Ferilsetning Jordans. Verkefni í samæfingum í stærðfræði Kennari: Reynir Axelsson. Guðmundur Einarsson (Nemi í B.S. námi við HÍ)

Transcription

1 Ferilsetning Jordans Verkefni í samæfingum í stærðfræði Kennari: Reynir Axelsson Guðmundur Einarsson (Nemi í B.S. námi við HÍ) 8. mars 2011

2 Inngangur Setning 1. Fyllimengi lokaðs Jordan-ferils J í R 2 samanstendur af tveimur samhengisþáttum sem báðir hafa J sem jaðar. Bernhard Bolzano var fyrstur til að taka eftir að setningin var ekki augljós og hana þyrfti að sanna. Ekki er alltof erfitt að sanna setningun fyrir marghyrninga en vandamál komu fyrst fram þegar alhæfa átti setninguna fyrir almenna næstum einfalda vegi, eins og t.d. Koch-snjókornið, hvergi deildanlega Jordan-ferla og jafnvel Jordan-ferla með jákvætt flatarmál. Camille Jordan var fyrstur til að sanna setninguna árið 1893 í bók sinni Cours d analyse de l Ecole Polytechnique. Jordan var mikið gagnrýndur fyrir sönnunina af samtímamönnum sínum og töldu þeir að mikið væri af hnökrum á sönnuninni. Flestir stærðfræðingar halda því fram að fyrsta fullkomna sönnunin sé eftir bandaríska stærðfræðingnum Oswald Veblen árið 1905, en um sönnun Jordans sagði hann His proof, however, is unsatisfactory to many mathematicians. It assumes the theorem without proof in the important special case of a simple polygon, and of the argument from that point on, one must admit at least that all details are not given. Hinsvegar hefur bandaríski stærðfræðingurinn Thomas Hales tekið upp hanskann fyrir Jordan og meðal annars sýnt að ummálsjafnaðarójafnan kemur sem fylgisetning af sönnun Jordans, hann sagði Jordan s proof is essentially correct... Jordan s proof does not present the details in a satisfactory way. But the idea is right and with some polishing the proof would be impeccable. Setningin fékk mikla athygli í byrjun 20.aldar vegna mikilvægis í tvinnfallagreiningu og grannfræði í lægri víddum. Schoenflies fullkomnaði sönnun Jordans og aðra frá de la Vallée-Poussin árið Jordan sannaði setninguna með því að nálga Jordan ferilinn með marghyrningum, sú sönnun er frekar löng. Í þessum pistli verður setningin sönnuð með hjálp kyrrapunktssetningar Brouwers og Tietzeframlengingarsetningarinnar. Kyrrapunktssetning Brouwers Setning 2. Sérhver samfelld vörpun g : E E hefur kyrrapunkt. Luitzen Egbertus Jan Brouwer sannaði setninguna árið Sönnunin var gerð með mótsögn og var einungis tilvistarsetning, svo að ekki fylgdi með henni leið til að finna kyrrapunkta. Brouwer aðhylltist innsæiskenninguna í stað t.d. formalisma, svo að alla tíð var hann ósáttur að geta ekki fundið leið til að finna kyrrpunktana. Sönnun. Látum f vera samfellt núllstöðvaulaust fall f : E : C. Skoðum nú fallið [0, 2π[ [0, 1] C, (t, s) H(t, s) = f(se it ), þá hefur hefur H samfelldan logra. Þetta er samtogun lokaðra ferla, sem er hvergi núll frá lokaða fastaferlinum ferlinum γ 0 (t) = f(0) til γ 1 (t) = f(e it ); þá sést að I(γ 1, 0) = I(γ 0, 0) = 0. Þar af leiðandi er ekki til samfelld vörpun f : E E þannig að f(u) = u fyrir öll stök í jaðrinum; því að t f(e it ) = e it er hringferillinn α 1 (0) og við vitum að vafningstala hans um 0 er 1, þ.e. I(α 1 (0), 0) = 1. Skoðum nú samfelldu vörpunina g : E E. Gerum ráð fyrir að g hafi engan kyrrapunkt. Þessi vörpun gefur af sér samfellda vörpun G á E ef við skoðum línuna sem fer frá g(x) í x og látum G(x) vera punktinn sem línan sker á E. Athugum að G(u) = u fyrir öll u E. Nú er G samfelld vörpun frá einingarhringskífunni á jaðarinn, en við sýndum áðan að slík vörpun er ekki til svo við höfum mótsögn. Tietze framlengingarsetningin Skilgreining 1. Grannrúm X er sagt normlegt ef fyrir sérhver tvö sundurlæg lokuð mengi í X eru til opin sundurlæg mengi, þar sem annað inniheldur A og hitt B. Setning 3. Látum X vera normlegt rúm; látum A vera lokað hlutrúm í X. 1

3 1. Sérhver samfelld vörpun frá A á lokaða bilið [a, b] í R má framlengja í samfellda vörpun frá rúminu X á lokaða bilið [a, b]. 2. Sérhver samfelld vörpun frá A á R má framlengja í samfellda vörpun frá rúminu X á R. Skilgreiningar Byrjum á að skilgreina nokkur grundvallarhugtök sem við þurfum að nota. Skilgreining 2. Látum X og Y vera grannrúm; látum f : X Y vera gagntæka vörpun. Ef bæði f og andhverfan f 1 : Y X eru samfelldar, þá er f kölluð grannmótun. Skilgreining 3. Látum S vera hring í R 2 og f vera eintæka vörpun f : S R 2 ; þá gefur f af sér grannmótun S f[s] = J, J kallast Jordan-ferill. Skilgreining 4. Látum I vera bil í R og f vera eintæka vörpun f : I R 2 ; þá gefur f af sér grannmótun I f[s] = J, J kallast Jordan-bogi. Hjálparsetningar Byrjum á að taka eftir tveimur einföldum atriðum varðandi samhengisþætti R 2 \ J. 1. R 2 \ J hefur nákvæmlega einn ótakmarkaðan samhengisþátt, því að J er takmarkaður ferill. 2. Sérhver samhengisþáttur R 2 \ J er ferilsamanhangandi og opin. Það fæst útfrá því að J er lokað mengi í R 2 og R 2 er ferilsamanhangandi. Sönnum nú tvær lemmur Lemma 1. Ef R 2 \ J er ekki samanhangandi, þá hefur sérhver samhengisþáttur J sem jaðar. Sönnun. Skv. forsendum gildir að R 2 \ J hefur a.m.k. tvo samhengisþætti, þann ótakmarkaða og a.m.k. einn takmarkaðan. Látum U vera einhvern samhengisþátt. Þar sem sérhver annar samhengisþáttur W er sundurlægur frá U og opin, þá inniheldur W engan punkt í U og þar með engan punkt í jaðri U, þ.e.a.s. U U c J. Gerum ráð fyrir að U U c J, þá er til bogi A J þannig að ( ) U U c A. Við sýnum að þetta leiði til mótsagnar. Samkvæmt athugasemdum hefur R 2 \ J einungis einn ótakmarkaðan samhengisþátt. Látum o vera punkt í takmörkuðum samhengisþætti; ef U er takmarkaður látum við o vera í U. Látum nú D vera hringskífu með miðju í o, þannig að J sé í innri kjarna D. Látum S vera jaðar D; þá er S innihaldið í ótakmarkaða samhengisþætti R 2 \ J. Þar sem boginn A er grannmóta bilinu [0, 1], þá hefur samsemdarvörpunin A A samfellda framlengingu r : D A skv. Tietze-framlengingarsetningunni. Skilgreinum nú vörpun q : D D\{o}, eftir því hvort U sé takmarkað eða ekki { { r(z), ef z U z, ef z U q(z) = z, ef z U c, eða q(z) = r(z), ef z U c. Skv.(*) er sniðmengi U og U c í A, þar sem r er samsemdarvörpunin. Þar með er q vel skilgreind og samfelld vörpun. Athugum að q(z) = z ef z S. Látum p : D \ {o} S vera náttúrlega ofanvarpið, og látum t : S S vera andfætisvörpunina. Þá hefur samskeytingin q p t : D S D engan kyrrapunkt, sem er í mótsögn við kyrrapunktssetningu Brouwers. Athugasemd 1. Athugum að sönnunin að ofan sýnir að engin bogi A skiptir R 2 í samhengisþætti, sem er oft notað sem lemma fyrir ferilsetningu Jordans. Við þurfum aðra lemmu fyrir ferilsetninguna. Við skulum sanna hana í C, því auðvelt er að sanna hana með vafningstölum ferla, en niðurstaðan gildir einnig í R 2. 2

4 Lemma 2. Látum α vera feril frá 1 til 1 í S(0, 1) og β vera feril frá i til i í S(0, 1). Þá skerast ferlarnir α og β. Sönnun. Framlengjum β í lokaðan feril ˆβ með því að bæta við línustrikunum frá i til 2 i, frá 2 i til 2 + i og frá 2 + i til i. Þá er ˆβ lokaður ferill. Athugum nú að I( ˆβ, 1) = 0 og I( ˆβ, 1) = 1, svo að α er ferill sem tengir saman punkta í tveimur samhengisþáttum og sker þar með ˆβ, en eini hluti ˆβ sem er inni í S(0, 1) er β, svo að α sker β. Sönnunin Nú erum við tilbúin að sanna ferilsetningu Jordans. Skv.Lemmu 1, þurfum við einungis að sýna að R 2 \J hafi einn og aðeins einn takmarkaðan samhengisþátt. Kynnum einnig rithátt fyrir ferhyrningslaga mengi í R 2 ; látum E(a, b; c, d) tákna ferhyrningslaga mengið {(x, y) a x b, c y d} í R 2, þar sem a < b og c < d. Nú verður sönnunin gerð í eftirfarandi þremur skrefum: 1. Að finna punkt z 0 í samhengisþætti U. 2. Sýna að U er takmarkaður samhengisþáttur. 3. Sýna að enginn annar takmarkaður samhengisþáttur sé til. Sönnun. Þar sem J er þjappað mengi, þá eru til punktar a, b J, þannig að fjarlægðin a b er lengst. Við megum gera ráð fyrir að a = ( 1, 0) og b = (1, 0). Þá inniheldur mengið E( 1, 1; 2, 2) J og jaðarinn Γ hefur tvo sameiginlega punkta með J, a og b. Látum n vera miðpunkt efri hliðar E( 1, 1; 2, 2), og s vera miðpunkt neðri hliðarinnar, þ.e.a.s. n = (0, 2) og s = (0, 2). Þá sker línustrikið ns J skv. Lemmu 2. Látum l vera punkinn með hæsta y-hnitið í J ns. Punktarnir a og b skipta ferlinu í tvo boga; þann sem inniheldur l köllum við J n og hinn J s. Látum m vera punktinn með minnsta y-hnitið í J n ns(hugsanlega er l = m). Þá sker línustrikið ms J s ; annars myndi vegurinn nl + lm + ms( þar sem lm táknar hlutboga J n með endapunkta l og m) ekki skera J s, sem er í mótsögn við Lemmu 2. Látum p og q tákna þá punkta í J s ms sem hafa hæsta og lægsta y-hnitið. Að lokum látum við z 0 vera miðpunkt línustriksins mp. Sýnum nú að U, samhengisþáttur R 2 \ J sem inniheldur z 0 sé takmarkaður. Gerum ráð fyrir að U sé ótakmarkaður samhengisþáttur. Þar sem U er ferilsamanhangandi er til vegur α frá z 0 í punkt utan E( 1, 1; 2, 2). Látum w tákna tákna fyrsta punktinn þar sem α sker Γ. Táknum þann hluta vegarins α sem fer frá z 0 til w með α w. Ef w er á neðri helmingi Γ, þá getum við fundið veg ws í Γ frá w til s sem inniheldur hvorki a né b. Skoðum nú veginn nl + lm+mz 0 +α w + ws. Þessi vegur sker ekki J s, í mótsögn við Lemmu 2. Ef w er á efri helming Γ þá sker ferillinn sz 0 + α w + wn ekki J n ( wn er stysta leiðin í Γ frá w til n) í mótsögn við Lemmu 2. Þessi mótsögn sýnir okkur að U er takmarkaður samhengisþáttur. Að lokum skulum við gera ráð fyrir að til sé annar takmarkaður samhengisþáttur W U í R 2 \ J. Við sjáum greinilega að W E( 1, 1; 2, 2). Látum β vera veginn nl + lm + mp + pq + qs, þar sem pq er hlutbogi í J s frá p til q. Við sjáum að β inniheldur engann punkt úr W. Þar sem hvorki a né b eru í β 3

5 eru til opnar kúlur V a, V b um a, b þannig að hvorug þeirra innihaldi punkt úr β. Skv.Lemmu 1 eru a og b í W. Nú eru til a 1 W V a og b 1 W V b. Látum a 1 b 1 vera veg í W frá a 1 til b 1. Þá sker vegurinn aa 1 + a 1 b 1 + b 1 b ekki β en það er í mótsögn við Lemmu 2 og lýkur þar með sönnun okkar. Tengdar niðurstöður, almennari tilvik Ummálsjafnaðarójafnan Setning 4. Látum J vera næstum einfaldan veg af lengd L í R 2 og A vera flatarmál svæðisins sem J afmarkar. Þá gildir að 4πA L 2. Ójafnan kom sem fylgisetning af sönnun Jordans, þar sem hann notaði marghyrninga til að nálga Jordan-ferlana í sinni sönnun. Ójafnan segir okkur að næstum einfaldur vegur J af lengd L afmarkar mest flatarmál þegar J er hringur. Forngrikkir höfðu gert sér grein fyrir þessari niðurstöðu en það var ekki fyrr en árið 1838 Jakob Steiner sýndi að ef til væri lausn, þá þyrfti það að vera hringur sem myndi gefa mesta flatarmálið, síðar kláruðu aðrir stærðfræðingar sönnun hans. Fylgisetning Schoenfließ Setning 5. Látum J vera Jordan feril í sléttu, þá er takmarkaði samhengisþátturinn grannmóta opinni hringskífu D og sá ótakmarkaði grannmóta D c \ D. Til er almennari setning sem var sönnuð seinna. Setning 6. Látum K í R n vera þjappaða grannvíðáttu af vídd n 1. Ef K er grannmóta einingakúluhvelinu S n 1, þá hefur R n \ K tvo samhengisþætti. Fylgisetning Schoenfließ er mun sterkari, því að þá getum við fullyrt að innmengi J er grannmóta hringskífu, hinsvegar í R 3 er til þekkt mótdæmi sem er kallað Alexander s horned sphere sem var uppgötvað af James Waddell Alexander II árið Látum A vera hyrnta kúluhvelið, þá er ótakmarkaði samhenigsþáttur R 3 \ A ekki einfaldlega samanhangandi, en fyllimengi sérhverrar lokaðrar kúlu er einfaldalega samanhangandi, svo að mengin geta ekki verið grannmóta. Hægt er að sjá að á einfaldan hátt að ótakmarkaði samhengisþáttur R 3 \ A er ekki einfaldlega samanhangandi. Skoðum mynd 4

6 Setning Browder Setning 7. Ef K er þjappað hlutmengi í R 2 og R 2 \ K hefur nákvæmlega n samhengisþætti, n N, og L R 2 er grannmóta K, þá hefur R 2 \ L líka nákvæmlega n samhengisþætti. Þetta er ný niðurstaða eftir bandaríska stærðfræðinginn Andrew Browder. Þetta er fylgisetning af setningunni: Setning 8. Látum f C (X). Þá eru til ótvírætt ákvarðaðar heilar tölur n 1, n 2,..., þannig að n k = 0 fyrir öll nema endanlega mörg k og er f N k=1 (z a k) n k exp C(X) þar sem exp C(X) = {e f : f C(x)}. Lokaorð Þó að ferilisetning Jordans sé mjög einföld í framsetningu þá höfum við séð að sönnunin er ekki mjög einföld, þó er hún vel skiljanleg fyrir flesta sem hafa kynnt sér smá grannfræði. Áhugavert er að taka eftir hversu öflug tól vafningstölur eru í tvinnfallagreiningu og hvernig niðurstöðurnar gilda einnig í R 2. Samt sem áður er ekki hægt að fá sambærilegar niðurstöður í hærri víddum á jafn einfaldan hátt. 5

7 Heimildir [1] Jordan Curve Theorem á Wikipedia, the free encyclopedia (Sótt 5.mars 2011). en.wikipedia.org/wiki/jordan_curve_theorem [2] Brouwer fixed point theorem á Wikipedia, the free encyclopedia (Sótt 5.mars 2011). en.wikipedia.org/wiki/brouwer_fixed_point_theorem [3] Isoperimetric inequality á Wikipedia, the free encyclopedia (Sótt 5.mars 2011). en.wikipedia.org/wiki/isoperimetric_inequality [4] Jordan Schönflies theorem á Wikipedia, the free encyclopedia (Sótt 5.mars 2011). en.wikipedia.org/wiki/jordan Schönflies_theorem [5] Alexander horned sphere á Wikipedia, the free encyclopedia (Sótt 5.mars 2011). en.wikipedia.org/wiki/alexander_horned_sphere [6] James Waddell Alexander II á Wikipedia, the free encyclopedia (Sótt 5.mars 2011). en.wikipedia.org/wiki/james_waddell_alexander_ii [7] Thomas Hales The Jordan Curve Theorem, Formally and Informally (Sótt 17.feb 2011). thales/papers/the%20jordan%20curve%20theorem,%20formally%20and%20informally.pdf [8] Ryuji Maehara Jordan Curve Theorem Via the Brouwer Fixed Point Theorem. American Mathematical Monthly, Vol 91, No. 10 (Dec 1984) pp Útgefandi: Mathematical Assiciation of America [9] Andrew Browder Topology in the complex plane. American Mathematical Monthly, Vol 107, No. 5 (Dec 2000) pp Útgefandi: Mathematical Assiciation of America 6