Alexandru Lupa (pe numele complet Alexandru Ioan Lupa ) s-a n scut în ziua de 5 ianuarie 1942 la Arad, ca al doilea fiu al juristului Octavian Lupa i

Transcription

1 GAZETA MATEMATIC SERIA A REVIST DE CULTUR MATEMATIC ANUL XXV(CIV) Nr. 4 / 2007 Alexandru Lupa In memoriam La mai pu in de un an de la decesul doamnei profesor Luciana Lupa, o nou lovitur avea s se abat atât asupra familiei, cât i a întregii comunit ii matematice: în ziua de 14 august 2007, dup o scurt dar grea suferin, matematicianul profesor universitar doctor Alexandru Lupa s-a stins din via. Ne-a p r sit un matematician de prim ordin, un om de o inteligen sc p r toare, un cercet tor i dasc l universitar de mare valoare. Iar pentru cei care au avut privilegiul de a-l cunoa te, ne-a p r sit un maestru, un sf tuitor competent, un bun prieten. Era un om de cea mai des vâr it urbanitate, care avea darul cu totul special de a-i face pe interlocutori s se simt bine, s fie captiva i de ceea ce le spunea; era un om care împ rt ea o viziune optimist asupra vie ii, muncii i matematicii... Pentru matematica româneasc, dispari ia profesorului universitar doctor Alexandru Lupa a însemnat o imens pierdere. Printr-o coinciden a soartei, aceast pierdere s-a produs exact în aceea i zi cu cea a altui matematician român, de data aceasta din diaspora din Canada, anume profesorul Radu Theodorescu (n. 12 aprilie 1933). Comunitatea matematic, în întregime, a primit vestea decesului profesorului Alexandru Lupa cu profund consternare i triste e, nu numai pentru c opera sa matematic este foarte valoroas i pentru c mai avea multe de spus, dar i pentru c era foarte apreciat, respectat i îndr git. Opera matematic a profesorului va r mâne ca un bun definitiv câ tigat în matematica româneasc. Aceast oper este alc tuit din peste 130 de articole (peste 100 de articole tiin ifice i 27 de articole didactico- tiin ifice), 6 monografii, 10 cursuri universitare i dou c r i pentru înv mântul preuniversitar; de asemenea, profesorul Alexandru Lupa a propus i numeroase probleme profunde i elegante. 255

2 Alexandru Lupa (pe numele complet Alexandru Ioan Lupa ) s-a n scut în ziua de 5 ianuarie 1942 la Arad, ca al doilea fiu al juristului Octavian Lupa i al Liviei Lupa, de asemenea jurist. Tat l s u a fost implicat i în via a cet ii fiind primarul Aradului în perioada Fratele s u mai mare cu un an, Adrian (Dinu) Lupa este inginer la Timi oara. Face studiile liceale la faimosul Liceu Moise Nicoar din Arad; printre fo tii elevi ai Liceului se afl importan i matematiciani români, dintre care nu mai pu in de patru membri ai Academiei Române, anume Tiberiu Popoviciu ( ), Caius Iacob ( ), iar din genera ia actual de academicieni, Dimitrie D. Stancu (n. 1927) i Ivan Singer (n. 1927). De asemenea, la Liceul Moise Nicoar, dar ulterior lui Alexandru Lupa, au înv at profesorii universitari de la Cluj-Napoca Radu Precup i Mircea Ivan. Alexandru Lupa sus ine examenul de bacalaureat în 1959 i, în toamna aceluia an, este admis, pe baz de examen, la Facultatea de Matematic a Universit ii Babe -Bolyai de la Cluj. Aici profesa cu m iestrie i str lucire o faimoas pleiad de profesori. Studentul Alexandru Lupa va audia, printre al ii, pe profesorii (în ordine alfabetic ) L. Bal, G. C lug reanu, D. V. Ionescu, T. Mih ilescu, P. T. Mocanu, Gh. Pic, T. Popoviciu i D.D. Stancu. Este atras în special de ideile din Analiza numeric i Teoria aproxim rii, din prelegerile lui D. V. Ionescu, T. Popoviciu i D.D. Stancu, mae tii s i, pe care îi evoca adesea, cu aleas apreciere i c ldur. În 1964, imediat dup absolvire, este repartizat cercet tor la Institutul de Calcul din Cluj, al Academiei, înfiin at prin str daniile lui Tiberiu Popoviciu, înc din 1957 i al c rui director era înc de la înfiin are. Înc din primii ani de activitate, tân rul cercet tor se afirm atât prin lucr ri originale, profunde i elegante, cât i prin particip ri la Seminarii, Conferin e i Congrese interna ionale, particip ri care vor fi continuate în întreaga sa carier. Va deveni rapid cercet tor principal. În 1966 se c s tore te cu Luciana Eugenia-Ruxandra iriac, n scut la 26 aprilie 1944, la Sânnicolaul Mare (jud. Arad), fiica doctorului tefan iriac i a Eugeniei iriac. Luciana era o str lucitoare student la Matematic, la Cluj i avea s termine facultatea în 1967, ca ef de promo ie, fiind imediat re inut la Catedra de Analiz Matematic ( ef de catedr prof. Tiberiu Popoviciu). La aceast catedr, Luciana Lupa va lucra f r întrerupere pân în 1976 i va ob ine în 1978 titlul tiin ific de doctor în matematic. În 1971 Alexandru Lupa ob ine, prin concurs, o burs Humboldt. Plecat în Germania de Vest, absolv Goethe Institut din Rothenburg ob der Tauber, prin care aprofundeaz limba german, absolut necesar în cercet rile matematice pe care le va face acolo. Apoi lucreaz ca bursier-cercet tor la Institutul de Matematic al Universit ii din Stuttgart, respectiv Tübingen, sub îndrumarea profesorului Werner M. Meyer-König (26 mai decembrie 2002). Acesta este bine cunoscut în teoria aproxim rii în special datorit operatorului de aproximare a func iilor pe care l-a definit, odat cu K. Zeller i care se nume te ast zi operatorul Meyer-König i Zeller. În ziua de 28 aprilie 1972 A. Lupa sus ine diserta ia doctoral intitulat,,die Folge der Betaoperatoren, în fa a unei comisii prezidate de W. Meyer-König. Ob ine astfel foarte apreciatul titlu german de,,doktor der Naturwissenschaften în specialitatea matematic (echivalentul titlului numit la universit i din alte ri 256

3 ,,doctor rerum naturae ); aceast acordare a titlului a fost f cut cu distinc ia maxim ( Gesamturteil:,,mit Auszeichnung bestanden ). A fost singurul care a ob inut, în acel an, titlul cu distinc ie maxim. Revenit în ar, Alexandru Lupa va rezolva rapid alt problem. Anume, în 1970, fusese admis pe baz de concurs, la doctorat la T. Popoviciu i sus inuse toate examenele i referatele. Mai avea doar de finalizat i de sus inut teza, a c rei arhitectur era mai de mult stabilit. Prin decesul nea teptat al acad. Tiberiu Popoviciu din 1975, doctorandul Alexandru Lupa (deja Doktor din Germania) este repartizat celuilalt mare specialist în Analiza numeric i Teoria aproxim rii de la Cluj, profesorul doctor Dimitrie D. Stancu; sub îndrumarea domniei sale, va finaliza rapid preg tirea tezei de doctorat intitulat,,contribu ii la teoria aproxim rii prin operatori liniari, pe care o va sus ine la Univesitatea Babe -Bolyai la 19 iunie 1976, ob inând i titlul românesc de doctor în matematici. Avea deja 23 de lucr ri tiin ifice publicate. Alexandru Lupa povestea cu mult pl cere despre frumoasa colaborare ca de la maestru la discipol pe care i-a oferit-o cu cordialitate profesorul D. D. Stancu. Pentru profesor, a fost unul dintre cele câteva doctorate preluate de la T. Popoviciu; ulterior, acad. D. D. Stancu va conduce peste 40 de doctorate. Dar, în 1975, venise, ca un tr znet din cer senin, decizia ceau ist absurd i discre ionar, de desfiin are a tuturor institutelor de cercet ri ale Academiei. Academicianul Miron Nicolescu, în dubla calitate de Pre edinte al Academiei i de director al Institutului de Matematic al Academiei, dup un demers nereu it de redresare a situa iei, precum i academicianul Tiberiu Popoviciu, directorul Institutului de Calcul din Cluj al Academiei, înceteaz din via, pur i simplu de inim rea. Cercet torilor li se desface automat contractul de munc, interzicându-le de a trece în acel an în înv mântul superior. Matematicianul Alexandru Lupa lucreaz, din mai 1975 pân în septembrie 1976, ca cercet tor principal la Institutul de Tehnic de Calcul din Cluj (care, nefiind subordonat Academiei, nu fusese desfiin at!); în aceast perioad, doamna Luciana Lupa continu s lucreze la Catedra de Analiz Matematic de la Universitatea Babe -Bolyai. În 1976, familia Lupa ia o hot râre important, pe care o i pune în aplicare: se stabile te la Sibiu, unde se va dedica muncii la catedr în înv mântul superior. Alexandru Lupa va fi succesiv lector ( ), conferen iar ( ) i profesor (inclusiv îndrum tor de doctorat) din La Sibiu va scrietoate celelalte articole, cât i 16 c r i. A predat cursuri de Algebr liniar, Geometrie analitic i diferen ial, Matematici speciale, Analiz numeric, Metode numerice, Calcul operatorial finit, Matematici computa ionale. Doamna Luciana Lupa a predat în special Analiz matematic, fiind lector în perioada , iar apoi conferen iar. Cursurile sale elegante au r mas de neuitat pentru fo tii studen i. Animat de dorin a edific rii unui înv mânt superior de cea mai bun calitate în Sibiu, Alexandru Lupa aavut i unele activit i manageriale: a fost eful catedrei de Mecanic aplicat la vechiul Institut Tehnic Superior, apoi rector interimar al Universit ii Lucian Blaga în 1990, decan al Facult ii de tiin e din Sibiu în , prorector al Universit ii Româno-Germane din Sibiu în , ef al Catedrei de Matematic a Universit ii Lucian Blaga în La începutul anilor 1990 a avut o contribu ie decisiv pentru ob inerea atestatelor i acredit rilor necesare Universit ilor din Sibiu. 257

4 Alexandru Lupa a fost, cu începere din 1968, recenzent la,,mathematical Reviews i la,,zentralblatt für Mathematik, unde a publicat numeroase recenzii. A fost pre edintele Filialei Sibiu a S.S.M.R. în perioada Nou matematicieni au ob inut titlul de doctor sub îndrumarea profesorului Lupa : Vasile Mihe an (1997), Emil C. Popa (1998), Dorian Popa (1999), Dana Simian (2002), Adrian Branga (2003), Florin Sofonea (2004), Eugen Constantinescu (2004), Ioan Popa (2005) i Ioan incu (2006). În prezent to i ocup pozi ii în înv mântul universitar, primul este profesor universitar, iar ceilal i sunt conferen- iari, respectiv lectori universitari. Profesorul Alexandru Lupa participase, începând din 1980, imediat dup ce a fost numit conferen iar, ca membru examinator la examene de doctorat i ca membru examinator- coreferent în nenum rate comisii de doctorat. A organizat numeroase manifest ri tiin ifice de matematic, dintre care men- ion m: Simpozioanele de inegalit i matematice de la Sibiu (1981, 1984, 1987, 1992), Seminariile româno-germane de teoria aproxim rii, denumite, pe scurt, RoGer, ini iate împreun cu doamna Luciana Lupa i cu profesorul german Heiner H. Gonska, de la Universitatea din Duisburg (Cluj-1996, Sibiu-1998, Bra ov-2000, Sibiu-2002, Cluj/B i oara-2004). Edi ia de anul acesta a seminarului RoGer s-a desf urat între 1 i 4 octombrie, la Königswinter (Germania) i a fost dedicat memoriei profesorilor Luciana Lupa i Alexandru Lupa. Profesorul Alexandru Lupa a ini iat Congresul Interna ional de Inegalit i i Aplica ii, Timi oara, 2001, cât i Conferin a Interna ional de Inegalit i i Aplica ii, Melbourne, A inut numeroase conferin e: la Oberwolfach (1969), Sofia i Varna (1970), Stuttgart (1971), Stokholm (1974), Lund (1974), Hagen (1990, 1997), Dortmund / Witten (1995, 1998), Duisburg (1996), Siegen (1996). A fost membru în Comitetele de redac ie ale mai multor reviste de specialitate:,,journal of Mathematical Analysis and Approximation Theory (JMAAT),,,Journal of Concrete and Applied Mathematics,,,Gazeta Matematic -Seria A,,,General Mathematics,,,Octogon,,,Arhimede. Articolele i conferin ele sale sunt foarte mult citate în reviste de prestigiu. În 27 de lucr ri numele s u este citat în titlu. A fost r spl tit cu anumite medalii i diplome, ultima fiind diploma de excelen acordat de c tre S. S. M. R. în 2006 (despre care s-a relatat pe larg în nr. 1/2007, pp ). Nu încerc m ca în acest articol dedicat memoriei profesorului s analiz m opera sa. De altfel, acest demers ar necesita mult mai mult spa iu. Preciz m îns c lucr rile tiin ifice ale profesorului Alexandru Lupa se refer în special la urm toarele domenii, în care era maestru: analiza matematic clasic, inegalit i, convexitate, analiz numeric, teoria aproxim rii, teoria constructiv a func iilor, func ii speciale, calcul operatorial finit (calcul umbral), q-calculus. Înc o dat, subliniem, în toate aceste domenii, profesorul Lupa era un profund cunosc tor. În anul 2006 familia Lupa a fost lovit de o mare nedreptate a soartei: doamna Luciana Lupa înceteaz din via la 9 septembrie, ca urmare a unei boli nemiloase. Profund îndurerat, profesorul Lupa traverseaz cu mare demnitate aceast perioad, atât de dificil, inând cursurile cu regularitate i înc lucrând matematic. Se stinge din via ca urmare a unui infarct. Tradi ia familiei lui Alexandru i a Lucianei Lupa este continuat de fiul lor, 258

5 Tudor (n. 1980), inginer automatist i matematician. Profesorul Alexandru Lupa a d ruit matematicii române ti valoroase i originale rezultate. A fost un om al cercet rii matematice, al zidirii temeinice de înv tur, al edific rii Universit ilor din Sibiu (Universitatea Lucian Blaga i Universitatea Româno-German ). A sprijinit întotdeauna cauzele drepte i umane, ajutând cu vorba sa, care întotdeauna avea greutate, dar i cu fapta. Va r mâne în amintirea tuturor celor care l-au cunoscut ca un matematician deosebit, un interlocutor minunat, un om care avea darul de a face s se simt bine cei cu care vorbea. To i cei care au avut privilegiul de a-l cunoa te mai îndeaproape l-au respectat i l-au îndr git. P strându-i cu grij amintirea, r mânem în minte cu imaginea sa nobil i luminoas. Aceast imagine a profesorului Alexandru Lupa va d inui întotdeauna ca o raz vie de lumin, de adev r, de iubire de aproape, de via. Andrei Vernescu Caracteriz ri ale punctelor eficiente, slab eficiente i ideale ale func iilor derivabile de Eugenia Duca i Dorel I. Duca Abstract The authors continue their presentation concerning generalizations for the case of differentiable function taking values in R. Key words: optim point, Pareto point, Slater point, differentiable function. M.S.C.: 26B05, 58E Introducere A a cum s-a v zut în [3], [5], generalizarea no iunii de punct de optim al unei func ii reale se poate face în mai multe moduri i aceasta deoarece pe spa iul R p nu se poate introduce o rela ie de ordine total (complet ), compatibil cu opera iile aritmetice uzual introduse pe R p. Dac u =(u 1,...,u p ) i v =(v 1,...,v p ) sunt dou puncte din spa iul R p, atunci vom scrie c : u v dac i numai dac pentru fiecare j {1,...,p} avem u j v j ; u<vdac i numai dac pentru fiecare j {1,...,p} avem u j <v j ; u v dac i numai dac u v i u v. Evident u v dac i numai dac pentru fiecare j {1,...,p} avem u j v j i exist cel pu in un indice k {1,...,p} cu proprietatea c u k <v k. Reamintim no iunile de punct eficient, punct slab eficient i punct ideal (vezi, de exemplu, [3] i [5]). Defini ia 1. Fie D o submul ime nevid, f : D R p o func ie vectorial, S o submul ime nevid a lui D i x 0 S. Spunem c x 0 este 259

6 a) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de minim al func iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x) f(x 0 ); b) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de minim al func iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x) <f(x 0 ); c) punct ideal de minim al func iei f relativ la S, dac pentru orice x S, are locinegalitatea f (x 0 ) f (x); d) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de maxim al func- iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x 0 ) f(x); e) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de maxim al func iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x 0 ) <f(x); f) punct ideal de maxim al func iei f relativ la S, dac, pentru orice x S, are locinegalitatea f (x) f (x 0 ); g) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) al func iei f relativ la S, dac este punct eficient de minim sau punct eficient de maxim al func iei f relativ la S; h) punct slab eficient (sau punct Slater sau nedominat strict) al func iei f relativ la S, dac este punct slab eficient de minim sau punct slab eficient de maxim al func iei f relativ la S; i) punct ideal al func iei f relativ la S, dac este punct ideal de minim sau punct ideal de maxim al func iei f relativ la S. Are loc urm toarea afirma ie (demonstra ia este imediat ) : Teorema 2. Fie D o submul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie vectorial. Dac x 0 S este punct eficient de minim (respectiv de maxim) al func iei f relativ la S, atunci x 0 este punct slab eficient de minim (respectiv de maxim) al func iei f relativ la S. Observatia 3. Reciproca teoremei 2 nu este adev rat a a cum ne arat urm torul exemplu: Exemplul 4. Fie f : R R 2 func ia definit prin: f (x) = ( x 2, 0 ), pentru orice x R, i fie S = R. Atunci x =0este unicul punct eficient de minim al func iei f relativ la S, în timp ce orice x S este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. Teorema 5. Fie D o submul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie vectorial. Dac func ia f are cel pu in un punct ideal de minim (respectiv de maxim) relativ la S, atunci mul imea punctelor eficiente de minim (respectiv de maxim) ale func iei f relative la S coincide cu mul imea punctelor ideale de minim (respectiv de maxim) ale func iei f relative la S. Demonstra ie. Demonstra ia se poate g si în [5]. Observa ia 6. Dac func ia f : D R p nu posed puncte ideale de minim (respectiv de maxim) relative lamul imea S D, nu rezult numaidecât c ea nu posed puncte eficiente de minim (respectiv de maxim) relative las. Exist func ii f : D R p care nu posed puncte ideale de minim relative lamul imi S D, dar posed puncte eficiente de minim relative las (vezi [5]). Defini ia urm toare precizeaz no iunea de eficien local : 260

7 Defini ia 7. Fie D o submul ime nevid a mul imii R n, f : D R p o func ie vectorial, S o submul ime nevid a lui D i x 0 S. Spunem c x 0 este a) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de minim local al func iei f relativ la S, dac exist ovecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct eficient de minim al func iei f relativ la S V ; b) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de minim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S V ; c) punct ideal de minim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct ideal de minim al func iei f relativ la S V ; d) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de maxim local al func iei f relativ la S, dac exist ovecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct eficient de maxim al func iei f relativ la S V ; e) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de maxim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct slab eficient de maxim al func iei f relativ la S V ; f) punct ideal de maxim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct ideal de maxim al func iei f relativ la S V ; g) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) local al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct eficient de minim local sau punct eficient de maxim local al func iei f relativ la S; h) punct slab eficient (sau punct Slater sau punct nedominat strict) local al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct slab eficient de minim local sau punct slab eficient de maxim local al func iei f relativ la S; i) punct ideal local al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct ideal de minim local sau punct ideal de maxim local al func iei f relativ la S. Exemplul 8. Fie f : R R 2 func ia definit prin f (x) = ( 2x 3 3x 2, 0 ), oricare arfi x R, i fie S = R. Atunci x 0 =0este punct eficient de maxim local al func iei f relativ la S, iar x 0 =1este punct eficient de minim local al func iei f relativ la S. Func ia f nu are puncte eficiente relativ la S. Toate punctele mul imii S sunt slab eficiente de minim relativ la S i slab eficiente de maxim relativ la S. Mai multe propriet i ale punctelor eficiente, slab eficiente i ideale, f r ipoteze de derivabilitate asupra func iei, se pot g si, de exemplu, în [3] i [5]. În aceast lucrare vom da câteva condi ii necesare i câteva condi ii suficiente pentru ca un punct s fie eficient, slab eficient sau ideal pentru o func ie vectorial derivabil. 2. Condi ii necesare pentru punctele eficiente, slab eficiente i ideale ale func iilor derivabile Rezultatele prezentate în acest paragraf generalizeaz, într-un anumit sens, celebra teorem a lui P. Fermat: Teorema 9. (P. Fermat) Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f : D R o func ie. Dac 261

8 (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func ia f este derivabil în punctul x 0 ; (iii) x 0 este punct de optim local al func iei f relativ la D, atunci f (x 0 )=0. În cazul punctelor ideale are loc o analoag a teoremei lui Fermat: Teorema 10. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,...,f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) x 0 este punct ideal local al func iei f relativ la D, atunci f (x 0 )= ( f 1 (x 0),,f p (x 0) ) =0. Demonstra ie. S presupunem, f r a restrânge generalitatea, c x 0 este punct ideal de minim al func iei f relativ la D. Atunci, din (i) i (iii), urmeaz c exist un num r real r>0 astfel încât V =(x 0 r, x 0 + r) D i f k (x 0 ) f k (x), oricare ar fi x V D i oricare ar fi k {1,...p}. Rezult c x 0 este punct de minim local pentru fiecare din func iile f 1,..., f p relativ la D; atunci, în baza teoremei lui Fermat, f 1 (x 0)=0,..., f p (x 0)=0. Teorema este demonstrat. S observ m c o analoag direct a teoremei lui Fermat nu are loc în cazul punctelor eficiente i slab eficiente. Într-adev r, fie f 1,f 2 : R R func iiile definite prin f 1 (x) =x 2, f 2 (x) =x 3, pentru orice x R. Se poate constata u or c x 0 = 1 este punct eficient ( i slab eficient) de minim local al func iei f = (f 1,f 2 ) relativ la R. Evident func- iile f 1, f 2 sunt deriva Ψ bile în punctul x 0 = 1 i f 1( 1) = 2, f 2( 1) = 3, deci f(x 0 )=( 2, 3) (0, 0). S reformul m teorema lui Fermat: Teorema 11. (P. Fermat) Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f : D R o func ie. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func ia f este derivabil în punctul x 0 ; (iii) f (x 0 ) 0, atunci x 0 nu este punct de optim local al func iei f relativ la D. În cazul punctelor eficiente i slab eficiente are loc o analoag a teoremei 11: Teorema 12. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,...,f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) f k (x 0) > 0, oricare arfik {1,..., p}, atunci x 0 nu este punct slab eficient local al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la D. Demonstra ie. Punctul x 0 fiind interior mul imii D, exist un num r real δ>0 astfel încât s avem (x 0 δ, x 0 + δ) D. Pe de alt parte, din faptul c pentru 262

9 fiecare k {1,..., p}, avem f k (x) f k (x 0 ) lim = f x x k (x 0 ) > 0, 0 x x 0 deducem c, pentru fiecare k {1,...,p}, exist un num r real r k (0,δ) astfel ca s avem f k (x) f k (x 0 ) x x 0 > 0, (1) pentru orice x (x 0 r k,x 0 + r k ) \{x 0 }. Fie r =min{r k : k {1,..., p}}. Atunci r>0 i pentru orice k {1,..., p}. Acum, din (1) i (2), deducem c (x 0 r, x 0 + r) D (x 0 r k,x 0 + r k ), (2) f k (x) <f k (x 0 ), pentru orice x (x 0 r, x 0 ) i k {1,..., p} i f k (x) >f k (x 0 ), pentru orice x (x 0,x 0 + r) i k {1,..., p}, adic pentru orice x (x 0 r, x 0 ) i f (x) <f(x 0 ), (3) f (x) >f(x 0 ),, (4) pentru orice x (x 0,x 0 +r), ceea ce ne arat c x 0 nu este nici punct slab eficient de minim local al func iei f relativ la D (rela ia (3)), nici punct slab eficient demaxim local al func iei f relativ la D (rela ia (4)). Cu o demonstra ie analoag se poate justifica afirma ia urm toare: Teorema 13. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,..., f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) f k (x 0) < 0, oricare arfik {1,..., p}, atunci x 0 nu este punct slab eficient local al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la D. Observa ia 14. Dac p =1, atunci teoremele 12 i 13 devin teorema 11. Din teoremele 12 i 13, în baza teoremei 2, rezult urm toarele dou afirma ii: Teorema 15. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,..., f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) f k (x 0) > 0, oricare arfik {1,..., p}, atunci x 0 nu este punct eficient local al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la D. 263

10 Teorema 16. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,..., f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) f k (x 0) < 0, oricare arfik {1,..., p}, atunci x 0 nu este punct eficient local al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la D. Observa ia 17. Dac p =1, atunci teoremele 15 i 16 devin teorema 11. Afirma ia urm toare d o condi ie necesar ca un punct s fie eficient local. Teorema 18. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,..., f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) x 0 este punct eficient local al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la D, atunci exist p numere reale a 1,..., a p 0, nu toate nule, astfel încât a 1 f 1 (x 0 ) a p f p (x 0 )=0. Demonstra ie. Numerele reale f 1 (x 0),...,f p (x 0) nu pot fi toate strict pozitive sau toate strict negative. Într-adev r, dac numerele f 1 (x 0),..., f p (x 0) ar fi toate strict pozitive (sau toate strict negative), atunci în baza teoremei 15 (respectiv a teoremei 16), x 0 nu ar fi punct eficient local al func iei f relativ la D, faptcare, evident, contrazice ipoteza. Atunci avem dou posibilit i: a) exist k {1,...p} astfel încât f k (x 0)=0, sau/ i b) exist k, j {1,..., p} astfel încât f k (x 0) < 0 i f j (x 0) > 0. Dac are loc alternativa a), atunci numerele reale a 1,..., a p date de rela ia { 0, dac i {1,..., p}\{k} a i = 1, dac i = k, satisfac concluzia teoremei. Dac are loc alternativa b), atunci numerele reale a 1,..., a p date de rela ia ( f ) j x 0 (, dac i = k a i = f ) k x 0, dac i = j 0, dac i {1,..., p}\{k, j} satisfac concluzia teoremei. Teorema este demonstrat. În baza teoremei 2, din teorema 18, rezult imediat urm toarea afirma ie. Teorema 19. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,...,f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) x 0 este punct slab eficient local al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la D, atunci exist p numere reale a 1,..., a p 0, nu toate nule, astfel încât a 1 f 1 (x 0) a p f p (x 0)=0. 264

11 Pentru punctele ideale are loc urm toarea afirma ie: Teorema 20. Fie D o submul ime nevid a mul imii R, x 0 R i f 1,...,f p : D R p func ii reale. Dac (i) x 0 este punct interior al mul imii D; (ii) func iile f 1,..., f p sunt derivabile în punctul x 0 ; (iii) x 0 este punct ideal local al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la D, atunci, pentru orice p numere reale a 1,..., a p 0, are locegalitatea a 1 f 1 (x 0 ) a p f p (x 0 )=0. Demonstra ie. Se aplic teorema Condi ii suficiente pentru punctele eficiente, slab eficiente i ideale ale func iilor derivabile În cele ce urmeaz avem nevoie de urm toarea afirma ie a c rei demonstra ie se poate g si, de exemplu, în [1]. Teorema 21. Fie I un interval din R, x 0 I i F : D R o func ie derivabil în x 0. Dac func iaf este convex pe I, atunci F (x 0 )(x x 0 ) F (x) F (x 0 ), oricare arfix I. Are loc urm toarea afirma ie. Teorema 22. Fie I un interval al mul imii R, x 0 un punct interior al lui I i f 1,..., f p : I R p func ii derivabile în punctul x 0. Dac exist p numere reale a 1,..., a p 0, nu toate nule, astfel încât: (i) func ia F = a 1 f a p f p : I R este convex ; (ii) a 1 f 1 (x 0) a p f p (x 0)=0, atunci x 0 este punct slab eficient de minim al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la I. Demonstra ie. Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem c x 0 nu este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la I. Atunci exist un punct x 1 I cu proprietatea c f k (x 1 ) <f k (x 0 ), (5) oricare ar fi k {1,..., p}. Dac inem seama c numerele pozitive a 1,..., a p nusunt toate nule, din (5), deducem c a 1 f 1 (x 1 ) a p f p (x 1 ) <a 1 f 1 (x 0 ) a p f p (x 0 ), deci F (x 1 ) <F(x 0 ). (6) Pe de alt parte, func ia F este derivabil în punctul x 0 i F (x 0 )=a 1 f 1 (x 0) a p f p (x 0)=0. (7) Din faptul c func ia F este convex, în baza teoremei 21, avem c F (x 0 )(x 1 x 0 ) F (x 1 ) F (x 0 ). (8) 265

12 Atunci, din (6), (7) i (8), deducem c 0=F (x 0 )(x 1 x 0 ) F (x 1 ) F (x 0 ) < 0, ceea ce este o contradic ie. Folosind aceast teorem, deducem imediat urm toarea afirma ie: Teorema 23. Fie I un interval al mul imii R, x 0 un punct interior al lui I i f 1,..., f p : I R p func ii derivabile în punctul x 0. Dac (i) func iile f 1,...,f p sunt convexe; (ii) exist p numere reale a 1,..., a p 0, nu toate nule, astfel încât a 1 f 1 (x 0 ) a p f p (x 0 )=0, atunci x 0 este punct slab eficient de minim al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la I. Demonstra ie. Se aplic teorema 22, inând seama c func ia F = a 1 f a p f p : I R este convex. Observa ia 24. Dac p = 1, atunci teoremele 22 i respectiv 23, devin binecunoscuta afirma ie: Teorema 25. Fie I un interval al mul imii R, x 0 un punct interior al lui I i F : I R o func ie convex pe I. Dac func ia F este derivabil în punctul x 0 i F (x 0 )=0, atunci x 0 este punct de minim al func iei F relativ la I. Observa ia 26. Fie f : R R 2 func ia definit prin f (x) = ( 2x 3 3x 2, 0 ), pentru orice x R = I. Pentru x 0 =0,a 1 =0,a 2 =1, ipotezele teoremei 22 sunt îndeplinite; urmeaz c x 0 =0este punct slab eficient de minim al lui f relativ la S. Constat m (vezi exemplul 8) c x 0 nu este punct eficient de minim al lui f relativ la S (nici m car punct eficient de minim local). Urmeaz c dac ipotezele teoremei 22 sunt îndeplinite, nu rezult c x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la I. Urm toarele dou teoreme ne spun c dac în teoremele 22 i 23 numerele a 1,..., a p sunt strict pozitive, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la I. Teorema 27. Fie I un interval al mul imii R, x 0 un punct interior al lui I i f 1,..., f p : I R p func ii derivabile în punctul x 0. Dac exist p numere reale strict pozitive a 1,..., a p astfel încât: (i) func ia F = a 1 f a p f p : I R este convex ; (ii) a 1 f 1 (x 0 ) a p f p (x 0 )=0, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la I. Demonstra ie. Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem c x 0 nu este punct eficient de minim al func iei f relativ la I. Atunci exist un punct x 1 I cu proprietatea c f k (x 1 ) f k (x 0 ), (9) pentru orice k {1,..., p} i exist un indice j {1,..., p} astfel încât f j (x 1 ) <f j (x 0 ). (10) 266

13 Întrucât numerele a 1,..., a p sunt strict pozitive, din (9) i (10), deducem c a 1 f 1 (x 1 ) a p f p (x 1 ) <a 1 f 1 (x 0 ) a p f p (x 0 ), deci F (x 1 ) <F(x 0 ). (11) Pe de alt parte, func ia F este derivabil în punctul x 0 i F (x 0 )=a 1 f 1 (x 0 ) a p f p (x 0 )=0. (12) Din faptul c func ia F este convex, în baza teoremei 21, avem c F (x 0 )(x 1 x 0 ) F (x 1 ) F (x 0 ). (13) Atunci, din (11), (12) i (13), deducem c 0=F (x 0 )(x 1 x 0 ) F (x 1 ) F (x 0 ) < 0, ceea ce este o contradic ie. Folosind aceast teorem, deducem imediat urm toarea afirma ie: Teorema 28. Fie I un interval al mul imii R, x 0 un punct interior al lui I i f 1,..., f p : I R p func ii derivabile în punctul x 0. Dac (i) func iile f 1,...,f p sunt convexe; (ii) exist p numere reale strict pozitive a 1,..., a p astfel încât a 1 f 1 (x 0) a p f p (x 0)=0, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la I. Demonstra ie. Se aplic teorema 27, inând seama c func ia F = a 1 f a p f p : I R este convex. Observa ia 29. Dac p = 1, atunci teoremele 27 i respectiv 28, devin teorema 25. Pentru punctele ideale are loc urm toarea afirma ie: Teorema 30. Fie I un interval al mul imii R, x 0 un punct interior al lui I i f 1,..., f p : I R p func ii derivabile în punctul x 0. Dac (i) func iile f 1,...,f p sunt convexe; (ii) pentru orice p numere reale a 1,..., a p 0, are locegalitatea a 1 f 1 (x 0) a p f p (x 0)=0. (14) atunci x 0 este punct ideal de minim al func iei f =(f 1,..., f p ) relativ la I. Demonstra ie. Din (14) urmeaz c f 1 (x 0 )=0,..., f p (x 0 )=0. De aici, în baza teoremei 25, deducem c x 0 este punct de minim al func iilor f 1,..., f p ceea ce înseamn c x 0 este punct ideal de minim al func iei f relativ la I. Teorema este demonstrat. Într-o lucrare ulterioar vom da condi ii necesare i suficiente pentru punctele eficiente, slab eficiente i ideale ale func iilor derivabile de ordin superior. 267

14 Bibliografie [1] D. Andrica, D.I. Duca, I. Purdea i I. Pop, Matematica de baz, Editura Studium, Cluj-Napoca, [2] D.I. Duca i E. Duca, Culegere de probleme de analiz matematic, Editura GIL, Zal u, 1996 (vol.1), 1997 (vol. 2). [3] D.I. Duca i E. Duca, Generaliz ri ale no iunii de punct de optim, Didactica matematicii, nr. 14, pp , [4] D.I. Duca i E. Duca, Condi ii necesare i condi ii suficiente pentru punctele eficiente i slab eficiente ale func iilor derivabile, Didactica matematicii, nr. 15, pp , [5] E. Duca i D.I. Duca: Generaliz ri ale no iunii de punct de optim: puncte eficiente, puncte slab eficiente i puncte ideale, Gazeta Matematic seria A, nr.1, 2007, pp Universitatea Tehnic, Universitatea Babe -Bolyai, Catedra de Matematic, Facultatea de Matematic i Informatic, Cluj-Napoca, Cluj-Napoca, educa@math.utcluj.ro dorelduca@yahoo.com O generalizare a teoremelor Stolz - Cesàro de Sorin Pu pan Abstract The author presents some generalizations of the famous theorem of Stolz-Cesàro (some of them in the frame of a normed space or a normed algebra). Key words: Stolz-Cesàro theorem, generalizations, normed space, normed algebra. M.S.C.: 40A05 1. Rezultatele clasice Vom prezenta în aceasta prim parte binecunoscutele teoreme Stolz-Cesàro i o reciproc a lor, omi ând demonstra iile (pentru care poate fi consultat [1]). Teorema 1. Dac (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt dou iruri de numere reale astfel încât (i) irul (b n ) n 1 este strict cresc tor i nem rginit; atunci încât (ii) lim n a n+1 a n n n+1 b n = l R, a n lim = l. n b n Teorema 2. Dac (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt dou iruri de numere reale astfel (i) lim a n = lim b n =0; n n (ii) irul (b n ) n 1 este strict descresc tor; a n+1 a n (iii) lim = l R, n b n+1 b n 268

15 atunci a n lim = l R. n b n Teorema 3. Dac (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt dou iruri de numere reale astfel încât b n+1 (i) lim R\{1}; n atunci încât atunci (ii) lim n b n a n b n = l R, a n+1 a n lim = l. n b n+1 b n 2. Generaliz ri Teorema 1 admite urm toarea generalizare: Teorema 4. Dac (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt dou iruri de numere reale astfel (i) lim b n = ; n ( ) n 1 1 (ii) irul b i+1 b i ) n 1 este m rginit; b n i=1 a n+1 a n (iii) lim = l R, n b n+1 b n a n lim = l. n b n Demonstra ie. Fie ε>0 si M este un majorant pentru irul de la (ii). Atunci exist m N, astfel încât, pentru orice n m, avem ceea ce implic de unde pentru orice n m. Ob inem astfel a n+1 a n l b n+1 b n < ε 2M a n+1 a n l (b n+1 b n ) < ε 2M b n+1 b n, a n a m l (b n b m ) < ε n 1 b i+1 b i ε 2M 2 b n, i=m a n a m l b n b m < ε b n 2 b n b + m, pentru n>m. Dar ( ) a n l b n = a m lb m an a m bn b m + l b n b n b m < b n 269

16 < a m lb m b n pentru orice n m. Prin urmare încât atunci + a n a m l b n b m b n b n b + m < a m lb m + ε b n 2 < ε 2 + ε 2 = ε, a n lim = l. n b n Corolarul 1. Dac (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt dou iruri de numere reale astfel (i) irul (b ( n ) n 1 este strict ) cresc tor i nem rginit; bn+1 b n (ii) irul este m rginit; b n+1 b n a n+1 a n (iii) lim = l R, n b n+1 b n a n lim = l. n b n Într-adev r, primele dou ipoteze ale corolarului implic primele dou ipoteze ale teoremei 4. Teorema 2 admite urm toarea generalizare: Teorema 5. Dac (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt dou iruri de numere reale astfel încât (i) lim a n = lim b n =0; n ( n ) n 1 1 (ii) irul b n+1 b n este m rginit; b n atunci i=1 a n+1 a n (iii) lim = l R, n b n+1 b n n 1 a n lim = l. n b n Demonstra ie. Fie ε>0 i M este un majorant pentru irul de la (ii). Atunci exist m N, astfel încât pentru orice n m, avem a n+1 a n l b n+1 b n < ε M ceea ce este echivalent cu a n+1 a n l (b n+1 b n ) < ε M b n+1 b n, de unde a n+p a n l (b n+p b n ) < ε M < ε M n+p 1 i=1 n+p 1 i=n b i+1 b i <ε b n+p, b i+1 b i < 270

17 pentru orice n m, p 1. Îns, pentru orice n N, exist un ir strict cresc tor de numere naturale (p(k)) k 1 astfel încât bn+p(k) bn,pentru orice k 1, deci putem presupune c b n+p b n,pentru orice n m, p 1. Ob inem astfel a n+p a n l (b n+p b n ) <ε b n, pentru orice n m, p 1. Trecând la limit, în ultima inegalitate, dup p, ob inem a n lb n <ε b n, ceea ce este echivalent cu pentru orice n m, adic a n l b n <ε, a n lim = l. n b n încât atunci Corolarul 2. Dac (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt dou iruri de numere reale astfel (i) lim a n = lim b n =0; n n (ii) irul ( b n ) n 1 este strict descresc tor; ( ) bn+1 b n (iii) irul este m rginit; b n+1 b n n 1 a n+1 a n (iv) lim = l R, n b n+1 b n a n lim = l. n b n Într-adev r, primele dou ipoteze ale corolarului implic primele dou ipoteze ale teoremei 4. Observa ii (i) Dac în cele dou corolare înlocuim (a n ) n 1 i (b n ) n 1 cu (( 1) n a n ) n 1, respectiv (( 1) n b n ) n 1, ob inem c, pe lânga celelalte ipoteze, din m rginirea irului ( bn+1 b n b n+1 b n ) n 1 a n+1 a n i din lim n b n+1 b n = l, avem lim n a n b n = l. ((ii) Teorema) reciproc poate fi îmbun t it cerând în locul ipotezei (i) ca bn+1 b n irul s fie m rginit. b n+1 b n n 1 Într-adev r, pentru ε>0, avem a n+1 a n l b n+1 b n < b n+1 b n b n+1 b n, pentru orice n m. 271

18 (iii) Din demonstra iile date i din enun urile teoremelor i corolarelor, este evident c ele r mân valabile i în ipoteza c (a n ) n 1 i (b n ) n 1 sunt iruri de numere complexe. De fapt rezultatele pot fi extinse, a a cum vom vedea în continuare, la un cadru mai larg. Fie K = R sau K = C. Teorema 6. Dac (X, ) este un spa iu normat peste corpul K, iar(a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din X, astfel încât: (i) lim b n = ; n ( ) n 1 1 (ii) irul b i+1 b i este m rginit; b n atunci (iii) lim n i=1 n 1 a n+1 a n l (b n+1 b n ) b n+1 b n =0, unde l K, a n l b n lim =0. n b n Demonstra ie. Fie ε>0 i M este un majorant pentru irul de la (ii), Atunci exist m N, astfel încât, pentru orice n m, avem a n+1 a n l (b n+1 b n ) b n+1 b n < ε 2M ceea ce este echivalent cu de unde Ob inem astfel a n+1 a n l (b n+1 b n ) ε 2M b n+1 b n a n+1 a n l (b n+1 b n ) ε n 1 b i+1 b n. 2M a n lb n a m lb m + a n a m l (b n b m ) < a m lb m + ε 2 b n, de unde a n lb n b n < a m lb m b n i=m + ε 2 < ε 2 + ε 2 <ε, pentru orice m n, de unde concluzia. Corolarul 3. Dac (X, ) este un spa iu normat peste corpul K, iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din X astfel încât (i) irul ( b n ) n 1 este strict cresc tor i nem rginit; ( ) bn+1 b n (ii) irul este m rginit; atunci b n+1 b n a n+1 a n (iii) lim = l R, n b n+1 b n 272 a n lim = l. n b n

19 Într-adev r, primele dou ipoteze ale corolarului implic primele dou ipoteze ale teoremei 6. Teorema 7. Dac (X, ) este un spa iu normat peste corpul K, iar(a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din X, astfel încât (i) lim a n = lim b n =0; n ( n ) n 1 1 (ii) irul b i+1 b i este m rginit; b n atunci de unde (iii) lim n i=1 a n+1 a n l (b n+1 b n ) b n+1 b n a n lb n lim =0. n b n =0, unde l K, Demonstra ie. Fie ε>0 i M este un majorant pentru irul de la (ii). Atunci exist m N, astfel încât, pentru orice n m, avem < ε M a n+1 a n l (b n+1 b n ) < ε M b n+1 b n, n+p 1 i=n a n+1 a n l (b n+1 b n ) < b i+1 b i < ε M n+p 1 i=1 b i+1 b i ε b n+p, pentru orice n m, pentru orice p 1. Îns, pentru orice n N, exist un ir strict cresc tor de numere naturale (p(k)) n 1 astfel încât b n+p(k) b n,pentru orice k 1, deci putem presupune c b n+p b n,pentru orice n m i pentru orice p 1. Ob inem astfel a n+p a n l (b n+p b n ) <ε b n, pentru orice n m, p 1. Trecând la limita, în ultima inegalitate, dup p, ob inem pentru orice n m, de unde a n lb n <ε b n, a n lb n b n pentru orice n m. Astfel rezult concluzia. Corolarul 4. Dac (X, ) este un spa iu normat peste corpul K, iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din X astfel încât (i) lim a n = lim b n =0; n n (ii) irul ( b n ) n 1 este strict descresc tor; ( ) bn+1 b n (iii) irul este m rginit; b n+1 b n <ε, 273

20 a n+1 a n l (b n+1 b n ) (iv) lim =0, unde l K, n b n+1 b n atunci a n lb n lim =0. n b n Într-adev r, primele dou ipoteze ale corolarului implic primele dou ipoteze ale teoremei 7. Teorema 8. Dac (A, ) este o algebr normat cu unitate, iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din A astfel încât (i) b n i b n+1 b n sunt inversabile în A, pentru orice n 1; (ii) lim b 1 n n =0; ( ) b 1 (iii) irul n 1 b i+1 b i este m rginit; n i=1 (iv) lim (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 = l A, n atunci lim a nb 1 n n = l. Demonstra ie. Fie ε>0 i M>0un majorant pentru irul de la (iii). Atunci exist m N, astfel încât [ ] a n+1 a n l (b n+1 b n ) = (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 l (b n+1 b n ) (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 l b n+1 b n ε 2M b n+1 b n, pentru orice n m, de unde n 1 a n a m l (b n b m ) ε n 1 b i+1 b i, 2M i=m pentru orice n m. Ob inem astfel an b 1 n l = (an lb n ) b 1 n an lb n b 1 n a n lb n b 1 + an a m l (b n b m ) b 1 n a m lb m b 1 ε n + b 1 n 1 n b i+1 b n 2M a m lb m b 1 ε n + 2 < ε 2 + ε 2 = ε, pentru orice n m, de unde concluzia. Corolarul 5. Dac (A, ) este o algebr normat cu unitate, iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din A astfel încât (i) b n i b n+1 b n sunt inversabile în A, pentru orice n 1; i=m n 274

21 atunci ( ) 1 (ii) irul b 1 este strict cresc tor i nem rginit; n ( n 1 ) bn+1 b n b 1 n b 1 n+1 (iii) irul b 1 b 1 este m rginit; n n+1 n 1 (iv) lim n (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 = l A, lim a nb 1 n n = l. Într-adev r, primele dou ipoteze ale corolarului implic primele dou ipoteze ale teoremei 8. Teorema 9. Dac (A, ) este o algebra normat cu unitate, iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din A astfel încât (i) b n i b n+1 b n sunt inversabile în A, pentru orice n 1; (ii) lim a n = lim b n =0; n ( n ) b 1 (iii) irul n 1 b i+1 b i este m rginit; atunci n i=1 n 1 (iv) lim n (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 = l A, lim a nb 1 n = l. n Demonstra ie. Fie ε>0 i M>0un majorant pentru irul de la (iii). Atunci exist m N astfel încât [ ] a n+1 a n l (b n+1 b n ) = (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 l (b n+1 b n ) (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 l b n+1 b n ε M b n+1 b n, pentru orice n m. Atunci a n+p a n l (b n+p b n ) ε n 1 b i+1 b i < M i=1 i=n < ε n 1 1 b i+1 b i ε M b 1, n+p pentru orice n m, p 1. Dac u este unitatea algebrei A, atunci u = bn b 1 bn b 1 n 1 i deci lim n b 1 =0. Atunci putem presupune c exist p 0 N astfel încât n+p 1 b 1 1 n+p b 1,pentru orice n i orice p p 0. Ob inem astfel n an b 1 n l = (an lb n ) b 1 n an lb p b 1 n n 275

22 a p lb p b 1 n + an a p l (b n b p ) b 1 n a p lb p b 1 1 n + ε b 1 b 1 n ap lb p b 1 n + ε, pentru orice n m i orice p p 0. Trecând la limit, dup p, în inegalitatea an b 1 n l ap lb p b 1 p + ε, ob inem n a n b 1 n l ε, pentru orice n m, de unde ob inem concluzia. Corolarul 6. Dac (A, ) este o algebra normat cu unitate, iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din A astfel încât (i) b n i b n+1 b n sunt inversabile în A, pentru orice n 1; (ii) lim a n = lim b n =0; n n (iii) irul ( b 1 ) n este strict cresc tor; ( n 1 ) bn+1 b n b 1 n b 1 n+1 (iv) irul b 1 b 1 este m rginit; n n+1 (v) lim (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 = l A, n atunci lim a nb 1 n n = l. Într-adev r, primele patru ipoteze ale corolarului implic primele trei ipoteze ale teoremei 9. Iat în continuare i dou reciproce, în genul teoremei 3, cu îmbun t irea din observa ia (ii). Teorema 10. Dac (X, ) este un spa iu normat peste corpul K, iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 ( dou iruri din ) X astfel încât bn + b n+1 (i) irul este m rginit; b n+1 b n atunci (ii) lim n a n lb n b n n 1 =0, unde l K, n 1 a n+1 a n l (b n+1 b n ) lim =0. n b n+1 b n Demonstra ie. Pentru ε > 0 i n suficient de mare, avem a n+1 a n l (b n+1 b n ) b n+1 b n a n+1 lb n+1 + a n lb n b n+1 b n ε M b n + b n+1 b n+1 b n unde M este un majorant al irului de la (i). <ε, 276

23 Teorema 11. Dac (A, ) este o algebr normat cu unitate iar (a n ) n 1 i (b n ) n 1 dou iruri din A, astfel încât (i) b n i b( n+1 b n sunt inversabile în A, pentru ) orice n 1; (ii) irul ( b n + b n+1 ) (b n+1 b n ) este m rginit; (iii) lim a nb 1 n n = l A, atunci lim (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 = l. n Demonstra ie. Pentru ε>0, M un majorant pentru irul de la (ii) i n suficient de mare, avem = [a n+1 a n l (b n+1 b n )] (b n+1 b n ) 1 a n+1 a n l (b n+1 b n ) (b n+1 b n ) 1 ( a n+1 lb n+1 + a n lb n ) (b n+1 b n ) 1 ( an+1 b 1 n+1 l bn+1 + an b 1 n l bn ) (bn+1 b n ) 1 ε M ( b n + b n+1 ) (b n+1 b n ) 1 ε, (a n+1 a n )(b n+1 b n ) 1 l de unde concluzia. 3. Aplica ii Problema 1. Fie (x n ) n 1 i (u n ) n 1 dou iruri de numere reale astfel încât lim n = u (1, ). Atunci irul (x n ) n 1 are limit dac i numai dac n irul (u n x n+1 x n ) n 1 are limit, caz în care avem n 1 lim x n = 1 n u 1 lim (u nx n+1 x n ). n Indica ie. Se aplic teoremele 1 i 3 irurilor a n = u 1 u U...u n x n i b n = u 1 u 2...u n 1. Folosind corolarul 1 putem extinde acest rezultat i pentru valori negative ale lui u, pierzând îns cazul limitelor infinite, ca mai jos: Problema 2. Fie (x n ) n 1 i (u n ) n 1 dou iruri de numere reale astfel încât lim u n = u, u > 1. Atunci irul (x n ) n 1 este convergnt dac i numai dac irul n (u n x n+1 x n ) n 1 este convergent, caz în care avem lim x n = 1 n u 1 lim (u nx n+1 x n ). n Observa ie. Rezultatul r mâne valabil dac irurile ce intervin în enun sunt iruri de numere complexe. Urm toarea problema ne prezint în ce condi ii rezultatul anterior r mâne valabil în cazul lui u < 1. Problema 3. Fie (x n ) n 1 i (u n ) n 1 dou iruri de numere reale astfel încât (x n ) n 1 s fie m rginit iar lim u n = u, u < 1. Atunci irul (x n ) n 1 este n 277

24 convergent dac i numai dac irul (u n x n+1 x n ) n 1 este convergent, caz în care avem lim x n = 1 n u 1 lim (u nx n+1 x n ). n Indica ie. Se aplic corolarul 2 irurilor a n = u 1 u 2...u n x n i b n = u 1 u 2...u n 1. Din nou facem observa ia c rezultatul r mâne valabil i pentru iruri de numere complexe. Este evident c inând seama de observa ia (i) rezultatele anterioare r mân valabile dac înlocuim u n x n+1 x n cu u n x n+1 + x n i u 1 cu u +1. Toate acestea pot fi restrânse în Problema 4. Fie (x n ) n 1 un ir m rginit de numere complexe, iar (u n ) n 1 i (v n ) n 1 dou iruri convergente de numere complexe astfel încât lim n u n lim n v n Atunci irul (x n ) n 1 este convergent dac i numai dac irul (u n x n+1 +v n x n ) n 1 este convergent, caz în care avem. lim (u nx n+1 + v n x n ) lim x n n = n lim u n + lim v n n n Problema urm toare este demonstrat în [2] i generalizeaz problema 2. Problema 5. Fie a 0,a 1,...,a k R, a 0 0 i (x n ) n 1 un ir de numere reale cu proprietatea c irul (y n ) n 1, y n = a 0 x n + a 1 x n a k x n k, este convergent. Dac polinomul a 0 x k + a 1 x k a k are toate r d cinile de modul subunitar, atunci irul (x n ) n 1 este convergent. Indica ie. Demonstra ia se face prin induc ie dup k, primul pas al induc iei reducându-se la: λ<1 i (x n+1 λx n ) n k convergent (x n ) n k convergent, adic un caz particular al problemei 2. Am v zut îns c dac cerem m rginirea lui (x n ) n k atunci afirma ia anterioar r mâne adev rat pentru λ 1 i, prin urmare, teorema r mâne valabil dac r d cinile polinomului sunt în modul diferite de unitate. Ob inem astfel urm toarea generalizare: Problema 6. Fie (a (0) n ) n 1, (a (1) n ) n 1,..., (a (k) n ) n 1, k +1 iruri de numere complexe, convergente respectiv c tre a (0),a (1),...,a (k), astfel încât r d cinile polinomului a (0) x k + a (1) x k a (k) s fie în modul diferite de unitate. Atunci, un ir m rginit (x n ) n 1 este convergent dac i numai dac irul n x n + a (1) n x n a (k) este convergent, caz în care avem ( a (0) n x n k )n k+1 ( ) lim a (0) lim x n x n + a (1) n x n a (k) n x n k n n =. n a (0) x k + a (1) x k a (k) Demonstra ie. Dac y n = a (0) n x n+a (1) n x n a (k) n x n k i z n = a (0) x n +a (1) x n a (k) x n k 278

25 atunci, cum (x n ) n 1 este m rginit, rezult c lim (y n z n )=0. Cum îns (y n ) n 1 n este convergent rezult c (z n ) n 1 este convergent i conform problemei precedente (care este valabil i pentru iruri de numere complexe) i observa iei f cute, rezult c irul (x n ) n 1 este convergent, iar rela ia final este evident. Problema 7. (Jensen) Fie irurile (a n ) n 1 i (b n ) n 1 astfel încât: seria y n este convergent, irul n 1 Atunci ( y y n y y n ) n 1 x x n lim = l. n y 1 + y n Bibliografie [1] D.M. B tine u, iruri, Ed. Albatros, Bucure ti, este m rginit i lim n [2] O. Mayer, Teoria func iilor de o variabil complex, Ed. Academiei, x n y n = l. C. N. tefan Volovan Craiova Aproximarea polinomial uniform a func iilor continue [1] de Andrei Vernescu Dedicat domnului acad. prof. D.D.Stancu, cu prilejul împlinirii vârstei de 80 de ani Abstract In this introductory expository survey we present the principal problems of the uniform polynomial approximation of the continuous functions. Key words: Interpolation, polynomial, convergence, theorem of Weierstrass. M.S.C.: 41A10, 41A25, 41A36, 41A50, 41A80 Partea întâi 1. Interpolarea polinomial Lagrange Problema interpol rii, iar apoi a aproxim rii unor func ii,,complicate, s-a pus înc din secolul al XVII-lea, când Gregory, Newton i Stirling au stabilit formule de interpolare care ast zi le poart numele; alte formule au fost stabilite de Gauss, respectiv Bassel (a se vedea [6], [7], [9], [10]). Una dintre cele mai cunoscute i mai naturale probleme de interpolare este urm toarea: fiind dat o func ie f : [a, b] R i un sistem de m +1 puncte a a 0 <a 1 <... < a m b, s se construiasc un polinom algebric 1), de grad minim care s coincid cu func ia f în toate cele m +1puncte (aceste puncte fiind numite,,noduri, deoarece graficele func iei f i polinomului,,se înnoad în punctele 1) Aceast precizare care ar putea p rea de prisos, la prima vedere, face deosebirea fa de polinoamele trigonometrice T m(x) =a 0 + (a k cos kx + b k sin kx), cu care se aproximeaz m func iile k=1 periodice de perioad 2π definite pe intervalul [ π, π]. (N.A.) 279

26 de abscise a k, k =0, 1, 2,...,m). Solu ia este dat de polinomul de interpolare al lui Lagrange (introdus de acesta în anul 1795): unde cu (L m f)(x) = l k (x) = m l k (x)f(a k ), (1.1) k=0 u(x) (x a k )u (a k ) = u k(x) u k (a k ), (1.2) u k (x) =(x a 0 )... (x a k 1 )(x a k+1 )...(x a m ), (1.3) (adic, în tot produsul din membrul drept al formulei (1.3) s-a,,omis factorul x a k ). Folosind formulele precedente, se deduce imediat c (L m f)(a k )=f(a k ),pentru orice k =0, 1, 2,...,m i c (L m (L m f))(x) =(L m f)(x), pentru orice x [a, b]. Cu polinomul L m f astfel construit, formuladeinterpolare a lui Lagrange este: f(x) =(L m f)(x)+(r m f)(x) (1.4) în care R m f este restul de ordinul n al formulei lui Lagrange. Atragem aten ia c scrierea f(x) (L m f)(x) este lipsit de sens, deoarece nu spune nimic despre eroarea care se produce în calcule, dac, pentru un punct oarecare x [a, b] se înlocuie te f(x) cu (L m f)(x). [De altfel, orice formul de aproximare pe R sau într-un spa iu Banach printr-un ir de aproximante nu poate fi scris corect decât sub forma : sau, simbolic: obiect aproximat = aproximant de ordinul m + rest de ordinul m OA = OA m + R m (1.5) unde se cunoa te o anumit majorare pentru R m. (Scrierea OA OA n este lipsit de sens, din motivul expus anterior.)] Preciz m c nu întotdeauna avem lim R m =0;de exemplu, într-un proces m de aproximare, am putea avea majorarea: R m < m 1 m OA ; aceasta ne arat c eroarea este mai mic decât o miime din norma (,,m rimea ) obiectului aproximat (ceea ce în anumite aplica ii tehnice poate fi satisf c tor în altele nu ),darnuavem lim R m =0. n Revenind la formula de aproximare prin interpolare a lui Lagrange, men ion m c exist aumite exprim ri pentru R m f, cât i anumite major ri pentru R m f ( R m f = sup x [a,b] (R m f)(x) ) în diferite ipoteze de netezime pentru f. Mai semnal m, în treac t, o proprietate interesant : dac se efectueaz interpolarea Lagrange pe intervalul [ 1, 1], atunci R m f va fi minim când drept 280

27 noduri a k (k =0, 1, 2,...,m)vor fi alese cele m r d cini întotdeauna distincte ale polinomului de gradul m al lui Cebâ ev, T m (x) =cos(m arccos x), x [ 1, 1]. (Polinomul lui Cebâ ev mai are o proprietate remarcabil, anume: T m P pentru orice P Π m = mul imea polinoamelor monice cu coeficien i reali, de grad mai mic sau egal cu m, unde T m = 1 2 m 1 T m Π m este polinomul monic al lui Cebâ ev de gradul m. Prin f s-a notat norma supremum în spa iul C[ 1, 1], adic f = sup x [ 1,1] f(x).) 2. Interpolarea polinomial Hermite O problem de interpolare mult mai general este urm toarea: S consider m c, pentru o func ie derivabil cel pu in de un ordin dat n +1, pe acelea i noduri ca la interpolarea Lagrange, a k (unde k =0, 1, 2,...,m) se cunosc urm toarele date: pe nodul a 0 : f(a 0 ),f (a 0 ),...,f (r0) (a 0 ); pe nodul a 1 : f(a 1 ),f (a 1 ),...,f (r1) (a 1 );... pe nodul a m : f(a m ),f (a m ),...,f (rm) (a m ); Se pune problema construirii unui polinom algebric P n, de gradul n, astfel încât acesta s coincid cu f pe noduri, dar i toate derivatele sale pe noduri s coincid cu derivatele lui f pe noduri, pân la ordinele indicate, adic : P n (a 0 )=f(a 0 ),P n(a 0 )=f (a 0 );...; P n (r0) (a 0 )=f (r0) (a 0 ); P n (a 1 )=f(a 1 ),P n(a 1 )=f (a 1 );...; P n (r1) (a 1 )=f (r1) (a 1 )... P n (a m )=f(a m ),P n(a m )=f (a m );...; P n (rm) (a m )=f (rm) (a m ) Problema a fost rezolvat în anul 1878 de c tre Hermite, care a definit polinomul care se scrie sub forma m r k (x a k ) j ( ) j f(t) (H n f)(x) = u k (x) (a k ), (2.1) j! u k (t) unde k=0 j=0 u(x) =(x a 0 ) r0+1 (x a 1 ) r (x a m ) rm+1. (2.2) Polinomul H n f se nume te polinomul de interpolare al lui Lagrange-Hermite. Dar, datorit faptului c, dac r k > 0, atunci, pe punctul a k vor coincide i derivatele de ordin cel pu in unu, deci vom avea o,,racordare a graficelor polinomului i func iei, polinomul H n f se mai nume te împrumutând un termen din geometria diferen ial - polinomul de interpolare osculatoare a lui Lagrange-Hermite. Formula (2.1) a fost stabilit de P. Johansen [3] în O metod direct de determinare a expresiei explicite a polinomului H n f a fost elaborat de c tre acad. D.D.Stancu în 1957, în lucrarea [5]. Polinomul lui Lagrange-Hermite constituie o generalizare profund nebanal a polinomului lui Lagrange, care se reg se te în cazul în care toate nodurile sunt 281

28 simple (r k =0; k =0, 1, 2,...,n); totodat, dac se consider cazul unui singur nod, se reg se te formula lui Taylor. În cazul particular a dou noduri, acad. D.D. Stancu a dedus, în 1958, o formul de cuadratur de tip Hermite, reg sit ulterior de L. Tchakaloff [12] i N. Obrechkoff [4] pe alte c i. Folosind aceast formul de interpolare, acad. D. D. Stancu a stabilit în [5] o formul general de derivare numeric. 3. Teorema de aproximare a lui Weierstrass În anul 1885 Weierstrass a enun at i a demonstrat urm toarea foarte important : Teorem. Orice func ie real continu, definit pe un interval compact [a, b] este limita uniform a unui ir de polinoame. În afar de demonstra ia ini ial, dat de Weierstrass, au mai dat demonstra ii Ch. de la Vallée-Poussin i H. Lebesgue. În 1912, în [1], S. N. Bernstein a dat o demonstra ie constructiv a teoremei lui Weierstrass definind polinoamele B n f: (B n f)(x) = n k=0 ( ) n x k (1 x) n k f k ( ) k n (3.1) care ast zi îi poart numele, ar tând c, pe intervalul [0, 1], irul de polinoame (B n f) n tinde uniform c tre func ia f. De asemenea, ulterior L. Fejer, prelucrând polinomul lui Lagrange-Hermite cu toate nodurile duble a definit polinoamele F 2m+1 : m (F 2m+1 f)(x) = h k (x)f(a k ) (3.2) k=0 cu ( ) 2 T m+1 (2) h k (x) =(1 a k x), (n +1)(x a k ) unde a k sunt r d cinile polinomului lui Cebâ ev T m+1, iar f [ 1, 1]. Aceste polinoame converg uniform c tre f, deci acest fapt constituie înc o demonstra ie constructiv a teoremei lui Weierstrass. La interpolarea Lagrange s-ar fi putut crede c dac num rul m+1 al nodurilor cre te indefinit, astfel ca distan a dintre dou noduri consecutive oarecare s tind c tre 0, atunci polinomul L m f va tinde la f. Acest lucru nu are loc întotdeauna, dup cum au stabilit C. Méray i C. Runge. Cercet rile lor au fost continuate i aprofundate de c tre G. Faber i S. N. Bernstein în perioada , iar ulterior de c tre G. Grümwald în 1935 i J. Marcinkiewicz în 1937 (a se vedea [9] i [10]). Încheiem aceast prim parte a articolului men ionând c în 1948 în [11], dup o analiz aprofundat a ipotezelor din teorema lui Weierstrass, M. H. Stone a generalizat teorema lui Weierstrass astfel: Dac C(K) este spa iul func iilor reale continue pe un spa iu metric compact K,iarAeste o algebr de func ii din C(K) care con ine func iile constante i separ punctele din K 1), atunci orice func ie f C(K) este limita unui ir uniform convergent de elemente din A. 1) Prin aceast exprimare se în elege c, pentru oricare puncte u, v K, exist o func ie h A, astfel încât h(u) h(v). 282

29 Bibliografie [1] S.N.Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul de probabiltés, Comm. de la Société Mathématique de Kharkow, , No. 1, pp [2] C. Hermite, Sur la formule d'interpolation de Lagrange, J. Reine Angew. Math , pp [3] P. Johansen, Über osculierende Interpolation, Skand. Aktuarietskr , pp [4] N. Obrechkoff, Neue Quadraturformeln, Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math-Nat. Kl , pp [5] D. D. Stancu, Asupra formulei de interpolare a lui Hermite i a unor aplica ii ale acesteia, Acad. R.P.Rom. Studii i Cercet ri Matematice, Fil. Cluj a Academiei , pp [6] D. D. Stancu, Asupra unei formule generale de integrare numeric, Acad. R.P.Rom. Studii i Cercet ri Matematice, Cluj , pp [7] D. D. Stancu, A. H. Stroud, Quadrature formulas with simple Gaussian nodes and multiple fixwd nodes, Math. Comp., , pp [8] D. D. Stancu, On Hermite's osculatory interpolation formula and some generalizations of it, Mathematica, Cluj, 8 (31), 1966, pp [9] D. D. Stancu, Curs i culegere de probleme de Analiz numeric, Ed. Univ. Babe - Bolyai, Cluj-Napoca, [10] D. D. Stancu i colectiv, Analiz numeric i teoria aproxim rii, Presa Universitar Clujean, Cluj-Napoca, [11] M. H. Stone, The generalized Weierstrass approximation theorem, Math. Magazine, , pp , pp [12] A. L. Tchakaloff, Eine Integral Darstellung der Newtonsche Differenzquotienten, Jahrb. Univ. Sofia Math. Fak., 34 pp. 1938, pp Universitatea Valahia, Târgovi te EXAMENE I CONCURSURI Concursul na ional pentru ocuparea posturilor didactice vacante în înv mântul preuniversitar 16 iulie 2007 Prob scris la Matematic Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 4 ore. Subiectul I (20p) Se consider M mul imea numerelor naturale nenule, care nu au cifra 9 în scrierea lor în baza 10. a) S se verifice c 1 M, 10 M, 18 M i 19 M. (4p) b) S se determine cel mai mic i cel mai mare num r natural din mul imea M care se scriu în baza 10 utilizând 5 cifre. (4p) 283

30 c) S se arate c n n 2 +1,pentru orice n N. (4p) d) S se determine num rul de elemente din mul imea M care au în scrierea lor zecimal 2007 cifre. (4p) e) S se arate c ( ) 2 ( (2p) ) n < 10, pentru orice n N. f) S se arate c pentru orice m>0, exist n N, astfel încât m. (2p) n g) S se arate c, pentru orice n N i pentru orice r 1 <r 2 <...<r n M, avem < 80. (4p) r 1 r 2 r n Subiectul II (20p) Într-un plan se consider triunghiul ABC de arie S i punctele M (AB), N (BC), p (CA), astfel încât AM BN CP = x, = y i = z, unde ] AB BC CA ( 0, 1 3 x, y, z. Dac QRT este un triunghi, not m cu S QRT aria sa. [ Fie r, s 0, 1 ] [ i func ia f : 0, 1 ] R, f(t) =t(1 r s)+r + s rs. 3 3 a) S se arate c AP =1 z. AC (4p) b) S se arate c S AMP = x(1 z)s. (4p) c) S se arate c S MNP = S[1 x(1 z) y(1 x) z(1 y)]. (4p) d) S se arate c func ia f este monoton cresc toare. (2p) e) S se arate c f(t) 2 3,pentru orice t [ 0, 1 3 ]. (2p) f) S se arate c S MNP S 3. ( ) (2p) S g) S se arate c, pentru orice s 3,S, exist X (AB), Y (BC) i Z (CA), astfel încât S XY Z = s. (2p) Subiectul III (20p) Se consider func iile f n :R R, f n (x)= [ (x 2 1) x] (n),pentru orice n N. Prin u (n) (x) am notat derivata de ordinul n a func iei u : R R în punctul x. a) S se calculeze f 1 (x) i f 2 (x), x R. (4p) b) Dac f n (x) =a n x n a 0 M,cua i R, s se determine coeficientul a n, n N. c) S se arate c func ia v :( 1, 1) (, 0), x(x) = x 1 x +1 este bijectiv. d) Utilizând teorema lui Rolle, s se arate c ecua ia f n (x) =0are n r d cini reale distincte situate în intervalul ( 1, 1). e) S se arate c, dac g : R R este o func ie de n ori derivabil pe R, cu derivata de ordinul n continu, atunci (4p) (4p) (2p) 284

31 1 1 1 f n (x) g(x)dx =( 1) n f) S se arate c ( x 2 1 ) n g (n) (x)dx. (4p) f n (x) h(x)dx = 0, pentru orice func ie polinomial h : R R de grad mai mic sau egal cu n 1. (2p) g) S se arate c func ia f : R R, f(x) =(Cn) 0 2 x n +(Cn) 1 2 x n (Cn n ) 2, are n r d cini distincte situate în intervalul (, 0). (4p) Subiectul IV (20p) Demonstra i posibilit ile de integrare eficient a mijloacelor de înv mânt în activitatea didactic, la disciplina/disciplinele de concurs, având în vedere: caracterizarea general i enun area func iilor specifice ale acestora, clasificarea mijloacelor de înv mânt, analiza critic a tehnologiei informa iei i a comunica iilor TIC prezentarea modalit ilor de adaptare i de integrare a mijloacelor de înv - mânt în disciplina/disciplinele de concurs, cu exemplific ri. date. Prob scris la Informatic Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 4 ore. Subiectul I. (30 puncte) 1. Descrie i i exemplifica i 3 opera ii specifice prelucr rii bazelor de 2. Caracteriza i stiva i coada folosind urm torul plan de idei: defini ii, opera ii specifice, propriet i enun ul câte unei aplica ii cu stiva i respectiv cu coada. (10p) (20p) Subietul II. (30 puncte) 1. a) Descrie i pe 3-4 rânduri metoda i scrie i programul pseudocod care verific dac un num r natural n de cel mult 9 cifre (n citit de la tastatur ) este prim. Programul va afi a ca rezultat unul dintre mesajele,,este prim i,,nu este prim. (5p) b) Defini i în Pascal/C/C++ un subprogram prim care prime te prin intermediul parametrului k un num r natural (0 k<10 9 ), subprogram care returneaz valoarea 1 dac num rul este prim i returneaz valoarea 0 în caz contrar. (5p) c) Defini i în Pascal/C/C++ un subprogram inv care prime te prin intermediul parametrului k un num r natural (0 k<10 9 ), subprogram care returneaz prin intermediul aceluia i parametru k valoarea num rului cu cifrele aflate în ordine invers. (5p) d) În fi ierul text DATE.TXT se afl : pe prima linie un num r natural n (1 < n < 1000), iar pe urm toarea linie n numere naturale cu cel mult 9 cifre fiecare. Scrie i programul care afi eaz pe ecran acele numere de pe linia a doua a fi ierului care au proprietatea c, dac se inverseaz cifrele num rului, se ob ine un num r prim. Programul va apela în mod util fiecare dintre subprogramele inv i prim definite la punctele b i c. (5p) 285

32 Exemplu Pentru fi ierul DATE.TXT cu urm torul con inut se vor afi a pe ecran numerele: 38 i 113 (deoarece 83 i 311 sunt numere prime). 2. Pentru m i n numere citite de la tastatur (0 <m n<20), scrie i programul care determin num rul de expresii distincte corecte ce se pot forma cu exact n perechi de paranteze rotunde, expresii în care s existe cel mult m perechi de paranteze imbricate. Programul va afi a pe ecran num rul cerut. Descrie i în limbaj natural metoda folosit (2-4 rânduri). (10p) Exemplu. Pentru n =3 i m =2, se afi eaz num rul 4. Într-adev r exist 4 expresii ce se pot forma cu 3 perechi de paranteze în care s existe cel mult 2 perechi de paranteze imbricate: (()()); (())(); ()(()); ()()(). Se observ c expresia ((())) nu este solu ie deoarece nivelul de imbricare este 3. Subiectul III (30 puncte) Demonstra i posiblit ile de integrare eficient a mijloacelor de înv mânt în activitatea didactic, la disciplina/disciplinele de concurs, având în vedere: caracterizarea general i enun area func iilor specifice ale acestora, clasificarea mijloacelor de înv mânt, analiza critic a rolului tehnologiei informa iei i a comunica iilor TIC, prezentarea modalit ilor de adaptare i de integrare a mijloacelor de înv mânt la disciplina/disciplinele de concurs, cu exemplific ri. utilizarea unei metode eficiente (2p) (pentru generare brut se acord 0p, pentru metoda backtracking cu condi ii de optimizare se acord 1p, pentru formula recurent de calcul se acord 2p) ob inerea rezultatului corect (1p cazul general, 1p cazurile limit m =1 i m = n) (2p) declar ri, sintax, corectitudine global (2p) TIC: Subiectul IV (30 puncte) Caracterizarea general i enun area func iilor specifice ale acestora (7p) Clasificarea mijloacelor de înv mânt (4p) Analiza critic a rolului tehnologiei informa iei i a comunica iilor (5p) Prezentarea modalit ilor de adaptare i de integrare a mijloacelor de înv mânt la disciplina / disciplinele de concurs, cu exemplific ri (transmitere de noi informa ii, sistematiz ri, dezvoltare de capacit i i de competen e, evaluare, utilizarea de softuri educa ionale). (14 p) 286

33 PUNCTE DE VEDERE Cum e mai bine? 1) de Marcel ena Ne vom opri în cele ce urmeaz, la modalitatea de a introduce (defini) trei no iuni i anume acelea de num r complex, polinom (cu coeficien i complec i) i matrice (cu elemente numere complexe). De obicei exist dou modalit i de a introduce fiecare din aceste trei concepte, manualele române ti optând pentru una sau alta din ele. Desigur, fiecare dintre aceste modalit i este,,corect, numai c prima (în expunerea noastr ) este mai simpl, în timp ce a doua este mai complicat, mai pu in natural. În fond, obiectele care corespund celor dou modalit i alc tuiesc structuri algebrice izomorfe, ca atare,,identice din punct de vedere algebric. Totu i, pentru în elegerea cât mai bun a lucrurilor, pentru naturale ea introducerii no iunilor, pled m aici pentru prima modalitate. 1. No iunea de num r complex Prima modalitate. Numim num r complex o,,expresie formal de tipul z = a + bi, (1) unde a, b sunt numere reale, iar i 2 = 1. Urmeaz apoi definirea opera iilor de adunare i înmul ire a numerelor complexe, prin egalit ile: (a + bi) + (c + di) = (a + c)+(b + d)i, (a + bi)(c + di) = (ac bd)+(ad + bc)i, cu men iunea c pentru înmul ire defini ia respect distributivitatea fa de adunare. Avantajul este c de la bun început lucr m cu forma (1), denumit i,,forma algebric a numerelor complexe. Desigur, apar întreb ri de tipul: cine este i?; ce înseamn bi, dac b R, iar i R?; ce înseamn a + bi, dac a R, iar bi / R (când b 0)?. Acestor întreb ri nu li se poate r spunde decât acceptând c bi este o înmul ire formal, iar a + bi este o,,adunare formal, adic exact ceea ce spuneam de la început i anume c z = a + bi este o,,expresie formal. În definitiv, procedeul este acesta: accept m (introducem) un num r complex,,fundamental i anume i, iar cu ajutorul acestuia i al numerelor reale,,construim celelalte numere complexe. A doua modalitate. Numim num r complex un cuplu z =(a, b), (2) unde a, b sunt numere reale. Definim apoi adunarea i înmul irea prin: (a, b)+(c, d) =(a + c, b + d), 1) Comunicare sus inut la 28 aprilie 2007 în cadrul filialei Râmnicu S rat a S.S.M.R. (N.R.) 287

34 (a, b)(c, d) =(ac bd, ad + bc). Not m i=(0, 1) i f când,,identificarea (a, 0) = a, pentru orice a R, rezult i 2 = 1, iar z =(a, b) = a + bi, adic ajungem la forma algebric (1). Avantajul pare a fi c nu apar de la bun început întreb ri agasante de tipul,,ce înseamn cutare obiect matematic sau cutare opera ie?. Totu i, dac privim cu aten ie, nu suntem scuti i de astfel de întreb ri, numai c ele apar ceva mai încolo, de exemplu: ce înseamn,,identificarea (a, 0) = a? R spunsul riguros nu poate fi dat decât foarte târziu, când afl m c exist un izomorfism între corpul (C, +, ) i corpul (R R, +, ), opera iile din C fiind cele din prima modalitate, iar opera iile din R R fiind cele din a doua modalitate. i atunci, de ce s mai introducem aceast,,copie izomorf (R R, +, ), când putem lucra de la început cu corpul,,original (C, +, )? 2. No iunea de polinom (cu coeficien i complec i) Prima modalitate. Numim polinom cu coeficien i complec i o,,expresie formal de tipul: f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n = i a i x i (sum finit ), (3) unde n N, a 0,a 1,a 2,...,a n C, iar X este o,,nedeterminat, adic un obiect matematic neprecizat. Urmeaz apoi definirea opera iilor de adunare i înmul ire prin egalit ile: f = i a i X i, g = i b i X I (sume finite) f + g = f = i (a i + b i )X I, respectiv fg = I,j a i b j X i+j = k c k X i k, unde c k = i+j=k a i b j. Constat m c înmul irea se face în acord cu distributivitatea fa de adunare. Avantajul este c lucr m de la bun început cu forma (3), denumit i,,forma algebric a polinoamelor. Desigur apar i aici întreb ri de genul: cine este X?, ce înseamn a i X i?; ce înseamn a i X i? Acestor întreb ri le r spundem doar dac i accept m c aceste opera ii (adun ri, înmul iri, puteri ale lui X) sunt,,formale, adic în fond accept m c expresia (3) este una,,formal. În definitiv, procedeul este acesta : accept m (introducem) un polinom,,fundamental notat X (nedeterminat) iar cu ajutorul lui X i al coeficien ilor (numere complexe) construim celelalte polinoame. A doua modalitate. Numim polinom cu coeficien i complec i un ir,,de suport finit, adic având doar un num r finit de termeni nenuli, i. e. f(a 0,a i,a 2,...,a n, 0, 0, 0,...)=(a k ), 288

35 cu a k C i a k =0pentru k>n. Urmeaz definirea sumei i produsului a dou polinoame, prin egalit ile: unde c k = i+j=k a i b j. f =(a k ),g=(b k ) f + g =(a k + b k ) i f g =(c k ), Notând apoi X =(0, 1, 0, 0,...) i f când,,identificarea (a, 0, 0, 0,...)=a pentru orice a C, ob inem scrierea f(a 0,a i,a 2,...,a n, 0, 0, 0,...)=a 0 + a 1 X a n X n, adic forma algebric (3). De i, la prima vedere, p rem scuti i de întreb ri de tipul,,ce înseamn a a ceva?, aceste întreb ri sunt în realitate,,translatate ceva mai încolo. Astfel sunt legitime întreb rile: de ce not m X = (0, 1, 0, 0,...) sau ce înseamn,,identificarea (a,0, 0, 0,...)=a? R spunsul riguros vine mai târziu, via un izomorfism de inele. Dar pierderea de vreme care se face pân ajungem la forma algebric este considerabil, de i, practic, doar cu forma algebric a polinoamelor lucr m. i atunci de ce s nu o introducem de la început? De ce s lucr m cu,,copia izomorf (C (N), +, ), când putem lucra de la bun început cu inelul de polinoame,,original (C[X], +, )? (Am notat cu C (N) inelul irurilor de suport finit, cu opera iile din a doua modalitate, iar cu C[X] inelul polinoamelor date prin forma algebric, în care opera iile sunt cele din prima modalitate). 3. No iunea de matrice (cu elemente numere complexe) Prima modalitate. Numim matrice cu m linii i n coloane (de tip (m, n)) peste C un,,tablou de tipul : a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n... =(a ij) 1 i m, unde a ij C. (4) 1 j n a m1 a m2... a mn Urmeaz definirea opera iilor cu matrice etc. A doua modalitate. Numim matrice cu m linii i n coloane (de tip (m, n)) o func ie A : {1, 2,...,m} {1, 2,...,n} C, A((i, j)) = a ij, unde a ij C. Urmeaz,,aranjarea valorilor func iei f într-un tablou de tipul (4) (a întreba de ce?), dup care se lucreaz cu asemenea,,tablouri. La prima vedere, avantajul pare a fi acela c elevul este deja acomodat cu no iunea de func ie, pe când no iunea de,,tablou pare una venit din afar, cumva,,vulgar. De asemenea, egalitatea a dou func ii ar duce rapid la egalitatea a dou matrice. Explica iile de acest gen sunt, mai mult sau mai pu in, mofturi. În definitiv, egalitatea a dou matrice (unicitatea descrierii unei matrice) se poate defini de la început, lucrând cu tablouri, astfel: A = B a ij = b ij, pentru orice i {1, 2,...,m} i orice j {1, 2,...,n}, unde A = (a ij ) 1 i m, 1 j n B =(b ij ) 1 i m. 1 j n 289

36 La ce bun s introducem matricea ca o func ie, când, de fapt, lucr m cu aceast no iune doar în accep iunea de tablou? Concluzia fireasc ce se impune este c trebuie s lucr m cu obiectele,,originale, naturale i nu cu,,copii izomorfe ale acestora. P.S. Acest articol are drept punct de plecare urm torul moment tragi-comic din via a autorului. Împreun cu colegii de redac ie i de cancelarie, profesorii M. Andronache i D. erb nescu, am scris un manual de matematic pentru clasa a XI-a (Editura Art, 2006), în care matricea era definit ca un tablou. Referentul (secret) ne-a f cut observa ia c aceast defini ie este,,incorect, corect fiind doar aceea în care matricea era introdus ca o func ie. Pentru ca manualul s nu fie respins, a trebuit s facem acest compromis, definind pân la urm matricea ca o func ie, contrar propriilor noastre opinii. Colegiul Sf. Sava, Bucure ti Scrisoare deschis c tre Ministerul Educa iei, Cercet rii i Tineretului Stimate Domnule Ministru, Subsemna ii, membri ai Academiei Române, constat m cu îngrijorare deteriorarea situa iei înv mântului matematic în liceele române ti, ca urmare a unui proces continuu de supraînc rcare a programelor cu capitole de matematici abstracte, care sunt cu mult deasupra posibilit ii de în elegere i de asimilare ale elevului mediu. Unele dintre aceste capitole nu sunt necesare nici la universit ile tehnice. Ele sunt studiate doar la cursurile speciale, la facult ile de matematici. În cele ce urmeaz vom analiza urm toarele probleme legate de înv mântul matematicii din licee: 1. Examenul de bacalaureat; 2. Programele analitice; 3. Manualele de matematici; 4. Validarea manualelor; 5. Formalismul matematic, nota iile i denumirile. 1. Examenul de bacalaureat Începem cu examenul de bacalaureat, pentru c nivelul ridicat al acestui examen condi ioneaz i nivelul manualelor. Regretatul academician Grigore Moisil spunea, pe bun dreptate, c la un examen, elevul trebuie s tie s reproduc ceea ce i s-a predat la curs. În starea de stres de la examen, nu se poate pretinde elevului s fie creator. În ultimii ani, examenul de bacalaureat a avut un nivel inadmisibil de ridicat, dep ind cu mult con inutul programelor analitice. Mai grav, pentru anul colar 2006/2007 s-a luat decizia r u inspirat s se publice o list de 100 de variante de subiecte de matematic, din care s-a extras o 290

37 variant în ziua examenului de bacalaureat. Publicarea acestei liste pe site-ul MECT a bulversat întregul program colar al claselor terminale, deoarece profesorii i elevii s-au concentrat exclusiv asupra solu ion rii celor 400 de probleme (care alc tuiesc cele 100 de variante de subiecte). Cum rezolvarea unei singure variante necesit circa 3 ore, rezult c profesorii i elevii ar trebui s aib la dispozi ie cel pu in 300 de ore, ceea ce dep e te cu mult volumul de timp alocat matematicii în clasa a XII-a. Unele probleme sunt atât de grele, încât nici membrii comisiei care le-au propus, n-ar fi în stare s le rezolve, dac n-ar fi v zut dinainte solu ia (a se vedea varianta 81, subiectul IV). Acest sistem de bacalaureat accentueaz fenomenul medita iilor, precum i înv atul mecanic. În ultimii ani, gradul de dificultate a crescut constant, în mare parte prin dep irea con inutului programelor analitice, ele însele exagerat de înc rcate. Procentul de reu i i la bacalaureat s-a men inut îns constant, prin dou fenomene: în primul rând prin acordarea de puncte multe la chestiunile simple, de rutin, i acordarea de puncte pu ine pentru chestiunile grele; în al doilea rând, prin fraudarea examenului de c tre cadrele didactice i de c tre elevi. Cercetând site-ul MECT pentru a vedea cine sunt responsabilii pentru concep ia bacalaureatului 2007, am aflat despre Centrul Na ional pentru Curriculum i Evaluare a Înv mântului preuniversitar, care i-a ales ca moto: Prin noi î i demonstrezi competen ele. Comentariile sunt de prisos. Nu trebuie s se confunde examenul de bacalaureat cu olimpiadele de matematici. Mai ales, nu trebuie s se uite c majoritatea elevilor nu vor deveni matematicieni; iar dintre aceia care vor studia totu i matematica, foarte putini vor deveni cercet tori. În viitor, comisia pentru probleme de bacalaureat trebuie s se limiteze strict la con inutul programelor analitice i s aleag probleme realiste, la nivelul elevului mediu. Aceasta comisie trebuie s con in neap rat profesori de liceu, care tiu mai bine ce este potrivit i ce nu este potrivit pentru elevul mediu. Ar trebui ca aceast comisie s studieze nivelul realist al problemelor de bacalaureat din alte ri i, în primul rând din Fran a (a se vedea, de exemplu, culegerea de probleme de bacalaureat,,bac Terminale S, entrainement de Philippe Angot i Francois Dubois, editurahachette, Paris). 2. Programele analitice de matematici Programele actuale, a a cum au fost publicate, con in o parte a a zis explicativ, care este o poliloghie din care nu se în elege nimic. Aceast parte justificativ folose te termeni tehnici f r con inut i este complet nenecesar. De exemplu, din cele 7 pagini ale programei pentru clasa a XII-a, doar mai pu in de o pagin con ine programa propriu-zis ; restul de 6 pagini este poliloghie. Ar fi suficient s se dea numai con inutul programelor analitice, f r nici o explica ie suplimentar. Programele de matematic sunt extrem de înc rcate i nerealiste. Trebuie s spunem deschis c unele cadre universitare din comisia de programe, printr-o deformare profesional, au c utat i au reu it s includ în programe, capitole din specialitatea lor, chiar la nivelul facult ii de matematic, iar profesorii de liceu din comisie nu au avut t ria s se opun. Asemenea capitole nu 291

38 sunt necesare nici la universit ile tehnice, i cu atât mai mult nu sunt necesare în liceu. Iat doar câteva exemple: La clasa a IX-a, un capitol de Logic Matematic. La clasa a XI-a, capitolul de algebr dedicat sistemelor de ecua ii liniare con ine o prezentare a studiului matricelor într-un mod atât de complet, încât nici la facultatea de matematic nu mai r mâne mare lucru de spus în plus. Studiul sistemelor de ecua ii liniare trebuie limitat la strictul necesar, când num rul de ecua ii este egal cu num rul necunoscutelor, i atunci matricele nu mai sunt necesare, ci doar determinan ii. În sfâr it, la clasa a XII-a, capitolul de algebr abstract este prezentat la nivelul de abstractizare i completitudine de la facult ile de matematici. Nici acest capitol nu este necesar la universit ile tehnice. Unele no iuni ca irurile, func iile, mul imea R a numerelor reale, apar în programele a trei clase, IX, X, i XI, i la fiecare dintre aceste trei clase, autorii se considera îndrept i i, chiar obliga i, s fac o prezentare complet. Programa trebuie s delimiteze precis ce i cât trebuie prezentat la fiecare clas. Se impune imperios ca programele de matematici s fie complet revizuite, iar comisia pentru programe s con in, pe lâng cadre universitare, i profesori de liceu care tiu mai bine ce trebuie i ce nu trebuie s con in programele, i care s aib t ria s - i exprime i s - i sus in p rerile. Este de asemenea imperios necesar ca aceast comisie de programe s studieze i programele de matematic de liceu din alte ri i în primul rând din Fran a, de la care întotdeauna am avut de înv at. Dac în trecut comisia de programe ar fi consultat programele din Fran a, nu s-ar fi ajuns la exager rile de acum de la noi. Nu trebuie pierdut din vedere c programele de matematic trebuie s fie realiste i s aib în vedere nivelul majorit ii elevilor, nu al elitelor, care vor avea ocazia s aprofundeze studiul matematicii la facultate. 3. Manualele Autorii manualelor de matematici de liceu supraliciteaz programele analitice care, ele însele, sunt deja exagerat de înc rcate. Manualele prezint material în plus fa de programe, la un nivel excesiv de riguros i complet, folosind un formalism matematic excesiv i nenecesar. Un exemplu în aceasta privin este urm torul: la clasa a XII-a, la capitolul de integrare, sunt prezentate sumele Darboux i criteriul Darboux, care nu sunt prev zute de program, i care constituie o complica ie inutil. Vina pentru aceasta situa ie o poart în parte comisia de validare a manualelor, care valideaz acele manuale care sunt mai complete adic mai complicate. Con tien i de criteriile de validare ale comisiei i în situa ia de competi ie dintre autorii de manuale, fiecare autor vrea s arate cât de mult tie el. Un alt motiv pentru supraînc rcarea manualelor, m rturisit de unii autori, este examenul de bacalaureat. Din dorin a de a preg ti cât mai bine elevii lor pentru bacalaureat, profesorii de liceu nu adopt un manual care este prea simplu i care nu este la nivelul problemelor de bacalaureat. Unele manuale au un nivel atât de ridicat, încât pot fi folosite ca manuale pentru universit ile tehnice, iar unele capitole pot fi folosite chiar pentru facult ile de matematici. Manualele trebuie s se limiteze cu stricte e la materialul prev zut de programe, s foloseasc un limbaj simplu, concis, corect i complet, s nu exagereze în 292

39 folosirea formalismului matematic mai mult decât este necesar, ci, mai degrab, s înlocuiasc cât mai mult posibil formalismul matematic prin cuvinte. Autorii trebuie s evite folosirea unor no iuni absolut nenecesare la nivelul liceelor, ca, de exemplu, punctele de acumulare, marginile unei mul imi, func ii definite pe alte domenii decât reuniuni de intervale (pentru un interval neredus la un punct, orice punct este punct de acumulare i deci nu este nevoie de introdus o no iune în plus), folosirea irurilor pentru studiul progresiilor, care sunt finite, polinoame în nedeterminata X în studiul func iilor polinomiale (func iile polinomiale ar trebui numite, simplu, polinoame), elemente de logica matematic etc. 4. Comisia de validare a manualelor Membrii comisiei de evaluare trebuie s nu piard din vedere c manualele trebuie s se adreseze elevului mediu, s fie scrise astfel încât s poat fi în elese i asimilate de elevul mediu. De aceea, comisia trebuie s evalueze manualele în primul rând dup simplitatea i precizia exprim rii în prezentarea materialului prev zut de programe, f r formalism matematic mai mult decât este strict necesar. Comisia de validare trebuie s se întruneasc în fiecare an, dac este necesar, pentru c în fiecare an pot ap rea manuale demne de a fi validate. Acum, aceasta comisie se întrune te odat la 4-5 ani, când se schimb programa analitic i apar noi manuale. Aceasta comisie trebuie s con in neap rat i profesori de liceu care tiu din experien a proprie, ce se poate i ce nu se poate preda pentru elevul mediu. 5. Formalismul matematic, nota iile i denumirile Exist, simultan, foarte multe manuale (peste 10 pentru fiecare clas ). Diferite manuale folosesc nota ii, denumiri i defini ii diferite, care nu sunt totdeauna echivalente. De exemplu, semnul de incluziune apare scris diferit în diversele manuale i are semnifica ii diferite. Vecin t ile unui punct trebuie definite ca fiind intervalele deschise care con in punctul. De altfel de vecin t i nu este nevoie la acest nivel. Într-adev r, în defini ia limitelor sunt folosite numai vecin t ile de genul interval deschis. Punctul de inflexiune are defini ii diferite în diverse manuale. Aceasta face ca la examene, elevii s dea r spunsuri diferite, în func ie de manualul dup care s-au preg tit. La geometrie lucrurile stau i mai prost decât la algebr sau analiz. Elevii sunt complet deruta i. Segmentul AB se noteaz [AB], (segment închis), sau (AB), (segment deschis), alteori pur i simplu AB. Lungimea segmentului s-a notat în urm cu câ iva ani cu AB (cu bara deasupra), cu AB sau cu AB. Acum se noteaz AB. Pentru o func ie f : A B, mul imea valorilor f(a) este notat, în mod impropriu, Im f (în loc de f(a)) i este numit, în mod impropriu, imaginea lui f (în loc de imaginea lui A prin f, cum ar trebui s fie, consistent cu celelalte defini ii i nota ii). Se folose te în mod excesiv, unde trebuie i unde nu trebuie, scrierea formal a unei func ii, de exemplu sub forma f : A B, f(x) =2x+3. Dar de cele mai multe ori, A i B sunt mul imi de numere reale, iar f este o func ie elementar. Pentru aceste func ii nu mai este nevoie de specificat de fiecare dat domeniul de defini ie, 293

40 care a fost precizat de la început, când au fost definite func iile elementare. Este suficients sespun : fie func ia real f(x) =2x+3, sau, fie polinomul f(x) =2x+3. Numerele complexe sunt definite axiomatic, foarte complicat, în loc s fie definite, simplu, în mod clasic, a + bi. Aproape unanim în lumea matematic, mul imea numerelor naturale este mul imea {1, 2, 3,...} i este notat cu N. Num rul 0 nu este considerat num r natural. Nota iile N, Z, Q, R sunt nenecesare. irurile trebuie considerate ca func ii definite pe mul imea N a numerelor naturale ( i nu pemul imea N k ). Vectorul este, de asemenea, definit foarte complicat, în loc s fie definit ca un segment orientat (sau ca o epu, cum spunea profesorul Grigore Moisil). Reprezentarea numerelor pe dreapt este f cut în mod complicat i nenatural. Ca s folosim o expresie tot a profesorului Grigore Moisil, este ca i când te-ai sc rpina cu mâna dreapt la urechea stâng. Cele de mai sus impun formarea unei comisii care s unifice nota iile, denumirile i defini iile, i care s devin obligatorii pentru to i autorii de manuale. Comisia aceasta trebuie s lucreze în strâns leg tur cu comisia pentru programe analitice, eventual, s fie una i aceea i comisie. În concluzie, suger m urm toarele: 1. Revizuirea i simplificarea programelor analitice de matematici, astfel încât s se adreseze elevului mediu. 2. Formarea unei comisii pentru unificarea nota iilor, denumirilor i defini iilor. 3. Adoptarea de c tre comisia de validare a manualelor, a unor criterii de apreciere a manualelor, ca, de exemplu, stil simplu, concis, corect i complet i reducerea formalismului matematic la strictul necesar. 4. Comisia de bacalaureat s aleag probleme la nivelul elevului mediu. 5. Toate comisiile s con in profesori de liceu, care au experien în ceea ce poate asimila elevul mediu. 6. Comisiile trebuie neap rat s studieze programele analitice i manualele de matematici de liceu din alte ri, în special din Fran a. 7. Înainte de a fi adoptate, programele analitice s fie supuse spre dezbatere comunit ii matematice. Sper m c demersul nostru va fi util pentru îmbun t irea înv mântului matematic în liceele române ti. V rug m s primi i, Domnule Ministru, asigurarea întregii noastre stime. Academician Marius Iosifescu, Vicepre edinte al Academiei Române Academician Romulus Cristescu, Pre edintele Sec iei de Matematic a Academiei Române Academician Viorel Barbu, Pre edintele Sec iei Ia i a Academiei Române Academician Nicolae Cristescu Academician Solomon Marcus Academician Radu Miron Prof. dr. Petre Mocanu, Membru Corespondent alacademiei 294

41 Prof. dr. Constantin Corduneanu, Membru Corespondent alacademiei Prof. dr. Constantin N st sescu, Membru Corespondent alacademiei. Prof. dr. Nicolae Dinculeanu, University of Florida, USA, Membru de Onoare al Academiei Române Prof. dr. Dimitrie D. Stancu, Universitatea Babe -Bolyai, Cluj-Napoca, Membru de Onoare al Academiei Române Dr. Vasile Brânz nesu, Director al Institutului de Matematic al Academiei Prof. dr. Virgil C z nescu, Universitatea Bucure ti. Dr. Gabriela Marinoschi, Secretar tiin ific, Sec ia de Matematic a Academiei. Prof. dr. Constantin Niculescu, Universitatea Craiova Prof. dr. Vasile Oproiu, Universitatea Al. I. Cuza, Ia i Prof. dr. Nicolae Popa, Universitatea Bucure ti Prof. dr. Radu Precup, Director Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea Babe -Bolyai, Cluj-Napoca Prof. dr. Tiberiu Postelnicu, Institutul de Statistic Matematic i Matematici Aplicate al Academiei Prof. dr. Drago Vaida, Universitatea Bucure ti Conf. dr. Mircea Becheanu, Universitatea Bucure ti, Prim Vice Pre edinte al Societ ii de tiin e Matematice din România. Conf. dr. Andrei Vernescu, Universitatea Valahia, Targovi te. Prof. Liliana Niculescu, Liceul Carol Craiova Prof. Nicolae Bi boac, C. N. Horia, Clo ca i Cri an, Alba Iulia Prof. Angelica Cioran, C. N. Daniel Popovici Barcianu, Sibiu Prof. Gabriela D ne, C. N. I. L. Caragiale, Bucure ti Prof. Dorin Gogulescu, Lic. Teor. D. Bolintineanu, Bucure ti Prof. Dorin M rghidanu, C. N. Al. I. Cuza, Corabia Prof. Marius Mâinea, C. N. V. Streinu, G e ti Prof. dr. NeculaiI.Nedi Prof. Elena Popescu, Gr. c. de Aeronautic, Bucure ti Prof. Virgil erban, Liceul Al. I. Cuza, Bucure ti NOTE MATEMATICE Cro etul Lie al dou matrici de Adrian Reisner Abstract After the study of the endomorphism from M n(c) to M n(c) given by X AX XB, where A and B M n(c), we define the Lie bracket of two matrices. We prove various properties of this Lie bracket regarding the nilpotence, the comutant of a matrix, the diagonalizability, the cotrigonalizability etc. Key words: Lie bracket, Diagonalizability, Nilpotent matrix, Cotrigonalizability, Cayley-Hamilton theorem, spectrum, eigenvalues. M.S.C.: 15-99, 15A18, 15A21, 17B

42 Fiind date dou matrici A, B M n (C) consider m ecua ia matricial : AX XB = Y. Pentru ca aceast ecua ie s aib o solu ie X M n (C) pentru orice matrice Y M n (C) este necesar ca aplica ia liniar Φ(X) =AX XB s fie surjectiv, M n (C) fiind de dimensiune finit este deci necesar ca aplica ia Φ s fie injectiv. În acest caz solu ia este unic. Mai precis avem teorema urm toare: Teorema 1. Aplica ia Φ este injectiv, deci bijectiv, dac i numai dac matricele A i B nu au nici o valoare proprie comun : S p (A) S p (B) =. 1) Demonstra ie. Presupunând c A i B nu au nici o valoare proprie comun, corpul C fiind algebric închis, cele dou polinoame caracteristice χ A (X), χ B (X) sunt prime între ele. Teorema lui Bézout conduce la existen a a dou polinoame U i V C[X] verificând egalit ile Avem atunci U(X)χ A (X)+V (X)χ B (X) =1. U(A)χ A (A)+V (A)χ B (A) =1. Având χ A (A) = 0 din teorema lui Cayley-Hamilton, deducem imediat c V (A)χ A (A) =1. Deci matricea χ B (A) este inversabil. Fie kerφ nucleul aplica iei liniare Φ i X kerφ; atunci AX = XB. Ne propunem s demonstr m c X =0, deci c Φ este injectiv. Avem imediat, prin induc ie, A k X = XB k, oricare ar fi k N i, în general, pentru orice polinom P C[X], rezult P (A)X = XP(B). În particular, χ B (A)X = Xχ B (B). Deci χ B (A) =0, c ci χ B (B) =0. χ B (A) fiind inversabil, deducem X =0, i.e. Φ este injectiv, c.c.t.d. Reciproc, presupunând c A i B au o valoare proprie comun λ. Ne propunem s construim o matrice nenul apar inând nucleului aplica iei Φ i anume o matrice M 0verificând AM = λm i MB = λm. Egalitatea AM = λm are loc dac vectorii coloane ai matricei M sunt vectorii proprii ai matricei A, pentru valoarea proprie λ. La fel egalitatea MB = λ are loc dac vectorii linii ale matricei M sunt vectori proprii matricei B pentru valoarea proprie λ. 1) Prin S p(a) autorul desemneaz spectrul matricei A (i. e. mul imea valorilor proprii). Facem aceast observa ie pentru a nu crea vreo confuzie cu urma matricii A sau cu subgrupul generat de matricea A care se notez, de obicei, în acest mod. (N.R.) 296

43 Avem S p B = S p B. Fie atunci X =(x 1 x 2... x n ) i Y =(y 1 y 2... x n ) doi vectori verificând AX = λx i B Y = λy. Matricea M = XY =(x i y j ) nenul (vectorii X i Y fiind nenuli), verific egalitatea c ci i, la fel, AM = MB = λm AM = A(XY )=(AX)Y = λxy = λm, MB =(XY )B = X(B Y ) = λxy = λm deci Φ(M) = 0 i.e. Φ nu este injectiv, ceea ce termin demonstra ia teoremei. Caz particular. inând seama de aceast teorem ecua ia AX XB =0 admite o singur solu ie i anume X =0dac i numai dac matricele A i B nu au nici o valoare proprie comun. Deci ecua ia AX XB =0admite o solu ie X 0 dac A, B au o valoare proprie comun [kerφ {0}]. În particular dac A i B nu sunt inversabile, atunci 0 este valoarea proprie comun a matricelor A, B ; în acest caz kerφ {0}, deci exist M 0astfel ca AM MB =0. Teorema urm toare indic spectrul aplica iei Φ în func ie de spectrul matricilor A i B. Teorema 2. Un num r λ C este valoarea proprie a aplica iei Φ dac i numai dac exist (α, β) S p (A) S p (B) verificând egalitatea λ = α β. Demonstra ie.,, Fie λ C, λ S p Φ; exist atunci T M n (C), T 0, astfel încât AT TB = λt. Avem AT = T (B + λi). O induc ie imediat conduce atunci la A p T = T (B + λi) p, pentru orice p N i, mai general, pentru oricare polinom P C(X), P (A)T = TB(B + λi). Alegând P polinomul caracteristic al matricei A, i.e.: P (X) =det(a XI)= k (X α i ) mi, unde α 1,...,α k sunt valorile proprii distincte ale matricei A, avem, folosind teorema Cayley-Hamilton, P (A) =0. Deducem T i=1 k [B (α i λ)i] mi =0. i=1 Dac pentru orice i {1,...,k}, B (α)i GL n (C), atunci T =0, ceea ce este imposibil. 297

44 Deci exist i astfel încât B (α i λ)i =0, adic α i λ S p (B). În final λ = α β, cu(α, β) S p (A) S p (B) c.c.t.d.,, Invers, presupunând λ = α β, unde (α, β) S p (A) S p (B), deducem c exist X, Y (C n ) 2, X 0, Y 0,verificând AX = αx i B Y = βy, matricea B având acela i spectru cu matricea B. Cu aceste nota ii, matricea M = XY verific Φ(M) =AXY XY B = αxy X(B Y ) = αxy βxy = λm. Matricea M nefiind nul, avem, în final, λ S P (Φ), c.c.t.d. Observa ie. Aceast teorem conduce la o alt demonstra ie a teoremei 1. Într-adev r, avem c exist M 0 astfel încât AM = MB dac i numai dac 0 S p (Φ) i deci dac i numai dac S p (A) S p (B). Teorema 3. Fie A, B M n (R). Presupunând c exist M în M n (R) de rang r verificând AM = MB,avemdeg(χ A χ B ) r, undeχ A, χ B sunt polinoamele caracteristice ale matricilor A, B. Demonstra ie. Ne propunem s demonstr m implica ia: AM = MB, rgm = r deg(χ A χ B ) r. Matricea M fiind de rang r, este echivalent cu ( ) Ir 0 J r =, 0 0 i.e. exist dou matrici inversabile P i Q astfel încât Atunci, din AM = MB, rezult M = PJ r Q. AP J r Q = PJ r QB sau i Fie Avem P 1 AP J r = J r QBQ 1. P 1 AP = QBQ 1 = P 1 AP J r = J r QBQ 1 ( ) A1 A 2 A 3 A 4 ( ) B1 B 2. B 3 B 4 ( A1 0 A 3 0 ) = ( B1 B ) 298

45 i deci avem A 1 = B 1, A 3 =0, B 2 =0. Rezult ( ) χ A = χ =det XIr A 1 0 P 1AP =det(xi A 3 XI n r A r A 1 )det(i n r A 4 ), 4 i la fel χ B =det(xi r B 1 )det(i n r B 4 )=det(xi r A 1 )det(i n r M 4 ). Polinoamele caracteristice ale matricilor ) A i B au un factor det (XI r A 1 ) de grad cel pu in r, adic deg (χ A χ B r, c.c.t.d. Observa ie. Implica ia reciproc este inexact. Consider m într-adev r, dou matrici: A = , matrice nilpotent de grad n 1, i B =0. Dac exist o matrice M verificând AM = MB, atunci AM = 0, de unde imm kera. Atunci rgm dim (kera); fie rg M = r 1. Pentru r>1 polinoamele caracteristice matricelor A, B au un factor de rang r în comun, dar nu exist nici o matrice M de rang r astfel încât AM = MB. Cro etul Lie (Paranteza Lie) Defini ia 4. Fiind date dou matrici A, B M n (R) se nume te cro etul Lie al matricilor A i B matricea [A, B] =AB BA. Fiind dat matricea A, not m cu ϕ A aplica ia liniar ϕ A : M n (R) M n (R), B [A, B]. Propriet ile imediate ale cro etului Lie sunt rezumate în proprozi ia urm toare Propozi ia 5. Cro etul Lie în M n (R) este o lege de compozi ie intern verificând egalit ile: a) [A, B]+[B,A] =0, pentru orice A, B M n (R); b) [λa + A,B]=λ[A, B] +[A,B], pentru orice A, A,B M n (R), pentru orice λ R; c) [A, [B,C]] + [B,[C, A]] + [C, [A, B]] = 0, pentru orice A, B, C M n (R) (identitatea lui Jacobi). Fiind dat matricea A, mul imea {(A, B) M n (R) [A, B] =0} nucleul aplica iei ϕ A senume te comutantul matricei A (vezi mai jos dimensiunea acestui nucleu în cazul în care A este diagonalizabil [4]). O proprietate caracteristic a cro etului Lie este dat de teorema urm toare: Teorema 6. Urm toarele dou aser iuni sunt echivalente: i) M M n (R) verific trm =0, unde trm este urma matricei M; ii) exist (A, B) M n (R) astfel încât M =[A, B]. Demonstra ie. i) ii) a) Fie M M n (R), verificând trm =0, M 0. Demonstr m c M este asemenea cu o matrice având elementele nule pe diagonala 299

46 principal. Matricea M nefiind o matrice scalar (m ki), exist a R n astfel încât vectorii a i M(a) s nu fie coliniari. Alegând atunci ca baz a spa iului R n mul imea {a, M(a),e 3,...,e n }, exist P GL n (R) i N M n 1 (R) astfel încât (matrici asemenea). Avem P 1 MP = 0 α 1,...,α n 1 0 N... 0 trm =trn. Dac n = 2, rezultatul este stabilit. Dac n > 2 demonstr m prin induc ie. Presupunând c exist R GL n 1 (R) i U M n 1 (R) cu elemente diagonale nule, verificând R 1 NR = U, atunci, cu Q = diag(1,r), matricea M = =(PQ) 1 M(PQ) are elementele diagonale nule, c.c.t.d. Fie S mul imea matricelor având elementelor de pe diagonala principal nule. S este un spa iu vectorial cu dim S = n 2 n. b) Dac M este o matrice apar inând mul imii S, s demonstr m c exist D, C M n (R), unde D este diagonal, astfel încât M = DC CD. Consider m aplica ia liniar ϕ α : M n (R) M n (R), X =(x ij ) (y ij )=αx Xα,unde,α este matricea α = diag(1, 2,...,n). Avem y ij =(i j)x ij. Nucleul lui ϕ α este mul imea matricelor diagonale. Dar rangϕ α = n 2 n, imϕ α S i dim S = n 2 n i deci dim ϕ α = S. Prin urmare, exist D = α i C astfel încât M = ϕ α (C), c.c.t.d. c) inând seama de a) i b), deducem c fiind dat M n (R) ce verific trm =0, M 0(dac M =0implica ia este trivial ), exist P GL n (R), D, C M n (R), unde D este o matrice diagonal, astfel încât M = P 1 (DC C D)P. Fie atunci A = P 1 DP i B = P 1 CP. Avem M =[A, B], c.c.t.d. ii) i) Rezultatul este evident, din proprietatea urmei produsului a dou matrici. Teoremele urm toare stabilesc unele propriet i ale cro etului Lie al dou matrici i al aplica iei liniare ϕ α. Teorema 7. Dac A este o matrice diagonalizabil, atunci aplica ia ϕ A este diagonalizabil. Demonstra ie. Fie {λ 1,λ 2,...,λ p } spectrul matricei A cu multiplicit ile m 1,m 2,...,m p. Dac S 1,S 2,...,S p sunt spa iile proprii ale matricei A, avem (din faptul c A este diagonalizabil ) dim S j = m j,pentru j {1,...,p}. S determin m kerϕ A. Evident B kerϕ A dac i numai dac AB = BA. B comutând cu matricea A las stabil orice spa iu propriu S j. Fie B j = B Sj. Aplica ia kerϕ A L(S 1 )... L(S p ), B (B 1,B 2,...,B p ) este un izomorfism i dim kerϕ A = p dim L(S j )= 1 p m 2 j

47 Aceast sum p m 2 j este multiplicitatea valorii proprii 0 a aplica iei ϕ A. 1 Dac h, k {1,...,p} sunt fixate, h k, consider m B astfel ca B(S k ) S h, B(S 1 ) = 0, dac 1 k. Mul imea acestor matrici B este izomorf cu spa iul vectorial L(S k,s h ) i, pentru orice x S k AB(x) BA(x) =λ h B(x) B(λ k x)=(λ h λ k )B(x) i, pentru orice x S 1, 1 k, avem AB(x) BA(x) =A(0) B(λ k x)=0=(λ h λ k )B(x). O astfel de matrice B este vector propriu pentru ϕ A corespunz tor valorii proprii λ h λ k. Subspa iul acestor matrici are dim L(S k,s h )=m k m h. Dar dim kerϕ A + ( p p ) 2 dim L(S k,s h )= m 2 j +2 m k m h = m k = n 2. h k h k 1 Aceast sum fiind egal cu dimensiunea spa iului L(R n ),amob inut exact subspa iile proprii lui ϕ A care este, deci, diagonalizabil, c.c.t.d. Observa ii. 1) Demonstra ia acestei teoreme a ar tat c C(A), comutantul unei matrice diagonalizabile A, având ca polinom caracteristic 1 χ A (X) = p (X λ j ) m, 1 este un subspa iu vectorial care are dim C(A) = p m 2 j. 2) Valorile proprii ale lui ϕ A sunt conforme cu teorema 2. Teorema 8. Sunt adev rate urm toarele afirma ii: a) Pentru orice A, B M n (R) i pentru orice n N, b) Avem ϕ n A (B) = n k=0 [ A n 1,B ] = ( ) n ( 1) k A n k BA k ; k n A k [A, B]A n k ; k=0 c) Dac 0 S p A, atunci A este nilpotent dac i numai dac ϕ A este nilpotent. d) Urm toarele dou aser iuni sunt echivalente: i) A nu are decât o singur valoare proprie; ii) ϕ A este nilpotent

48 Demonstra ie a) Aplica ia ϕ A se descompune sub forma ϕ A = S D, unde S (respectiv D) este înmul irea la stânga (respectiv la dreapta) cu A. Deoarece matricile S i D comut, aplicând formula binomului lui Newton ob inem: ϕ n A = n k=0 ( ) n S n k ( 1) k D k, k de unde deducem aser iunea a). b) Pentru matricile A i B se poate scrie n A k [A, B]A n k = k=0 n+1 = A k BA n+k 1 k=1 n A k+1 BA n k k=0 n A k BA n+k 1 = k=0 n A k BA n+k 1 = A n+1 B BA n+1. k=0 c),, Presupunând A nilpotent, avem A n =0. Dac k {0,...,2n}, atunci fie 2n k, fiek este mai mare sau egal cu n, deci, inând seama de rezultatul aser iunii a), avem 2n ( ) 2n ϕ 2n A (B) = ( 1) k A 2n k BA k =0, k k=0 i.e. ϕ A este nilpotent.,, Presupunând c 0 S p A i c A nu este nilpotent, vom ar ta c ϕ A nu este nilpotent. Deoarece A nu este nilpotent, exist λ 0, valoare proprie matricei A; atunci ker(a λi) 0. {0} fiind valoare proprie a lui A, A nu esteinversabil : ima R n. Fie atunci F un suplementar al subspa iului ima i B verificând B ima =0, B F = Rv, unde v ker(a λi); atunci subspa iul imb ker(a λi). Pentru x R n,avem i.e. (AB BA)(x) =AB(x) =λb(x), ϕ A (B) =λb, c.c.t.d. Deducem aser iunea c). d) i) ii) Dac λ este singura valoare proprie a matricei A, avem imediat c ϕ A λi = ϕ A i A λi este nilpotent i deci ϕ A este nilpotent, inând seama de c). ii) i). Presupunând ϕ A nilpotent, fie λ S p A. Atunci ϕ A λi = ϕ A este nilpotent i 0 este valoarea proprie a matricei A λi. inând seama de c), A λi este nilpotent, adic A nu are decât o valoare proprie, c.c.t.d. Pentru demonstrarea aser iunii d) se poate utiliza i teorema 2, caz în care A = B. 302

49 Cro etul Lie i produsul scalar (X, Y ) < X,Y >=tr(x t Y ) Lema 9. Aplica ia (X, Y ) <X,Y >=tr(x t Y ) este un produs scalar euclidian pe M n (R). Demonstra ie. Aplica ia (X, Y ) <X,Y >este evident biliniar ; ea este simetric, deoarece pentru orice (X, Y ), avem <X,Y >=tr(x t Y )=tr t (X t Y )=tr(y t X)=<Y,X>. Mai mult, dac X =(x ij ) 1 i,j n, atunci <X,X>=tr ( X t X ) = i,j x 2 ij 0 i <X,X>=0 X =0, i.e. <, > este un produs scalar euclidian pe M n (R). Folosind acest produs scalar, avem urm toarele dou teoreme: Teorema 10. Fie A, B M n (R) i C(A) ={X M n (R) AX = XA} comutantul matricei A. Atunci urm toarele dou aser iuni sunt echivalente: i) exist X M n (R) astfel încât i.e. B imϕ a ; b) pentru orice X C(A), B =[A, X], tr(bx) =0. B imϕ A <B, t X>=0, pentru orice X kerϕ A, deoarece kerϕ A = C(A). Adjuncta endomorfismului ϕ A pentru acest produs scalar fiind endomorfismul ϕ A definit prin <ϕ A(X),Y >=< X,ϕ A (Y ) >, ne propunem s demonstr m c ϕ A = ϕ A = ϕ t A. Într-adev r <ϕ A (X),Y >=tr[(ax XA) t Y ]=tr(ax t Y XA t Y )=tr(x t YA XA t Y )= =tr[x( t YA A t Y )] = tr[x t ( t AY Y t A)] = tr[x t ϕt A(Y )] =< X,ϕt A(Y ) >, c.c.t.d. Demonstra ie. Cu nota iile de mai sus, trebuie ar tat echivalen a urm toare Dar avem proprieatea endomorfismului adjunct imϕ A =kerϕ A (ortogonalitate relativ la produsul scalar definit mai sus). Astfel teorema 10 este demonstrat dat fiind c C(A) =C( t A) (M comut cu t A dac i numai dac t M comut cu A. Teorema 11. Pentru A M n (R) urm toarele dou aser iuni sunt echivalente: a) A este nilpotent ; b) A im(ϕ A ). 303

50 Demonstra ie. a) b) S demonstr m c dac A este nilpotent, atunci A kerϕ A. Într-adev r, fie X kerϕ A =kerϕt A; atunci AX = X t A i λ S p (X t A) asociat vectorului propriu definit prin X t Av = λv. Dac m este cel mai mic num r întreg verificând t A m v =0[un astfel de întreg m exist, matricea t A fiind ea îns i nilpotent ] avem X t A m = λa m 1 v =0, de unde λ =0. Deci spectrul matricei X t A este redus la S p X t A = {0}, (i.e. X t A este nilpotent ). Deducem c tr (X t A)=0 i, în final, <X,A>=0,pentru orice X kerϕ A i A (kerϕ A )=imϕ A, c.c.t.d. b) a) Deoarece A im(ϕ A ), rezult A = AX XA; deducem atunci c A 2 X XA 2 = A(AX XA)+(AX XA)A =2A 2, i, prin induc ie, pentru orice k N. Avem deci A k X XA k = ka k, tr(a k )= 1 k tr(ak X XA k )=0, pentru orice k N. Teorema 11 este, atunci, un corolar imediat al lemei urm toare: Lema 12. Matricea A M n (R), verificând tr(a m ) = 0, pentru orice m N, este nilpotent. Demonstra ie. Fie S p A = {λ 1,...,λ n }, unde λ 1,...,λ n sunt r d cinile complexe ale polinomului caracteristic χ A al matricei A. Deoarece tr(a m )=0, rezult c sumele lui Newton, relative r d cinilor λ 1,...,λ n sunt nule i deci tr(a m )=λ m λ m n =0. Matricea A fiind asemenea cu o matrice triunghiular având coeficien ii diagonali λ 1,...,λ n. A m este asemenea cu o matrice triunghiular având coeficien ii diagonali λ m 1,...,λm n. Din formulele lui Newton deducem, c func iile simetrice elementare ale r d cinilor λ 1,...,λ n notate cu σ 1,σ 2,...,σ n sunt toate nule. Deci polinomul caracteristic al matricei A este χ A (X) =X n σ 1 X n 1 + +( 1) n σ n = X n. Matricea A verific χ A (A) =A n =0 teorema Cayley-Hamilton i.e. A este nilpotent. Vezi mai jos o alt demonstra ie. Încheiem aici demonstra ia lemei 12 i teoremei 11. Teorema 13. Fie A, B M n (R) verificând [A, [A, B]] = 0. Atunci avem: a) [A, B] k =[A, B[A, B] k 1 ], pentru orice k>0; b) [A, B] este nilpotent ; c) [A k,b]=k[a, B]A k 1, pentru orice k>0; d) Presupunând A nilpotent, avem AB nilpotent. Demonstra ie. a) Pentru orice matrici A, B, C M n (C), verific m c tr[a, B] =0 i [A, BC] =[A, B]C + B[A, C]. (1) 304

51 Punând [A, B] =V, avem, inând seama de ipotez, [A, V ]=0. Atunci, cu (1), pentru orice k N, rezult [A, V 2 ]=0 i, în general, prin induc ie, ob inem [A, V k ]=0. Deci [A, BV k 1 ]=[A, B]V k 1 + B[A, V k 1 ]=[A, B]V k 1 = V k =[AB] k. b) Deducem c pentru orice k N, trv k =tr[a, BV k 1 ]=0. S ar t m, atunci, prin induc ie c pentru orice k N, tr(v k )=0implic V nilpotent. (O alt demonstra ie a lemei 12.) Pentru n =1proprietatea este trivial. Presupunem proprietatea verificat pentru orice matrice Z M n 1 (C). Dac χ V (X) =X n a n 1 X n ( 1) n a n este polinomul caracteristic al matricei V, atunci, conform teoremei Cayley-Hamilton, χ V =0. inând seama c pentru oricare k N, trv k =0,avem ( 1) n na n =0. Deducem: a n =detv =0. Exist deci P GL n (C), Z M n 1 (C) i X M 1,n 1 (C) astfel încât P 1 VP = ( 0 X 0 Z ) ; fie, pentru orice k N, ( P 1 V k 0 Xz k 1 P = 0 Z k ). Deducem c, pentru orice k N, tr(v k )=tr(z k ). inând seama de ipoteza de induc ie, matricea Z este nilpotent, i.e. exist k N astfel încât Z k =0. Atunci V k +1 =0. 305

52 Observa ie. Implica ia precedent este o echivalen. Într-adev r, dac V este nilpotent, atunci matricea V k este i ea nilpotent pentru orice k N. Deci 0 este singura valoare proprie de V k. A adar, tr(v k )=0, c.c.t.d. k 1 c) Dezvoltând suma urm toare A j [B,A]A k j 1, ob inem j=0 k 1 [A k,b]= [B,A k ]= A j [B,A]A k j 1 = kv A k 1 = k[a, B]A k 1. j=0 d) Ne propunem s demonstr m c spectrul matricei AB este redus la S p AB = {0}. Fie λ S p AB i X un vector propriu asociat; avem ABX = λx. Dac p este cel mai mic întreg astfel c A p X =0 un astfel de p exist c ci A este nilpotent ; atunci, utilizând c) rezult λa p 1 X = A p BX =[A p,b]x + BA p X = pv A p 1 X. Dar V fiind nilpotent vezi b) i A p 1 X 0, deducem λ =0. urmare, dac λ S p AB, atunci λ =0,i.e.AB este nilpotent. Prin Cro etul Lie i cotriangularizabilitate Fie F {A,B,C,...} o familie de matrici apar inând lui M n (C). Defini ia 14. Familia matricilor F = {A,B,C,...} este cotriangularizabil dac toate matricile familei sunt triangularizabile în aceea i baz, adic exist P GL n (C) astfel încât oricare arfix F, PXP 1 este o matrice triunghiular. Cu aceast defini ie avem urm toarele teoreme. Teorema 15. Dou matrici A, B apar inând lui M n (C) i verificând rg[a, B] 1, sunt cotriangularizabile. Demonstra ie. S ar t m c spa iile vectoriale kera i ima sunt stabile prin B. Într-adev r avem rg(ab B A) 1 im(ab BA) ima {0}. Fie im(ab BA) ima i im(ab BA) ima = {0}. Dac im(ab BA) ima, atunci imba ima, deci ima este stabil pentru B. Dac im(ab BA) ima = {0}, atunci pentru orice x kera, ABx =(AB BA)x im(ab BA) ima = {0} i.e. ABx =0 i kera este stabil pentru B, c.c.t.d. Deducem existen a, pentru n 2 a unui subspa iu netrivial stabil pentru A i B. Într-adev r, dac A este o omotetie, atunci oricare dreapt proprie pentru B convine. Dac A nu este o omotetie, fie λ S p (A). Aplicând cele de mai sus matricilor λi i B deducem c ker(a λi) sau im(a λi) convin. O induc ie imediat permite atunci s se deduc concluzia. Trivial pentru n =1; presupunem pentru n 2 rezultatul verificat pentru A, B M n (C), unde 1 k n. S demonstr m atunci în cazul în care A, B 306

53 M n (C). Fie S un subspa iu netrivial al spa iului C n, stabil pentru A i B. Fie B o baz a spa iului C n ob inut prin completarea unei baze a lui S. Dac P este matricea de trecere între baza canonic a lui C n i aceast baz B, atunci avem P 1 AP = A = ( ) A1 A 2 0 A 3 i P 1 BP = B = ( ) B1 B 2. 0 B 3 Din inegalitatea rg(a B B A ) 1, deducem rg(a 1 B 2 B 1 A 1 ) 1 i rg(a 3 B 3 B 3 A 3 ) 1. Matricile A 1, B 1 pe de o parte i A 3, B 3 pe de alt parte sunt cotriangularizabile (ipoteza de induc ie). Deducem c matricile A, B sunt ele îns i cotriangularizabile i în final, matricile A i B sunt cotriangularizabile, c.c.t.d. Teorema 16. Fie trei matrici A, B, C M n (C) verificând C = [A, B], C kerϕ A kerϕ B. Atunci cele trei matrici sunt cotriangularizabile. Demonstra ie. Fie λ S p (C) i E λ subspa iul propriu asociat. Cum C comut cu A, B, rezult c E λ este stabil pentru A i B. Not m A, B restric iile lui A, B la E λ. Avem atunci A B B A = λid λ,undeid λ este identitatea spa iului E λ. Deci nλ =tr(a B B A )=0, de unde λ =0 i A B B A =0. Atunci orice subspa iu propriu al lui A este stabil prin B. Deducem c A, B, C au un vector propriu comun apar inând subspa iului E 0. Cu nota iile evidente, exist deci, P GL n (C) astfel încât P 1 AP = ( ) ( ) α X, P 0 A 1 β Y BP = 1 0 B 1 i P 1 CP = ( ) 0 Z. 0 C 1 Matricile A 1,B 1,C 1 M n (C) verific [A 1 B 1 ]=C 1, C 1 kerϕ A1 kerϕ B1. O induc ie evident dup n permite s se deduc concluzia. Într-adev r, ipoteza de induc ie asigur c aceste matrici A 1, B 1, C 1 sunt cotriangularizabile i deducem imediat teorema 16. Complemente Dac U este un subspa iu al spa iului M n (C), not m cu [U] spa iul vectorial generat de matricile [A, B], unde A, B U. U este o algebr Lie dac [U] U. O algebr Lie este rezolubil dac exist algebre Lie U 0, U 1,...,U p astfel ca: {0} = U p U p 1... U 1 U 0 = U, i [U i ] U i+1, pentru i {0,...,p 1}. În biliografia de mai jos, [2] paginile , teoremele 9.11 i 9.9 sau în [3], paginile , teorema i paginile , teorema 3.7.3, se g sesc demonstra iile celor dou urm toare teoreme importante: Teorema 17. (Teorema lui Lie.) Elementele unei algebre Lie rezolubile sunt cotriangularizabile. Teorema 18 (Teorema lui Engel). Fie o algebr Lie L format de elemente nilpotente. Atunci: a) exist un vector v 0verificând u(v) =0,pentru orice u L. b) Elementele algebrei Lie L sunt cotriangularizabile. 307

54 Bibliografie [1] A. Reisner, Asupra comutantului unui endomorfism (unei matrici p tratice), G.M.-A (va ap rea). [2] W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, Springer Verlag, [3] V. S. Varadarajan, Lie Groups. Lie Algebras and their representations, Graduate texts in Mathematics, Springer Verlag, NOTE METODICE Centrul de calcul E. N. S. T. din Paris, Fran a Adrien.Reisner@enst.fr Generalizarea unor probleme de calcul integral de Nicolae Stanciu Abstract The author presents some general results concerning methods of computation of Riemann integrals which can be used to solve several problems from Gazeta Matematic. Key words: odd functions, even functions, Riemann periodic functions, integral. M.S.C.: 26A33, 26A42 Ideea scrierii prezentului articol mi-a fost sugerat de g sirea unor metode generale pentru solu ionarea unor probleme de calcul integral întâlnite destul de des în Gazeta Matematic seria A i B i în alte reviste de profil (R. M.T., R. I. M. Bra ov, S. Î. M. Bac u, Recrea ii Matematice Ia i etc.). I. Asupra calculului integral pentru func ii pare i impare. Propozi ia I.1. Fie c (0, ) i f :( c, c) R o func ie continu. Atunci: b a 1) f( x)dx = f(x)dx, a b pentru orice a, b ( c, c); în particular: a 0 f( x)dx = pentru orice a ( c, c); 2) f este par dac i numai dac a 0 f(x)dx = 0 a 0 a pentru orice a (0,c) (respectiv a ( c, c)); f( x)dx, f( x)dx, 308

55 3) f este impar dac i numai dac a a f(x)dx =0, oricare arfia (0,x) (respectiv a ( c, c)); 4) dac, f este par, atunci a a f(x)dx =2 pentru orice a ( c, c); 5) (i) dac f este par, atunci a a pentru orice a ( c, c); (ii) dac f este impar, atunci a a a 0 xf(x)dx =0, xf(x)dx =2 pentru orice a ( c, c); (iii) dac f este arbitrar, atunci pentru orice a ( c, c) i a a f(x 2 )dx =2 a a a 0 a 0 xf(x 2 )dx =0, f( x)dx, xf(x)dx, f(x 2 )dx, pentru orice a ( c, c). Demonstra ie. 1) Fie a, b ( c, c), a < b fixa i; f când substitu ia x = t, ob inem ceea ce trebuia demonstrat. 2) Dac f este par, f(x) = f( x), pentru orice a ( c, c) i deci pentru orice a (0,c). a 0 f(x)dx = a 0 f( x)dx = 0 a f(x)dx, 309

56 Reciproc, s presupunem c pentru orice a (0,c). Atunci a 0 (f(x) f( x)) dx = a 0 a 0 f(x)dx = f(x)dx a 0 0 a f( x)dx, f( x)dx = a 0 0 f(x)dx a f(x)dx =0, pentru orice a (0,c). Rezult c f(x) f( x) =0,pentru orice x (0,a). Dac x ( c, 0), atunci x (0,c) i prin urmare f( x) f( ( x)) = 0, deci f(x) =f( x), oricare ar fi x ( c, c), adic f este par. 3) Dac f este impar, f(x) +f( x) =0, oricare ar fi a ( c, c) i deci, pentru orice a (0,c), avem a a f(x)dx = 0 a f(x)dx + a 0 f(x)dx = a 0 (f( x)+f(x)) dx =0. Reciproc, fie a, b ( c, c), a<b, fixa i; conform ipotezei, avem Avem b a a a f(x)dx = b b b b f(x)dx =0. b a f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + Atunci, din (1), ob inem a b f(x)dx = b a f( x)dx, a a f(x)dx. i rezult c deci a b f(x)dx = f( x)dx, b a b a (f( x) f(x)) dx =0, 310

57 de unde f( x)+f(x) =0, pentru orice x ( c, c). Prin urmare f este impar. 4) Dac f este par, avem f(x) =f( x), oricare ar fi x ( c, c) i deci a a f(x)dx = 0 a f(x)dx + a 0 f(x)dx = 0 a f(x)dx + a 0 f(x)dx (1) =2 5) (i) Dac f este par, atunci func ia x xf(x) este impar i deci a a xf(x)dx (3) =0, a 0 f(x)dx. pentru orice a ( c, c); (ii) analog ca la (i); (iii) rezult imediat din (i) i (ii), inând seama de faptul c func ia x f(x 2 ) (respectiv x xf(x 2 )) este par (respectiv impar ). Propozi ia I.2. O func ie f : R R continu este impar dac i numai dac pentru orice x R, avem x x f(t)dt = constant. Demonstra ie. Deoarece f este continu, ea admite primitive. primitiv asa. Rezult c x x f(t)dt = 0 x f(t)dt+ x 0 f(t)dt = 0 x f(t)dt x 0 0 f( t)dt (1) = x 0 f(t)dt x Fie F o f(t)dt =0. II. Asupra calculului integral pentru func iile pare i impare generalizate Defini ie. Func ia f :[a r, a + r] R se nume te a-par dac f(a + x) = = f(a x), pentru orice x R cu x r, respectiv a-impar, dac f(a + x) = = f(a x), pentru orice x R, cu x r. Propozi ia II.1. Fie f :[x 0 r, x 0 + r] R continu, cu proprietatea af(x 0 + x)+bf(x 0 x) =c, oricare arfix, cu x r, unde a, b R, c R. Atunci (ii) (i) x 0+r x 0 r x 0+r x 0 r f(x)dx = f(x)dx = cr a + a b a 2cr a + b, a + b 0; x 0+r x 0 r f(x)dx. 311

58 Demonstra ie. Consider m α, β :[ r, r] [x 0 r, x 0 + r], α(t) =x 0 t, β(t) =x 0 t i cum f :[a r, a + r] R este continu, putem aplica schimbarea de variabil : x 0+r α(+r) r r ( c (i) f(x)dx = f(α(t))α (t)dt = f(x 0 + t)dt = a b ) a f(x 0 t) dt = x 0 r = 2cr a b a r r α( r) f(x 0 t)dt = 2cr a b a r r r r f(β(t))β (t)dt = 2cr a + a b β(+r) β( r) f(x)dx = Rezult c i deci (ii) Avem Cum x 0+r x 0 r x 0+r x 0 r = cr a + b a f(x)dx + b a x 0+r x 0 r f(x)dx = x 0+r x 0 r x 0+r x 0 r f(x)dx = x 0 x 0 r f(x)dx. f(x)dx = 2cr a 2cr a + b. f(x)dx + x 0+r x 0 f(x)dx. x 0 x 0 r f(x)dx = α(0) α( r) f(x)dx = 0 r f(x 0 + t)dx = 0 r ( c a b ) a f(x 0 t) dt = = cr a b a rezult c x 0+r x 0 r r f(x 0 t)dt = cr a + b a f(x)dx = cr a + b a x 0 x 0+r 0 r = cr a + b a f(x)dx + f(β(t))β (t)dt = cr a + b a x 0 x 0+r x 0+r f(x)dx, x 0 f(x)dx = cr a + a b a β(r) β( r) x 0+r x 0 f(x)dx = f(x)dx.

59 Propozi ia II.2. Dac f :[a r, a + r] R este continu, atunci: a+r a+r 2 f(x)dx, dac f este a-par (i) f(x)dx = a a r 0, dac f este a-impar. (ii) Produsul (câtul) a dou func ii de a-parit i diferite este o func ie a- impar i produsul (câtul) a dou func ii de aceea i a-paritate este o func ie a-par. Demonstra ie. (i) Dac f este a-par, atunci f(a + x) f(a x) =0;deci, punând, în II.1, a =1, b =1, c =0, x 0 = a, rezult c a+r a r f(x)dx = 1 ( 1) 1 a+r f(x)dx =2 a a a+r f(x)dx. Dac f este a-impar, atunci f(a + x) + f(a x) = 0 i punând în II.1.(ii) a = b =1, c =0, rezult c a+r f(x)dx =0. c i analog a r (ii) Fie f, ga-pare, adic f(a + x) =f(a x), g(a + x) =g(a x). Rezult (f g)(a + x) =f(a + x) g(a + x) =f(a x) g(a x) ( ) f (a x) = g ( ) f (a + x) =f(a x). g A adar f g i f sunt a-pare, analog ar tându-se i restul. g Propozi ia II.3. Pentru orice func ie f :[a r, a + r] R, exist o func ie f 1 a-par i o func ie f 2 a-impar, astfel încât f(x) =f 1 (x) +f 2 (x), pentru orice x [a r, a + r]. Demonstra ie. Pentru rezult c f 1 (x) = f(x)+f(2a x) 2 i f 2 (x) = f(x) =f 1 (x)+f 2 (x). f(x) f(2a x), 2 Cum f 1 (a + x) =f 1 (a x), urmeaz c f 1 este a-par, iar, cum f 2 (a + x)+ f 2 (a x) =0, deducem c f 2 este a-impar. Propozi ia II.4. Dac f,g :[a r, a + r] R sunt integrabile i f este a-par, atunci a+r a r f(x)g(x)dx = a+r a f(x) (g(x) g(2a x)) dx. 313

60 Demonstra ie. Din II.3 rezult c g(x) =g 1 (x)+g 2 (x), unde g 1 este a-par i g 2 este a-impar, deci a+r a r f(x)g(x)dx = (II.2) = a+r a r a+r a f(x)(g 1 (x)+g 2 (x)) dx = f(x)g 1 (x)dx (II.3) = 2 a+r a a+r a r f(x)g 1 (x)dx+ a+r a r f(x)(g(x)+g(2a x)) dx. f(x)g 2 (x)dx (II.2) = Propozi ia II.5. Fie f,g :[a rf, a + r] R integrabile i f o func ie a-impar. Atunci: a+r a r f(x)g(x)dx = a+r a f(x) (g(x) g(2a x)) dx. II.3. Demonstra ie. Se demonstreaz analog cu propozi ia II.4, utilizând II.2 i III. Asupra calculului integral în cazul func iilor periodice Propozi ia III.1. Fie f : R R o func ie continu. Atunci avem: a+t a) f este periodic de perioad T dac i numai dac f(x)dx = c (constant) pentru orice a R. b) Urm toarele afirma ii sunt echivalente: (i) orice primitiv a lui f este periodic deperioad T ; (ii) f este periodic, de perioad T ; a+t (iii) f(x)dx =0, pentru orice x R. a Demonstra ie. a) ( ) Din ipotez, f(x + T )=f(x), oricare ar fi x R. Avem a+t 0 T a+t f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt + f(t)dt, (1) a a pentru orice x R. F când, în ultima integral, schimbarea de variabil t = y + t, y [0,T], ob inem a+t a a f(t)dt = f(y + T )dy = f(y)dy. (2) pentru orice a R. T t a 314

61 Din (1) i (2) rezult a+t a pentru orice a R. f(t)dt = ( ) Presupunem 0 a x+t ) x T f(t)dt + 0 f(t)dt + a 0 f(t)dt = T 0 f(t )dt, f(t)dt = c, pentru orice x R i fie F o primitiv a lui f. Atunci, c = F (x + T ) F (x), pentru orice x R i deci, prin derivare, ob inem f(x + T ) f(x) =F (x + T ) F (x) =0, pentru orice x R, de unde rezult c f este periodic de perioad T. b) (i) (ii) Observ m c, orice primitiv aluif este periodic, de perioad T, dac i numai dac, exist o primitiv aluif, periodic, de perioad T,dac i numai dac, func ia F (x) = x a f(t)dt, x R, este periodic, de perioad T. (ii) (i) Dac f este periodic, de perioad T,avem (F (x + t) F (x)) = f(x + t) f(x) =0, oricare ar fi x R i, deci, exist un c R astfel încât F (x + t) F (x) =c pentru orice x R. Atunci deci c = F (0 + t) F (0) = T 0 F (x + t) =F (x), f(t)dt =0, oricare ar fi x R i deci F este periodic de perioad T. (ii) (iii) Rezult din punctul a). (i) (iii) Dac (i) este adev rat, atunci F este periodic, de perioad T i avem x+t f(t)dt = F (x + t) F (x) =0, pentru orice x R. (iii) (i) Din x x+t x f(t)dt = F (x + t) F (x) =0, pentru orice x R i deci F este periodic de perioad T. 315

62 Concluzie. Acest articol propune propozi ii care permit calculul unor integrale definite ce fac obiectul unor probleme publicate în Gazeta Matematic i alte reviste de specialitate sau în unele manuale alternative de clasa a XII-a. În continuare propun spre rezolvare urm toarele probleme reprezentative: problema Gazeta Matematic, nr. 7 (1975), problema Gazeta Matematic, nr. 5 (1991), problema Gazeta Matematic, nr. 1 (1993), problema Gazeta Matematic, nr. 4 (1994), problema Gazeta Matematic, nr. 12 (1997), problema Gazeta Matematic, nr. 3 (1999), problema dat în concurs Gazeta Matematic, nr. 1 (2002), problema Gazeta Matematic, nr. 2 (2004). Iat i dou aplica ii propuse de autor. Aplica ia 1. S se calculeze 2π 0 sin x cos 2x (1 + sin 2 x)(1 + sin 2 2x) dx. Solu ie. Fie f,g :[0, 2π] R, definit prin: f(x) = cos 2x sin x 1+sin 2, g(x) = 2x 1+sin 2 x. Se observ c f(1 x) =f(π x), adic este π par i g(π x) = g(π +x), adic este π impar. Func ia h :[0, 2π] R, h(x) =f(x) g(x) este conform Propozi ia II.2 (ii), π impar i conform Propozi iei II. 2 (i), avem 2π 0 h(x)dx = 2π Aplica ia 2. S se calculeze 0 sin x cos 2x (1 + sin 2 x)(1 + sin 2 dx =0. 2x) Solu ie. Not m: e n k=1 x 2008 sh 2k 1 x +1 dx. f(x) =x 2008, g(x) = n sh 2k 1 x, h(x) = k=1 e n k=1 1. sh 2k 1 x +1 Se observ imediat c f este continu i par, g este continu i impar, iar h(x)+h( x) =0. Rezult : 316 I = e n k=1 x 2008 sh 2k 1 x +1 dx = f(x)h(x)dx.

63 Se tie c o func ie arbitrar (care nu este nici par nici impar ) se poate scrie ca o sum de dou func ii una par i alta impar. Astfel h(x) =h 1 (x)+h 2 (x), unde h 1 (x) = h(x)+h( x) h(x) h( x) = par i h 2 (x) = = impar. În continuare, 2 2 utiliz m faptul c produsul (câtul) a dou func ii de aceea i paritate este o func ie par i respectiv produsul (câtul) a dou func ii de parit i diferite este o func ie impar i ob inem I = e n k=1 x 2008 sh 2k 1 x +1 dx = (II.2i) = f(x)h(x)dx = f(x)h 1 (x)dx (II.2i) = Bibliografie f(x)(h 1 (x)+h 2 (x)) dx (II.2i) = f(x)dx = [1] V. Arsinte, Probleme Elementare decalcul integral, Editura Universit ii din Bucure ti, [2] D. M. B tine u-giurgiu.a., Analiz matematic, Editura MatrixRom, Bucure ti, [3] Gazeta Matematic, Grupul colar Tehnic Sf. Mucenic Sava Berca, Buz u PROBLEME PROPUSE 248. Fie C k (R) spa iul vectorial al func iilor reale de variabil real, diferen- iabile de k ori (unde, C (R) spa iul func iilor indefinit derivabile, iar C 0 (R) spa iul func iilor continue) i L, D : C 2 (R) C o (R) operatorii diferen iali defini i prin L(y) =y + qy + ry, D(y) =y, q,r R. a) S se arate c kerl C (R) i c restric ia lui D la kerl este un endomorfism al lui kerl. b) Fie {y 1,y 2 } o baz în kerl; pentru orice y kerl, exist a, b R unici, astfel încât y = ay 1 + by 2 i deci, în felul acesta, se define te un izomorfism ϕ : kerl R 2. S se arate c endomorfismul D induce un endomorfism f L R (R 2 ) care face urm toarea diagram comutativ : kerl ϕ R 2 D kerl ϕ f R 2 S se determine o condi ie necesar i suficient pentru ca f s fie un automorfism. 317

64 c) Dac A f este matricea lui f în raport cu baza canonic, iar p este polinomul caracteristic al ecua iei L(y) =0, s se calculeze p(a f ). d) Alegând în kerl o baz convenabil, s se scrie forma general a lui A f. Cazuri particulare: (i) q =0, r = 1; (ii) q = r =1; (iii) q =2, r =1. Dan Radu 249. Dac a i b sunt numere reale pozitive astfel încât a + b = a n + b n, n N, n 2, atunci a n+1 + b n+1 2. Vasile Cîrtoaje 250. Fie a, b, c numere ra ionale astfel încât a 0 i 4ac b 2 este p tratul unui num r ra ional diferit de zero. S se construiasc un exemplu de func ie f : R R cu propriet ile: i) f este aditiv, adic pentru orice x, y R; ii) f verific rela ia pentru orice x R. i=1 f(x + y) =f(x)+f(y), af(f(x)) + bf(x)+cx =0, Gabriel Dospinescu i Marian Tetiva 251. S se arate c, într-un simplex, au loc inegalit ile urm toare: n r n i a) r i=1 i r (n 1) r i r i=1 i + r n2 2 ; n h i b) h i=1 i r n +1 n h n i n 1 h i=1 i + r (n 1) h i (n 2)h i=1 i + r n2 n 1 ; n r i c) (n 2)r i r n +1 n r n i n 1 (n 2)r i + r (n 1) r i (n 2) 2 r i + r i=1 n 2 (n 2)(n 1). Cu h i i r i se noteaz în l imile i razele sferelor exînscrise simplexului, iar cu r raza sferei înscris simplexului (i = 1,n, n 3). Mihai Miculi a i Marius Olteanu S = 252. Dac x 1,x 2,...,x n > 0, unde n N, n 2, k {1, 2,...,n 1}, n x 1 i σ = x i1 x i2... x ik, s se arate c i=1 1 i 1<i 2<...<i k n 1 i 1<i 2<...<i k n xi1 x i2... x ik (S x i1 x i2... x ik ) C k n 1 Sσ. i=1 Gh. Szöllösy 318

65 SOLU IILE PROBLEMELOR PROPUSE Dup intrarea la tipar a num rului 3/2007 al revistei, am mai primit solu ii corecte la problemele 223, 225, 227 de la domnii Nicu or Minculete profesor la Colegiul Na ional Mihai Viteazu din Sfântu Gheorghe i Gheorghe B.G. Niculescu profesor la Colegiul de Po t i Telecomunica ii Gheorghe Airinei din Bucure ti Pentru A M 3 (R), se noteaz A = J t AI, unde J = i fie Γ={A M 3 (R) A A = I}, G = {u L R (R 3 ) M(u) Γ}, unde prin M(u) s-a notat matricea endomorfismului u : R 3 R 3 în raport cu baza canonic. a) Fie G mul imea tuturor endomorfismelor u G cu proprietatea c u(e 1 )=e 1, iar componenta lui u(e 3 ) relativ la versorul e 3 este pozitiv. S se arate c dac u G, atunci M(u) are una din formele urm toare: M 1 (u) = chθ shθ, M 2 (u) = chθ shθ, θ R. 0 shθ chθ 0 shθ chθ b) S se arate c pentru u G, M(u) este diagonalizabil i s se indice, în ambele cazuri, forma diagonal i matricile de transfer. c) S se stabileasc faptul c A Γ implic det A =1 i a Se noteaz Γ = {A Γ a 33 1}; s se arate c Γ este un subgrup al lui Γ. (În leg tur cu problema 192.) Dan Radu Solu ia autorului. a) Fie u G i M(u) =(a ij ) matricea lui u în raport cu baza canonic. Deoarece U(e 1 )=e 1, rezult c a 11 =1, a 21 = a 31 =0. Pe de alt parte, un calcul imediat ne conduce la faptul c M (u) = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 i deoarece Γ i G sunt grupuri izomorfe (vezi punctul a) al problemei 192), avem M (u)m(u) =I. Identificând elementele de pe prima linie, g sim: a a2 21 a2 31 =1 a 11 a 12 + a 21 a 22 a 31 a 32 =0 a 11 a 13 + a 21 a 23 a 31 a 33 =0. În ultimele dou rela ii de mai sus, pumând condi ia a 11 = 1, a 21 = a 31 = 0, rezult a 12 = a 13 =0 i deci M(u) este de forma M(u) = a 22 0 a a 32 a 33 În conformitate cu cele stabilite la pct. b) al problemei 192, dac y = u(x), atunci: y y 2 2 y 2 3 = x x 2 2 x 2 3. (1) Cum u(e 2 )=a 22 e 2 + a 32 e 3, iar u(e 3 )=a 23 e 2 + a 33 e 3, din identitatea (1) deducem: a 2 22 a2 32 =1 a 2 23 a2 33 = 1. (2) Dar, dup pct. a) al problemei 192, M(u) Γ implic t M(u) Γ. Folosind identitatea (1) pentru matricea t M(u) vom g si, exact ca mai sus, c : a 2 22 a2 23 =1 a 2 32 a2 33 = 1. (3) 319

66 Din seturile de egalit i (2) i (3), rezult imediat c a 2 23 = a2 32 i a2 22 = a2 33. Cum îns a 2 33 =1+a2 32 1, iara 33 a fost presupus pozitiv, urmeaz c a Analog, a 22 1 i deci egalitatea a 2 22 = a2 33 este echivalent cu a 22 = a 33. Notând, atunci, a 22 = a 33 =chθ (θ R), rezult pentru a 23 i a 32 urm toarele variante: (i) a 23 =shθ, a 33 =shθ; (ii) a 23 =shθ, a 33 = shθ; (iii) a 23 = shθ, a 33 = shθ; (iv) a 23 = shθ, a 33 =shθ. inând cont de faptul c chθ este o func ie par, iar shθ impar, urmeaz c variantele (i) i (iii), respectiv (ii) i (iv) coincid i deci matricea M(u) are una din cele dou forme din enun (M 1 (u) corespunde situa iilor (i) i (iii), M 2 (u) situa iilor (ii) i (iv)). b) Formele diagonale i matricile de transfer sunt respectiv: D 1 (u) = e θ e θ, P 1 (u) = D 2 (u) = = J, P 2 (u) = 0 sh θ ch θ ch θ sh θ. 2 2 c) Dac A Γ, atunci det A =det((j t AJ) =detj det t A det J =det t A =deta i cum A A = I, rezult imediat c det A = I. Folosind identitatea (1) pentru vectorul e 3,vom avea a a2 23 a2 33 = 1, de unde a 2 33 =1+a a Fie acum A =(a ij ),B =(b ij ) Γ. Dup cele stabilite la punctul a) al prezentei probleme, vom avea B = B 1 = b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 b 13 b 32 b 33 i deci, dac C = AB 1 =(c ij ), atunci c c 33 = a 31 b 31 a 32 b 32 + a 33 b 33. Urmeaz c C = AB 1 Γ dac i numai dac c 33 1, ceea ce este echivalent cu faptul 1+a 31 b 31 + a 32 b 32 a 33 b 33. (4) Utilizând din nou egalitatea (1) pentru matricile A i B relativ la vectorul e 3,vom avea a a2 32 a2 33 = 1 b b b2 33 = 1. (5) Atunci, folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz i egalit ile (5), ob inem 1+a 31 b 31 + a 32 b a 31 b 31 + a 32 b a a2 32 b a b232 = b a 33b 33, ultima dintre inegalit i probându-se prin calcul direct. În acest fel inegalitatea (4) este stabilit i deci AB 1 Γ. Conform criteriului subgrupului, rezult c Γ este subgrup în Γ i deci este el însu i grup Fie n 1 un num r natural. S se arate c mul imea {1 2, 2 2,...,n 2 } se poate parti iona în trei submul imi, fiecare având aceea i sum a elementelor, dac i numai dac n este de una din formele: 9k, 9k 1 sau 9k 5, unde k 2 este un num r natural. Marian Tetiva ; 320

67 Solu ia autorului. Presupunem întâi c o parti ie ca în enun pentru mul imea primelor n p trate perfecte (nenule) exist, evident, de aici rezult c suma: n 2 n(n + 1)(2n +1) = 6 se divide cu 3, deci c 9 divide produsul n(n + 1)(2n +1). Cum nu pot fi doi dintre factorii n, n +1 i 2n +1 al produsului care se divid cu 3, înseamn c exact unul dintre ei se divide cu 9, adic 9 n i n =9k, sau9 (n +1) i n =9k 1 sau 9 (2n +1), caz în care n trebuie s fie de forma 9k 5. Num rul k trebuie s fie cel pu in egal cu 2, deoarece nici una dintre mul imile : {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}, ; {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64}, ; {1, 4, 9, 16} (ob inute pentru n de una din formele de mai sus, pentru k =1)nu se poate parti iona în trei clase cu sumele elementelor egale. Acest fapt este evident pentru a treia mul ime: suma elementelor din fiecare clas ar trebui s fie 10. Dac prima dintre mul imi s-ar putea împ r i în trei p r i conform cerin ei, suma elementelor fiec rei p r i ar trebui s fie 95; atunci submul imea care-l con ine pe 64 trebuie s mai con in ni te elemente a c ror sum s fie 31: este u or de v zut c aceast sum nu se poate realiza cu nici un grup de elemente. În sfâr it, acela i lucru se întâmpl în cea de a doua mul ime cu num rul 49: el nu poate realiza suma 68 (cât ar trebui s fie suma elementelor din fiecare clas a parti iei, dac aceasta ar exista) cu nici un grup de elemente ale mul imii. Acum avem de demonstrat c, pentru orice n de forma 9k sau 9k 1 sau 9k 5, cuk 2 num r natural, exist o împ r ire a mul imii primelor n p trate în trei submul imi, disjucte dou câte dou, fiecare în aceea i sum a elementelor. Vom demonstra acest lucru prin induc ie; observa ia esen ial este c mul imea: {(n +1) 2, (n +2) 2,...,(n +18) 2 } (format cu p tratele a 18 numere naturale consecutive) se poate parti iona în trei submul imi cu aceea i sum a elementelor. Acestea sunt : {(n +1) 2, (n +6) 2, (n +9) 2, (n +10) 2, (n +14) 2, (n + 17) 2 }, {(n +2) 2, (n +5) 2, (n +7) 2, (n + 12) 2, (n + 15) 2, (n +16) 2 } ; i {(n +3) 2, (n +4) 2, (n +8) 2, (n +11) 2, (n +13) 2, (n + 18) 2 }. Evident, aceasta înseamn c are loc implica ia P (n) P (n + 18), dac P (n) desemneaz afirma ia conform c reia mul imea {1 2, 2 2,...,n 2 } se poate parti iona în trei clase, fiecare cu aceea i sum a elementelor (fiecare clas a parti iei g site pentru n se reune te cu una dintre cele trei mul imi de mai sus spre a ob ine clasele parti iei pentru n +18). Atunci, ca s încheiem rezolvarea problemei (S ar t m c sunt valabie P (9k 5), P (9k 1) i P (9k), pentru orice k 2), este suficient s g sim parti ii care satisfac enun ul pentru k =2 i k =3, adic s ar t m c afirma ia este adev rat pentru n {13, 17, 18, 22, 26, 27}. Acestea sunt urm toarele: {1 2, 2 2,...,13 2 } = {1 2, 3 2, 5 2, 6 2, 9 2, 11 2 } {2 2, 10 2, 13 2 } {4 2, 7 2, 8 2, 12 2 } {1 2, 2 2,...,17 2 } = {1 2, 2 2, 13 2, 14 2, 15 2 } {3 2, 4 2, 5 2, 16 2, 17 2 } {6 2, 7 2, 8 2, 9 2, 10 2, 11 2, 12 2 } {1 2, 2 2,...,18 2 } = {1 2, 6 2, 9 2, 10 2, 14 2, 17 2 } {2 2, 5 2, 7 2, 12 2, 15 2, 16 2 } {3 2, 4 2, 8 2, 11 2, 13 2, 18 2 } {1 2, 2 2,...,22 2 }{1 2, 3 2, 6 2, 13 2, 17 2, 19 2, 20 2 } {2 2, 5 2, 7 2, 8 2, 9 2, 10 2, 11 2, 12 2, 14 2, 15 2, 16 2 } {4 2, 18 2, 21 2, 22 2 } {1 2, 2 2,...,26 2 } = {1 2, 2 2, 4 2, 14 2, 20 2, 21 2, 22 2, 23 2 } {2 2, 5 2, 6 2, 7 2, 8 2, 11 2, 12 2, 13 2, 15 2, 16 2, 17 2, 18 2, 19 2 } {3 2, 9 2, 10 2, 24 2, 25 2, 26 2 } {1 2, 2 2,...,27 2 } = {1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 25 2, 26 2, 27 2 } {6 2, 7 2, 9 2, 11 2, 12 2, 13 2, 16 2, 17 2, 18 2, 20 2, 21 2 } {8 2, 10 2, 14 2, 19 2, 22 2, 23 2, 24 2 } i astfel demonstra ia este încheiat. Nota redac iei. O solu ie par ial a problemei a mai dat i dl. inginer Marius Olteanu de la S. C. Hidroconstruc ia S.A. Bucure ti, sucursala,,olt-superior din Râmnicu-Vâlcea Fie x 1,x 2,...,x n i r numere pozitive, astfel încât S se arate c r = n x 1 x 2...x n (n 1) 1 2 n. e x 1 +e x e xn ne r. Vasile Cîrtoaje 321

68 Solu ie dat de Marian Tetiva, profesor la Colegiul Na ional Gheorghe Ro ca Codreanu din Bârlad. S începem cu un rezultat ajut tor, un caz particular al problemei, care se va dovedi util pentru cazul general. Lem. Fie c, u, v numere pozitive astfel încât: i u c. Atunci: c = n u n 1 v (n 1) 1 2 n (n 1)e u + e v ne c. Demonstra ie. Inegalitatea de demonstrat se mai scrie (n 1)e u + e cn u n 1 sau, înc, f(u) f(c) pentru func ia f definit prin ne c cn f(u) =(n 1)e u + e u n 1,u >0. Cum u c, inegalitatea ar rezulta dac am putea ar ta c f este cresc toare. Derivata lui f este ) f (u) =(n 1) (e cn u n e u u cn u n 1 un c n, deci ar trebui s ar t m c u cn un ln un 1 c n, sau, echivalent, c g(u) =u cn n ln u + n ln c 0. un 1 S consider m acum i derivata func iei g, anume g (u) = 1 u n (un nu n 1 +(n 1)c n ) i s observ m c, datorit inegalit ii din ipotez c n (n 1) n 2,avem g (u) 1 u n (un nu n 1 +(n 1) n 1 ) 0, pentru orice u>0; prinurmareg este o func ie cresc toare, g(u) g(c) =0pentru u c, deci i f este cresc toare pentru u c, ceea ce ne trebuia pentru a deduce f(u) f(c) pentru u c (adic inegalitatea din enun ul lemei). Desigur, ne mai r mâne s justific m inegalitatea u n nu n 1 +(n 1) n 1 0, pentru orice u>0; darvedem imediat c, scris în forma ( ) n 1 n n n 1 + n 1 0, u u aceasta nu este alta decât inegalitatea lui Bernoulli. Acum putem trece la rezolvarea problemei, pentru care vom proceda prin induc ie. Pentru n =2avem de ar tat c inegalitatea e x 1 + e x 2 e x 1 x 2 are loc pentru orice x 1,x 2 > 0 astfel încât x 1 x 2 1. Ipoteza x 1 x 2 1 ne asigur de faptul c unul (m car) dintre x 1 i x 2 este mai mare sau egal cu 1 i atunci inegalitatea rezult din lem, pentru c = x 1 x 2 1, u = x 1 1 (s zicem) i v = x 2. Presupunem c afirma ia din enun a fost demonstrat pentru n 1 2 numere x 1,x 2,...,...,x n 1 > 0 care îndeplinesc condi ia n 1 x 1 x 2 x n 1 (n 2) 1 n 1 2 i consider m n numere pozitive x 1,x 2,...,x n astfel încât r = n x 1 x 2 x n (n 1) 1 2 n. S not m cu p j = n 1 x1 x 2 x n x j, 322

69 unde 1 j n i s presupunem, f r a restrânge generalitatea, c p 1 este cel mai mare dintre numerele p j. Avem p n 1 p 1p 2 p n = r n deci p 1 r. Atunci avem i (ultima inegalitate, fiind echivalent cu p 1 = n 1 x 1 x 2 x n 1 (n 1) 1 2 n > (n 2) 1 2 n 1 (n 1) (n 1)(n 2) > (n 2) n(n 3), se justific imediat), deci pentru numerele x 1,x 2,...,x n 1 se poate aplica ipoteza de induc ie. Aceasta înseamn c avem inegalitatea care, bineîn eles, implic e x 1 + e x e x n 1 (n 1)e p 1 e x 1 + e x e x n 1 + e xn (n 1)e p 1 + e xn. Cum îns p n 1 1 x n = r n, r (n 1) 1 2 n i p 1 r nu ne mai r mâne decât s aplic m lema pentru a deduce (n 1)e p 1 + e xn ne r, ceea ce, evident, încheie demonstra ia. Solu ie dat de Marius Olteanu, inginer la S. C. Hidroconstruc ia S.A. Bucure ti, sucursala,,olt-superior din Râmnicu-Vâlcea. Putem scrie inegalitatea sub forma +f(a 1 )+f(a 2 )+...+ f(a n) n f n a 1 a 2... a n, unde f(t) =e t, t>0, iara i = x i, i = 1,n. Func ia f 1 (u) =f(e u )=e eu are, pe (0, ), derivata secund f 1 (u) =(eu 1) e u eu. Avem, r>0, iar ] ln r ln [(n 1) n 2 n = n 2 ln(n 1) 0, n n 2, deunde f 1 (u) 0 pentru orice u ln r 0, deci f 1 (u) este concav pentru u ln r. Conform,,Right Convex Function Corolary ([1], [2]) este suficient s ar t m c pentru x y>0 i x n 1 y = r n. Fie g :(0, ) (0, ), (n 1)e x + e y n e r, g(x) =(n 1)e x + e y, cu y = rn x n 1. Avem x n e y n 1 g (x) =r n x n e y x. Semnul func iei g (x) este dat de semnul func iei g 1 :(0, ) R, g 1 (x) =r n x n e y x. Deoarece e y x g 1 (x) =xn nx n 1 +(n 1)r n, rezult c, la rândul lui, semnul func iei g 1 (x) este dat de semnul func iei h :(0, ) R, dat de Avem h (x) =nx n 2 (x n +1). Din tabelul: h(x) =x n nx n 1 +(n 1)r n. x 0 n 1 + h (x) h(x) h(n 1), 323

70 deducem c h(x) h(n 1) pentru orice x (0, ). Dar h(n 1) = [ r n (n 1) n 2] 0, deoarece r n (n 1) n 2 (conform ipotezei), de unde h(x) 0, deci g (x) 0. Prin urmare g 1 (x) este crsc toare pe (0, ), deci g 1 (x) g 1 (r) =r n ( 1 e y x) 0, deoarece e y x 1, pentru orice x y. A adar, g 1 (x) 0 pentru orice x r, deundeg (x) 0, pentru orice x r. Drept urmare g(x) este cresc toare pe [r, ), deci g(x) g(r) =n e r, adic pentru orice x r y>0. (n 1)e x + e y ne r, Bibliografie [1] V. Cârtoaje, Algebraic inequalities old and new methods, Editura GIL, Zal u, pag. 146, [2] V. Cârtoaje, A generalization of Jensen's Inequality, G.M.-A 2/ If Γ denote the Euler's Gamma function, then for all 0 x 1 <x 2 <...<x n 1 (n 2) and for all positive integer k 1 the following inequality holds ( ) 1 Γ(k + x2 ) Γ(k + x 1 ) (k +1)x.Taking logarithm and differen- Γ(k + x) tiating yields x 2 x 1 ( Γ(k + x3 ) Γ(k + x 2 ) ) 1 x 3 x 2... ( Author's Solution. Define for 0 x 1, f(x) = f (x) f(x) Γ(k + xn) Γ(k + x n 1 ) =ln(k +1) Ψ(k + x), ) 1 xn x n 1 < (k +1) n 1. 1) Mihály Bencze where Ψ(x) = Γ (x) Γ(x). It is well known that the psi function Ψ is strictly increasing on (0, + ) and hence Ψ(x) =lnx 1 2x 2 tdt (t 2 + x 2 )(e 2πt 1), 0 Ψ(k + x) Ψ(k +1)< ln(k +1), which implies f (x) > 0, for 0 x 1. Therefore f is increasing on [0, 1]. If 0 x 1 <x 2 <...<x n 1, then f(x 1 ) f(x 2 )... f(x n). Hence (k +1) x ( ) 1 1 (k +1)x2 Γ(k + Γ(k + x 1 ) Γ(k + x 2 ), or x2 ) x 2 x 1 k +1 Γ(k + x 1 ) (k +1) x ( ) 1 2 (k +1)x3 Γ(k + Γ(k + x 2 ) Γ(k + x 3 ), or x3 ) x 3 x 2 k +1 Γ(k + x 2 )... (k +1) x ( n 1 (k +1)xn Γ(k + xn) Γ(k + x n 1 ) Γ(k + x, or n) Γ(k + x n 1 ) ) 1 xn x n 1 k +1 1) Precizarea c inegalitatea este, de fapt, strict, a fost f cut de dl. inginer Marius Olteanu. (N.R.) 324

71 After multiplication we get ( ) 1 ( Γ(k + x2 ) x 2 x 1 Γ(k + x3 ) Γ(k + x 1 ) Γ(k + x 2 ) ) 1 x 3 x 2... ( Γ(k + xn) Γ(k + x n 1 ) ) 1 xn x n 1 (k +1) n 1. Nota redac iei. Solu ii corecte ale problemei au mai dat domnii Nicu or Minculete de la Universitatea Cre tin Dimitrie Cantemir din Bra ov imarius Olteanu de la S. C. Hidroconstruc ia S.A. Bucure ti, sucursala,,olt-superior din Râmnicu-Vâlcea. Dl. Nicu or Minculete specific i faptul c un minorant al expresiei din enun este,,(k 1) n Dac A M n(c) i A m =( 1) m I n cu m N, m 2, atunci: n rang(i n + A)+rang(I n + εa)+...+rang(i n + ε m 1 A) (m 1)n, unde ε =cos 2π m +isin2π m. Solu ia autorului. Se arat cu u urin c are loc egalitatea k=0 pentru orice X, Y M n(c) cu XY = YX. Folosind acest rezultat se ob ine: m 1 (X + ε k Y )=X m ( Y ) m, m 1 (I n + ε k A) =I n ( 1) m A m =0 n. k=0 De aici i din inegalitatea lui Sylvester, anume rang(a 1 A 2... A n) rang(a 1 +ranga ranga n (m 1) n, Nicolae Pavelescu se ob ine inegalitatea din dreapta propus în enun, anume ( m 1 ) m 1 0=rang0 n =rang (I n + ε k A) rang(i n + ε k A) (m 1)n. k=0 Pentru egalitatea din stânga, avem m 1 k=0 ( ) I n + ε k A = m I n + ( 1+ε ε m 1) A = m I n. k=0 Trecând la ranguri, ob inem: ( m 1 ) rang (I n + ε k A) =rang(m I n)=n. k=0 De aici folosind faptul c rangul sumei nu dep e te suma rangurilor, se ob ine inegalitatea propusφs Ȯbserva ie. În cazul particular m =2 i în ipoteza A 2 = I n, se ob ine egalitatea rang (I n + A)) + rang (I n A) =n, adic problema 497, pag. 70 din cunoscuta carte,,recueil d'exercicesd'algèbre superieure a autorilor D. Fadeev i I. Sominski (éditions MIR-Moscou, 1977). Nota redac iei. O solu ie corect a problemei a mai dat dl. profesor Nicu or Minculete de la Universitatea Cre tin Dimitrie Cantemir din Bra ov, precum i dl. profesor Mihai Tetiva de la Colegiul Na ional Gheorghe Ro ca Codreanu din Bârlad. Dl. inginer Marius Olteanu ne semnaleaz faptul c problema se poate g si rezolvat, la paginile 3-4 din,,revista matematic din Vâlcea, anul I, nr. 1-2/2005. Vom men iona îns c problema se afla în portofoliul nostru editorial cu mult timp înainte de a fi publicat în revista vâlcean, motivul nepublic rii fiind lipsa de spa iu. Deci nu exist nicio culp a redac iei i atât mai pu in a autorului. 325

72 ISTORIA MATEMATICII I. Introducere Leonhard Euler ( ) 1) de Ion Chi escu La 15 aprilie 2007 s-au împlinit 300 de ani de la na terea marelui matematician elve ian Leonhard Euler. Ziua na terii lui 15 aprilie 1707 este o dat important în istoria umanit ii i împlinirea a 300 de ani de la aceast zi ne face s ne înclin m înc o dat în fa a cople itoarei personalit i a lui Euler i ne îndeamn s ne gândim cu modestie i respect c istoria tiin ei i culturii au f cut-o titanii. Euler era elve ian. Aceast mic ar Elve ia a dat omenirii câteva mari personalit i. Vom cita dintre acestea: dinastia de matematicieni i fizicieni Bernoulli, filozoful Jean-Jacques Rousseau, marele pedagog Jean Henri Pestalozzi i al ii. Elve ia a mai dat lumii rigoarea i precizia simbolizate de inegalabilele ceasuri elve iene, precum i spiritul de onoare i fidelitate împinse pân la sacrificiul suprem simbolizate de garda elve ian. Pentru noi, cei care lucr m în domeniul matematicii, Elve ia a dat omenirii mai presus de orice pe Leonhard Euler. Cine nu a auzit de Euler? Ne-am întâlnit cu to ii în liceu cu dreapta lui Euler, cu cercul lui Euler. Poate c nu am tiut, dar câteva simboluri curente au fost încet enite în matematic de Euler: e, i, π, i f(x). Se spune despre Euler c a fost cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea. Desigur acest gen de clasific ri este întotdeauna discutabil. Este îns sigur c Euler este matematicianul cu cea mai întins oper din istorie. Gustav Eneström listeaz 850 de titluri de memorii ale lui Euler. Academia de tiin e a Elve iei a înfiin at în anul 1907 (cu prilejul bicentenarului na terii) Comisia Euler, care avea ca sarcin publicarea întregii opere a lui Euler, împreun cu coresponden a sa, manuscrisele sale i jurnalele sale. Aceast intreprindere a necesitat munca a sute de matematicieni i admiratori ai lui Euler din întreaga lume. Publicarea operelor complete ale lui Euler a început în 1911 i a fost oprit înainte de a se putea publica totul. Publicarea a fost reluat acum câ iva ani i este, acum, aproape complet. Edi ia (colec ia) actual beneficiaz la fiecare volum de introduceri substan iale i date scrise de mari speciali ti. Num rul de pagini al fiec rui volum variaz între 300 i 600. Pân în prezent au fost publicate circa de pagini. Colec ia actual la care facem referire se nume te Opera Omnia (Opera întreag ) i este divizat în 4 serii. Iat numele acestor serii: Series prima: Opera mathematica Series secunda: Opera mechanica et astronomica Series tertia: Opera physica. Miscellanea Series quarta A: Commercium epistolicum Series quarta B: Manuscripta Referitor la Opera Omnia men ion m c : a) Publicarea colec iei a început la Editura B. G. Teubner (Leipzig i Berlin). Actualmente, publicarea este continuat de Editura Birkhauser (Boston, Basel). b) Mai lipsesc pân la editarea complet câteva volume din seriile a IV-a A i a IV-a B. Statisticile care urmeaz pot fi de oarecare interes, descriind opera lui Euler într-un sens mai precis. 1) Prezentul text reprezint conferin a de deschidere inut de autor decanul Facult ii de Matematic i Informatic a Universit ii din Bucure ti cu prilejul deschiderii Sesiunii tiin ifice aniversare,,leonhard Euler 300 de ani de la na tere. (N.R.) 326

73 Productivitate pe ani Perioad Nr. Lucr ri Reparti ia pe discipline Algebr i teoria numerelor, analiz 40% Mecanic i fizic 28% Geometrie (incluzând trigonometrie) 18% Astronomie 11% Teorie naval, artilerie i arhitectur 2% Filozofie, teorie muzical, teologie 1% Reparti ia pe discipline de matematic pur Algebr, combinatoric i teoria probabilit ilor 10% Teoria numerelor 13% Fundamentele analizei i calcul diferen ial 7% Serii 13% Calcul integral 20% Ecua ii diferen iale 13% Calculul varia iilor 7% Geometrie (inclusiv geometrie diferen ial ) 17% Euler a reprezentat o piatr de hotar în dezvoltarea matematicii i a înv mântului matematic. C r ile sale, caracterizate prin simplitate, claritate i for emo ional de comunicare au reprezentat primele manuale în sensul modern al cuvântului. Euler a devenit primul profesor al Europei nu numai în timpul s u, ci i în secolul al XIX-lea. Gauss a spus :,,Studiul operelor lui Euler r mâne cea mai bun instruc ie în diferite ramuri ale matematicii i nu poate fi înlocuit cu nimic altceva. Putem vorbi de un,,fenomen Euler? Credem c da. Acest fenomen are urm toarele componente: a) O cultur vast, cu tent clasicizant, incluzând cunoa terea multor limbi str ine, printre care latina i greaca. Majoritatea operei lui Euler a fost scris în limba latin. b) O memorie fenomenal. Se pare c Euler re inea aproape totul. De exemplu, chiar la o vârst avansat, era capabil s recite întreaga Eneid a lui Virgiliu, în limba latin. c) O for de calcul uluitoare (f cea calcule mintale uria e f r gre eal ). Astronomul francez Francis Arago spunea:,,euler calculeaz a a cum oamenii respir i vulturii zboar în v zduh. d) O capacitate extraordinar de concentrare. Atunci când medita asupra unui subiect, zgomotul i dezordinea dimprejur nu îl deranjau deloc. Thiébault, colegul s u de la Academia din Berlin, spunea:,,un copil pe genunchi, o pisic pe spinare iat cum î i scria el opera nemuritoare. e) Capacitate de a munci în mod continuu i calm, f r întrerupere, ca mod firesc de via. Toate aceste componente completeaz în mod armonios geniul matematic al acestui titan al gândirii. II. Via a 1. Copil ria, anii de formare Leonhard Euler s-a n scut la Basel (Bâle), Elve ia, în data de 15 aprilie 1707 i a murit la Sankt Petersburg (Rusia) în data de 18 septembrie Aavut dou surori mai mici: Anna Maria i Maria Magdalena. 327

74 Tat l s u, Paul Euler, era pastor luteran, cu studii de teologie la Universitatea din Basel, dar i cu studii de matematic (audiase cursurile lui Jacob Bernoulli). De altfel, în vremea studen iei lor la Basel, Paul Euler i Johann Bernoulli au locuit în casa lui Jacob Bernoulli, careera i el fiu de pastor protestant. Johann Bernoulli avea s devin unul dintre cei mai importan i matematicieni ai Europei, dup moartea lui Newton i avea s aib o influen decisiv asupra carierei lui Leonhard Euler. Cu aceast ocazie, men ion m imensa importan pe care a avut-o dinastia Bernoulli asupra vie ii i a operei lui Euler. Daniel i Nicolaus, fiiluijohann Bernoulli, aveau s -i fie cei mai buni prieteni. Mama lui Euler, Margaretha Brucker era fiica unui pastor protestant. Evident, tân rul Euler a primit o educa ie profund religioas i foarte solid, bazat pe studii clasice serioase. Aceast dubl tr s tur a educa iei l-a marcat profund, definitiv, pe Euler, care a fost un cre tin practicant, chiar teoretician al cre tinismului i, de asemenea, un mare om de cultur, adept al clasicismului, cu solide consecin e de teologie, medicin, astronomie, fizic i limbi str ine. Când micul Euler a împlinit un an, familia s-a mutat în ora ul Riehen, lâng Basel, unde Euler i-a petrecut majoritatea copil riei. Gra ie educa iei sale matematice, Paul Euler l-a putut introduce de timpuriu pe Leonhard în lumea miraculoas a matematicii, predându-i, în acela i timp i elemente de baz ale altor discipline. Trebuie men ionat c Paul Euler i-a dorit cu ardoare ca fiul s u s urmeze teologia i l-a îndrumat în acest sens, reu ind ulterior s în eleag c voca ia acestuia era matematica. A urmat plecarea tân rului Leonhard Euler la coal, în ora ul s u natal, Basel. Aici el a locuit la bunica dinspre partea mamei. În coala de la Basel se preda extrem de pu in matematic (practic aproape de loc). În aceste condi ii, Leonhard i-a potolit setea de matematic pe cont propriu, luând medita ii. La vârsta de 13 ani (1720) Leonhard Euler se înscrie la Universitatea din Basel cu scopul declarat de a se preg ti pentru cariera teologic. În acest sens urma ca, în universitate, s primeasc, mai întâi o preg tire de baz teologic i filozofic, completat cu cuno tin e de limbi orientale i istorie. Foarte curând, în timpul studen iei, Leonhard Euler i-a dat seama c adev rata sa voca ie este matematica. Acest fapt a fost recunoscut imediat de Johann Bernoulli care, de i era foarte ocupat, i-a indicat c r ile pe care era necesar s le citeasc, l-a introdus în problemele moderne de cercetare matematic i l-a primit pentru sfaturi în ceea ce prive te obstacolele întâlnite. Cit m din Euler:,,Dac întâlneam unele obstacole sau dificult i, mi s-a dat permisiunea s îl vizitez de câte ori voiam în fiecare duminic dup amiaz i el îmi explica cu mult amabilitate tot ceea ce eu nu puteam s în eleg. În 1723, Leonhard Euler absolv facultatea la Basel, ob inând titlul de Master în filozofie. În teza de master, Euler compar i pune în antitez ideile filozofice ale lui Descartes i Newton. În toamna lui 1723, Leonhard Euler, respectând voin a tat lui s u, începe studiile de teologie la Universitatea din Basel. Studiile intense de teologie, limba greac, limba latin i ebraic necesare facult ii de teologie îl îndep rtau pe Euler de matematic. La rug mintea sa, Johann Bernoulli, care, dup cum am mai spus, era prieten cu tat l s u, l-a convins pe acesta s îl lase pe Euler s p r seasc teologia i s studieze matematica. Euler reu e te s încheie studiile de matematic la Universitatea din Basel în În acest r stimp, sub atenta îndrumare a lui Johann Bernoulli, Euler a citit un material enorm, incluzând lucr ri ale unor colo i ai matematicii i mecanicii ca Descartes, Newton, Jacob Bernoulli, Taylor, Wallis, Galilei, Varignon. Deja în 1726, Euler scrisese o lucrare privind curbe izocrone în medii rezistente. În 1727 a publicat un articol despre traiectorii reciproce, pe care l-a trimis s concureze pentru marele premiu la un concurs al Academiei din Paris, dedicat modalit ii optime de aranjare a catargelor pe un vapor. Premiul întâi la acest concurs l-a ob inut 328

75 Piere Bourguer, cel care, ulterior, avea s fie supranumit,,tat l arhitecturii navale. Premiul al doilea a fost acordat lui Euler. De notat c Euler a ob inut în cariera sa de 12 ori premiul Academiei din Paris. Tot în 1727, Euler i-a sus inut teza de doctorat cu titlul,,de sono (Despre acustic ). Pe baza acestei teze, tân rul Euler (20 ani) a solicitat un post de profesor de fizic la Universitatea din Basel, post vacant prin decesul titularului, pe care nu l-a ob inut. Unii spun c motivul major al respingerii ar fi fost tinere ea solicitantului. 2. Prima perioad de la Sankt Petersburg În fa a situa iei create prin neob inerea catedrei de la Basel, Euler a trebuit s ia o decizie hot râtoare pentru viitorul s u. În acest sens, o ocazie nea teptat a ap rut prin moartea, în urma unei apendicite, a prietenului s u Nicolaus Bernoulli II la Sankt Petersburg în iulie 1726, ceea ce a creat un post liber la o catedr de aplica ii ale matematicii i mecanicii în fiziologie acolo. Euler accept acest post în noiembrie 1726, punând condi ia ca s porneasc spre Rusia abia în prim vara lui Motivele acestei amân ri au fost duble: pe de o parte, Euler dorea s se preg teasc pentru noul post, care era foarte preten ios prin specificul s u; pe de alt parte Euler a sperat pân în ultimul moment s ob in, totu i, postul de profesor la catedra de fizic a Universit ii din Basel, pe care l-a dorit foarte mult. În acest sens, Euler a f cut o ultim încercare scriind un articol, devenit ulterior clasic despre acustic. Totul a fost în zadar. S descriem pu in contextul istoric al acestui moment din via a lui Euler. În primul rând trebuie spus c prietenii s i Nicolaus i Daniel Bernoulli erau în Rusia din 1725, lucrând ca profesori la Academia de tiin e din Sankt Petersburg. În acel moment Rusia era în epoca imediat urm toare lui Petru cel Mare, despotul luminat care a domnit între anii i a modernizat Rusia. El a fondat în anul 1703 ora ul Sankt Petersburg (ulterior Leningrad i revenit ast zi la denumirea ini ial de Sankt Petersburg). Petru cel Mare a adus în Rusia mul i savan i fundamentali ai epocii, punând bazele culturii occidentale în Rusia. Urmând ideile lui Leibniz, Petru cel Mare preg tea apari ia primei institu ii tiin ifice a Rusiei: Academia de tiin e din Sankt Petersburg. Moartea sa, survenit în 1725, a f cut ca v duva sa, împ r teasa Ecaterina I s aib onoarea de a deschide aceast Academie, continuând politica cultural a so ului s u. Ecaterina I a domnit apoi singur între anii La 5 aprilie 1727, sub domnia Ecaterinei I, Euler a plecat din Basel spre Sankt Petersburg. În vremea aceea, c l toriile nu erau deloc rapide. S -l urm m pe Euler în drumul s u. Mai întâi a c l torit cu vaporul pe Rin. Apoi a traversat statele germane cu un vagon de po t. În fine, îmbarcat la Lübeck, Euler ajunge pe vapor la Sankt Petersburg la data de 17 mai Din p cate, împ r teasa Ecaterina Iamurit la foarte scurt timp dup sosirea lui Euler la Sankt Petersburg. Aceast moarte nu a fost de bun augur pentru Academia de tiin e din Sankt Petersburg, deoarece anturajul defunctei împ r tese nu agrea prea mult pe savan ii str ini de la Academie. Din punct de vedere istoric, pentru Rusia a urmat o perioad tulbure. Pe tron a fost urcat în 1727 Petru al II-lea (în vârst de 11 ani) care a domnit (evident sub tutel ) pân în 1730, când a murit în mod suspect. Ana Ivanovna, nepoata lui Petru cel Mare, i-a succedat la tron. Ea a guvernat Rusia pân la moarte, care a survenit în A fost urmat la tron de tân rul ar Ivan al VI-lea, careaguvernat sub regen a mamei sale Ana Leopoldovna numai un an. Ei au fost înl tura i de la putere de fiica lui Petru cel Mare, Elisabeta Petrovna, care a domnit între anii De men ionat c Universitatea din Moscova a fost înfiin at în 1755, sub domnia ei. În 1762 a fost proclamat ar Petru al III-lea care a fost asasinat în acela i an de so ia sa, care avea s devin marea arina Ecaterina a II-a, conduc toare de excep ie a Rusiei pân în S revenim la Euler. La insisten ele lui Daniel Bernoulli i Jakob Hermann, Euler 329

76 a fost numit la departamentul de matematic i fizic i nu la departamentul de fiziologie, unde avusese prima numire. Trebuie s men ion m c la Academia din Sankt Petersburg activau unii dintre cei mai str luci i matematicieni ai epocii: Daniel Bernoulli (bun prieten cu Euler, cumulte preocup ri de matematic aplicat ), geometrul Jakob Hermann (rud cu Euler), Christian Goldbach (specialist în mai multe ramuri ale matematicii, autor al faimoasei conjecturi care-i poart numele) i mul i al ii. De altfel, Academia era foarte elitist, având un num r mic de studen i admi i, care erau de un nivel foarte ridicat. Dotarea bibliotecii era excep ional, mare parte din c r i fiind ob inute din dona ii ale cur ii imperiale. Aceste circumstan e f ceau ca sarcinile didactice ale numero ilor profesori ai Academiei s fie foarte reduse, ei putându-se dedica în lini te cercet rii tiin ifice în condi ii materiale excep ionale. La Sankt Petersburg Euler a locuit împreun cu prietenul s u Daniel Bernoulli, care nu s-a adaptat niciodat foarte bine la condi iile din Rusia. Spre deosebire de Daniel Bernoulli, Euler (care era un mare poliglot) a înv at foarte bine limba rus i s-a adaptat perfect Rusiei. Urm rind cariera lui Euler, îl vedem devenind profesor de fizic la Academia de tiin e în În 1733, Daniel Bernoulli p r se te definitiv Rusia, nemul umitde intrigile continue i de ostilitatea cu care era privit de unii colegi i unii reprezentan i ai autorit ii statale. Postul de ef al departamentului de matematic devine, astfel, vacant i este ocupat de Euler. La 7 ianuarie 1734, Leonhard Euler se c s tore te cu Katharina Gsell, care era elve ian, fiica pictorului Georg Gsell, profesor la Gimnaziul Academiei din Sankt Petersburg. Cu Katharina, Euler aavut 13 copii dintre care au reu it s supravie uiasc peste perioada copil riei numai 5. Numai 3 dintre ace tia i-au supravie uit. Unul singur Johann Albrecht a devenit matematician. Este poate, acum, momentul s spunem câteva cuvinte despre Euler omul, calit ile i cultura lui ie ite din comun. Era un om deosebit, sociabil i optimist, în ciuda numeroaselor probleme de s n tate pe care le-a avut. Total lipsit de orice arogan, de i con tient de marea sa valoare, era de o polite e deosebit, cu maniere care tr dau educa ia aleas pe care o primise. A fost întotdeauna generos cu ideile sale, împ rt ind altor matematicieni multe din ideile i descoperirile sale, chiar înainte de a le publica. Nu a c utat niciodat s - i însu easc ideile sau descoperirile altora. Iat cum vorbea Euler despre faimoasa formul sumatorie care avea s poarte numele de formula Euler-MacLaurin:,,Nu am niciun fel de dorin de a sc dea cu ceva faima celebrului domn MacLaurin, deoarece domnia sa a descoperit aceea i teorem de sumare înaintea mea i prin urmare merit s fie numit prim descoperitor. Revenind la cariera tiin ific a lui Euler, vom men iona faptul c a fondat revista Commentarii Academiae Scientiarum Imperiales Petropolitanae. De men ionat c reviste ar fi putut exista numai cu articolele lui Euler, care lucra într-un ritm incredibil. Din cauza muncii excesive, la 28 de ani (1735), Euler a suferit o congestie cerebral (unii autori acuz i condi iile climatice din Rusia sau, chiar o eventual cataract ) pierzându- i ochiul drept.,,voi avea mai pu ine distrac ii a exclamat savantul dup pierderea ochiului i a continuat s munceasc cu aceea i pasiune, în acela i ritm infernal, în ciuda sfaturilor medicilor, care i-au recomandat odihn. Men ion m c unii biografi cred c munca excesiv pus în slujba cartografierii teritoriului Rusiei ar fi fost la originea pierderii ochiului. În anii 1738 i 1740 Euler a ob inut Marele Premiu al Academiei din Paris, devenind una dintre cele mai importante figuri ale matematicii mondiale. Anii (14 ani) au fost prima etap de edere la Sankt Petersburg. 330

77 3. Etapa Berlin Ajungem în anul de gra ie La Berlin, pe tronul Prusiei, era regele Frederic al II-lea Cel Mare (supranumit uneori,,unicul ). Putem spune cu tot curajul c el a reprezentat modelul de despot luminat. Protector al artelor i tiin elor, s-a înconjurat de unii dintre cei mai mari arti ti i oameni de tiin ai Europei pe care îi primea adesea la minunatul castel de var Sans Souci. De asemenea Frederic al II-lea a fost un mare strateg, câ tigând numeroase b t lii. Aceste calit i au fost dublate i de un foarte bun spirit administrativ. Desigur, i s-ar putea imputa vanitatea ie it din comun, precum i excesiva admira ie pentru limba i cultura francez. În acest sens este de remarcat faptul c Frederic al II-lea i-a scris,,memoriile în limba francez. În acest timp, în Rusia, situa ia politic era tulbure. Începuser s se manifeste sentimente de xenofobie, savan ii str ini de la Academia de tiin e din Sankt Petersburg resim ind o oarecare nesiguran. Moartea arinei Ana Ivanovna, în 1740 a sporit starea de incertitudine din ar. Consecvent cu politica sa de atragere a marilor figuri ale artei i tiin ei, Frederic al II-lea îl invit în mod imperativ pe Euler s vin la Berlin, în Euler accept invita ia, pleac din Sankt Petersburg la 19 iunie 1741 i ajunge la Berlin la 25 iulie 1741, unde este numit profesor la nou înfiin ata Academie Prusian (viitoarea Academie din Berlin), stabilindu-se cu întreaga familie. Ob ine imediat pozi ia de director al departamentului de matematic. De remarcat c pre edinte al Academiei a fost numit mecanicianul francez Maupertuis, situat cu mult sub Euler în clasificarea neoficial asavan ilor epocii. Cei doi au fost îns buni prieteni i Euler l-a înlocuit de multe ori de facto. Euler avea s r mân la Berlin 25 de ani, pân în Activitatea sa de la Berlin a fost uria, am putea spune incredibil. Pe lâng cercet rile de matematic, finalizate cu un num r fenomenal de articole (380) i c r i, Euler amaiavut i alte numeroase activit i, dintre care cit m: a supervizat observatorul astronomic i gr dina botanic ; a supervizat problemele financiare ale Academiei; a înlesnit publicarea de calendare i h r i geografice, din a c ror vânzare s-au obffinut venituri serioase pentru Academie; a conceput baza teoretic a corect rii nivelului apei în Canalul Finow; a supervizat munca la pompele i conductele sistemului hidraulic al castelului Sans Souci. Referitor la aceast ultim activitate este, poate anecdotic, s amintim c Frederic al II-lea se plângea într-o scrisoare c tre Voltaire de presta ia lui Euler, care ar fi lucrat mai mult ca un geometru decât ca un inginer. S mai ad ug m la aceste activit i c Euler a fost consilier al guvernului pentru loteria de stat, asigur ri, pensii i artilerie. A fost, poate, cel mai activ membru al comitetului tiin ific al Academiei, ocupându-se de bibliotec i publica iile tiin ifice. Pe bun dreptate ne întreb m: când a mai putut Euler ca în aceast perioad s produc 380 de articole de cercetare, precum i nenum rate c r i în urm toarele domenii: calcul varia ional, calculul orbitelor planetelor, artilerie i balistic, construc ie de nave, naviga ie, mi carea lunii, calcul diferen ial. O carte cu un caracter aparte este,,scrisorile lui Euler asupra unor subiecte variate, adresate unei prin ese germane (3 volume). În aceast carte, Euler, care fusese numit i tutore al prin esei de Anhalt-Dessau (nepoata regelui Frederic al II-lea) strânge circa 200 de scrisori c tre prin es, în care expune în mod popular chestiuni privind matematica i fizica, dar i religia. Cartea va oferi o privire asupra personalit ii lui Euler. De men ionat c acest carte a cunoscut un succes enorm fiind mai citit decât toate operele matematice ale lui Euler, înîntreaga Europ i în Statele Unite. Aceast carte ilustreaz pe deplin talentul inegalabil de mare comunicator al lui Euler. În acest r stimp, Euler a p strat leg turile cu Rusia, r mânând membru al Academiei de tiin e din Sankt Petersburg, c reia Euler i-a trimis spre publicare aproximativ jum tate din scrierile sale, fapt pentru care a primit în mod continuu pensie din partea sus-numitei Academii. Ne apropiem acum de sfâr itul perioadei berlineze din via a lui Euler. La acest 331

78 sfâr it au contribuit doi factori: unul negativ i altul pozitiv. Factorul negativ, care trebuie men ionat din motive de onestitate istoric, nu face cinste unei mari personalit i din istoria culturii. Unul din cei mai admira i i iubi i oameni de cultur adu i la curte de Frederic cel Mare era Voltaire, care exercita o pozi ie dominant fiind un fel de favorit al monarhului. Intrigile lui Voltaire, combinate cu dispre ul afi at de acesta fa de modul onest i direct de comportament al lui Euler, l-au afectat profund pe acesta. Factorul pozitiv a fost reprezentat de dorin a puternic a marii împ r tese Ecaterina a II-a a Rusiei de a-l readuce pe Euler în Rusia, în cadrul eforturilor ei (încununate de succes) de revenire la gloria anterioar a Academiei de tiin e de la Sankt Petersburg. În acest sens, ambasadorul rus la Berlin a fost acreditat s accepte absolut toate condi iile impuse de Euler pentru întoarcere. În 1766, Euler decide s p r seasc Berlinul pentru a reveni la Sankt Petersburg. Frederic al II-lea a fost profund ocat de aceast hot râre a lui Euler i, ini ial, nu i-a permis s plece. În urma presiunilor formidabile exercitate de arin i în fa a hot rârii neclintite a lui Euler, Frederic al II-lea a cedat i Euler a plecat spre Rusia în 1766, prin Polonia. În Polonia a fost primit cu mare fast i respect de regele Stanislas. Întoarcerea la Sankt Petersburg a fost un adev rat triumf. Men ion m c succesorul lui Euler la Berlin a fos Lagrange. 4. A doua perioad la Sankt Petersburg, ultimii ani În 1766, la reîntoarcerea în Rusia, Euler era în vârst de 59 de ani. Avea s mai tr iasc acolo 17 ani, caracteriza i de o productivitate extraordinar (aproape o jum tate a operei sale), dar marca i din nefericire, de pierderea complet a vederii i alte nenorociri. Munca istovitoare de zi cu zi i-a sl bit i mai mult vederea care era deja afectat. În urma opera iei nereu ite de cataract, Euler orbe te complet în Geniul s u a f cut ca aceast tragedie s nu-i afecteze aproape de loc productivitatea matematic. Este momentul s reamintim c Euler a fost unul din cei mai extraordinari calculatori ai tuturor timpurilor : era capabil s efectueze calcule uria e mintal, cu o rapiditate i o precizie incredibile. În plus, dup cum am spus, memoria sa era fabuloas. Combinând toate aceste utilit i, Euler acontinuat s creeze ajutat de fiii s i Johann Albrecht Euler (care devenise în 1766 profesor la catedra de fizic a Academiei de tiin e din Sankt Petersburg, fiind apoi numit i secretar al acesteia în 1769) i Cristoph Euler (militar de carier ), precum i de matematicienii Krafft, Lexell i Fuss. Metoda de lucru era urm toarea: Euler dicta (în special lui Johann Albrecht) i în acela i timp, el purta discu ii matematice cu asisten ii s i, pe care uneori îi punea s îi completeze calculele. Cu generozitate i onestitate, maestrul i-a r spl tit pe discipoli pentru eforturile depuse în ajutorul s u. De exemplu, Johann Albrecht, Kraft i Lexell au fost credita i ca autori ai unei lucr ri de 775 de pagini privind mi carea lunii. Dup pierderea complet a vederii au urmat alte nenorociri. În 1771, un incendiu i-a distrus casa. Interven ia providen ial a artistului Peter Grimm din Basel l-a salvat pe Euler din mijlocul fl c rilor. Au ars aproape toate c r ile din cas dar, în mod miraculos, au putut fi salvate manuscrisele lui Euler. În 1773, dup o c s torie care a durat 40 de ani, so ia lui Euler, Katharina trece în lumea drep ilor. R mas v duv, Euler se rec s tore te în 1776 cu sora Katharinei, Abigail Gsell. Leonhard Euler a murit la 18 septembrie 1783 la vârsta de 76 de ani. Iat cum descrie istoricul rus al tiin elor A. P. Iu kevici (Youschkevitch) ultima zi din via a lui Euler:,,În data de 18 septembrie 1783 Euler i-a petrecut prima parte a zilei ca de obicei. A f cut lec ia de matematic cu nepo ii, a f cut câteva calcule privind mi carea baloanelor, 332

79 cu creta pe dou table; apoi a discutat cu Lexell i Fuss despre recent descoperita planet Uranus. În jurul orei 5 dup amiaz a suferit o hemoragie cerebral i a mai apucat s murmure,,mor! înainte de a- i pierde cuno tin a. A murit în jurul orei 11 noaptea. Elogiul la moartea lui Euler a fost scris, din partea Academiei Franceze, de marchizul de Condorcet care a fost, ulterior, una din victimele terorii dezl n uite de revolu ia francez. Euler este îngropat în celebra necropol Nevskii Lavra din Sankt Petersburg. Sarcofagul în care odihne e marele savant se g se te într-unul din locurile sfinte ale Rusiei, al turi de alte mari personalit i, ca Lomonosov i al ii. III. Opera Este foarte greu, dac nu imposibil, s cuprinzi într-o conferin datele esen iale privind geniala i imensa oper a lui Euler. Voi încerca în cele ce urmeaz s m achit de aceast sarcin quasi-imposibil cu riscurile inerente ale unei selec ii eventual arbitrare i superficiale. Contribu ia lui Euler la Analiza Matematic a fost decisiv. Putem spune c Analiza Matematic a început cu Euler. Euler a conceput analiza ca studiu al func iilor. Se tie c exist o disput istoric în ceea ce prive te primatul asupra introducerii analizei matematice ca disciplin între coala britanic (pentru care fondatorul analizei este Isaac Newton) i coala german (pentru care fondatorul analizei este Gottfried Wilhelm Leibniz). Euler a reu it s contopeasc metoda fluxiunilor a lui Newton cu calculul diferen ial al lui Leibniz. C r ile de analiz al lui Euler, dinte care cit m pe cele mai faimoase:,,introductio in analysis infinitorum (în care apare celebra formul e iπ +1=0),,,Institutiones calculi differentialis i,,institutiones calculi integralis au reprezentat mult vreme sursa unic i autorizat de înv are a analizei matematice. Euler s-aocupatdederivatele par iale mixte, intuind comutativitatea lor (criteriile Young-Schwarz) i a descoperit criteriul ca o form diferen ial s fie exact (în limbaj arhaic,,s fie diferen ial total ). A studiat probleme de maxim i minim i a utilizat în mod constant regulile lui L'Hospital. Euler aintrodus integralele care îi poart numele (integralele euleriene, adic func iile beta i gamma). În teoria seriilor, Euler a avut realiz ri nenum rate i remarcabile. A reu it s 1 calculeze ζ(2) = n = π2 printr-o metod profund neortodox (problema g sirii sumei 2 6 n=1 acestei serii fusese studiat f r succes de Leibniz, Stirling, De Moivre, Jakob, Johann i Daniel Bernoulli). Cu metode similare, Euler a descoperit c ζ(4) = π4 π6 π8, ζ(6) =, ζ(8) = , ζ(10) = π10 691π12 i ζ(12) =, generalizând apoi formula cu ajutorul numerelor lui Bernoulli. A ob inut celebra formul privind egalitatea între ζ(s) i produsul numerelor de 1 forma cu p prime. A ob inut foarte multe dezvolt ri în serie. 1 p s De asemenea, Euler s-a ocupat de metode de sumare pentru serii divergente sau foarte lent convergente (accelerarea convergen ei). A ob inut celebra constant care îi n 1 poart numele (limita irului ln n). k k=1 Inspirat de o carte în dou volume a lui Fagnano, Euler s-a ocupat de integralele eliptice (de altfel el a recunoscut mereu întâietatea lui Fagnano în acest domeniu) i a creat, 333

80 practic, teoria func iilor algebrice. Euler a ob inut rezultate remarcabile în teoria frac iilor continue. Contribu ia lui Euler la teoria ecua iilor diferen iale a fost covâr itoare. Îi dator m rezolvarea ecua iilor diferen iale liniare cu coeficien i constan i, precum i rezolvarea ecua iilor liniare de ordin 2 cu coeficien i variabili. De asemenea, Euler aintrodus factorul integrant. În fine, Euler aavut i ideea metodei varia iei constantelor. Putem spune c Euler este fondatorul calculului varia ional dând celebrele ecua ii Euler-Lagrange (descoperite independent delagrange). În leg tur cu geneza calculului varia ional trebuie s men ion m c ea este datorat faimoasei probleme a brahistrocronei, propus de Johann Bernoulli. Aceast problem a fost rezolvat de mai mul i matematicieni (se pare c Newton a rezolvat-o în aproximativ dou ore). Euler a dat o teorie sistematic a rezolv rii acestui tip de probleme fondând, dup cum am spus, calculul varia ional. (A se vedea cartea sa,,methodus inveniendi lineas curvas ). Ulterior, Lagrange aintervenit, scriindu-i lui Euler i introducând derivata varia ional i metoda multiplicatorilor care îi poart numele. Euler aavut realiz ri remarcabile în geometrie (incluzând trigonometria). Nu vom vorbi despre a a- zisa,,geometria elementar, unde ne-a l sat rezultate remarcabile adev rate perle ale matematicii. Ne vom referi aici, în primul rând la faptul c Euler a introdus în mod riguros func iile trigonometrice, dând i faimoasa formul e it =cost +isint. În al doilea rând, Euler a început studiul teoriei suprafe elor, investigând, între altele, curbura lor. A introdus geodezicele. Multe din rezultatele sale nu au fost publicate i au fost redescoperite ulterior de Gauss. În fine, s nu uit m celebra formul pe care i-o dator m lui Euler privind leg tura între num rul vârfurilor, muchiilor i fe elor unui poliedru convex: V + F = M +2. Ajungem i la teoria numerelor unde Euler ne-a l sat o multitudine de rezultate fundamentale. La Euler, teoria numerelor a fost strâns împletit cu Algebra, pentru care ne-a l sat monogafia,,anleitung zur Algebra, în dou volume. Aceast monografie a constituit, mult vreme, textul standard dup care se înv a algebra. De remarcat c în acest manual, Euler a introdus multe probleme pe care le-a rezolvat atunci când înv a algebr în primii ani cu tat l s u (informa ie comunicat de prof. dr. D. Vaida). În sus-numita monografie figura i formula binomului lui Newton cu exponent real (seria binomial ). Men ion m c multe din rezultatele din teoria numerelor au fost ob inute pornind de la discu iilor avute de Euler cu colegul s u Christian Goldbach de la Academia de tiin e de la Sankt Petersburg. De exemplu, acesta l-a incitat pe Euler s se ocupe de conjectura lui Fermat privind faptul c numerele de forma 2 2n +1sunt prime. Euler a demonstrat falsitatea conjecturii ar tând c se divide cu 641. Studiile de teoria numerelor l-au condus pe Euler la introducerea func iei ϕ (ϕ(n) = num rul acelor 1 k<nprime cu n). Cu ajutorul lui ϕ, Euler a generalizat mica teorem a lui Fermat. Legat de numele lui Fermat, men ion m c Euler a demonstrat celebra sa conjectur (,,marea teorem a lui Fermat ) pentru n =3. Mai men ion m c multe rezultate ale lui Euler în teoria numerelor sunt inspirate de lucr rile lui Fermat. Anume, Euler a demonstrat sau a infirmat o mul ime de rezultate ale lui Fermat adnotate de acesta pe o edi ie francez a c r ii,,arithmetica a lui Diofant. Alte rezultate ale lui Euler în teoria numerelor se refer la numerele care se pot reprezenta ca sume a dou p trate, legea reciprocit ii p tratice (pe care doar a intuit-o, demonstra ia fiind dat ulterior de Gauss), numere poligonale etc. 334

81 În leg tur cu contribu ia lui Euler la teoria numerelor, trebuie spus c aceasta este cuprins 4 volume din Opera Omnia. Din acest motiv, putem spune c teoria numerelor a devenit o parte important a matematicii, gra ie lui Euler. Euler este i fondatorul teoriei grafurilor. Na terea acestei discipline coincide cu rezolvarea de c tre Euler a problemei celor apte poduri din Königsberg (ora ul lui Immanuel Kant, ast zi Kaliningrad, enclav rus ). Problema era de a str bate câte o singur dat toate cele apte poduri de pe râul Pregel care trece prin Königsberg, cu întoarcere în punctul de start (recunoa tem problema determin rii unui circuit hamiltonian). Euler a fost unul dintre cei mai mari mecanicieni din istorie (includem aici i mecanica cereasc ). Cartea sa,,mechanica a dat un impuls hot rât mecanicii. Fundamental, în ceea ce prive te viziunea lui Euler asupra mecanicii, este faptul c, spre deosebire de predecesorii s i, el a folosit, în mod constant, analiza matematic. În mecanica sistemelor rigide a determinat ecua ia general de mi care a unui corp în jurul unui punct fix. A dat ecua ia general de mi care a unui corp liber. A fundamentat teoretic principiul minimei ac iuni al lui Maupertius. A atacat problema celor trei corpuri. A dat ecua iile generale de mi care în hidrodinamic. Men ion m c la data mor ii sale, Euler scria un tratat de hidromecanic. S-a ocupat de hidrostatic în leg tur cu proiectarea navelor. În studiul mi c rii unui punct material pe o suprafa el a folosit metoda geodezicelor. În fundamentala carte,,theoria motus corporum solidorum, Euler descompunea mi carea unui solid într-o mi care rectilinie i una de rota ie, introducând cu aceast ocazie unghiurile care îi poart numele. Lucr rile de mecanica fluidelor ale lui Euler sunt fundamentale (a dat ecua ia de continuitate, ecua ia de mi care a unui fluid nevâscos incompresibil etc.). Metodele sale în acest domeniu erau uimitoare i mult superioare predecesorilor s i Bernoulli, Clairaut i D'Alembert. În astronomie (mecanica cereasc ) Euler a ob inut rezultate privind calculul orbitelor cometelor, calculul paralaxei Soarelui etc. (a se vedea c r ile,,theoria Motus Lunaris i,,theoria Motuum Planetarum et Cometarum ). Rezultatele sale au fost folosite de Mayer pentru alc tuirea unor tabele privind mi carea Lunii. Euler ne-a l st i un tratat de optic intitulat,,dioptrica (trei volume) în care combate teoria corpuscular a luminii a lui Newton. Ca o curiozitate, men ion m i un tratat de teoria muzicii, intitulat,,tentamen novae theoriae musicae (1739) în care încerca s fac muzica (cit m):,,parte a matematicii i s deducem, într-un mod ordonat, din principii corecte, tot ceea ce face s se potriveasc i s se amestece tonurile în mod pl cut. Din p cate, lucrare era (iar i cit m),,pentru muzicieni prea avansat în matematic i pentru matematicieni prea muzical. Nu putem încheia aceste referiri la opera lui Euler f r s amintim despre scrierile sale cu caracter folozofic i religios. Euler, în armonie cu originea sa p rinteasc i cu forma ia sa, era profund credincios i poseda o bogat cultur filozofic. Ca orientare filozoficocre tin, Euler era un oponent al filozofiei monadelor, datorat lui Leibniz i discipolului s u Christian Wolff. Ideile filozofico-religioase ale lui Euler apar în deja pomenita culegere,,scrisori c tre o prin es german..., precum i în lucrarea,,ap rarea revela iei divine împotriva obiec iilor liber-cuget torilor (,,Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freigeister ). Terminând de prezentat opera lui Euler, este obligatoriu s mai ad ug m un fapt care ilustreaz deopotriv imensul volum de lucr ri l sat de Euler, cât i onestitatea sa i ata amentul fa de Academia de tiin e de la Sankt Petersburg. El s-a angajat s lase 335

82 Academiei atâtea memorii cât s se poat publica în analele ei 20 de ani dup moartea sa. A dat mai mult decât a promis! S-a putut publica 40 de ani dup moartea sa! IV. Încheiere Suntem la cap tul acestui lung expozeu despre via a i opera genialului Leonhard Euler. Ne înclin m înfiora i în fa a m re iei sale. Am vorbit despre un titan. Nu putem încheia altfel decât citând pe un alt titan Pierre-Simon Laplace:,,Citi i-l pe Euler, citi i-l pe Euler! El este profesorul nostru, al tuturor! Facultatea de Matematic i Informatic a Universit ii din Bucure ti Str. Academiei, nr. 14, Bucure ti MANIFEST RI TIIN IFICE Sesiunea aniversar,,leonhard Euler 300 de ani de la na tere În ziua de 11 mai 2007, aavut loc Sesiunea aniversar,,leonhard Euler 300 de ani de la na tere, organizat de Facultatea de Matematic i Informatic a Universit ii din Bucure ti. Deschiderea lucr rilor a fost f cut de prof. univ dr. Ion Chi escu, decanul Facult ii de Matematic i Informatic a Universit ii din Bucure ti. 1) În continuare, lucr rile sesiunii s-au desf urat pe trei sec iuni, prezentându-se în total 30 de comunic ri tiin ifice. Prezent m mai jos lista comunic rilor în ordinea sus inerii lor. Sec iunea Algebr i Informatic A. L. Agore, A.Chirvasitu (studen i la Universitatea din Bucure ti), B. Ion (University of Pittsburg), prof. dr. G. Militaru, Probleme de factorizare pentru grupuri finite; conf. dr. A. Baranga, Cea mai tare postcondi ie a adjuvant la dreapta al celei mai slabe postcondi ii în semantica par ial aditic ; asist. C. Chiri, O teorem de completitudine pentru logica trivalent temporal cu predicate; conf. dr. A. Gica, Resturi de puteri în iruri Fibonacci; prof. dr. Ion D. Ion, prof. dr. C. Ni, Rezultate asupra ultraproduselor de module; prof. dr. G. Militaru, Produse încruci ate de grupuri; prof. dr. D. tef nescu, Euler i rezolvarea numeric a ecua iilor algebrice; prof. dr. D. Vaida, Propriet i de ordine referitoare la procese semantice. Sec iunea Analiz i Geometrie prof. dr. I. Chi escu, O problem privind dreapta lui Euler. Amintiri de acum 44 de ani; prof. dr. M. Cristea, Produse directe de aplica ii cvasiregulate pe spa ii metrice; conf. dr. Iulia Hiric, prof. dr. L. Nicolescu, Rezultate recente privind variet ile Weyl i Lyra; 1) Conferinffa de deschidere a lucr rilor sesiunii este reprodus în prezentul num r, în cadrul rubricii,,istoria Matematicii. (N.R.) 336

83 prof. dr. L. Nicolescu, prof. dr. G. Pripoae, asist. R. Gogu, Asupra unei teoreme a lui E. Cartan; prof. dr. L. Nicolescu, conf. dr. N. Soare, Cercet rile lui Leonhard Euler în Geometrie; asist. dr. T. Oprea, Plane critice pentru curbura sec ional ; conf. dr. L. Pavel, Asupra polinoamelor trigonometrice din L 1 algebra de hipergrupuri compacte; conf. dr. N. Soare, O generalizare a unei clase de curbe; lect. dr. S. Stupariu, Concepte de stabilitate pentru reprezent ri de tolbe; lect. dr. A. M. Teleman, conf. dr. K. Teleman, Lagrangieni de tip Witten i topologie cuantic ; prof. dr. A. Turtoi, Spa iul twistor al structurilor complexe generalizate; lect. dr. C. Volintiru, Conven ia 0 = 0, o posibil anomalie din c r ile având ca subiect Teoria M sur rii. Sec iunea Mecanic i Ecua ii prof. dr. A. Carabineanu, O variant a metodei lui Seidel de rezolvare iterativ a sistemelor de ecu ii neliniare; conf. dr. A. Cernea, Condi ii necesare de optimalitate pentru incluziuni diferen iale cu întârzieri i restric ii de faz ; prof. dr. S Cleja- igoiu, Model elaso-plastic pentru materiale cu disloca ii continuu distribuite; prof. dr. I. Mih il, prof. dr. N. Marcov, asist. dr. V. Pambuccian, Studiul mi c rii pendulului lui Foucault la Luanda în timpul eclipsei solare din 21 iunie 2001; prof. dr. I. Mih il, Asupra perioadei lui Euler; prof. dr. t. Miric, Asupra jocului diferen ial,,lady in the lake ; asist. dr. V. Pambuccian, Câmpul gravita ional i câmpul electromagnetic în relativitatea general ; prof. dr. I. Ro ca, Metoda varia ional i câteva rezultate clasice din analiza func ional ; prof. dr. O. Simionescu, prof. I. Ana, Descompunerea undelor ghidate care se propag în cristale piezoelectrie supuse unor câmpuri in iale; conf. dr. V. igoiu, Fluide ne-newtoniene de tip polinomial. Al VI-lea Congres al Matematicienilor români Bucure ti, 28 iunie - 4 iulie 2007 Radu Miculescu Cel mai important eveniment matematic al anului Congresul matematicienilor români a avut loc în perioada 28 iunie 4 iulie, la Bucure ti, sub înaltul patronaj al Academiei Române i organizarea Universit ii din Bucure ti, Institutului de Matematic,,Simion Stoilov al Academiei i al Universit ilor din Pite ti i Timi oara. Nu este lipsit de interes c primul Congres al Matematicienilor Români a avut loc în anul 1929 la Cluj, fiind organizat la ini iativa matematicianului Petre Sergescu. Au urmat Congresele de la Turnu Severin (1932), Bucure ti (1945 i 1956) i Pite ti (2003). S men ion m c în organizarea primelor trei congrese Societatea,,Gazeta Matematic a avut un rol deosebit. Din comitetul de organizare au f cut parte academicianul Romulus Cristescu (pre edinte), Viorel Barbu, Constantin Corduneanu, Marius Iosifescu, Solomon Marcus, Radu Miron, Petre T. Mocanu, Gabriela Marinoschi, cercet tori, Lucian Beznea (secretar) i Radu Purice (I. M. A. R.) precum i profesorii Ion Chi escu, Victor igoiu (Universitatea 337

84 din Bucure ti), Gheorghe Barbu (Universitatea din Pite ti), Dumitru Ga par i Mihail Megan (Universitatea de Vest din Timi oara), Doina Cior nescu (Universitatea Paris IV, Fran a) i Tudor Zamfirescu (Universitatea din Dortmund, Germania). edin a de deschidere a avut loc în Aula Universit ii din Bucure ti, în prezidiu aflându-se acad. Romulus Cristescu, Ioan Haiduc, pre edintele Academiei, Ioan Pânzaru, rectorul Universit ii din Bucure ti, reprezentan i ai Ministerului de Externe i ai Ministerului Educa iei, Cercet rii i Tineretului. A fost prezentat mesajul de salut al Pre edin iei României. În plen au fost prezentate rapoarte întocmite de colective delegate de Comitetul de Organizare: Cercetarea matematic româneasc (V. Brânz nescu), Înv mântul matematic în România (C. Niculescu), Diaspora matematic româneasc (D. Timotin), Matematica româneasc în cultur i societate (S. Marcus). Prof. dr. Dan Burghelea, Universitatea Columbus, Ohio, S.U.A, academicienii Ion Cuculescu i N. Cristescu într-o pauz a Congresului Lucr rile Congresului s-au desf urat începând cu a doua zi în cl direa Facult ii de Matematic i Informatic a Universit ii din Bucure ti, pe opt sec iuni: Algebr, Geometrie Diferen ial i Topologie, Analiz real i complex, Teoria Poten ialului, Ecua ii diferen iale, Control Optimal i Fizica Matematicii, Analiz Func ional, Teoria Operatorilor i Analiz Numeric, Probabilit i i Statistic Matematic, Mecanic i Matematic Aplicat, Cercet ri Opera ionale, Istoria i Filozofia Matematicii. Au fost prezentate peste 800 de comunic ri tiin ifice de c tre cercet tori români i str ini, num rul acestora din urm fiind în continu cre tere, la prezentul congres dep ind o sut. Au fost prezen i matematicieni de pe toate continentele, un num r mare provenind din rile europene i S. U. A. De remarcat este num rul mare de matematicieni români din disapor, precum i cel al matematicienilor tineri care î i preg tesc doctoratul în alte ri. Dintre participan ii din str in tate men ion m câteva nume prestigioase: H. T. Banks, Alexandra Bellow, Nicolae Dinculeanu, Dan Burghelea, Daniel T taru (S. U. A), 338

85 Doina Cior nescu, Florian Vasilescu (Fran a), Izu Vaisman (Israel), Preda Mih ilescu, Tudor Zamfirescu (Germania), Jean Mawhin (Belgia), Tudor Ra iu (Elve ia), Eugen Grebenikov (Rusia), Vicenzo Cappasso, Mimmo Iannelli (Italia) i mul i al ii. Ziua de 1 iulie a fost dedicat unei frumoase excursii pe ruta Bucure ti Sinaia Bran Ruc r Pite ti Bucure ti. La Casa Universitarilor din Pite ti a avut loc banchetul Congresului, într-o ambian deosebit, cu un program folcloric apreciat de c tre participan i. Lucr rile Congresului vor fi publicate în volum. Societatea de tiin e Matematice din România a organizat în zilele de iunie cea de a 11-a Conferin Anual, Conferin satelit a Congresului (Workshop on Mathematical Education). DIN VIA A SOCIET II Cursurile de var de la Bu teni Mircea Trifu Între 29 iulie i 8 august 2007 S.S.M.R. a organizat ca de obicei, la Bu teni cursurile de var pentru perfec ionarea profesorilor de matematic din înv mântul preuniversitar. Aceasta a fost a XI-a edi ie dup reluarea, în 1997, a unei vechi tradi ii pe care S.S.M.R. o are în organizarea colilor de var, tradi ie ce dateaz din 1957, cu o scurt întrerupere în anii '90. Gazd a cursurilor a fost i anul acesta Centrul de Preg tire pentru Personalul din Industrie din localitate, care ne-a asigurat prin persoana domnului director general Irinel Ghi i a subordona ilor s i condi ii deosebite atât în ceea ce prive te desf urarea cursurilor, cât i în privin a caz rii i a mesei. Le mul umim tuturor pe aceast cale. Programul zilnic a cuprins trei module (conferin e) inclusiv sâmb ta pentru a acoperi un num r de 40 de ore, în intervalul 30 iulie - 7 august, în care au avut loc cursurile propriu-zise. La finele acestora, pe 7 august, s-a desf urat un colocviu, în cadrul c ruia s- au prezentat cele mai interesante referate alc tuite de cursan i i selectate de comisia de examinare. Subiectele, liber alese de cursan i, au abordat în general teme tiin ifice sau metodice, nelipsind îns i câteva dedicate istoriei matematicii precum i problematicii generale a înv mântului matematic preuniversitar. Aceast diversificare a tematicii constituie un fenomen specific ultimilor ani, reflectând l rgirea ariei preocup rilor profesorilor de matematic, tendin a acestora de a se ancora mai temeinic în realitate, preluând tradi iile înainta ilor. Este absolut notabil seriozitatea cu care cursan ii au tratat temele alese desigur, majoritatea clasice mul i dintre ei încercând deschideri c tre alte domenii sau conexiuni metodice interesante i, de multe ori, cu caracter original. Vom mai men iona c alc tuirea acestor referate a constituit o condi ie obligatorie pentru eliberarea adeverin elor de participare la cursuri. Comisia de selec ie a lucr rilor a fost alc tuit din acad. Ioan Tomescu, prof. univ. dr. Dorel Duca, conf. univ. dr. Eugen P lt nea, prof. Alexandru Popescu-Zorica i semnatarul acestor rânduri. Num rul mai mic de participan i de anul acesta (38 de profesori) se explic atât prin majorarea tarifelor de cazare i în special mas, cât mai ales prin refuzul autorit ilor competente de a da un caracter oficial cursurilor, acestea nefiind punctate ca activit i didactice, datorit absen ei modulului de pedagogie. Aceasta este o veche problem, care a fost discutat în repetate rânduri, atât în cadrul Biroului S.S.M.R, cât i cu participan ii la cursuri, ei fiind în ultim instan, cei mai în m sur s decid asupra oportunit ii audierii unor conferin e de pedagogie sau din domenii conexe acesteia. F r a refuza în mod absolut prezen a pedagogiei în cadrul cursurilor, cursan ii sunt unanim de acord c timpul legal acordat acesteia (40% în totalul orelor) este exagerat i ar d una interesului general. Singura solu ie acceptabil din punctul lor de vederear fi ca ministerul s acorde un punctaj mai mic pentru perfec ionarea tiin ific i metodic, urmând ca cei intresa i de un punctaj mai mare s urm reasc modulul de pedagogie din cadrul altor forme de perfec ionare. Reparti ia zonal a cursan ilor a fost destul de uniform, fiind totu i preponderente, jude ele din Moldova, unde filialelor S.S.M.R. locale au desf urat o activitate de informare mai sus inut i eficient. Ca de obicei pe primul loc s-a situat filiala Ia i, care prin persoana domnului 339

86 profesor Vasile Nechita secretarul acesteia a adus cel mai mare num r de participan i. De altfel, domnia sa particip pentru a unsprezecea oar consecutiv la aceste cursuri, fiind cel mai important animator al lor. Din aceste motive, am hot rât ca, începând cu acest an, domnul prof. Vasile Nechita s fie numit secretar al cursurilor, umând s se ocupe de o serie întreag de probleme de organizare i informare. Conferin ele inute în cadrul cursurilor au stârnit, în general, un viu interes printre participan i, fapt marcat i de sondajul efectuat la finele acestora - sondaj care, ca deobicei ne va ajuta i la îmbun t irea tematicii în anii urm tori. Discu iile purtate între cursa i i între cursan i i conferen iari, au marcat o cre tere a interesului pentru temele prezentate, relevând i o serie întreag de sugestii pentru edi iile urm toare. Tematica conferin elor a fost atent selectat, inând seama de subiectele sugerate de cursan i în sondajele din anii anteriori. Astfel, am c utat s p str m un echilibru între subiectele cu caracter de informare tiin ific i cele vizând metodica i metodologia pred rii la clas, primele având evident, un caracter preponderent. În selectarea conferen iarilor am avut în vedere unii dintre cei mai distin i universitari, care, în decursul timpului s-au aplecat, cu interes i seriozitate, asupra înv mântului preuniversitar, fiind preocupa i de perpetua îmbun t ire i diversificare a acestuia. De bun seam, ace tia au tiut s stabileasc un mod de comunicare simplu i eficient cu profesorii cursan i, neabuzând de informa ia tiin ific i ceea ce ni se pare esen ial neadoptând o pozi ie ex cathedra. Vom prezenta, mai jos, tematica conferin elor sus inute: prof. univ. dr. Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române (Universitatea din Bucure ti),,numere binomiale i multinomiale i aplica ii (o conferin );,,Principiul includerii i excluderii i aplica ii (o conferin );,,Numere lui Catalan (o conferin ); prof. univ. dr. Constantin Popovici (Universitatea din Bucure ti),,infinitatea numerelor prime de forma 4k 1, 4k+1, 6k 1, 6k+1 (o conferin );,,Inele factoriale (o conferin ); prof. univ. dr. Doru tef nescu (Universitatea din Bucure ti),,inegalit i privind polinoamele i aplica ii (o conferin ); prof. univ. dr. Adrian Albu (Universitatea de Vest din Timi oara),,contraexemplul în matematic. Probleme de independen în matematic (dou conferin e);,,euler 300 (o conferin ); prof. univ. dr. Miron Oprea (Universitatea Petrol i Gaze din Ploie ti),,aplica ii ale algoritmului lui Euclid (o conferin ); prof. univ. dr. Dorel Duca (Universitatea Babe -Bolyai din Cluj),,Generaliz ri ale punctelor de optim (dou conferin e);,,condi ii de eficien cu ipoteze de derivabilitate asupra func iei (o conferin ); prof. univ. dr. Horea Banea (Universitatea Transilvania din Bra ov),,generalizarea no iunilor de derivat i integral (o conferin );,,Rolul problemelor (o conferin ); conf. univ. dr. Drago Popescu (Universitatea din Bucure ti),,teorema lui Pick (o conferin );,,Func ii aritmetice (o conferin );,,Aplica ii ale problemei poliedrale a lui Euler (o conferin ); conf. univ. dr. Radu Miculescu (Universitatea din Bucure ti),,aplica ii ale formulei lui Taylor (o conferin ); conf. univ. dr. Eugen P lt nea (Universitatea Transilvania din Bra ov),,asupra unei probleme de num rare ; conf. univ. dr. Andrei Vernescu (Universitatea Valahia din Târgovi te),,viteza de convergen a irurilor de numere reale (o conferin ). Înainte de a încheia vom mai face o ultim observa ie: în decursul celor 11 edi ii desf urate din 1997 i pân în prezent, s-a conturat un nucleu de profesori care, cu perseveren i interes, particip an de an la aceste cursuri, jucând un rol important ca ferment activ în popularizarea lor pe de o parte iar pe de alt parte ne oblig s diversific m subiectele conferin elor pentru a nu genera repetativitate. Pentru a da un exemplu, în acest sens (în afara liderului de necontestat, prof Vasile Nechita) vom aminti c anul acesta am acordat o nou diplom de fidelitate (pentru prezen a la apte edi ii consecutive ale cursurilor), doamnei profesoare Elena Chirea de la Liceul teoretic Nicolae B lcescu din Medgidia. O felicit m pe aceast cale, atât pe domnia sa i pe to i ceilal i,,veterani ai cursurilor i îi asigur m c vom face, pe viitor, tot ce este posibil pentru a le men ine interesul mereu treaz prin tematica abordat. 340

87 ceilal i,,veterani ai cursurilor i îi asigur m c vom face, pe viitor, tot ce este posibil pentru a le men ine interesul mereu treaz prin tematica abordat. În final, mai trebuie s adres m mul umirile noastre sincere domnului profesor Nicolae Angelescu inspector general adjunct la I..J. Prahova i doamnei profesoare Mirela Dobrea directoare a Grupului colar Ion Kalinderu din Bu teni pentru sprijinul deosebit acordat în buna organizare i desf urare a acestor cursuri. Acestora i multor altora, anonimi, le exprim m gratitudinea noastr. Absolven ii cursurilor colii de var de la Bu teni, edi ia 2007, împreun cu profesorii Alexandru Popescu-Zorica, Dan Radu i Eugen P lt nea Lista absolven ilor cursurilor de perfec ionare pentru profesorii de matematic, organizate de S.S.M.R. Bu teni, 29 iulie-8 august 2007 Dan Radu 1. Agapi Maria c. cu clasele I-VIII nr.2 George C linescu One ti 2. Andrei Dumitru Mihai Gr. c. Agricol Palas Constan a 3. Ababei Constantin c. cu clasele I-VIII Mihai Eminescu Roman 4. Ababei Elena c. cu clasele I-VIII Mihai Eminescu Roman 5. Bursuc Ion Col. de Informatic Spiru Haret Suceava 6. Bejan Cornelia Livia Universitatea Tehnic Gheorghe Asachi Ia i 7. Chirea Elena Lic. Teoretic Nicolae B lcescu Medgidia 8. Cost chescu M rioara Lic. cu Program Sportiv Roman 9. Cr ciun Dorinel Mihai Lic. Teoretic Mihail Sadoveanu Pa cani 10. Dinc Sanda Mihaela Gr. c. Industrial Metalurgic Slatina 11. Deac nu Nicoli a Lic. Teoretic Ioan Petru Otopeni 12. Doinaru Mihaela Marcela Col. Mihai Cantacuzino Sinaia 13. Duma Iuliana Col. Na. Vasile Alecsandri Gala i 14. Duma Vasile c. Gimnazial nr. 26 Ion Creang Gala i 15. Filip Maria Lic. Teoretic Ioan Petru Otopeni 16. Fren Angela Col. Tehnic Feroviar Bra ov 17. Georgescu Miori a Col. Na. Anastasescu Ro iorii de Vede 18. Georgescu Anton-Savel Col. Na. Anastasescu Ro iorii de Vede 19. Gavrilu Mihai Col. Na. Roman Vod Roman 20. Jecan Mihaela Doina Lic. Teoretic Mihai Eminescu Cluj 21. Marinescu Damian c. Tudor Vladimirescu Târgovi te 22. Meciu Eugenia Ana c. cu cl. I-VIII Alexandru Vaida Voievod Cluj 23. Mih e Maria Col. Tehnic Danubiana Roman 24. Nechita Vasile Col. Costache Negruzzi Ia i 25. Nour MAria c. cu clasele I-VIII nr. 41 Gala i 26. Oleniuc Claudia Gr. c. Virgil Madgearu Ia i 27. Oleniuc Mariana c. cu clasele I-VIII Bl ge ti Ba cani 28. Popa Filofteia c. cu clasele I-VIII nr. 12 Târgovi te 29. Popescu Claudia Lic. Teoretic Mihail Sadoveanu Pa cani 341