Reformularea definițiilor principalelor mărimi electrice de putere în domeniul wavelet. Raport de cercetare nr. 1

Transcription

1 Investeşte în oameni! FONDUL OCIAL EUROPEAN Proiect cofinantat din Fondul ocial European prin Programul Operational ectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 7-3 Universitatea Ştefan cel Mare din uceava Facultatea de Inginerie Electrică şi Ştiinţa Calculatoarelor Domeniu de doctorat: Inginerie Electronică şi elecomunicaţii Reformularea definițiilor principalelor mărimi electrice de putere în domeniul wavelet Raport de cercetare nr. Coordonator ştiinţific Prof. dr. ing. Adrian GRAUR Doctorand Ing. APEREI Viorel

2 Investeşte în oameni! FONDUL OCIAL EUROPEAN Programul Operaţional ectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 7 3 Axa prioritară : Educaţia şi formarea profesională în spriinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere Domeniul maor de intervenţie.5 "Programe doctorale şi post-doctorale în spriinul cercetării" Beneficiar: Universitatea ehnică din Clu-Napoca Partener: Universitatea tefan cel Mare din uceava Acord de parteneriat nr. 466/3.9. Aceasta lucrare a beneficiat de suport financiar prin proiectul "Q-DOC Creşterea calităţii studiilor doctorale în ştiinţe inginereşti pentru spriinirea dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere Contract nr. PODRU/CPP7/DMI.5//78534 proiect cofinanţat din Fondul ocial European prin Programul Operaţional ectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 7-3.

3 Cuprins. ransformata Wavelet (W) 5.. Introducere 5... Definirea wavelet-ului Caracteristicile wavelet-ului Analiza wavelet-ului Evoluția ransformatei Wavelet ransformata Fourier (F) ransformata Fourier pe termen scurt (F) ransformata Wavelet (W) Comparații vizuale Aspecte teoretice ale ransformatei Wavelet..3.. ransformata Wavelet Continuă (CW).3.. ransformata Wavelet Discretă (DW)..4. Implementări ale ransformatei Wavelet Discretă Analiza Multirezoluție (MRA) Implementarea colecției de filtre Reconstrucția Perfectă (PR) 6.5. Extensii ale ransformatei Wavelet Discretă ransformata Wavelet Discretă bidimensională (DW -D) ransformata Wavelet de Pachete (WP) ransformata Wavelet taționară (W) 4.6. Aplicații ale ransformatei Wavelet Limitări ale ransformatei Wavelet 5. Definițiile principalelor mărimi electrice de putere cuprinse în tandardul IEEE Introducere Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții sinusoidale isteme monofazate liniare isteme trifazate liniare echilibrate Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții nesinusoidale Definiţii bazate pe extinderea definiţiei puterii monofazate liniare 3

4 sinusoidale (Abordarea de os în sus) uportul definiţiilor din sistemele polifazate neliniare nesinusoidale (Abordarea de sus în os) Definiţii bazate pe domeniul timp-frecvenţă (abordarea combinată) Concluzii și contribuții Reformularea definițiilor principalelor mărimi electrice de putere în domeniul wavelet Reformularea definițiilor mărimilor electrice de putere în sistemele monofazate Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele monofazate utilizând ransformata Fourier Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele monofazate utilizând ransformata Wavelet Reformularea definițiilor mărimilor electrice de putere în sistemele trifazate Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele trifazate utilizând ransformata Fourier Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele trifazate utilizând ransformata Wavelet Concluzii și contribuții 6 Bibliografie 63 4

5 . ransformata Wavelet (W).. Introducere... Definirea wavelet-ului Wavelet-ul este un tip de funcţie folosit pentru a împărţii o funcţie sau un semnal în componente diferite în domeniul timp-frecvenţă. Acestea pot fi studiate la o rezoluţie corespunzătoare scalei wavelet-ului. Prin transformata wavelet se înţelege reprezentarea unei funcţii cu autorul wavelet-urilor. Wavelet-urile reprezintă copii scalate și translatate ale unei unde oscilante de lungime finită. Aceste copii sunt cunoscute sub de numirea de wavelet-uri fiică în timp ce undele poartă numele de wavelet-uri mamă.... Caracteristicile wavelet-ului Wavelet-ul prezintă un caracter oscilant având capacitatea de analiză simultată în domeniul timp respectiv frecvență fiind un instrument potrivit pentru fenomenul tranzitoriu non-staționar sau variabil în timp al semnalelor [3 69]. Diferența dintre o undă (sinusoid) și un wavelet este prezentată în Figura. Undele sunt netede predictibile și durabile în timp ce wavelet-urile sunt de durată limită neregulate și asimetrice. Undele sunt utilizate ca și funcții determinante de bază în analiza Fourier pentru extinderea funcțiilor (semnalelor) care sunt invariante în timp sau staționare. Cea mai importantă caracteristică a wavelet-urilor se referă la faptul că acestea pot servi ca și baze de determinare sau non-determinare a generării și analizei maorității semnalelor reale oferind o reprezentare îmbunătățită în domeniul timp-frecvență fapt care nu poate fi obținut cu autorul undelor ce utilizează analiza Fourier convențională. (a) (b) Figura. Reprezentarea unei forme de undă (a) și a unui wavelet (b) 5

6 ..3. Analiza wavelet-ului Analiza wavelet-ului constă în adoptarea unei funcții prototip wavelet numită wavelet de analiză sau wavelet mamă. Analiză temporară este realizată cu o versiune compactă de frecvență ridicată a wavelet-ului prototip în timp ce analiza frecvenței este realizată cu versiunea extinsă de frecvență oasă a aceluiași wavelet [48]. Multe din dezvoltările care au precedat analiza wavelet au apărut în domeniul numit analiză multirezoluţie şi au încercat să combată limitările transformatei Fourier. eoria multirezoluţiei este descrisă de teoria funcţiilor spaţiale mai exact în spaţiul L(). Pentru maoritatea semnalelor conţinutul de oasă frecvenţă prezintă cea mai mare importanţă dând unicitate semnalului. Conţinutul de înaltă frecvenţă pe de altă parte dă savoare şi nuanţă. În analiza wavelet se utilizează frecvent termenii aproximare şi detalii: aproximările sunt componentele de scală mare şi frecvenţă oasă; detaliile sunt componentele de scală mică şi frecvenţă înaltă. Coeficienții aproximării se obţin prin produsul scalar dintre funcţia de scalare şi semnal... Evoluția ransformatei Wavelet Necesitatea reprezentării și localizării simultane a timpului și frecvenței pentru semnalele non-staționare (ex. muzică ima gini) a condus la evoluția transformatei wavelet pornind de la bine cunoscuta transformată Fourier.... ransformata Fourier (F) Una dintre cele mai cunoscute tehnici de analiză a semnalelor este analiza Fourier care împarte un semnal în componentele sale sinusoidale la diferite frecvențe. Folosind analiza Fourier putem transforma domeniul timp în domeniu frecvenţă putând astfel să vizualizăm şi să analizăm spectrul de frecvenţă al unui semnal. Pentru un semnal x(t) F este dată de formula: X f x t e ft dt F prezintă o abilitate crescută de captare a frecvenței semnalelor atâta timp cât x(t) este compus din elemente staționare puține (ex. forma de undă sinus). Cu toate acestea orice schimbare bruscă în timp a semnalului non-staționar x(t) se desfășoară pe întreaga axă a frecvenței în X(f). Așadar semnalul din domeniul timp eșantionat cu funcția delta-dirac este bine 6 ()

7 localizat în timp dar depășește întreaga bandă de frecvență. Limitarea transformatei Fourier este reprezentată de faptul că nu poate oferi o localizare simultană a semnalului în domeniul timp și respectiv domeniul frecvență. Principalul dezavanta al analizei Fourier este acela al pierderii informaţiei temporale adică nu ştim exact în ce moment de timp are loc un anumit eveniment. De exemplu modificarea frecvenţei unui semnal nu poate fi detectată. Cel mult analiza Fourier ne va furniza două componente spectrale fără a şti însă când anume avem de a face cu o frecvenţă sau alta.... ransformata Fourier pe termen scurt (F) Pentru a depăși limitări limitările transformatei Fourier standard Gabor [ 6 43] a introdus conceptul de transformata Fourier pe termen scurt. Avantaul acesteia constă în faptul că utilizează pentru analize o fereastră arbitrară dar de lungime fixă g(t) în care actualul semnal non-staționar se admite a fi aproximativ staționar (Figura ). Figura. ransformata Fourier pe termen scurt (F) F descompune un astfel de semnal pseudo-staționar x(t) într-o reprezentare bidemensională timp-frecvență f utilizând respectiva fereastră g(t) austabilă în diferite * momente de timp τ. Astfel transformata Fourier de semnal xt g t expresie a F: F x * f xt g t 7 conduce la următoarea ft e dt () Interpretarea bancului de filtrare este o modalitate alternativă privind limitarea semnalului la fereastra de lungime fixă utilizată în analiza F [4 86]. Prin intermediul bancului de filtrare modulat un semnal poate fi observat tranzitând un filtru trece bandă setat la frecvența f cu un răspuns la impuls modulat funcție de frecvența dată. Divizarea frecvenței este uniformă după cum se poate observa și în Figura 3.

8 Din această interpretare duală se poate demonstra o posibilă deficiență legată de rezoluția în domeniul timp-frecvență a F în baza principiului incertitudinii a lui Heisenberg [ ]. Pentru o fereastră g(t) și transformata Fourier G(f) ambele centrate în urul punctului zero atât în timp cât și în frecvență se satisface propagările în timp și frecvență sunt definite ca: t t g g t t dt dt f t gt dt și f G f f g g f f df df df. Atunci Astfel rezoluția în domeniul timp-frecvență pentru F este slab delimitată de produsul acestora: Produsul imp - Bandă de frecvență t f. (4) 4 Odată ce fereastra a fost aleasă pentru F rezoluția în domeniul timp-frecvență este fixă pe întregul plan timp-frecvență deoarece aceeași fereastră este utilizată pentru toate frecvențele. Există întotdeauna un schimb între rezoluția în domeniul timp și rezoluția în domeniul frecvență în F. În felul acesta putem să obţinem anumite informaţii legate atât de frecvenţă cât şi de timp. otuşi aceste informaţii se pot obţine cu o precizie limitată depinzând de dimensiunile ferestrei temporale. Principalul dezavanta al F este acela că dimensiunea ferestrei este aceeaşi pentru toate frecvenţele ceea ce face ca precizia de analiză să nu fie aceeaşi pentru toate frecvenţele. (3) Figura 3: (a) Divizarea uniformă a frecvenței cu bandă de frecvență constantă în F (b) Divizarea algoritmică a frecvenței cu constanta Q în W (adaptată din [8]) 8

9 ..3. ransformata Wavelet (W) Limitarea rezoluției fixe a F-ului poate fi rezolvată lăsând rezoluția t și f să varieze în planul timp-frecvență pentru a se obține o analiză multirezoluție (MRA). ransformata Wavelet (W) în forma sa continuă (CW) asigură o fereastră timp -frecvență flexibilă care se restrânge în cazul frecvenței ridicate și se extinde în cazul frecvenței reduse. Astfel rezoluția în domeniul timp corespunde frecvențelor ridicate iar rezoluția în domeniul frecvenței corespunde frecvențelor scăzute. O astfel de analiză este potrivită pentru semnale compuse din elemente de frecvență ridicată de durată scurtă și elemente de frecvență scăzută cu durată crescută situații care de cele mai multe ori se întâlnește și în practică [89]. Atunci când analiza este văzută ca un banc de filtrare transformata wavelet intitulată în general ransformata Wavelet Discretă standard (DW) este ca o structură de filtre trece bandă cu bandă de frecvență relativă constantă (constanta Q) astfel că f este întotdeauna f / constantă. Atunci când f se schimbă în funcție de frecvențe rezoluția în domeniul timp corespondentă t se schimbă de asemenea pentru a satisface condiția incertă. Răspunsurile în frecvență a filtrelor trece bandă sunt propagate logaritmic asupra frecvenței conform Figurei 3 (b). O generalizare a ideii de schimbare a rezoluției la diferite frecvențe se poate obține cu așa numita ransformata Wavelet de Pachete (WP) [] unde rezoluțiile în domeniul timpfrecvență sunt alese în funcție de semnal...4. Vizualizare comparativă O vizualizare comprehensivă a diferitelor reprezentări timp-frecvență ilustrate în Figura 4 demonstrează rezoluția în domeniul timp-frecvență pentru un semnal dat în diferite domenii de transformare cu funcțiile de bază corespondente acestora [3]. 9

10 Figura 4: Vizualizarea comparativă a reprezentării în domeniul timp-frecvență pentru un semnal nonstaționar arbitrar în diferite domenii de transformare.3. Aspecte teoretice privind ransformata Wavelet ransformata wavelet poate fi reprezentată atât în domeniul continuu cât și în domeniul discret după cum urmează:

11 .3.. ransformata Wavelet Continuă (CW) Pentru o funcție prototip t L fi obținută prin translația și scalarea acestei numită wavelet-ul mamă familia de funcții poate t b a a a t după cum urmează: b t unde b a a (5) Parametrul a este un factor scalar iar b un factor de translație. Normalizarea asigură că t t a b. Wavelet-ul mamă trebuie să satisfacă următoarea condiția admisibilă: În practică la C d unde reprezintă transformata Fourier a t. va prezenta o diminuare suficientă astfel încât condiția admisibilă să se rezume t dt. Astfel wavelet-ul va prezenta o comportare de trece bandă. fiind: ransformata wavelet continuă (CW) pentru func ția t O funcție de bază ab CW t * a b a b t f t dt t f t f a b (6) f este definită apoi ca (7) poate fi văzută de asemenea ca un răspuns la impuls a bancului de filtrare. Odată cu creșterea la nivelul scalei (a > ) funcția t se dilată în timp pentru a se focusa pe comportarea de lungă durată a semnalului asociat. În general o scală foarte mare presupune o vizualizare globală a semnalului în timp ce scala foarte mică presupune o vizualizare detaliată a acestuia. O noțiune asociată scalei este rezoluția. Rezoluția unui semnal este limitată la conținutul frecvenței acestuia. chimbarea scalei pentru semnalelor cu timp continuu în CW nu afectează rezoluția acestora atâta timp cât schimbarea scalei poate fi inversată [89]. Prin analiza transformatei wavelet continue se obține un set de coeficienți wavelet {CW f (ab)}. Aceștia indică cât de aproape este semnalul de o anumită funcție de bază. Deoarece CW se comportă ca o descompunere de bază ortonormală se poate demonstra că ea este izometrică [49] și păstrează energie. Așadar funcția f(t) poate fi refăcută din transformarea sa în baza următoarei formule: ab

12 f t dadb CW f ( a b) a b ( t) C a (8).3.. ransformata Wavelet Discretă (DW) CW prezintă dezavantaul redundanței și a impracticabilității pe computerele digitale. Deoarece parametrii ( a b) iau valori continue CW este o reprezentare foarte redundantă iar impracticabilitatea este rezultatul redundanței. De aceea parametrii scalari și de translație sunt evaluați pe o grilă discretă pe un plan timp-scală conducând la un set discret de funcții de bază continue [8]. Discretizarea este realizată prin setarea a a și b a b pentru (9) unde a > este o fază extinsă și b o fază de translație. Familia wavelet devine apoi / t a a t () b iar descompunerea wavelet-ului unei funcții f(t) este f t D t f unde setul bidimensional de coeficienți () D f poartă denumirea de DW a unei funcții date f(t). Cea mai utilizată formă a unei astfel de discretizări cu a = și b = pe o grilă diadică timpscală este prezentată în Figura 5. O astfel de transformată wavelet este descrisă ca fiind transformata wavelet discretă (DW) standard. Figura 5: ransformata Wavelet Discretă standard pe grila diadică timp-scală t electarea este realizată în așa fel încât setul de funcții de bază } constituie o bază ortonormală de L astfel încât {

13 D * t f t dt t f t f. () Numeroase de astfel de baze wavelet au fost prezentate în literatură [6-7 7 ] ca evaluând f(t) prin utilizarea însumării bazei finite de indecși și cu coeficienții DW finiți aproape fără nicio eroare. oate aceste wavelet-uri pot fi derivate cu o rezoluție arbitrară și cu coeficcienți DW finiți..4. Implementarea DW Utilitatea practică a DW vine din abilitatea sa de analiză multirezoluție (MRA) [57 7 7] și din eficiența structurilor bancului de filtrare de Reconstrucție Perfectă (PR)..4.. Analiza multirezoluție (MRA) Analiza multirezoluție sau analiza multiscalară constă într-o secvență de subspații incluse... V V V V... V din L conform Figurii 6. Figura 6: pațiile vectorului în serie cuprinse de baza scalară și baza wavelet Analiza multirezoluție are în vedere următoarele condiții:. V V. V {} și V L 3. f t V f t V 4. V V W W 5. L... W W W W W... V W W W... W W V (3) 3

14 O funcție scalară t (wavelet-ul tată) este introdusă astfel încât pentru oricare fix familia / / t este o bază ortonormală a subspațiului V.. și t dt (4) Dacă W este o componentă ortonormală a V (W V ) în subspațiul V + atunci va exista o funcție t (wavelet-ul mamă) astfel încât pentru oricare fix familia / / t (5) este o bază ortonormală a subspațiului W. Datorită spațiilor în serie și a condiției (3) MRA funcția scalară satis face următoarea ecuație scalară t h[ n] t n n satisfăcând condiția admisibilă h [ n]. n Funcția wavelet satisface ecuația similară cu condițiile h [ n] n t h[ n] t n n n și h n] h [ n ] [ n (6) n (7) unde h [n] și h [n] reprezintă coeficienții filtrelor trece os și trece sus. Pentru o funcție f(t) coeficienții wavelet t f t descriu pierderea de informație care are loc la trecerea de la proiectarea f(t) pe spațiul V + la proiectarea pe spațiul de rezoluție oasă V. Cu MRA orice t L f descrisă de ecuația () poate fi modificată prin utilizarea atât a funcției scalare cât și a funcției wavelet astfel: unde C t f t f f J t C t D t J f J f J (8) reprezintă coeficienții funcției scalare J este o scală inițială arbitrară pentru rezoluția cea mai oasă iar J este o limită superioară finită arbitrară pentru rezoluția cea mai înaltă cu J > J. În practică selecția lui J și J depinde de caracteristicile semnalului f(t) de categoria de rezoluție necesară și rata de eșantionare a semnalului [3]. 4

15 .4.. Implementarea bancului de filtrare Considerând C f () și D f () ca fiind coeficienții scalari (aproximații) respectiv coeficienții wavelet (detalii) ai proiecției unui semnal f pe V și W coeficienții rezoluției oase succesive sunt derivați recursiv pe baza ecuațiilor (6) și (7) cu MRA ca: C D h [ n ] C n f n h [ n ] D n f n. (9) Aceste ecuații pot fi implementate ca un banc de filtrare structurat pe trei nivele prezentat în Figura 7 [68]. Datorită bazei wavelet ortonormale acest banc de filtrare satisface de asemenea și sinteza coeficienților scalari de rezoluție înaltă: C f h [ n] C( n) h [ n] D( ). () n n n Figura 7: Două canale banc de filtrare cu analiză pe trei nivele cu DW - D Figura 8: Două canale banc de filtrare cu sinteză pe trei nivele cu DW - D 5

16 Pentru un semnal eșantionat bancul de filtrare de nivel 3 este văzut ca o implementare a DW -D având componenta de rezoluție maximă inițială C f (=) și descompunerea sa într-un număr de detalii la scale de rezoluție oasă succesive D f (). Pentru DW standard dimensiunea coeficienților scalari respectiv a coeficienților wavelet scade printr-un factor cu mărimea egală cu la fiecare nivel succesiv de descompunere. Astfel DW standard este non-redundantă pentru reprezentarea O(n) a unui semnal dat într-un mediu multi-scalar multi-rezolutiv. Reprezentarea dispersată cu compactare a energiei face ca DW standard să fie în mare măsură acceptată pentru comprimarea semnalului. tructura bancului de filtrare de reconstrucție prezentată în Figura 8 urmărește sinteza recursivă similar ecuației () cu filtrele de reconstrucție h și h care sunt identice cu filtrele de descompunere h și h dar cu inversare temporală. Condiția cea mai importantă a implementării bancului de filtrare a DW este reprezentată de refacerea adecvată a semnalului care în literatură este cunoscută sub denumirea de reconstrucție perfectă [ ]. Reconstrucția perfectă impune anumite restricții filtrelor de analiză și sinteză. Felul acestora leagă filtrele fie de baza wavelet ortogonală fie de baza wavelet biortogonală. ~ ~.4.3. Reconstrucția perfectă (PR) inițial Conform Figurei 9 atunci când semnalul reconstruit ~ f t este identic cu semnalul f t pentru o structură simplă a bancului de filtrare cu două canale filtrele de analiză și sinteză asociate satisfac anumite condiții. Figura 9: Un model simplu de banc de filtrare cu două canale Aceste condiții ale reconstrucției perfecte (PR) în final se reduc la: ~ ~ H z H z H z H z ~ ~ H () zh z H zh z unde H (z) și H (z) sunt transformatele Z ale h [n] respectiv h [n]. 6

17 Cea mai bună parte a bazei wavelet ortonormale asociată cu bancul de filtrare PR din Figura prezintă un wavelet prototip cu suport infinit. Astfel toate filtrele necesită acoperire infinită. Metoda de design propusă de [7] generează un wavelet ortonormal cu suport finit iar bancul de filtrare asociat poate fi realizat prin filtre cu răspuns finit la impuls (FIR). Dacă bancul de filtrare FIR prezentat în Figura 7 este repetat pe canalul trece os răspunsul la impulsul general al filtrului de nivel 3 repetat ia forma funcției timpului continuu cu suport compact. Cu repetări infinite la filtrul de nivel 3 răspunsul la impuls tinde către o funcție netedă (waveletul mamă). Filtrele care prezintă această proprietate sunt numite filtre regulare [ ]. O condiție necesară pentru regularitate este ca filtrul trece os să aibă cel puțin un zero la frecvența. Numărul de zerouri la determină gradul de finețe sau diferențiabilitate al wavelet-ului rezultat. Regularitatea este o caracteristică importantă a wavelet-ului atunci când vorbim despre aplicarea sa în detectarea discontinuităților [7]. date ca: Pentru un sistem wavelet ortogonal condițiile pentru filtrele de analiză și sinteză sunt ~ h[ n] h[ n] ~ h [ n] h [ ] n ~ h [ n] h[ n ]. () n În aplicațiile procesării semnalului este adesea dezirabil să se folosească filtre FIR cu fază liniară [96]. Luând în considerare baza duală și non-ortogonală se formează un sistem wavelet biortogonal. Baza wavelet biortogonală are avantaul fazei liniare respectiv prezența mai multor grade de libertate în design-ul filtrului [5 6]. Dacă setul funcției scalare t ~ și setul funcției wavelet t ~ } reprezintă baza duală de analiză și } { t { t sinteză pentru sistemul biortogonal atunci ecuațiile scalare similare ecuațiilor (6) și (7) sunt date ca: t h[ n] t n t h [ n] t n n 7 ~ n ~ t h[ n] t n t h [ n] t n Baza wavelet-ului biortogonal satisface de asemenea relația: iar formula de reconstrucție devine: n ~ t t [ m] [ ] m n n ~ ~. (3) n

18 t t f t t f ~. (4) Pentru sistemul wavelet biortogonal restricțiile filtrelor de analiză și sinteză sunt date ca: ~ n h [ n] ( ) h [ n ] ~ n h[ n] ( ) h[ n ] ~ h [ n] h[ n ]. (5) n.5. Extensii ale DW DW este extins utilizată în forma sa non-redundantă cunoscută sub denumirea de DW standard. Implementarea bancului de filtrare pentru DW standard în cazul imaginilor este vazută ca DW -D. Există anumite aplicații pentru care reprezentarea optimă poate fi obținută prin intermediul mai multor extensii redundante ale DW standard cum ar fi ransformata Wavelet de Pachete (WP) și ransformata Wavelet taționară (W)..5.. ransformata Wavelet Discretă Bidimensională (DW -D) Dacă structura bancului de filtrare prezentată în secțiunea.4.. este o implementare simplă a DW -D aplicațiile pentru procesarea imaginii necesită o implementare bidimensională a transformatei wavelet. Implementarea DW -D mai este cunoscută în literatura de specialitate și ca transformata wavelet multidimensională [ ]. În cazul algoritmilor de codare a imaginii artistice cum ar fi recentul standard JPEG [56] se utilizează DW -D diadică separabilă care nu este decât o extensie a DW -D aplicată separate pe liniile și coloanele unei imagini. Implementarea unui banc de filtrare de analiză pentru un singur nivel DW -D este prezentată în Figura. Această structură produce trei sub-imagini detaliate (HL LH HH) corespunzătoare la trei orientări direcționale diferite (Orizontală Verticală și Diagonală) și o sub-imagine de rezoluție oasă LL. tructura bancului de filtrare poate fi repetată în aceeași manieră și în canalul LL pentru a oferi o descompunere pe nivele multiple. Ierarhia descompunerii pe nivele multiple a unei imagini este prezentată în Figura. 8

19 Figura : Banc de filtrare pe un singur nivel pentru DW -D Figura : Ierarhia descompunerii pe nivele multiple a unei imagini cu DW -D Fiecare descompunere separă imaginea de bază în patru sub-imagini fiecare dintre ele reprezentând o pătrime din imaginea inițială. ub-imaginile sunt localizate în funcție de poziția fiecărei sub-benzi în distribuția bidimensională a planului de frecvență conform Figurei. tructura bancului de filtrare de sinteză prevede implementarea inversă a bancului de filtrare de analiză însă cu filtrele de sinteză h și ~ ~ h. 9

20 Figura : Distribuția planului de frecvență cu DW -D Wavelet-urile separabile sunt văzute de asemenea ca fiind produse tensoriale ale wavelet-urilor mono-dimensionale și a funcțiilor scalare. Dacă este wavelet-ul monodimensional asociat cu funcția scalară mono-dimensională x atunci asociarea a trei waveleturi -D cu trei sub-imagini se prezintă astfel: x y x y V LH x y y x H HL x y x y x D HH. (6) Imaginea testului Pattern și descompunerea sa DW -D sunt prezentate în figura 3. Această descompunere este realizată cu autorul cutiei cu instrumente wavelet din Matlab [3]. Există de asemenea numeroase extensii accesibile pentru transformata wavelet -D în forma non-separabilă. Metodele non-separabile oferă o procesare multidimensională corectă libertate în design-ul filtrului sub-eșantionare non-rectangulară și chiar fază liniară [ ]. Deși metodele non-separabile prezintă numeroase avantae filtrarea separabilă este una dintre cele mai des întâlnite alegeri datorită simplității implementării acesteia.

21 Figura 3: (a) Imaginea testului Pattern (b) Descompunerea DW -D pe un singur nivel.5.. ransformata Wavelet de Pachete (WP) Filtrarea de octavă cu repetare pe canalul trece os implementează DW -D conform secțiunii.4.. Această filtrare nu asigură o rezoluție uniformă în domeniul frecvență pentru toate sub-benzile precum am arătat în Figura 3 b). În cazul în care canalul trece sus din Figura 7 este descompus în același mod și repetat atunci se va obține un arbore binar complet.

22 Familiile de bază ortonormală asociate acestui arbore binar (arbore WP) sunt cunoscute sub numele de pachete wavelet. Această extensie a DW standard este denumită ransformata Wavelet de Pachete (WP). Arborele binar pentru descompunerea WP și acoperirea în domeniul timp-frecvență pentru baza de pachete wavelet sunt prezentate în Figura 4. Figura 5 prezintă sub-spațiile vectorului pentru WP. Divizarea uniformă a frecvenței cu rezoluții în domeniul frecvență egale pentru toate sub-benzile este ilustarată în Figura 6. Două modalități posibile de descompunere WP (pătratică și circulară) a semnalului inițial în subspațiul V3 sunt prezentate în Figura 7. Astfel se demonstrează flexibilitatea și libertatea ransformatei Wavelet de Pachete (WP). În general WP o formă modificată a DW standard combină ideea celei mai bune selecții de bază cu criteriul entropiei pentru o reprezentare acurată a semnalului. Ea oferă un grad înalt de libertate însă cu algoritmi complecși de structurare a datelor. Complexitatea calculului pentru WP este dată de O(n log n). Figura 4: ransformata Wavelet de Pachete: (a) descompunerea arborelui binar (b) acoperirea bazei în domeniul timp-frecvență

23 Figura 5: ub-spațiile vectorului pentru WP Figura 6: Divizarea uniformă a frecvenței pentru WP Figura 7: Reprezentarea flexibilă cu WP: cu pătrate sau cercuri 3

24 Algoritmii de alegere a celor mai bune pachete wavelet pentru o anumită imagine și mai multe descrieri tehnice ale WP sunt prezentate în [7 87 ] ransformata Wavelet taționară (W) După cum s-a prezentat și în secțiunea.4.. DW standard este o reprezentare nonredundantă și compactă a semnalului în domeniul transformării. ransformata Wavelet taționară (W) prezintă o implementare similară sub formă de arbore doar că lipsește etapa decimării (sub -eșantionării). Aceasta poate fi observată în Figura 8 unde * reprezintă convoluția temporală discretă d i sunt coeficienții wavelet iar c i coeficienții scalari generați prin rețeaua de convoluție creată din secvența semnalului inițial c și filtrul trece sus h de nivel adaptativ și mărime variabilă respectiv filtrul trece os h. Figura 8: Descompunere pe trei nivele cu W W prezintă coeficienți wavelet de lungime egală la fiecare nivel. Complexitatea calculului pentru W este dată de O(n²). Reprezentarea redundantă face ca W să fie potrivită pentru aplicații ca detecția limitei și fuziunea de date. 4

25 .6. Aplicații ale ransformatelor Wavelet Aplicațiile DW standard ce utilizează capacitatea sa multiscalară și multirezoluție cu algoritmi rapizi ai bancului de filtrare sunt numeroase. În funcție de aplicație pentru o performanță ridicată se folosesc de asemenea și extensiile DW standard numite ransformata Wavelet de Pachete (WP) și ransformata Wavelet taționară (W) costul fiind redundan ța ridicată și complexitatea calculului. Câteva din aceste aplicații precum compresia datelor analiza zgomotelor codarea sursei și a canalului evaluarea non-distructivă soluțiile numerice pentru ecuațiile diferențiale parțiale studiul universului îndepărtat analiza trecerii prin punctul zero a semnalului analiza fractalilor turbulența sunt prezentate în [85]. Aplicațiile wavelet pot fi regăsite în diverse domenii precum fizica medicina și biologia grafica computerizată comunicare și multimedia [-3 4]..7. Limitele ransformatelor Wavelet Deși DW standard este un instrument puternic are totuși trei dezavantae maore care subminează aplicarea sa pentru anumite acțiuni de procesare a semnalului și imaginii [37]. Aceste dezavatae sunt descrise mai os.. ensibilitatea la translație O transformată este sensibilă la translație dacă translația în timp pentru semnalul de intrare provoacă o schimbare imprevizibilă în coeficienții transformatei. -a observat că DW este serios dezavantaată de sensibilitatea la translație care apare la dispozitivele de eșantionare în implementarea DW [5]. ensibilitatea la translație este o proprietate indezirabilă deoarece coeficienții DW nu reușesc să distingă între translațiile semnalului de intrare. Caracter variant de translației al DW este demonstrat de trei semnale treaptă translatate. În Figura 9 semnalele translatate de intrare sunt descompuse până la J = 4 nivele utilizând db5. Aceasta evidențiază variațiile impredictibile ale semnalului detaliu reconstruit la diferite nivele și în aproximația finală. Pachetele wavelet au fost analizate de asemenea din punct de vedere al sensibilității la translație. Acestea prezintă rezultate semnificative în comparație cu implementarea DW standard din punct de vedere al complexității. electarea celei mai bune rotații ciclice respectiv a celor mai bune baze reduce sensibilitatea la translație dar o reprezentare generală a WP nu prezintă invarianță la translație. Deși W este invariantă la translație aceasta prezintă o redundanță și o complexitatea de calcul crescute. 5

26 Figura 9: ensibilitatea la translație a DW -D. Direcționalitate redusă Orice transformată m-dimensională (m>) prezintă direc ționalitate redusă atunci când coeficienții transformatei relevă doar câteva orientări reprezentative în domeniul spațial. Conform Figurilor 3 b) și DW -D poate determina doar trei orientări reprezentative în domeniul spațial: orizontal (HL) vertical (LH) și diagonal (HH). Imaginile reale con țin un număr de regiuni netede și vârfuri cu orientări aleatorii astfel direcționalitatea redusă afectează reprezentarea optimă a imaginilor reale atunci când utilizăm DW -D standard. Figura : Direcționalitatea DW -D standard Implementarea WP -D analizează toate benzile de frecvență și poate fi adaptată pentru selecția celei mai bune baze. Cu toate acestea structura multiscalară a descompunerii wavelet și conceptul de tri-orientare spațială [9] sunt pierdute. În comparație cu DW -D WP prezintă 6

27 o fidelitate mult mai bună a direcției în timp ce W prezintă o direcționalitate scăzută fiind bazată pe o structură a bancului de filtrare identică cu cea a DW standard. 3. Absența informației despre fază Pentru un semnal sau vector complex faza poate fi calculată pe baza proiecțiilor sale reale și imaginare. Imaginea digitală este o matrice de date cu un suport finit în -D. Filtrarea imaginii cu DW -D conduce la creșterea dimensiunii acesteia și adaugă distorsiunea fazei. istemul vizual uman este sensibil la distorsiunea fazei [75]. În plus filtrarea fazei liniare poate utiliza metode de extensie simetrică pentru a evita problema dimensiunii mari a datelor în procesarea imaginii [75]. Informația despre fază este importantă în multe aplicații de procesare a semnalului [75] precum compresia imaginii și măsurarea energiei [33 67]. Maoritatea implementărilor DW (incluzând DW standa rd WP și W) utilizează filtrarea separabilă cu filtre de coeficienți reali asociate cu wavelet-uri reale rezultând aproximații și detalii cu valoare reală. Astfel de implementări DW nu pot oferi informații despre faza locală această situație necesitând o filtrare complexă. Diferența dintre wavelet-urile reale și cele analitice este prezentată în Figura. Figura : Prezentarea wavelet-ului real (a) analitic (b) 7

28 . Definițiile principalelor mărimi electrice de putere cuprinse în tandardul IEEE Introducere Mărimile electrice de putere sunt bine definite în condiţii de operare sinusoidală pentru sistemele monofazate liniare şi sistemele trifazate echilibrate liniare. Însă datorită utilizării sporite a cuplaelor magnetice cu viteză reglabilă a cuptoarelor electrice cu arc şi a calculatoarelor în sarcină care pot fi considerate ca sarcini neliniare formele de undă ale tensiunilor şi curenţilor devin nesinusoidale [76]. În acest caz definiţia mărimilor electrice în stare sinusoidală devine inadecvată pentru starea nesinusoidală. Prima încercare de definire a puterii în condiţii nesinusoidale îi este atribuită lui Budeanu [] care a utilizat o abordare bazată pe domeniul frecvenţă. Puterea reactivă totală este definită ca fiind suma tuturor puterilor reactive pe armonici după cum urmează: Q F N n Q n N n În acest caz n reprezintă ordinea armonică. V n I n sin. (7) Abordări de bază pentru definiţii ale componentelor de putere n Abordarea bazată pe domeniul frecvenţă Abordarea bazată pe domeniul timp eoria lui Budeanu (97) eoria lui Fryze (93) Figura. Abordări de bază în definirea mărimilor electrice de putere A doua încercare a fost realizată de Fryze [4] care a utilizat o abordare bazată pe domeniul timp în care curentul sursă i este descompus în componenta activă i a ce are aceeaşi formă de undă ca şi sursa de tensiune u şi respectiv componenta non-activă i n identificate prin următoarele formulele: P u i a i n i i a P u( t) i( t) dt. (8) u 8

29 În acest caz u reprezintă valoarea RM a lui u iar P reprezintă puterea activă medie după o anumită perioadă. Curenţii i a şi i n sunt ortogonali reciproc şi implică următoarea relaţie: i i a i n. (9) non-activă Q F : Multiplicând relaţia ( 9) cu u Fryze a obţinut următoarea formulă pentru puterea P u i P. (3) Q F Q F Figura prezintă aceste două abordări de bază ale definiţiei componentelor puterii. Abordări de bază existente pentru definiţii ale componentelor de putere Abordări după teoria Budeanu Abordări după teoria Frzye eoria de descompunere ortogonală a lui Czarneci (989) eoria p-q propusă de Aagi şi Nabae (984) Metoda FBD propusă de Depenbroc (993) Definiţia de putere instantanee a lui Furuhashi (99) Abordarea propusă de grupul de lucru IEEE (996) eoria de putere Par a lui Ferrero şi Furga (99) eoria reţelei multiport propusă de Gul şi Kaypma (998) Puterea vectorului spaţial propusă de Nabae şi anaa (996) Conceptul propus de Ghassemi (999) eoria IRP generalizată propusă de Peng (996) Conceptul lui Willem (3) IP propus de almeron şi Montano (996) Descompunerea propusă de Ari şi tanovic (6) eoria pqr propusă de Kim s.a. () eoria de putere bazată pe PV propusă de Emanuel (4) eoria generalizată pentru IRQ propusă de Dai s.a. (5) Figura 3. Abordări existente în definirea componentelor puterii 9

30 De atunci multe teorii au fost prezentate în literatura de specialitate încercând să rezolve problema utilizând una din cele două abordări: prima abordare prevede rezolvarea problemei de os în sus [ ]; prin extinderea definiţiei componentelor puterii de la sistemele monofazate liniare sinusoidale la sistemele trifazate nesinusoidale neliniare şi/sau neechilibrate. A doua abordare rezolvă problema de sus în os [ ]; prin găsirea definiţiilor puterii active reactive şi aparente la nivelul sistemelelor polifazate neliniare în condiţii nesinusoidale ca şi caz general şi apoi aplicând aceaste definiţii la sistemele monofazate liniare în condiţii sinusoidale ideale ca şi caz special. Figura 3 evidenţiază diferitele teorii şi abordări privind rezolvarea acestei probleme... Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții sinusoidale... isteme monofazate liniare În condiţiile sinusoidale puterea în sistemul monofazat liniar este definită ca şi rată de timp a transferului de energie şi în fiecare moment rata instantanee a acestei energii este egală cu valoarea instantanee a tensiunii multiplicată cu valoarea instantanee a curentului. emnalele de tensiune şi curent într-un sistem monofazat liniar sunt redate astfel: v( t) V rms sin t (3) t I sint. Apoi puterea instantanee p(t) este definită ca: i rms (3) p t P cost Qsint unde P este puterea activă medie. Puterea activă este: P V rms I rms cos (33) Q este puterea reactivă. Ea reprezintă magnitudinea puterii oscilante între sursă şi sarcină cu transfer de energie medie zero. Puterea reactivă este egală cu: Q V rms I rms sin unde este unghiul de fază dintre semnalele de tensiune şi curent. Puterea aparentă se defineşte ca fiind 3 (34) (35) V rms I rms P Q. (36) Factorul de putere PF este apoi definit ca fiind raportul P PF. (37)

31 În Figura 4 este prezentat graficul de tensiune instantanee v(t) curent instantaneu i(t) puterea instantanee p(t) şi putere activă P pentrru circuitul compus din rezistenţă şi reactanţă.... isteme trifazate liniare echilibrate În condiţii sinusoidale definiţiile componentelor puterii pentru sistemele monofazate liniare pot fi extinse şi în cazul sistemelor trifazate liniare echilibrate considerând în cele din urmă ca fiind trei sisteme monofazate. Apoi pentru sistemele trifazate echilibrate având fazele (R şi ) puterea activă P OAL este dată de relaţia: P OAL 3 V I cos (38) rms rms unde V rms este tensiunea fază RM şi I rms este curentul fază RM. Puterea recativă totală Q OAL este dată de formula: Q OAL 3 V I sin. (39) rms rms Puterea totală aparentă OAL este apoi: OAL 3 V I. rms (4) rms.3. Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții nesinusoidale Pentru condiţii nesinusoidale există o serie de definiţii şi teorii care încearcă să definească mărimile electrice. Există două metode pentru rezolvarea problemei. Una extinde definiţia acceptată pentru mărimile elctrice de putere în sisteme monofazate liniare (în condiţii sinusoidale) folosind domeniul frecvenţă sau domeniul timp sau încercând să găsească o definiţie pentru sistemele polifazate neliniare în condiţii nesinusoidale și să o aplice în sistemele monofazate liniare în condiţii sinusoidale considerând sistemele polifazate neliniare în condiţii nesinusoidale în caz general şi sisteme monofazate liniare în condiţii sinusoidale în caz special. 3

32 Figura 4. ensiune curent puterea medie şi instantanee în condiţii sinusoidale pentru un circuit formată din R şi C.3.. Definiţii bazate pe extinderea definiţiei puterii monofazate liniare sinusoidale (Abordarea de os în sus) Anterior au fost prezentate definiţii ale mărimilor electrice de putere în condiţii nesinusoidale pentru sisteme trifazate neechilibrate liniare şi/sau neliniare bazate pe extinderea definiţiilor acestor componente pentru sisteme monofazate liniare sinusoidale. Czarneci [3] a extins conceptul de descompunere ortogonală a curentului în circuite monofazate neliniare cu o sursă de tensiune nesinusoidală la nivelul componentelor active reactive izolate şi generate dezvoltate în [9] circuitele asimetrice trifazate. El a adăugat componentele curentului neechilibrat i u la următoarele componente: curent activ i a curent reactiv i r curent deformant i s şi curent generat i g i i a i r i s i u i g. (4) Aceste componente sunt multiplicate de valoarea RM-ului din sursa de tensiune obţinând componentele puterii lui Czarneci identificate ca puterea activă reactivă deformantă neechilibrată şi generată P Q r D s D u D g. (4) Pentru a arăta că teoria sugerată are aplicaţii practice [4] Czarneci a construit un plan compensator care elimină curenţii reactivi şi neechilibraţi folosind circuite reactive derivate. Page [8] a descompus curentul în două componente ortogonale. Prima componentă i a este componenta activă a curentului şi este responsabilă pentru transmisia puterii active. A doua 3

33 componentă i res este componenta reziduală a curentului. Page a arătat că cele două componente ale curentului sunt reciproc ortogonale şi prin urmare componenta reziduală nu a contribuit la puterea activă transmisă sarcinii. Componenta activă i a şi componenta reziduală i res a curentului pot fi calculate prin i a t v v t it t dt dt v t P V vt ires i i a. (43) Rosseto și enti [9] au extins metoda Page [8] la sisteme multifazate folosind valori instantanee. Ei au definit curentul activ instantaneu i p curentul reactiv instantaneu i q şi astfel au obţinut puterea activă instantanee p reactivă q şi aparentă s. Din puterea activă instantanee p şi puterea în fază instantanee p a ei au obţinut o putere activă fluctuantă p f care nu afectează transferul de putere medie p f p p a. (44) Depenbroc [3] a extins definiţia componentelor active şi reziduale ale curentului ale lui Fryze [4] şi Page [8] de la sistemul monofazat la polifazat. Deoarece Depenbroc foloseşte descompunerea curentului a lui Fryze şi teoria lui Buchholz [] pentru calcularea puterii aparente în sistemele polifazate acesta şi-a numit teoria metoda FBD. Buchholz a definit valoarea colectivă instantanee a curenţilor şi tensiunilor în sisteme cu faze M ca i M i v v M i v v i (45) u M u v v u M u v v. (46) Depenbroc a definit puterea instantanee colectivă P conductanţa instantanee colectivă Gp(t) curentul puterii instantanee colective i p şi curenţii puterii fazate instantanee i vp ca P M u i M v v v v G t p. p vp G p t uv i u p v P t t u 33 G p (47) i (48) Depenbroc a definit apoi curenţii puterii zero fazate i vz ca i vz i v i vp. Depenbroc a descompus curenţii puterii în curenţi activi i va şi curenţi de variaţie i vv prin introducerea conductanţei active echivalente G. Expresiile acestor cantităţi sunt date după cum urmează: (49)

34 P G i va Gu v ivz iv ivp (5) u unde linia de sus reprezintă valoarea medie. Astfel curentul non-activ i vn reprezintă i vn i v i va i vz i vv. IEEE Woring Group [55] a extins definiţiile propuse pentru situaţia monofazată la situaţia trifazată. Ei au ales definiţia puterii aparente a lui Buchholz-Goodhue pentru a calcula puterea aparentă echivalentă e [] unde 3 V I e V e e e 34 (5) (5) Va Vb Vc I a Ib I c I e. (53) 3 3 ensiunea echivalentă V e şi curentul echivalent I e sunt descompuşi în două componente: V e V V I I I. (54) e eh e e eh unde indexul identifică componentele fundamentale iar indexul H identifică suma componentele nefundamentale RM. Woring Group a prezentat de asemenea puterea aparentă fundamentală raportată la puterea aparentă nefundamentală după cum urmează: e e eh Astfel factorul de putere este obţinut din:. (55) POAL PF POAL Pa Pb Pc. (56) e Woring Group a aplicat definiţiile propuse în cinci studii de caz pentru măsurători din lumea reală. Unele cazuri considerau cuplaul magnetic cu viteză reglabilă sarcina echilibrată şi sursa ca fiind simetrice în timp ce alte cazuri tratau problema sarcinilor neechilibrate. Gul și Kaypmaz [5] au construit o reţea multiport nesimetrică polifazată în baza căreia au dedus mărimile electrice de putere prin extinderea definiţiei sistemelor monofazate dar fără a da un sens fizic mărimile electrice. Ei au început prin definirea modului de funcţionare a curentului şi tensiunii cu privire la timp pentru orice terminal şi ordine armonică h pentru a obţine puterea instantanee puterea aparentă activă reactivă distorsionată. Apoi utilizând modelul matematic al componentei multiterminale ei au dedus aceleaşi mărimi dar pentru sisteme multiterminale. Ghassemi [ ] a prezentat un nou concept pentru definirea mărimilor electrice de putere în sistemele monofazate pentru situaţii sinusoidale şi nesinusoidale şi a extins acest concept pentru cazul trifazat. Ghassemi considera că puterea reactivă trebuie să fie definită ca o

35 valoare medie nu o amplitudine a puterii oscilante. De asemenea separarea puterii instantanee în două componente distincte activă şi reactivă nu este suficientă [46]. Acest concept reprezintă tensiunea prin două componente: tensiunea iniţială şi o versiune modificată de fază a tensiunii iniţiale. Multiplicarea acestora prin componenta curent i-a permis lui Ghassemi să obţină următoarea formulă a puterii aparente: VI P Q (57) factorul de putere reprezentând PF P P VI cos.77 cos. Valoarea maximă a factorului de putere nu poate depăşi.77 în timp ce în definiţia factorului de putere convenţional valoarea maximă este egală cu unitatea şi apare în cazul sarcinii rezistive ( cos ) sau atunci când tensiunea şi curentul sunt în fază. Ghassemi considera că această diminuare datorată menţinerii componentei ac a puterii instantanee. Această componentă ac există chiar dacă întreaga putere reactivă este compensată prin elemente pasive reactive. Ghassemi a extins acest concept la sistemul trifazat prin însumarea puterii instantenee din faze pentru a obţine puterea aparentă activă reactivă şi distorsionată. (58) P Q D. (59) Pentru sistemele trifazate în situaţii nesinusoidale Ghassemi a elaborat următoarea descompunere a puterii aparente: s u D (6) unde s şi u sunt puterea aparentă simetrică şi nesimetrică u având având valoarea diferită de zero dacă şi numai dacă curenţii şi/sau tensiunile sunt neechilibrate. Willems [4-6] a demonstrat că nu este posibil să generalizezi conceptele clasice de putere aparentă şi factori de putere la situaţia nesinusoidală polifazată generală printr-un concept unic aşa cum Ghassemi a realizat în [ ] dacă se doreşte păstrarea semnificaţiei eficienţei transferului de energie electrică şi respectiv a oscilaţiilor puterii. Willems a propus definiţii separate pentru generalizarea conceptelor de putere aparentă şi factori de putere pentru analiza eficienţei transmisiei puterii P P VI cos VI PF CO (6) şi respectiv pentru caracterizarea oscilaţiilor puterii. Willems a definit puterea oscilantă puterea RM şi factorul de putere oscilantă ca fiind 35

36 OC PF rms P PF OC. (6) PF e ştie faptul că valoarea maximă a factorului puterii oscilante poate fi obţinută pentru o sarcină rezistivă completă şi este egală cu.86. Willems a extins această definiţie de la sinusoidal la nesinusoidal mono şi trifazat prin calcularea puterii medii P şi a puterii aparente ambele în domeniul timp şi domeniul frecvenţă astfel încât să obţină factorul de putere pentru eficienţa transmisiei PF şi factorul de putere oscilantă PF osc. Lev-Ari şi tanovic [63] au reprodus aceeaşi descompunere a puterii aparente în componente ordogonale propusă de Czarneci [3] dar a utilizat transformarea lui Hilbert [64]. Lev-Ari şi tanovic au obţinut componenta curentului activ conform [65] şi au descompus componenta curentului stabil în câteva componente pentru a obţine diferite elemente ale puterii. Lev-Ari şi tanovic au extins această descompunere şi la situaţia polifazată..3.. uportul definiţiilor din sistemele polifazate neliniare nesinusoidale (Abordarea de sus în os) După cum a fost prezentat mai sus multe abordări încearcă să extindă definiţia puterii monofazată sinusoidală la sistemele trifazate neechilibrate nesinusoidale. Deşi aceste abordări prezintă abilitatea de a identifica diferite mărimi electrice de putere ele prezintă totuşi anumite dezavantae; sunt foarte dificil de implementat pentru aplicaţii precum: măsurătorile sau compensarea puterii non-active greu de utilizat de un inginer în domeniu sau utilizate în proiectarea dispozitivelor de măsurare a energiei electrice. De aceea este necesară găsirea unei alte modalităţi de rezolvare a problemei. În acest sens multe teorii au fost elaborate încercânduse rezolvarea problemei prin dezvoltarea unei definiţii pentru situaţia generală a sistemelor trifazate neechilibrate neliniare nesinusoidale urmărindu-se verificarea ei în sisteme monofazate liniare sinusoidale. Aagi [] a utilizat teoria p-q aplicând transformarea lui Par la un sistem trifazat cu trei conductoare pentru a îl transpune în planul bifazat ( conform Figurii 5. ) şi într-o axă reactivă ortogonală Aagi a arătat de asemenea că această teorie putea fi utilizată pentru sisteme trifazate cu patru conductoare prin introducerea componentele secvenţei zero. eoria p-q transformă măsurătorile curentului şi tensiunii instantanee după următoarele ecuaţii matriciale: 36

37 u u u / 3 / / 3 / / / 3 / u u u a b c (63) i i a 3 / / ib. (64) i i / / 3 / / 3 / i Aagi a definit puterea activă instantanee a lui Par P p şi puterea instantanee de secvenţă a fazei zero P o după cum urmează: c p p u i u i p u (65) i p p p p ua ia ub ib uc ic. (66) Ei au instrodus vectorul spaţiu de putere imaginară instantanee q definit prin q u i u i. (67) Aşa cum se observă în Figura 5 q este un vector pe axa imaginară perpendiculară pe planul coordonatelor reale şi este compus din suma produselor tensiunilor şi curenţilor în axele ortogonale. Acest lucru înseamnă că q nu a putut fi dimensionat în W VA sau VAR. Pentru sursele de tensiune simetrice q este egal cu puterea non-activă trifazată în timp ce pentru sursele de tensiune asimetrice q nu este egal cu puterea reactivă trifazată. q Axa imaginară u i i u Planul real i u u i Figura 5. Vectorii spaţiu a curentului şi tensiunii instantanee pentru teoria p-q 37