaţia standardului. Schema de montaj este prezentată mai jos şi conţine o sursă de curent continuu reglabilă avînd posibilitatea reglării curentului sau tensiunii, un întrerupător K pentru reversare de sens, care are rolul de a face trecerea de la polarizaţia pozitivă la cea negativă, torul cu cele două înfăşurări: de magnetizare şi de măsură, şi un fluxmetru analogic. Fluxmetrul analogic are posibilitatea schimbării scării de măsură. Comutator reversare de sens Torul din materialul de studiat Fluxmetru Sursa de c.c. N1 N2 K Fig. 15. Sistemul de măsură utilizat pentru măsurători în curent continuu Rezultatele măsurătorilor efectuate în c. c. şi interpretarea datelor În figura 16 este prezentată curba de primă magnetizare obţinută din măsurători pentru materialul studiat. Pentru acest set de măsurători, s-a realizat mai întâi o demagnetizare a torului foarte atentă şi pornind de la 2 valoarea zero a intensităţii câmpului magnetic s-au făcut mai multe citiri ale aparatelor 1.2 de măsură până se ajunge la 1 valoarea câmpului de saturaţie 0.8 care s-a constatat că se atinge 0.6 în jurul valorii de A/m. 0.4 Fig. 16. Curba de primă magnetizare măsurată. B [T] Trebuie menţionat faptul că aceste măsurători se fac într-un timp destul de lung, conform IEC , deoarece odată stabilită valoarea curentului într-un anumit punct se aşteaptă cel puţin 20 de secunde pentru stabilizarea câmpului prin miezul magnetic. Curentul trebuie crescut foarte încet şi să nu aibă salturi deoarece atunci trebuie demagnetizat miezul magnetic şi pornită măsurătoarea de la zero. După ce s-a atins valoarea de saturaţie a câmpului magnetic s-a început scăderea valoarii câmpului până la valoarea zero, respectiv a curentului care parcurge înfăşurarea de magnetizare. Când s-a ajuns la această valoare, folosind comutatorul pentru reversare de semn, se schimbă polaritatea tensiunii de alimentare. Apoi se creşte iarăşi valoarea câmpului prin creşterea curentului din 17 H [A/m]

21 înfăşurarea de magnetizare. De data aceasta curentul parcurge în sens invers această înfăşurare asta înseamnă că şi sensul câmpului magnetic s-a schimbat. Se creşte valoarea intensităţii câmpului magnetic până la valoarea de saturaţie negativă. În mod asemănător se realizează şi ramura ascendentă. Se va constata că punctul de saturaţie pozitivă este situat mai jos decăt cel obţinut iniţial. Acest fenomen apare datorită acomodării magnetice. De aceea trebuie repetate măsurătorile până la parcurgerea de câteva ori a ciclului major până la stabilizarea acestuia, şi punctele de saturaţie vor coincide. Realizând aceste măsurători, s-a obţinut ciclul major de histerezis care este prezentat în figura B [T] H [A/m] Fig. 17. Ciclul major şi curba de primă magnetizare Acest lucru a fost realizat experimental şi s-au creat ciclurile de întoarcere de ordinul întâi, aşa cum se prezintă în figura 18. Pentru aceste cicluri se parcurge ramura ascendentă a ciclului major până la un anumit punct, mai mic decât cel de saturaţie pozitivă şi se scade apoi valoarea câmpului magnetic până se revine la valoarea de saturaţie negativă. Datorită faptului că la materialele magnetice moi, câmpul magnetic coercitiv are valori mici, ciclul major astfel obţinut este foarte îngust şi prezentarea ciclurilor de întoarcere de ordinul întâi este foarte dificilă, de aceea s-au făcut tăieturi din grafic pentru prezentarea unui astfel de ciclu. Astfel un singur ciclu de întoarcere este prezentat în figura

22 B [T] B [T] B [T] B [T] -2 H H [A/m] Fig. 18. Cicluri de întoarcere de ordinul întâi H H [A/m] Fig. 19 Curba de întoarcere de ordinul întâi. Pentru realizarea de cicluri de întoarcere de ordinul doi, se procedeză în felul următor: după stabilizarea ciclului major de histerezis din punctul de saturaţie 19

23 negativă se porneşte pe ramura ascendentă până într-un punct situat mai jos decât valoarea de saturaţie pozitivă. De la punctul considerat în care ne-am oprit pe ramura ascendentă se porneşte descreşterea câmpului mergând pe o curbă de întoarcere de ordinul întâi, până la o anumită valoare mai mică decât valoarea de saturaţie negativă. Din acest punct, se porneste iarăşi la creşterea câmpului pănă la valoarea de saturaţie pozitivă. Se observă că se obţine o curbă care se păstrează în interiorul ciclului major de histerezis mergând aproape de ramura ascendentă. Această curbă este o curbă de întoarcere de ordinul doi. Pentru materialele magnetice moi, deoarece ciclul major este foarte îngust, este destul de greu de observat alura curbelor de întoarcere de ordinul 1 şi 2. Tendinţa acestora este de a se apropia foarte tare de ciclul major dacă punctele de reversare sunt alese aproape de zona de saturaţie. În figura 20 se observă că această curbă, de ordinul doi, obţinută prin procedeul descris mai sus, va intersecta curba de întoarcere de ordinul întâi într-o porţiune destul de aproape de ramura ascendentă a ciclului major. B [T] B [T] H [A/m] H Fig. 20. Curba de întoarcere de ordinul doi Ridicarea caracteristicilor magnetice în curent alternativ (metoda cadrului Epstein şi metoda testerului unitolă) Principalele metode de măsurare în curent alternativ a caracteristicilor magnetice pentru materialele magnetice moi sunt prezentate în standardul IEC pentru măsurarea cu cadrul Epstein şi IEC pentru măsurarea cu dispozitivul unitolă (Single Sheet Tester - SST). 20

24 Pentru realizarea de măsurători în conformitate cu acest standard, s-a folosit echipamentul DEM 25 realizat de către Brockhauss Messtechnic cu care s-au realizat o serie de teste pe tabla electrotehnică tip M800-65A. În figura 21a este prezentat modul de ţesere a tolelor. Eşantioanele de material trebuie sa aibă anumite dimensiuni specificate, astfel lăţimea trebuie să fie 30 mm iar lungimea minima este 280 mm iar maximă 340 mm. Conform normativului, înfăşurarea de magnetizare şi de măsură are câte 700 de spire care sunt împărţite în 4 bobine legate în serie a câte 175 de spire. Miez din material magnetic Înfăşurarea de magnetizare Fig. 21a. Modul de ţesere a tolelor în cadrul Epstein conform IEC Înfăşurarea de măsură Fig. 21b. Lungimea medie a circuitului magnetic pentru cadrul Epstein conform IEC În figura 21b se pot observa grupurile de bobine de măsură şi de magnetizare dispuse pe laturile cadrului Epstein, lungimea medie a cadrului şi lungimea dintre centrele a două bobine aflate pe laturi opuse, ceea ce conduce la lungimea minimă necesară a eşantioanelor de 280 mm. Înfăşurarea de măsură Înfăşurarea de magnetizare Armătura mobilă Armătura fixă Fig. 22. Schema de principiu a testerului unitolă IEC Fig. 23. Modul de realizare a armăturilor pentru testerul unitolă În standardul IEC , se specifică principiul de măsurare a testerului unitolă (SST). Acest aparat este construit pe principiul transformatorului având două armături sub formă de U, una fixă şi cealaltă mobilă, care se poat deplasa în sus şi în jos faţă de cea fixă şi un sistem de bobine de magnetizare şi de măsură dispuse în aer în interiorul cărora se introduce eşantionul de măsurat. 21

25 Unitatea de măsură DEM 25 Deoarece cadrul Epstein şi testerul unitolă sunt comandate automat de către această unitate printr-un program de calcul aflat pe un calculator, trebuie să prezentăm şi această unitate de măsură, în strânsă legătură cu rezultatele obţinute. Această unitate are următoarele facilităţi: - determinarea proprietăţilor magnetice ale oţelurilor electrotehnice si ale altor materiale magnetice moi; - configurarea liberă cu ajutorul sistemelor specifice cu bobine; - conectarea în paralel până la 3 sisteme de măsurare cu bobine; - sisteme de bobine pentru măsurare conform IEC pentru măsurare cu cadrul Epstein şi IEC pentru dispozitivul unitolă; - schimbarea automată din program a bobinelor de măsură fără a mai fi necesară cuplarea şi decuplarea lor din instalaţie, acestea rămânând cuplate în instalaţie tot timpul pentru o funcţionare convenabilă; Principiul de funcţionare al instalaţiei Curentul electric necesar este furnizat de un amplificator de putere aflat în interiorul instalaţiei. Curentul este măsurat în condiţii de temperatură stabilă, cu ajutorul unui şunt de măsurare sau al bobinelor de câmp. Câmpul magnetic depinde de numărul de spire din înfăşurarea primară, de curentul din aceasta şi de lungimea medie a bobinei. N I H ( t) = 1 (17) l m unde: N 1 reprezintă numărul de spire din înfăşurarea de magnetizare; I reprezintă curentul care străbate înfăşurarea de magnetizare; l m reprezintă lungimea medie a circuitului magnetic. Tensiunea este comandată de un sistem digital furnizând un număr suficient de puncte în care se realizează măsurătoarea. Reglarea automată, dinamică, activează tensiunea exactă de măsurare cu o rezoluţie de 16 biţi. Polarizaţia magnetică este determinată măsurând tensiunea produsă în înfăşurarea secundară a sistemului de bobine. t dj u ( t) 1 2 = J ( t) = u ( t) dt 2 dt N A N A (18) 2 m 2 m 0 unde: J reprezintă polarizaţia magnetică, N 2 reprezintă numărul de spire din înfăşurarea de măsură, A m reprezintă aria secţiunii transversale a pachetului de tole, u 2 (t) tensiune indusă în înfăşurarea de măsură. Tensiunea secundară este de asemeni reglată automat de sistemul dinamic de ajustare. Calculul şi integrarea sunt efectuate tot de procesorul pe 16 biti. 22

26 Captura paralelă a celor două valori măsurate H şi B cu două sisteme de captură separate garantează o măsurare simultană. Măsurarea este executată cu polarizaţie sinusoidală, lucru prescris în dispoziţiile CEI astfel că tensiunea din secundar trebuie să fie şi ea de formă sinusoidală. Tensiunea de sarcină este creată cu ajutorul unui generator digital sinusoidal, foarte stabil, controlat cu un oscilator de cuarţ. Astfel este menţinut un control foarte bun al amplitudinii şi al frecvenţei. Amplitudinea şi frecvenţa procesorului sunt ajustate conform datelor probelor de măsurat (masă, densitate, frecvenţa dorită, polarizaţia dorită etc.), aceste date sunt introduse de către operator Programul MPG-Expert. Echipamentul este controlat de către un calculator care foloseşte un program dedicat pentru controlul unităţii DEM 25, denumit MPG-Expert. Înainte de a porni la o măsurătoare trebuie să se stabilească datele de intrare cu privire la tipul de material măsurat, şi programul de măsură. Pentru materialul studiat se introduc datele cu privire la forma geometrică a eşantioanelor: lungime, lăţime, grosime şi numărul de eşantioane şi masa pachetului de eşantioane sau densitatea. În programul de măsură trebuie specificat dacă se doreşte demagnetizarea probei înainte de măsurătoare şi frecvenţa la care se fac măsurătorile, care poate fi într-un interval cuprins între 5 Hz şi 1 khz, valoarea câmpului magnetic care poate merge până la A/m în paşi de 100 A/m sau polarizaţia magnetică care poate ajunge la maximum 2 T în paşi de 0.01 T. Fig. 28. Ecranul principal al programului MPG-Expert. 23

27 Datele obţinute sunt furnizate utilizatorului sub formă tabelară de către programul MPG-Expert prezentat în figura 28. Accesând una din liniile din acest tabel se schimbă şi reprezentarea grafică de pe ecranul programului. 24

28 3.4. Rezultatele măsurătorilor efectuate în c. a. şi interpretarea datelor. Măsuratorile au fost realizate la mai multe frecvenţe şi la diverse valori ale polarizaţiei magnetice precum şi la diverse orientări ale grăunţilor. Astfel pentru tabla tăiată longitudinal, folosind metoda cadrului Epstein, s-au obţinut următoarele cicluri de histerezis pentru frecvenţa stabilă de 50 de Hz şi diverse valori ale inducţiei sau mergând până la 1,8 T (figura 32). B [mt] Ciclul de Histerezis H [A/m] 1T (50 Hz) 1.5 T (50 Hz) 1.8T (50 Hz) Fig. 32. Ciclul de histerezis obţinut cu cadrul Epstein, pentru tabla tip M800-65A tăiată longitudinal pe direcţia de laminare, în c. a. la frecvenţa f = 50 Hz. Pentru tabla tăiată transversal se obţin următoarele cicluri de histerezis, mergând cu inducţia magnetică până la 1.8 T. Ciclul de histerezis B[mT] T (50Hz) 1,5T (50Hz) 1,8T (50Hz) Fig. 33. Ciclul de histerezis obţinut cu cadrul Epstein, pentru tabla tip M800-65A tăiată transversal faţă de direcţia de laminare, în c. a. la frecvenţa f = 50 Hz. H[A/m] Programul a fost setat să scoată mai multi paşi intermediari, dar datorită faptului că ciclul este foarte îngust s-au eliminat din reprezentări valorile pentru inducţiile mai mici de 1T deoarece acestea nu pot fi distinse. 25

29 Ciclurile obţinute astfel, pot fi folosite ca date de intrare pentru alte programe sau pot fi comparate unele cu altele aşa cum este prezentat în figura B [mt] H [A/m] Permeabilitatea relativa Longitudinal Transversal Fig. 34. Comparaţie între ciclurile de histerezis obţinute pentru 1,8 T pentru eşantioane tăiate longitudinal şi transversal în c. a. la frecvenţa f = 50 Hz. mur [] H [A/m] Pierderile Ps [W/kg] B [mt] longitudinal transversal longitudinal transversal Fig. 35. Comparaţie între curbele pierderilor pentru materialul tăiat longitudinal şi transversal în c. a. la frecvenţa f = 50 Hz. Fig. 36. Comparaţia permeabilităţilor relative în cele două cazuri: longitudinal şi transversal în c. a. la frecvenţa f = 50 Hz. 26

30 Tot din acelaşi program se poate trasa curba permeabilităţii magnetice relative în funcţie de intensitatea câmpului magnetic aplicat (figura 36). Folosind acelaşi tip de material s-au realizat măsurători folosind testerul unitolă (SST). Astfel pentru un eşantion din tablă longitudinală s-au realizat măsurători la diverse frecvenţe în jurul valorii de 50 Hz. Acelaşi lucru s-a realizat şi pentru tabla tăiată transversal şi rezultatele comparative pot fi observate în figura 37. Se poate face comparaţia între valorile obţinute cu cele două metode de măsurare pentru a vedea care metodă este mai bună ţinând cont de avantajele şi dezavantajele fiecărei metode folosite. În figura 37 este făcută comparaţia între măsurătoarea realizată pe cadrul Epstein cu tole tăiate longitudinal şi cea realizată pe dispozitivul unitolă cu un singur eşantion longitudinal. B [mt] Ciclul de histerezis H [A/m] 2000 Longitudinal Transversal Fig. 37. Comparaţie între ciclurile de histerezis obţinute prin metoda testerului unitolă pe un eşantion longitudinal şi transversal în c. a. la frecvenţa f = 50 Hz. B[mT] Epstein SST Fig. 37. Comparaţia rezultatelor obţinute cu cele două metode de măsurare pe eşantioane longitudinale la o inducţie de 1,5 T şi frecvenţa de 50 Hz H [A/m] 27

31 4. Modelarea numerică a ciclului de histerezis Cele mai relevante modele pentru simularea ciclului de histerezis sunt: Modelul Preisach. Acesta este bazat pe ideea că materialul magnetic poate fi reprezentat ca o mulţime de particule histeretice elementare. Se admite că bucla de histerezis a fiecărei particule este asimetrică faţă de linia H=0 şi creează un câmp rezidual care participă la interacţiunea între domenii. Neajunsul metodei constă în numărul mare de date de intrare care trebuie determinate în prealabil, pe baza unui număr relativ mare de curbe de întoarcere, ridicate experimental. Modelul Jiles-Atherton. Acesta este aplicabil în cazul materialelor izotrope policristaline, conţinând granule multi-domeniu şi la care deplasarea pereţilor domenilor este considerată ca fiind procesul major de magnetizare. Modelul permite considerarea acroşării şi decroşării pereţilor domeniilor prin introducerea unui termen adiţional şi permite introducerea unei curbe sigmoidale. Metoda nu este uşor de aplicat, deoarece, deşi conţine un număr redus de constante, acestea sunt dificil de determinat. Metoda analitico-geometrică propusă de Nicolaide în [38]-[40] se bazează pe construirea ciclului de histerezis folosind arce de cerc şi segmente de dreaptă. Metoda necesită un număr restrâns de date de intrare şi oferă o bună reprezentare a ciclurilor de histerezis reale Modelul Preisach Aspecte teoretice cu privire la modelul Preisach clasic În acest model, materialul feromagnetic este considerat drept un ansamblu de domenii elementare denumite dipoli elementari, dipoli Preisach sau operatori Preisach. Fiecare dipol este caracterizat de un ciclu de histerezis rectangular şi asimetric [15] (figura 38). Fiecare dipol se poate afla în orice moment în una din stările de saturaţie pozitivă (+1) sau de saturaţie negativă (-1). Tranziţia între stări este determinată de valoarea câmpului magnetic H în raport cu valorile h a = a, h b = b denumite câmpuri critice sau de basculare. Dacă un dipol este în starea de saturaţie negativă (-1) şi valoarea lui H creşte peste valoarea H = h a = a, acesta basculează în starea (+1). Pentru a se reîntoarce în starea iniţială, câmpul va trebui scăzut până sub valoarea H = h b = b (b < a). Fig. 38. Ciclul elementar (dipolul) Preisach. 28

32 Problema care se pune pentru a putea caracteriza materialul real este găsirea unei distribuţii statistice a elementelor în funcţie de valorile variabilelor a şi b. Această distribuţie este reprezentată în planul (a, b) şi se numeşte distribuţie Preisach p(a, b). Cu această funcţie de distribuţie se determină valoarea inducţiei globale (magnetizaţiei), la un moment dat, a materialului. Câteva proprietăţi ale modelului clasic Preisach sunt enumerate mai jos: - proprietatea de ştergere: fiecare maxim (respectiv minim) local al mărimii de intrare şterge toate maximele (respectiv minimele) anterioare ce sunt inferioare (respectiv, superioare) acestuia; - proprietatea de congruenţă a ciclurilor minore: ciclurile minore măsurate între aceleaşi valori extreme ale câmpului magnetic sunt egale (congruente); - proprietatea de simetrie rezultă din faptul că evoluţia ciclică a lui H între valorile -H 1 şi +H 1 produce cicluri simetrice. Deci simetria determină includerea ciclurilor simetrice unul în altul, neexistând intersecţii. Studii ulterioare au dus la concluzia că proprietăţile de ştergere şi de congruenţă reprezintă condiţii necesare şi suficiente pentru ca un sistem cu histerezis să fie corect reprezentat prin modelul clasic Preisach. Trebuie amintite limitările pe care le impune acest model, ceea ce înseamnă, până la urmă, o aproximare a unui fenomen real: - modelul este static, neluând în considerare modul de variaţie în timp a mărimilor, ci doar extremele mărimii de intrare; - fenomenele de magnetizare reversibile nu sunt luate în considerare; - fenomenul de acomodare (trenaj magnetic) este ignorat; fenomenul de reptaţie al ciclurilor minore nu este modelat, ciclurile minore închizându-se în puncte bine stabilite, conform proprietăţii de ştergere. Calcularea inducţiei sau a magnetizaţiei se face folosind formula: B ( t) = p( a, b) sign[ m( a, b)] da db (19) S T unde: p(a, b) reprezintă funcţia Preisach sign[m(a, b)] reprezintă semnul operatorului elementar Preisach m(a, b). Acest operator schimbă semnul în funcţie de forma de variaţie a intensităţii câmpului magnetic. Operaţia de identificare a modelului clasic Preisach presupune determinarea funcţiei de distribuţie a dipolilor unitari p(a, b). Se poate proceda în două moduri: - se caută o funcţie discretizată p(a i, b j ) unde valorile punctelor (a i, b j ) rezultă din datele experimentale; - se presupune cunoscută forma analitică a funcţiei (spre exemplu, distribuţie gaussiană) şi se identifică, pe baza măsurătorilor, doar parametrii funcţiei cunoscute. Determinarea unei funcţii de discretizare p(a i, b j ) se face pe baza datelor experimentale, fiind cunoscute două metode principale: - metoda Biorci [5] (necesită 3N puncte pentru determinarea probabilităţilor: 1N de pe curba de primă magnetizare şi 2N de pe ramura descendentă a ciclului major de histerezis, doar dacă ciclul se consideră simetric, altfel necesită 5N 29

33 puncte fiind necesar în plus 2N puncte de pe ramura ascendentă a ciclului major de histerezis); - metoda Mayergoyz (metoda necesită mai multe date experimentale decât metoda Biorci (2N 2 în loc de 3N), dar acurateţea este îmbunătăţită) Programul de modelare folosind metoda Preisach. Primul pas în programul de modelare a ciclului de histerezis folosind metoda Preisach a fost realizarea unui triunghi Preisach în spaţiul (a, b) care să aibă un anumit număr de puncte predefinite şi să creeze anumite ponderi în fiecare celulă a i b j, care să respecte proprietăţile modelului enumerate mai sus. Pentru acest pas, a fost realizat blocul din figura 39, folosind mediul de programare LabVIEW, în partea de schemă bloc. Fig. 39. Blocul care realizează triunghiul Preisach. În acest bloc, există două cicluri for pentru crearea spaţiului (a i, b j ), şi în fiecare element al celulelor este introdusă o valoare analitică a funcţiei Preisach. Rezultatul obţinut de la acest bloc este prezentat în figura 40. Fig. 40. Triunghiul Preisach obţinut la iesirea din primul block. Pe această figură, se poate observa distribuţia ponderilor Preisach şi aranjarea lor în funcţie de cele două variabile a şi b. Se poate observa şi faptul că este respectat principiul simetriei enunţat pentru modelul Preisach. La pasul următor trebuie să se realizeze bascularea domeniilor elementare în funcţie de o forma de variaţie a unei funcţii de intrare care corespunde variaţiei intensităţii câmpului magnetic H de o anumită formă. Pentru exemplificare, am folosit o funcţie în dinţi de ferăstrău atenuată in timp pentru a simula fenomenul de demagnetizare. Funcţia folosită pentru intrare poate să fie şi de altă formă (ex. sinusoidă). De asemenea, se poate introduce dintr-un fişier extern, forma de variaţie a intensităţii unui câmp magnetic măsurat experimental. Fig. 41. Forma de variaţie a intensităţii câmpului magnetic H. 30

34 Pentru cazul prezentat, funcţia folosită este prezentată în figura 41, ea fiind pusă în evidenţă pe un grafic obţinut din mediul LabVIEW. Această formă de undă este folosită ca intrare într-un bloc, prezentat în figura 42, care realizează bascularea domeniilor elementare de la plus la minus şi invers în funcţie de trecerea peste o anumită valoare a lui H. Tot la intrarea acestui bloc, se introduce şi triunghiul Preisach obţinut anterior. Fig. 42. Blocul de basculare a domeniilor elementare Preisach. Acest bloc are trei bucle for în care se realizează operaţiunile de basculare a domeniilor elementare. Prima buclă descompune forma de undă a lui H în elemente şi are rolul de a memora forma finală a triunghiului Preisach după ce se realizează bascularea domeniilor în celelalte bucle for. Celelalte două bucle for desfac triunghiul Preisach în domenii elementare şi basculează fiecare element condiţionat de valoarea lui H în fiecare domeniu. 31 Fig. 43. Triunghiul Preisach după parcurgerea întregului ciclu de demagnetizare. Triunghiul Preisach suferă modificări pe parcursul fiecărui pas care pot fi observate pe un grafic prezentat în figura 43. Folosind rezultatele obţinute din acest bloc şi însumănd valorile ponderilor se obţine o formă de undă pentru magnetizaţie. Introducând forma de variaţie a lui H şi forma de variaţie a lui B, se obţine un grafic cu forma ciclului de histerezis, prezentat în figura 44. Fig. 44. Ciclul de histerezis obţinut folosind programul realizat în LabVIEW.

35 Metoda Preisach modificată În acest subcapitol, este prezentată o metodă pentru calcularea ponderilor folosind doar ramura descendentă a ciclului major de histerezis. Pentru acest caz, mai întâi se construieşte un triungi Preisach care iniţial va avea doar valoarea + 1 în semispaţiul ha, hb şi în rest valoarea era 0. Fig. 45. Realizarea triunghiului Preisach. Acest triunghi iniţial va fi modificat în blocul prezentat în figura 46. La intrarea acestui bloc, se regăseşte triunghiul Preisach rezultat din blocul prezentat în figura 45 şi valorile datelor măsurate pentru ramura descendentă a ciclului major de histerezis. Înainte de a realiza calculul ponderilor din triunghiul Preisach, s-a făcut o interpolare a datelor de pe curba descendentă a ciclului de histerezis astfel încât numărul de date să corespundă cu valoarea numărului n de puncte ales pentru realizarea triunghiului Preisach. Operaţia de calculare a ponderilor este o operaţie iterativă care se realizează în n paşi. Folosind datele măsurate pentru inducţia magnetică s-a făcut împărţirea ponderilor astfel încât la fiecare pas se calculează ponderile pentru un întreg şir de valori ale lui h b şi toate valorile posibile ale lui h a. Considerând că ciclul de histerezis este simetric şi centrat în origine se pot considera aceleaşi valori şi pentru ramura ascendentă a ciclului de histerezis major. Fig. 46. Blocul de calcul al ponderilor din celulele triunghiului Preisach. La primul pas considerat în prima celulă se obţine valoarea rezultată prin scăderea din valoarea de saturaţie (B s = B0) a următorului punct (B1) de pe curba descendentă. În restul celulelor rămase, valoarea globală va fi B1. La următorul pas, prima celulă rămăne aşa cum s-a calculat anterior. Celulele de pe linia următoare (h b = ct.) pentru pasul următor vor avea valoarea globală B1-B2, iar 32

36 restul celulelor se consideră cu valoarea globală B2. Acest raţionament se repetă până la ajungerea valorii de saturaţie negativă. Printr-un procedeu de inversare se pot calcula ponderile aferente fiecărei celule. În blocul din figura 47 se realizează bascularea celulelor din triunghiul Preisach în funcţie de variaţia cîmpului obţinut în acest caz din valorile măsurate. Fig. 47. Blocul de basculare a triunghiului Preisach în funcţie de variaţia intensităţii câmpului magnetic. În figura 49, este prezentată forma ciclului de histerezis obţinut din datele măsurate prezentat si în capitolul 3. Fig. 49. Ciclul de histerezis obţinut din datele măsurate. În figura 50, este prezentat rezultatul modelării folosind această metodă de calcularea ponderilor Preisach. Fig. 50. Ciclul modelat prin metoda Preisach, folosind programul de calcul prezentat triunghiului Preisach astfel obţinut. Pentru o mai bună exemplificare, în figura 51, s-a realizat reprezentarea 3D a 33

37 Fig. 51. Reprezentarea 3D a triunghiului Preisach Se poate observa că metoda de modelare nu poate să urmărească exact curba măsurată dar alegând mai multe puncte pentru reprezentare se obţin curbe mai apropiate de acestea. Trebuie remarcat faptul că neajunsurile metodei Preisach se manifestă şi în acest caz, ciclul având anumite locuri predeterminate pentru terminarea ciclurilor. Acest mod de modelare este bun pentru un număr destul de mare de puncte de intrare. Neajunsul acesta poate fi depăşit folosind un program de interpolare între punctele pe care le obţinem de pe ramura descendentă Modelul Jiles-Atherton Modelul Langevin cu privire la paramagnetism Primul model microscopic al materialelor magnetice a fost prezentat de Langevin. Acesta consideră m momentul magnetic total al unui atom care include momentul de spin şi momentul dat de mişcarea orbitală. Dacă intensitatea câmpului magnetic este H, atunci energia potenţială se calculează folosind formula: w m = µ mh = µ mh cosθ (20) 0 0 unde: θ este unghiul făcut între vectorii: magnetizaţie şi intensitatea câmpului magnetic aplicat. Langevin a presupus că momentele magnetice atomice m din materialele paramagnetice nu interacţionează. Folosind statistica clasică Maxwell-Boltzmann probabilitatea ca un atom să aibă energia w m are expresia: wm kt p( w ) = e (21) m unde: k =1, J/K reprezintă constanta lui Boltzmann, iar T este temperatura absolută Aspecte teoretice cu privire la modelul Jiles-Atherton Modelul propus de D. C. Jiles şi D. L. Atherton în 1983 prezintă o serie de ecuaţii pentru determinarea magnetizării materialelor feromagnetice ţinând cont de principiile fizicii. După aceasta modelul a fost îmbunătăţit continuu de alţi autori. Acest model este folosit pe scară largă pentru realizarea ciclurilor de histerezis fiind necesar a se calcula sau identifica doar cinci parametri. Se pare că acest mod de identificare a parametrilor este şi marele neajuns al acestei metode. S-a încercat identificarea parametrilor pe baza datelor măsurate 34

38 prin identificare. Ideal este să se găsească un sistem matematic care să calculeze parametrii astfel încât să se obţină un minim al erorilor între curba măsurată şi cea simulată. În modelul Jiles-Atherton sunt reprezentate două mecanisme care stau la baza magnetizării: - deplasarea pereţilor domeniilor; - creşterea domeniilor care se află pe direcţia câmpului magnetic aplicat în defavoarea celor care sunt orientate în alte direcţii. În modelul Jiles-Atherton magnetizaţia este compusă din doi termeni: magnetizaţia reversibilă şi ireversibilă. M = M irr + M rev (22) Componenta ireversibilă este dată de deplasarea ireversibilă a pereţilor domeniilor. Magnetizaţia reversibilă este dată de creşterea reversibilă a domeniilor. Ciclul de histerezis poate fi desenat având la bază echilibrul densităţii de energie în interiorul materialului. w = w mag + w hys (23) Densitatea de energie care este generată de deplasarea ireversibilă a pereţilor domeniilor, poate fi calculată folosind formula: dw = µ k dm bloh 0 irr (24) unde: k - este un coeficient de pinning. În materialele feromagnetice domeniile învecinate interacţionează, de aceea s-a introdus noţiunea de câmp magnetic efectiv care acţionează asupra domeniilor din unitatea de volum. În consecinţă şi magnetizarea va fi considerată tot o funcţie de intensitatea câmpului magnetic efectiv considerănd pierederea de energie generată de deplasarea ireversibilă a pereţilor domeniilor: dm irr dwbloh = µ 0 k δ dh e (25) dh e unde: δ = sign( dh / dt). e Modificarea magnetizaţiei ireversibile poate fi obţinută din calculul energiilor. Energia consumată de un material se împarte în două componente: energia de schimb şi energia pierdută prin histerezis. dm µ 0 M an ( H ) dh = µ 0 M ( H ) dh + µ 0 k δ dh (26) dh de aici rezultă: dm M an ( H ) = M ( H ) + k δ (27) dh Dacă în timpul procesului de magnetizare, magnetizaţia anhisteretică are valori mai mici decât magnetizaţia ireversibilă aceasta duce la o solutie imposibilă din punct de vedere fizic, ca şi cănd pereţii domeniilor nu se pot deplasa. Soluţia ecuaţiei diferenţiale este: 1 ( M M ) dh daca M > M an irr e an irr dm = irr k δ (28) 0 daca M < M an irr 35

39 Magnetizaţia reversibilă poate fi luată în considerare introducând coeficientul c. Ecuaţia prin care se defineşte este: M = c( M M ) (29) rev an irr De aici rezultă magnetizaţia totală: M = cm + ( 1 c) M an irr (30) Dacă se introduce valoarea lui M în ecuaţia diferenţială se obţine 1 c ( M M ) dh + cdm daca M > M an irr e an an irr dm = k δ (31) cdm daca M < M an an irr Fiecare pas poate fi determinat din valoarea anterioară a magnetizaţiei folosind formula: 1 ( M M ) dh + cdm daca M > M an j e an an irr dm = j+ k δ (32) 1 cdm daca M < M an an irr Aceasta formulă este folosită pentru implementarea numerică a modelului propus de Jiles şi Atherton. Din literatura de specialitate sunt propuse mai multe metode de identificare a parametrilor dar se pare că nici o procedură nu este prea uşoară, necesitînd date de intrare destul de greu accesibile şi multe caracteristici experimentale. Procedura de identificare a parametrilor pornind de la aceste date iniţiale a fost descrisă în [15] dar nu este o procedură uşoară şi de aceea nici rezultatul nu este pe măsura aşteptărilor, ciclul obţinut având abateri mari de la forma obţinută pe cale experimentală. Din acest motiv am optat pentru o procedură de identificare a parametrilor prin calcularea erorii dintre curba obţinută pe cale experimentală şi cea modelată prin metoda Jiles-Atherton Programul de modelare folosind modelul Jiles-Atherton Modelul Jiles-Atherton a fost implementat folosind mediul de programare LabVIEW din motivele enumerate antetrior. În figura 52 este prezentat programul realizat în LabVIEW. Din figura 52, se poate observa că modelul a fost implementat într-un ciclu for pentru a realiza calculul magnetizaţiei la fiecare pas, şi să se poată implementa ecuaţiile (32) pentru recurenţă. Am optat pentru utilizarea unor butoane pentru varierea parametriilor modelului: a, α, k şi c, pentru a putea observa mai bine ce se întîmplă cu ciclul modelat prin varierea parametrilor de intrare (figura 53). În figura 53 sunt prezentate forme de undă pentru H şi M şi ciclul de histerezis sub forma unui grafic M(H). 36

40 Fig. 52. Schema bloc a programului LabVIEW de modelare Jiles-Atherton. Fig. 53. Panoul frontal al programului LabVIEW de modelare Jiles-Atherton Modelul analitico-geometric Aspecte teoretice privind modelarea analitico-geometrică În concordanţă cu modelul prezentat în [38] [40], ciclul de histerezis major poate fi modelat şi cu ajutorul arcelor de cerc şi segmentelor de dreaptă într-o 37

41 manieră satisfăcătoare. Pentru realizarea modelului s-au făcut câteva ipoteze simplificatoare cu privire la ciclul de histerezis: ciclul de histerezis este considerat simetric şi centrat în origine. Pornind de la aceste ipoteze simplificatoare se poate construi una din ramurile ciclului, cealaltă fiind obţinută automat prin inversarea coordonatelor câmpului şi a valorilor inducţiei magnetice sau magnetizaţiei, in funcţie de ce ciclu se modelează. După cum se poate observa în figura 54, pentru modelarea ramurii descendente este necesar să cunoaştem câteva puncte de referinţă după cum urmează: 1 punctul de saturaţie din cadranul I caracterizat de valoarea câmpului magnetic de saturaţie H S şi inducţia magnetică B S şi panta tangentei la ciclu în acest punct; 2 punctul 2 de legătură între două arce de cerc, caracterizat de valorile H 2 şi B 2 ; 3 inducţia remanentă B r (unde se înţelege implicit că H r = 0); 4 intensitatea câmpului magnetic coercitiv H c (unde se înţelege implicit că B c = 0); 5 coordonatele punctului 5 unde se începe înclinarea ciclului de histerezis; 6 punctul 6 de legătură a doua arce de cerc, caracterizat de coordonatele H 6, B 6 ; 7 punctul de saturaţie negativă, caracterizat de -H S, -B S. B[T] H[A/m] Fig. 54. Punctele de referinţă considerate pentru modelarea ciclului de histerezis În plus faţă de lucrările citate în care se utilizează 11 parametri am considerat că pentru materialele magnetice moi, o parte din aceşti parametri pot fi deduşi din condiţiile de tangenţă ale arcurilor şi segmentelor de dreaptă şi am putut face restrângerea numărului de parametri la doar 9. 38

42 Modelarea analitică a ciclurilor minore şi de întoarcere de ordiul întâi Pentru modelarea acestor curbe se fac mai întâi presupunerile următoare: - în toate cazurile punctele de coordonate H şi B descriu o curbă în interiorul curbei majore din planul H0B. - domeniul de definiţie al funcţiei f:h B este limitat de ciclul de histerezis. Există mai multe posibilităţi de definire a buclei majore. Reprezentarea buclei majore pornind de la un număr foarte mare de date de intrare nu este avantajoasă deoarece programarea este greoaie. De aceea, se porneşte de la un set redus de date de intrare şi se face o aproximare analitică pentru ramurile buclei majore aşa cum s-a arătat anterior. Programul poate fi folosit şi la ciclurile majore măsurate pe diferite aparate industriale, dar trebuie să existe un număr suficient de date de intrare astfel încât să avem o precizie cât mai bună. Pentru a stabili o relaţie de calcul se vor face următoarele ipoteze: 1. curba majoră de histerezis se presupune simetrică faţă de originea axelor. 2. fiecare ramură poate fi exprimată prin expresii algebrice în funcţie de datele de intrare. 3. fiecare ramură a unei curbe minore va fi exprimată ca o funcţie ce depinde de ramura majoră 4. variaţia lui H va fi monotonă pe fiecare ramură, excepţie făcând punctele de întoarcere 5. curbele unui set de curbe descendente sau ascendente de ordinul întâi nu se intersectează una cu alta. 6. curba cea mai mare şi cea mai mică a curbelor de tranziţie trebuie să tindă la curba majoră respectivă. 7. nici o ramură a unui ciclu minor nu trece peste curba majoră Expresia generală a funcţiei reprezentând orice ramură În continuare se va adapta modul de reprezentare prezentat în [38] la cazul studiat în lucrarea de faţă, respectiv materiale magnetice moi. Se doreşte reprezentarea ciclurilor de histerezis reprezentând inducţia magnetică în funcţie de intensitatea câmpului magnetic B(H). Vom folosi următoarele simboluri: H intensitatea câmpului magnetic; B - inducţia magnetică; B a ordonata oricărui punct ascendent al buclei majore; B d ordonata oricărui punct descendent al buclei majore; φ a, φ d funcţii auxiliare de reprezentare pentru ramurile ascendente şi descendente, în expresia generală; H 1, B 1 coordonatele punctului iniţial în planul H0B când valoarea lui H creşte, sau coordonatele punctului final în planul H0B, când valoarea lui H scade; pe bucla majoră avem: H a1, B a1, H d1, B d1 ; H 2, B 2 coordonatele punctului iniţial în planul H0B când valoarea lui H descreşte, sau coordonatele punctului final în planul H0B, când valoarea lui H creşte; pe bucla majoră avem: H a2, B a2, H d2, B d2 ; 39

43 H s valoarea de saturaţie a intensităţii câmpului magnetic; B s valoarea de saturaţie a inducţiei magnetice. a) b) Fig. 55. Modul de realizare a curbelor minore: a) descendentă b) ascendentă. Expresia inducţiei magnetice B poate fi exprimată prin una din formulele: B = B a +(B 1 B a1 ) φ a (H), H [-H s, H s ] (33) B = B d +(B 1 B d1 ) φ d (H), H [-H s, H s ] (34) Pentru ca ecuaţiile să fie satisfăcute trebuie să avem: φ a (H 1 ) = 1 (35) φ a (H s ) = 0 (36) De fapt este necesară doar una din cele două ecuaţii, deoarece bucla majoră este simetrică faţă de originea axelor de coordonate Aproximarea expresiei funcţiei auxiliare Examinăm cazul ramurii ascendente. Cea mai simplă metodă [38] va lua în considerare variaţia liniară a funcţiei auxiliare pentru variaţia de la H 1 la H s. φ a = a + bh, (37) unde a şi b sunt constante. Deci: B 1 = B a1 +(B 1 B a1 )(a + bh 1 ) (38) de aici rezultă a + bh 1 = 1 B s = B a2 +(B 2 B a2 )(a + bh s ) (39) B a2 = B s (40) rezultă a + bh s = 0 Rezolvând sistemul de ecuaţii: a + bh 1 = 1 (41) a + bh s = 0 (42) obţinem următoarele valori H 1 s a = ; b = (43) H H H H 1 s 1 s de aici: 40

44 H H H H s s ϕ ( ) a = ϕa H = + = (44) H H H H H H 1 s 1 s s 1 sau dacă introducem funcţiile parţiale de reprezentare, se obţine: ϕ H H H H a0 s s 1 ϕ a = ; ϕa 0 = ; ϕ a1 = (45) ϕ H H a1 s s Expresia calculată a funcţiilor reprezentând ramurile ascendentă şi descendentă Folosind simbolurile de mai sus, funcţiile pentru ramurile ascendente şi descendente sunt următoarele: B = B a +(B 1 B a1 ) φ a (H), H [-H s, H s ] (46) B = B d +(B 2 B d2 ) φ d (H), H [-H s, H s ] (47) Procedura de mai sus poate fi dezvoltată în anumite cazuri luând în considerare punctele de reversare ale curbelor minore din interiorul curbei majore. Vom considera cazul în care punctul de pornire de coordonate H 1, B 1 este plasat pe ramura descendentă a buclei majore de histerezis. Când mărimea H este crescută vom ajunge în punctul H 2, B 2. Vom considera creşterea H 2 - H 1 destul de mică astfel încât după descreştere vom ajunge aproape de punctul de pornire. Variaţia mărimilor magnetice de stare fiind mică, putem considera că sunt reversibile. Bucla astfel descrisă în planul H0B tinde la un segment de dreaptă, pe măsură ce diferenţa H 2 - H 1 scade. Acelaşi mod de construcţie se poate folosi pentru construcţia oricărei bucle minore, chiar dacă diferenţa H 2 - H 1 nu este aşa de mică. Se vor obţine următoarele formule: B = B a +(B 1 B a1 ) φ a (H), H [H 1, H s ], (48) H H s ϕ ( H ) a = ϕa = (49) H s H 1 B = B d +(B 2 B d2 ) φ d (H), H [H 1, H 2 ] (50) H H1 ϕ ( ) d = ϕd H = (51) H H 2 1 Vom aplica formula (34) pentru curbele ascendente din punctul 1 în punctul 2, care se presupune că este un punct de întoarcere. Din punctul 2 se va aplica formula (36) pentru ramura descendentă până în punctul 1, obţinând astfel o curbă închisă. Dacă considerăm că valoarea intensităţi câmpului magnetic H descreşte de la valoarea H 2 din punctul 2 până la valoare H 3 într-un punct 3 denumit punct de reversare curba descrisă va fi aceeaşi ca şi cea care porneşte din H 2 la H 1. Dacă mai departe creştem valoarea lui H de la H 3 la H 2 curba obţinută este diferită de cea obţinută crescând valoarea câmpului de la H 1 la H 2. 41

45 Fig 56. Bucla minoră realizată luând în considerare punctele de reversare Expresia modificată a funcţiei auxiliare. Pentru a evidenţia particularităţile ciclurilor minore s-a considerat un material cu intensitatea câmpului magnetic coercitiv destul de mare pentru ca acele cicluri să poată apărea în mod clar pe figură. Utilizarea formulelor (49) şi (51) a arătat că pentru curbele de tranziţie de ordinul întâi, apar anumite discrepanţe faţă de cele experimentale. Pentru a îmbunătăţi precizia, expresia următoare asigură o acurateţe mai mare: g H + H s ϕ ( ) d = ϕd H = H (52) s unde: g este o funcţie de coordonate H şi B. Cea mai bună soluţie este cea în care exponentul g este funcţie de o singură coordonată, şi anume H. g = g 0 + a g 1 ; H > H u ; H u [H 1, H s ] (53) ν H H u g 1 = ; ν > 1 (54) bh s g = g 0 ; H H u. (55) Valorile mărimilor din relaţia de mai sus pot fi alese verificând îndeplinirea condiţiilor 4-8 expuse la începutul subcapitolului Programul LabVIEW pentru modelarea ciclului de histerezis În figura 57 este prezentat programul de modelare utilizând programul LabVIEW. Pentru rezolvarea ecuaţiilor analitice ale arcelor de cerc şi segmentelor de dreaptă s-a folosit o fereastră de script MatLab. S-a utilizat programul LabVIEW datorită flexibilităţii acestuia de a îngloba scripturi din MatLab şi a uşurinţei cu care se pot reprezenta datele experimentale stocate în fişiere text. Se poate observa că, la intrare în blocul de script MatLab, sunt 10 parametri de intrare dintre care 9 parametri sunt datele de intrare menţionate anterior şi al zecelea parametru este un pas care dă numărul de puncte necesare pentru reprezentare. 42

46 Fig. 57. Programul LabVIEW utilzat pentru modelarea analitică prin arce de cerc şi segmente de dreaptă. Pentru a putea observa cât de bine aproximează acest program datele experimentale s-a realizat suprapunerea valorilor obţinute prin modelare cu valorile experimentale şi rezultatul se poate vedea în figura 58. Trebuie remarcat faptul că cele două cicluri se suprapun destul de bine în partea de saturaţie, existând neconcordanţe la curburile mai bruşte din jurul valorii de remanenţă. Aceste erori pot fi minimizate dacă se vor alege în mod optimizat valorile punctului 2 şi 6 dar diferenţa ar fi prea mică pentru a putea fi observată. Fig. 58. Comparaţie între curba de histerezis modelată şi cea obţinută pe cale experimentală. 43