Hringfari Föll og ferlar

Transcription

1 Kristján Einarsson Hringfari Föll og ferlar

2 ii Hringfari: Föll og ferlar Kristján Einarsson Útgáfa bókarinnar er styrkt af Þróunarsjóði námsgagna 1. útgáfa 2016 Bók þessa má afrita og dreifa að vild.

3 FÖLL OG FERLAR iii Efnisyfirlit 1 Stæður og jöfnur 1 1.A Stæður B Tölur C Óþekktar stærðir D Einföldun E Jöfnur F Einangrun Breytistærðir og ferlar 25 2.A Punktarit B Hnitakerfið C Úr punktum yfir í línur D Ferlar og lýsingar E Línuleg líkön F Línulegur vöxtur Línur 41 3.A Línur og strik B Lóðréttar og láréttar línur C Hallatala D Jafna línu E Fallgildi og forskriftir F Fallaleikir

4 iv 4 Línulegt og ólínulegt 57 4.A Meiri æfing með föll B Línuleg og ólínuleg föll C Liðun D Svigar E Ferningsrót F Einföldun með ferningsrótum Margliður 77 5.A Skilgreining margliðu B Núllstöðvar C Samoka- og ferningsreglurnar D Ágiskunaraðferðin E Að teikna fleygboga F Að þekkja fleygboga Annars stigs jöfnur 97 6.A Jákvæð og neikvæð lausn B Að fylla í ferninginn C Almennar lausnir annars stigs jöfnu D Aðgreinirinn E Skurðpunktar F Nokkur dæmi Lausnir 115 Íslensk - ensk Atriðisorðaskrá 135 Ensk - íslensk Atriðisorðaskrá 137

5 FÖLL OG FERLAR v Að nota þessa bók Í þessari bók eru mörg verkefni fyrir þig að leysa, því við lærum oft betur með því að vinna með hugtökin sjálf en að láta segja okkur frá þeim. Það er því mjög mikilvægt að þú vinnir þessi verkefni vel og gangir vel frá lausnunum þínum. Þannig verður þægilegt að fletta aftur upp því sem þú hefur gert áður og rifja upp atriði sem þú hefur lært. Í sumum verkefnanna áttu að skrifa niður hugsanir þínar og hugmyndir um lausnir. Þetta er góður siður að hafa jafnvel þar sem ekki er beðið um það sérstaklega. Skrifaðu því niður litlar glósur um það sem þú hefur lært. Hafðu í huga að þú ert að skrifa í verkefnabókina þína fyrir þig og hugsaðu hvað væri gott fyrir þig að lesa þegar þú rifjar efnið upp seinna. Svo ekki hugsa um verkefnabókina þína bara sem bók með reikningum, heldur bók með lausnum og hugsunum þínum þegar þú leystir dæmin. Verkefnin í bókinni leggja áherslu á samvinnu. Sum verkefnanna eru hópaverkefni, en það er líka gott fyrir þig að vinna önnur verkefni með því að ræða við samnemendur um lausnina. Berið saman lausnirnar ykkar og ræðið hvað virkar og hvað virkar ekki og af hverju. Þegar við lærum ný hugtök eins og við gerum í þessari bók, þá er gott að ræða þau upphátt því það getur fengið þig til að hugsa um þau með nýjum hætti.

6 vi Tákn Verkefni merkt með þessu tákni vinnurðu í kennslustund því þeim fylgja blöð sem kennarinn lætur þig hafa. Þessi verkefni krefjast þess að þú notir forritið geogebru sérstaklega. Ef þú þarft að opna ákveðið skjal í geogebru þá er það tekið fram. Fylgiskjöl Öll fylgiskjöl sem þarf að nota með þessari bók má einnig finna á síðu hennar. Lausnir Aftast í bókinni eru lausnir á völdum verkefnum svo þú borið þær saman við þínar lausnir. An athugaðu að lausnirnar sem eru gefnar hér eru sjaldnast fullnægjandi lausnir á verkefnum, heldur gefa aðeins til kynna hvort lokaútkoman þín er rétt. Ekki er gefin lausn á öllum verkefnum. Í bókinni er lögð áhersla á að þú lærir að athuga útkomurnar þínar með öðrum leiðum og hugsir um þær með gagnrýnum hætti. Til dæmis skaltu venjast því að athuga þínar eigin lausnir á jöfnum. Einnig þegar þú teiknar ferla eða annað slíkt geturðu athugað lausnirnar í tölvu. Svo seinna í bókinni eru færri lausnir á verkefnum því þú skalt hafa þjálfast í því að athuga lausnirnar upp á eigin spýtur. Atriðisorðaskrár Aftast í bókinni finnurðu atriðisorðaskrá. Þá er þér bent á hvar ákveðin atriðisorð koma fyrir fyrir í textanum. Einnig er gefin þýðing hugtakanna á ensku, sem getur hjálpað ef þú vilt leita að frekari útskýringum á netinu.

7 FÖLL OG FERLAR 1 Kafli 1 Stæður og jöfnur 1.A Stæður Skilgreining 1.1 Stæða er samsetning talna, breyta og reikniaðgerða. Dæmi um stæður eru t.d.: 4 + 5, 5( ) og 2x 4 5x 7. Skilgreining 1.2 Jafnaðarmerkið (=) táknar að tvær stæður séu jafngildar. 1.A.1 Búðu til sanna fullyrðingu með því að setja rétt tákn (+,, = eða tölu) í auðu reitina. a) b) = + 3 c) 17 8 = 13 d) 3 5 = 10 2 e) f) 6 + = 7 = 6 g) h)

8 2 Kafli 1: Stæður og jöfnur Sýnidæmi 1.1 Reiknum út úr þessum stæðum og tökum eitt skref í einu. a) = = 19 b) = = 70 3 = A.2 Reiknaðu út úr þessum stæðum og taktu eitt skref í einu. a) c) b) d) 8/4 21/3 Þegar reiknað er úr stæðum skal fylgja forgangsröð aðgerða. I. Svigar II. Veldi og rætur III. Margföldun og deiling IV. Samlagning og frádráttur Sýnidæmi 1.2 Reiknum út úr þessum stæðum og sýnum milliskref. a) = = 21 b) / /2 = = 18 4 = 14

9 1.A Stæður 3 1.A.3 Reiknaðu út úr þessum stæðum með því að sýna öll milliskref a) b) c) 2 (3 + 8) d) 2 (3 + 8) 1.A.4 Skrifaðu stæðu sem sýnir hvernig á að reikna út upphæðina sem myntirnar gefa, reiknaðu svo út úr stæðunni með því að sýna milliskref. a) b) c) Þegar við skrifum stæðu eins og táknar það nákvæmlega það sama og stæðan (7 + 3)/(9 4). Þ.e. það að setja stæðu sem nefnara eða teljara í svona broti táknar bara að hún á að vera í sviga og því reiknað úr henni áður en deilt er = 10 5 = 2 1.A.5 Reiknaðu út úr þessum stæðum og sýndu öll milliskref. a) b) (3 + 8) c) A.6 Reiknaðu út úr þessum stæðum með því að sína milliskref. a) b) 5 6 (8 + 2) 1.A.7 Reiknaðu út úr þessari stæðu með því að sýna öll milliskref. 2(8 2 1) 3

10 4 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.A.8 Megas fékk eftirfarandi leiðbeiningar: Taktu töluna 3, margfaldaðu með 4, dragðu 6 frá og deildu loks með 2. Þegar kennarinn fór yfir verkefnið hafði Megas skrifað þetta: 1.A = 12 6 = 8/2 = 4 a) Kennarinn var ekki ánægður með lausnina og sagði hana ranga þó lokasvarið sé rétt. Hvers vegna? b) Hvernig gætir þú gert betur en Megas? c) Af hverju skiptir það máli að við gerum ekki villur eins og Megas gerði þarna? Reiknaðu út úr þessum stæðum og sýndu öll milliskref. a) b) 8 (3 + 5) c) 2 + (7 4) 2

11 1.B Tölur 5 1.B Tölur Skilgreining 1.3 Heilar tölur eru tölurnar... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... Heil tala n er deilanleg með heilu tölunni a ef hægt er að skrifa n sem margfeldi af a. n = a b. Þar sem b er líka heil tala. Þá er sagt að a gangi upp í n. Með öðrum orðum er n deilanleg með a ef hægt er að deila n í a og útkoman er heil tala, n a = b. 1.B.1 Finndu allar tölur sem ganga upp í 12. Það er finndu allar tölur sem 12 er deilanleg með. Skilgreining 1.4 Heil tala sem er stærri en 1 kallast frumtala eða prímtala ef hún er aðeins deilanleg með 1 og tölunni sjálfri. Sýnidæmi 1.3 Athugum hvort tölurnar eru frumtölur eða ekki. a) er ekki frumtala þar sem t.d. 3 4 = 12 b) 5. 5 er frumtala þar sem einu tvær tölurnar sem gefa margfeldið 5 eru 1 og hún sjálf. 1 5 = 5.

12 6 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.B.2 Sýndu fram á að þessar tölur eru ekki frumtölur með því að skrifa þær sem margfeldi tveggja talna. a) 15 c) 33 e) 2016 b) 42 d) 81 f) B.3 Finnum frumtölurnar frá 1 upp í 100. a) Teiknaðu mynd eins og þessa til þess að leysa verkefnið Strikaðu nú yfir þær tölur sem eru ekki frumtölur með því að fylgja þessum leiðbeiningum: Fyrst, 1 er ekki frumtala. 2 er frumtala en öll margfeldi af 2 eru ekki frumtölur, svo þú getur strikað yfir 4, 6, 8, 10, 12 o.s.frv. 3 er þá frumtala en þú getur strikað yfir 6, 9, 12, 15, 18 o.s.frv. Haltu svona áfram þar til aðeins frumtölur eru eftir. b) Það eru 25 frumtölur á milli 1 og 100. Skrifaðu þær niður.

13 1.B Tölur 7 Regla 1.1 Sérhverja náttúrulega tölu má rita á einn og aðeins einn hátt sem margfeldi frumtalna. Þetta kallast að frumþátta töluna. Það er hægt að fara ýmsar leiðir til þess að finna frumþáttunina, en hér er átt við að það er aðeins ein möguleg útkoma. Sýnidæmi 1.4 Frumþáttum tölurnar. a) Frumaþáttaðu töluna = 2 12 = = = Svo 24 = b) Frumþáttaðu töluna = 2 21 = Svo 42 = c) Frumþáttaðu töluna = = = = = Svo 3150 = Athugaðu að við erum aðallega að æfa okkur í framsetningu hér. Svo skoðaðu vel hvernig við notum jafnaðarmerkið. 1.B.4 Frumþáttaðu þessar tölur: a) 18 b) 60 c) 100 d) 51

14 8 Kafli 1: Stæður og jöfnur Til að fullstytta almenn brot er hjálplegt að nota frumþáttun. Sýnidæmi 1.5 Fullstyttum brotið nefnara. með því að frumþátta bæði teljara og 154 = 2 77 = = = = = Svo ef við setjum brotið upp aftur og styttum út þættina fæst: = = = = B.5 a) Fullstyttu þessi brot: 70 8 b) c) 6 9 d) B.6 1.B.7 Skilaðu útkomunni sem fullstyttu broti: a) b) Frumþáttaðu þessar tölur: c) d) a) 27 b) 441 c) 252 d) B.8 Notaðu frumþáttun til þess að fullstytta þessi brot. a) 34 b) c) d)

15 1.C Óþekktar stærðir 9 1.C Óþekktar stærðir 1.C.1 Reiknaðu eftirfarandi fyrst í huganum: Hugsaðu þér tölu, margfaldaðu hana með 2, dragðu frá 3, dragðu upphaflegu töluna frá, leggðu svo við 5 og dragðu loks 2 frá. a) Hvaða tölu valdirðu og hver var útkoman? b) Skrifaðu stæðu fyrir alla útreikningana þína. Reiknaðu út úr stæðunni með því að sýna milliskref. c) Prófaðu sömu reikninga í huganum með annarri tölu, og svo enn annarri. Komdu með tilgátu um mynstrið sem myndast. d) Veldu þér eitthvað tákn fyrir töluna og skrifaðu almenna stæðu. Það skiptir ekki máli hvaða tákn við notum fyrir óþekktar stærðir. Nema að sjálfsögðu má ekki velja táknin; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +,,, / eða π því þau eru frátekin. Flest annað gengur, þið getið reiknað stæður með,,,, eða en þægilegra er að nota tákn sem við erum vön að teikna, bókstafina. Við getum notað hvaða bókstafi sem við viljum en það er þægilegt að halda í hefðir. Algengast er að nota x, y, z eða a, b, c, d. n og m eru oft notaðir fyrir heilar tölur. Þegar fer að vanta fleiri tákn sækja stærðfræðingar oft í gríska stafrófið og nota tákn eins og α (alfa), β (beta), θ (þeta) eða ϕ (fí). Sýnidæmi 1.6 Finnum gildi stæðunnar þegar = 2 Ef = 2 þá er = = = 23

16 10 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.C.2 Finndu gildi stæðunnar fyrir gefið gildi: a) Hvað er 3A 5 þegar A = 4? b) Hvað er 18 3 þegar = 5? c) Hvað er 5β 3 + 2β þegar β = 8? d) Hvað er 4Ψ + 2 3Ψ + 2 þegar Ψ = 6? e) Hvað er 2x 2 3x + 4 þegar x = 3? Þegar við sleppum því að skrifa reikniaðgerð er alltaf átt við margföldun. Þannig er t.d. 3x lesið þrjú ex og táknar það 3 x. Einnig táknar 3(x + 2) það sama og 3 (x + 2). 1.C.3 a) Hvernig má tákna að við töluna x hafi verið bætt 5? b) Hvernig má tákna að stærðin u hafi verið helminguð? c) Hvernig má tákna að stærðin v sé þrefölduð og svo 5 dregnir frá? d) Hvernig má tákna að við töluna a sé bætt 3, svo sé útkoman fimmfölduð? e) Hvernig á tákna að tölurnar a, b og c séu lagðar saman, deilt í útkomuna með 6 og svo lagðir 2 við útkomuna? 1.C.4 Látum x = 3A 2(a + 5) a) Finndu x ef A = 2 og a = 5 b) Finndu x ef A = 3 og a = 3 c) Finndu x ef A = 1 og a = 5 d) Finndu x ef A = 4 og a = 10

17 1.C Óþekktar stærðir 11 1.C.5 Willys jeppinn hans afa er fastur í 2. gír og kemst ekki hraðar en 47 km klst a) Hvað hefur hann keyrt langt eftir 1 klst? b) En eftir 3 klst? c) En eftir 100 klst? d) En eftir x klst? e) Ályktaðu hvað afi er lengi frá Akureyri til Reykjavíkur (388 km)? Ef finna á mörg ólík gildi fyrir sömu stæðuna er þægilegast að setja upp gildistöflu Sýnidæmi 1.7 Gerum gildistöflu fyrir y = 3x 5 þar sem x fer frá 4 upp í 4. x 3 x 5 y -4 3 ( 4) 5 = 12 5 = ( 3) 5 = 9 5 = ( 2) 5 = 6 5 = ( 1) 5 = 1 5 = = 0 5 = = 3 5 = = 6 5 = = 9 5 = = 12 5 = 7 7 Þegar við setjum neikvæða tölu í stað óþekktrar breytu verðum við að muna að setja sviga um hana.

18 12 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.C.6 Gerðu gildistöflur fyrir þessar stæður þar sem x gengur frá 3 upp í 3. a) y = 2x + 5 b) s = 5x + 7 c) v = 2(x + 4) 7 d) p = 1 3x 4 1.C.7 Finnið gildi stæðanna fyrir gefið gildi, sýnið öll milliskref: a) Hvað er R = 5 4 þegar = 7? b) Hvað er Φ = 2ϕ + 2(3 + ϕ 3 ) þegar ϕ = 3 c) Hvað er y = x x þegar x = 7 2x 4 1.C.8 Gerðu gildistöflur fyrir þessar stæður þar sem x gengur frá 5 upp í 5. a) y = 0,4x + 3,2 b) y = 1 3 x + 2 5

19 1.D Einföldun 13 1.D Einföldun Þegar við höfum stæðu með óþekktri stærð er engin ein útkoma. En við getum einfaldað stæðuna. Sýnidæmi 1.8 Einföldum stæðuna 4x + 15 x y. Við getum raðað liðunum upp á nýtt til þess að sjá betur hvað þarf að gera. 4x + 15 x y = } 4x {{ } x +6y + 15 } {{ 7 + } 2 3x 10 4x x getum við umritað sem x + x + x + x x = x + x + x = 3x. Í orðum: Ef við drögum eitt ex frá fjórum exum þá eru eftir þrjú ex. Þar sem það er bara einn liður sem inniheldur y þá getum við ekkert einfaldað hann frekar. Svona setjum við svarið okkar fram með milliskrefum: 4x + 15 x y = 4x x + 6y = 3x + 6y D.1 Einfaldaðu þessar stæður með því að sýna milliskref: a) 10 + a c) 1 + 2x 3 4x x 7 8x b) 3 + 5a 2 2b + 3a d) 3y 6x + 7y 3z + 5y 8z + 1

20 14 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.D.2 Sýndu fram á að þessar stæður hafi verið einfaldaðar rétt með því að sýna útreikninga. Ein þeirra var ekki einfölduð rétt, leiðréttu þá villu. a) 4x 5x + 6x 1 = 5x 1 b) 6 4a b + 5a b = 7 9a + 2b c) k 3k k = 9 d) = D.3 Reiknaðu eftirfarandi í huganum: Hugsaðu þér tölu, margfaldaðu hana með 2, leggðu 6 við, dragðu upphaflegu töluna frá, bættu við 5, dragðu að lokum 10 frá. a) Hvaða tölu valdirðu og hver var útkoman? b) Skrifaðu stæðu og sýndu öll milliskref fyrir þína útreikninga. c) Prófaðu sömu reikninga í huganum með annarri tölu, og svo enn annarri. Komdu með tilgátu um mynstrið sem myndast. d) Veldu þér eitthvað tákn fyrir töluna, skrifaðu upp almennu stæðuna fyrir reikningana. Einfaldaðu síðan stæðuna með og sýndu milliskref. 1.D.4 Einfaldaðu stæðurnar eða taktu fram ef það er ekki hægt að einfalda þær. a) 17a + 3b 8a b) (3 + 8)y + (1 + 4)x c) 3 + 2(3 + 7)y x d) 2000g + 21d 663g + 21d e) 3ψ 3ϕ 6γ 6ε + 5ϕ + 7ε f) 5ab + 7ab + 5x g) 3x y 7x + 5y + 5 h) 3xx 7x + 5x + 5 i) 2x 2 + 8x 3x 12

21 1.D Einföldun 15 1.D.5 a) 8x 4 b) Einfaldaðu þessar stæður eins og hægt er: 3(2x + 9x) 3 c) d) 5(x + 2) 5 7(a + b) 14 1.D.6 Prófaðu að flækja þessar stæður. Skrifaðu stæðu sem hægt er að einfalda og sjá að hún er jafngild. Hversu flókna stæðu getur þú búið til? a) 4x 5 c) 3ab 5a + 5 b) 18x 15a d) 1 1.D.7 Reiknaðu út úr stæðunum með því að sýna öll milliskref. a) c) 10 3(5 2) b) 3(5 1) 2 d) (3 + 2)(12 3) 1.D.8 Einfaldaðu þessar stæður eins og hægt er. a) 65x x 17 c) 6a 10A + 9a + 6A + 10a 7 b) 18u + 2u 3 + 5u d) 5A 8a + 6B 10a + b 8b + A 1.D.9 a) 17a 17 b) Einfaldaðu þessar stæður eins og hægt er. 5(7x 4 + 6x) 5 c) d) 5 3(2x + 8) 6 7(9 2x) 35

22 16 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.E Jöfnur Það að leysa jöfnu, eins og 12 x = 5, er að finna hvaða gildi óþekkta stærðin þarf að taka svo jafnan verði sönn. Fyrir þessa jöfnu má sjá að hún er sönn þegar x tekur gildið 7. Við segjum því að lausn jöfnunnar sé x = 7. 1.E.1 Athugaðu með útreikningum hvort eftirfarandi fullyrðingar eru réttar eða ekki. a) x = 9 er lausn á jöfnunni 2x 7 = 8 b) x = 5 er lausn á jöfnunni 6 + 2x = 4 c) x = 8 er lausn á jöfnunni 2 x = 6 d) x = 1 er lausn á jöfnunni (x + 1)(8 2x) = 12 e) x = 2 er líka lausn á jöfnunni (x + 1)(8 2x) = 12 Í okkar umfjöllun er það þó alls ekki nóg að segja bara hver lausnin sjálf er. Við þurfum að sýna lausnaraðferðina (útreikninga) og athuga lausnina. Með því að sýna lausnaraðferðina er átt við að sýna þarf öll milliskref, hvernig jafnan er einfölduð þar til lausnin er ljós. Með því að athuga lausnina er átt við að setja lausnina inn í stað óþekktu stærðarinnar og athuga hvort hún uppfylli í raun upphaflegu jöfnuna.

23 1.E Jöfnur 17 Til þess að kunna að leysa jöfnur þarf lítið að muna, annað en það að til þess að jafnan sé sönn þarf að framkvæma sömu reikniaðgerðina beggja vegna jafnaðarmerkisins. Hér er allt hugsunarferlið sem dugar við að leysa jöfnur: 1. Skoðaðu vel stæðurnar hvoru megin við jafnaðarmekið. 2. Finndu hvaða reikniaðgerð myndi einfalda stæðurnar og framkvæmdu hana beggja vegna. Aðeins fjórar koma núna til greina: Leggðu sömu töluna við beggja vegna. Dragðu sömu töluna frá beggja vegna. Margfaldaðu með sömu tölunni beggja vegna. Deildu með sömu tölunni beggja vegna. 3. Ef x er ekki einangrað núna, farðu aftur í skref 1. Sýnidæmi 1.9 Leysum jöfnurnar. a) 2x + 3 = 11 2x + 3 = 11 drögum 3 frá beggja vegna 2x = 11 3 einföldum 2x = 8 deilum í báðar hliðar með 2 2x 2 = 8 einföldum 2 x = 4 Svo lausnin er x = 4 Athugum: = = 11 svo lausnin er rétt.

24 18 Kafli 1: Stæður og jöfnur b) x + 7 = 3 2 x + 7 = 3 2 margföldum í beggja vegna 2 2 x + 7 = einföldum x + 7 = 6 drögum 7 frá beggja vegna x = 6 7 x = 1 Svo lausnin er x = 1 Athugum lausnina: einföldum = 6 = 3 svo lausnin er rétt. 2 Hér sýndum við alveg öll milliskrefin. Venjan er þó að sleppa því að skrifa þau skref sem eru hér grá því þau eru einföld. En fyrir þá sem eru að æfa sig í jöfnulausnum er gott að skrifa þau með. 1.E.2 Leystu þessar jöfnur með því að sýna lausnaraðferðina, og mundu að athuga svo lausnina: a) x + 8 = 17 b) 5x = 65 c) 23 x = 15 d) x 7 = 21 1.E.3 Jöfnur eins og 3x + 2 = 2x + 6 má setja fram myndrænt svona: a) Leystu jöfnuna. Hvað eru pokarnir þungir? b) Athugaðu lausnina með því að reikna út þyngdina á hvorri hlið fyrir sig.

25 1.E Jöfnur 19 1.E.4 Fyrir hverja af eftirfarandi vogum skaltu: Setja upp jöfnu sem lýsir jafnvæginu, leysa þessa jöfnu með því að sýna milliskref og athuga að lokum lausnina þína. a) c) b) d) Reyndu að sjá hvert milliskref sem þú tekur myndrænt. Sjáðu að við verðum að gera það sama beggja vegna til að halda jafnvæginu. Ein myndin hér að ofan sýnir ekki raunverulegar aðstæður, en ef jafnan er rétt sett upp ætti lausnin á henni samt fræðilega að ganga upp. Það verður algert bannorð í þessum áfanga að tala um að nokkuð sé fært yfir jafnaðarmerkið. Ef við færum eitthvað frá einni hlið vogarinnar yfir á hina þá missum við jafnvægið. Því hefur það enga merkingu í jöfnulausnum að færa hluti til.

26 20 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.E.5 Leystu jöfnurnar. (Sýndu milliskref og athugaðu lausnina). a) 5 + 6x = 29 c) 2 (x 5) = 42 b) x = 3 d) 5(x + 7) = E.6 Leystu eftirfarandi jöfnur: a) x 8 = 128 b) x 5 8 = 128 c) x 6 6 = 6 d) x 6 6 = 6 Sýnidæmi 1.10 Leysum jöfnuna 6x 5 = 4x x 5 = 4x x = 4x x = 22 x = 11 leggjum 5 við beggja vegna drögum 4x frá beggja vegna deilum með 2 beggja vegna Svo lausnin er x = 11. Athugum lausnina. Hægri hlið gefur : 6x 5 = = 66 5 = 61 Vinstri hlið gefur : 4x + 17 = = = 61 Svo lausnin er rétt. 1.E.7 Leystu þessar jöfnur: a) 5x + 7 = 4x 2 b) 5x 11 = 2x + 7 c) 3x + 2 = x 8 d) 3x + 7 = 5 2x

27 1.E Jöfnur 21 1.E.8 Leystu eftirfarandi jöfnur: a) 2x 1 = x + 2 b) 3x 4 = x + 2 c) 4x 7 = x + 2 d) 5x 10 = x + 2 e) Hver gæti næsta jafna átt að vera og hver væri lausnin? Gerðu tilgátu um hvað er hér að gerast og prófaðu hana. 1.E.9 Leysið eftirfarandi jöfnur með því að sýna öll milliskref og prófið svo lausnina ykkar. a) x + 7 = 63 b) 5x = 105 c) x 204 = 4 d) x 7 = 77 1.E.10 Leysið eftirfarandi jöfnur með því að sýna öll milliskref og prófið svo lausnina ykkar. a) 3x + 5 = 17 b) 7 = 24 3x c) 3x + 7 = 2x + 12 d) 4(x + 2) = 28 e) 3x 2 5 = 2

28 22 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.F Einangrun Við getum leyst einfaldar jöfnur án þess að lenda í miklum vandræðum. Sýnidæmi 1.11 Leysum jöfnuna 4x + 7 = 5 4x + 7 = 5 4x = 2 x = 2 4 = 0,5 1.F.1 Leystu þessar jöfnur: a) 5x + 7 = 22 b) 5x + 7 = 37 c) 5x + 7 = 18 d) 5x + 7 = 7 En þarna sérðu að lausnaraðferðin er alltaf sú sama. Við gætum sparað okkur nokkra vinnu með því að leysa jöfnuna einu sinni almennt og nýta okkur þá lausn. Þetta kallast að einangra breytuna. Þegar við höfum leyst jöfnur hingað til höfum við vissulega verið að einangra x, en það þarf ekki að vera að lausnin okkar verði tala, lausnin gæti verið stæða með annarri óþekktri breytu. Við notum allar sömu aðferðir og áður.

29 1.F Einangrun 23 Sýnidæmi 1.12 Einangrum x í jöfnunni 4x + a = 5 4x + a = 5 4x = 5 a x = 5 a 4 Drögum a frá beggja vegna Deilum með 4 beggja vegna 1.F.2 Einangraðu x í jöfnunni 5x + 7 = a. 1.F.3 a) Leystu jöfnuna x+7 5 = 2 b) Leystu jöfnuna x+7 5 = 100 c) Leystu jöfnuna x+7 5 = 3 d) Einangraðu x þegar x+7 5 = y e) Prófaðu núna að finna lausnina á x+7 5 = 4 með því að nota lausnina þína á d)-lið beint. 1.F.4 Einangraðu x í eftirfarandi jöfnum: a) x + a = b b) x a = b c) ax = b d) x a = b 1.F.5 Einangraðu a í eftirfarandi jöfnum: a) x + a = b b) x a = b c) ax = b d) x a = b 1.F.6 1.F.7 Einangraðu x í jöfnunni ax + b = c Einangraðu x í jöfnunni x+a b = c

30 24 Kafli 1: Stæður og jöfnur 1.F.8 Leystu þessar jöfnur: a) 4x + 5 = 7 b) 5x 9 = 18 c) 3x + 8 = 30 1.F.9 Einangraðu x í þessum jöfnum: a) 4x + 5 = a b) 5x a = 18 c) ax + 8 = 30 1.F.10 Gefin er jafnan x k + s = y a) Einangraðu x úr jöfnunni. b) Einangraðu s úr jöfnunni. c) Einangraðu k úr jöfnunni. 1.F.11 Einangraðu x í jöfnunni ax+b c = d

31 FÖLL OG FERLAR Kafli 2 Breytistærðir og ferlar 2.A Punktarit 2.A.1 Beðið eftir strætisvagninum 7 manns standa og biða eftir strætisvagninum. Aldur Hæð Þessum manneskjum má lýsa með punktaritinu við hliðina þar sem hver punktur stendur fyrir eina af manneskjunum. Teiknaðu punktaritið og segðu hvaða manneskja á við hvaða punkt. Ræddu þetta við sessunauta þína og berið svörin ykkar saman. Þegar þú hefur sannfærst um að þín lausn sé rétt skaltu líka skrifa stutta lýsingu á því hvernig farið er að. 25

32 26 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar 2.A.2 Tvö símtæki Hér sjáum við nokkur punktarit sem bera saman tvær gerðir af símum, A og B: Verð B A Þyngd A Aldur Skjástærð Innbyggt minni a) Af fyrsta punktaritinu má lesa að sími B er dýrari en sími A. Má lesa nokkuð fleira af því? B Rafhlöðuending b) Hvort eru eftirfarandi setningar sannar eða ósannar? i) Eldri síminn er dýrari. ii) Þyngri síminn er með stærri skjá. iii) Dýrari síminn er þyngri. iv) Rafhlaðan endist lengur í eldri símanum. c) Teiknaðu aldurs-þyngdar punktarit fyrir A og B. Það þýðir að aldur er á lóðrétta ásnum en þyngdin á lárétta. d) Teiknaðu skjástærðar-þyngdar punktarit fyrir A og B. e) Nú skaltu ákveða hvað sími A er gamall. Miðað við það sem þú ákvaðst, hvað ætti sími B að vera gamall? Haltu svona áfram og veldu gildi fyrir verð, skjástærð, þyngd, innbyggt minni og rafhlöðuendingu símanna tveggja. Gildin eiga að vera í samræmi við punktaritin. Skrifaðu öll gildin í töflu. f) Notaðu nú gildin sem þú valdi í e)-lið til þess að teikna þessi punktarit fyrir A og B. Þú þarft að passa að merkja ásana með gildum og hafa þá í réttu hlutfalli. i) Rafhlöðuendingar-verðs punktarit. ii) Innbyggðs minnis-aldurs punktarit iii) Þyngdar-rafhlöðuendingar punktarit iv) Verðs-skjástærðar punktarit A B

33 2.B Hnitakerfið 27 2.B Hnitakerfið Skilgreining 2.1 Við köllum hnit punkts x-hnit og y -hnit P = (x, y ) Samsvarandi ása í hnitakerfinu köllum við x-ás og y -ás. y P x Athugaðu að ef annað hnitanna er tugabrot þá getur það valdið vandræðum. Þá greinum við á milli hnita punktsins með semíkommu (;) frekar en kommu. Sýnidæmi 2.1 Finnum hnit punktanna A, B og C C A B 2 Við lesum af ásunum x-hnitin og y -hnitin. Þessir punktar eru því táknaðir svona: A = (5, 2), B = (5, 1) og C = (1,5; 3)

34 28 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar 2.B.1 Látum P = (2, 4) og Q = (2,5; 5). a) Hvert er x-hnit P? c) Hvert er x-hnit Q? b) Hvert er y -hnit P? d) Hvert er y -hnit Q? 2.B.2 Á hnitakerfið eru búið að merkja inn þessa punkta: P = (1, 2), Q = (5, 4) og R = (3, 2). Finndu hnit punktanna A, B, C, D og E 5 4 D Q B P A E R 2 C 3 2.B.3 Teiknaðu hnitakerfi og merktu þessa punkta inn á það: A = (5, 2), B = ( 2, 1), C = (3, 3), D = (5, 0), E = (2; 5,5) og F = (2,5; 5) 2.B.4 Útskýrðu í orðum hvernig á að merkja punktinn P = (1, 4) inn á hnitakerfi. Hugsaðu um nákvæmni, myndi þín útskýring duga ef þú værir að kenna einhverjum í gegnum síma?

35 2.B Hnitakerfið 29 Sýnidæmi 2.2 Búum til fjóra punkta (x, y ) hvers hnit uppfylla jöfnuna y = 2. Punktarnir geta t.d. verið (1, 2), (2, 2), (5; 2) og ( 3, 2). 2.B.5 Fyrir hverja jöfnu skaltu skrifa hnit fjögurra punkta (x, y ) sem uppfylla jöfnuna. a) x = 3 b) y = 2 c) x = 6 d) y = 0 2.B.6 Teiknaðu punktana 16 sem þú skrifaðir upp í síðasta verkefni inn á hnitakerfi. 2.B.7 Hvað kom í ljós í síðasta verkefni? Var einhver regla í því hvar punktarnir lentu? a) Mynduðu punktarnir sem uppfylla x = 3 eitthvað form? b) Hvar lentu punktarnir sem uppfylla y = 0? c) Hvar myndu punktarnir sem uppfylla x = 0 lenda? 2.B.8 Skrifaðu hnit fjögurra punkta (x, y ) sem uppfylla hverja af þessum jöfnum: a) y = x b) y = 2x c) y = x B.9 Teiknaðu punktana 12 sem þú skrifaðir upp í síðasta verkefni inn á hnitakerfi

36 30 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar 2.C Úr punktum yfir í línur 2.C.1 Fimm vinir voru að sækja fimm ólíkar skrár á netið og skráðu hjá sér hvað þær voru stórar og hve langan tíma það tók að sækja þær. Þessar upplýsingar skráðu þeir svo í punktaritið hér að neðan: Tími Njáll Kolskeggur Bergþóra Gunnar Hallgerður Gagnamagn a) Hver er með bestu tenginguna? Rökstuddu svar þitt vandlega. b) Hver er með slökustu tenginguna? Rökstuddu. c) Gæti verið að einhverjir séu með svipaða tengingu? Útskýrðu. 2.C.2 Segjum að Hallgerður hafi sótt 180 Mb skrá og það hafi tekið hana 15 sekúndur. a) Teiknaðu punktaritið í 2.C.1 og merktu ásana samkvæmt þessum upplýsingum.

37 2.C Úr punktum yfir í línur 31 b) Segðu nú til um hvað þau hin sóttu stóra skrá og hvað það tók þau langan tíma. c) Hvað myndi Njáll vera lengi að sækja 120 Mb skrá? d) En 180 Mb skrá? En 1024 Mb skrá? e) En hvað er Njáll lengi að sækja x Mb skrá? Þ.e. hvernig reiknar maður þetta almennt? Búðu til stæðu. f) En hvað er Hallgerður lengi að sækja x Mb skrá? g) En Bergþóra? 2.C.3 Þú ætlar að hringja í vinkonu þína. Startgjaldið er 12 kr. og mínútuverðið er 8 kr. Táknum kostnað með y og tíma með x. a) Gerðu gildistöflu fyrir nokkrar fyrstu mínúturnar. b) Hvað er y þegar x = 60? Sýndu hvernig þetta er reiknað út? Hvaða upplýsingar gefur þessi tala? c) Hvernig er y háð x? Settu fram jöfnu. d) Hvenær er kostnaðurinn kominn upp í 1000 krónur? Þ.e. finndu x þannig að y = Sýnidæmi 2.3 Teiknum feril fyrir jöfnuna y = 3x 5. Til þess að teikna feril þurfum við fyrst að hafa gildistöflu, svo við fyllum hana út:

38 32 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar x 3 x 5 y -4 3 ( 4) 5 = 12 5 = ( 3) 5 = 9 5 = ( 2) 5 = 6 5 = ( 1) 5 = 1 5 = = 0 5 = = 3 5 = = 6 5 = = 9 5 = = 12 5 = 7 7 Hver lína í gildistöflunni gefur okkur hnit á einum punkti (x, y ). Teiknum alla þessa punkta í hnitakerfi og teiknum svo ferilinn sjálfan í gegnum punktana C.4 Gefið er að y = 2x + 3, Gerðu gildistöflu þar sem x gengur frá 3 upp í 3 og teiknaðu feril. 2.C.5 Gefið er að y = 3 0,5x, Gerðu gildistöflu þar sem x gengur 3 upp í 3 og teiknaðu feril. 2.C.6 Teiknaðu feril fyrir y í 2.C.3

39 2.C Úr punktum yfir í línur 33 2.C.7 Hér sérðu feril sem lýsir sambandinu á milli tveggja breyta, x og y a) Hvað er y þegar x = 5? b) Hvað er y þegar x = 2? c) Hvað er x þegar y = 3? d) Hvað er x þegar y = 0? 2.C.8 Teiknaðu feril fyrir þessar jöfnur með því að gera fyrst gildistöflu. a) y = 3x + 2 b) y = 2x 7 5

40 34 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar 2.D Ferlar og lýsingar 2.D.1 Þið fáið afhent blað með 15 ólíkum ferlum. Veljið þann feril sem ykkur þykir passa best við hverja af þeim tíu aðstæðum sem lýst er hér að neðan. (Sumir ferlar gætu passað við fleiri en eina skýringu.) Í þína vinnubók átt þú að: Rissaðu upp ferilinn. Merktu ásana. Sýndu bæði hvaða mælieinginu hvor ás sýnir og hver eru gildin gætu verið á ásunum. Rökstyddu val ykkar með því að leggja skýrt fram allar ályktanir ykkar. Þetta geturðu gert með því að skrifa hvað er að gerast á hverjum hluta ferilsins. Ef þið finnið engan feril sem ykkur finnst passa, teiknið ykkar eigin. a) Vöruverð hækkar nú hægar en nokkurn tímann á síðustu fimm árum. b) Því minni sem kassarnir eru, því fleiri komum við í sendibifreiðina. c) Eftir tónleikana var grafarþögn. Svo byrjaði ein stelpa í salnum að klappa. Hægt og bítandi fóru þeir sem sátu í kring um hana að klappa líka þar til allir í salnum klöppuðu og fögnuðu. d) Mér þykir bæði köld og heit mjólk góð, en ég þoli ekki volga mjólk. e) Ef bíómiðar eru of ódýrir, þá tapa kvikmyndahúsin á rekstrinum. Ef þeir eru of dýrir mun færra fólk koma í bíó og kvikmyndahúsin tapa líka. Kvikmyndahúsin verða því að passa að rukka passlega fyrir bíómiðana til þess að græða. f) Hvernig breytist verð á kartöflupokum eftir þyngd þeirra? g) Hvernig breytist þvermál blöðru þegar loftinu er hleypt rólega úr henni?

41 2.D Ferlar og lýsingar 35 h) Hvernig er tíminn sem það tekur að hlaupa kapphlaup háður lengd hlaupsins? i) Hvernig breytist hraði stúlku sem er að róla sér? j) Hvernig breytist hraði bolta þegar hann skoppar eftir gólfinu? 2.D.2 Hvaða íþrótt Hvaða íþrótt gæti gefið af sér svona hraða-tíma feril? Hraði Tími Veldu þá sem þér þykir passa best og útskýrðu nákvæmlega hvernig hún passar við ferilinn. Fiskveiðar Spjótkast Stangarstökk 100 metra hlaup Fallhlífarstökk Golf Bogfimi Hástökk Klettadýfingar Ballskák (snóker) Vatnaskíði Kringlukast

42 36 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar 2.E Línuleg líkön Í áfanganum munum við skoða mikinn fjölda af ferlum. Það tekur nokkur tíma að teikna feril svo til þess að einfalda okkur verkið munum við notast mikið við forritið geogebru. Verkefni sem merkt eru svona krefjast þess að þið notið geogebru. 2.E.1 Notaðu geogebru til þess að teikna alla ferlana úr verkefnum 2.C.3, 2.C.4 og 2.C.5. Veldu ólíka liti fyrir ferlana. 2.E.2 1. janúar 2014 voru íslendingar talsins, en 1. janúar 2015 voru þeir (Heimild: Hagstofa Íslands) a) Ef við gerum ráð fyrir jöfnum vexti, hversu margir eru íslendingar 1. janúar 2016? b) En 2017? c) En 2025? d) Látum y tákna fjölda Íslendinga eftir x ár (þ.e. x ár frá árinu sem er núna). Settu fram jöfnu sem lýsir því hvernig má reikna y út frá x. e) Hvað ættu Íslendingar að vera margir eftir 50 ár? Þ.e. finndu y ef x = 50. f) Hvenær verða íslendingar talsins? Þ.e. finndu x þannig að y = Settu upp jöfnu og leystu. g) Hvenær voru íslendingar 0 talsins samkvæmt líkaninu? Settu upp jöfnu og leystu. h) Teiknaðu feril fyrir y í geogebru. Skalaðu ásan til svo hann sjáist vel. Vistaðu og skilaðu skránni á kennslukerfinu.

43 2.E Línuleg líkön 37 2.E.3 Grettir er 10 ára og 120 cm hár. Á sama tíma í fyrra var hann 113 cm. a) Ef Grettir heldur áfram að vaxa svona, hvað verður hann hár eftir 1 ár? b) En eftir tvö ár? c) Skrifaðu jöfnu fyrir y sem táknar hæð Grettis eftir x ár. d) Finndu y þegar x = 20 og túlkaðu svarið, hvað þýðir það, gæti það staðist? e) Leystu jöfnuna y = 185 og túlkaðu niðurstöðuna. f) Finndu y þegar x = 0 og túlkaðu niðurstöðuna. g) Teiknaðu feril fyrir y í geogebru. Skalaðu ásana til svo ferillinn sjáist vel. 2.E.4 Skoðaðu síðustu verkefni til þess að meta hversu góð líkönin eru. Er hægt að nota línufallið til þess að reikna langt fram í tímann? Gefur það áreiðanlegar útkomur? a) Í 2.C.3 b) Í 2.E.2 c) Í 2.E.3

44 38 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar 2.F Línulegur vöxtur Jöfnurnar sem við höfum unnið með nýlega eru nokkuð líkar. Þetta er engin tilviljun því við vildum vinna með línulegan vöxt, þar sem við reiknum með því að vaxtarhraðinn breytist ekki hjá okkur. Þetta á vissulega ekki alltaf við en er einfaldasta leiðin sem við höfum til þess að lýsa raunverulegum aðstæðum með jöfnu. Í eðlisfræði er oft gefin jafna fyrir stöðuna, s, á tímanum x. Þessi jafna er svona: s = s 0 + v x þar sem s 0 táknar stöðuna í upphafi og v táknar (vaxtar)hraðann. 2.F.1 Þorgeir hefur unun af því að keyra Löduna sína (Lada Sport 1200, árg. 1989). Hann hefur nú keyrt Löduna km samkvæmt mælaborðinu. Nú fer hann á rúntinn og keyrir á 47 km klst. a) Settu upp jöfnu fyrir stöðuna á sem mælaborðið sýnir eftir x klst b) Hvað hefur bíllinn verið keyrður langt eftir 2 klst? c) En eftir 3 klst og 45 mínutur? Í þessari jöfnu eru s og x breytistærðirnar en s 0 og v segjum við að séu fastar. Merkingin liggur í orðanna hljóðan, breytur breytast en fastar breytast ekki, svo þetta eru einhverjar ákveðnar tölur.

45 2.F Línulegur vöxtur 39 Það þurfa ekki allar breytur að vera nefndar x eða y. Til þæginda sérðu að staða var hér táknuð með s, þess vegna var s 0 táknið fyrir upphafsstöðu. 2.F.2 Hallgerður er að safna hári og skráir síddina reglulega. Úr gögnunum sínum gat hún sett upp þessa jöfnu sem lýsir vextinum: h = 23,5 + 1,2x þar sem h táknar hársíddina í cm x mánuðum eftir að hún byrjaði að safna. a) Hver er síddin eftir 5 mánuði? Mundu að setja svarið þitt skýrt fram. b) Hver er síddin eftir 4 ár? c) Hver var síddin í upphafi? d) Hver er vaxtarhraðinn? Hver er einingin á honum? e) Teiknaðu feril fyrir h. f) Bogastrengur er um 150 cm langur. Hvenær getur Hallgerður búið til einn slíkann úr lokk úr hárinu sínu? 2.F.3 Fyrir hvert af eftirfarandi dæmum skaltu finna og nefna breytistæðirnar tvær, gera gildistöflu, setja upp línulega jöfnu og teikna feril fyrir samband þeirra. a) Þorsteinn er með 65 l af bensíni á gula Willysnum sínum, eftir að keyra 126 km er tankurinn kominn niður í 43 l. b) Salvör er búin að fljúga Boeing 747 þotunni km en fyrir þremur tímum síðan var hún búin að fljúga km. c) Á hádegi var hitinn 4 C en klukkan 2 var hann orðinn 5 C. d) Árið 1990 voru jarðarbúar 5278 milljónir en 6082 milljónir árið 2000.

46 40 Kafli 2: Breytistærðir og ferlar e) 1. október átti Ari kr en 16. október átti hann kr á bankareikningnum sínum. f) Sophie kastar hamri upp í loftið. Eftir hálfa sekúndu er hann kominn 5,2 m upp í loftið. g) W-listinn hafði fylgi 14% kjósenda í febrúar en í júní var fylgið orðið 28%. 2.F.4 Skoðaðu svörin þín í 2.F.3. Segðu til um hve vel líkönin þín lýsa raunveruleikanum. 2.F.5 Skoðaðu svörin þín í 2.F.3 og segðu til um hver upphafsstaðan og vaxtarhraðinn er í hverjum lið. Segðu okkur hver einingin á km hraðanum er (t.d. klst ).

47 FÖLL OG FERLAR 41 Kafli 3 Línur 3.A Línur og strik Skilgreining 3.1 Lína er bein, örmjó og óendanleg. Punktar geta legið á línum og í gegnum tvo ólíka punkta liggur nákvæmlega ein lína. Stysta leiðin milli tveggja punkta er alltaf eftir línunni sem liggur í gegnum þá. Línur fá yfirleitt heiti eins og l, m eða n. 3.A.1 Látum A = (2, 1), B = ( 2, 4) og C = ( 1, 0). Látum einnig l vera línuna sem fer í gegnum punktana A og C og a vera línuna sem fer í gegnum A og B. a) Teiknaðu punktana og línurnar í hnitakerfi. Mundu að merkja vel allt það sem þú teiknar. b) Berðu myndina þína saman við mynd sessunauts þíns, eru þær eins? Hvað þarf að vera eins, hvað er í lagi að sé ólíkt? c) Hvar enda línurnar sem þið teiknuðuð? Hvar ættu þær að enda?

48 42 Kafli 3: Línur Sá hluti línu sem er á milli tveggja punkta kallast strik. Svo strik eru endanleg, línur er óendanlegar. Við munum ekki tala um strik í þessum áfanga, aðeins línur. 3.A.2 Línum lýst með orðum Þú færð í hendurnar blað með tveimur línum. Þú mátt skoða línurnar en ekki sýna neinum öðrum. Það fá ekki allir sömu línurnar. Finndu einhverja sem eru með línurnar sem þig vantar. Skiptist á því að lýsa línunum þannig að hinir geti teiknað þær. Ekki nota myndir eða látbragð, hugsið ykkur að þið séuð að tala í gegnum síma. Skrifið við línurnar hvernig henni var lýst. Þú átt líka að skrifa hvernig þú lýstir þínum eigin línum. Við getum hugsað um línu sem safn allra punkta sem uppfylla jöfnu línunnar. 3.A.3 Gerðu gildistöflur fyrir þessar jöfnur, teiknaðu svo línuna. a) l hefur jöfnuna y = 2x 1 b) m hefur jöfnuna y = 3 2x c) n hefur jöfnuna y = 0,5x A.4 Gefin er línan l : y = 4x 7 a) Finndu hnit punktsins sem er á línunni með x-hnitið 4. b) Finndu hnit punktsins sem er á línunni með y -hnitið 4. c) Nefndu tvo punkta sem eru ekki á línunni.

49 3.A Línur og strik 43 Í stað þess að segja Línan l hefur jöfnuna y = 2x 1 munum við hér eftir skrifa l : y = 2x 1 til styttingar. 3.A.5 Nefndu tvo punkta sem eru á línunni l : y = 3 2 x A.6 Rökstuddu svör þín við eftirfarandi spurningum með reikningum. Þ.e. athugaðu hvort hnit punktanna uppfylla jöfnur línanna. a) Er A = (3, 7) á línunni l : y = 2x 1? b) Er B = (3, 3) á línunni m : y = 3 2x? c) Er C = (8, 5) á línunni n : y = 1 2 x + 1? d) Er D = (2, 5) á línunni o : y = x + 1? 3.A.7 Teiknaðu línuna sem hefur jöfnuna y = 2,5x 1

50 44 Kafli 3: Línur 3.B Lóðréttar og láréttar línur 3.B.1 Byrjaðu á því að teikna hnitakerfi og merkja ásana. a) Teiknaðu inn á hnitakerfið þessa punkta: A = (0, 2), B = (3, 0), C = (0, 3), D = (0, 0), E = (1, 0), F = (0, 3), G = ( 4, 0) b) Hvaða punktar lentu á x-ás? Skifaðu hnit þeirra. c) Hvað gildir um hnit allra punktanna sem eru á x-ásnum? d) En um punktana sem eru á y -ásnum? 3.B.2 Teiknaðu línurnar. Mundu að merkja línur alltaf með nafni þegar þú teiknar þær. l : y = 1 m : y = 4 n : y = 2 o : x = 3 a : x = 1 b : x = 5 3.B.3 Skoðaðu línurnar sem þú teiknaðir í verkefni 3.B.2. a) Hverjar af línunum eru láréttar? Hvað er líkt með jöfnunum? b) En hvað er sameiginlegt með jöfnum fyrir lóðréttar línur? Skilgreining 3.2 Skurðpunktur tveggja ósamsíða lína er punkturinn sem línurnar fara báðar í gegnum. Línurnar eru þá sagðar skerast í þeim punkti. Þessi punktur uppfyllir þá jöfnur beggja línanna. 3.B.4 Finndu skurðpunkta þessara lína í 3.B.2. a) l og o b) m og a c) n og b

51 3.B Lóðréttar og láréttar línur 45 Sýnidæmi 3.1 Finnum skurðpunkt línunnar l : y = 5x 8 við x-ás. Þar sem punkturinn sem við leitum að er á x-ás þá vitum við að y -hnit hans er 0. Setjum y = 0 og fáum þá út frá jöfnu l : 0 = 5x 8 8 = 5x 8 5 = x Þar með er skurðpunkturinn P = 8 5, 0 = (1,6; 0). 4 3 l 2 1 P Framvegis skal svara með almennum brotum. En það má einnig gefa svar í tugabrotum þar sem það á við. 3.B.5 Finndu skurðpunkt þessara lína við x-ás: a) l : y = 3x 12 b) m : y = 2x 5 c) n : y = 1 2 x + 5 Sýnidæmi 3.2 Finnum skurðpunktana sem beðið er um a) Skurðpunkt línunnar l : y = 3x 5 og línunnar m : y = 2

52 46 Kafli 3: Línur Þar sem punkturinn er á m vitum við að y hnit hans er 2. Setjum þetta inn í jöfnuna fyrir l og fáum 2 = 3x 5 7 = 3x 7 3 = x Svo skurðpunkturinn er P = 7 3, 2 4 m 3 2 P l 3 4 b) Skurðpunkt línunnar n : y = 5 2 x og línunnar o : x = 3 Þar sem punkturinn er á o vitum 2 við að x hnit hans er 3. Setjum þetta inn í jöfnuna fyrir n og fáum 1 o y = = = 12 2 = 6 Svo skurðpunkturinn er Q = (3, 6) n 5 6 Q 3.B.6 Finndu skurðpunkt þessara lína við y -ás: a) l : y = 3x 12 b) m : y = 2x 5 c) n : y = 1 2 x B.7 Finndu með reikningum skurðpunkta línanna. Teiknaðu línurnar og skurðpunktinn. a) l : y = 1 3 x 1 6 og m : x = 2 b) a : y = 4x 6 og b : y = 3

53 3.C Hallatala 47 3.C Hallatala 3.C.1 Skoðum hér línuna l : y = 2x 3. a) Gerðu gildistöflu þar sem x gengur frá 2 upp í 5. b) Hvernig myndu y -gildin halda áfram? Hver er reglan í því hvernig þau vaxa? c) Teiknaðu l. d) Hvernig sér maður þessa reglu á línunni sjálfri? Lýstu því í orðum og notaðu skýringarmynd. e) Sagt er að hallatala þessarar línu sé 2. Hvaða merkingu hefur það? Skilgreining 3.3 Hallatala línunnar sem fer í gegnum punktana P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ) þar sem x 1 x 2 er hlutfallið h = y x = y 2 y 1. x 2 x 1 P y 1 x Hérna táknar einfaldlega breytinguna á hnitunum, þ.e. mismuninn. P 2 Sýnidæmi 3.3 Finnum hallatölu línunnar sem fer í gegnum punktana P = (1, 2) og Q = ( 4, 5) Byrjum á því að teikna línuna:

54 48 Kafli 3: Línur Q P Finnum breytinguna á x á milli punktanna: x = 4 1 = 5 Finnum hvernig y breytist á milli punktanna: y = 5 ( 2) = 7 Svo við sjáum að hallatalan er h = y x = 7 5 = 7 5 Eða, ef við viljum tákna þetta í tugabrotum, h = 1,4. 3.C.2 Með því að finna fyrst breytingarnar y og x skaltu finna hallatölur þessara lína a) Línan l sem fer í gegnum A 1 = (1, 4) og A 2 = (3, 7). b) Línan m sem fer í gegnum B 1 = ( 3, 2) og B 2 = (3, 4). c) Línan n sem fer í gegnum C 1 = (4, 2) og C 2 = (6, 1). d) Línan o sem fer í gegnum D 1 = ( 4, 5) og D 2 = (3, 3). e) Teiknaðu línunar. Mundu að merkja bæði punktana og línurnar með nafni. f) Hvað línur voru með jákvæða hallatölu og hverjar með neikvæða? Hver er munurinn á þessum línum á myndinni þinni?

55 3.C Hallatala 49 3.C.3 Fyrir þessar línur skaltu Finna tvo punkta á línunni. Teikna línuna. a) l : y = 2x 3 b) m : y = 3 4 x Reikna út hallatölu línunnar. c) a : y = 5x + 2 d) b : y = x 3.C.4 Opnaðu nýtt geogebruskjal og láttu bæði ása og grind sjást (hægrismelltu á teikniborðið). Notaðu línuverkfærið til að teikna línur í gegnum þessa punkta. Svo skaltu nota sömu aðferð og áður til að reikna hallatölu hverrar línu. a) a í gegnum A = ( 1, 1) og B = (3, 4) b) b í gegnum C = (0, 1) og D = (4, 1) c) c í gegnum E = (2, 2) og F = ( 2, 2) d) d í gegnum G = (1, 1) og H = (1, 4) e) Notaðu hallaverkfærið í geogebru til að athuga hvort svörin þín hér að ofan eru rétt. f) Eitthvað undarlegt gerðist þarna í d)-liðnum áðan. Útskýrðu þetta stuttlega.

56 50 Kafli 3: Línur 3.D Jafna línu Regla 3.1 Lína með jöfnuna y = hx + k hefur hallatöluna h og skurðpunktur hennar við y -ás er (0, k ). Sönnun. Skurðpunktur línunnar við y -ás hefur x-hnitið 0. Svo y -hnit hans er y = h 0 + k = k Svo við sjáum að skurðpunkturinn við y -ás er (0, k ). Gefnir séu tveir punktar á línunni, P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ). Þá gildir y 1 = hx 1 + k og y 2 = hx 2 + k. Nú getum við reiknað hallatöluna út frá þessum tveimur punktum. y x = y 2 y 1 = hx 2 + k (hx 1 + k ) x 2 x 1 x 2 x 1 = hx 2 + k hx 1 k = h(x 2 x 1 ) = h x 2 x 1 x 2 x 1 Svo hallatalan er h. Q.E.D. 3.D.1 Fyrir eftirfarandi línur skaltu finna hallatölu og skurðpunkt við y -ás. a) l : y = 5x 1 c) a : y = 2 5 x 3 7 b) m : y = 2 x d) b : y = x

57 3.D Jafna línu 51 3.D.2 Hverjar eru jöfnur línanna l og m m l Sýnidæmi 3.4 Finnum jöfnu línunnar l sem fer í gegnum punktana P = ( 1, 5) og Q = (4, 3) Finnum fyrst hallatöluna: h = y x = ( 1) = 8 5 Svo jafna línunnar er l : y = 8 5 x + k fyrir einhverja tölu k. Athugum að punkturinn P er á línunni svo hnit hans uppfylla jöfnuna. Svo

58 52 Kafli 3: Línur 5 = 8 5 ( 1) + k 5 = k = k = k 17 5 = k Svo við fáum að lokum að l : y = 8 5 x Eða, með því að nota tugabrot l : y = 1,6x + 3,4 7 6 P Q D.3 Finndu jöfnu línu sem gengur í gegnum punktana tvo. Teiknaðu svo línuna. a) A = (3, 2) og B = (5, 6). b) C = ( 2, 1) og D = (3, 4). c) P = (2, 1) og Q = (5, 2). 3.D.4 Línuleikurinn Opnaðu 2FF-3D4-linuleikurinn.ggb í geogebru og spilaðu hann þar til þú nærð 7 stigum. Skrifaðu líka lausnarsetninguna sem þú færð í leiknum. 3.D.5 Teiknaðu þessar línur og finndu jöfnur þeirra með því að sýna alla útreikninga. a) l sem fer í gegnum punktana A = ( 1, 4) og B = (2, 5). b) m sem fer í gegnum punktana P = (5, 1) og Q = ( 3, 4).

59 3.E Fallgildi og forskriftir 53 3.E Fallgildi og forskriftir Nú ætlum við að tala aðeins um tákn og rithátt. Ef við höfum jöfnu, segjum y = 3x 5 2 og viljum reikna út y - gildið þegar x = 4 þá höfum við hingað til táknað það svona: Ef x = 4 þá er y = = 7 2 = 3,5 Þar sem við höfum gert þetta margoft skulum við innleiða nýjan rithátt sem sparar okkur blekið. Til að tákna nákvæmlega það sama skulum við skrifa: y (4) = = 7 2 = 3,5 Sýnidæmi 3.5 Gefin er jafnan y = 5 4x a) Reiknum y (2) y (2) = = 5 8 = 3 b) Reiknum y ( 7) y ( 7) = 5 4 ( 7) = = x 3.E.1 Látum y = reiknaðu þessi gildi. Sýndu milliskref. 4 a) y (5) b) y ( 2) c) y (100)

60 54 Kafli 3: Línur Fyrir jöfnur sem þessar segjum við að y sé fall af x. Það þýðir að breytingar á x hafa áhrif á útkomuna y. Skilgreining 3.4 Fall er samband á milli tveggja breytistærða og þá er talað um að önnur þeirra sé fall af hinni. Þetta samband má oft setja fram með jöfnu, og það höfum við verið að gera. 3.E.2 Rissaðu upp feril sem sýnir hæð manns sem fall af tíma frá því að hann fæðist og fram að 30 ára afmæli hans. Þetta fall á milli aldurs og hæðar gætum við kallað hvað sem er. Nefnum það hér h. Nú í stað þess að spyrja Hvað var maðurinn hár þegar hann var 20 ára getum við spurt Hvað er h(20) (borið fram h af 20). Finndu eftirfarandi gildi miðuð við ferilinn sem þú teiknaðir: 3.E.3 a) h(2) b) h(5) c) h(10) d) h(20) Látum fallið f (x) tákna aldur þinn á árinu x. Finndu: a) f (2004) c) f (2030) b) f (2016) d) f (3142) e) Hvaða merkingu væri hægt að gefa f (1000)? Sýndu útreikninga. f) Finndu forskrift fyrir fallið f (x).

61 3.E Fallgildi og forskriftir 55 3.E.4 Látum f hafa forskriftina f (x) = x +5 2x +1. Finndu fallgildin með því að sýna útreikninga: a) f (2) b) f (3) c) f (5) d) f (10) e) f ( 1) f) f ( 5) g) f ( 8) h) Forskriftin sem við gáfum fyrir f (x) er óþarflega flókin. Sýndu hvernig má einfalda hana með smá algebru. 3.E.5 Línuflokkun Þið fáið fjögur blöð. Á þeim eru jöfnur, línur, lýsingar og gildistöflur. Flokkið saman þær jöfnur, lýsingar og gildistöflur sem eiga við sömu línuna. Klippið allt út og raðið saman þannig að flokkarnir séu skýrir. Þetta verkefni gegnur að stórum hluta út á það að þið ræðið saman og skiptist á hugmyndum að lausn. Takið að lokum mynd af afrakstrinum og sendið í tölvupósti til kennara.

62 56 Kafli 3: Línur 3.F Fallaleikir 3.F.1 Fall, ferill og gildistafla Þið fáið þrjú blöð, hvert lýsir einu falli. Í sameiningu skuluð þið fylla blöðin út. Teiknið þá ferla sem vantar, skrifið þær forskriftir sem vantar, fyllið í gildistöflurnar það sem vantar. Ræðið lausnirnar og hjálpist að. Merkið svo blöðin og skilið til kennara. 3.F.2 Fallaleikurinn Nú skaltu snúa þér að sessunaut þínum og þið leikið þennan leik: Hann nefnir tölu og þú segir fallgildið sem þitt fall gefur. Hann giskar svo á fallið sem þú ert með. Þú nefnir tölu og hann gefur fallgildið úr sínu falli. Þú giskar á fallið sem hann er með. Svona gengur þetta koll af kolli þar til búið er að giska á réttu föllin. Sá sigrar sem þurfti færri fallgildi. 3.F.3 Fallaleikurinn II Opnaðu 2FF-3F3-fallaleikur2.ggb í geogebru. Í honum geturðu dregið til breytuna x og séð hvernig fallgildið f (x) breytist. Skoðaðu sambandið á milli talnanna og finndu forskrift fyrir fallið f. Þegar þú nærð 10 stigum færðu lausnarorð sem þú skalt skrifa hér að neðan.

63 FÖLL OG FERLAR 57 Kafli 4 Línulegt og ólínulegt 4.A Meiri æfing með föll 5x 12 4.A.1 Látum f vera fallið með forskriftina f (x) =. 2 a) Finndu f (3) e) Leystu jöfnuna f (x) = 10 b) Finndu f (13) c) Finndu f ( 2) d) Finndu f ( 25) f) Leystu jöfnuna f (x) = 5 g) Leystu jöfnuna f (x) = 0 h) Leystu jöfnuna f (x) = 7 i) Leystu jöfnuna f (x) = a (í svarinu verður breytan a). 4.A.2 Látum f (x) = 2x + 1 Finndu: a) f (2) e) Leystu jöfnuna f (x) = 5 b) f ( 4) c) f (1, 5) d) f ( ) 4 5 f) Leystu jöfnuna f (x) = 10,5 g) Leystu jöfnuna f (x) = a h) Leystu jöfnuna f (x) = 12 i) Leystu f (x) = 23,5

64 58 Kafli 4: Línulegt og ólínulegt 4.A.3 Leystu jöfnuna f (x) = a fyrir eftirfarandi föll: a) f (x) = x + 5 c) f (x) = 2x b) f (x) = x 10 d) f (x) = x 4 e) f (x) = hx + k 4.A.4 Hér sérðu feril fyrir fallið f (x) f Finndu gildin sem beðið er um. a) f (3) c) f (2) e) x ef f (x) = 4 b) f ( 1) d) x ef f (x) = 2 f) x ef f (x) = 1 g) Finndu forskrift fallsins f (x).

65 4.A Meiri æfing með föll 59 4.A.5 Látum f (x) = 4x 5 og g(x) = 5x+7 3. a) Leystu jöfnuna f (x) = 20 c) Leystu jöfnuna g(x) = 17 b) Leystu jöfnuna f (x) = a d) Leystu jöfnuna g(x) = a e) Leystu jöfnuna f (x) = g(x). 4.A.6 Teiknaðu og finndu jöfnu línunnar l þegar gefið er að hún fer í gegnum punkana A = (1, 3) og B = (4, 2). 4.A.7 Finndu forskrift línulega fallsins f þegar gefið er að Teiknaðu líka feril fallsins. f ( 3) = 8 og f (2) = 5.

66 60 Kafli 4: Línulegt og ólínulegt 4.B Línuleg og ólínuleg föll Skilgreining 4.1 Við segjum að fall sé línufall eða línulegt fall þegar ferill þess er bein lína. Þetta þýðir að fallið vex með jöfnum hraða. 4.B.1 Mörður er að safna sér upp miklum peningasjóð. Í sjóðnum á hann núna 4750 krónur en hann fær 950 krónur í hverjum mánuði frá Merði afa sínum. Táknum með fallinu s(x) stöðu sjóðsins eftir x mánuði. a) Gerðu gildistöflu fyrir nokkra fyrstu mánuðina. b) Hversu stór er sjóðurinn eftir 100 mánuði? Sýndu útreikninga. c) Finndu forskrift fallsins s(x). d) Hvað er s(24)? Túlkaðu svarið. e) Hvenær er s(x) = 0. Settu upp jöfnu og leystu. Túlkaðu svo svarið. f) Hvenær nær sjóðurinn upp í krónur? Nú er komið að því að við einbeitum okkur að föllum sem vaxa ekki með jöfnum hætti. Þetta eru því ólínuleg föll. 4.B.2 Hér sérðu rétthyrning þar sem breiddin er tvöföld hæðin. Látum fallið F (x) tákna flatarmál rétthyrningsins með hæðina x. x 2x