CONTRIBUŢII LA STUDIUL UNOR FENOMENE NELINIARE ÎN MECANICA CUANTICĂ

Transcription

1 Universitatea Al. I. Cuza - Iaşi Facultatea de Fizică CONTRIBUŢII LA STUDIUL UNOR FENOMENE NELINIARE ÎN MECANICA CUANTICĂ REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific Prof.dr. Maricel Agop Doctorand Daniela Magop (căsătorită Dragan) Iaşi -01

2 In atentia.... Vă facem cunoscut că în data de 9 septembrie 01, ora 9 Sala L1, doamna Daniela Magop (căsătorită Dragan) va susţine, în sedinţă publică, teza de doctorat: CONTRIBUŢII LA STUDIUL UNOR FENOMENE NELINIARE ÎN MECANICA CUANTICĂ în vederea obţinerii titlului ştiinţific de doctor în domeniul fundamental Ştiinţe Exacte, domeniul Fizică. Comisia de examinare a tezei: Prof. univ. dr. Diana Mardare Preşedinte Facultatea de Fizică, Universitatea Al. I. Cuza - Iaşi Prof. univ. dr. Maricel Agop Conducător ştiinţific Facultatea de Fizică, Universitatea Al. I. Cuza - Iaşi Prof. univ. dr. Dumitru Vulcanov Referent Facultatea de Fizică, Universitatea de Vest, Timişoara Prof. univ. dr. Viorel Puiu Păun Referent Facultatea de Ştiinţe Aplicate, Universitatea Politehnica, Bucureşti Prof. univ. dr. ing. fiz. Vasile Ion Manta Referent Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Vă invităm pe această cale să participaţi la şedinţa publică de susţinere a tezei de doctorat.

3 CUPRINS Introducere 1 Cap. 1 ELEMENTE DE DINAMICĂ NELINIARĂ UTILIZATE ÎN STUDIUL UNOR FENOMENE LA SCARĂ MICROSCOPICĂ 1.1 Haos determinist 3 1. Sistem dinamic Cicluri limită Secţiunea Poincaré şi secţiunea Bogomonly Bifurcaţii Exponenţi Lyapunov Fractali. Dimensiunea fractală şi dimensiunea topologică 6 Cap. CONTRIBUȚII LA STUDIUL EFECTULUI CASIMIR PE BAZA UNOR ELEMENTE DE DINAMICĂ NELINIARĂ Scop.1 Introducere 40. Forţele de atracţie moleculare între corpuri solide 43.3 Spaţiu-timp fractal 50.4 Ecuaţiile Navier-Stokes în teoria relativităţii de scală 56.5 Forţa de tip Casimir în teoria relativităţii de scală 59.6 Perspective 67 Cap.3 MODELE ATOMICE UTILIZÂND DINAMICA NELINIARĂ Scop 3.1 Introducere Modelul atomului de hidrogen Modelul haotic-stochastic al atomului 79

4 3.4 Modelul fractal al atomului Modelul unificat al atomului utilizând aproximaţia fractală a 115 mişcării 3.6 Perspective 118 Cap.4 UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL UNOR INTERACŢII LA SCARĂ MICROSCOPICĂ Scop 4.1 Introducere Mecanisme de eliberare a medicamentelor din matrici 16 polimerice 4.3 Consecinţe ale nediferenţiabilităţii Aproximaţia disipativă a proceselor de eliberare a 139 medicamentelor. Ecuaţia de difuzie generalizată 4.5 Aproximaţia dispersivă Perspective 154 Concluzii 155 Referinţe 158 Lucrări proprii şi publicaţii

5 INTRODUCERE Prezenta teză de doctorat are drept scop utilizarea dinamicii neliniare în studiul unor fenomene la scară microscopică. Lucrarea este structurată în patru capitole şi are la bază 130 de referinţe bibliografice dintre care 11 sunt ale autoarei. Primul capitol intitulat Elemente de dinamică neliniară utilizate în studiul unor fenomene la scară microscopică prezintă noţiunile fundamentale utilizate în capitolele -4 pentru studiul fenomenelor cuantice: haos determinist, sistem dinamic, atractori, ciclu limită, secţiunea Poincaré, spaţiul fazelor, bifurcaţii, exponenţi Lyapunov, fractali. În cadrul celui de-al doilea capitol intitulat Contribuţii la studiul efectului Casimir pe baza unor elemente de dinamică neliniară am construit o teorie pentru spaţiul timp fractal utilizând geometria nediferenţiabilă. Am considerat vidul din cavitățile Casimir ca fiind un fluid cuantic, nediferențiabil, bidimensional, lipsit de coerență, Newtonian, format din cvasi-particule (care pot fi asimilate cu obiecte de tip vortex). Acest vid devine coerent datorită constrângerilor impuse de prezența pereților. Au fost calculate forțele de tip Casimir pentru o cavitate Casimir dreptunghiulară cu dimensiunile d 1, d, rezulatele fiind în concordanţă cu rezultate teoretice și experimentale cunoscute. În capitolul al treilea intitulat Modele atomice utilizând dinamica neliniară propunem modelul unificat al atomului care explică atât mecanismul fizic prin care un electron sare de pe o orbitǎ staţionarǎ pe alta, cât şi cel de generare a orbitelor staţionare. Utilizând dinamica neliniară în analiza interacţiunii unei particule încărcate cu un câmp electromagnetic combinat (prin intermediul seriilor complete de timp, secţiunilor Poincaré, spaţiul complet al fazelor, exponenţilor Lyapunov, diagramelor de bifurcaţie), se găseşte mecanismul stărilor excitate ale atomului. Întrucât în urma aceleiaşi analize de dinamică neliniară rezultă că traiectoria unei particule încărcate în câmpul combinat este un fractal, se arată că dinamicile sistemului electron-câmp combinat sunt caracterizate de un potenţial scalar complex al vitezelor. Partea reală a potenţialului scalar selectează orbitele staţionare ale electronului, în timp ce partea imaginară selectează regulile de cuantificare ale energiei. În ultimul capitol, intitulat Utilizarea dinamicii neliniare în studiul unor interacţii la scară microscopică, am studiat procesul de eliberare a medicamentelor din matrici polimerice în aproximaţia fractală a mişcării. Într-o asemenea abordare, substituind complexitatea proceselor fizice cu fractalitatea, sistemele fizice se comporta ca "fluide libere", iar traiectoriile lor se identifică cu geodezicele unui spaţiu fractal. Aproximaţia fractală a mişcării este explicitată

6 pentru două scale temporale de interacţie. Pentru scale de timp mici (de ordinul minutelor) numită şi aproximaţia disipativă a mişcării pe curbe fractale se obţine legea lui Weibull şi, în particular, legea lui Peppas. Pentru scări de timp mari (de ordinul orelor), numită şi aproximaţia dispersivă a mişcării pe curbe fractale se obţine un câmp de concentraţie normalizat ce prezintă, în acelaşi timp, o dependenţă de timpul normalizat şi o neliniaritate sistemică. Modelul teoretic este validat pe baza rezultatelor experimentale. CAPITOLUL CONTRIBUȚII LA STUDIUL EFECTULUI CASIMIR PE BAZA UNOR ELEMENTE DE DINAMICĂ NELINIARĂ.1Ecuaţiile Navier-Stokes în teoria relativităţii de scară Pentru fluidele compresibile vâscoase, ecuaţiile Navier-Stokes Dv X p Dt v v 3 (.5) împreună cu ecuaţia de continuitate D v 0, (.6) Dt unde este densitatea, v viteza fluidului, X forţa specifică, p presiunea, vâscozitatea de forfecare şi D Dt d dt v derivatele Euler, sunt aplicate fluidelor Newtoniane. Substituind operatorul d/ dt cu cel fractal dˆ dt şi separând părţile reală şi imaginară, în cazul izotrop staţionar, în care forţa specifică X = 0 (câmp gravitaţional constant) şi U = 0, ecuaţiile (.5) şi (.6) devin: p V V V U V D V 0 V V 0 U D 0 (.7a,b.8 a,b) unde V V - iu este viteza complexă (am identificat viteza reală V cu v, viteza instantanee a particulei), = / vâscozitatea cinematică şi D =ħ/m amplitudinea fluctuaţiilor fractale. Dacă comparăm cu ecuaţia Navier-Stokes (.7a), observăm că primul termen (.7b) indică rata la care V este transportată prin "fluid", ceea ce înseamnă că mişcarea particulelor de "fluid" are loc cu viteza U; al doilea termen reprezintă difuzia lui V, iar D joacă rolul de

7 vâscozitate cinematică a fluidului. Dacă luăm în considerare curgerea lui V, indusă de o mişcare de translaţie uniformă a unui plan aflat la distanţa Y de un plan paralel staţionar, iar dacă viteza "fluidului" creşte de la zero (la planul de staţionar) la U (la planul în mişcare) ca şi în cazul curgerii simple Couette sau a curgerii simple de forfecare, vom avea rata deformarii de forfecare dv dy U Y. Atunci când "fluidele" curg, s-a constatat că la viteze rezonabile efectele de vâscozitate apar doar în straturi subţiri pe suprafaţa obiectelor sau pe suprafeţele pe care curg "fluidele". Dacă se continuă analogia, şi ne întrebăm cum V este transportată prin mişcarea particulelor de "fluid" cu viteza U, în ecuaţia (.7 b), se poate presupune că mecanismul de transfer al lui V de la o particulă de "lichid la alta se realizează pe distanţe mici (în straturi subţiri, aşa cum este menţionat mai sus). Ox: V Am studiat un caz important, şi anume cel al curgerii unidimensionale de-a lungul axei xk. În consecinţă ecuaţia (.7 b) se reduce la ecuaţia scalară x K x 0 care este o ecuaţie de tip Schrödinger independentă de timp. În acestă ecuaţie 1 K x U x D cu şi D având semnificaţia unei distanţe elementare mici respectiv, a vâscozităţii cinematice, U(x) fiind viteza fluidului Newtonian [38]. Pentru D = ħ/m şi distanţe mici de ordinul lungimii de undă Compton, = ħ/mc [39], ecuaţia (.33) este rezolvată prin metoda aproximaţiei WKBJ în [40-4]. Tot în [40-4] s-a obţinut pentru diferite forme ale funcţiei U x soluţiile asimptotice şi condiţiile de cuantificare, şi s-a demonstrat că, dacă potenţialul are ambii pereţi abrupţi la infinit, aşa cum este cazul în geometria Casimir, regula de cuantificare este dată în [40-4] x kdx n, unde k este numărul x1 de undă şi n 1,,3,.... Forţa de tip Casimir în teoria relativităţii de scală Efectul Casimir este descris prin teoriile cuantice de câmp, considerând că toate variaţiile câmpurilor fundamentale, şi în particular, câmpul electromagnetic, sunt cuantificate în fiecare punct din spaţiu. În modelul nostru, să considerăm vidul, ca fiind un fluid cuantic nediferenţiabil, Newtonian, bidimensional, necoerent, ale cărui entităţi (cvasi-particule) sunt asimilate cu obiecte de tip vortex [43] (vezi Fig..3) descrise prin funcţia de undă [44,45] cn u; k cu

8 K K K 1 u z, z x iy,, K 1 k sin d, a a b 0 1 K 1 k sin d, k k 1 0 (. 37 a-f) şi K, K integralele eliptice complete de prima speţă de modul k [46]. Aceste vortexuri formează o reţea bidimensională cu constantele de structură a şi b. Aplicând în plan complex [47], formalismul dezvoltat în [38] putem introduce un potenţial complex prin intermediul relaţiei cnu k, F z Gx, y ih x, y lncnu; k e F z ; (.38) cu Γ constanta vortexului. În cazul nostru, Γ = c = ħ/m [43-45], cu lungimea de undă Compton, scara de interacţie fiind specificată aici prin valoarea lui Γ. Fig..3 Vidul dintr-o cavitate Cazimir în care toate entităţile (cvasi-particule) sunt asimilate ca obiecte tip vortex Pe baza potenţialului complex (.38), se defineşte câmpul de viteze al fluidului cuantic necoerent, prin relaţia V x K snu; k dnu; k ; df z ivy (.39) d z a cn u k Având în vedere că cnu cnu, unde (m 1) K nik şi m,n = 1,..., pentru limitele k 0 şi respectiv, k 1 fluidul cuantic, iniţial necoerent (amplitudinile şi fazele entităţilor fluidului cuantice sunt independente) devine coerent (amplitudinile şi fazele entităţilor fluidului cuantic sunt corelate [49]). Într-un astfel de context, din distribuţia curbelor echipotenţiale date în Figurile.4 a,b (vezi teza), rezultă că pentru k 0 şi k 1 coerenţa fluidului cuantic se reduce la dispunerea sa în străzi de vortexuri.. Acum, scriind ecuaţia Navier-Stokes (.7 a) şi ecuaţia de continuitate (.8 a), în teoria relativităţii de scară pentru o densitate constantă (fluide incompresibile), în două dimensiuni, se obţine

9 p Vx V x Vx Vx D V x Vy x x y x y p Vy V y Vy Vy D V x Vy (.4a,b.43) y x y x y V V x y 0 x y unde vâscozitatea de forfecare este înlocuită prin D deoarece avem de-a face aici cu un fluid cuantic nediferenţiabil. Cu alte cuvinte, nediferenţiabilitea şi coerenţa fluidului cuantic cauzată de constrângeri, generează presiune de-a lungul axei Ox şi Oy. Să studiem cazul unei cavităţi Casimir, de formă dreptunghiulară cu laturile d 1 şi d. Plăcile induc constrângeri de-a lungul axelor Ox şi Oy, astfel încât străzile de vortexuri se formează de-a lungul acestor direcţii. Matematic funcţionează simultan degenerările în k ale potenţialui cn(u). Rezultă că în fiecare punct (x, y) există o presiune formată din cele două constrângeri, presiune care acţionează pe părţile laterale ale incintei dreptunghiulare: p rect p 0 4nr n arctg tg 4m th m n arctg tg th 4 th nr m th 4 1 m r n m tg 4 n r tg n m tg 4 n m r arctg tg th 4 4nr m nr th 4 1 m n arctg tg th r 4 4mr tg m n mr th 4 r 1 r r 1 r (.56) În Figura.5 a, b sunt reprezentate graficele date de relaţia (.56) pentru diferite valori ale parametrilor m, n = 1,,... şi r b a. Dacă cei doi parametri m şi n au valori apropiate, forţa care acţionează pe dreptunghiul Cazimir este întotdeauna negativă şi scade exponenţial cu creşterea lui r. Pentru parametrii m şi n (1,5 şi 5,1, adică foarte asimetrici) forţa are domeniul negativ şi pozitiv şi creşte exponenţial cu valoarea lui r (Figura.5 b). Mai mult, domeniile pozitive şi negative, se obţin rezolvând (.56) pentru m = 5, n = 5. Se găseşte p rect < 0 pentru r şi p rect > 0 pentru r > şi r < Acest rezultat este în acord

10 Prect Prect Prect Prect Prect cu calculele de regularizare folosind formula lui Abel-Plana, unde E < 0 pentru L/l şi E > 0 pentru L/l > şi L/l < [5] m 1,n m,n m 1,n m,n 1000 m 1,n m,n m 1,n m,n m 1,n m,n r r 0 m 4,n m 4,n -000 m 4,n 3 m 4,n m 4,n r Fig..5 a) Graficul p rect în raport cu parametrul r pentru diferite valori ale parametrilor m, n = 1,,...; 0 0 m 5,n 1 m 5,n -0 m 5,n 3-40 m 5,n 4 m 5,n r 0 0 m 1,n 1 m 1,n -0 m 1,n 3-40 m 1,n 4 m 1,n r Fig..5 b) Graficul p rect în raport cu parametrul r, dar pentru o valori foarte asimetrice ale parametrilor m, n (1,5 şi 5,1).

11 CAPITOLUL 3 MODELE ATOMICE UTILIZÂND DINAMICA NELINIARĂ 3.1 Modelul unificat al atomului utilizând aproximaţia fractală a mişcării Stări excitate ale atomului Să considerăm interacţiunea dintre un fascicul de particule încărcate cu un câmp combinat (câmp electromagnetic monocromatic şi câmp magnetic extern constant) Ecuaţiile de mişcare Modelul matematic al acestui sistem dinamic se bazează, în conformitate cu [66-68], pe ecuaţiile lui Maxwell şi ecuaţia de mişcare relativistă a unei singure particule din fascicul. Pentru a obţine valorile parametrilor care definesc un mecanism eficient de accelerare (efectul gun), considerăm că mişcarea unei singure particule a fasciculului are loc în câmpul electromagnetic generat de celelalte particulele ale fasciculului. Astfel, sistemul iniţial, cu câmp selfconsistent este transformat într-un sistem cu câmpuri exterioare. În aceste condiţii, vom considera mişcarea unei particule încărcate într-un câmp magnetic extern constant şi în prezenţa unui câmp electromagnetic transversal. Obţinem următoarele ecuaţii adimensionale, ce descriu dinamica neliniară a modelului [66-68]: dx Px, dpx c cos X T 1 Py dt 1 P P dt x y dpy H b c cos X T 1Px H cos X T, dt (3.8 a-c) semnificaţiile parametrilor fiind daţi în teză. Soluţiile analitice pentru sistemul (3.8) sunt greu de obţinut. Soluţiile numerice ale acestor ecuaţii şi corespondenţele lor cu dinamica sistemului au fost obţinute prin aplicarea algoritmul Runge-Kutta de ordinul cinci, cu pas adaptativ al erorii [66-68]. B B Exponenţi Lyapunov Figura 3.5 analizează zonele haotice prin calcularea exponenţilor Lyapunov. Zonele mai întunecate au exponentul Lyapunov mare, adică sunt zone haotice. Confirmăm faptul că, pentru

12 a obţine regimuri haotice extinse trebuie să avem H.5. Astfel distingem trei insule haotice distincte (1 pentru H.5 respectiv, şi 3 pentru 4H 5). B H Figura 3.5 Analiza zonelor haotice prin investigarea exponenţilor Lyapunov În figurile 3.6 sunt reprezentate două variante ale codificării culorilor. În primul grafic sunt reprezentate valorile pentru fiecare nivel al exponentului Lyapunov, iar în cel de al doilea grafic avem codul culorilor, în paranteze fiind reprezentate intervalele deschise pentru valorile lui corespunzătoare fiecărei culori. Fig. 3.6 Reprezentarea valorilor exponentului Lyapunov prin codificarea culorilor Serii de timp, secţiuni Poincaré şi spaţiul fazelor Este dificil să observăm în mod direct o evoluţie spre haos, deoarece forma traiectoriilor circulare nu se modifică semnificativ (numai în anumite cazuri specifice, particula se întoarce). Vom prezenta în continuare comportamentul particulei în câmpul combinat ţinând seama de diagrama Lyapunov din Figura 3.5. Distingem următoarele secvenţe:

13 i) Pentru amplitudini mici ale câmpului electromagnetic, H 0.05, mişcarea particulei este complexă, dar păstrează un caracter regulat (Figurile 3.11 a-g din teză); ii) Debutul fractalizării (prin intermediul stochasticizării) se observă atunci când H depăşeşte valoarea de 0,5 (Figurile 3.1 a-g din teză); iii) Atunci când H 1.5 este iniţiat efectul gun (Figurile 3.13 a-g din teză); iv) Un regim haotic extins se obţine pentru H.5 (Figurile 3.14 a-g din teză); v) Un efect gun haotic erupe pentru H 3.5 (Figurile 3.15 a-g din teză); vi) Un efect multi-gun rezultă pentru H 4.5 (Figurile 3.16 a-g din teză). Fiecare secvenţă a fost caracterizată prin seriile de timp XT,, Px, T, Py, T, secţiunea Poincaré Px, P y şi spaţiul fazelor, x X P, X, P y, X, Px, P y pentru secvenţa multi-gun pe baza soluţiei numerice pentru H Explicităm afirmaţia de mai sus

14 Figura 3.16 Efectul multi-gun pentru H 4.5 ; (a) serii de timp XT,, (b) serii de timp Px, T, (c) serii de timp P y, T, (d) secţiune Poincaré Px, P y, (e) spaţiul fazelor X, P x, (f) spaţiul fazelor X, P y, (g) spaţiul fazelor 3D X, Px, P y ; [90] Diagramele de bifurcaţie Diagramele de bifurcaţie confirmă scenariul de tranziţie spre haos prin suprapunerea rezonanţelor (Figuile 3.17).

15 a b c Figura 3.17 Diagramele de bifurcaţie prin suprapunerea rezonanţelor (pentru X( H) -a, P ( H) -b, P ( H) -c) şi 0,5. B x y

16 Zonele parțial haotice sunt zonele pentru care distribuția punctelor pe verticală este haotică. Tranziţia spre zonele haotice nu se realizează prin bifurcații succesive ci prin suprapunerea rezonanţelor. Modelul poate descrie stările staţionare tranzitorii ale atomului dacă admitem că dinamicile sistemului particulă încărcată câmp electromagnetic combinat pot fi asimilate dinamicilor sistemului electron-nucleu Orbitele staţionare a atomului Analiza anterioară statuează faptul că mişcarea electronului în jurul nucleului are loc pe curbe fractale. Astfel se poate aplica formalismul relativităţii de scală [71-76]. Rezultă pentru mişcări irotaţionale în câmpul scalar extern sistemul hidrodinamic fractal V V V Q U V m0 t, t 0 (3.91 a, b) cu Q potenţialul fractal m0u Q U m 0 (3.9) Prezenţa unui potenţial scalar al câmpului complex de viteze impus prin mişcările irotaţionale implică următoarele: i) la scală diferenţială, câmpul real de viteze este responsabil de orbitele staţionare, edr m0v dr m m d hm r sin (3.98) 0 ii) la scală nediferenţială, câmpul fractal de viteze (partea imaginară a câmpului complex de viteze) este responsabil de potenţialul fractal Q nm 1 m () r m 0 n a ar r sin (3.100) Acest rezultat a fost obţinut utilizând relaţia de recurenţă pentru polinoamele Laguerre asociate şi polinoamele Legendre [65, 66]. Din potenţialul fractal rezultă observabila sistemului sub forma energiei unde a este raza primei orbite Bohr. 0 ( ) nm( ) m 0 an 1 1 En m v U r Q r (3.101)

17 Capitolul 4 UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL UNOR INTERACŢII LA SCARĂ MICROSCOPICĂ 4.1 Ecuaţia de transport Considerând că complexitatea în procesul de eliberare a medicamentelor din matrici polimerice este susbstituită prin fractalitate, utilizând metoda din [104], se obţine ecuaţia de transport a unei mărimi Q sub forma: D D Q Q t t 3 V Q id dt F F Q D dt 3 Q 0 (4.55) unde V este câmpul complex de viteze. Aceasta înseamnă că, în orice punct al unei curbe fractale, variaţia locală temporală,, neliniaritatea, Q t Q V, disipaţia, Q, şi dispersia, 3 Q îşi fac echilibrul. 4. Aproximaţia disipativă a mişcării în procesele de eliberare a medicamentelor 4..1 Ecuaţia generalizată de difuzie Dinamica fractală de eliberare a câmpului de concentrație a medicamentelor atât la scală mesoscopică cât şi nano este descrisă de ecuaţia [105]: restricţii: ˆ F 1 V Q id dt D Q 0 Q Q t t (4.56) Ecuaţia generalizată de "difuzie" se obţine din relația (4.56) impunând următoarele i) traiectoriile de "difuzie" sunt curbe fractale cu dimensiunea fractală D ; F ii) rezoluţia de timp, δt, este identificată cu elementul diferenţial, dt, adică poate fi aplicat principiul substituţiei; iii) dinamicile la scală diferenţiabilă şi nediferențiabilă sunt "sincrone" (aceleaşi mecanisme de eliberare a medicamentelor se manifestă la scală fractală şi la scală diferenţială), adică V U. Atunci ecuația (4.56) poate fi scrisă sub forma D D F 1 Q t dt Q pe care o vom numi ecuaţia generalizată de difuzie. Considerând că variaţia relativă a concentraţiei de eliberare a medicamentelor, dependentă de timp, definită prin relaţia [105]: () T t Q Q Q, unde Q şi

18 Q sunt concentraţiile cumulate ale eliberării medicamentelor la momentul de timp t, respectiv la infinit, satisface ecuaţia generalizată de difuzie, utilizând metoda separării variabilelor [105], rezultă relaţia: De aici, cu substituţiile: Q Q l D 1 exp t 1 DF D F (4.68) se obţine legea lui Weibull Q Q m D a L 1 DF b (4.70 a, b) D F 1 exp( at b ) (4.69) Constanta b este dependentă doar de dimensiunea fractală a curbelor după care are loc eliberarea medicamentului, în timp ce a depinde atât de dimensiunea fractală, cât şi de ordinul de difuzie m. În figura 4.6, se prezintă dependenţa teoretică (4.68) fie de dimensiunea fractală D F și de variabila timp t pentru un anumit ordin de difuzie m fixat (fig. 4.6a), fie de ordinului de difuzie m și de variabila timp t pentru o anumită dimensiune fractală D F fixată (fig. 4.6b). a b Figure 4.6 Dependenţa teoretică Q Q t de dimensiunea fractală D F și variabila timp t pentru un anumit ordin de difuzie m (a) şi respectiv de ordinul de difuzie m și variabila timp t pentru o anumită dimensiune fractală D F (b) [105]

19 Este cunoscut că procesul descris prin ecuaţia generalizată de difuzie cu D este F cunoscută ca difuzie anomală (subdifuzie pentru D F < şi super-difuzie pentru D F > ) [75, 95-97, ]. Pentru diferite valori ale parametrilor a şi b, se disting următoarele cazuri particulare: i) să alegem b=1, ceea ce implică D. Această alegere implică următoarele: F - curbele de difuzie sunt curbe fractale de tip Peano ( D ); F - mişcările la scală diferenţiabilă şi nediferenţiabilă sunt sincrone, V U; - coeficientul de structură D se identifică cu coeficientul de difuzie D, D D. ii) dacă în relaţia (4.69) se consideră restricţia pentru timp cu a 1 aceasta se reduce la o lege de tip Peppas, binecunoscută în studiile de eliberare a medicamentelor [100]. Pe baza dependenţei de valorile parametrului b, adică de dimensiunea fractală D a F curbelor fractale de eliberare a medicamentelor, putem identifica mecanismul de eliberare a medicamentelor pentru diferite tipuri de matrici polimerice, diferite medii de eliberare, sau de tipul medicamentelor [109]. În acest context, pentru b=1/ ( D ) se obţine un mecanism de F eliberare de tip Fickian (legea lui Higuchi), în timp ce pentru b 1 ( D ) se manifestă un mecanism de eliberare de tip ne-fickian [100]. F 4.. Validarea modelului teoretic pe baza rezultatelor experimentale Au fost studiate microparticule de gelatină şi poli (vinil alcool) (GEL-PVA) legate de glutaraldehide (GA), prin utilizarea unor cantităţi diferite de agent de reticulare în probele preparate (%, 6%, 8%, 10% - codul de proba indică cantitatea agentului de reticulare: de exemplu, GA reprezintă o probă cu o cantitate reticulară %), încărcată cu cloramfenicol [118]. Toate particulele eliberare, de mai sus, reprezintă matrici polimerice cu microparticule sau nanoparticule, dar cu caracteristici diferite de structură, datorate diferiţilor parametri experimentali. În ciuda acestui fapt, ele au un comportament similar, în timp, din punct de vedere calitativ. Am analizat aceste rezultate experimentale şi se observă că cinetica de eliberare a medicamentelor corespunde unei legi de tip Weibull (care a fost dedusă în paragraful anterior). Ca rezultat, am obţinut parametrii a şi b, coeficienţii de corelare şi dimensiunea fractală a cineticii de eliberare pentru fiecare dintre probe, toate acestea indicând unele informaţii cu privire la mecanismele de eliberare a medicamentelor la scală mesoscopică sau nano (vezi Tabelul 4.).

20 Probe Weibul Dimensiunea fractală Mecanismul de eliberare observaţii a b Coeficient de corelaţie GA 0, ,9994 1,4 ne-fickian sub-difuzie GA6 0, ,990 1,59 ne-fickian sub-difuzie GA8 0,0348 1,11 0,9953 1,78 ne-fickian sub-difuzie ne-fickian super-difuzie grad GA10 0,5711 0,4816 0,9966 4,15 ridicat de complexitate a sistemului Tabelul 4. Prima observaţie este aceea că valorile coeficientului de corelaţie pentru curbele experimentale şi cele pentru curba descrisă de Weibull sunt foarte bune, mai bune decât pentru curba Peppas. Pentru ilustrare, vom prezenta în Fig. 4.8 curbele experimentale şi cele de tip Weibull. Q mg g.5.0 Experimental points GA Weibull curve GA Experimental points GA6 Weibull curve GA6 Experimental points GA8 Weibull curve GA8 Experimental points GA10 Weibull curve GA t min Figura 4.8 Curbele experimentale şi curbele Weibull pentru microparticule GEL-PVA [105] 4.3 Aproximaţia dispersivă a mişcării în procesele de eliberare a medicamentelor Ecuaţia generalizată de difuzie În cazul dispersiv (4.55) ia forma ecuaţiei generalizate de difuzie

21 Q Q dt Q t 3 D F V U D 0 (4.77) 3 Presupunând că, V U Q cu constant [108], în cazul unidimensional şi introducând un sistem de coordonate adimensionale, ecuaţia (4.77), ia forma standard a ecuaţiei Korteweg de Vries 6 0 (4.80) O soluţie staţionară a ecuaţiei (4.80) are expresia E s a u,,s a 1 a cn 0 ;s (4.83) K s s unde cn este funcţia eliptică Jacobi de modul s [109], a este o amplitudine, 0 este o constantă de integrare şi K s s sin d,e s s sin d (4.84) 0 0 sunt integralele eliptice complete de modul (s) [109]. Prin urmare, mişcarea particulelor de medicament se realizează prin moduri de oscilaţie cnoidale unidimensionale al câmpului de concentraţie (Figura4.9). Figura 4.9. Modurile de oscilaţie cnoidale unidimensionale ale câmpului de concentraţie

22 4.3. Rezultatele experimentale Protocolul de pregătire Eliberarea medicamentelor din matrici polimerice are loc în conformitate cu o lege de tip putere, în porţiunea de 60% de la începutul curbei de eliberare şi / sau a legii exponenţiale Weibull pe întreaga curbă de eliberare a medicamentelor, ajungând la o valoare medie de echilibru constantă. Aceste rezultate sunt pentru experimente efectuate la scale temporale mici, pentru care fenomenele dominante sunt dizolvarea şi difuzia: sistemul prezintă un "efect de ardere-explozie", din cauza gradientului de concentraţie mare, urmată de o evoluţie liniară, la o valoare constantă, corespunzătoare unei stări de echilibru, fără gradient de concentraţie. Unele rezultate experimentale, realizate la scale temporale mari, astfel încât procesul să evolueze complet, prezintă comportamente neobişnuite, cu fluctuaţii puternice. În tabelul 4.3 sunt reprezentate parametrii variabilelor din Protocolul de pregătire: Codul mostrei CS/GEL (w/w) *Suma TPP (g) a fost menţinută constantă Table 4.3 Parametrii variabilelor din protocolului de pregătire Cinetica de eliberare a Levofloxacinei Concentraţia de TPP + soluţuie de TPP * NH :TPP (mols/mols) C1 1/1 5%.4/1 C 1/1 15%.4/1 C3 1/1 1%.4/1 C4 1/1 10%.4/1 C5 1/1 5% 4.8/1 C6 1/1 5% 11.7/1 C7 1/1 5% 1.17/1 C8 1/0 5% 4.8/1 C9 3/1 5% 4.8/1 Eliberarea levofloxacinei încărcată în microparticulele descrise mai sus este reprezentată în Figura Eşantioanele sunt grupate după parametrii variabilelor de preparare.

23 Figura 4.10 Cinetica de eliberare a Levofloxacinei din miocroparticule la diferite: concentraţii ale soluţiei TPP (a), a raportului molecular NH :TPP (b), moli de NH (c) Toate aceste experimente au fost realizate într-un interval de 8 de zile, concentrația medicamentului eliberat fiind măsurată zilnic, la aceeași oră. Caracteristica generală a cineticii de mai sus este următoarea: cinetica de eliberare a medicamentului prezintă variații puternice ale concentraţiei în timp.

24 Trebuie să subliniem faptul că, dacă aceste experimente ar avea loc la scale de timp de ordinul orelor, comportamentul sistemului ar urma legea exponențială Weibull. Cinetica de eliberare corespunzătoare poate fi observată în Figura 4.11 Fig Cinetica de eliberare a Levofloxacinei, la o scară de timp de ordinul orelor, din miocro/nanoparticule la diferite: concentraţii ale soluţiei TPP (a), a raportului molecular NH :TPP (b), moli de NH (c)

25 4.3.3 Validarea modelului teoretic pe baza rezultatelor experimentale În cele ce urmează, am identificat câmpul cu câmpul de concentraţie normalizat de eliberare a microparticulelor. În acest context, rezultă că mecanismul de eliberare a medicamentelor se realizează prin intermediul unor moduri de oscilatie cnoidale ale câmpului de concentraţie normalizat, parametrul s fiind o măsură a gradului de neliniaritate a sistemului. Modurile de oscilaţie cnoidale unidimensionale conţin ca subsecvenţe pentru s 0 unde armonice unidimensionale, iar pentru s 0 pachet de unde unidimensional. Aceste două subsecvenţe definesc regimul necvasi-autonom a procesului de eliberare a medicamentului. Pentru s 1, soluţia (4.83) este un soliton unidimensional, iar pentru s 1 un pachet de solitoni unidimensionali. Aceste ultime două subsecvenţe implică regimul cvasi-autonom pentru procesul de eliberare al particulelor de medicament. Pentru a găsi cea mai bună corelaţie între datele experimentale şi modelul teoretic, pentru fiecare probă, am folosit o intersecţie plană a graficului din Figura 4.9, unde cele două variabile sunt y u / şi x s. Cu aceste variabile ecuaţia (4.83) devine: E x a 1 x, y a 1 a cn y 0;x (4.85) K x x Astfel, pentru a găsi o ecuaţie unidimensională pentru intersecţia plană, perpendiculară pe planul xoy, am folosit ecuaţia funcţiei liniare y mx n, unde m şi n sunt doi parametri. După efectuarea substituţiilor obţinem funcţia unidimensională: t t t,m,n 1,n m (4.78) m 1 m 1

26 Fig Curbele teoretice şi experimentale, pentru procesul de eliberare a levofloxacinei din microparticule polimerice (linia albastră - curba experimentală, linia roşie - curba teoretică). [103] Din grafice rezultă un bun acord între datele experimentale şi modelul teoretic propus. Concluzii Principalele rezultate originale ale prezentei teze de doctorat sunt următoarele: Capitolul Am analizat vidul din cavitatea Casimir, considerat un fluid cuantic nediferenţiabil, Newtonian, bidimensional, necoerent, prin scrierea ecuaţiilor Navier-Stokes, în cadrul teoriei relativităţii de scară. Pot fi extrase următoarele rezultate: i) câmpul viteză V (Vector) şi / sau densitatea câmpului (scalar) se comportă ca funcţii de undă pe distanţe mici (acelaşi ordin de mărime cu lungimea de undă Compton); ii) câmpul viteză V (Vector) şi / sau densitatea câmpului (scalar) sunt transportate prin mişcarea fluidului newtonian, cu viteza U, pe distante mici (acelaşi ordin de mărime cu lungimea de undă Compton); iii) entităţile din cavitatea Cazimir, asimilate cu obiectele de tip vortex, iniţial necoerente, devin coerente din cauza constrângerilor induse de prezenţa pereţilor şi generează presiune de-a lungul axelor Ox and Oy; iv) s-a observat că, în cazul cavităţii Cazimir din interiorul unei incinte dreptunghiulare de laturi d 1, d, plăcile induc constrângeri de-a lungul axelor Ox şi Oy, şi dacă cei doi parametri m şi n au valori apropiate, forţa care acţionează asupra dreptunghiului Cazimir este întotdeauna negativă. Dacă parametrii m şi n sunt foarte asimetrici, forţa are valori negative şi pozitive, în acord cu calculul de regularizare obţinut folosind formula Abel-Plana. Capitolul 3

27 i) utilizând o analiză de dinamică neliniară completă şi detaliată (exponenţi Lyapunov, serii de timp complete, secţiune Poincaré, spaţiul de fază complet, diagrame de bifurcaţie) sunt descrise interacţiunile neliniare pentru o particulă - câmp (câmp electromagnetic şi câmp magnetic static); ii) au fost propuse mecanismele fizice (efectul gun, efectul gun haotic şi efectul multi-gun), care explică stările excitate ale atomului (analogul clasic al absorbţiei cuantice); iii) analizele fractale ale traiectoriilor care rezultă din interacţiunea neliniară a particulei cu un câmp arată că aceste curbe posedă proprietatea de continuitate şi nediferenţiabilitate, adică sunt curbe fractale. Într-un asemenea context, putem aplica teoria relativităţii de scară pentru studiul stărilor staţionare ale atomului. Prin urmare, fractalizarea traiectoriei reprezintă un mecanism natural de introducere a cuantificării (partea reală a câmpului de viteze complex selectează orbitele staţionare, în timp ce partea imaginară cuantifică energia). Capitolul 4 i) La scară mică de timp, am analizat rezultatele experimentale şi se observă că cinetica de eliberare a medicamentelor corespunde unei legi de tip Weibull. Ca rezultat, am obţinut parametrii a şi b, coeficienţii de corelare şi dimensiunea fractală a cineticii de eliberare pentru fiecare dintre probe, toate acestea indicând unele informaţii cu privire la mecanismele de eliberare a medicamentelor la scală mesoscopică sau nano: - Valorile coeficientului de corelaţie pentru curbele experimentale şi cei pentru curba descrisă de Weibull sunt foarte bune. Acest lucru ne permite să afirmăm că întregul proces de eliberare poate fi descris mai bine de o legea tip Weibull decât una de tip Peppas, arătând aplicabilitatea largă a unei legi de tip Weibull; ii) La scară mare de timp, se obţine un nou model pentru mecanismul de eliberare al medicamentelor din matrici polimerice, considerând că mişcarea particulelor de medicament are loc pe curbe fractale. - Acest model oferă o nouă alternativă pentru studiul teoretic al procesului de eliberare al medicamentelor, atunci când toate fenomenele sunt prezente, astfel încât complexitatea sistemului, şi, implicit, neliniaritatea acestuia devin foarte mari. - Rezultă că câmpul de concentraţie normalizat prezintă, în acelaşi timp, o dependenţă de timpul normalizat şi o neliniaritate sistemică (prin parametrul s). Cele mai bune valori ale factorilor de corelare au fost găsiţi, în special, în reprezentările grafice ale planurilor tridimensionale ale câmpului de concentraţie normalizat şi indică faptul că fiecare stare a sistemului, la un moment dat, corespunde unei neliniarităţi, determinată de structura intrinsecă a sistemului.

28 Bibliografie selectivă [] H.B.G. Casimir, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Rev. 51 (1948) 793. [3] M. Bordag, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko, Phys. Rep. 353 (001) 1. [4] K. Milton, J. Phys. A 37 (004) R09. [9] L. E. Ballentine, Quantum Mechanics (chapter 19), (Prentice-Hall) (1990). [13] F. Ben Adda, J. Cresson, Chaos, Solitons & Fractals 19 (004) 133. [4] G. Jumarie, Chaos, Solitons & Fractals 8 (006) 185. [8] L. Nottale, Fractal space-time and microphysics: Towards a theory of scale relativity. Singapore: World Scientific (1993). [44] C. Gh. Buzea, M. Agop, N. Rezlescu, C. Buzea, T. Horgos, V. Bahrin, Phys. Stat. Sol.(b) 05 (1998) 595. [50] S. Titeica, Quantum Mechanics, Academic Press, Bucureşti, [53] L. D. Landau, E. M. Lifsit, Electrodinamica mediilor continue, Editura Tehnică, Bucureşti, [54] C. Gh. Buzea, M. Agop,C.M. Stoica, C. Boris, D. Scutru, P.V. Paun, D. Magop, R. Stana Casimir Type Effect in Scale Relativity Theory, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, ISSN , Vol. 11, No. 10, Octombrie 010 [55] Schrodinger E 198 Collected Papers on Wave Mechanics (London: W.M. Deans); [57] Madelung E 196 Z.Physik 40 3; [59] De Broglie L 1967 Compt. Rend ; [65] Ciubotariu Corneliu, Stancu Viorel and Ciubotariu Ciprian 003 A Chaotic-Stochastic Model of an Atom in Gravitation and Cosmology: From the Hubble Radius to the Planck Scale Fundamental Theories of Physics 16, Part IV, pp ; [66] Argyris J and Ciubotariu C 000 Chaos, Solitons & Fractals 11 (7) ; [68] Antici A, Marin C, and Agop M 009 Chaos Through Stochastization 009 (Ars Longa, Iasi); [70] D. Luca, C. Stan, Mecanica punctului material, Ed. Tehnopres, Iaşi, 004; [75] Mandelbrot B B 1983 The Fractal Geometry of Nature. (W.H. Freeman and Company, New York); [79] Weibel P, Ord G and Rössler G (Editors) 005 Space-time Physics and Fractality (Springer, Vienna, New York);

29 [85] M. H. Bessendorf, Stochastic and fractal analysis of fracture trajectories, Int. J. Eng. Sci., vol. 5, pp , [90] M. Agop, P. Nica, S. Gurlui, C. Focsa, D. Magop - Chaotic atom model via fractal approximation of motion, Physica Scripta, Nr. Volumul 84, nr 4, Editura Graeme Watt - Publisher, 011, ISBN ISSN [9] M. Agop, D. Magop, S. Băcăiţă, Fractal Approximation of motion and its implications in quantum mechanics, Open Journal of Microphysics, pag , vol., nr. 3, august 01, DOI: /ojm ; [93] Yao Fu, Weiyuan John Kao, Drug release kinetics and transport mechanisms of nondegradable and degradable polymeric delivery systems, Expert Opin. Drug Delivery, vol. 7, pp , 010. [97] K. Kosmidis, P. Argyrakis, Fractal kinetics in drug release from finite matrices, J. Chem. Phys., vol. 119, no. 1, pp , 003. [100] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, nd Edition, Butterworth Heinemann Publishing, Oxford, [103] D. Magop, S. Băcăiţă, C. Peptu, M. Popa, M. Agop, Non-differentiability at mesoscopic scale in drug release processes from polymer microparticles, Revista Materiale Plastice, pag , vol. 49, nr., iunie 01. [104] S. Băcăiţă, C. Bejinariu, B. Zoltan, C. Peptu, G. Andrei, M. Popa, M. Agop, D. Magop, Nonlineareties in drug release process from polymeric microparticles, Journal of Applied Mathematics, acceptat spre publicare; [13] B.B. Mandelbrot, How Long is the Coast of Britain?, Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Science, 156, , (1967) [15] Agop, M., Nica, P. E., Ioannou, P. D., Antici, A. and Pǎun, V., Fractal model of the atom and some properties of the matter through an extended model of scale relativity, Eur.Phys. J. D 49, (008). Lucrări proprii pe perioada studiilor doctorale In reviste indexate ISI 1. C.Gh.Buzea, M. Agop, C.M. Stoica, C. Boris, D. Scurtu, P.V. Paun, D. Magop, R. Stana - Casimir Type Effect in Scale Relativity Theory, Journal of Nonlinear Sciences and Numerical

30 Simulation, Nr. Vol. 11, No. 10, Octombrie 01, Editura Freund Publishing, 0, ISBN ISSN , pp M. Agop, P. Nica, S. Gurlui, C. Focsa, D. Magop - Chaotic atom model via fractal approximation of motion, Physica Scripta, Nr. Volumul 84, nr 4, Editura Graeme Watt - Publisher, 011, ISBN ISSN S. Băcăiţă, C. Bejinariu, B. Zoltan, C. Peptu, G. Andrei, M. Popa, M. Agop, D. Magop, Nonlineareties in drug release process from polymeric microparticles, Journal of Applied Mathematics, acceptat spre publicare; 4. D. Magop, S. Băcăiţă, C. Peptu, M. Popa, M. Agop, Non-differentiability at mesoscopic scale in drug release processes from polymer microparticles, Revista Materiale Plastice, pag , vol. 49, nr., iunie 01. In reviste B+ (CNCSIS) 1. D. Magop, M. Agop, On the hydrodynamic model of the quantum mechanics, The Annals of the Dunarea de Jos University of Galati Fascicle II - mathematics, physics, chemistry, informatics (cd-rom), year iii (xxxii) 009. Daniela Magop, Tatiana Dandu-Bibire, Maricel Agop - A gravitational quantum effect, Buletinul Institutului Politehnic, din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 011, ISSN , pp Roxana Stana, Tatiana Dandu-Bibire, Daniela Magop, Maricel Agop - Chaos in Gravitational System, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 011, ISSN , pp Petrică Crăciun, Tatiana Dandu-Bibire, Daniela Magop, Maricel Agop - Orbital Inversions in Gravitational System, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 011, ISSN , pp Tatiana Dandu-Bibire, Daniela Magop, Manuela Gârţu, Maricel Agop - A fractal gauge theory of gravitation, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 011, ISSN , pp Reviste internationale

31 1. R. Murdzek, D. Magop, R. Stana, A fractal Universe in Braneworld Scenario, Nonlinear Science Letters D, The 3rd International Symposium on Nonlinear Dynamics, Sept. 5-8, 010, Shanghai, China;. M. Agop, D. Magop, S. Băcăiţă, Fractal Approximation of motion and its implications in quantum mechanics, Open Journal of Microphysics, doi:10.436/ojm.01. ( published in August 01 Mulțumiri Teza a fost realizată cu sprijinul financiar în cadrul proiectului POSDRU/88/1.5/S/47646, cofinanţat din Fondul Social European, prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane