1. Implementarea reprezentărilor timp-frecvenţă în Matlab. Utilizarea pachetului de programe TFTB

Transcription

1 1. Implementarea reprezentărilor timp-frecvenţă în Matlab. Utilizarea pachetului de programe TFTB Pachetul de programe pentru reprezentări timp-frecvenţa TFTB Biblioteca (toolbox) pentru reprezentări timp-frecvenţă (Time-Frequency Toolbox - TFTB) reprezintă o colecţie de funcţii MATLAB (R), implementate pentru analiza semnalelor nestaţionare cu ajutorul distribuţiilor timp-frecvenţă. Această bibliotecă include doua grupe de funcţii: pentru generarea semnalelor, care permit sinteza a numeroase tipuri de semnale nestaţionare; pentru prelucrarea semnalelor, ce includ distribuţiile timp-frecvenţă. La fel ca şi în celelalte biblioteci ale programului MATLAB, fiecărei funcţii îi corespunde o descriere ajutătoare care poate fi accesată tastând >> help name_of_the_file în fereastra de comandă a programului MATLAB. În aproape fiecare caz, este dat un examplu simplu care facilitează utilizarea respectivei funcţii. Şapte fişiere demonstrative (demo) disponibile in MATLAB pun la dispoziţie o serie de exemple ce ilustrează capacitaţile pachetului de programe TFTB. Aceste fişiere sunt următoarele : tfdemo Descriere tfdemo1 Introducere tfdemo2 Semnale nestaţionare tfdemo3 Reprezentări timp-frecvenţa liniare tfdemo4 Clasa de distribuţii timp-frecvenţă Cohen tfdemo5 Clasa de distribuţii timp-frecvenţă înrudită tfdemo6 Distribuţii timp-frecvenţă redistribuite tfdemo7 Extragere de informaţie Tabel 1: Fişiere demonstrative pentru biblioteca TFTB. Exemplul_demo 1: Porniţi programul MATLAB. Deschideţi si executaţi fişierul ce conţine primul exemplu introductiv (tfdemo1) din toolboxul TFTB. Acest prim fişier demo conţine trei tipuri de semnale. - Primul este un semnal de amplitudine constantă, modulat liniar în frecvenţă, cu frecvenţa normalizată variind între 0 şi 0.5. Acest semnal se numeşte chirp şi este un semnal nestaţionar. - Al doilea semnal este de tipul sonar, având frecvenţa de eşantionare de khz si banda efectivă de [8 khz, 80 khz]. - Ultimul exemplu este un semnal tranzitoriu la care se adaugă un zgomot alb gaussian. Din simpla reprezentare grafică a acestor semnale este foarte dificilă localizarea lor atât în domeniul timp cât şi în frecvenţă. Scopul analizei timp-frecvenţă este tocmai obţinerea unei localizări timp-frecvenţă a acestor tipuri de semnale.

2 2. Simularea tehnicilor de compresie bazate pe reprezentări timpfrecvenţă în Matlab. Utilizarea pachetului de programe WaveLab Pachetul de programe pentru analiza în domeniul funcţiilor wavelet WaveLab Biblioteca (toolbox) WaveLab reprezintă o colecţie de rutine MATLAB pentru analiza în domeniul funcţiilor wavelet. Acest pachet de programe poate fi descărcat gratuit de pe Internet ( şi este compatibil atât cu sistemul de operare Windows cât şi cu UNIX sau MAC. WaveLab dispune de peste 1200 de fişiere şi 50 de subdirectoare. La fel ca şi în cazul celorlalte biblioteci MATLAB, fiecare funcţie din WaveLab are o descriere ajutătoare care poate fi accesată tastând >> help name_of_the_file în fereastra de comandă din MATLAB. WaveLab a fost utilizat în cursuri de analiză în domeniul undişoarelor la universităţile Stanford şi Berkeley. Pentru autorii săi acest pachet de programe a reprezentat o bază în ceea ce priveşte cercetarea în domeniul wavelet, deoarece el poate fi folosit pentru a reproduce figurile din articolele publicate de către aceştia şi de asemenea pentru a reface figurile la care parametrii variază. Subdirectorul Wavelab850/Papers este alcătuit din mai multe subdirectoare, fiecare dintre acestea conţinând câte un fişier demo. În Tabelul 1 se prezintă lista de fişiere demo din WaveLab (versiunea 850), precum şi articolele la care corespund figurile generate: Fişiere demo disponibile AdaptDemo AsympDemo BlockyDemo CorrelDemo IdealDemo MESDemo MIPTDemo RiskDemo SCDemo CSpinDemo TourDemo VdLDemo Figuri din urmatoarele articole: ''Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage'' ''Wavelet Shrinkage: Asymptopia?'' ''Smooth Wavelet Decompositions with Blocky Coefficient Kernels'' ''Wavelet Threshold Estimators for Data with Correlated Noise'' ''Ideal Spatial Adaptation via Wavelet Shrinkage'' ''Minimum Entropy Segmentation'' ''Nonlinear Wavelet Transforms based on Median-Interpolaton'' ''Exact Risk Analysis of Wavelet Regression'' '' Nonlinear Wavelet Methods for Recovery of Signals, Densities and Spectra from Indirect and Noisy Data'' ''Translation-Invariant De-Noising'' ''Wavelet Shrinkage and W.V.D. -- A Ten-Minute Tour'' ''WaveLab and Reproducible Research'' Tabelul 1: Fişiere demonstrative pentru Wavelab850. Exemplu_ demo: WaveLab oferă : Porniţi programul MATLAB. Scrieţi pe rând în fereastra de comandă din MATLAB numele fişierelor demo. Analizaţi pentru fiecare fişier în parte figurile ce se generează. La fiecare figură va apărea un comentariu în fereastra de comandă. Citiţi acest comentariu.

3 O colecţie de semnale de test (seturi de date) ce pot fi uşor accesate de către utilizator. În afară de semnalele simulate care sunt de interes stiinţific sau pedagogic, WaveLab include date reale, de exemplu imaginea cercetătoarei Ingrid Daubechies sau înregistrarea vocii tenorului italian Enrico Caruso. Baza de date conţine şi o documentaţie care poate fi găsiă în subdirectorul Wavelab850/ Datasets, unde fiecărui set de date (.raw or.asc) îi corespunde un fişier.doc. Un browser care permite utilizatorului să selecteze date, tipuri de undişoare, să efectueze diferite transformări sau operaţiuni de de-noising, şi apoi să observe rezultatele, fără a folosi interfaţa command-line din MATLAB. O documentaţie amanunţită, ce include o documentaţie on-line pentru fiecare funcţie, fişiere Cuprins (Content files) pentru fiecare subdirector, un ghid al arhitecturii, WaveLab Architecture, şi un document, numit About WaveLab, care pregateşte utilizatorul pentru prima folosire a bibliotecii WaveLab. Exemplu_browser: Tastaţi WLBrowser în fereasta de comandă a programului MATLAB. După iniţializarea browser-ului veţi observa patru noi ferestre: Signal, Signal/Reconstruction, Transform şi Auxialiary. Fiecare fereastră conţine un meniu. Prima fereastra (Signal), ce se găseşte în colţul din stânga, sus, este cea mai importantă dintre cele patru. Când apăsaţi pe opţiunea *Data puteţi observa un sub-meniu ce conţine tipurile de date pe care le puteţi alege. În acelaşi timp un comentariu informativ va apărea în ferestra de comandă. Selectarea acţiunii ce se va executa se poate face din *Actions. Alte setări se pot alege din *Param sau *Xforms. Exemplu: De-Noising Alegeţi opţiunea *Data din meniu, şi selectaţi RaphaelNMR. În prima fereastră, Figure No.1 Signal, puteţi vedea un semnal afectat de zgomot. Sub figură se observă câteva reglaje ce pot fi făcute. Aceste reglaje nu sunt însă importante pentru acest exemplu. În fereastra de comandă puteţi citi câteva informaţii privind secvenţa de date. Selectaţi din opţiunea *Param undişoara pe care doriţi sa o folosiţi, de exemplu Symmlet. Alegeţi mai departe opţiunea *Actions-WTDeNoise. În fereastra Figure No.2 Signal/Reconstruction puteţi vedea semnalul iniţial, afectat de zgomot (reprezentat cu culoarea galbenă) precum şi semnalul reconstruit, rezultat după aplicarea transformatei inverse (reprezentat cu culoarea albastră). O cantitate considerabilă de zgomot a fost înlăturată. În fereastra Figure No.3 Transform veţi observa transformarea în undişoare (wavelet) discretă (DWT) a semnalului afectat de zgomot (Before) şi rezultatul după denoising (After). Se poate observa că eşantioanele de dimensiuni reduse corespunzătoare rezultatului aplicării transformării wavelet discrete aspupra semnalului iniţial lipsesc în cazul transformării DWT a semnalului fară zgomot. Acesta este efectul procedurii de denoising. În fereastra Figure No.4 sunt prezentate spectrele de putere corespunzătoare semnalului iniţial afecat de zgomot (reprezentat cu culoarea verde) şi a celui obţinut în urma procedurii de denoising (reprezentat cu culoarea roşie). Se poate remarca scăderea densităţii de putere a semnalului fără zgomot faţă de densitatea de putere a semnalului inţial. Directorul Wavelab/Workouts/Toons conţine mai mult de 100 de programe MATLAB, ca de exemplu toon0131 care descrie undişoarele la scări diferite, toon0541-toon0548, care compară Transformata

4 Wavelet 2-d şi Transformata Fourier 2-d ca metode pentru compresia imaginilor, şi toon1611-toon1613 care ilustrează compresia imaginilor de amprentă digitală (fingerprint). Exemplu_toons : Tastaţi help toon0111 în fereasta de comandă a programului MATLAB. Puteţi citi în fereastra de comandă o scurtă prezentare a acestui program. Tastaţi acum toon011. Figurile generate în urma executării programului reprezintă patru undişoare mamă având suport compact: undişoara mamă de tip Haar, undişoara de tip Daubechies de ordinul 4, D4, undişoara Coiflet de ordinul 3, C3, şi cea mai simetrică undişoară din familia Daubechies, Symmlet, S8 (de ordinul 8). Analizaţi figurile obţinute. Studiaţi sintaxa instrucţiunii makewavelet. Pentru a găsi semnificaţia parametrilor acestei instrucţiuni tastaţi help MakeWavelet. Reprezentaţi grafic câteva tipuri de undişoarelor mamă folosind această instrucţiune: - Daubechies 2-10, - Coiflet2-Coiflet5, - Symmlet2-Symmlet10. Testaţi şi alte exemple din seria toons ce descriu undişoarele: toon Wavelet Families toon Interpolating Wavelets toon Average Interpolating Wavelets toon Meyer Wavelets toon Wavelets Come in Genders toon Scale Families of Wavelets toon Wavelets come at all different scales and positions toon Illustrating Boundary Wavelets toon Illustrating Boundary Wavelets toon Illustrating Boundary Wavelets toon Visualize wavelet decomposition of ramp toon Visualize wavelet decomposition of Doppler toon Visualize multi-resolution decomposition toon Illustrate smoothness of wavelets

5 Urmăriţi fiecare linie de cod din fişierul.mat (din fereastra de editare), instrucţiunile şi descrierea aplicaţiei (din fereastra de comandă) şi figurile generate la fiecare pas. Acest toolbox este destinat atât cercetătorilor cât si inginerilor şi studenţilor care au cunoştinţe de bază în domeniul prelucrărilor de semnale. Pachetul de programe TFTB conţine numeroşi algoritmi ce pot fi folosiţi la calculul diverselor tipuri de analiză timp-frecvenţă, în particular distribuţiile pătratice ale clasei Cohen şi ale clasei înrudită cu aceasta, precum şi versiunile lor ameliorate cu ajutorul metodei de realocare. Acest toolbox include de asemenea proceduri de simulare a semnalelor şi de prelucrări respectiv post-prelucrări (pentru afişare), precum şi câteva demonstraţii ilustrând funcţionarea lor. O parte din toolbox-ul TFTB este dedicată generării semnalelor nestaţionare. Pentru acest lucru sunt disponibile trei grupe de fişiere în MATLAB : 1. Prima grupă permite sintetizarea a diferite modulaţii de amplitudine. Aceste fişiere.mat încep cu prefixul am. De exemplu, amrect.m calculează o modulaţie de amplitudine dreptunghiulară, amgauss.m o modulaţie de amplitudine gaussiană, ş.a.m.d. 2. A doua grupă propune diferite modulaţii de frecvenţă. Aceste fişiere încep cu prefixul fm. Pentru exemplificare, fmconst.m generează o modulaţie de frecvenţă constantă, fmhyp.m o modulaţie de frecvenţă hiperbolică, ş.a.m.d. 3. A treia grupă reprezintă un set de semnale predefinite. Unele dintre ele încep cu prefixul ana deoarece aceste semnale sunt analitice (de exemplu anastep, anabpsk, anasing... ), altele au nume speciale (doppler, atoms... ). Primele două grupe pot fi combinate pentru a produce o clasă de semnale nestaţionare. Exemplul_demo 2: Semnale nestaţionare Deschideţi si executaţi fişierul tfdemo2. Acest fişier este dedicat semnalelor nestaţionare. Urmariţi fiecare linie de cod din fişierul tfdemo2.mat, instrucţiunile descrierea aplicaţiei din fereastra de comandă şi figurile generate la fiecare pas. Transformata Fourier nu este adaptată analizei semnalelor nestaţionare deoarece pentru analiza acestui tip de semnale este necesară o prelucrare localizată în timp. De asemenea conceptul de frecvenţa instantanee nu este adaptat unui număr mare de semnale nestaţionare, spre exemplu acelea care conţin mai mult de o componentă elementară şi în particular semnalelor afectate de zgomot. De aceea, reprezentările monodimensionale nu sunt suficiente. Astfel, trebuie considerate reprezentări bidimensionale (funcţii având ca şi variabile timpul si frecvenţa). O prima clasă de reprezentări timp-frecvenţă este clasa reprezentărilor liniare. Exemplul_demo 3: Reprezentări timp-frecvenţă liniare Deschideţi si executaţi fişierul ce conţine cel de-al treilea exemplu demonstrativ (tfdemo3) destinat reprezentărilor timp-frecvenţă liniare. Urmăriţi pas cu pas instrucţiunile şi comentariile apărute în fereastra de comandă, precum şi figurile generate în fiecare etapă. Pachetul de programe TFTB a fost conceput de François Auger, Olivier Lemoine, Paulo Gonçalvès şi Patrick Flandrin sub auspiciile CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique Centrul Naţional de Cercetare Ştiinţifică). Anumite părţi din acestă bibliotecă au fost scrise în cadrul Departamentului de Inginerie Electrică şi Informatică al Universităţii Rice (USA), având suportul NSF (National Science Foundation).

6 Exerciţii: Să se scrie în fereastra de editare a programului MATLAB urmatoarele două programe urmărind instucţiunile folosite şi analizând figurile obţinute. Rotiţi figura numărul 4 pentru a observa dependenţa de timp a reprezentării timp-frecvenţă, comportarea în domeniul frecvenţă sau pentru a obţine o vedere de sus a reprezentării. 1. Reprezentarea timp-frecvenţă de tip Gabor. % Generarea semnalului de analizat % AMGAUSS Generate gaussian amplitude modulation. % Y = AMGAUSS(N,T0,T) generates a gaussian amplitude modulation % centered on a time T0, and with a spread proportional to T. % This modulation is scaled such that Y(T0) = 1 % and Y(T0+T/2) and Y(T0-T/2) are approximately equal to 0.5. % N : number of points. % T0 : time center (default : N/2). % T : time spreading (default : 2*sqrt(N)). % Y : signal. amplitude = amgauss(128, 64, 30); % FMCONST Signal with constant frequency modulation. % [Y,IFLAW] = FMCONST(N,FNORM,T0) generates a frequency modulation % with a constant frequency fnorm. % The phase of this modulation is such that y(t0)=1. % % N : number of points. % FNORM : normalised frequency. (default: 0.25) % T0 : time center. (default: round(n/2)) % Y : signal. % IFLAW : instantaneous frequency law (optional). % frecvenţa purtatoarei este 0.05 [carrier, IFLAW] = fmconst(128, 0.05, 64); z = amplitude.* carrier; signal = real(z); figure(1); plot(amplitude); title('amplitudinea instantanee a semnalului de analizat'); figure(2); plot(real(carrier)); title('purtãtoarea semnalului de analizat'); figure(3); figure(3); plot(signal); title('forma de undã a semnalului de analizat'); % Calculul reprezentarii timp-frecvenţă de tip Gabor % TFRGABOR Gabor representation of a signal. % [TFR,DGR,GAM] = TFRGABOR(SIG,N,Q,H,TRACE) computes the Gabor % representation of signal X, for a given synthesis window H, on a % rectangular grid of size (N,M) in the time-frequency plane. M and N % must be such that N1 = M * N / Q % where N1 = length(x) and Q is an integer corresponding to the % degree of oversampling. % SIG : signal to be analyzed (length(sig)=n1). % N : number of Gabor coefficients in time (N1 must be a multiple % of N) (default : divider(n1)). % Q : degree of oversampling ; must be a divider of N % (default : Q=divider(N)). % H : synthesis window, which was originally chosen as a Gaussian

7 % window by Gabor. Length(H) should be as closed as possible % from N, and must be >=N (default : Gauss(N+1)). % H must be of unit energy, and CENTERED. % TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown % (default : 0). % TFR : Square modulus of the Gabor coefficients. When % called without output arguments, TFRGABOR runs TFRQVIEW. % DGR : Gabor coefficients (complex values). % GAM : biorthogonal (dual frame) window associated to H. % If Q=1, the time-frequency plane (TFP) is critically % sampled, so there is no redundancy in the TFP. % If Q>1, the TFP is oversampled, allowing a greater % numerical stability of the algorithm. [tfr, dgr, gam] = tfrgabor(signal, 64, 32); % În cazul nostru SIG este semnalul obţinut prin modularea în amplitudine % de produs a semnalului purtator carrier cu semnalul modulator Gaussian % amplitude figure(4); % Reprezentare grafică bidimensională mesh(tfr); title('pãtratul modulului reprezentãrii timp-frecvenþã de tip Gabor a semnalului de analizat'); 2. Reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului de tip «chirp» % Generarea semnalului de analizat % AMGAUSS Generate gaussian amplitude modulation. % Y = AMGAUSS(N, T0, T) generates a gaussian amplitude modulation % centered on a time T0, and with a spread proportional to T. % This modulation is scaled such that Y(T0) = 1 % and Y(T0+T/2) and Y(T0-T/2) are approximately equal to 0.5. % N : number of points. % T0 : time center (default : N / 2). % T : time spreading (default : 2 * sqrt(n)). % Y : signal. amplitude = amgauss(128, 64, 30); % FMPAR Parabolic frequency modulated signal. % [X, IFLAW] = FMPAR(N, P1, P2, P3) generates a signal with % parabolic frequency modulation law. % X(T) = exp(j * 2 * pi(a0. T + A1 / 2. T ^ 2 + A2 / 3. T ^ 3)) % N : the number of points in time % P1 : if NARGIN = 2, P1 is a vector containing the three % coefficients [A0 A1 A2] of the polynomial instantaneous phase. % If NARGIN=4, P1 (as P2 and P3) is a time-frequency point of the form [Ti Fi]. % The coefficients (A0,A1,A2) are then deduced such that % the frequency modulation law fits these three points. % P2, P3 : same as P1 if NARGIN=4. (optional) % X : time row vector containing the modulated signal samples % IFLAW : instantaneous frequency law [carrier, IFLAW] = fmpar(128, [ ], [ ], [ ]); z = amplitude. * carrier; signal = real(z);

8 figure(1); plot(amplitude); title('amplitudinea instantanee a semnalului de analizat'); figure(2); subplot(121); plot(real(carrier)); subplot(122); plot(iflaw); title('purtătoarea semnalului de analizat, (forma de undă în stânga şi legea de variaţie a frecvenţei instantanee în dreapta)'); figure(3); plot(signal); title('forma de undă a semnalului de analizat (se observă dubla modulaţie)'); % Calculul reprezentării timp-frecvenţă de tip narrowband ambiguity function % AMBIFUNB Narrow-band ambiguity function. % [NAF, TAU, XI] = AMBIFUNB(X, TAU, N, TRACE) computes the narrow-band % ambiguity function of a signal X, or the cross-ambiguity % function between two signals. % X : signal if auto-af, or [X1, X2] if cross-af (length(x) = Nx). % TAU : vector of lag values (default : -Nx / 2 : Nx / 2). % N : number of frequency bins (default : length(x)). % TRACE : if nonzero, (default : 0) % the progression of the algorithm is shown. % NAF : doppler-lag representation, with the doppler bins stored in the rows and the time-lags stored in the columns. % When called without output arguments, AMBIFUNB displays the squared modulus of the ambiguity function by means of contour. % XI : vector of doppler values. tfr = ambifunb(signal); figure(4); % Reprezentare grafică bidimensionala mesh(abs(tfr)); title('modulul reprezentării timp- frecvenţă de tip narrow-band ambiguity function a semnalului de analizat')

9 3. Simularea tehnicilor de marcare transparentă a imaginilor utilizând funcţii wavelet în Matlab Marcarea transparentă Watermarking-ul sau marcarea transparentă reprezintă o metodă de înglobare a unei informaţii invizibile în produse multimedia, cum ar fi imagini, semnale audio şi semnale video. Un watermark (marcaj) este un semnal inserat într-un document digital. Acest marcaj este asemănător unei semnături, cu observaţia că el trebuie să fie transparent. Watermark poate fi un şir de numere, numele unei companii, semnătura unei persoane, etc. Marcajele sunt generate în mod privat şi apoi ar trebui să fie detectate folosind chei private sau publice, în funcţie de întrebuinţarea lor. Principala caracteristică a unui marcaj este că nu poate fi detectat de către ochii sau auzul nostru. Deci vizionând sau ascultând obiectul multimedia care conţine un watermark, nu vom sesiza existenţa semnalului watermark. În schimb, marcajul poate fi detectat şi extras cu ajutorul calculatorului după un anume algoritm. Denumirea de watermark provine de la cuvintele din limba engleză water=apă şi mark=marcaj şi desemnează un marcaj invizibil, asemănător transparenţei apei. Termenul de watermarking este utilizat în general pentru înserarea de biţi de informaţie iar pentru cazurile în care se înserează mai mulţi biţi se foloseşte şi termenul de data embedding. Procedeul de marcare transparentă constă din două operaţii: introducerea marcajului în datele gazdă, înainte de transmisie sau stocare şi extragerea marcajului din datele recepţionate. Apoi are loc compararea marcajului adăugat la emisie cu cel extras la recepţie, pentru autentificare, în caz de dispută. Tehnicile de marcare transparentă nu sunt folosite doar în scopul protecţiei datelor. Alte aplicaţii ale acestei tehnici sunt: Indexare: indexarea filmelor şi articolelor de ştiri în baze de date multimedia unde pot fi plasate semne şi comentarii care ar putea fi folosite de motoarele de căutare de pe Internet. Siguranţa medicală: plasarea datelor şi numelui pacientului în imagini medicale stocate în diferite baze de date poate fi o măsură de securitate folositoare. Ascunderea datelor: tehnici de marcare transparentă pot fi folosite pentru transmiterea mesajelor private, secrete. Deoarece diversele guverne restricţionează folosirea serviciilor de criptare, oamenii pot să-şi ascundă mesajele în alte date. Clasificarea tehnicilor de marcare În figura 1 este dată o clasificare a tehnicilor de marcare existente: Marcajele perceptibile creează schimbări sesizabile în semnalul original, atunci când sunt înglobate, dar nu împiedică semnalul marcat să comunice mesajul original. Marcajele imperceptibile pot fi, în funcţie de aplicaţie: fragile şi robuste. Marcajele fragile sunt înglobate în semnalul multimedia astfel încât aproape orice transformare nedorită a semnalului marcat să conducă la alterarea acestuia, oferind în acest fel informaţii despre modificări ale semnalului făcute cu rea voinţă. Aceste marcaje sunt folosite mai ales pentru autentificare. Marcajele robuste sunt înglobate în

10 semnalul gazdă astfel încât să fie dificil de eliminat. Acestea trebuie să fie rezistente împotriva atacurilor intenţionate. În cadrul tehnicilor de marcare robustă se evidenţiază două tipuri de înglobare a marcajului : marcarea publică (foloseşte o cheie de marcare pentru înglobarea, detecţia şi extragerea marcajului, ultimele două operaţii efectuându-se fără să fie necesar semnalul multimedia original), marcarea privată (foloseşte atât semnalul multimedia marcat cât şi cel original pentru detecţia şi extragerea marcajului). Tehnicile de marcare robuste se pot clasifica şi în funcţie de locul de înserare a marcajului, astfel: tehnici în domeniul spaţial/temporal - marcajul este înglobat în domeniul spaţial pentru imagini, respectiv, în domeniul temporal pentru semnale audio, tehnici în domeniul transformatelor - se lucrează asupra transformatelor cosinus, Fourier sau wavelet ale semnalului gazdă. Figura 1: Clasificarea tehnicilor de marcare. Tehnicile de marcare transparentă pot fi clasificate conform câtorva criterii, după cum urmează: Selecţia locaţiilor unde va fi înserat marcajul, folosind modelul sistemului vizual uman, HVS, sau o cheie generată aleator respectiv pseudo-aleator, Domeniul în care este înserat marcajul: spaţial/temporal sau al unei transformate (DCT, DWT, DFT, etc), Codarea mesajului de marcaj, folosind coduri corectoare de erori (ECC), transmisia spread spectrum (SS), multiplexarea cu divizare în timp/spaţiu, multiplexarea în cod, Formarea semnalului marcat: prin adunare sau cuantizare, Detectarea/decodarea marcajului: cu corelatoare, etc. Tehnicile descrise anterior pot fi aplicate şi în domeniul unor transformate ale imaginii, unde se poate ţine cont de criteriile perceptuale în procesul de înserare a marcajului, şi în construirea unor tehnici de marcare robuste la atacuri bazate pe tehnici de prelucrare obişnuite. Fiecare transformată are avantajele şi dezavantajele sale.

11 Metode bazate pe transformata wavelet Aceste tehnici implică înserarea informaţiei în benzile LH (low-high), HL (high-low) şi HH (highhigh) ale transformatei wavelet a imaginii. Schimbările în aceste regiuni nu sunt sesizabile de către observatorii umani, din cauza caracteristicilor HVS. Dacă tehnicile de marcare pot exploata caracteristicile HVS, este posibilă ascunderea unor marcaje de energie mai mare într-o imagine, crescându-se robusteţea acestora. Din acest punct de vedere transformarea wavelet discretă, DWT, este foarte atractivă deoarece este mai eficientă din punctul de vedere al volumului de calcul. Se pare că ochiul uman este mai puţin sensibil la zgomot în benzile DWT de rezoluţie înaltă şi în banda DWT cu orientarea de 45 o (banda HH). În plus, codarea folosind funcţii wavelet a imaginilor şi a secvenţelor de imagini, cum ar fi codarea EZW (Embedded Zero-tree Wavelet), este inclusă în standardele de compresie video şi de imagine, ca de exemplu JPEG2000. Prin plasarea marcajului în acelaşi domeniu (domeniul DWT) se pot anticipa pierderile la compresia EZW cu pierderi, deoarece pot fi esimate benzile DWT care vor fi afectate de schema de compresie. În plus descompunerea DWT poate fi folosită pentru a crea aplicaţii de marcare în timp real. Algoritmi în domeniul unei transformate Există multe aplicaţii ce utilizează descompunerea wavelet. Unele dintre acestea sunt de compresie şi denoising. De exemplu, una dintre cele mai populare şi de succes aplicaţii wavelet este compresia amprentelor digitale folosite de FBI. Analiza wavelet permite partajarea planului timp-frecvenţă în celule de rezoluţie de arie constantă (σ t σ ω =constantă) dar de durată efectivă (σ t ) respectiv bandă efectivă (σ ω ) variabile. În acest mod pot fi utilizate intervale de timp mai lungi (σ t mai mare) pentru a analiza mai precis o informaţie de joasă frecvenţă (σ ω - mai mic), şi intervale de timp mai scurte (σ t mai mic) când se doreşte analiza unei informaţii de frecvenţă mai mare (σ ω - mai mare). Şi în cazul marcării transparente au fost propuse tehnici care folosesc o transformată. Pentru inserarea marcajului, se aplică o transformare semnalului gazdă şi apoi sunt modificaţi coeficienţii transformatei obţinuţi astfel. Transformatele au fost studiate mai ales în contextul codării şi compresiei imaginii, dar multe rezultate sunt aplicabile şi pentru marcarea transparentă. În cele mai multe imagini culorile pixelilor adiacenţi sunt corelate. Trecerea imaginii în domeniul unei transformate, ca de exemplu DCT sau DWT, ar trebui să decoreleze eşantioanele originale şi să concentreze energia în câţiva coeficienţi. O imagine codată în domeniul frecvenţă are energia concentrată în primii coeficienţi DCT, deci conţine mai ales componente de joasă frecvenţă. Ele înglobează forma şi caracteristicile globale ale imaginii, luminanţa şi contrastul. Componentele de frecvenţă înaltă caracterizează muchiile imaginii, dar contribuie puţin la energia imaginii. O imagine ar putea conţine 95% din energia sa în 5% din componentele sale spectrale de cea mai joasă frecvenţă corespunzând primilor coeficienţi ai transformării sale DCT bidimensionale. DWT descompune imaginea în sub-benzile HH, HL şi LH, pentru fiecare nivel de rezoluţie, şi în sub-banda LL (low-low) pentru nivelul de cea mai slabă rezoluţie. Banda LL este, de asemenea, cunoscută sub numele de sub-imagine de aproximare deoarece conţine cele mai multe informaţii despre imagine. Subbenzile HL, LH şi HH sunt sub-imagini de detalii conţinând detaliile orizontale, verticale şi diagonale ale imaginii. Detaliile unei imagini, cum ar fi contururile şi texturile sunt conţinute exclusiv în sub-benzile HH, LH şi HL ale transformatei DWT a acelei imagini. Atacuri asupra sistemelor de marcare Un atac este orice fel de modificare a semnalului multimedia marcat care poate afecta calitatea marcajului extras. Atacurile pot avea loc în timpul transmisiei sau asupra mediului de memorare. Obiectivul atacatorului este reducerea securităţii sistemului de marcare, cu alte cuvinte să reducă probabilitatea de extragere/detecţie a marcajului original, respectiv să crească probabilitatea de extragere/detecţie a unui marcaj care nu a fost inserat în semnalul marcat (extragere falsă). Atacurile pot folosi o singură copie marcată a unui original (caz în care atacurile pot fi neintenţionate sau intenţionate), sau mai multe copii ale documentului original (caz în care ele sunt intenţionate) (vezi figura 2).

12 Figura 2: Clasificarea atacurilor, funcţie de numărul de copii marcate. Atacurile asupra unei copii marcate, pot fi clasificate (vezi figura 3) după cum urmează: neintenţionate: conversiile în alt format care rezultă din compresie, modificarea ratei de bit, compensarea raportului de aspect sau conversia tipului de fişier. intenţionate, care se pot clasifica în două mari categorii: - atacuri asupra unui singur cadru / single-frame: filtrare, transformări geometrice, atacuri criptografice, de protocol, de estimare a semnalului gazdă sau a marcajului, adăugare de zgomot; - atacuri asupra mai multor cadre / multiple-frames: medierea mai multor cadre; estimarea mai multor cadre (de exemplu prin mediere ponderată). Figura 3: Clasificarea atacurilor.

13 Exerciţiu: O metodă robustă de marcare transparentă pentru imagini statice Deschideţi programul MATLAB şi rulaţi main.m din directorul Watermarking. Simulările au fost efectuate folosind imaginea Peppers cu o dimensiune 256 x 256. Marcajul este o secvenţă pseudoaleatoare binară cu lungimea de Nw = 256. Undişoara mamă Daubechies 10 a fost folosită pentru a produce coeficienţii wavelet. În toate testele s-au folosit următorii parametri: numărul de niveluri de rezoluţie L=3, puterea marcajului α = 0.1 şi variabilele dependente de nivel q 1 = 0.06, q 2 = 0.04 şi q 3 = Vom extrage marcajul în două moduri: - de la toate nivelurile, folosind o regulă a majorităţii, (detector NC1), - numai de la nivelul de cea mai slabă rezoluţie (considerând că cele mai scăzute frecvenţe nu sunt atât de afectate de distorsiuni obişnuite ale semnalului) (detector NC2). a) Refaceţi simulările folosind alte trei imagini din directorul Watermark (Lena, Boat, Barbara), toate având dimensiunea 256 x 256. b) Observaţi diferenţa vizuală dintre imaginile marcate şi cele originale; măsuraţi diferenţa dintre cele două tipuri de imagini (marcată şi originală), comparând rapoartele lor semnal/zgomot. c) Investigaţi efectul unor atacuri bazate pe prelucrări obişnuite ale unui semnal (filtrare mediană, compresie JPEG, AWGN) asupra coeficientului de corelaţie între marcajul original şi cel recuperat.

14 Simularea unui sistem de modulaţie wavelet în Matlab Modulaţia cu purtătoare multiple Modulaţia cu purtătoare multiple a cunoscut, în ultimele decenii, o largă utilizare. Astfel, diverse variante ale OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) sunt propuse la ora actuală în majoritatea standardelor de transmisiuni pe canale radio, dar şi în diverse aplicaţii de transmisie pe canale cu fir. Se pot enumera aici standardele DAVB (Digital Audio and Video Broadcasting), IEEE (reţele WiFi), IEEE (WiMAX), 3GPP release 8 (LTE), tehnologiile DSL (Digital Subscriber Loop) sau transmisia de date pe linii de alimentare cu tensiune. Tehnologiile enumerate mai sus sunt cele mai cunoscute aplicaţii ale modulaţiilor multipurtătoare. Utilizarea pe scară largă a acestora dovedeşte fiabilitatea şi robusteţea lor şi justifică interesul acordat acestei direcţii în cercetarea ştiinţifică. Aplicaţiile enumerate anterior folosesc diverse versiuni ale OFDM. Pe lângă numeroasele sale avantaje, OFDM prezintă însă şi o serie de dezavantaje, care se constituie în impedimente serioase în implementarea practică şi diminuează performanţele OFDM. La ora actuală există două direcţii de cercetare principale în domeniul modulaţiilor multi-purtătoare: 1. Pe de o parte, se caută soluţii şi algoritmi care, păstrând principiile de bază din OFDM (aceleaşi tipuri de purtătoare, aceiaşi algoritmi numerici de implementare a modulatorului şi demodulatorului), să reducă impactul dezavantajelor acestei tehnici. 2. Pe de altă parte, tot mai multe lucrări şi cercetări pledează pentru implementarea modulaţiilor multi-purtătoare pe baze noi, prin folosirea altor familii de purtătoare ortogonale decât exponenţialele complexe din OFDM. În a doua categorie de metode se încadrează undişoarele (wavelets). Folosirea undişoarelor într-o metodă de transmisie multi-purtătoare reprezintă o temă de cercetare care se află în plină expansiune. Principalele aplicaţii ale metodelor multi-purtătoare pe bază de undişoare prezentate în literatură sunt transmisia de date prin reţeaua de alimentare cu energie electrică, pe de o parte, şi transmisia pe canale radio, pe de altă parte. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) Expansiunea modulaţiei OFDM s-a produs de fapt odată cu maturizarea tehnicilor de procesare numerică de semnal şi a algoritmilor asociaţi. În acest caz, o importanţă particulară o prezintă algoritmul rapid de calcul al Transformării Fourier Discrete (TFD), care este punctul cheie al modulatorului şi demodulatorului OFDM, aşa cum se va vedea în cele ce urmează. Utilizarea acestei tehnici a cunoscut o dezvoltare rapidă mai ales în sisteme care folosesc transmisia fără fir. Astfel, o gamă largă de standarde şi soluţii proprietar folosesc OFDM la nivelul fizic pentru a transmite informaţia prin canalul radio. Între acestea se pot aminti DAVB (Digital Audio & Video Broadcasting), WiFi (IEEE ), WiMAX (IEEE ), LTE (Long Term Evolution, standard 3GPP release 8) sau Flash OFDM (soluţie Flarion). Tehnica OFDM se bazează pe transmisia multi-purtătoare: mai multe fluxuri de date sunt transmise în paralel, folosind subpurtătoare care sunt ortogonale între ele. Ortogonalitatea este esenţială, deoarece ea este cea care permite separarea subpurtătoarelor la receptor. În figura 1 se prezintă schema bloc a unui lanţ de transmisie folosind multiplexul ortogonal cu divizare în frecvenţă.

15 Figura 1: Schema bloc a unui sistem de transmisie bazat pe OFDM Simbolurile de informaţie reprezintă o secvenţă de biţi, rezultată eventual în urma unei codări de canal a şirului iniţial de date. Succesiunea astfel obţinută este convertită în format paralel (pe N ramuri) şi supusă unei "modulări în banda de bază". Prin aceasta se înţelege că, în funcţie de constelaţia de modulaţie aleasă pe fiecare ramură, grupurile de biţi sunt convertite în simboluri complexe. Punctul cheie al modulatorului OFDM îl reprezintă algoritmul Inverse Fast Fourier Transform (IFFT). Faptul că modularea este realizată prin aplicarea unei transformate Fourier inverse ne poate conduce spre interpretarea simbolurilor de intrare în modulator ca fiind "eşantioane" definite în frecvenţă. În ceea ce priveşte constelaţia de modulaţie folosită, ea poate fi aceeaşi sau diferită pe fiecare ramură în parte, ca rezultat al unui mecanism inteligent de optimizare a transmisiei, care se bazează pe estimarea canalului. În faţa simbolului OFDM obţinut de către modulatorul IFFT se inserează un prefix circular care are menirea de a separa între ele două blocuri OFDM succesive şi de a facilita egalizarea canalului la receptor. În practică, toate aceste operaţii se implementează prin prelucrare numerică de semnal. Pentru a se obţine semnalul ce corespunde modulaţiei OFDM, este nevoie de conversia semnalului digital din banda de bază într-un semnal analogic (folosind un convertor numeric-analogic şi un formator de impulsuri). Semnalul analogic astfel obţinut, va fi la rândul lui translatat la frecvenţa radio de transmisie de către un convertor de radio-frecvenţă. Receptorul implementează operaţiile complementare: semnalul este translatat în banda de bază şi convertit în semnal digital. După înlăturarea prefixului circular se poate folosi un egalizor de canal (nereprezentat în figură). Dacă se fac câteva ipoteze simplificatoare (adeseori neacoperite însă în practică), şi anume: canal estimat perfect, liniar şi invariant în timp şi durată a prefixului circular mai mare decât durata răspunsului la impuls al canalului, atunci acest egalizor de canal este unul foarte simplu, constând într-o multiplicare cu o constantă a semnalului recepţionat pe fiecare subpurtătoare, care să compenseze coeficientul complex al răspunsului în frecvenţă al canalului. Secvenţa astfel obţinută este adusă la intrarea blocului Fast Fourier Transform (FFT) care joacă rolul de demodulator. Simbolurile complexe de ieşire sunt transformate în grupuri de biţi în conformitate cu constelaţia de modulaţie folosită pe fiecare dintre subpurtătoare. Dacă se foloseşte şi un cod corector de erori, atunci decodorul ar putea îngloba întreaga parte de detecţie, la ieşire obţinându-se valoarea estimată a biţilor transmişi. Utilizarea undişoarelor în transmisiile multi-purtătoare Undişoarele şi-au găsit locul în ultimii ani în multe domenii specifice ale teoriei prelucrării semnalelor. Ne referim aici la "denoising" (termen introdus chiar în legătură cu folosirea funcţiilor wavelet), compresie, segmentare a semnalelor uni-dimensionale şi a diverselor tipuri de imagini, sau clasificare. Recent, unele proprietăţi specifice familiilor de funcţii wavelet, cum ar fi ortogonalitatea componentelor acestor familii sau capacitatea lor de a împărţi planul timp-frecvenţă într-o manieră flexibilă au fost folosite şi în aplicaţii de transmisii de date. O abordare modernă a comunicaţiilor de date priveşte canalul de transmisie ca fiind un plan timpfrecvenţă. Pe axa frecvenţelor se poate identifica lăţimea de bandă dedicată unei transmisii iar pe axa timp modalitatea în care resursele de transmisie (temporale) sunt alocate pentru transmisie. În conformitate cu

16 principiul de incertitudine Heisenberg-Gabor, niciun semnal nu poate fi perfect localizat atât în domeniul timp, cât şi în domeniul frecvenţă. O colecţie de undişoare poate "acoperi" planul timp-frecvenţă într-o manieră eficientă. Astfel, o undişoară mamă are capacitatea de a genera o familie ortonormală. Această familie se obţine prin translatarea în timp şi scalarea undişoarei mamă ( mother wavelets"). Relaţia matematică este: 1 t τ ψ s, τ(t) = ψ ( ) (1) s s În relaţia de mai sus, variabilele de scară (s) şi de poziţie pe axa timpului (τ) sunt continue. Faţă de purtătoarele sinusoidale din OFDM, undişoarele prezintă o serie de avantaje în ceea ce priveşte complexitatea redusă a implementării, flexibilitate şi eficienţă spectrală. Ideea a fost extinsă şi la pachete de funcţii wavelet, care conferă transmisiei o eficienţă spectrală sporită şi o mai mare adaptabilitate la condiţiile din canal. Legătura dintre OFDM-ul tradiţional şi acela bazat pe folosirea funcţiilor wavelet este dată de ortogonalitatea (în ambele cazuri) funcţiilor care sunt folosite drept purtătoare. Unul dintre punctele cheie ale modulaţiei wavelet este că ea poate fi generată prin tehnici de prelucrare numerică de semnal, respectiv prin intermediul IDWT. În acest caz, semnalul transmis în canal va fi "sintetizat" (exact ca în cazul OFDM) cu ajutorul unor coeficienţi wavelet. Astfel, datele de transmis pot fi privite ca fiind definite într-un domeniu transformat, exact cum se întâmpla şi la tehnica OFDM. Modulaţia wavelet poate fi simulată folosind o schemă bloc ca cea din figura 2: Figura 2: Simularea transmisiei WOFDM De remarcat interpretarea datelor de intrare, văzute ca şi o colecţie de coeficienţi de aproximare, respectiv de detalii. De fapt, este vorba despre simbolurile care trebuie transmise, ce corespund schemei de modulaţie (constelaţiei de semnal) folosite. Dacă este vorba despre modulaţii care transportă mai mult decât un bit per simbol (QPSK, 16 QAM etc.), atunci simbolurilor de transmis le vor corespunde numere complexe, şi, în acest caz, trebuie lucrat pe două ramuri (una corespunzând componentei în fază, iar cealaltă componentei în cuadratură). Aceasta, deoarece spre deosebire de DFT, DWT este o transformare reală, şi, în principiu, la intrarea blocului DWT ar trebui aduse numere reale, şi nu complexe. Blocului denumit "canal" în schema din figura 2 îi corespunde o funcţie de transfer (H(z)). În cazul cel mai simplu, H(z)=1, când nu este influenţat semnalul ce trece prin acest bloc. În acest caz, influenţa mediului de transmisie este determinată de două tipuri de zgomote. Secvenţa z[n] corespunde în general situaţiei unui zgomot alb, gaussian şi de medie nulă. Secvenţa ray[n] este distribuită Rayleigh, şi prin intermediul ei se simulează variabilitatea în timp a canalului. În cazul în care H(z) este diferit de 1, atunci se poate surprinde şi caracterul selectiv în frecvenţă al mediului de transmisie folosit. Avantajele utilizării undişoarelor în transmisiile multi-purtătoare Implementarea modulaţiei multi-purtătoare bazată pe undişoare poate prezenta o serie de avantaje faţă de aceea bazată pe transformarea Fourier, şi implicit pe exponenţiale complexe: avantajul eficienţei spectrale (semnalul WOFDM se "încadrează" mai bine în banda dedicată şi generează interferenţe în benzile laterale mai puţin importante decât în cazul semnalului OFDM; în sistemele de tip OFDM folosirea prefixului circular ridică şi ea o problemă din punct de vedere

17 al eficienţei spectrale. Problema nu se regăseşte în sistemul WOFDM, unde nu se foloseşte un prefix circular) avantaj în ceea ce priveşte complexitatea de implementare a lanţului de transmisie (în situaţia în care se impune transmisia unui semnal real, OFDM ridică probleme suplimentare, ceea ce conduce în mod direct la o complexitate superioară celei a WOFDM.) Exerciţiu 1: Principiul modulării şi demodulării wavelet. Deschideţi programul MATLAB şi rulaţi exercitiul1.m din directorul Programe. Se generează 4 simboluri alternante pentru a fi transmise folosind metoda Wavelet OFDM (WOFDM): {+1,- 1,+1,-1}. Purtătoarele folosite sunt din familia Daubechies-10 cu o durată de 128 de eşantioane şi se lucrează la scara j m = 2, adică factorul de "compresie temporală" al undişoarelor va fi 4. Alegeţi şi alte tipuri de undişoarelor mamă din familiile Daubechies, Coiflet, Symlet, etc şi executaţi de fiecare dată programul. În figurile generate în urma executarii programului se pot observa simbolul WOFDM, şi cum acţionează detectorul pentru a identifica simbolurile transmise: întâi multiplicarea cu undişoara corespunzătoare, apoi integrarea semnalului pe durata de transmisie a unui simbol WOFDM. Acest mod de detecţie corespunde de fapt aplicării transformării wavelet directe. Se observă cum la ieşirile integratoarelor plasate pe ramurile (pe subpurtătoarele) pe care s-a transmis simbolul 1, semnalul are tendinţa de creştere, ajungând destul de rapid aproape de valoarea 1. Efectul este similar pentru ramurile 2 şi 4, însă de data aceasta vom vorbi de valori negative. Eşantionarea conduce fără probleme la identificarea simbolurilor transmise. Să presupunem că folosim undişoara Haar, şi că semnalul s(t) generat va fi aproximat pe calculator printrunul având N=16 eşantioane. În acest caz vom avea j m =4 şi se vor folosi drept purtătoare undişoare Haar de la toate cele 4 scări sisponibile. Aşadar, simbolurile de transmis pot fi văzute ca şi un coeficient wavelet ( w 0,1 ) şi unul de aproximare ( a 0,1 ) pentru nivelul cel mai brut, doi coeficienţi wavelet pentru j m =1( w 1,1 şi w 1,2 ), 4 coeficienţi pentru j m = 2 şi 8 coeficienţi pentru j m = 3. Coeficientul de aproximare va modula funcţia de scară ϕ 0 (t), cel wavelet de la scara cea mai brută va modula undişoara ψ 0 (t) ş.a.m.d. Toate aceste forme de undă adunate vor da simbolul WOFDM. Exerciţiu 2: Criteriul lui Nyquist de interefernţă nulă inter-simbol şi funcţiile wavelet. Rulaţi exercitiul2.m din directorul Programe. Alegeţi şi alte tipuri de undişoarelor mamă din familiile Daubechies, Coiflet, Symlet, etc şi executaţi de fiecare dată programul. Vizualizaţi undişoara mamă în fiecare caz, precum şi funcţia de autocorelaţie a unei undişoarei mamă. Observaţi că undişoarele satisfac criteriul lui Nyquist de interferenţă nulă intersimbol. Bibliografie: [1] Marius Oltean, teza de doctorat: "Contributii la optimizarea transmisiei pe canale radio, folosind functii wavelet"

18 O metodă de predicţie de trafic bazată pe Transformata Wavelet Introducere Reţelele fără fir au cunoscut în ultimii ani o creştere considerabilă a numărului de utilizatori şi de asemenea a traficului. Studiul capacitaţii unei reţele de telecomunicaţii este un obiectiv foarte important, care nu a primit încă atenţia cuvenită în domeniul cercetării. Teoria planificării capacităţii pentru reţelele de telecomunicaţii tradiţionale reprezintă un domeniu bine explorat, care are o aplicabilitate limitată în reţele ad-hoc, cum ar fi de exemplu reţeaua WiMAX. Serii temporale O serie temporala reprezintă o secvenţă de observaţii X 1, X 2,, Xt 1, X t a unui proces aleator X la intervale de timp discrete, unde o observaţie la momentul de timp t este data de X t. O astfel de secvenţă de valori poate fi exprimată matematic cu scopul analizei comportamentului său, în general pentru înţelegerea evoluţiei sale anterioare şi pentru prezicerea comportamentul viitor. Pentru a se realiza acest lucru se utilizează de cele mai multe ori concepte matematice de probabilitate şi statistică. Printre obiectivele sale principale se includ determinarea tendinţelor în cadrul acestor serii şi de asemenea stabilitatea valorilor (şi varianţa lor) în funcţie de timp. In ultimii ani au fost elaborate mai multe studii ce implica serii temporale şi proceduri de predicţie. Există mai multe modele liniare clasice care pot fi aplicate pentru a realiya predicţia unei serii temporale, cum ar fi: modelul AR(p) (Autoregressive), modelul MA (q) (Moving Average), modelul ARMA (p, q ) (Autoregressive Moving Average), modelul ARIMA (p, d, q) (Autoregressive Integrated Moving Average) sau modelul FARIMA (Franctional Autoregressive Integrated Moving Average). Aceste modele pot fi aplicate oricărui set de date de tip serie temporală prin selectarea valorilor corespunzătoare ale parametrilor p, d şi q. Reţele neuronale (RN) au fost considerate un instrument foarte important pentru estimare si a fost folosit în mai multe domenii, inclusiv predicţia de trafic. Transformata Wavelet. Transformata Wavelet nedecimată. Transformata Wavelet este un instrument de analiză timp-frecvenţă foarte popular în prelucrarea semnalelor.analiza multirezoluţie (MRA) este o proprietate importantă a transformatei wavelet, prin care semnalele pot fi descompuse în componente de înaltă frecvenţă (detalii) şi în componente de joasă frecvenţă (aproximări). Dintr-o secvenţă de coeficienţi de aproximări şi o secvenţă de coeficienţii de detalii având o rezoluţie oarecare, putem reconstrui fără pierderi semnalul analizat la o rezoluţie mai mare. Descompunerea semnalului care urmează să fie analizată ca secvenţe de aproximări respectiv de detalii se face iterativ, fiecare nivel de descompunere corespunzând unei anumite rezoluţie. Se utilizează transformata wavelet nedecimată, numită şi staţionară (care este calculată folosind algoritmul à trous), chiar dacă aceasta este o transformare redundantă şi necesită o complexitate de calcul mai mare decât transformata wavelet discretă (DWT) transforma. Această transformare este invariantă la translaţii datorita eliminării decimării dintre scari succesive şi, astfel, are avantajul alegerii de filtre mai simple decât transformata decimată. Un sistem de calcul a transformatei wavelet nedecimată este prezentat în figura 1.

19 Figura 1 Sistem pentru calculul transformatei wavelet nedecimată. În acest caz, utilizarea decimatoarelor este evitată, dar la fiecare iteraţie se folosesc filtre de tip trece-jos şi trece-sus diferite. Modele de predicţie ARIMA Fiind dată o serie temporală X t, modelul ARMA este un instrument pentru înţelegerea şi predicţia, eventual, valorilor viitoare ale acestei serii. In general, un model ARMA este notat ARMA (p, q), unde p reprezintă ordinul părţii autoregresive (AR) iar q reprezintă ordinul părţii medie mobila (MA). Modelul ARMA permite tratarea seriilor staţionare. Modelele ARIMA permit tratarea seriilor nestaţionare la fel ca şi modelele ARMA, după determinarea nivelului de integrare d (de câte ori trebuie diferenţiată seria înainte de a o declara staţionară). Modelul general ARIMA presupune trei tipuri de parametrii : parametrii AR(p), parametrul de diferenţiere (d) şi parametrii MA(q). Un model ARIMA este dat de : 2 ( B)( 1 B) d Xt ( B) Zt, Zt ~ WN( 0, ) ϕ =θ σ Aceşti parametrii pot fi estimaţi folosind metodologia Box-Jenkins. Abordarea generală a metodologiei Box-Jenkins presupune să se diferenţieze seria pentru a o face staţionară (determinarea nivelului de integrare, d ). Determinarea ordinelor p şi q depinde de funcţia de autocorelaţie si de funcţia de autocorelaţie parţială a seriei pe care dorim sa o modelăm. Modelul statistic pentru seria ce dorim să o preyicem, reduce modelul de regresie liniară multiplă la doar doi parametri: tendinţa generală a seriei (descrisă de coeficienţii wavelet de aproximare) şi variabilitatea în jurul tendinţei (descrisă de coeficienţii de detalii a transformatei wavelet). Exerciţiu Deschideţi fişierul main.m din directorul Laborator 5/ Programe. Descrierea datelor Datele au fost colectate pe o perioadă de opt săptămâni, la nivelul fiecărei staţii de bază ce compune o reţea de tip WiMAX. Aceste valori reprezintă volumul de trafic măsurat în pachete, pentru toate conexiunile şi pentru fiecare staţie de bază din reţea în timpul perioadei de opt săptămâni. Aceste valori au fost înregistrate la fiecare 15 minute. În figura 2 se arată semnalul original corespunzător unei staţii de bază.