Program postuniversitar de conversie profesională pentru cadrele didactice din mediul rural. Forma de învăţământ ID - semestrul III MATEMATICĂ III

Transcription

1 Program postuniversitar de conversie profesională pentru cadrele didactice din mediul rural Forma de învăţământ ID - semestrul III MATEMATICĂ III Mihail ROŞU 2006

2 Ministerul Educaţiei şi Cercetării Proiectul pentru Învăţământul Rural PEDAGOGIA ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Matematică III Mihail ROŞU 2006

3 2006 Ministerul Educaţiei şi Cercetării Proiectul pentru Învăţământul Rural Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al Ministerului Educaţiei şi Cercetării ISBN ; ISBN

4 Cuprins CUPRINS Introducere... 3 I. Metoda figurativă Obiectivele unităţii de învăţare Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi diferenţa lor Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi raportul lor Aflarea a două necunoscute când se dau diferenţa şi raportul lor Alte categorii de probleme rezolvabile cu metoda figurativă Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Lucrare de verificare Bibliografie II. Metoda comparaţiei Obiectivele unităţii de învăţare Metoda comparaţiei Eliminarea unei necunoscute prin scădere Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Bibliografie III. Metoda falsei ipoteze Obiectivele unităţii de învăţare Metoda falsei ipoteze Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Bibliografie IV. Metoda mersului invers Obiectivele unităţii de învăţare Metoda mersului invers Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare Lucrare de verificare Bibliografie V. Probleme de mişcare Obiectivele unităţii de învăţare Probleme de mişcare Distanţă, viteză, timp Mobile care se deplasează în acelaşi sens Mobile care se deplasează în sens contrar Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Bibliografie Proiectul pentru Învăţământul rural 1

5 Cuprins VI. Probleme de logică Obiectivele unităţii de învăţare Probleme de logică Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare Lucrare de verificare Bibliografie VII. Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice Obiectivele unităţii de învăţare Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice Probleme ce conţin tabele Probleme ce conţin diagrame Probleme ce conţin grafice Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Bibliografie VIII. Elemente de teoria probabilităţilor Obiectivele unităţii de învăţare Elemente de teoria probabilităţilor Evenimente Probabilitate Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Lucrare de verificare Bibliografie IX. Probleme nonstandard Obiectivele unităţii de învăţare Probleme nonstandard Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare Bibliografie Bibliografie minimală Proiectul pentru Învăţământul rural

6 Introducere INTRODUCERE Cursul de faţă îşi propune formarea şi dezvoltarea capacităţii de a rezolva probleme de matematică cu metode aritmetice, exersarea priceperii de a recunoaşte clasa căreia îi aparţine o problema tipică dată, precum şi familiarizarea cu tipologia problemelor de matematică ale ciclului primar. Concepţia care a stat la baza structurării modulului a constat în prezentarea gradată a categoriilor de probleme, în ordinea descrescătoare a frecvenţei utilizării acestora în matematica şcolară a claselor I IV şi a perspectivelor previzibile de abordare a unor noi tipuri de probleme ce pot fi întâlnite de şcolarii mici. S-a urmărit ca cititorul să-şi formeze capacitatea de a stabili metoda de rezolvare adecvată unei probleme date, ca şi priceperea de a aplica algoritmul corespunzător, conştientizând şi argumentând fiecare pas al acestuia, în perspectiva activităţii directe cu elevii, în lecţiile de matematică. Conţinutul său este structurat pe probleme tipice clasice (rezolvabile prin metoda figurativă, metoda comparaţiei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers şi probleme de mişcare), probleme ce tind să devină clasice prin includerea în matematica şcolară a unor noi zone (logică, tabele,diagrame şi grafice, probabilităţi şi probleme nonstandard). Parcurgerea cursului de faţă presupune o învăţare activă accentuată, ce urmăreşte cultivarea capacităţii de a gândi logic, de a construi raţionamente corecte, adecvate contextului oferit de probleme şi de exersare a calităţilor necesare unui rezolvitor de probleme matematice. După parcurgerea şi asimilarea cursului, aşteptăm, la cititor, apariţia următoarelor competenţe specifice: identificarea raţionamentelor şi algoritmilor necesari în rezolvarea aritmetică a unor tipuri de probleme matematice; operarea cu strategii rezolutive adecvate în contextul rezolvării problemelor; manifestarea unor atitudini pozitive faţă de activitatea de rezolvare a problemelor. Cursul reprezintă o apropiere de activitatea matematică specifică institutorului sau profesorului pentru învăţământul primar, care, pentru a-i conduce pe elevi în rezolvarea problemelor, trebuie să dispună el însuşi de capacităţile, aptitudinile şi atitudinile corespunzătoare. Finalizarea cursului presupune şi rezolvarea a 4 lucrări de verificare, ce se află la sfârşitul unitaţilor de învăţare 1 (Metoda figurativă), 4 (Metoda mersului invers), 6 (Probleme de logică) şi 8 (Elemente de teoria probabilităţilor). Proiectul pentru Învăţământul rural 3

7 Introducere Lucrările de verificare, rezolvate, vor fi transmise tutorelui într-o modalitate stabilită de comun acord ( , probă scrisă etc). Punctajul propus pentru rezolvarea fiecărei lucrări se află menţionat după enunţul subiectelor. Ponderea acestor lucrări de verificare, ce reprezintă evaluarea continuă, este de 50% din evaluarea de bilanţ. 4 Proiectul pentru Învăţământul rural

8 Metoda figurativă UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1 Metoda figurativă Cuprins 1.1. Obiectivele unităţii de învăţare Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi diferenţa lor Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi raportul lor Aflarea a două numere când se dau diferenţa şi raportul lor Alte categorii de probleme rezolvabile cu metoda figurativă Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Lucrare de verificare Bibliografie Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda figurativă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător; - să descopere mai multe căi de rezolvare (diferite total sau parţial) pentru problemele de acest tip. Proiectul pentru Învăţământul rural 5

9 Metoda figurativă 1.2. Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi diferenţa lor recunoaşte rea tipului de problemă algoritmul rezolvării temă instant Dacă în problemă se dau suma (cât au împreună) şi diferenţa (cu cât este mai mare una decât cealaltă) a două mărimi şi se cere aflarea acestora, atunci problema este rezolvabilă prin metoda figurativă. Se reprezintă convenabil (de cele mai multe ori, prin segmente) cele două mărimi. Se urmăreşte ca cele două mărimi să devină egale. Acest fapt este realizabil pe două căi: presupunând că ambele devin egale cu cea mare. Dacă alegem prima variantă, atunci paşii următori ai algoritmului sunt: Observă că luând ceva de la cea mare, suma lor se micşorează cu acel ceva (care este difernţa celor două). Deci, scade din sumă, diferenţa (S - D). Observă că au diferit două mărimi egale (cu cea mică) şi atunci suma lor (atemţie: S D!) se împarte la 2 pentru a găsi una dintre ele (cea mică!). deci, (S - D) : 2. Cealaltă mărimese poate afla sau prin adăugarea diferenţei la valoarea mărimii aflate (cea mică) sau scăzând din suma iniţială valoarea mărimii aflate. Stabileşte paşii algoritmului în situaţia că ambele mărimi au devenit egale cu cea mare. generalizare problemă rezolvată Dacă S şi D reprezintă suma, respectiv diferenţa a două necunoscute n şi N, atunci aceste necunoscute se determină astfel: n = (S - D) : 2 şi N = (S + D) : 2 O pamblică lungă de 10 m trebuie tăiată în două părţi, astfel încât una dintre ele să aibă cu 2 m mai mult decât cealaltă. Câţi metri va avea fiecare parte? Rezolvare 6 Proiectul pentru Învăţământul rural

10 Metoda figurativă Să figurăm datele problemei, reprezentând cele două segmente (ambele aşezate cu câte un capăt pe o aceeaşi verticală) Pentru a obţine părţi egale cu cea mică, ar trebui scoşi de la cea mare, 2m. Situaţie în care suma s-ar micşora şi ea cu 2, iar imaginea ar deveni: Ar rămâne două părţi egale, care au împreună 10 2 = 8 (m). Deci, una dintre ele (cea mai mică!) are 8 : 2 = 4 (m). Lungimea celei mari este = 6 (m) sau 10 4 = 6 (m). R: 4m; 6m. Rezolvă problema, presupunând că ambele părţi devin egale cu cea mare. temă instant observaţii Atunci când problema se referă la mărimi discrete (mulţimi de obiecte concrete) se pot folosi, pentru figurare, altceva decât segmente: cerculeţe, ovale, simboluri diverse, inclusiv literale. Este posibilca problema să conţină mai mult de două mărimi: tipul de raţionament rămâne acelaşi. Uneori, enunţul problemei nu conduce direct la algoritmul prezentat, ci este necesară efectuarea unor paşi, care fac problema reductibilă la tipul analizat. Proiectul pentru Învăţământul rural 7

11 Metoda figurativă Test de autoevaluare 1 Rezolvă problemele: 1. Trei copii au cules împreună 100 de ciuperci. Ştiind că al doilea a cules cu 15 ciuperci mai multe decât primul, dar cu 10 mai puţine decât al treilea, să se afle câte ciuperci a cules fiecare copil. 2. Soţul şi soţia au câştigat împreună, într-o lună, 1550 RON. După ce soţul contribuie cu 350 RON la cheltuielile comune, iar soţia cu 200RON, ambii rămân cu aceeaşi sumă. Ce venit a avut fiecare în acea lună? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. 8 Proiectul pentru Învăţământul rural

12 Metoda figurativă 1.3. Aflarea a două necunoscute când se cunosc suma şi raportul lor recunoaşterea tipului de problemă temă instant Dacă în problemă se dau suma (cât au împreună) şi raportul (de câte ori este mai mare una decât cealaltă) a două mărimi şi se cere aflarea acestora, atunci problema este rezolvabilă prin metoda figurativă. - Se reprezintă convenabil (de cele mai multe ori, prin segmente) cele două mărimi. - Se pune în evidenţă raportul dat (a părţii egale pentru una dintre mărimi b părţi egale pentru cealaltă). De multe ori, când se precizează de câte ori este mai mare una dintre mărimi decât cealaltă, se consideră că cea mai mică reprezintă o parte şi se determină numărul de părţi egale de pe cealaltă. - Se calculează numărul total de părţi egale ce formează cele două mărimi (a + b). - Se află valoarea uneia dintre părţile egale, împărţind suma la numărul total de părţi egale (S : (a + b)). - Se află valorile necunoscute ale mărimilor, ţinând seama de numărul părţilor egale ce le compun (S : (a + b) x a, respectiv (S : (a + b)x b). Am aflat una dintre cele două necunoscute. Găseşte o cale, diferită de cea prezentată mai sus, pentru determinarea celei de a doua necunoscute. generalizare Atenţie! Nu se simplifică! Dacă S reprezintă suma, iar a/b (cu a<b) raportul a două necunoscute n. şi N, atunci aceste necunoscute se determină astfel: n = S a a + b şi N = S b. a + b problemă rezolvată Doi copii au împreună 140 de timbre. Unul dintre ei are ¾ din cât are celălalt. Câte timbre are fiecare copil? Rezolvare Să figurăm datele problemei, reprezentând cele două necunoscute (numărul de timbre ale fiecărui copil) prin segmente. Proiectul pentru Învăţământul rural 9

13 Metoda figurativă Întrucât una dintre necunoscute reprezintă 3 pătrimi din cealaltă, segmentul corespunzător acesteia va avea 3 părţi egale, în segmentul corespunzător celelalte necunoscute, 4 părţi egale. 140 Numărul părţilor egale este = 7. Cele 7 părţi egale reprezintă 140 de timbre. Deci, valoarea uneia dintre părţile egale este 140 : 7 = 20 (timbre). Primul copil are 3 x 20 = 60 (timbre), iar cel de al doilea 4 x 20 = 80 (timbre). R: 60 timbre, 80 timbre. temă instant Am aflat că primul copil are 60 de timbre. Află numărul de timbre al celui de al doilea copil, pe o altă cale decât cea prezentată mai sus. Test de autoevaluare 2 Rezolvă problemele: 1. Trei copii au strâns împreună 140 de nuci. Ştiind că al doilea a strâns de 4 ori mai multe decât primul şi de două ori mai multe decât al treilea, să se afle câte nuci a strâns fiecare copil. 2. La un chioşc sunt 230 reviste şi ziare. După ce s-au vândut 120 ziare şi 50 de reviste, ziare au rămas de două ori mai multe decât reviste. Câte ziare şi câte reviste erau la început? 10 Proiectul pentru Învăţământul rural

14 Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. Metoda figurativă 1.4. Aflarea a două necunoscute când se cunosc diferenţa şi raportul lor recunoaşterea tipului de problemă algoritmul rezolvării temă instant Dacă în problemă se dau diferenţa şi raportul a două mărimi şi se cere aflarea acestora, atunci problema este rezolvabilă prin metoda figurativă. - Se reprezintă convenabil cele două mărimi. - Se pune în evidenţă raportul dat a/b(a<b), figurând pe unul dintre segmente a părţii egale, iar pe cealaltă, b părţi egale. - Se calculează diferenţa dintre numărul de părţi egale ale fiecărei necunoscute (b - a). - Se află valoarea uneia dintre părţile egale, împărţind diferenţa necunoscutelor la diferenţa părţilor (D : (b - a)). - Se află valorile necunoscute ale mărimilor, ţinând seama de numărul părţilor egale ce le compun (D. (b - a) x a, respectiv D : (b -a) x b). Am aflat că una dintre cele două necunoscute. Găseşte o cale, diferită de cea prezentată mai sus, pentru determinarea celei de a doua necunoscute. Proiectul pentru Învăţământul rural 11

15 Metoda figurativă generalizare problemă rezolvată Dacă D reprezintă diferenţa, necunoscute se determină astfel: D D n = a şi N = b b a b a a b (cu a<b) raportul a două Mama a cumpărat cu 6 kg mai multe prune decât gutui. Gutuile cântăresc de 4 ori mai puţin decât prunele cumpărate. Ce cantitate de prune şi ce cantitate de gutui a cumpărat? Rezolvare Să figurăm datele problemei, reprezentând printr-un segment de lungime arbitrară cantitatea de gutui (cea mică). Atunci, segmentul ce reprezintă cantitatea de prune va avea lungimea de 4 ori mai mare şi va fi cu 6 mai mult decât celălalt I I I I I I I 6 Constatăm că diferenţa părţilor egale din cele două mărimi este 4 1 = 3. Cum aceste 3 părţi egale reprezintă 6 kg, rezultă că valoarea unei părţi egale este 6(kg) : 3 = 2 (kg). Prima mărime (cantităţi de gutui) are o singură parte egale, deci chiar 2 Kg. A doua mărime (cantitatea de prune), este de 4 ori mai mare, deci 4 x 2 kg = 8 kg. R: 8kg; 2kg. temă instant Am aflat cantitatea de gutui. Găseşte o cale, diferită de cea prezentată mai sus, pentru determinarea cantităţii de prune. 12 Proiectul pentru Învăţământul rural

16 Metoda figurativă Test de autoevaluare 3 Rezolvă problemele: 1. Vârsta tatălui este de 5 ori mai mare de cât a fiului. Dacă tatpl avea 24 de ani la naşterea fiului, să se afle câţi ani are acum, fiecare dintre ei. 2. Într-o cutie sunt bile roşii şi bile albastre. Dacă se scot 10 bile roşii şi 2 bile albastre, numărul celor albastre este de 2/3 din numărul celor roşii, acestea fiind cu 12 mai multe decât cele albastre. Câte bile de fiecare culoare au fost, la început, în cutie? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. Proiectul pentru Învăţământul rural 13

17 Metoda figurativă 1.5. Alte categorii de probleme rezolvabile cu metoda figurativă forţa metodei figurative exemplul 1 Metoda figurativă conţine în ea o întreagă strategie necesară rezolvitorului de probleme matematice. După cunoaşterea enunţului unei probleme, în majoritatea cazurilor, rezolvatorul are tendinţa să-şi figureze datele acesteia, pentru a intui mai bine contextul şi relaţiile dintre date, dintre acestea şi întrebarea problemei. Este nevoia justificată de apelare la intuiţie pentru familiarizarea cu problema. Din acest motiv, în afara celor trei tipuri clasice, prezentate anterior, există şi alte clase de probleme rezolvabile cu această metodă. Să exemplificăm! Dacă se aşează câte un elev întro bancă, rămân 9 elevi în picioare; dacă se aşează câte doi elevi într-o bancă, rămân 3 bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci erau? Rezolvare Să încercăm să ne imaginăm filmul indus de enunţul problemei, figurând informaţiile oferite. Vom reprezenta o bancă prin şi un elev prin O. Prima imagine reprezintă băncile din clasă, câte un elev în fiecare bancă şi 9 elevi în picioare. O O O... O O O O..O 9 elevi Pentru a ajunge la informaţia finală (câte 2 elevi într-o bancă şi 3 bănci libere), să ne conturăm următoarea imagine, în care 3 bănci sunt libere. Cei 3 elevi ce se aflau în aceste bănci vor fi trimişi lângă ceilalţi 9, aflaţi deja în picioare. O O O O O În ultima imagine, apar cele 3 bănci libere, iar în fiecare dintre celelalte trebuie să se mai aşeze 2 (elevi ce ar trebui să fie în fiecare bancă) 1 (elev ce se află deja în fiecare dintre aceste bănci) = 1 (elev). În câte bănci se pot aşeza cei = 12 elevi aflaţi în picioare? În 12 : 1 = 12 bănci. Deci, vor fi 12 bănci ocupate cu 2 elevi şi 3 bănci libere. Adică, în clasă erau 12 x 2 = 24 elevi şi = 15 bănci. R: 24 elevi; 15 bănci Într-o curte sunt raţe şi purcei, în total 13 capete şi 32 picioare. 14 Proiectul pentru Învăţământul rural

18 Metoda figurativă exemplul 2 Câte raţe şi câţi purcei sunt? Rezolvare Să figurăm cele 13 animale, prin nişte ovale.. Să reprezentăm apoi picioarele. Oricum, fiecare animal are cel puţin două picioare.. S-au folosit în felul acesta 13 x 2 = 26 picioare. Au rămas disponibile, = 6 picioare. Deoarece un purcel are cu 4 2 = 2 picioare mai mult decât o raţă, adăugăm câte două picioare la un număr de animale..... Se mai pot adăuga încă două picioare la un număr de 6 : 2 = 3 animale, deci sunt 3 animale cu 4 picioare (purcei) şi atunci, 13 3 = 10 sunt animale cu două picioare (raţe). R: 10 raţe; 3 purcei. exemplul 3 Într-un vas cu fructe sunt de 3 ori mai multe prune decât mere. Doi copii au fiecare câte un măr şi o prună. Rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere. Câte prune şi câte mere erau la început în vas? Rezolvare Să figurăm un măr prin litera M şi o prună, prin litera P (dacă aptitudinile pentru desen ne permit, putem reprezenta imaginile pentru măr şi prună). Prima informaţie din enunţ: sunt de 3 ori mai multe prune decât mere. Aceasta înseamnă că fiecărui măr îi corespund 3 prune, deci am putea forma grupe conţinând fiecare 1 măr şi 3 prune. P P P P P P P P M M M M P P P P Câte astfel de grupe se por forma? Proiectul pentru Învăţământul rural 15

19 Metoda figurativă Nu ştim! (Dacă am ştii, ar însemna că ştim numărul de mere, iar numărul prunelor prunelor de trei ori mai mare). Ce se întâmplă în continuare? Doi copii iau fiecare câte un măr. P P P P P P P P M M P P P P şi o prună: P P P P P P P P M M P P. Rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere. Aceasta înseamnă că fiecărui măr ar trebui să-i corespundă căte 4 prune. Ce avem acum? Grupe formate din câte 1 măr şi 3 prune (nu ştim câte!) şi 2 x (3-1) prune (din cele 2 grupe destrămate ). Ce trebiue să facem pentru ca în fiecare grupă să avem 1 măr şi 4 prune? Să aşezăm în fiecare grupă rămasă 4 3 = 1 prună. Câte prune disponibile avem? 4. La câte grupe se aşează, câte una, cele 4 prune? Evident, la 4 : 1 = 4 grupe. Deci, numărul grupelor rămase este 4. Căte grupe au fost la început? = 6 grupe. Deci, erau 6 mere şi 3 x 6 = 18 prune. R: 6 mere; 18 prune Test de autoevaluare 4 Rezolvă problemele: 1. Elevii unei clase stau câte 2 în bancă şi o bancă este liberă. Pentru a se fotografia cu învăţătoarea, se aşează cu toţii câte trei într-o bancă. Au rămas 4 bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci erau în clasă? 2. Câţi elevi sunt într-o clasă, ştiind că, dacă se formează grupe din câte o fată şi un băiat, rămân 4 fete, iar dacă se formează grupe din câte două fete şi un băiat, rămân 3 băieţi? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. 16 Proiectul pentru Învăţământul rural

20 Metoda figurativă Proiectul pentru Învăţământul rural 17

21 Metoda figurativă 1.6. Răspunsuri şi comentarii la testele de evaluare Testul ciuperci, 35 ciuperci, 45 ciuperci RON, 700 RON. Testul nuci, 80 nuci, 40 nuci reviste, 160 ziare. Testul ani, 6 ani bile roşii, 10 bile albastre. Testul elevi, 11 bănci fete, 10 băieţi Lucrare de verificare 1 Rezolvă problemele. 1. Doi fraţi au acum împreună 17 ani. Când cel mare va avea 17 ani, cel mic va avea 14 ani. Câţi ani are fiecare, acum? 2. Numărul băieţilor care participă la un concurs sportiv este de 3 ori mai mare decât numărul fetelor participante. 3 fete şi 3 băieţi abandonează şi astfel numărul fetelor devine de 5 ori mai mic decât cel al băieţilor. Câţi băieţi şi câte fete au fost la început? 3. Tata, mama şi fiul au împreună 85 ani. Câţi ani are fiecare, dacă vârsta mamei reprezintă 7/8 din vârsta tatălui şi este cu 25 de ani mai mare decât vârsta fiului? 1.8. Bibliografie 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; 2) Cherata v., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1954; 3) Roşu M., Matematica pentru formarea profesorilor din învăţământul primar Editura METEOR PRESS, Proiectul pentru Învăţământul rural

22 Metoda comparaţiei UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2 Metoda comparaţiei Cuprins 2.1. Obiectivele unităţii de învăţare Metoda comparaţiei Eliminarea unei necunoscute prin scădere Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Bibliografie Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda comparaţiei; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător; - să descopere mai multe căi de rezolvare (parţial diferite) pentru problemele de acest tip Metoda comparaţiei recunoaşterea tipului de problemă Dacă într-o problemă apar 3 mărimi fiecare dintre ele cu câte două valori numerice date, atunci aceasta este rezolvabilă prin metoda comparaţiei. Denumirea metodei sugerează modul de abordare a problemei: se compară primul şir de valori numerice ale mărimilor, cu cel de al doilea şir. Metoda comparaţiei se utilizează şi pentru rezolvarea problemelor în care se dau câte o valoare numerică pentru 3 mărimi şi o relaţie între două dintre ele. În rezolvare, se porneşte acum de la relaţia dintre cele două mărimi, explicitând-o pe una în funcţie de cealaltă şi apoi revenind în şirul valorilor numerice ale celor 3 mărimi. În consecinţă, vom întâlni două variante ale acestei metode, în care se urmăreşte eliminarea unei necunoscute prin scăderea sau prin înlocuirea ei. Proiectul pentru Învăţământul rural 19

23 Metoda comparaţiei Eliminarea unei necunoscute prin scădere prima problemă rezolvată Au fost cumpărate 3 creioane şi 4 pixuri, plătindu-se 11 RON. Cu 7 RON se puteau cumpăra două pixuri şi 3 creioane. Cât costă un creion? Dar un pix? Rezolvare Constatăm că enunţul problemei face referire la 3 mărimi (număr de creioane, număr de pixuri, suma plătită), pentru care oferă două şiruri de valori. Se aşează convenabil datele problemei (valorile unei mărimi plasate una sub cealaltă, indiferent de ordinea în care apar în text), pe două rânduri, corespunzătoare celor două situaţii: 3 creioane...4 pixuri...11 RON 3 creioane 2 pixuri...7 RON. Să comparăm cele două şiruri de date: numărul creioanelor este acelaşi diferă doar numărul de pixuri şi suma plătită. Cele două valori numerice ale sumei plătite diferă doar pentru că diferă numărul pixurilor (numărul creioanelor fiind acelaşi). Ideea rezolvării este eliminarea uneia dintre mărimi, prin scădere. Diferenţa 4 2 = 2 (pixuri) induce o diferenţă de 11 7 = 4 (RON). Adică, două pixuri costă 4 RON. În continuare, problema nu mai prezintă dificultăţi. Se află preţul unui pix, 4 : 2 = 2 (RON) şi se introduce această valoare în unul (oricare!) dintre şirurile de date Să introducem preţul (aflat!) al unui pix în primul şir de date. Dacă 1 pix costă 2 RON, atunci 4 pixuri vor costa 4 x 2 = 8 (RON). Cum creioanele şi pixurile costă împreună, în acest caz, 11 RON şi am aflat costul pixurilor, rezultă că cele 3 creioane vor costa 11 8 = 3 (RON) şi atunci 1 creion va costa 3 : 3 = 1 (RON). R: 1 RON; 2 RON. Ştiind că un pix costă 2 RON, introdu această valoare în cel de al doilea şir de date şi (re)găseşte preţul unui creion. temă instant 20 Proiectul pentru Învăţământul rural

24 Metoda comparaţiei Au fost cumpărate 3 creioane şi 4 pixuri plătindu-se 11 RON. Cu 9 RON se puteau cumpăra 2 pixuri şi 5 creioane. Cât costă un creion? Dar un pix? a doua problemă rezolvată Rezolvare Dar, nu este aceeaşi problemă, ca mai sus?! ar putea întreba cineva. Să vedem! Scriem datele problemei, observăm ce elemente de noutate aduce şi care este strategia rezolvării în acest caz. 3 creioane...4 pixuri...11 RON 5 creioane...2 pixuri...9 RON Asta era! La niciuna dintre mărimi nu mai există o aceeaşi valoare. Nu se mai poate rezolva ca problema anterioară! Încă. Dar dacă am încerca să avem, la una dintre primele mărimi, o aceeaşi valoare numerică? Ar fi bine, dar unde? Valorile numerice de la prima mărime (3 şi 5 creioane) nu-mi spune încă nimic. Dar cele de la numărul pixurilor (4 şi 2)? Parcă e mai bine, deoarece 4 este un multiplu al lui 2 (4 = 2 x 2) şi de la 2 aş putea ajunge la 4. Cum? Prin înmulţire cu 2, fireşte. Dar dacă se cumpără de două ori mai multe pixuri, atunci ar trebuie să se cumpere tot de două ori mai multe creioane, iar cumpărătura ar costa de două ori mai mult. Aha! Deci, dacă aş înmulţi cu 2 al doilea şir de date, înseamnă că se cumpără de două ori mai multe creioane şi de două ori mai multe pixuri, plătindu-se de două ori mai mult. Este corect! Dar util! Sigur, pentru că de aici pornisem: să obţin aceeaşi valoare numerică la pixuri, în ambele situaţii. Să rescriem: 3 creioane..4 pixuri 11 RON 5 creioane 2 pixuri.9 RON / x2 adică, 3 creioane..4 pixuri 11 RON 10 creioane 4 pixuri 18 RON Am redus problema la cea anterioară (numărul de pixuri fiind acelaşi în ambele şiruri de valori). Se elimină această mărime prin scăderea valorilor aflate în primul rând, din valorile aflate în al doilea rând. Finalizează rezolvarea problemei, aplicând algoritmul prezentat la problema anterioară. Proiectul pentru Învăţământul rural 21

25 Metoda comparaţiei Au fost cumpărate 3 creioane şi 4 pixuri plătindu-se 11 RON. Tot 11 RON au costat 3 pixuri şi 5 creioane. Cât costă un creion? Dar un pix? a treia problemă rezolvată Rezolvare De data aceasta, nu mă mai înşel! Există valori comune, ba chiar două: 3 şi 11. deci, trebuie să se rezolve ca prima problemă. Aşa ar putea gândi cineva care nu conştientizează enunţul problemei (sigur, nu tu!). Să scriem datele problemei: 3 creioane..4 pixuri 11 RON 5 creioane 3 pixuri..11 RON. Constatăm că, la nici una dintre primele două mărimi, mu există o aceeaşi valoare numerică, iar existenţa unei aceleiaşi valori la cea de a treia mărime este irelevantă pentru rezolvarea problemei. Ce să facem? Deocamdată nu se poate folosi niciuna dintre strategiile prezentate anterior. Rămâne de urmat ideea de a reduce problema dată la una care se încadrează în situaţiile cunoscute. Să focalizăm, de exemplu, pe prima mărime. Valorile numerice corespunzătoare ei sunt 3 şi 5. Caut o valoare la care se poate ajunge şi pornind de la 3 şi de la 5, adică un multiplu comun al acestora. Şi cel mai simplu ar fi să găsesc cel mai mic multiplu comun, adică 15. Cum pot ajunge la această valoare numerică? Înmulţind primul şir de date cu 5 (adică: cumpărând de 5 ori mai multe creioane şi de 5 ori mai multe pixuri, trebuie să plătim de 5 ori mai mult), iar al doilea şir cu 3 (pe baza unui raţionament analog). Adică: 3 creioane..4 pixuri 11 RON / x5 5 creioane 3 pixuri.9 RON / x3 sau 15 creioane..20 pixuri 55 RON 15 creioane..9 pixuri 33 RON. Am rerus problema la cazul cunoscut (numărul de creioane fiind acelaşi la ambele şiruri de valori). Finalizează rezolvarea problemei, aplicând algoritmul prezentat la început. 22 Proiectul pentru Învăţământul rural

26 Metoda comparaţiei temă instant Priveşte din nou rezolvarea acestei probleme! Am ales (arbitrar) să obţinem aceeaşi valoare numerică la numărul creioanelor. Dar există şi o a doua opţine: obţinerea aceleiaşi valori la numărul pixurilor. Pe această cale, trebuie găsit, la început, cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 3, apoi rezolvarea se face pe modelul celei prezentate. Rezolvă problema şi pe această a doua cale. Compară rezultatele obţinute, efortul depus pe fiecare cale şi precizează care dintre ele ţi se pare mai convenabil, şi de ce. observaţie temă instant algoritmul rezolvării Asigură-te că problema dată este rezolvabilă prin metoda comparaţiei! Dacă una dintre primele două mărimi are o aceeaşi valoare numerică, atunci elimină mărimea respectivă prin scădere! Dacă nu, alege una dintre primele două mărimi şi caută c.m.m.m.c. al celor două valori date ale acesteia! Înmulţeşte convenabil şirul/şirurile de date pentru obţinerea valorii numerice comune (c.m.m.m.c) şi elimină mărimea respectivă prin scădere! Găseşte răspunsul la problema simplă de împărţire ce se obţine, pentru mărimea rămasă! Introdu această valoare în oricine dintre şirurile de date! Rezolvă problema simplă de scădere la care se ajunge! Găseşte răspunsul la problema simplă de împărţire ce se obţine, pentru mărimea eliminată! Proiectul pentru Învăţământul rural 23

27 Metoda comparaţiei Test de autoevaluare 1. Rezolvă problemele: saci cu făină şi 15 saci cu cartofi cântăresc1850 kg, iar 13 saci cu cartofi şi 15 saci cu făină cântăresc 1902 kg. Cât cântăreşte un sac cu făină? Dar un sac cu cartofi? pahare şi 10 farfurii au costat 156 RON; 8 farfurii şi 10 pahare au costat 126 RON. Cât ar costa 6 pahare şi 6 farfurii? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. 24 Proiectul pentru Învăţământul rural

28 2.2.2.Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei Metoda comparaţiei problemă rezolvată 20 găini şi 7 raţe au consumat 34 kg de grăunţe. Ştiind că o raţă consumă cât două găini, să se afle câte kg de grăunţe a consumat o găină şi câte o raţă. Rezolvare Constatăm că enunţul problemei face referire la 3 mărimi (numărul de găini, numărul de raţe şi cantitatea de hrană consumată), pentru care oferă un singur şir de valori şi o relaţie pentru primele două (o raţă consumă de 3 ori mai mult decât o găină). 20 găini...7 raţe...3 kg grăunţe 1 raţă 2 găini. Ideea rezolvării constă în eliminarea uneia dintre mărimi ( raţele ) prin înlocuirea ei (cu găini ). Ţinând seama de relaţia dată în enunţ, o raţă poate fi înlocuită (din punct de vedere al hranei consumate) cu două găini. Dar, în şirul de valori numerice, se face referire la 7 raţe. Acesta va putea fi înlocuite cu 7 x 2 = 14 găini. Să reformulăm acum problema, oprindu-ne la şirul de valori numerice şi înlocuind raţele. 20 găini...14 găini...34 kg grăunţe. Adică, = 34 găini consumă 34 kg grăunţe. Deci, o găină consumă 34 kg : 34 = 1 kg de grăunţe. Cum o raţă consumă cât două găini, înseamnă că are nevoie de 2 x 1 = 2 kg de grăunţe. R: 1kg; 2kg. observaţie temă instant După aflarea cantităţii de grăunţe consumată de o găină, se poate înlocui în şirul de date, ca şi în tipul de problemă anterior prezentată. Rezolvă problema şi pe această a doua cale. Compară rezultatele obţinute, efortul depus pe fiecare cale şi precizează care dintre ele ţi se pare mai convenabilă şi de ce. Proiectul pentru Învăţământul rural 25

29 Metoda comparaţiei algoritmul rezolvării Asigură-te că problema dată este rezolvabilă prim metoda comparaţiei! Sesizează care dintre mărimi se poate elimina prin înlocuirea ei şi elimin-o! Rezolvă problema simplă de înmulţire la care ne conduce înlocuirea în şirul de valori numerice! Rezolvă problema simplă de adunare pentru valorile numerice ale primelor două mărimi! Găseşte răspunsul la problema simplă de împărţire ce se obţine, pentru mărimea rămasă! Înlocuieşte această valoare găsită relaţia de legătură dintre primele două mărimi şi rezolvă problema simplă obţinută. Test de autoevaluare 2 1. S-au cumpărat 3 m stofă de calitatea I şi 4 m stofă de calitatea a doua şi s-a plătit în total suma de 975 RON. 1 m stofă de calitatea a doua este de 3 ori mai ieftin decât 1 m stofă de calitatea I. Cât costă 1 m din fiecare fel de stofă? 2. Un elev a cumpărat două cărţi de acelaşi fel şi 5 caiete, plătind în total 26 RON. Cât costă 5 cărţi şi 2 caiete, dacă preţul unui caiet reprezintă un sfert din preţul unei cărţi? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. 26 Proiectul pentru Învăţământul rural

30 Metoda comparaţiei Test de autoevaluare 3 1. Un elev a cumpărat 5 caiete şi două pixuri, plătind 22 RON. Cât costă două caiete şi 5 pixuri, dacă 10 caiete şi 5 pixuri costă 45 RON? 2. Pentru o bibliotecă s-au cumpărat 9 dulapuri, 6 mese şi 64 scaune. O masă, un scaun şi un dulap costă195 RON. Ştiind că o masă costă cât 3 scaune, iar un dulap costă cât 3 mese, aflaţi valoarea mobilierului cumpărat. Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. Proiectul pentru Învăţământul rural 27

31 Metoda comparaţiei 2.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de evaluare Testul kg; 54 kg RON Testul RON; 75 RON RON Testul 3 1. Se elimină una dintre necunoscute (număr de caiete, număr de pixuri) prin scădere. R: 13 RON. 2. Se elimină, pe rând, câte una dintre mărimi (număr de dulapuri, apoi număr de mese) prin înlocuire cu număr de scaune şi se obţine preţul unui scaun (15 RON), apoi pretul unei mese, respectiv al unui dulap. R:2445 RON. 28 Proiectul pentru Învăţământul rural

32 Metoda comparaţiei 2.4. Bibliografie 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; 2) Cherată v., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1994; 3) Roşu M., Matematica pentru formarea profesorilor din învăţământul primar Editura METEOR PRESS, Proiectul pentru Învăţământul rural 29

33 Metoda falsei ipoteze UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 3 Metoda falsei ipoteze Cuprins 3.1. Obiectivele unităţii de învăţare Metoda falsei ipoteze Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Lucrare de verificare Bibliografie Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda falsei ipoteze; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător; - să descopere mai multe căi de rezolvare pentru problemele de acest tip. 30 Proiectul pentru Învăţământul rural

34 Metoda falsei ipoteze 3.2. Metoda falsei ipoteze recunoaşterea tipului de problemă O problemă este rezolvabilă prin metoda falsei ipoteze dacă în ea apar: o mărime cu două calităţi precizate, pentru care se caută două valori numerice, cunoscând suma acestora şi o a doua mărime, ce reprezintă suma produselor dintre cele două valori numerice necunoscute şi calităţile lor. Pare aiuritor, nu?! Să sistematizăm şi să formalizăm informaţiile de mai sus! Deci, într-o astfel de problemă se cere aflarea a două necunoscute (x şi y), atunci când se cunoaşte suma lor (a), adică x + y = a şi suma (b) a produselor acestor necunoscute cu valori numerice date (c 1 şi c 2 ), adică xc 1 +yc 2 = b. Să exemplificăm, limpezind lucrurile, prin prezentarea şi rezolvarea unor specifice acestei categorii. prima problemă rezolvată Suma de 650 RON s-a plătit cu ajutorul a 8 bancnote de 100 RON şi 50 RON. Câte bancnote au fost din fiecare fel? Rezolvare Să observăm, în primul rând, că suma de 650 RON se compune din valoarea bancnotelor de 100 RON (adică, produsul dintre numărul lor şi valoarea bancnotelor de 100) şi din valoarea de 50 RON (adică, produsul dintre numărul lor şi valoarea de 50). Întrucât se cere aflarea a două necunoscute (numărul bancnotelor de 100 RON, respectiv de 50 RON), cunoscând suma lor (8) şi suma (650 RON) dintre produsele acestor necunoscute cu valori numerice date (100 şi 50), problema este rezolvabilă prin metoda falsei ipoteze. Ideea esenţială pentru rezolvarea acestei probleme este să presupunem că toate bancnotele sunt de un acelaşi fel (de fapt, metoda a mai fost numită şi a presupunerii ). Desigur, ştim de la început că această ipoteză este falsă, dar vrem să vedem diferenţa dintre rezultatul pe care îl vom obţine astfel şi informaţiile din enunţul problemei, precum şi cauzele şi implicaţiile ce decurg. Încercăm o ipoteză arbitrară, de exemplu că toate bancnotele ar fi fost de 100 RON. În acest caz, valoarea celor 8 bancnote ar fi fost de 8 x 100 = 800 (RON). Dar, conform enunţului problemei, ar fi trebuit să fie de 650 RON. Apare o diferenţă totală (pentru toată suma) de = 150 (RON), în plus. De ce apare acest surplus? Evident, deoarece nu toate bancnotele au fost de 100 RON! Să scoatem o bancnotă de 100 RON şi să o înlocuim cu una de 50 RON. Surplusul valoric se micşorează cu = 50 (RON). Şi acest fapt se întâmplă la fiecare acest tip de înlocuire. Câte asemenea înlocuire se pot face, pentru dispariţia surplusului de 150 RON? Atâtea de câte ori se cuprinde 50 în Proiectul pentru Învăţământul rural 31

35 Metoda falsei ipoteze surplusului de 150 RON? Atâtea de câte ori se cuprinde 50 în 150, adică diferenţa unitară (a valorilor câte unei bancnote) în diferenţa totală. Câtul obţinut, 3, arată că trebuie să facem 3 astfel de înlocuiri ale unei bancnote de 100 RON cu o bancnotă de 50 RON. Deci, sunt 3 bancnote de 50 RON, iar restul bancnotelor, adică 8 3 = 5, sunt de 100 RON. R: 5 bancnote de 100 RON, 3 bancnote de 50 RON observaţii temă instant Pornind de la presupunerea că toate bancnotele sunt de 100 RON, am aflat mai întâi numărul bancnotelor de 50 RON. Rezolvarea de mai sus a pornit de la presupunerea (arbitrară) că toate bancnotele sunt de 100 RON. Desigur, există şi o a doua cale de rezolvare, în care presupunerea iniţială este că toate bancnotele sunt de 50 RON. Rezolvă problema de mai sus, pornind de la presupunerea că toate bancnotele sunt de 50 RON. Ai obţinut acelaşi rezultat ca şi în prima rezolvare? Conform ipotezei din acest demers, ai obţinut o valoare mai mică a sumei totale? Ai găsit mai întâi, numărul bancnotelor de 100 RON? Dacă răspunsurile sunt afirmative, atunci ai înţeles esenţa metodei şi o vei putea aplica. Dacă nu, reciteşte prima rezolvare şi încearcă din nou. problemă propusă pentru rezolvare La unitatea 1, subcapitolul 1.5 din acest curs, ai întâlnit, în exemplu 2, problema (rezolvată prin metoda figurativă): Într-o curte sunt raţe şi purcei, în total 13 capete şi 32 picioare. Câte raţe şi câţi purcei sunt? Priveşte din nou, cu atenţie, enunţul aceste probleme. Ai acum şi o altă cale de rezolvare a ei? Rezolvă problema de mai sus, utilizând metoda falsei ipoteze. temă instant 32 Proiectul pentru Învăţământul rural

36 Metoda falsei ipoteze algoritmul rezolvării Presupune că există o singură necunoscută, egală cu suma dată a celor două necunoscute! Determină produsul dintre aceasta şi calitatea presupusă! Constată ce diferenţă a apărut la cealaltă mărime (diferenţa totală)! Află diferenţa celor două calităţi (diferenţa unitară)! Calculează câtul împărţirii celor două diferenţe! Numărul obţinut este valoarea celeilalte necunoscute. Ală valoarea necunoscutei asupra căreia ai făcut presupunerea iniţială, prin scădere (din sumă se scade valoarea găsită pentru cealaltă necunoscută). a doua problemă rezolvată Un biciclist urcă o pantă cu viteza de 6 km/oră şi coboară aceeaşi pantă cu viteza de 18 km/oră. Ştiind că drumul, urcat şi coborât a durat două ore, să se găsească lungimea drumului. Rezolvare La prima vedere, nu are ce căuta aici (la metoda falsei) pare doar o problemă de mişcare. Deruta poate spori dacă observăm că sunt date două viteze (urcare/coborâre) şi un timp (total) şi se cere să aflăm o distanţă. Nu prea se leagă! Să exemplificăm problema, complicând-o (?!). dacă în locul necunoscutei lungimea drumului vom putea găsi alte două necunoscute (timp urcare şi timp coborâre), putem considera problema ca şi rezolvată. De ce? Cunoscând relaţia dintre timp, viteză şi distanţă parcursă în mişcare rectilinie uniformă, aflarea unui timp, cuplată cu viteza respectivă, conduce la determinarea lungimii drumului. Să reanalizăm problema! Se cere aflarea a două necunoscute (timp urcare şi timp coborâre) cunoscând suma lor (2 ore) şi că produsul dintre una din necunoscute şi o valoare dată (timp urcare x viteză urcare) este egal cu produsul dintre cealaltă necunoscută şi o altă valoare dată (timp urcare x viteză coborâre). Recunoaştem acum o problemă din categoria celor realizabile cu metoda falsei ipoteze. Se diferenţiază, totuşi, de problema anterior prezentată, prin apariţia relaţiei xv 1 = yv 2, în locul celei clasice, xc 1 + yc 2 = b. Această particularitate induce un alt tip de presupunere, legată nu de timp (urcare/coborâre), ci de lungimea drumului. Să presupunem (arbitrar) că lungimea drumului ar fi de 36 km. (De ce tocmai 36? Se poate împărţi, cu rest 0, la 6 şi 18, atunci când vom determina timpul. Se poate alege orice alt multiplu al lui 6 şi 18, iar dacă nu ne temem să lucrăm cu fracţii, Proiectul pentru Învăţământul rural 33

37 Metoda falsei ipoteze putem alege orice valoare). În această ipoteză, timpul la urcare este câtul dintre 36 (distanţa) adică 6 ore, iar timpul la coborâre este câtul dintre 36 şi 18, adică 2 ore. Deci, timpul la urcare şi coborâre ar fi = 8 ore(!), faţă de cele 2 ore precizate în enunţ. S-ar obţine un timp total mai mare decât cel dat în enunţul problemei, deci lungimea presupusă este prea mare şi, în consecinţă, trebuie micşorată. De câte ori? De atâtea de câte ori este mai mare timpul total găsit, decât cel dat, adică de 8 : 2 = 4 ori. Aceasta înseamnă că lungimea drumului este 36 : 4 = 9 (km). R: 9 km. Încearcă să rezolvi problema de mai sus pornind de la presupunerea că lungimea drumului ar fi 3 km. temă instant puncte de autocontrol Ai obţinut acelaşi rezultat ca şi în rezolvarea dată? Conform ipotezei din acest demers, ai obţinut o valoare a timpului total mai mică decât cea din enunţul problemei? Ai fost nevoit să lucrezi cu fracţii? Dacă răspunsurile sunt afirmative, atunci poţi aplica algoritmul rezolvării prin metoda falsei ipoteze, în situaţii noi. Dacă nu, reciteşte prima rezolvare şi încearcă din nou. 34 Proiectul pentru Învăţământul rural

38 Metoda falsei ipoteze Test de autoevaluare Rezolvă problemele: 1. Câte caiete a 3 RON şi 5 RON se pot cumpăra cu 62 RON, astfel încât, în total, să fie 16 caiete? 2. Într-un bloc sunt, în total, 40 apartamente cu două şi cu 4 camere. Ştiind că blocul are 100 de camere, să se afle câte apartamente sunt cu două camere şi câte cu 4 camere? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. Test de autoevaluare 2 Rezolvă problemele: grinzi, unele de brad şi altele de stejar, cântăreşte 10,524 t. O grindă de brad cântăreşte 28 kg, iar una de stejar 46 kg. Câte grinzi de brad erau? Dar de stejar? 2. Două echipe având în total 18 tractoare au arat în 6 zile o suprafaţă de 492 ha. Un tractor din prima echipă are 4 ha pe zi, iar unul din echipa a doua, 5 ha pe zi. Câte tractoare sunt în fiecare echipă? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare. Proiectul pentru Învăţământul rural 35

39 Metoda falsei ipoteze 3.3 Răspunsuri şi comentarii la testele de evaluare Test caiete a 3 RON şi 7 caiete a 5 RON apartamente cu 2 camere şi 10 apartamente cu 4 camere. Test 2 1. Se aplică metoda falsei ipoteze. R: 182 grinzi de brad; 118 grinzi de stejar. 2. Se află câte hectare sunt arate de cele două echipe într-o zi şi apoi se aplică metoda falsei ipoteze. R: 8 tractoare în echipa care ară 4 ha/ zi şi 10 tractoare în echipa care ară 5 ha/ zi Bibliografie 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; 2) Cherata V., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1994; 3) Roşu M., Matematica pentru formarea profesorilor din învăţământul primar Editura METEOR PRESS, 2005; 4) Rusu E., Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, Proiectul pentru Învăţământul rural

40 Metoda mersului invers UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 4 Metoda mersului invers Cuprins 4.1. Obiectivele unităţii de învăţare Metoda mersului invers Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare Lucrare de verificare Bibliografie Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda mersului invers; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător Metoda mersului invers recunoaşterea tipului de problemă Dacă o problemă solicită aflarea unei necunoscute asupra căreia se realizează, în mai multe etape, diverse acţiuni, ajungându-se la un rezultat dat, atunci problema este rezolvabilă prin metoda mersului invers. În clasicismul acestei metode, găsim probleme în care: - se cere aflarea unui număr, cu care s-au efectuat, pas cu pas, diferite operaţii, ajungându-se la un rezultat dat; - se cere aflarea unei mărimi, ştiind că, în mai multe etape, se consumă părţi din ea, ajungându-se la o valoare dată. Să exemplificăm, prezentând rezolvările a două astfel de probleme. prima problemă rezolvată Am ales un număr; din el am scăzut 2, rezultatul l-am împărţit la 5, la câtul obţinut am adunat 4 şi apoi suma am împărţit-o cu 3, obţinând 15. Ce număr am ales? Rezolvare În primul rând, recunoaştem că problema prezintă caracteristicile necesare pentru a fi rezolvabilă prin metoda mersului invers. Ideea rezolvării este sugerată şi în denumirea metodei, constând într-o abordare de la sfârşitul spre începutul problemei. Proiectul pentru Învăţământul rural 37

41 Metoda mersului invers Pentru o mai bună vizualizare, să notăm numărul căutat cu (de exemplu) a şi să scriem formalizat enunţul problemei: [(a - 2) : 5 + 4] x 3 = 15. Desigur, cei care ştiu puţin mai multă matematică decât în clasele primare, vor recunoaşte o ecuaţie de gradul I cu o necunoscută şi vor fi înclinaţi spre o rezolvare algebrică. Cum această cale nu este accesibilă în învăţământul primar, iar rezolvarea ecuaţiei mai sus este o banală problemă de rutină, ne oprim asupra raţionamentului aritmetic specific acestei metode. Privim relaţia de mai sus, de la sfârşit şi observăm că ultima operaţie efectuată este o înmulţire, în care unul dintre factori (al doilea) este 5, şi produsul este 15, iar celălalt factor (rezultatul operaţiilor dintre parantezele drepte) este necunoscut. Cum se află un factor necunoscut? Împărţind produsul (15) la factorul cunoscut (3), deci (a - 2) : = 15 : 3, adică (a - 2) : = 5. Acum, ultima operaţie efectuată este o adunare în care unul dintre termeni (al doilea) este 4, iar suma este 5. Cum se află termenul necunoscut? Prin scăderea din sumă (5) a termenului necunoscut (4), deci: (a 2) : 5 = 5 4, adică (a 2) : 5 = 1. Ultima operaţie fiind acum o împărţire, în care se cunoaşte împărţitorul (5) şi câtul (1), se află deîmpărţitul (a - 2) prin înmulţire: (a - 2) = 1 x 5, adică a 2 = 5 Am ajuns la o scădere, în care scăzătorul este 2, iar diferenţa 5. descăzutul se află prin adunare: a = 5 + 2, adică a = 7. Deci, numărul ales a fost 7. R: 7 a doua problemă rezolvată Un călător parcurge un drum în 3 zile. În prima zi parcurge o treime din drum, în a doua zi, un sfert din drumul rămas, iar în a treia zi, ultimii 18 km. Care este lungimea drumului? Rezolvare Să figurăm datele problemei (iată un context în care metoda figurativă devine un procedeu de reprezentare şi accesibilizare a enunţului!) cu ajutorul segmentelor: 38 Proiectul pentru Învăţământul rural

42 Metoda mersului invers I I I I I II I I I I I I I Primul segment (de lungime arbitrară), ce reprezintă întregul drum, trebuie împărţit în trei părţi egale. Una dintre ele (să o considerăm pe prima), reprezintă drumul parcurs în prima zi, iar celelalte 3 1 = 2 (părţi egale), drumul rămas de parcurs după prima zi. Acest drum rămas de parcurs după prima zi este reprezentat de cel de al doilea segment. Întrucât în ziua a doua se parcurge un sfert din drumul rămas după prima zi, acest segment trebuie împărţit în 4 părţi egale. Una dintre ele (să o considerăm pe prima) reprezintă drumul parcurs în ziua a doua, iar celelalte 4 1 = 3 (părţi egale), drumul rămas după ziua a doua. Să observăm că cei 18 km rămaşi de parcurs după ziua a doua (şi parcurşi în ziua a treia) sunt reprezentaţi de 3 dintre 4 părţi egale ce ilustrează drumul rămas de parcurs după prima zi. Dacă 3 părţi egale reprezintă 18 km, atunci o singură (o pătrime din drumul rămas de parcurs după prima zi) reprezintă 18 : 3 = 6 (km). Dar drumul rămas de parcurs după prima zi are 4 astfel de părţi deci lungimea sa este de 4 x 6 = 24 (km). Aceşti 24 km reprezintă două dintre cele 3 părţi egale ale drumului, deci o singură treime are 24 : 2 = 12 (km). Deci, întregul drum, care conţine 3 părţi egale, are 3 x 12 = 36 (km). R: 36 km observaţii exemplificare - Întregul raţionament trebuie urmărit previn figura. - Începând cu clasa a IV-a, se pot face referirile de mai sus cu ajutorul fracţiilor. - Uneori, înainte de aplicarea raţionamentului specific metodei, este necesar un raţionament auxiliar, ca în problema următoare. Ce sumă a avut un elev dacă, după ce a cheltuit 3/7 din ea, a mai cheltuit 3/5 din cât îi rămăsese, iar după ce a mai cheltuit 16 RON a constatat că i-au rămas 24 RON? Rezolvare (parţială) Cea de a treia sumă cheltuită (16 RON) împreună cu suma rămasă (24 RON) reprezintă suma rămasă după cea de a doua cheltuială: = 40 (RON). Acum problema poate fi reformulată astfel: Ce sumă a Proiectul pentru Învăţământul rural 39