Ingólfur Gíslason STÆRÐFRÆÐI 103

Transcription

1 Ingólfur Gíslason STÆRÐFRÆÐI 103 TILRAUNAÚTGÁFA 009

2 Heftið er gefið út í tilraunaskyni haustið 009

3 Efni 0: Inngangur : Hugsað um tölur og bókstafi... 7 : Jöfnur, liðun og þáttun : Stærðfræðileg líkön : Veldi og rætur : Reikningur, hlutföll og brot : Kóngavegur að rúmfræði : Hornasummur og þríhyrningar : Sannanir og frumsendukerfi : Þríhyrningar: nánari kynni : Flatarmál : Rétthyrndir þríhyrningar og Pýþagóras : Horn og hringir : Rétthyrndir þríhyrningar og hornaföll : Hnitakerfi : Verkefni, verkefni

4

5 0: Inngangur Engin gleði, ekkert lært. Ekkert lært, engin gleði. - Wang Ken (Song of Joy) Almennt talað, þegar við lesum, verðum við fyrst að kynnast textanum svo náið að orðin virðast koma úr okkar eigin munni. Við ættum þá að halda áfram að ígrunda þau svo að hugmyndirnar eins og spretti upp í okkar eigin huga. Einungis þá getur orðið raunverulegur skilningur. En samt sem áður, eftir að hafa öðlast skilning með nánum lestri og vandaðri ígrundun, ættum að halda áfram að spyrja. Þá gætum við náð enn lengra. Ef við hættum að spyrja, náum við ekki lengra. - Zhu Xi (Song of Joy) Að vita ekki er slæmt. Að vilja ekki vita er verra. - Máltæki frá Nígeríu Til umhugsunar Til hvers er verið að kenna stærðfræði í skólum? Hvernig gengur þér að læra stærðfræði? Hvað er það að læra stærðfræði? Maður hefur ekki eiginleika heldur möguleika. Ein áhrifamesta heimspekistefna 0. aldar, tilvistarstefnan, kenndi okkur að við höfum val. Við veljum okkur. Við eigum ekki að taka því sem gefnu hver við erum og hvað við getum. Til að vera heil manneskja ættum við að hugsa alvarlega um nokkrar spurningar, til dæmis þessa: Er ég sú manneskja sem ég vil vera? Hvernig félagi vil ég vera? Hvernig nemandi? Til að fara ekki of langt út fyrir efnið, sem er stærðfræðinám, þá geturðu spurt þig: Hvað vil ég fá út úr náminu? Nokkur atriði sem þér gætu dottið í hug: persónulegur þroski, skilningur á heiminum, öflug tæki til að hugsa með. 1

6 Vil ég læra stærðfræði mér til gagns og ánægju, þannig að mér gangi vel í áframhaldandi námi, til að auka möguleika mína til hugsunar á öllum sviðum. Eða ætla ég að sitja með hálfum hug og bíða eftir því að tíminn líði og vona að ég nái prófum svo ég fái að útskrifast? Helst þannig að ég læri sem minnst? Það ert þú sem velur hvað þú færð út úr námi. Hlutverk kennarans er að hjálpa þér að læra, að skapa tækifæri fyrir þig til að læra, en það ert þú sem lærir og það getur enginn annar gert það fyrir þig. Það er ekki hægt að hugsa með annarra manna heila. Af hverju er verið að kenna stærðfræði? Af hverju heldur þú að verið sé að kenna stærðfræði? Við þessari spurningu eru mörg svör, sum þeirra klisjur. Stærðfræði er meðal annars notuð til þess að fjalla um almennar stærðir til að tjá almenn lögmál og reglur á öllum sviðum, til að setja fram líkön af raunverulegum aðstæðum. Hún er til dæmis notuð til að: Lýsa einhverjum aðstæðum í náttúru, iðnaði og samfélagi. Útskýra hvers vegna fyrirbæri hegða sér á tiltekinn hátt. Spá fyrir um hvað muni gerast við tilteknar aðstæður. Stjórna útkomum úr einhverjum ferlum. Stærðfræði getur veitt manni nýja innsýn í veruleikann og gefur manni ný sjónarhorn á heiminn. Aðferð hennar: að skoða eiginleika eiginleika (að slíta vissa eiginleika hlutanna úr samhengi við hlutina sjálfa) með rökvissum hætti hefur getið af sér öflugar kenningar í ýmsum vísindum. Geturðu nefnt einhverja tækni sem ekki reiðir sig á mikla stærðfræði? Öryggi samskipta á netinu, sneiðmyndavélar og önnur lækningatæki sem sjá má í þáttunum um House lækni, Ipod, veðurspár, tryggingar, lyfjaþróun, staðsetningartæki, eru örfá dæmi um tækni sem byggir á mjög mikilli stærðfræði. Listinn yfir tæknina

7 sem hefur orðið til með aðstoð eða fyrir tilverknað stærðfræði er of langur til að hægt sé svo mikið sem að hefja upptalninguna. Að hafa vald á þessum hugsunarhætti er mikill kostur og dýrmætt fyrir hvern þann sem hefur. Á hinn bóginn er auðvitað hægt að eiga gott og áhugavert líf án stærðfræði. Að læra stærðfræði er bæði krefjandi og skemmtilegt. Ekki trúa þeim sem segja að stærðfræði sé í raun og veru létt. Hún er það ekki. Stundum er auðvelt að læra að fara eftir einhverjum tilteknum reglum og læra aðferðir, en stærðfræðinám snýst lítið um að leggja eitthvað á minnið, eins og tilteknar reglur eða aðferðir. Stærðfræðinám, eins og allt annað nám sem einhverju máli skiptir, snýst um að breyta hugsuninni, breyta því hvernig við lítum á hlutina, það er að segja við sköpum okkur tækifæri til þess að sjá hlutina frá fleiri hliðum. Í okkar tilviki: við lærum að hugsa stærðfræðilega.... í hvert sinn sem tilverunni opnast nýr möguleiki, jafnvel þótt hann sé afar smár, gerbreytir hann allri tilverunni. Milan Kundera Það er ekki einfalt mál að gera grein fyrir því í hverju það felst að læra að hugsa stærðfræðilega, en við viljum til dæmis geta: alhæft út frá því sem við tökum eftir við einstök dæmi, giskað skynsamlega, sett fram tilgátu, prófað lausnirnar og reynt að giska betur, brotið stærri verkefni niður í minni vandamál, sem við getum ef til vill leyst, og tjáð okkur með skýrum rökvísum hætti um verkefni og lausnir, bæði munnlega og skriflega. Meginmarkmið náms í stærðfræði er að nemendur öðlist stærðfræðilegan þroska sem gerir þeim mögulegt að fást við ný verkefni og vandamál, að þeir eflist ekki að þeir leggi á minnið dauða þekkingu, hugsanir annarra. 3

8 Í þessari bók eru svörin ekki gefin aftast, og það eru ekki mörg sýnidæmi, dæmi til að herma eftir. Markmið bókarinnar er að þau sem lesa hana þroski stærðfræðilega hugsun sína, verði sjálf betri í að nota bókstafareikning og rúmfræði, öflugri í að leysa allskonar verkefni og vandamál. Lesandi þarf að spyrja sig, helst sem oftast: Hvað kann ég? Hvað veit ég? Hverjar eru tilfinningar mínar til efnisins og bókarinnar? Bókin reynir að fá lesandann til að staldra við og hugsa málið, hugsa um það hvað hann er að upplifa við lesturinn. Hún biður lesandann um að íhuga út fyrir bókina: hvað gæti staðið hér annað, hvað gæti ekki staðið hér annað. En lesandi ætti semsagt alltaf að hafa spurningar sem þessar í huga. Mikilvægasti hluti allra kennslubóka í stærðfræði eru verkefnin. En verkefnum ber ekki að taka sem endanlega ákveðnum, og ekki heldur sem æfingum til að ljúka við á sem skemmstum tíma. Vonin er sú að lesandi fyllist eldmóði og semji sjálf tilbrigði við þau stef sem verkefnin eru. Og jafnvel alveg ný stef. Stefnan er að opna hugann. Ekki að læra að apa eftir heldur segja eitthvað nýtt. Leita að hinu óvænta og frábæra, skerpa á spurningum um heiminn, ekki að læra gömul svör annarra. Í bókinni eru stundum endurtekningar, eins og hér. Því endurtekningar geta verið nytsamlegar. Stundum þarf maður að þylja fyrir sér, læra utanað, þangað til að maður fær tilfinningu fyrir efninu. Þessi bók útskýrir ekki bókstafareikning eða rúmfræði, það er að segja hún miðlar efninu ekki af síðunni og inn í heila lesandans, ekki frekar en aðrar bækur um stærðfræði. Tök á efninu nást ekki nema með virkri hugsun lesandans og tjáningu hans við aðra nemendur og kennara. Bókin getur ekki lært fyrir þig. Hvað getur svona bók gert? Veitt nemendum upplifun og reynslu af stærðfræði og hugtökum hennar. Reynt að tæla lesanda til stærðfræðilegrar hugsunar? Stærðfræðileg hugsun er skapandi hugsun og leikandi hugsun, ekki síður en greinandi hugsun. 4

9 Náðargáfa hans var að geta gert mörg mistök, yfirleitt í rétta átt. Ég öfundaði hann af þessu, og reyndi að herma eftir honum, en með litlum árangri. Það var mjög erfitt að gera góð mistök. - Japanski stærðfræðingurinn Goro Shimura, um starfsbróður sinn, Yukata Tamayana. Það mikilvægasta af öllu, ef maður vill ná árangri í stærðfræðinámi, er að fást við erfið verkefni. Auðveld dæmi gera minna gagn. Til hvers er maður að leysa verkefni: til að læra af því. Og til þess að læra af því þarf að hugsa um það hvað maður er að gera, og vanda sig. Glíma við erfið verkefni kostar auðvitað átök og oft gerum við einhverja vitleysu. Allir lenda í því, líka mestu snillingar, og er ekkert til að skammast sín fyrir. Mistök ættu fyrst og fremst að vera tækifæri til að læra. En þá verður maður að velta mistökunum fyrir sér. Hér eru nokkrar spurningar sem gætu verið gagnlegar: Hvaða spurningar gætu villurnar mínar kveikt með mér? Hvaða villur gæti verið þess virði að skoða betur? Að hverju gæti ég komist ef ég hafna ekki strax einhverju sem ég held að sé villa? Er eitthvert annað samhengi (ef til vill önnur spurning en sú sem ég er að fást við, eitthvvað er öðruvísi) þar sem villurnar mínar eru ekki villur? Fyrir hvað, í mínu lífi, hefur hugtakið villa merkingu? Við hvers konar aðstæður á það alls ekki við? Í þessari bók er gerð tilraun til að auka vægi hugsunar í námi. Það er ætlast til þess að lesandinn sé virkur og taki engu sem gefnu sem í bókinni stendur. Þau sem lesa bókina ættu að taka allar spurningar sem vakna alvarlega. Hér eru nokkrar spurningar sem gætu verið áhugaverðar, þegar fengist er við verkefni: Hvaða tilgangi þjónar það að ég leysi þetta verkefni eða þessi verkefni? Af hverju er verið að biðja mig að gera þetta núna? Að hverju kemst ég um sjálfa(n) mig og aðra með því að taka þátt í þessu verkefni? 5

10 Ef ég lendi í erfiðleikum með því að skilja vandamálið (verkefnið), hvaða ástæður gætu verið fyrir því? Hvernig get ég notað þetta verkefni (eða þessar aðstæður) til þess að búa til önnur sem eru að einhverju leyti lík eða ólík því sem er gefið? Hvaða ljósi varpar þetta tiltekna verkefni á það hvernig ég hugsa um stærðfræðilega rannsókn? Hvað segir það þér um tengsl stærðfræði við samfélag og menningu ef þú hugsar um hvernig þú og aðrir í mannkynssögunni hafa litið á fyrirbærið? Skiptir verkefnið (aðstæðurnar) mig einhverju máli? Hvað þyrfti til, til að ég léti mig það einhverju skipta? En þegar þú svarar, hvort sem það er í bók, fyrir sjálfan þig, eða sem skilaverkefni, eða á prófi, skaltu vanda svarið. Svar við spurningu, eða lausn verkefnis, verður að geta staðið eitt og sér. Það á að vera skýrt og skiljanlegt, þannig að aðrir nemendur geti lesið, og þannig að það komi sjálfum þér að gagni við upprifjun. Þú miðar öll svörin við að sá sem lesi eigi að skilja hvers vegna niðurstaða þín er rétt. Hægt er að hafa í huga feril á borð við þennan: Fyrst sannfæri ég sjálfan mig Svo sannfæri ég félaga Svo sannfæri ég tortrygginn lesanda Lesandi góður, þessi bók er handa þér, en það er undir þér komið hvort eða hve mikið þú nærð út úr lestrinum. Mundu bara að það er ekki hægt að búast við því að skilja allt til fulls í fyrstu tilraun. Ég vona að einhverjir hafi gagn og gleði af bókinni. Þeim sem eru þvinguð til að lesa hana votta ég hins vegar samúð. Ingólfur Gíslason, Reykjavík, mars

11 1: Hugsað um tölur og bókstafi Augun sjá það sem hugurinn er tilbúinn að sjá. - Henri Bergson Til umhugsunar Hvað er tala? Til hvers notum við þær? Það er hægt að raða tölum, leggja saman, draga frá, margfalda og deila (stundum). Hvaða reglur gilda um þessar aðgerðir? Ég bið þig að lesa kaflann með blað og blýant við höndina. Pappír og skriffæri eru stundum vanmetin, en þau eru mögnuð hjálpargögn fyrir heilann. Þessi kafli er einskonar upphitun, kannski upprifjun fyrir suma. Mig langar að beina þér til að veita nokkrum hlutum athygli. Þú færð lítið út úr lestrinum nema þú bregðist við orðunum, hugsir og skrifir niður það sem þér dettur í hug, lausnir þínar og svör við spurningum. Með þessum kafla vil ég að þú fáir tilfinningu fyrir því til hvers bókstafir eru í bókstafareikningi, og vekja athygli þína á nokkrum leiðum til að hugsa um tölur. Reynum þetta. Verkefni 1 Hugsaðu þér tölu. Skrifaðu hana hjá þér. Hvaða tala var það? Datt þér í hug að velja neikvæða tölu, brot, eða einhverja annars konar tölu? Valdirðu nokkuð töluna 7? (Ef þú biður einhvern að hugsa sér tölu á bilinu 1-10 er talan 7 líklegri en hinar - af hverju skyldi það vera?) Gætirðu valið þér tölu sem enginn annar lesandi bókarinnar hefur valið sér eða mun nokkurn tíma velja sér? (Ég hugsa mér töluna ,507. Hve líklegt er að einhver annar velji þá tölu?) Verkefni Hugsaðu þér tölu. Bættu við þremur, tvöfaldaðu niðurstöðuna, dragðu upphaflegu töluna frá. Dragðu fjóra frá. Dragðu upphaflegu töluna frá aftur. Hvað færðu? Prófaðu einhverja aðra tölu, og gerðu nákvæmlega það sama. Færðu það sama út? En ef þú reynir þriðju töluna? Kemur alltaf sama útkoma? Geturðu utskýrt það? 7

12 Ein aðferð (sem þú ættir að prófa núna) er að hugsa sér hvernig upphaflega talan í huganum færist fram og til baka á talnalínunni. Hvað er annars talnalínan? Hvernig sérð þú tölurnar fyrir þér? Í bókum er talnalínan oftast sýnd einhvern veginn svona: Hluti talnalínunnar En talnalínan kemst ekki öll fyrir á neinni mynd, við vitum ekki hvar og hvernig hún ætti að enda. Við hugsum okkur að hún sé endalaus. Heldurðu að það sé raunhæft? Það getur að minnsta kosti verið gagnlegt. Verkefni 3 Ekki nota pappír eða blýant við eftirfarandi. Þú gerir þessa æfingu eingöngu í huganum. Hugsaðu um þrautina í einhverjar mínútur og íhugaðu svo hvað það var sem fór í gegnum huga þinn þegar þú varst að hugsa um hana. Lokaðu augunum eftir að þú lest leiðbeiningar ef þér finnst það betra. Veldu þér tölu á bilinu 10 til 10, en ekki velja töluna 0. Sjáðu hana fyrir þér á talnalínu. Hvar er talan? Er hún vinstra megin eða hægra megin við töluna 0? Hugsaðu þér að þú margfaldir töluna þína með tölunni ( 1). Við hugsum okkur að talan færist til. Hvað gerist? Hvar er talan núna? Vinstra megin eða hægra megin við 0? Dragðu nú 1 frá tölunni. Í hvaða átt færist hún? Margfaldaðu nú töluna (sem komin er) með. Í hvaða átt færist hún? Fer það eftir því hvort þú ert með neikvæða tölu eða jákvæða? Færist hún nær 0 eða fjær 0? Fer það eftir því hvort talan er neikvæð eða jákvæð? Bættu nú tveimur við töluna. Hún færist í hvaða átt? Og að lokum, margfaldaðu töluna 1 með. Hvar er talan þín núna? Sérðu það fyrir þér? Misstirðu af henni á leiðinni? Tilgangurinn með þessari æfingu er bæði sá að styrkja hugmynd þína um talnalínuna (sem getur verið ákaflega gagnleg mynd til að hafa í huga), en líka að hvetja þig til þess að rissa upp talnalínu á blað, til að auðvelda þér að hugsa um það hvað gerist þegar reikniaðgerðum er beitt á tölur. 8

13 Verkefni 4 Hér er talnalína: Merktu inn á hana einhverja tölu á bilinu frá - til 3. Bættu tveimur við, og merktu hvar sú tala er. Tvöfaldaðu niðurstöðuna. Hvar er hún núna? Dragðu 4 frá. Helmingaðu þá töluna. Ertu aftur á upphaflegu tölunni sem þú valdir? Aðferð algebrunnar er að gefa tölunni nafn eða merki, til dæmis bókstafinn a, og skrifa niður útkomuna út frá þeim bókstaf. Þannig táknar a +1 að 1 sé bætt við töluna a og ( a + 1) eða ( a + 1) að sú útkoma hafi verið tvöfölduð. Stærðir eins og þessar verða nefndar stæður í þessari bók (eins og í mörgum öðrum bókum). Verkefni 5 Ef til vill hefur þú lært vel í grunnskólanum, en hér eru nokkrar spurningar sem þú getur notað til þess að átta þig á því hvort þú skilur hvað stæður eru. Þegar spurt er um merkingu ( hvað merkir ) er átt við að þú getir sagt eða skrifað með þínum eigin orðum. (a) Hvað merkir 4 ( x + 5)? Merkir þessi stæða það sama og 4 x + 5? Ef ekki, hver er munurinn? (Hér gæti einhver svarað: Nei, fyrri stæðan merkir að maður tekur töluna x og bætir við 5, og margfaldar svo útkomuna með 4, en seinni stæðan merkir að maður tekur töluna x, margfaldar með 4 og bætir við 5. Fyrri stæðan er jafngild 4 x + 0, svo munurinn er 15.) (b) Hvað merkir munurinn? ( 5x )? Merkir þessi stæða það sama og 5x? Ef ekki, hver er (c) Hvað merkir ( x + 6)? Merkir þessi stæða það sama og x + 6? Ef ekki, hver er munurinn? Verkefni 5 Reyndu núna að skrifa niðurstöðuna úr verkefni með því að nota bókstafinn a og þær reikniaðgerðir sem notaðar voru. Kannski varstu búin að gera þetta, og ef allt hefur gengið vel ættirðu, með þessu, að sjá í gegnum bragðið. 9

14 Nú skulum við segja að tveir lesendur hafi fengið tvær mismunandi útkomur út úr tilrauninni: Ingólfur reiknaði: a + 3 a 4 a Eðvarð reiknaði: ( a + 3) a 4 a = a + 6 a 4 a = a + 6 a 4 a = a = Hverju tekurðu eftir? Hver er munurinn? Hvor heldurðu að hafi rétt fyrir sér? Hvað mundir þú segja Ingólfi? Eðvarð notaði sviga. Til hvers eru þeir? Verkefni 6 Settu sviga inn á mismunandi stöðum í stæðuna Hvað er mögulegt að fá margar mismunandi útkomur? Gerðu það sama fyrir stæðurnar Venja er að reikna margföldun og deilingu á undan mínus og plús. Þannig reiknum við = = 6 en við pössum okkur vel á að = 64 Hér sérðu merkið sem þýðir ekki jafnt og. Þetta er auðvitað bara hefð, en kennslubækur í stærðfræði síðustu hundrað ára notast við hana, og þetta er almenn venja í vísindum. Reyndar er þessi les- og ritháttur ekki sá eini mögulegi, og í tölvuforritun koma önnur kerfi að gagni. Ef ákveðin röð á að vera á reikningum notum við sviga til að gefa röðina til kynna, fyrst reiknum við út úr svigum: (3 + 5) 4 = 8 4 = 64 10

15 En skiptir alltaf máli í hvaða röð við reiknum? Verkefni 7 Reiknið út og skrifið öll milliskref, alla reikninga. a) ( 5 + 3) + e) ( 5 3) b) 5 + (3 + ) f) 5 (3 ) c) ( 5 3) g) ( 7 / 4) / d) 5 (3 ) h) 7 /(4/ ) Í töflunni eru dæmi með reikniaðgerðunum fjórum: samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu. Hvað er líkt og hvað er ólíkt með reikniaðgerðunum? Gildir sama lögmál um þær allar? Það skiptir ekki máli í samlagningu og margföldun, hvernig svigarnir standa. En hvað með frádrátt og deilingu? Þessi staðreynd heitir tengireglan fyrir samlagningu og margföldun. Eitt af hlutverkum stærðfræðinnar er að vera tungumál sem hentar til þess að tjá alls konar reglur og staðreyndir um tölur og fleira á skýran hátt. Tengireglan etur litið svona út á stærðfræðimáli: Um allar tölur a, b og c gilda jöfnurnar a + ( b + c) = ( a + b) + c, og a ( bc) = ( ab) c Verkefni 8 Gildir tengiregla um frádrátt og/eða deilingu? Prófaðu að reikna nokkur dæmi með þínum eigin tölum. Færðu sömu útkomu ef þú breytir röðinni? Gerðu dæmi sem sýnir með skýrum hætti að það skiptir máli í hvaða röð maður dregur frá. Verkefni 9 Hér eru nokkrar stæður: a +1, ( a + 1), ( a + ) 3, ( a + ), a +, 1+ a, + a Flokkaðu stæðurnar: hvaða stæður gefa sömu útkomur? Verkefni 10 Hugsaðu þér tölu milli 1 og 10. Bættu við 1, tvöfaldaðu niðurstöðuna, bættu við 3, dragðu 4 frá, bættu við 5, helmingaðu niðurstöðuna, bættu við 6, dragðu 7 frá, bættu við 8, dragðu 9 frá, dragðu loks upphaflegu töluna þína frá. Hvað færðu? Af hverju? Skrifaðu stæðu. 11

16 Notaðirðu sviga? Eins og sagt var áður eru svigar notaðir til að gera grein fyrir því í hvaða röð á að reikna. En hvað ef svigarnir eru margir? Hvernig á til dæmis að lesa þetta: (( + 3) 4 3 ( (1 + )))? Skrifaðu niður með þínum eigin orðum hvernig á að lesa sig gegnum svona svigasúpu. Verkefni 11 Skrifaðu niður einhverja slétta tölu. Og svo aðra. Og enn aðra. Geturðu skrifað niður einhverja slétta tölu sem enginn annar lesandi þessarar bókar hefur skrifað niður? Geturðu skrifað stæðu þannig að útkoman úr stæðunni verði alltaf slétt tala, og þannig að hver einasta slétta tala komi einmitt fram út úr stæðunni. Gerðu ráð fyrir því að n sé einhver heil tala (ekki endilega slétt). Finndu upp stæðu með bókstafinum n sem gefur alltaf slétta tölu. Verkefni 1 Skrifaðu niður einhverja oddatölu. Og svo aðra. Og enn aðra. Gerðu ráð fyrir því að n sé einhver heil tala (ekki endilega slétt). Finndu upp stæðu með bókstafinum n sem gefur alltaf oddatölu og þannig að sérhver oddatala geti fengist með því að setja heila tölu inn í stæðuna. Verkefni 13 Ég held að oddatala plús oddatala sé alltaf slétt tala. Er það rétt? Geturðu rökstutt það? Geturðu skrifað alveg pottþétta röksemdarfærslu með bókstafareikning þér til hjálpar? Verkefni 14 Með því að nota bókstafareikning getur þú komist að því, og sannað í eitt skipti fyrir öll reglur um það hvort útkoma sé slétt tala eða odda tala ef þú reiknar: (a) slétt tala plús slétt tala (b) slétt tala plús oddatala (c) slétt tala sinnum slétt tala (d) oddatala sinnum oddatala (e) slétt tala sinnum oddatala Verkefni 15 (a) Fyllum í töfluna 1 = 1 ( 1) = ( 1) 1

17 ( 1) = 1 ( ( 1)) = ( ( ( 1))) = (b) Hvað er hægt að segja um útkomuna úr dæmum sem þessum? Er hægt að segja hver útkoman er ef við notum 10 mínusmerki? En fyrir hvaða fjölda sem er? Hver er reglan? Í stærðfræðibókum er venja að setja reglur um svona lagað fram með formúlum sem sýna alla möguleika í einu. Þannig getum skrifað niður talan ( 1) í hvaða veldi sem er sem k ( 1), og þá táknar bókstafurinn k veldið sem talan er í. Stundum getur verið sniðugt að nota tvær (eða fleiri) stæður til að lýsa einhverju lögmáli um tölur. Til dæmis má segja, í verkefninu hér að ofan, hvað fæst ef við reiknum tölu sem er. n ( 1), og hvað fæst ef við reiknum ( 1) n+ 1, þar sem n táknar hvaða heilu Það að búa til reglu, eins og í verkefninu hér er stundum kallað að alhæfa. Þá er maður að segja eitthvað algilt, eitthvað sem gildir um alla hluti af einhverju tagi, til dæmis öll reikningsdæmi sem hafa einhverja tiltekna gerð. Verkefni 16 Í stærðfræði er mikilvægt að hafa fleiri en eina aðferð til að hugsa um hluti. Í verkefninu á undan skoðuðum við hvað gerist við að setja mínus fyrir framan. Skoðum þetta á talnalínu: Merktu inn á hana einhverja tölu, kallaðu hana til dæmis x. Merktu svo inn á línuna töluna ( x). Hvar er hún? Geturðu lýst því með orðum hvert samband x er við ( x) á talnalínunni? Gerðu þessa æfingu með nokkrum tölum og ekki gleyma því að prófa þann möguleika að x sé upphaflega neikvæð tala. - Margar hliðar - Hvað er það að skilja eitthvað? Eitt svar: Að skilja eitthvað er meðal annars að geta séð eitthvað frá mörgum hliðum og sjá hvernig það er líkt og ólíkt öðrum hlutum. 13

18 Sama fyrirbærið getur haft margar mismunandi framsetningar í heimi stærðfræðinnar. Við getum tjáð sömu upplýsingar með stæðu, töflu, orðum eða myndum, svo eitthvað sé nefnt: sama fyrirbærið frá mörgum hliðum Tölur: Mynd: 0, 3, 1, 7,... n n n n Stæða: 3n Lýsing í orðum: Tafla: Margfaldaðu tölu með sjálfri sér og margfaldaðu svo með þremur. n n Línurit: En tvær stæður geta líka lýst sömu stærð, hægt er að orða sama hlut á marga vegu, teikna mismunandi myndir og gera misstórar töflur. 14

19 Verkefni 16 Fyllið út töfluna: Orðalýsing Stæða Tafla Flatarmynd Margfaldaðu með tveimur, bættu við þremur og settu í annað veldi. 3n + 6 n Hér er rétt að íhuga að það eru margir möguleikar á að velja stæðu fyrir hverja töflu. -Ferningsrætur, prósentur og reiknireglur- Skoðum nokkur fleiri brögð til að útskýra með bókstafareikningi, en rifjum upp að ferningsrót jákvæðrar tölu er sú jákvæða tala sem margfölduð með sjálfri sér gefur upphaflegu töluna, eða með bókstafareikningi: Talan x er ferningsrót tölunnar a ef ferningsrót tölunnar a er a. x = a og x er jákvæð tala. Venjulegt tákn fyrir 15

20 Verkefni 17 (a) Af hverju þarf að taka fram að a eigi að vera jákvæð tala? (b) Hvernig ætti að skilgreina 0? Tölur eins og 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64 (og svo framvegis) nefnast ferningstölur. Ferningsrót af tölu sem er ekki ferningstala er ekki heil tala. Til dæmis er = 1, Aukastafirnir eru óendanlega margir (sem þýðir: það er hægt að reikna eins marga aukastafi og maður hefur tíma til, en maður verður aldrei alveg búin) og það er engin lota (sem þýðir: það er engin runa af aukastöfum sem fer að endurtaka sig). Verkefni 18 (a) Hugsaðu þér tölu. Bættu við, margfaldaðu með upphaflegu tölunni, bættu við 1, dragðu ferningsrót, dragðu upphaflegu töluna frá, svarið er 1. (b) Hugsaðu þér tölu. Settu í annað veldi, bættu við 4, dragðu frá fjórum sinnum upphaflegu töluna, dragðu ferningsrót, bættu við, nú ertu aftur með töluna sem þú hugsaðir þér. Ef þú hugsaðir þér ekki jákvæða tölu í upphafi gætir þú hafa lent í vandræðum í þessu verkefni. Það er mikilvægt að huga að því fyrir hvers konar tölur tilteknar stæður virka. Þú ættir að reyna að gera tæmandi grein fyrir því hvernig niðurstöður verkefnisins eru háðar því hvernig tala valin er í upphafi. Verkefni 19 Reiknaðu þessar summur: Hver er næsta summa? Eftir hverju tekurðu? Geturðu útskýrt hvað er að gerast? 16

21 Verkefni 19 Hugsanalesarinn (þú) biður áhorfanda um að hugsa sér tölu og svo að margfalda hana með 5, bæta við 6, margfalda með 4, bæta við 9, margfalda aftur með 5 og segja útkomuna. Við skulum segja að áhorfandinn segist vera kominn með Hvaða tölu hugsaði hann sér í upphafi? Ef til vill er erfitt fyrir skemmtikrafta að fá fólk til að reikna svona lagað í huganum nú á dögum, en síðasta bragðið er í gamalli bók. Aftur á móti er ólíklegt að fólki þyki eftirfarandi merkilegt bragð: Hugsanalesari: Hugsaðu þér tölu. Bættu við tveimur. Hvað færðu þá? Áhorfandi: Níu. Hugsanalesari: Þá hugsaðirðu þér töluna sjö! Verkefni 0 (a) Geturðu samið bragð til hugsanalesturs. Reyndu að láta reikningana (líta út fyrir að) vera flókna, en þannig að það sé auðvelt fyrir þig. Æfðu það og beittu því á ættingja eða vini. (b) Hvert er einfaldasta og stysta bragð af þessu tagi sem þú getur hugsað þér? Eitt af því sem læra má í stærðfræði, er að nota bókstafi til þess að tjá einhverja útreikninga, einfaldlega til þess að segja hvað á að gera. Heimurinn er nefnilega svo flókinn að það er mjög erfitt að lýsa ýmsum hlutum sem gæti verið sniðugt að reikna út með orðum. Tökum stutt dæmi: Verkefni 1 Hvernig má tákna að óákveðna talan u hafi verið helminguð? Hvernig má tákna að óákveðna talan v hafi verið þrefölduð og svo 5 dregnir frá? Eru fleiri en einn möguleiki? Hvernig má tákna að við óákveðnu töluna a sé bætt 3 og svo sé útkoman fimmfölduð? Margir möguleikar? Hvernig má tákna að tölurnar a, b og c séu lagðar saman, deilt í útkomuna með 6 og svo lagðir við þá útkomu? Verkefni Þegar við lærum fyrst um prósentur og verð hugsum við ef til vill á þennan hátt: Segjum að vara kosti 600 krónur en hækki um 0%. Þá hækkar hún um 17

22 hlutfallið 0 af 600 krónum, það er að segja hún hækkar um , 600 = krónur. 0 (Rifjaðu upp að prósent þýðir af hundraði, svo 0 % þýðir 100 ). Nýja verðið er þá = 70 krónur. Þegar lengra er komið vitum við að hægt er að reikna í einu lagi 600 1, = 70. En hvers vegna gefa þessar leiðir sömu niðurstöðu? Nákvæm útskýring á reikningnum í verkefni 1 er eftirfarandi: Í fyrri leiðinni reiknum við , 600, en í þeirri seinni reiknum við 600 (1 + 0,), en þetta tvennt er það sama, og á ekki einungis við um þessar tilteknu tölur, heldur um allar tölur, og sú staðreynd á sér ákveðið nafn, og heitir dreifireglan. Hún getur litið svona út á stærðfræðimáli: Um allar tölur a, b og c gildir jafnan a ( b + c) = ab + ac (Í dæminu hér að ofan var þá a = 600, b = 1 og c = 0,.) Verkefni 3 Handboltaleikur fór Jóna var í tapliðinu. Ef við hefðum skorað 10% fleiri mörk og þær 10% færri mörk hefðum við náð jafntefli hugsaði hún. (a) Giskaðu eins hratt og þú getur: er þetta rétt hjá Jónu? (b) Reiknaðu út: lækkaðu 30 um 10% og hækkaðu 0 um 10% og segðu hvort Jóna hefur rétt fyrir sér. (c) Ef talan 30 er lækkuð um p%, hver er útkoman? (Svarið er formúla með bókstafnum p.) (d) Finnið prósentutölu p, þannig að ef 30 lækkar um p% og 0 hækkar um sömu prósentutölu, p%, fáist sama útkoma. (e) Geturðu samið annað dæmi með sömu eiginleika hvað ef tölurnar eru ekki 30 og 0, heldur einhverjar aðrar? Er hægt að búa til fleiri dæmi? Hvernig? Verkefni 4 Þegar Flóki, 6 ára, var spurður hvað væri 7 + átti hann ekki í miklum vandræðum. Hann gat hugsað sér að hafa 7, bætti við 1 og svo aftur 1 og fékk út 9. Þegar hann var spurður hvað væri + 7 fannst honum það erfiðara, því að hann þurfti að byrja á því að hafa, og bæta svo 1 við, sjö sinnum. En börn átta sig reyndar á því eftir dálitla æfingu í því að telja og leggja saman, að það má víxla liðum í 18

23 samlagningu. Geturðu hugsað upp dæmi um það hvernig víxlreglan er notuð í reynd? Hvernig væri heimurinn ef hún væri ekki í gildi? Ábending: hugsið til dæmis um kassafæriband í stórmarkaði. Skiptir máli hvort maður setur fyrst á bandið mjólkina eða brauðið? Þessi eiginleiki talna nefnist víxlregla um samlagningu: það skiptir ekki máli í hvaða röð tvær tölur eru lagðar saman: Um allar tölur a og b gildir jafnan a + b = b + a Verkefni 5 Gildir víxlregla um frádrátt? Er hægt að segja eitthvað um tölurnar a og b ef a b = b a? Prófið að nota einhverjar ákveðnar tölur og sjáið hvað gerist. Er einhver regla á því hvað gerist ef liðum er víxlað í frádrætti? Hvað gerist? Ein leið er að segja að eftirfarandi jafna gildir alltaf: b a = ( a b) Verkefni 6 Gildir víxlregla um margföldun? Geturðu útskýrt það á einhvern hátt? Ábending: hvað með flatarmál ferhyrninga? Teiknaðu ferhyrning. Hvernig reiknarðu flatarmálið? Skiptir máli hvernig hann snýr? Verkefni 7 Gildir víxlregla um deilingu? Prófaðu að nota einhverjar tölur. Bókstafareikningur, stundum nefndur algebra, gefur okkur öflugt tungumál, sérstaklega til þess að tala um almennar stærðir - stærðir sem lúta hugsanlega einhverjum reglum eða lögmálum, en eru ekki sjálfar niðurnegldar. Með öðrum orðum getum við talað um óendanlega margar stærðir í einu. Það veitir möguleika til sjálfvirkni, eins og í tölvum. Með einni formúlu er hægt að reikna marga hluti í einu. Til að taka dæmi úr verslun og viðskiptum, þá getum við látið forrit, töflureikni (eins og til dæmis Excel), reikna verð hvaða vöru sem er eftir að lagður hefur verið á hana 5% virðisaukaskattur. Við getum búið okkur til töflu eins og: 19

24 Vsk. (í prósentum) Verð fyrir vsk. (kr) Verð eftir vsk. (kr) 5 100? Hvernig eigum við að segja tölvunni hvernig hún á að reikna út verðið í þriðja dálkinum? Við viljum segja henni að taka verðið í dálki og reikna út breytt verð út frá prósentutölunni í fyrsta dálkinum. Verkefni 8 Segjum að vara kosti 100 krónur án vsk. Hvað kostar hún með 5% vsk? Segjum að vara kosti x krónur án vsk. Hvað kostar hún þá með 5% vsk? Segjum að lokum að vara kosti x krónur án vsk. og að virðisaukaskattsprósentan sé p %. Hvað kostar varan þá með vsk? Þegar töflureiknir er notaður er beinlínis verið að nota bókstafareikning. Ýmist er reitum gefið nafn, eða hnit þess er notað í staðinn. Til að láta töflureikni reikna fyrir sig útkomu úr stæðunni x ( 1+ 0,5) fyrir ákveðna gildið x = 100, getur maður sett það upp svona: A B C =A1*(1+0,5) 3 Í reit A1 setjum við gildið x = 100, í reit B1 reiknum við útkomuna x ( 1+ 0,5), það er að segja margföldum gildið í A1 með (1+0,5). Táknið * er notað fyrir margföldun, og táknið = er sett fremst til að segja tölvunni að hún eigi að reikna. Sýnum nú hvernig setja mætti upp sjálfvirkan útreikning til að reikna verð með vsk. eins og gert var hér að ofan: 0

25 A B C 1 Vsk. (í prósentum) Verð fyrir vsk. (kr) Verð eftir vsk. (kr) =B*(1+(A/100)) 3 Í reit A setjum við þá virðisaukaskattsprósentu sem við á. Í reit B setjum við verð p fyrir álagningu skatts. Í reit C reiknum við út nýtt verð með stæðunni x 1+ ). ( 100 (Munum að prósent þýðir af hundraði, svo p % þýðir p 100 ). Í töflunni var notað B fyrir x, og A fyrir p. Tölvan ætti nú að birta töluna 15 í reit C. Þegar við höfum einu sinni fundið réttu stæðuna getur tölvan reiknað verðið út frá öllum mögulegum upplýsingum. Stærðfræði getur af sér aðferðir til þess að skilja raunveruleikann, til samskipta um hann og til að stjórna ýmsum ferlum, eins og verðlagningu hér að ofan. Verkefni 9 (a) Reiknum tekjuskatt sem 38% af launum, að frádregnum persónuafslætti, 3500 kr. Lýstu útborguðum launum með stæðu, sem nota má til að reikna með. (b) Þegar launin hækkuðu um 10%, fékk ég samt ekki 10% meira útborgað. Hvers vegna? (c) Hvaða áhrif hefur það á útborguð laun, ef tekjurnar hækka um 10%? (Svarið er auðvitað ekki tala, heldur stæða sem nota má til að reikna með ef ég þekki tekjur mínar.) (d) Mig vantar krónum meira í útborguð laun á mánuði. Hvað á ég að biðja um mikla launahækkun? (Svarið er aftur ekki tala...) Verkefni 30 Ein aðferð til að meta líkamsástand er svonefnd BMI tala (body mass index). Hún er einfaldlega skilgreind sem hlutfallið milli þyngdar og hæðar í öðru veldi, það er að segja, ef maður kann ekki á táknmál bókstafareiknings, taktu þyngd þína í kílóum, og deildu svo með tölunni sem þú færð ef þú tekur hæð þína í metrum og setur í annað veldi. 1

26 Hvernig væri hægt að skrifa þetta á táknmáli algebrunnar? (Þú gætir til dæmis látið bókstafinn m tákna hæð í metrum.) Fyrir lesendur sem hafa aðgang að töflureikni eins og Excel er upplagt að búa til lítið skjal sem reiknar BMI-stuðul út frá upplýsingum um þyngd og hæð. Við viljum þá fá töflu eins og A B C 1 Þyngd (kg) Hæð (m) BMI-stuðull 95 1,88 6, Hér sést svarið, en þú átt að finna stæðuna til þess að reikna út svarið í C. Flestir fullorðnir lenda á bilinu Hver er líkamsmassastuðull manns sem er 100 kíló og 1,88 metrar á hæð? Hver er þinn líkamsmassastuðull? Hver er merking þessarar tölu? Verkefni 31 Galileo Galilei uppgötvaði á 16. öld lögmál um hreyfingu fallandi hluta. Hann sýndi fram á að við getum reiknað út vegalengdina sem hlutur fellur á tilteknum tíma: Taktu tímann í sekúndum og settu í annað veldi. Margfaldaðu með þyngdarhröðunarfasta (sem er um það bil 9,8 m/sek á jörðinni). Deildu svo með tveimur. Þá færðu vegalendina sem hluturinn hefur fallið á þessum tíma. Hvernig væri hægt að skrifa þetta á táknmáli algebrunnar? Trúir þú þessu lögmáli? Heldurðu að það gildi alltaf alls staðar? Ef epli er látið falla úr Hallgrímskirkjuturni er það 3,9 sekúndur að falla til jarðar. Hve hár er turninn? (Athugaðu: Öll svona lögmál eru einfaldanir, til dæmis er í þessu lögmáli ekki reiknað með áhrifum vegna loftmótstöðu.) Verkefni 3 (a) Stutt ritgerð: Hvernig gerir notkun bókstafa manni kleift að hugsa um og meðhöndla röð af reikniaðgerðum? Taktu ákveðin dæmi.

27 (b) Stutt ritgerð: Hvernig er hægt að gera grein fyrir röð útreikinga með svigum? Taktu hér líka einhver ákveðin dæmi. (c) Sýndu dæmi um misskilning sem getur orðið ef allir nota ekki sömu reglur um röð reikniaðgerða. Verkefni 33 Hér er eitt dálítið flókið úr gamalli bók, Riddles in Mathematics. A Book of Paradoxes eftir Eugene P. Northrop: Hugsaðu þér tölu. Bættu við 10. Margfaldaðu með. Bættu við fjölda tíkalla sem þú ert með á þér. Margfalda með 4. Bæta við 0. Bættu við fjórum sinnum aldri þínum í árum. Deildu með. Dragðu frá tvisvar sinnum fjölda tíkalla sem þú ert með á þér. Dragðu 10 frá. Deildu með. Dragðu aldur þinn frá. Deildu með. Dragðu frá upphaflegu töluna. Hver er niðurstaðan? Verkefni 34 (a) Margfeldi af 5 er tala sem 5 gengur upp í. Það eru tölur eins og 5, 10, 15 og svo framvegis. Skrifaðu niður tölu sem er 1 hærri en einhver tala sem er margfeldi af 5. Og svo aðra. Og enn eina. Og eina í viðbót. Hvað færðu í afgang ef þú deilir með fimm í þessar tölur? (b) Skrifaðu niður tíu stafa tölu sem er 1 hærri en margfeldi af 5. Hver er afgangurinn ef þú deilir þessari tölu með 5? (c) Hvernig geturðu skrifað niður almenna tölu sem er 1 hærri en margfeldi af 5? Með öðrum orðum áttu að skrifa niður stæðu fyrir tölu sem er 1 hærri en margfeldi af 5. Koma allar tölur til greina fyrir óþekktu stærðina? (Neikvæðar, brot, tugabrot?) Verkefni 35 Svigasúpur: hvað ætti að koma út úr þessum stæðum, ef svigar eru felldir niður? (a) ( 1 ( + 3)) (b) ( 1+ ( (3 + 4)) (c) ( 1+ ( + (3 (4 + 5))) (d) ( 1+ ( + (3 + (4 (5 + 6)))) (e) Hvernig væri næsti liður? Giskaðu á það hvað kemur út. Jói heldur því fram að svarið verði alltaf tala í fimm-sinnum töflunni, sama hvað maður býr til langt dæmi eftir sömu reglu. Hvernig myndirðu athuga hvort það er satt? 3

28 Verkefni 36 Gerðu þín eigin svigadæmi: (a) Með einum sviga (einn vinstri og einn hægri svigi). (b) Með tveimur svigum. (c) Með tveimur svigum þar sem annar er innan í hinum. (d) Eins flókna svigasúpu og þú treystir þér til að leysa úr sjálf(ur). (e) Hvernig geta svigar verið í stæðum? Til dæmis er )+3))( bara merkingarlaus runa af táknum ef miðað er við venjulegar reglur. Er mögulegt að segja eitthvað um það hvernig svigar verða að vera? Skrifaðu niður þær reglur sem þér dettur í hug. Verkefni 37 Reikniröð (a) (b) (c) (d) Ég held að útkoman úr öllum liðum hér á undan sé slétt tala, og næsti liður yrði það líka. Hvernig get ég komist að því hvort það er rétt? (e) Reiknaðu n ( n + 1) + ( n + ) ( n + 3). Segir svarið þér eitthvað um d-lið? Verkefni 38 Við skulum segja að við notum þessa reikniaðferð: tökum tölu, bætum við 5, margföldum með 3, drögum frá 1, deilum með. Geturðu fundið upphafstölu sem gefur útkomuna 13. Bættu um betur og komdu þér upp aðferð til að finna upphafstölu fyrir hvaða útkomu sem er. Verkefni 39 Skoðum punktamynstur, svona byrjar röðin: 1 3 4

29 (a) Eftir hverju tekurðu? Reyndu að lýsa mynstrunum og því sem gerist þegar næsta mynd er teiknuð. Teiknaðu næstu mynd. (b) Hve margir punktar eru á 5. myndinni í röðinni? En á 10. mynd? (c) Hvernig taldirðu þá? Hvaða aðrar aðferðir geturðu fundið? (d) Er hægt að alhæfa út frá þinni aðferð? Er hægt að sjá með henni hve margir punktar eru á mynd númer k, ef k er hvaða tala sem er? (e) Búðu til svona dæmi, með einhverju öðru mynstri. Reyndu að finna formúlu sem sýnir hve margir punktar eru á mynd númer k, ef k er hvaða tala sem er. Verkefni 40 Lítum á þraut:? 63 57? 100? Sérhver tala á hlið þríhyrningsins á að koma út þegar þær tvær tölur sem eru við enda hliðarinnar eru lagðar saman. (a) Hvaða tölur koma til greina þar sem spurningamerkin standa? (b) Hvernig gætirðu sett verkefnið upp sem algebruverkefni, notað bókstafi fyrir óþekktu tölurnar? (c) Er mögulegt að setja hvaða tölur sem er á hliðarnar og leysa samsvarandi verkefni? Ef ekki: hvernig er það takmarkað? (d) Búðu til nýjan svona talnaþríhyrning til að leysa. (e) Hvað ef tölurnar í hornunum eru gefnar, í stað þeirra sem eru á hliðunum? (f) Hvað ef við breytum þríhyrningnum í ferhyrning, fimmhyrning,...? 5

30 (g) Hvaða fleiri spurninga væri áhugavert að spyrja? Til dæmis má velta fyrir sér talnaþríhyrningum með sérstaka eiginleika, sem dæmi mætti spyrja: Ef gefnu tölurnar eru allar sama talan, hvað þá með hinar? Verkefni 41 Veldu einhverja náttúrlega tölu. Ef hún er slétt, skaltu deila með, ef hún er odda skaltu margfalda með 3 og bæta 1 við. Endurtaktu þetta. (a) Notaðu bókstafi til að tákna það sem þú gerir: Segjum að þú byrjir með töluna n. Hver er þá næsta tala? (b) Hvað geturðu endurtekið þetta oft þangað til tölurnar fara að endurtaka sig? Til dæmis ef þú byrjaðir á 5, færðu (c) Flestir, sem um þetta hafa hugsað, halda að maður muni alltaf lenda í því að endurtaka tölur, alveg sama á hvaða tölu maður byrjar. En engum hefur tekist að útskýra það eða sanna. Þetta er ein af fjölmörgum einföldum spurningum í stærðfræði sem enginn á ennþá svar við. Verkefni 4 Í rafmagnsfræðum er venja að tákna straumstyrk með I, spennu með E og viðnám með R. Þessar stærðir tengjast (við vissar aðstæður) með jöfnunni (ef stærðirnar eru mældar í viðeigandi einingum), sem nefnist lögmál Ohms. (a) Finnið viðnámið ef E = 10 og I = 3 E = IR (b) Hvernig breytist straumstyrkur ef spenna er tvöfölduð (en viðnámið er óbreytt)? (c) Hvernig breytist straumstyrkur ef spenna er helminguð (viðnámið er óbreytt)? (d) Hvernig breytist straumstyrkur ef viðnámið er tvöfaldað (spenna er óbreytt)? Verkefni 43 (a) Er eftirfarandi fullyrðing alltaf, stundum, eða aldrei sönn? Ef hún er stundum sönn, útskýrðu þá hvenær. Jón fékk 15% launahækkun. Jóhanna fékk 10% launahækkun. Svo Jón fékk meiri hækkun en Jóhanna. (b) Af hverju heldur þú að samið sé um launahækkanir í fyrir stóra hópa launþega í prósentum en ekki föstum krónutölum? (Við þessu er ekki stærðfræðilegt svar, en hvað heldur þú?) 6

31 : Jöfnur, liðun og þáttun Vitið að samsemdarlögmálið sem segir að A sé jafnt A á aðeins við í heimi rökfræðinnar, að ekkert er raunverulega jafnt sjálfu sér vegna þess að ekkert helst hið sama í svo mikið sem andartak, andartak samanburðarins. - Lance Olsen (Nietzsches Kisses) And, in the end, the love you take Is equal to the love you make. - The End John Lennon og Paul McCartney (The End) Til umhugsunar Hvað geturðu skrifað margar mismunandi jöfnur til þess að tjá það, að stærðirnar a og b séu jafnar? Þú hefur sjálfsagt leyst jöfnur áður, að minnsta kosti í skólanum. En hvað er það að leysa jöfnu? Þessi spurning er ekki eins einföld og maður gæti haldið. Lítum aðeins á nokkrar jöfnur: (a) + = 4 (b) a + 5a = 7a (c) 3 x + 5 = 0 (d) a + b = c (e) ( x + 1) = x + 1 (f) ( x + 1) = x + (g) 3 = 5 Verkefni 1 Skoðið þessar jöfnur, og reynið að finna einhverjar tölur sem uppfylla þær. Hvað er líkt og hvað er ólíkt með þessum sex jöfnum? (Stoppaðu og hugsaðu um þessa spurningu áður en þú lest lengra. Náðu þér í blað og blýant ef þú hefur það ekki við höndina. Gefðu þér svolítinn tíma, láttu spurningar vakna og skrifaðu þær niður.) Nokkur atriði sem mætti minnast á er að sú fyrsta inniheldur engar óþekktar stærðir, en hinar gera það. Jöfnur b) og c) innihalda hvor um sig einn bókstaf. Jafna a), b) og f) 7

32 eru alltaf sannar, það sem stendur vinstra megin við jafnaðarmerkið er jafnt því sem er hægra megin. Jafna c) er einungis sönn ef x = 5, annars ósönn, en jafna d) er stundum sönn, og stundum ósönn - það fer allt eftir því hvaða tölur bókstafirnir tákna. Hún er til dæmis sönn ef allir bókstafirnir tákna töluna 0, en líka til dæmis ef a = 3, b = 4 og c = 5. Jafna e) getur aldrei verið sönn, sama hvaða tölu x er látin standa fyrir, og jafna g) er einnig alltaf ósönn. Þegar við viljum segja að stærðir séu ekki jafnar getum við notað ekki jafnt og merkið, og skrifum til dæmis 3 5. Verkefni Finndu fleiri dæmi um tölur a, b og c sem gera jöfnu d) sanna. Finndu líka einhver dæmi um tölur sem gera hana ósanna. Það er mjög misjafnt hvað jöfnur segja manni mikið. Til dæmis er frekar erfitt að meðtaka eða skilja hvað jafnan x = segir, en hún segir reyndar nákvæmlega það sama og jafnan x = 3 sem segir okkur eitthvað. Það að breyta jöfnu í aðra einfaldari er eitt af hinum elstu viðfangsefnum bókstafareiknings. Þegar við breytum flókinni jöfnu í aðra sem segir beint og milliliðalaust hvaða tala einhver bókstafur verður að tákna, segjumst vera að leysa jöfnuna. Verkefni 3 Hér sjáum við tvo einstaklinga reikna. Hvað er að gerast í hvorum lið? (a) Ef x = 5, þá er x + 3 = 5 + 3, og þá er ( x + 3) = (5 + 3), sem ég einfalda og fæ jöfnuna x + 6 = 16. (b) Ef 4 x 7 = 0 + x, þá er ( 4x 7) x = (0 + x) x, sem ég einfalda og fæ 3 x 7 = 0, og þá er ( 3x 7) + 7 = 0 + 7, sem ég einfalda og fæ 3 x = 7, og 1 þá er 3x =, sem ég einfalda og fæ x = 9. 3 Athugaðu: Ef annar liðurinn lýsir hugsun nemanda og hinn liðurinn lýsir hugsun kennara, hvor er þá líklega hvor (og hvað eru þeir að gera?) 8

33 Í báðum liðum síðasta dæmis var stuðst við grundvallaratriði jöfnureiknings: Ef tvær stærðir eru jafnar, þá halda þær áfram að vera jafnar ef maður bætir því sama við báðar stærðirnar eða margfaldar þær báðar með sömu tölu. Stundum er talað um að draga frá hverri hlið eða deila með sömu tölu, en eins og þú veist kannski, þá er alveg eins hægt að tala um að bæta við neikvæðri tölu í staðinn fyrir frádrátt, og að margfalda með broti í staðinn fyrir deilingu. Ég vona að þú skiljir að jafnan X a = X + ( a) er alltaf sönn, og að þú hafir einhverja tilfinningu fyrir því að jafnan X X 1 a a alveg jafn augljóst. = er líka alltaf sönn (nema ef a = 0 ), en það er kannski ekki Ef A = B þá gildir til dæmis að A + 1 = B +1 því við bættum 1 við hvora hlið, og þá gildir einnig, að ( A + 1) = ( B + 1) því þá höfum við margfaldað báðar útkomur með. Við getum sett fram, í eitt skipti fyrir öll, nákvæmlega hvaða tvær reglur við notum til þess að leysa jöfnur með bókstafareikningi. 1. Jafnan X + a = Y segir það sama og X = Y a.. Jafnan X = Y segir það sama og X = Y a ef a er ekki talan 0. a Hér geta X, Y og a bæði verið tölur en líka stæður með einum eða fleiri bókstöfum. 9

34 Fyrri regluna getum við rökstutt svona: Í fyrsta lagi: ef X + a = Y hliðar jöfnunnar). Í öðru lagi: ef X jöfnunnar). þá er líka X + a a = Y a (við bættum ( a ) við báðar = Y a þá er líka X + a = Y a + a (við bættum a við báðar hliðar Seinni regluna má rökstyðja með hliðstæðum hætti, og lesandi ætti að reyna að gera það sjálfur. Verkefni 4 (a) Búðu til jöfnu sem hefur lausnina x = 9. (b) Búðu til aðra jöfnu sem hefur lausnina x = 9, hafðu hana þannig að enginn annar í skólanum hafi, eða muni, finna upp á sömu jöfnu. (c) Búðu til jöfnu sem hefur lausnina x = 9, sem enginn annar í heiminum hefur skrifað niður. (d) Geturðu búið til jöfnu sem hefur lausnina x = 9, sem kennarinn getur ekki leyst. Eins og þú hefur nú vonandi komist að er hægt að reikna jöfnu fram og aftur. Þetta er mikilvægt stef í stærðfræði. Verkefni 5 Leystu nokkrar jöfnur: (a) x + = x 1 (b) x + = 3x 4 (c) x + = 4x 7 (d) x + = 5x 10 Eftir hverju tekurðu? Hvernig gæti næsta jafna á listanum verið? Gerðu þér tilgátu um það hvað er í gangi hér. (Tilgáta er uppástunga um það hvað sé satt.) Prófaðu tilgátuna. Geturðu rökstutt tilgátuna? Verkefni 6 Leystu aftur nokkrar jöfnur: (a) 3 x + 1 = x + 5 (b) 3 x + 1 = x

35 (c) 3 x + 1 = x + 7 (d) 3 x + 1 = x + 8 Hver væri næsta jafna á listanum og hvert væri svarið? En geturðu giskað á lausnina á jöfnunni 3 x + 1 = x án þess að reikna? Geturðu alhæft um þetta og sagt nákvæmlega hver lausnin er á jöfnunni 3 x +1 = x + a, alveg sama hvaða tala a er? Stundum er þetta kallað að leysa fyrir x. Geturðu búið til svona jöfnu þar sem svarið er x = 99? Verkefni 7 Leystu enn nokkrar jöfnur: (a) x + 5 = x + 6 (b) x + 7 = 3x + 7 (c) 3 x + 1 = 4x + 8 Hver væri næsta jafna á listanum og hvert væri svarið? Geturðu alhæft um þetta og sagt nákvæmlega hver lausnin er á jöfnunni ax + b = ( a + 1) x + c, alveg sama hvaða tölur a, b og c eru, það er að segja: leystu fyrir x. Verkefni 8 Leystu enn nokkrar jöfnur ekki spyrja kennara strax hvernig þú eigir að svara, þó að þú finnir fyrir óöryggi. (a) x + 5 = x + 8 (b) x + 5 = x + 5 (c) 3 x + 7 = 3x + 10 (d) 3 x + 1 = 3x + 1 Hvað kemur í ljós? Fannst þér þessi dæmi óþægileg, af því þú vissir ekki hvernig þú áttir að svara? Athugaðirðu hvaða merkingu svörin hafa? Líttu aftur á svörin og spurningarnar. Við leitum að tölu, sem við nefnum x, sem uppfyllir jöfnuna, tölu sem gerir jöfnuna sanna. Það er fyrirfram engin trygging fyrir því að slík tala sé til. Og það gætu verið margar slíkar tölur. Okkar aðferð gengur út á að athuga jöfnuna, og sjá hvað þarf líka að vera satt ef jafnan á að gilda. Ef við fáum út jöfnu sem getur ekki verið sönn, þá getur upphaflega jafnan okkar ekki heldur staðist. Ef við fáum út jöfnu sem er alltaf sönn, þá skiptir engu máli hvaða tölu við setjum fyrir x, og hvaða tala sem er uppfyllir jöfnuna. 31

36 Verkefni 9 Leystu í eitt skipti fyrir öll jöfnuna ax + b = cx + d, fyrir x. Þú átt að fá út jöfnu sem segir hvernig finna má töluna x ef þú þekkir tölurnar a, b, c og d. Við hvaða skilyrði hefur jafnan enga lausn? En við hvaða skilyrði er hvaða tala sem er lausn á henni? Og hvað getum við þá sagt um jöfnur sem hafa nákvæmlega eina lausn? Heldurðu að það geti verið að jöfnur af þessu tagi ( ax + b = cx + d, þar sem x er óþekkt stærð en a, b, c og d eru fastar tölur) geti haft nákvæmlega tvær lausnir? Verkefni 10 Leysa á jöfnuna 5 x 10 = 3x Mismunandi svör þriggja nemenda eru sýnd hér að neðan. Skoðið hverja lausn fyrir sig og ákveðið hvort hún er rétt, og ef ekki: hver er villan? I. 5 x 10 = 3x + 30 x 10 = 30 x = 0 x = 10 II. 5 x 10 = 3x x + 10 = 30 8 x = 0 x =,5 III. 5 x 10 = 3x x 10 = 30 8 x = 40 x = 5 Reyndar er rétta lausnin ekki vel fram sett, vegna þess að hún inniheldur ekki skýringar og sýnir ekki röklegt samhengi hlutanna. Það getur verið í lagi þegar maður er að reikna fyrir sjálfan sig, en er verra þegar aðrir eiga að lesa lausnina. Verkefni 11 Leystu enn nokkrar jöfnur: (a) (b) (c) (d) 10x x 14 = x x 14 = x x 14 = x x + 14 = 15 1 Verkefni 1 Reynum að sýna hvernig leysa má ákveðnar tegundir af jöfnum í eitt skipti fyrir öll: leystu fyrir x : ax + b dx + e = c f 3

37 Hvaða skilyrði þurfa að gilda til þess að á jöfnunni sé engin, ein, eða fleiri lausnir? Verkefni 13 Hvað geturðu skrifað margar mismunandi jöfnur til þess að tjá það, að stærðirnar a og b séu jafnar? a Þrír einfaldir möguleikar sem sýna ólík sjónarhorn eru a = b, a b = 0, og = 1. b Tilbrigði við þessar þrjár jöfnur fást með því að víxla stærðartáknunum. Reyndar eru óendanlega margir möguleikar, þar á meðal þessi: 35 a + 7 = 7(5b + 1). Fyrir þau sem læra meira í stærðfræði verður eftirfarandi staðreynd síðar mikilvæg: a og b eru jafnar rauntölur ef um sérhverja jákvæða tölu e gildir að mismunurinn á a og b er minni en e. (Það er hægt að tákna svo: a b < e). Verkefni 14 Finndu tvær tölur sem samanlagðar gefa töluna 1. Skrifaðu nokkur ólík pör af tölum. Eru einhver takmörk í því hvernig tölurnar voru valdar hjá þér. Ef ég gef þér tölu, x, geturðu þá gefið mér tölu, y, þannig að x + y = 1? Hvernig? Verkefni 15 Flestir vita að + =. Það skiptir ekki máli hvort tölurnar eru lagðar saman eða 3 margfaldaðar! En vissir þú að =? Eru fleiri dæmi um þetta: talnapör sem gefa sömu útkomu ef hvort sem ein er lögð við aðra eða þær margfaldaðar saman? Hægt er að leysa jöfnuna xy = x + y fyrir hvort heldur sem er, x eða y. Til dæmis, ef við leysum fyrir x: Gerum ráð fyrir að svo og þá er og þá fæst að lokum xy = x + y xy x = y x y x = y (x dregið frá báðum hliðum) x ( y 1) = y (x tekið út fyrir sviga vinstra megin) y x = (deilt með y 1 í báðar hliðar). y 1 33

38 Svo við getum valið hvaða tölu sem er fyrir y (nema eina tiltekna tölu, hver er hún?) og reiknað út x. Þá fáum við talnapar sem virkar. Verkefni 16 Leystu jöfnurnar: (a) ( x 1)( x ) = 0 (b) x ( x 1) = 0 (c) ( x + 1) x = 0 (d) ( x + )( x + 1) = 0 (e) ( x + 999)( x + 998) = 0 (f) ( x 99998)( x 9999) = 0 (g) Alhæfðu: ( x a)( x b) = 0 Stærðfræðin er full af tengingum og hliðstæðum. Einfaldar staðreyndir koma að notum í óvæntu samhengi, ganga aftur í margvíslegum verkefnum. Ein þeirra er sprottin af því að tekið er eftir því hvaða ályktun er hægt að draga um tvær stærðir, ef margfeldi þeirra er núll. Hér er enn meiri alhæfing en í síðasta lið síðasta dæmis: Verkefni 17 Hvað veistu um A og B ef þú veist að A B = 0? Að svara síðustu spurningu er að orða einn mikilvægasta eiginleika bókstafa- og talnareiknings! Verkefni 18 Leystu jöfnurnar (a) x 100 = 0 (b) ( x 100) = 0 (c) ( x 100) 3 = 0 (d) ( x 100) 009 = 0 (d) Alhæfðu: ( x a) n = 0 (Má n vera hvaða tala sem er? Gerðu grein fyrir því.) Verkefni 19 Leystu jöfnurnar (a) ( x a)( x b)( x c) = 0 34

39 (b) ( x a)( x b)( x c)( x d) = 0 Verkefni 0 Leystu jöfnurnar (a) x 5 = 0 (b) ( x 5) = 0 (c) 1 ( x 5) = 0 (d) Alhæfið: leysið jöfnuna k ( x 5) = 0 (Getur k verið hvaða tala sem er? Útskýrið.) Verkefni 1 Leystu jöfnurnar 1 (a) Búðu til jöfnu sem hefur lausnirnar x = 4, x = 3 og x = og engar aðrar. (b) Búðu til jöfnu sem hefur fjórar ólíkar lausnir, og ein þeirra er x = 0. Í mörgum vísindum, fræðum, við hönnun og við lausn alls kyns tæknilegra vandamála koma fram jöfnur sem þarf að leysa. Þær jöfnur geta verið mjög flóknar og oft er ekki hægt að leysa þær með beinum hætti. Stundum er hægt að finna góðar nálganir, og stundum er hægt að giska. En þegar fram kemur tilgáta um lausn, þá er alltaf hægt að prófa hana það er miklu auðveldara að athuga hvort tala er lausn heldur en að finna lausnina. Verkefni Athugaðu hvort x = 1 er lausn á jöfnunni x 5 3x 4 5x x + 4x 1 -Liðun og þáttun- Nú rifjum við upp, eða kynnum til sögunnar tæki til að nota þegar fengist er við algebruverkefni. Þetta eru tæki til þess að breyta stæðum á einu formi í annað, eða til þess að hægt sé að sjá sama hlutinn frá tveimur sjónarhornum: sem summu og sem margfeldi. Það fer eftir aðstæðum hvort formið hentar betur, og hvort segir okkur meira. Snemma á 17. öld setti landmælingamaðurinn Thomas Harriot ( ) fram tækni sem í þá daga var bylting, en er í dag sjálfsagt efni í kennslu í bókstafareikningi: 35

40 Settu alla liði jöfnunnar öðru megin jafnaðarmerkisins, svo að jafnan taki formið [einhver stæða] = 0. Verkefni 3 Við hverskonar verkefni getur verið gagnlegt að tjá stæðu sem margfeldi? Ef hægt er að þátta stæðuna öðru megin jafnaðarmerkisins (og hinu megin stendur 0), fáum við einfaldara verkefni, því þá getum við litið á hvern þátt fyrir sig. Tengingin á milli samlagningar og margföldunar er dreifireglan. Dreifireglan segir okkur að við megum taka út fyrir sviga sem svo er kallað. Stundum blasir við hvernig það er hægt en stundum getur þurft næmt auga til að sjá möguleikann. Sérðu til dæmis hvað hægt er að taka út fyrir sviga hér: ( a b)( a + b) + a b Hér er gott dæmi um gagnsemi þess að geta séð heila stæðu sem einn hlut. Mörgum finnst léttara að sjá hvað mögulegt er að taka út fyrir sviga hér: XY + X = X ( Y +1) en formið er nákvæmlega það sama og í jöfnunni á undan. Við búum bara til ný nöfn, X og Y. X = a b og Y = a + b Svo við getum alveg eins þáttað: ( a b)( a + b) + a b = ( a b)( a + b + 1) Verkefni 4 Túlkið þessa jöfnu að ofan sem mynd af flatarmálum. Hér er ein útgáfa: 36

41 1 a a b 1 a + b 1 b a b a + b + 1 Þó svo að áherslan í þessari bók sé fyrst og fremst á hugsun, en ekki sjálfvirkni, þá þarf maður líka að æfa sig í að nota tækni. Verkefni 5 Hér eru nokkrar tækniæfingar: takið út fyrir sviga. (a) xy yz + 3y (b) 4 4 ax + px + ix 4 (c) 3 fax + kex + sax (d) ( x + y)( z + v) + ( x + y)( z + v) (e) ( a + b)( c d) + ( a + b)( c + d) 4 Verkefni 6 Geturðu reiknað út margfeldið án þess að nota reiknivél? Nú leiðir þú út sígilda reglu, sem lætur lítið yfir sér, en er hið gagnlegasta tæki: Verkefni 7 Reiknaðu út margfeldið ( a + b)( a b) og einfaldaðu. Þetta samband sem þú reiknaðir út í verkefninu hefur reynst gagnleg í stærðfræði og því er venja að kenna hana í skólum, hún er oftast nefnd samokareglan: ( a + b)( a b) = a b Samokareglan gefur (meðal margs annars) leið til að reikna sum margfeldi í huganum: = ( )(1000 1) = = =

42 Þar sem margföldun getur túlkast sem flatarmál, er upplýsandi að skoða reglur um margföldun í því ljósi. Verkefni 8 Hvernig má sjá sannleika samokareglunnar með mynd? Til að athuga: Ein lausn gæti verið á þessa leið. = = + = Verkefni 9 Hér er þraut: Amma Önd var í sumar með ferningslaga kálgarð, sem er stærri en ferningslaga kálgarðurinn sem hún var með í fyrra. Af þessum sökum er uppskeran í ár 11 kálhausum meiri en hún var þá. Hvað fékk Amma Önd marga kálhausa úr garðinum í haust. Vísbending: Teiknið mynd. Notið samokaregluna. Prófið að einfalda dæmið: hvernig væri að reyna minni tölu? Nú lítum við á tvíliður í öðru veldi. (Tvíliða þýðir bara stæða sem hefur tvo liði.) Verkefni 30 Reiknaðu út margfeldin ( a + b) og ( a b). Þær formúlur sem þú fékkst eru sígildar og í uppáhaldi meðal prófsemjenda allra tíma, við getum nefnt þær ferningsreglurnar eins og stendur í mörgum bókum. Ég sýni hérna eina leið til þess að reikna út fyrra margfeldið, alveg í smáskrefum, þar sem á að sjást nákvæmlega hvaða reglur eru notaðar í hverju skrefi. ( a + b) = ( a + b)( a + b) = ( a + b) a + ( a + b) b = a + ba + ab + b = a + ab + b Svo ferningsreglurnar eru jöfnurnar ( a + b) = a + ab + b 38

43 ( a b) = a ab + b Verkefni 31 Reiknaðu út, án þess að nota reiknivél: (a) (b) (c) (d) Eins og áður er gagnlegt að hugsa frá sem flestum hliðum: Verkefni 3 Getum við skoðað reglurnar (samokaregluna og tvíliðureglurnar) með myndrænni túlkun (um flatarmál)? Hvernig? Þegar við breytum summu í margfeldi er talað um að þátta, en þegar við breytum margfeldi í summu er talað um að liða. Liðun og þáttun eru einskonar andhverfur, og gott dæmi um fram-og-aftur stef í stærðfræði. Verkefni 33 Hvort finnst þér erfiðara að liða eða þátta? Er mögulegt að búa til stæðu sem ómögulegt er að liða? Er mögulegt að búa til stæðu sem ómögulegt er að þátta? Ef þú hefur hugsað vel um síðasta verkefni hefur þú komist að því að það er miklu erfiðara verkefni að þátta en að liða. Þú getur liðað öll möguleg margfeldi, ef þú vandar þig, en það getur verið erfitt að þátta stæður, og stundum er hreinlega engin leið að þátta. Verkefni (a) Gakktu úr skugga um að ( x + 1)( x x + 1) = x + x x + 1. Hvort liðaðirðu vinstri hlið jöfnunnar eða þáttaðir þá hægri? (b) Búðu til þáttunardæmi sem hvorki félagar þínir né kennari getur þáttað, en þannig að þú þekkir svarið. Verkefni 35 39

44 Við skulum segja að við viljum reikna út margfeldi tveggja talna á hverjum daglega, en tölurnar sjálfar breytast dag frá degi. Yfirleitt er breytingin tiltölulega lítil, á bilinu eitt til tíu prósent. (a) Berðu saman margfeldi tveggja talna og svo margfeldið ef hvor þeirra hefur stækkað um 10%. Hver er hækkun margfeldisins í prósentum? (Svar: ( a + 0,1a )( b + 0,1b ) = ab + 0,ab + 0, 01ab ) (b) Settu dæmið í samhengi. Geturðu fundið upp á dæmi úr verslun og viðskiptum? (c) Skrifaðu almennara dæmi, hafðu breytinguna óþekkta prósentustærð. (d) Væri hægt að gera dæmið sérhæfðara eða almennara? Hugsaðu hvað ef, og hvað ef ekki? Það kemur mörgum á óvart að uppgötva mynstrið þegar tvíliður eru settar í hærri veldi og útkoman skrifuð skipulega niður. Verkefni 36 Liðaðu þessi margfeldi. Einfaldaðu eins og hægt er. 0 ( a + b), 1 ( a + b), ( a + b), 3 ( a + b), 4 ( a + b), 5 ( a + b) Tölur fyrir framan bókstafi í stæðum eins og 5 a eru nefndir stuðlar, hér er stuðullinn við a sem sagt talan 5. Ef við prófum að skrifa niður alla stuðla við öll margfeldi a og b í útkomunum hér að ofan fæst áhugavert mynstur: Byrjum á ( a + b) 0 = 1 og svo ( a + b) 1 = a + b, svo stuðlarnir eru 1 og 1. Næst er ( a + b + b) = a + ab svo stuðlarnir þar eru 1, og 1. Skrifum þetta svona: Hvernig eru næstu línur? Hverju getum við tekið eftir við mynstrið? Skrifaðu það sem þú sérð. Verkefni 37 Veldu tvær heilar tölur, þannig að mismunur þeirra sé. Margfaldaðu þær saman og bættu einum við. Er útkoman ferningstala? (Tala sem er einhver heil 40

45 tala í öðru veldi, til dæmis 4, 9 eða 16). Prófaðu nokkur önnur svona pör af tölum. Gerist þetta alltaf eða bara stundum? Hvað heldur þú? Ef þú vilt athuga hvort tilgáta þín standist geturðu athugað fleiri talnapör, en svo ættirðu að prófa að nota bókstafi, og nota alla eiginleika sem gefnir eru: hvað þýðir til dæmis að mismunur a og b sé? Hvernig geturðu skrifað margfeldi a og b og bætt einum við? Verkefni 38 Skrifum niður ferningstölur talnanna 1,, 3,... og tökum eftir og skráum mismun allra samliggjandi talna í þeirri röð: Ferningstölur: Mismunur: Í seinni röðinni er mismunurinn milli samliggjandi talna alltaf. Geturðu útskýrt hvers vegna? Verkefni 39 (a) Reiknaðu (b) Reiknaðu ( a + b + c) ( a + b + c + d) -Óuppsettar jöfnur- Í mörg þúsund ára gömlum kennslubókum er að finna óuppsettar jöfnur, svonefnd orðadæmi. Þau er líka að finna í þessari bók og eflaust hefurðu séð slíkar þrautir áður. Dæmin sjálf eru auðvitað ekki raunhæf í þeim skilningi að líklegt sé að maður lendi í þeim aðstæðum að þurfa að leysa þau utan skólans. Þau eru hins vegar ætluð sem æfing í að nota stærðfræðilega hugsun. Raunveruleg vandamál eru yfirleitt miklu flóknari en svona þrautir. Mörgum þykja þær samt erfiðar - og vissulega geta þær verið það - en það er vel hægt að hafa gaman af þeim, alveg eins og fólk hefur gaman af krossgátum, talnaþrautum eins og sudoku, skákþrautum, spurningaleikjum og heilabrotum af ýmsu tagi. Verkefni 40 (a) Geturðu skipt 100 í tvennt, geturðu fundið tvær tölur sem lagðar saman gefa 100? (b) Geturðu skipt 100 í tvennt, þannig að mismunurinn á tölunum sem samalagðar gefa 100 sé 30? 41

46 (c) Geturðu skipt gefinni tölu í tvennt, ef mismunurinn á tölunum sem mynda upphaflegu töluna er gefinn? Nákvæmlega hvernig? Ef þú átt að skipta tölunni a í tvennt, og mismunurinn á að vera b, hvernig geturðu reiknað út tölurnar? Á máli algebrunar mundi maður segja að við vildum finna tölur a og b, ef jöfnurnar X = a + b Y = a b eru gefnar. (X og Y eru þá gefnar tölur). Verkefnið (í c-lið) er fengið úr kennslubók Díofantosar frá þriðju öld eftir Krist. Í þeirri kennslubók voru fleiri dæmi af sömu ætt, en orðalagið er ef til vill dálítið knappt: Verkefni 41 Verkefnin eru: (a) Að skipta gefinni tölu í tvennt, ef hlutfallið er gefið. (b) Að finna tvær tölur í gefnu hlutfalli, ef mismunur þeirra er gefinn. Útskýrðu hvernig þú gætir leyst þessi verkefni. Hér sem endranær er mikilvægast að þú útskýrir með þínum eigin hætti, þannig að það sé skiljanlegt bæði þér og öðrum. Hér er ein gömul, hana er að finna á papýrus frá því um 1650 fyrir Krist: 100 brauðhleifum skal skipta milli 5 manna á þann hátt að hver og einn fær mismikið og munurinn á milli þess hvað hver fær og sá næsti er alltaf sá sami. Summa þeirra tveggja sem fá minnst á að vera einn sjöundi hluti af því sem þeir þrír sem fá mest, fá samanlagt. Táknmál algebrunar kom ekki til sögunnar fyrr en tvö þúsund árum síðar, svo þetta hefur verið dálítið þungt dæmi. Okkur sem síðar komum er þetta æfing í algebru, við einfaldlega göngum til verks og skrifum upplýsingarnar sem bókstafareikning: Ef sá sem fær minnst, fær x brauðhleifa, fær sá næsti x + a + a = x + a og svo koll af kolli. Við fáum jöfnuna 100 = x + ( x + a) + ( x + a) + ( x + 3a) + ( x + 4a) eða 100 = 5x + 10a ef við tökum saman, og þá x + a og sá þarnæsti 4

47 0 = x + a ef við deilum með 5 báðu megin jöfnunnar (sem er það sama og að margfalda hliðarnar með 51.) Svo fáum við að vita að þeir tveir sem fá minnst, fá einn sjöunda hluta þess sem hinir þrír fá, sem við skrifum: ( x + a) + ( x + 3a) + ( x + 4a) x + ( x + a) = sem verður 7 3x + 9a x + a = ef tekið er saman, og þá margföldum við með 7 og fáum 7 14 x + 7a = 3x + 9a og með því að laga aðeins til fæst 11 x = a. Nú höfum við á tvær jöfnur sem báðar þurfa að gilda í einu. (1) 0 = x + a () 11 x = a Ef jafna () er sönn um allar tölur x og a getum við skipt á stærðunum a og 11 x hvar sem önnur hvor þeirra kemur fyrir. Og nú vill svo heppilega til að í jöfnu (1) stendur stæðan a. Við megum því skipta inn á: 11 x í stað a. Fyrri jafnan er því jafngild þessari: 0 = x + 11x, sem þýðir að 0 = 1x og með deilingu og styttingu fæst þá lausnin x =. 5 3 Og nú getum við reiknað út a, því enn vitum við af jöfnu () að = a, svo a = Nú getum við sagt hvað hver og einn fékk af brauði. Verkefni 4 Hér er æfing úr gamalli kennslubók: Hvað eru þessir bræður gamlir? Ef þú leggur saman aldur þeirra í árum færðu 17, en aldursmunurinn er 3 ár. 43

48 Verkefni 43 Er hægt að leysa öll svona dæmi í eitt skipti fyrir öll? Hverju má breyta? Með hvaða skilyrðum? Verkefni 44 Hvort er hærri tala: tvisvar aldur þinn eftir ellefu ár, eða þrisvar aldur þinn eftir tvö ár? Verkefni 45 Faðir er 3 ára og sonur hans er 17. Hvenær er faðirinn tvöfalt eldri en sonurinn? Verkefni 46 Stærðfræðingurinn Augustus de Morgan, sem var uppi á 19.öld, tók eftir því að hann var x ára árið x sem var, í hans tilfelli, árið Hvað var hann gamall þá, og hvenær geta þeir sem eru fæddir árið 1980 búist við því að upplifa þetta? Gæti þetta gerst í þínu lífi? Verkefni 47 Hér er eitt þungt dæmi úr kennslubók Ólafs Daníelssonar í Algebru: Skipin Gullfoss og Goðafoss sigla viðstöðulaust kringum landið. Ef þeir fara í sína áttina hvor, mætast þeir á 1 dags fresti, en ef þeir fara báðir í sömu áttina, siglir 3 Gullfoss fram á Goðafoss á 15 daga fresti. Hve lengi er hvor um sig að fara kringum landið? Sumar jöfnur ná því að verða heimsfrægar. Hver hefur til dæmis ekki séð jöfnu Einsteins E = mc? Hún er úr eðlisfræði og lýsir sambandi orku og massa Verkefni 48 Skoðum aðeins jöfnu Einsteins, E = mc. Bókstafurinn E táknar orku, bókstafurinn m táknar massa, og bókstafurinn c táknar ljóshraða. Það má nota jöfnuna ef orkan er mæld í einingu sem heitir Joule, massinn er mældur í kílógrömmum og ljóshraðinn í metrum á sekúndum (og þá er c = ). Hve mikil orka er í einu grammi af efni? (Eitt kílógramm er þúsund grömm.) Einhvern tíma á 17.öld skrifaði franski lögmaðurinn Pierre Fermat á spássíu í bók, að hann hefði komist að eftirfarandi reglu (ef við orðum hana á táknmáli algebrunnar): n n a + b = c n 44

49 Jafnan a = n n n + b c á sér enga lausn, ef a, b og c eiga að vera heilar tölur, og veldisvísirinn n er stærri tala en. (Og engin af tölunum a, b eða c eru 0.) Hann skrifaði líka að hann hefði fundið á þessu dásamlega sönnun, en að það væri ekki pláss fyrir hana á spássíunni. Þessi fullyrðing hefur verið nefnd síðasta setning Fermats og stærðfræðingar glímdu við að finna á henni sönnun í meira en 300 ár. Breskum stærðfræðingi, Andrew Wiles tókst það loks árið 1994, en sönnun hans er mjög löng og flókin og er ekki skiljanleg nema með löngum undirbúningi og þjálfun (háskólanámi). Verkefni 49 Í Simpsons-þættinum Treehouse Of Horror VI (Þáttur 3F04) fór Hómer inn í 3ju víddina og í þrívíddarlandinu flugu framhjá honum nokkrar jöfnur, 1 1 þar með talin jafnan = 19 (a) Getur setning Fermats verið rétt, ef þessi jafna er sönn? Hvernig stangast þær á? (b) Er hægt að sjá að þessi jafna getur ekki staðist, alveg án þess að reikna neitt? Hvernig? (Þetta er mjög lúmskt, ef til vill hjálpar það manni að segja allt sem maður veit um tölurnar hægra megin annars vegar og vinstra megin hins vegar, og sjá hvort báðar hliðarnar geti verið af sama tagi.) 1 1 (c) Ef reiknað er á flestum reiknivélum og síðan tekin 1-ta rót, þá skilar vélin tölunni 19, sem er í mótsögn við a)-lið. Hvernig getur staðið á þessu? 1 Í stærðfræði er mýgrútur af óleystum jöfnum, eða flokkum af jöfnum, sem ekki er vitað hvernig á að leysa eða hvort hægt er að leysa, hér er ein: Er til einhver lausn á jöfnunni x p y q = 6 ef allar óþekktu tölurnar verða að vera heilar tölur? (Hér eru veldin líka óákveðin.) Verkefni 50 Nú skaltu hugleiða hvort þú getir rætt eftirfarandi spurningar: (a) til hvers gæti maður viljað leysa jöfnu? (b) hvaða aðgerðir er hægt að nota til þess að leysa jöfnu (og hvers vegna virka þær?) (c) hvernig er hægt að tjá að A sé jafnt B á nokkra mismunandi vegu? 45

50 (e) Ekkert helst hið sama í svo mikið sem andartak, andartak samanburðarins. Hvað merkir þetta? Hvenær á þetta við? Spurningin er ef til vill frekar heimspekileg en stærðfræðileg. Hér væri mjög gagnlegt að setja eitthvað á blað, og tækir þér tíma til að útskýra fyrir einhverjum öðrum, til dæmis á heimilinu. Þetta er hins vegar ekki æfing í að fletta bók, þú ættir að vinna þetta án þess að líta aftur í bókina. 46

51 3: Stærðfræðileg líkön Stærðfræði, eins og tónlist eða hver önnur list, er ein af leiðum okkar til að komast til fullrar sjálfsvitundar. Mikilvægi stærðfræðinnar liggur í því að hún er list; með því að upplýsa fyrir okkur eðli okkar eigin huga, upplýsir hún okkur um margt sem er háð hugsun okkar. - John W.N. Sullivan Til umhugsunar Hvers vegna er mínus sinnum mínus jafnt og plús? Auðvitað kanntu vel að leggja saman, draga frá, margfalda. Líklega hefur verið um þig, eins og flest börn, að þau læra (eða uppgötva?) fyrst muninn á einum og mörgum. Svo læra þau að telja: einn, tveir, þrír, fjórir, og svo framvegis. Og þau læra líka merkingu orðanna ekkert og enginn. Þetta eru náttúrulegu tölurnar. Það eru tölur sem samsvara fjölda hluta - þeir geta verið 0, 1,, 3, eða fleiri. Verkefni 1 Er hægt að bera saman fjölda hluta í tveimur hópum án þess að nota tölur? Hvernig? Hugsaðu um þetta í svolitla stund áður en þú heldur áfram að lesa eða skoðar myndina á næstu síðu. Spurningin í verkefninu tengist heimspekilegri spurningu: hvað er tala? Sumir hafa reynt að skilgreina hvað tölur eru, en það er í raun ekki til nein skilgreining sem allir geta fallist á, enda eru tölur nær því að vera einhvers konar hugsunargleraugu heldur en hlutir. Við hugsum með tölum og í tölum. Ef til vill hafa dýrahirðar fornaldar passað upp á fjölda dýra sinna með því að hafa steina til hliðsjónar. Hirðirinn gæti hafa parað saman eina steinvölu við eina kind áður en hann hleypti þeim á fjall. Svo gat hann séð hvort eitthvert dýrið vantaði þegar hann smalaði þeim aftur saman. 47

52 En einhvertíma hefur það gerst að maðurinn hætti að þurfa áþreifanleg hjálpartæki og fór í stað þess að telja. Þá þarf ekki lengur steina eða önnur hjálpartæki til þess að halda utan um fjölda, maður gerir það í huganum (eða með því að skrifa niður). Og einfaldur talnareikningur er sennilega fyrsta dæmið um það sem við getum kallað stærðfræðilegt líkan: í stað þess að nota áþreifanlega hluti notum við stærðfræðileg hugtök - í þessu tilviki tölur. Við getum alveg sleppt því að hugsa um þær í samhengi við áþreifanlega hluti, það eina sem skiptir máli eru eiginleikar talnanna. Og tala er einskonar eiginleiki hópa, við getum spurt um hvaða hóp sem er: hvað eru margir í hópnum. Þegar við erum að skoða hvaða reglur gilda um tölur erum við eiginlega að velta fyrir okkur eiginleikum eiginleika! Við höfum nú þegar talað um nokkra eiginleika talna og reikniaðgerða: það gildir víxlregla, tengiregla og dreifiregla um samlagningu og margföldun. Um þessa eiginleika var fjallað í fyrsta kafla, en þeir voru nær einungis ræddir með heilar tölur í huga. En ekki eru allar tölur heilar tölur þó að þær dugi til að telja hluti. Önnur túlkun á tölum byggir á hugmyndum okkar um lengdir og fjarlægðir. Við getum hugsað okkur að línustrik hafi tiltekna lengd, og að til sérhverrar jákvæðrar tölu heyri línustrik af samsvarandi lengd. Verkefni Hvað er þetta línustrik langt? 48

53 Þessi spurning er auðvitað brella. Svarið veltur á mælikvarðanum. Kannski mældirðu strikið með reglustiku og sást að lengdin var nálægt því að vera 5,4 sentímetrar. En í fyrsta lagi er ekkert heilagt við sentimetra og í öðru lagi er það ekki sérlega nákvæm mæling. Það sem reglustikan sýnir er í besta falli að lengdin falli nær því að vera 5,4 sentimetrar en að vera 5,3 eða 5,5 sentimetrar. Í fyrsta kafla beindum við athygli okkar að nokkrum staðreyndum um talnareikning. Til dæmis því að það skiptir ekki máli í hvaða röð við leggjum tvær tölur saman. Ein leið til að sjá fyrir sér víxlregluna er að horfa á þessar tvær myndir: a b b a Við hugsum okkur að við leggjum saman línustrikin, það skiptir ekki máli hvort er vinstra megin og hvort hægra megin. Ef við erum að reikna með heilum tölum, þá er hægt að hugsa sér að margföldun sé það að leggja saman oft. Við getum túlkað margfeldið 3 8, þrisvar sinnum átta, sem summuna átta plús átta plús átta, Við getum til dæmis hugsað okkur þrjár láréttar raðir af átta hlutum. Þetta eru líka átta lóðréttar raðir (dálkar) af þremur hlutum! Svo það er líka hægt að hugsa margfeldið sem sem er átta sinnum þrír. En margföldun tveggja talna má líka túlka sem flatarmál, eða hreinlega tvívíðan flöt. Ef við hugsum okkur að tölur svari til línustrika, þá svarar margfeldi línustrikanna til ferhyrningslaga flatar: 49

54 a b a b b a Hér er engin ástæða til þess að tölurnar þurfi að vera heilar, en er eitthvert annað skilyrði sem takmarkar það að þessi mynd sýni að margföldun sé víxlin aðgerð, það er að segja, að ab = ba? Hvað með neikvæðar tölur? Verkefni 3 Ímyndaðu þér að víxlreglan gilti ekki um margföldun. Hvað mundi það þýða? Er hægt að hugsa sér einhverjar slíkar aðstæður? Til að athuga: Er til dæmis hugsanlegt að einhverjar geimverur væru með þannig sjónskekkju að þegar hlut væri snúið breyttist lögunin? Stærðfræðin notar stundum sérstakt tungumál til þess að tjá staðreyndir, reglur, og hugmyndir. Til dæmis eru víxlreglurnar ritaðar svona: Um sérhverjar tvær jákvæðar tölur, a og b gilda reglurnar a + b = b + a a b = b a Þarna sjáum við fyrir okkur að í stað bókstafanna a og b gætu staðið hvaða tölur sem er, og samkvæmt gamalli venju er ekkert því til fyrirstöðu að a og b geti verið sama talan. Þegar þú lest reglur sem þessar verður þú að vara þig á því að hvert einasta smáatriði skiptir máli. Hér að ofan er það til dæmis tekið sérstaklega fram að tölurnar eiga að vera jákvæðar, sem í stærðfræði þýðir að þær verða að vera stærri en núll. Víxlreglurnar gilda að vísu líka um allar neikvæðar tölur, en hugleiðingarnar hér að ofan eru eingöngu um heilar jákvæðar tölur og lengdir strika (sem svara til jákvæðra rauntalna). Jákvæðu heilu tölurnar geta verið líkan af fjölda. Neikvæðu tölurnar geta verið líkan af skorti eða skuldum, breytingu (minnkun, fækkun eða tilfærslu), eða að eitthvað er 50

55 hugsað í hina áttina. Hvað vantar upp á hóp 8 stúlkna að þær nái í 11 manna fótboltalið? Jú, það vantar 3 stúlkur. Við erum í raun og veru bara að leyfa okkur að skrifa sömu upplýsingar á mismunandi vegu. Það skiptir engu hvort ég skrifa: 8 11 = (-3), 8 = (-3) + 11, 3 = (-8) + 11, eða jafnvel 0 = (-3) + (-8) + 11 Í orðum gætum við hugsað okkur: ef ég á 8 stykki en þarf 11 vantar mig 3, eða ég á í raun 8 krónur ef ég skulda þrjár en hef 11, og svo framvegis. Grundvallaratriðið er að líkanið gengur upp með þessum reikniaðferðum. Í stærðfræði skilgreinum við neikvæða tölu á eftirfarandi hátt: Ef a er jákvæð tala, þá er ( a) neikvæða talan sem virkar þannig: a + ( a) = 0 Það eina sem þarf í raun að vita um neikvæðar tölur til að geta reiknað er hvernig þær virka. Við getum notað þær í reikningi án þess að hafa áhyggjur af því hvað þær merkja. Og sama á við um öll stærðfræðileg hugtök! Þó að það skipti auðvitað miklu máli að læra hvernig hægt er að láta stærðfræðileg hugtök merkja eitthvað. Verkefni 4 Hvernig væri hægt að gefa neikvæðum tölum myndræna merkingu? Til að athuga: Hér er ein leið: við getum hugsað okkur að hvert línustrik stefni í eina átt. Ef a táknar strik, þá gæti a táknað strik sem er alveg eins og a nema að það stefnir í öfuga átt. a a Vandinn hér er að gera grein fyrir því hver eru jákvæðu strikin og hver neikvæðu, og hvað merkir að leggja saman og draga frá: við neyðumst til að krefjast þess að þau liggi öll á sömu línunni. En þá lendum við í vandræðum með margfeldið. Við leyfum þessum pælingum að lifa, hér verða ekki gefin frekari svör. Til eru stærðfræðikenningar um almennan reikning með strikum, sem þú átt kannski eftir að kynnast síðar. 51

56 En nú eigum við eftir að skoða hvernig neikvæðar tölur virka í margföldun. Við höldum okkur nú við náttúrlegar tölur: heilar tölur og ekki neikvæðar. Spurningin er ekki hvernig er margföldun með neikvæðum tölum í raun og veru. (Hver ákveður hvað er í raun og veru ) heldur frekar þessi: hvernig viljum við að þær virki? Er einhver gagnleg og eðlileg túlkun á margföldun neikvæðra talna? Það er nokkuð ljóst að ef maður eykur við skuldir sínar, um 1000 krónur á dag, þá skuldar maður 7000 krónum meira eftir viku. Því er eðlilegt að 7 (-1000 ) = Og í samræmi við venjulega margföldun höfum við (-1000 ) 7 = En hvað með (-7) (-1000 )? Þú veist kannski að (-7) (-1000 ) = 7000, því mínus sinnum mínus gerir plús. En af hverju? Í raun og veru er þetta bara samkomulagsatriði, en reyndar er það mjög mikilvægt! Ef við viljum geta reiknað með sömu aðferðum og reglum og gilda um jákvæðar tölur þá er það óhjákvæmilegt. Verkefni 5 Ljúktu við töfluna: í efri röðinni eru heilu tölurnar frá og með -3 upp í 5. Í neðri röðina á að færa inn útkomuna sem fæst ef við reiknum margfeldið (-1) sinnum talan í efri röðinni. Ein tala hefur verið færð inn. n (-1) n - Taktu eftir mynstrinu. Hvernig fer maður til hægri í töflunni? En vinstri? Verkefni 6 Hugsaðu þér að þú standir á beinni línu. Þú ferð tvö skref áfram, síðan eitt afturábak, svo þrjú áfram, en að lokum átta afturábak. Hvar stendurðu að lokum, hvað hefðirðu getað gert í upphafi til að komast beint á lokapunktinn? Væri hægt að lýsa ferðalögum sem þessum á einhvern almennan hátt: ef maður tekur x skref áfram og 5

57 svo y skref afturábak, hvert er maður kominn? Þetta er ágætt dæmi um stærðfræði sem tungumál. Bara við það að geta talað og hugsað um neikvæðar tölur verður miklu auðveldara að eiga við alls konar verkefni og vandamál þar sem tvær áttir koma við sögu. Eða sýnir þetta dæmi vel fram á gagnsemi þess að hafa neikvæðar tölur til umráða? Geturðu ímyndað þér annað dæmi, hugsanlega betra? Víxlregla gildir um samlagningu og margföldun. En gildir hún þegar dregið er frá? Verkefni 7 Reiknaðu út margfeldið ( 1) (1 1) með tveimur mismunandi aðferðum. Annars vegar með því að nota dreifiregluna, a ( b + c) = ab + ac (hvaða tölur eru a, b og c í þessu dæmi?) og hins vegar með því að reikna fyrst út hvað er í sviganum og margfalda þá niðurstöðu með ( 1). Til að athuga: Í stærðfræði skrifum við röksemdarfærslur í þessum dúr: Ef þú skrifar útkomurnar, fæst jafnan ( 1) 1+ ( 1) ( 1) = 0, og með því að við vitum að ( 1) 1 = 1, getum við bætt einum við báðar hliðar jöfnunnar og fengið að ( 1) ( 1) = 1. Síðasta verkefni sýnir fram á að ef dreifireglan á að gilda um allar tölur, þá er óhjákvæmilegt að ( 1) ( 1) = 1. Verkefni 8 Það að mínus sinnum mínus jafnt og plús má sjá fyrir sér á talnalínu. Við getum túlkað margföldun með ( 1) sem speglun um töluna 0. Gerðu skýringamynd sem sýnir það. Eins og þú ert vonandi að koma auga á getum við eytt margföldun með ( 1) með því að margfalda aftur með ( 1). Þannig er hægt að fara fram-og-aftur með því að gera nákvæmlega sama hlutinn. Verkefni 9 Þessi óhlutbundna hugmynd, mínus sinnum mínus jafnt og plús gengur ljósum logum um menningu okkar og tungumál. Til dæmis er hliðstæða í því sem er nefnt tvöföld neitun, þegar einhverju er neitað tvisvar sinnum til þess að fá út jákvæða 53

58 merkingu. Stundum á slíkt við en stundum alls ekki, og ófáir brandarar nýta sér þá óvissu. Hvað finnst þér um eftirfarandi setningar? (a) Óvinur óvina minna er vinur minn. (b) Two wrongs don t make a right. (c) Ég tek heils hugar undir hugmyndir þessar enda eru þær alls ekki óvitlausar! (d) Jón var hér tíður gestur og heimsótti okkur ekki ósjaldan. Lítum nú á einfalda deilingu heilla talna: 1 3 = 7 Hvað merkir þessi jafna? Jú, við erum vön að túlka hana sem svo: ef maður skiptir tuttugu og einni kúlu jafnt á milli þriggja einstaklinga, þá fær hver þeirra sjö kúlur. En hún getur líka þýtt: ef maður myndar þriggja manna hópa í bekk með tuttugu og einum nemanda, þá verða hóparnir sjö talsins. Verkefni 10 Hvað er líkt og hvað er ólíkt með eftirfarandi spurningum? (a) Hópur 330 skólabarna ætlar í ferðalag. Rútufyrirtækið býður upp á 30-sæta rútur. Hvað þarf að panta margar rútur? (b) Skipta á 330 pítsusneiðum jafnt milli 55 barna. Hvað fær hvert barn margar sneiðar? (c) Hópur 118 skólabarna ætlar í ferðalag. Rútufyrirtækið býður upp á 30-sæta rútur. Hvað þarf að panta margar rútur? Tökum eftir því að jöfnurnar 1 3 = 7, 1 7 = 3, og 1 = 7 3 segja allar það sama, í þeim felast nákvæmlega sömu upplýsingarnar. Það er almennt lykilatriði í stærðfræðilegri hugsun: að sjá að hvað er líkt með hlutum og geta sýnt sama sambandið á mismunandi vegu. 54

59 Nú gerist það, að ekki er hægt að skipta stærð í tiltekin fjölda af jöfnum hlutum. Til dæmis samsvara 5 3 ekki neinum heilum fjölda. Í stærðfræði er þetta orðað sem svo að deiling heilla talna sé ekki lokuð aðgerð. Ef aðgerðin gefur alltaf útkomu sem tilheyrir upphaflega talnamenginu er hún sögð lokuð, annars ekki. Hér er eitt margfeldi: a b c Verkefni 11 (a) Hvað er hægt að sjá marga ferhyrninga á myndinni? (b) Hver eru flatarmál minni ferhyrninganna tveggja? (c) Hvert er flatarmál stærsta ferhyrningsins? Skrifaðu flatarmálið á tvo vegu. Þetta ætti að gefa eina skýringu í viðbót á dreifireglunni a (b + c) = ab + ac gildir um allar jákvæðar tölur a, b, og c. Það getur verið mikils virði að draga upp úr huganum þau lögmál sem maður notar ósjálfrátt í hugsun sinni. Í þessum kafla hefur athygli þinni verið beint að nokkrum reiknireglum sem allir sem kunna að fara út í búð notfæra sér. Oftast er það ómeðvitað. Hluti af því að menntast er að verða meðvitaðri. Bæði um sjálfan sig og heiminn. Og stærðfræðin er að verki í hugum okkar allra á hverjum degi auk þess sem hún er notuð í vísindum og tækni. Til að hún komi að sem mestu gagni er vænlegt að skerpa á henni og reyna að vera meðvituð um þá möguleika sem hún býður upp á til skilnings á heiminum. 55

60 Sumum finnst efni eins og er í þessum kafla dálítið einkennilegt: af hverju að gera svona mikið mál úr hlutum sem eru augljósir hvort sem er, allir vita til dæmis að = Fyrir stærðfræðinga og fræðigreinina sjálfa skiptir hins vegar mjög miklu máli að gera grein fyrir undirstöðunni - hvaða staðreyndum göngum við ósjálfrátt út frá þegar við reiknum. Ein þessara reglna er dreifireglan: hún kemur að gagni nánast daglega, því hún er notuð þegar maður margfaldar til dæmis 15 3 = = = 45. Þarna notaði ég mér að 15 = og svo margfaldaði ég hvorn lið fyrir sig, en lagði saman að lokum. Til þess að fá ná betri tökum á reglum, skilgreiningum og verkefnum er ekki bara gott að hugsa um dæmi sem ganga upp og hvernig er þetta. Það er líka gagnlegt að spyrja sig: hvað ef ekki? Hvað ef þetta er alls ekki svona? Til dæmis hvað ef dreifireglan segði ekki: a (b + c) = ab + ac, heldur eitthvað annað, til dæmis a + (b c) = (a + b) (a + c). (Víxlað á reikniaðgerðum!) Verkefni 1 (a) Gildir þessi óvenjulega dreifiregla hér að ofan? Geturðu fundið dæmi um tölur sem sýna að jafnan a + (b c) = (a + b) (a + c) er ekki alltaf sönn? (b) Þó að reglan gildi ekki alltaf er ekki þar með sagt að engar þrjár tölur uppfylli jöfnuna, það gætu alveg verið til einhverjar tölur a, b og c sem ganga. Reyndu að finna einhverjar slíkar tölur. (c) Prófaðu tölurnar a = 1 3, b = 1 5 og c = (d) Er eitthvað sérstakt við tölurnar í c-lið? Geturðu fundið fleiri svona tölur? Stærðfræði er að mörgu leyti mjög sérstök grein. Hún er óhlutbundin - hún fjallar ekki um áþreifanlega hluti eins og epli og appelsínur. Það er eitt af því sem gerir hana erfiða námsgrein. Meginmunurinn á stærðfræði og flestum öðrum vísindagreinum er hins vegar sá að allar niðurstöður stærðfræðinnar eru staðfestar með röksemdafærslum. Auk þess eru stærðfræðilegar röksemdafærslur nákvæmari, heillegri, skýrari og venjulega pottþéttari en gerist og gengur í öðrum fræðigreinum einnig þeim sem komast næst stærðfræði í að byggjast á röksemdafærslum, eins og til dæmis sumum sviðum heimspekinnar. Og stærðfræðilegur texti er að mestu leyti ekkert annað en röksemdafærslur. Röksemdarfærsla í stærðfræði heitir sönnun. Ef þú 56

61 vilt leggja stund á eða læra stærðfræði er mikilvægt að læra að lesa sannanir og svo líka að skrifa sannanir. Byrjum á að sanna regluna (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Þú hefur kannski oft notað þessa reiknireglu og þér virðist hún kannski augljós. En það er hægt að rökstyðja hana fullkomlega með því að nota fyrri reglur: Fyrst tökum við eftir því að við megum rita jöfnuna (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d samkvæmt dreifireglunni. Athugaðu: Hér verður þú að sjá og hugsa um svigann (a + b) sem eina stærð. Við gætum til dæmis gefið þessari stærð nýtt nafn, segjum X, og þá værum við bara að segja X (c + d) = X c + X d sem er leyfilegt samkvæmt dreifireglunni. Og nú notum við aftur dreifireglu á útkomuna. Ef henni er beitt á báða liðina (a + b) c og (a + b) d og þá fáum við út að (a + b) c + (a + b) d = ac + bc + ad + bd sem er jafnt ac + ad + bc + bd vegna þess að víxlreglan gildir um samlagningu. Athugaðu: Sönnunin gengur semsagt út á að sýna jöfnukeðjuna (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd = ac + ad + bc + bd Svo nú hefur verið sýnt fram á að 57

62 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Þegar þú skoðar sönnun eins og þessa verður þú að gæta þig á því að fara ekki of hratt - ef eitthvað er óljóst þarftu að athuga málið nánar. En engin sönnun flýgur af sjálfri sér, hún styðst alltaf við einhverjar forsendur, eitthvað sem áður hefur komið fram. Verkefni 13 Hvaða forsendur eru notaðar í sönnuninni hér að ofan? Með öðrum orðum: hvaða reglur þurfa að vera örugglega sannar til þess að þessi regla verði örugglega sönn? Til að athuga: skoðaðirðu hvort notaðar voru víxlreglur, tengireglur og dreifireglur? Verkefni 14 Hvaða tækni var beitt í sönnuninni sem gerði kleift að nota dreifiregluna á mikilvægu augnabliki? Til að athuga: Til dæmis þegar litið var á svigann (a + b) sem eina stærð, einn lið. Kannski datt þér eitthvað annað í hug sem þér þótti athyglisvert. Er jafnvel enn meira sannfærandi að horfa á eftirfarandi mynd og telja ferhyrninga? b a c d Verkefni 15 Útskýrið hvernig myndin tengist reglunni (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Stundum er sagt í gamni að í stærðfræði fáist menn við að sanna hluti sem eru annaðhvort (a) augljósir hvort sem er, eða (b) augljóslega rangir. 58

63 Verkefni 16 Er einhver ástæða til þess að sanna augljósa hluti? Hvað finnst þér annars um brandarann hér að ofan? Veistu um einhver dæmi úr stærðfræði sem væri hægt að túlka þannig að þeir séu rangir? Til að athuga: Í fyrsta lagi er það sem er augljóst stundum ekki augljóst þegar betur er að gáð. Það gerist líka oft að það sem eitt sinn var talið augljóst er síðar talið beinlínis rangt. Í öðru lagi er mikilvægt að vita á hverju þekking manns hvílir - hvaða forsendur eru í huga manns. Það er líka áhugaverð og djúp pæling: hvað þarf maður að gefa sér að sé satt, til þess að geta dregið allar hugsanlegar sannar ályktanir af því. Verkefni 17 Austurríski heimspekingurinn Ludwig Wittgenstein ( ) sagði eftirfarandi: Mörk tungumálsins eru mörk hugans. Allt sem ég veit eru þeir hlutir sem ég á orð yfir. Hvað á hann við? Ertu sammála? Kemur stærðfræði þessu við? Hvernig eða hvers vegna ekki? Verkefni 18 Nú skaltu hugleiða hvort þú getir útskýrt eftirfarandi hugtök fyrir þér og öðrum: stærðfræðilegt líkan víxlregla um samlagningu og margföldun neikvæðar tölur tengiregla um samlagningu og margföldun dreifiregla sönnun Hér væri mjög gagnlegt að setja eitthvað á blað, og tækir þér tíma til að útskýra fyrir einhverjum öðrum, til dæmis á heimilinu. Þetta er hins vegar ekki æfing í að fletta bók, þú ættir að vinna þetta án þess að líta aftur í bókina. 59

64 4: Veldi og rætur Stærðfræði má skilgreina sem þá grein þar sem við vitum aldrei um hvað við erum að tala, né hvort það sem við segjum er satt. - Bertrand Russel Ráðgátan um stærðfræði, eins og dýrð hennar, liggur ekki svo mikið í því að óhlutbundnar kenningar reynast gagnlegar til að leysa vandamál, heldur, undur og stórmerki, í þeirri staðreynd að kenning sem smíðuð var til að leysa eina gerð af vandamálum felur oft í sér einu leiðina til þess að leysa vandamál af allt annari tegund, vandamál sem kenningin átti aldrei erindi við. - Gian-Carlo Rota Til umhugsunar Bakteríutegund fjölgar sér með skiptingu, ein baktería skiptir sér og verður að tveimur á 30 sekúndna fresti. Ef ein baktería er í bakkanum í byrjun, hvenær verða þær orðnar fleiri en ? Stærðfræði er best að læra með því að hugsa um áhugaverðar spurningar. Giskaðu á svarið við spurningunni (til umhugsunar) í kassanum áður en þú glímir við það í smáatriðum. Verkefni 1 Bakteríutegund fjölgar sér með skiptingu, ein baktería skiptir sér og verður að tveimur á 30 sekúndna fresti. (a) Ef við byrjum með eina bakteríu, giskaðu á hve langur tími líður þangað til þær eru orðnar fleiri en talsins. (b) Hve margar eru bakteríurnar eftir eina mínútu? Tvær mínútur? Átta mínútur? (c) Hvenær eru bakteríurnar orðnar fleiri en ? Verkefni Við uppgufun rýrnar magn vökva um þriðjung á klukkustund. Í upphafi eru 100 lítrar. (a) Giskaðu á það hve lengi þarf að bíða þangað til það er minna en einn lítri eftir. 60

65 (b) Hve mikill vökvi er eftir þegar ein klukkustund er liðin? En þrjár, fjórar, fimm, sex? (c) Hve lengi þarf að bíða þangað til það er minna en einn lítri eftir? Í þessum verkefnum varstu að fást við veldareikning. Að hefja tölu í heilt jákvætt veldi er að margfalda töluna með sjálfri sér aftur og aftur. Ein spurning sem kann að hafa vaknað er: ef það var meira en lítri eftir af vökva eftir fimm klukkustundir, en minna en lítri eftir sex klukkustundir, hvenær var þá nákvæmlega einn lítri eftir? Spurning táknmáli stærðfræðinnar væri þá: Nú er ( 6 ) = 0, 0878, og 5 ( ) = 0, 13. Er r til einhver tala r þannig að ( 3 ) = 0, 1? Ætti þá r að vera tala milli 5 og 6? Við getum ekki svarað þessari spurningu í þessari bók, og það kann að koma á óvart en í raun og veru er dálítið flókið mál að útskýra hvort og hvernig talan r er fundin. (Reiknivélar hafa forritaða aðferð til þess að finna nálganir á svona tölum, og ef þú vilt vita gildið á r með nokkrum réttum aukastöfum geturðu fundið það með því að finna takka merktan ln á reiknivél, og reikna út ln( 0,1/( 3)) ). 3 3 Verkefni 3 Hér hafa nokkur veldi af verið færð í töflu. Til þess að hækka veldi um 1 margfaldar maður með. En hvað gerir maður til þess að lækka veldi um 1? Hvernig mundi maður þá ljúka við töfluna? n er jafnt 4 8 Taktu eftir mynstrinu. Hvernig fer maður til hægri í töflunni? En vinstri? Verkefni 4 Hér hafa nokkur veldi af 3 1 verið færð í töflu. Fylltu töfluna út eftir sama mynstri, notaðu sömu aðferð til að fara til hægri eins og gert er, og líka til vinstri. Hvað gerir maður til þess að hækka eða lækka veldi um einn? 1 ( ) n 3 ( 1 3) 3 ( 1 1 3) ( 1 0 3) ( 1 3) ( 1 1 ) 3 ( 1 3) ( 1 3 3) ( 1 4 3) ( 1 5 3) er jafnt

66 Hér geturðu meðal annars tekið eftir því hvað það merkir að deila með broti. Samskonar mynstur og kom fram í þessum tveimur verkefnum kemur fram ef maður gerir svona töflu fyrir aðrar tölur, (en það er þó ein undantekning). Verkefni 5 Við viljum láta sama yfir allar tölur ganga. Svo nú skalt þú skilgreina: a n = Það er sérstaklega mikilvægt að muna að a 1 = 1. Rifjum upp að deiling er skrifuð a með nokkrum mismunandi táknum, til að tákna brotið má allt eins skrifa / 3, : 3 3 eða 3. Nú höfum við einn möguleika í viðbót, við getum líka skrifað 1 3. Verkefni 6 Reiknaðu = 1 5 = 1 a b ( b ) = 36 : : 5 1 a b : ( b ) = 36 = = 5 a b b = 36 9 = 1 = 5 = 100 = a b b = Markmið verkefnisins er að vekja athygli á þeirri staðreynd að 1 X : a = X a, sem gildir alltaf nema þegar a = 0. Þetta gerir að verkum að það er hægt að reikna út úr stæðum eins og margfeldi, því a : b : c : d með því að breyta öllum deilingarmerkjum í viðeigandi a : b : c : d = a b c d. Verkefni 7 Talan 0 er til dálítilla vandræða. Hvað ætti 0 1 að tákna? En 0 0? Kannski er sniðugt að gera töflu: 6

67 = 1 0 = = =? 0 1 = 0 0 = = 0... Það virðast vera tveir möguleikar fyrir 0 0. Við ætlum ekki að ákveða hvort er, enda væri það bara val eða samkomulags atriði: það er ekki hægt að segja hvað 0 0 er í raun og veru. Eins og allt annað í stærðfræði fer það bara eftir því hvað hentar, hvað er gagnlegt. Hins vegar er alveg ljóst að 0 1 getur ekki haft sömu merkingu og ef núll væri venjuleg tala, því táknið 1 0 hefur enga merkingu. Með því að alhæfa út frá þeim mynstrum sem við höfum séð í síðustu verkefnum sjáum við að það virðist skynsamlegt að skilgreina sem svo: 1. Um allar heilar tölur, nema núll, gildir að ef hún er sett í núllta veldi fæst talan 1.. Þegar heil tala (en ekki núll) er hafin í neikvætt veldi, er það það sama og að deila með tölunni í samsvarandi jákvæðu veldi. Þú tekur eftir því að orðalagið í seinni liðnum er dálítið flókið, enda er miklu einfaldara að segja þetta á táknmáli algebrunar: 1. Um sérhverja heila tölu a, ef a 0, gildir að a 0 = 1.. Um sérhverja heila tölu a, ef a 0, og náttúrlega tölu n gildir að a n = 1 a n Hér er eitt til að taka sérstaklega eftir: sagt er að talan n eigi að vera náttúrleg tala. Verkefni 8 Af hverju er ekki skynsamlegt að segja að n sé hvaða heila tala sem er (jákvæð eða neikvæð)? Ef n er heil tala, er þá talan ( n) endilega neikvæð? 63

68 Hér er rétt að benda á eitt atriði um rithátt. Ef við viljum setja neikvæða tölu í veldi þá skrifum við til dæmis (-3) sem táknar (-3) (-3) og útkoman er 9. Ef við skrifum hins vegar -3 þá meinum við (3 ) sem táknar (3 3) að rugla þessu saman. og er jafnt -9. Það er auðvelt og algengt Verkefni 9 Er til einhver tala, x, þannig að ( x) = x? (Svar: já, það er ein slík tala, hver er hún?) En er til tala, þannig að 3 3 ( x) = x? (Svar: já, það eru óendanlega margar slíkar tölur.) Hvað með aðra veldisvísa? Ef til vill er um reglu að ræða, hver gæti hún verið? Hvernig væri hægt að rökstyðja hana? Verkefni 10 Reiknaðu 5 3. Er hægt að skrifa svarið sem veldi af, er til tala n, þannig að svarið megi skrifa sem n? Reiknaðu svo a 5 a 3 en ekki nota neina reglu um veldi, notaðu eingöngu merkingu veldatáknsins. Sýndu að lokum fram á regluna a n a m = a n + m þannig að þú sjálf(ur) sjáir hvers vegna hún er sönn: Verkefni 11 Reiknaðu margfeldin án þess að nota annað en merkingu veldatáknsins: a 5 a 3, a -5 a 3, a -5 a 3, og a m a 0. Settu fram reglu um það hvernig hægt er að reikna út am. Gildir reglan um allar heilar tölur m og n? Sýndu fram á að reglan er n a sönn. Verkefni 1 Reiknaðu ( 3) 4 og (Gerðu það með því að nota tölurnar og 3 aftur og aftur). Geturðu rökstutt regluna (ab) n = a n b n? 64

69 Verkefni 13 Reiknaðu ( 3 ) 4 og ( 4 ) 3 og 4 3. Gerðu það með því að nota bara töluna (já það eru dálítið margir tvistar). Geturðu rökstutt regluna (a n ) m = (a m ) n = a m n? Verkefni 14 Reiknaðu ( 1 1 a ) og (( a ) ) Hvað kemur út ef við höfum ekki þrjá veldisvísa sem eru 1, heldur tíu? Hvað ef fjöldi þeirra er n? Útskýrðu. Verkefni 15 Hvað er ( )? En ( )? Hvað kemur í ljós? Gildir það sama um 3 (3 3 ) og (3 3 ) 3? Venja er að láta táknið a bc merkja að a sé sett í veldið b c, semsagt eru efstu veldin reiknuð fyrst. Þó er oftast vissara að nota sviga til að sýna hvað maður á við. Verkefni 16 Reiknið og einfaldið: ( a : a) 1 = ( a : a : a) 1 = ( a : a : a : a) 1 = Í síðasta dæminu voru fjögur a. Hvað færðu ef þú reiknar samskonar dæmi og það standa hundrað a? Alhæfðu: hvað gerist ef fjöldi a-táknanna er n? Útskýrðu. Verkefni 17 Reiknið og einfaldið: ( a a) 1 = ( a a : a) 1 ( a a : a a) = 1 = Hvert yrði næsta dæmi? Ef við látum skiptast á margföldun og deilingu, hvað færðu ef þú reiknar samskonar dæmi og það standa hundrað a? En ef fjöldi a-táknanna er n? Útskýrðu. Verkefni 18 Reiknið og einfaldið: 65

70 ( a a) 1 = ( a a : a) ( a a : a a) = 3 = Hvert yrði næsta dæmi? Ef við látum skiptast á margföldun og deilingu, hvað færðu ef þú reiknar samskonar dæmi og það standa hundrað a? En ef fjöldi a-táknanna er n? Útskýrðu. Verkefni 19 Reiknið og einfaldið: ( a ( a ( a : a) : a : a = : a : a 1 1 ) 1 : a = 1 ) 1 = Hvert yrði næsta dæmi? Hvað færðu ef þú reiknar samskonar dæmi og það standa hundrað a? En ef fjöldi a-táknanna er n? Útskýrðu. Rifjum nú upp hvað það er að draga ferningsrót (sem stundum er nefnd kvaðratrót eða bara rót.) Látum a vera jákvæða tölu. Þá er ferningsrót hennar táknuð með a og hún er skilgreind af tveimur eiginleikum: 1. a = a. a er jákvæð tala Verkefni 0 Hver er stærsta heila jákvæða tala N, minni en , sem er þannig að 1 + N er heil tala? (Hér er tilvalið að nota reiknivél og prófa og giska, auk þess að beita rökhugsun.) Verkefni 1 (a) Hvað er 9 4 og hvað er 9 4? Prófaðu fleiri samskonar dæmi. Hvað kemur í ljós? (b) Hvað er og hvað er 9 + 4? Prófaðu fleiri samskonar dæmi. Hvað kemur í ljós? Verkefni 66

71 (a) Hvað nákvæmlega þýðir X = ab? Reyndu að skrifa það eftir skilgreiningunni hér að ofan: hvað merkir ferningsrót? (b) Prófaðu að setja X = a b. Hvað er X? (c) Geturðu skrifað reglu um tengsl ab og a b? (d) Hvað nákvæmlega þýðir X = a + b? Reyndu að skrifa það eftir skilgreiningunni hér að ofan: hvað merkir ferningsrót? (e) Prófaðu að setja X = a + b. Hvað er X? (Til þess að reikna það út þarftu að geta reiknað margfeldi eins og ( x + y)( z + w) ). (f) Hvað getum við sagt um tengsl a + b og a + b? Nemendum hættir til að gera eina ákveðna villu í meðferð ferningsróta. Hvaða villa ætli það sé? Hvað heldur þú? Af hverju stafar hún? Verkefni 3 Reiknið 3 a, 5 a og 7 a. Geturðu notað þessar útkomur til að segja hvað kemur út úr einhver jákvæð heil tala? Rökstyddu niðurstöðuna. n 1 a ef n er bara Verkefni 4 Reiknið a 4 b, a 6 b 4 og a 8 b 6. Geturðu notað þessar útkomur til að segja hvað kemur út úr einhver heil tala sem er stærri en 1? Rökstyddu niðurstöðuna. n n a b ef n er bara Verkefni 5 Reiknið a b c, a b c og a b c. Geturðu notað þessar útkomur til að segja hvað kemur út úr n n+ 1 n+ a b c ef n er bara einhver heil tala sem er stærri en? Ef til vill þarf að útskýra tvö mismunandi tilfelli. Rökstyddu niðurstöðuna. 1 Verkefni 6 Hvernig væri hægt að gefa stærðartáknum eins og 1 1 um þetta: hvað ætti að vera, ef veldareglurnar gilda? 1 Til að athuga: Ef veldareglurnar gilda þá er = + 1 merkingu? Hugsið = 1 1 =. Svo að er sú tala sem margfölduð við sjálfa sig gefur. Sú tala er oftast nefnd ferningsrótin af, og táknuð með.

72 Verkefni 7 Hver er þriðja rót tölunnar 7? (Þriðja rót heitir líka teningsrót, og það að finna þriðju rót tölunnar 7 er að finna töluna sem í þriðja veldi gefur töluna 7.) Setjum hér nákvæmlega niður hvað átt er við með draga þriðju, fjórðu og hvaða rót sem er: Látum a vera jákvæða tölu. Þá er n -ta rót hennar jákvæða talan sem verður a ef hún er hafin í n -ta veldi. Hún er táknuð með n a og því er hún skilgreind af tveimur eiginleikum: 1. ( n a ) n = a. n a er jákvæð tala p q Verkefni 8 Venja er að gefa tákninu x merkinguna q x p vegna þess að þá gilda áfram sömu veldareglur og áður. En þó þarf að huga aðeins að því hvers konar tölur 1 eru hér notaðar. Vandinn kemur til dæmis í ljós ef maður spyr: hvað er (-8) 3? Til að athuga: Við vitum að (-) = -8, og því ætti jafnan (-8) = - að vera rétt. En 1 3 ef allar veldareglurnar eru í gildi fæst líka (-8) 6 = (-8) = (-8) 1 6 Þar með höfum við sýnt fram á að = - sem er óhugsandi. = ((-8) 1 6 ) 1 6 = 64 =. Lausnin við vandanum er að gera skýrar kröfur um það hvers konar tölur má nota: Skilgreinum: Ef x er jákvæð tala, p er heil tala og q er náttúrleg tala, þá er x p q talan sem verður x p ef hún er margfölduð q sinnum við sjálfa sig. Við táknum hana líka með q x p. Verkefni 9 1 (a) Þú veist að 3 = 3 en geturðu sýnt að ( 3 ) 3 3 = (3 3 ) 3? 1 (b) Þú veist að 3 4 = 4 3 en geturðu sýnt að ( 3 4 ) = (4 3 4 ) 3 4? Verkefni 30 Hvað er líkt og hvað er ólíkt með eftirfarandi jöfnum? 68

73 4 = 4, ( 3 ) 3 3 = (3 3 ) 3, ( 3 4 ) = (4 3 4 ) 3 4,... Hver væri næsta jafna? Geturðu alhæft, sýnt hið almenna tilfelli? Ábending: Kannski hjálpar að setja fyrir 4 í fyrstu jöfnuna. Verkefni 31 Hvor er stærri tala, 9 99 eða (9 9 ) 9 eða eru þær jafnar? Ef þú giskar þarftu að finna leið til þess að athuga hvort ágiskunin er rétt. Verkefni 3 Skoðaðu jöfnuna b a a = b. Er hún alltaf sönn, eða stundum sönn, eða aldrei sönn? Ef hún er stundum sönn, reyndu þá að finna sem fjölbreyttust dæmi um tölur sem gera hana sanna. Verkefni 33 Hvernig er hægt að búa til röðina 0, 1, 0, 1, 0,... með formúlu sem gefur réttu útkomuna: formúlu með bókstaf sem táknar númer hvað í röðinni. Þannig að ef maður vill vita hvort það er 0 eða 1 í sæti númer 50, þá setur maður 50 í stað bókstafsins og fær réttu niðurstöðuna. Enski listamaðurinn Justin Mullins hefur gert mynd af einni formúlu sem getur verið svar og kallar hana Vél númer. Af hverju gæti það verið? 69

74 Verkefni 34 Enski heimspekingurinn Bertrand Russel skrifaði tilvitnun sem sett er við upphaf kaflans: Stærðfræði má skilgreina sem þá grein þar sem við vitum aldrei um hvað við erum að tala, né hvort það sem við segjum er satt. Hvað ætli hann hafi átt við? Ertu sammála? Hvers vegna (ekki)? 70

75 5: Reikningur, hlutföll og brot Stærðfræði óhefts vaxtar er hrollvekjandi. Ein fruma af bakteríunnu E. coli myndi, við hagstæðustu skilyrði, skipta sér á hverjum tuttugu mínútum. Það er ekki tiltakanlega truflandi þangað til að maður fer að hugsa um það, en staðreyndin er að bakteríur fjölga sér í jöfnu hlutfalli: ein verður tvær, tvær verða fjórar, fjórar verða átta, og svo framvegis. Með þessum hætti er hægt að sýna að á einum degi, gæti ein fruma af E. coli, orðið að risaklasa jafn miklum og allri jörðinni að þyngd og umfangi. - Michael Crichton (The Andromeda Strain) Til umhugsunar Ef til eru lítrar af olíu, og árleg notkun á olíu er 100 lítrar, hve lengi duga birgðirnar? En hvað ef notkunin eykst um % á ári? Og hvað getum við sagt ef við spáum því að notkunin aukist sennilega um eitt til þrjú prósent á ári? Líklega er lærdómsríkast að reyna strax við þetta umhugsunarverkefni, og gera það sem þú getur til að leysa það. Svo geturðu athugað hvort þú getir lýst því hvernig þú myndir eiga við önnur samskonar vandamál, þar sem stærðirnar gætu verið aðrar. Þá ertu komin með stærðfræðilegt líkan af raunverulegum aðstæðum. Til þess að geta sett fram stærðfræðilíkan eða kenningu, þarf hugtök og aðferðir, og til dæmis þarf maður að geta áttað sig á reikningi með hlutföllum. Það er viðfangsefni þessa kafla. Verkefni 1 Reiknaðu út og einfaldaðu eins og mögulegt er: 10 1 (a) x (b) 3 (settu upp á eitt strik). 6 Verkefni Látum x = 1. Hvað fæst þá út úr stæðunni þitt við b-lið hér að ofan? Er það í samræmi við a-lið? 10 x 3, ef þú notar svarið 6 Verkefni 3 Geturðu skrifað stæðuna y u x sem eitt brot? v 71

76 Ástæðan fyrir því að þessi verkefni eru hér er sú að það er auðvelt að gera villur í útreikningum á svona stæðum. Besta leiðin til að forðast slíkar vitleysur er að vita hvað maður er að gera, og þá þarf maður meðal annars að vita hvers vegna reiknireglur eru eins og þær eru. Nú skoðum við aðeins hvernig á að fara með mínus fyrir framan brot, sviga, og deilingu með broti. Verkefni 4 Hugsaðu þér jákvæðar tvær tölur, a og b og hugsaðu þér svo summu talnanna, a + b á talnalínunni. Þá geturðu líka séð fyrir þér hvernig tölurnar tvær skipta summunni. Þú gætir viljað teikna mynd. Hér er ein möguleg mynd af því sem gerist ef þú hugsaðir þér tölurnar og 3: Í fyrsta kafla sáum við fyrir okkur hvað gerðist þegar við margfölduðum með ( 1). Hvað er ( + 3)? Sjáðu það fyrir þér á talnalínu. Hvað er (a + b)? Hvar er hún á talnalínunni? Verkefni 5 Taktu sömu tvær jákvæðar tvær tölur, a og b og þú notaðir í síðasta verkefni hugsaðu þér svo að þú reiknir a b á talnalínunni. Þú átt að geta hugsað það þannig að fyrst farir þú til vinstri um lengdina a, og svo áfram til vinstri um lengdina b. Þú gætir viljað teikna mynd af talnalínu. Hvar er a b á talnalínunni? Þessi verkefni eru hér í þeim tilgangi að beina athygli þinni að því að það er eðlileg og mikilvæg ástæða fyrir því (sem þú veist kannski) að við höfum jöfnuna ( a + b) = a b. Verkefni 6 Hér eru nokkrar æfingar í því að nota þessa jöfnu. Fellið niður svigana þannig að þið fáið stæðu sem er jöfn þeirri sem gefin er. (a) ( a b) (b) ( a b) (c) ( a + b) 7

77 (d) ( ( a b)) Verkefni 7 Skoðum nú brot, eins og merking táknsins er sviganum? 1+. Mínustáknið á við um allt brotið, svo Hvað færðu ef þú reiknar fyrst út það sem er í 3 Með verkfærum bókstafareiknings getum við sýnt fram á, í eitt skipti fyrir öll, að sama a a a hvaða tölur eða stæður bókstafirnir a og b standa fyrir, þá gildir að = =. b b b a a Hvaða merkingu hefur táknið? Jú, það táknar þá stærð sem þarf að leggja við b b til þess að fá út 0. Verkefni 8 Reiknaðu út a a +. (Þú átt að fá út 0.) b b Nú þarftu ef til vill að rifja upp samlagninu brota. Til þess að gera raunverulega grein fyrir reikningi með brotum er mikilvægt að hafa skýra skilgreiningu til að notast við. Verkefni 9 Reiknaðu (a) Reiknaðu út: 3, 3 3 1, 3 0 3, 3 1 3, 3 3, 3 3 3, (b) Finndu einhverja stærð, sem verður að 4 ef hún er margfölduð með 1. (c) Finndu einhverja stærð, sem verður að 4 ef hún er margfölduð með. (d) Finndu einhverja stærð, sem verður að 4 ef hún er margfölduð með 3. (e) Finndu einhverja stærð, sem verður að 4 ef hún er margfölduð með 4. (f) Finndu einhverja stærð, sem verður að 4 ef hún er margfölduð með 5. (g) Finndu einhverja stærð, sem verður að a ef hún er margfölduð með b. 73

78 Þetta verkefni ætti að vera vísbending um eftirfarandi staðreynd um almenn brot af heilum tölum (slík talnabrot eru líka nefndar ræðar tölur), og er í samræmi við hugsunina um talnalínuna. Það er hægt að nota hana til þess að leiða fram allar reiknireglur um brot. Þessi eiginleiki er eftirfarandi: Sú stærð, sem verður að a ef hún er margfölduð með b er brotið b a Við notum þessa skilgreiningu líka þó svo að a og b þurfi ekki að vera tölur, bókstafirnir geta líka staðið fyrir aðra bókstafi og samsetningar af bókstöfum með reikniaðgerðum, en slíkar samsetningar köllum við stæður. Annað orð sem notað er a a um brotið er hlutfallið, sem er oft lesið a á móti b, eða hlutfall a og b. b b Verkefni 10 (a) Geturðu útskýrt hvers vegna ekki má deila með núlli? Þú gætir byrjað á að skrifa a niður hvað það ætti að merkja, að deila með 0: Brotið er sú stærð, sem verður að a 0 ef hún er margfölduð með... 1 (b) Að deila með stærðinni a er það sama og að margfalda með stærðinni. Hvers a vegna? Til að athuga: Deilum tölunni x með a. Útkoman er sú tala, sem verður x ef hún er margfölduð með a. Sem sagt er x a a = x. Talan 1 a er sú tala sem margfölduð með a gefur 1. Það þýðir að x 1 a a = x 1 = x. En x 1 a a = x 1 a a samkvæmt tengireglunni og því er x 1 a a = x, svo nú sést að ef x er margfaldað með 1 a fæst talan sem verður x ef hún er margfölduð með a. Verkefni 11 (a) Jói var að leggja saman brot. Hann reiknaði: = =. Geturðu útskýrt fyrir Jóa að samlagningin hans getur alls ekki verið rétt? a c ad + bc (b) Af hverju er + = samkvæmt skilgreiningu okkar á broti? b d bd 74

79 a c Vísbending: Margfaldið + bd. Notið dreifireglu og tengireglu. Hver er b d útkoman? (c) Geturðu sagt eitthvað um það hvenær ranga samlagningin a c a + c + = gefur b d b + d rétta niðurstöðu? Geturðu fundið einhverjar tölur fyrir bókstafina sem gera jöfnuna sanna? (Það eru til slíkar tölur, meira að segja óendanlega margar.) Verkefni 1 Reiknaðu nú út a a +. Þú ættir að fá 0, sem sýnir að b b a b a =. b Eitt af því sem reynt er að æfa skólanemendur í er að einfalda brot, stundum kallað að stytta. Hvað skyldi það nú vera í raun og veru? Verkefni 13 Jói var að einfalda brot og fékk hugsaði Jói og reiknaði: 3 (3x + ). Nú þá má ég stytta 4 (3x + ) (3x + ) 4 (3x + ) og fékk þá = 3/ 9 = 1/ 3. Kennarinn gaf Jóa 0 fyrir dæmið. Hvaða vitleysu gerði Jói? Útskýrðu fyrir honum af hverju þetta er vitleysa. Vitleysa eins og Jói gerði í dæminu er mjög algeng. Sennilega stafar hún af vanhugsun, og því að nemendur alhæfa ómeðvitað, en ekki á þann hátt sem virðir merkingu reikningshugtaka og tákna. Því hvað er það að stytta? Það eina sem þessi aðgerð felur í sér er þessi jafna: ka a = (svo lengi sem k 0 ) kb b Það hjálpar manni yfirleitt að skilja reiknireglur til þess að reikna rétt. Geturðu séð hvers vegna þessi jafna er rétt? Hvernig veit maður hvort tvö brot eru jöfn? Við getum kannað það, með hliðsjón af því hvernig við skilgreindum brot, og af þeim 75

80 ka reiknireglum sem við þekkjum um allar tölur. Minnumst þess þá að brotið er sú kb stærð, sem verður að ka ef hún er margfölduð með kb. Athugum hvort b a er einnig sú stærð. Margföldun með kb gefur a a a ( kb) = ( bk) = ( b) k = ak = ka. (Hér var b b b víxlregla notuð tvisvar, auk tengireglu.) Svo b a er stærð sem verður jöfn ka ef hún er margfölduð með kb, og því er ka a =. kb b Verkefni 14 Hvernig er rétt að margfalda saman tvö brot? Geturðu rökstutt regluna með skilgreiningunni? Reyndu aðeins við þetta áður en þú heldur áfram. a c Spurt var: hvaða stærð er jöfn margfeldinu? Skrifum útkomuna sem X. Þá b d vitum við semsagt að tölunni bd fáum við jöfnuna a c X =. Ef við marföldum báðar hliðar jöfnunnar með b d a c X bd = bd = b d a c b d = a c. (Hér skaltu b d fullvissa þig um að þú sjáir hvaða reglur eru notaðar í hverju skrefi). Skilgreiningin ac segir: sú stærð, sem verður að ac ef hún er margfölduð með bd er, og við hödum bd ac sýnt að X er slík stærð, svo X hlýtur að vera. bd Verkefni 15 Er eftirfarandi fullyrðing aldrei sönn, stundum sönn, eða alltaf sönn? a c a + c a Ef = þá er =. b d b + d b Rökstyðjið svar ykkar. Athugið: Taktu eftir því og skráðu hvaða aðferðir þú notar við að reyna að leysa verkefnið. Líka það sem virkar ekki. Spurning sem gæti hjálpað: Hvernig er hægt að prófa hvort tvær stærðir séu jafnar? 76

81 Þegar við margföldum tölu með 1 er útkoman bara aftur sama talan. Þess vegna er sagt að talan 1 sé margföldunarhlutleysa. Verkefni 16 Reiknaðu margfeldin (a) (b) (c) (d) Sagt er að talan 5 eigi sér margföldunarumhverfuna 5. Um sérhverja stærð er hægt að segja: stærðin x á sér margföldunarumhverfuna y ef xy = 1. Verkefni 17 Stæðan b a á sér margföldunarumhverfu. Hver verður hún að vera? Til að athuga: Ef X er margföldunarumhverfa tölunnar a b þá verður jafnan a b X = 1 að gilda, og það sést að a b b a = ab ab = 1, svo margföldunarandhverfa a b er b a. Nú getum við spurt okkur: hvernig á að deila með broti? Hvað er til dæmis 3 1? (Sem er líka hægt að skrifa sem brotabrotið 3 1.) Verkefni 18 Getur þú skilgreint deilingu með broti? Hvernig rökstyður þú hana? Skilgreining okkar segir: sú stærð, sem verður að a b ef hún er margfölduð með c d er ræða talan a b c, og við sjáum að ef stærðin ad d bc er margfölduð með c d, fæst 77

82 ad bc c d = a b d c c d = a b 1 = a b. Því er sýnt að a b c d = ad bc Stundum er þetta orðað þannig: að deila með broti er að margfalda með umhverfu. Verkefni 19 Reiknaðu stærðirnar í töflunni og giskaðu svo á það hvað ætti að standa í næstu línu. 3 + (1 + 1 ) = (1 + 1 ) = (1 + 1 ) = (1 + 1 ) = (1 + 1 ) = (1 + 1 ) = 5 4?? Hvað er að gerast hér? Geturðu alhæft um þetta, skrifað niður einhverja almenna reglu 1 með bókstöfum? Reglan ætti til dæmis að svara því hvort + (1 + 1 ) = 3 (1 + ), án þess að það þurfi að reikna það sérstaklega. 3 Verkefni 0 Leibniz þríhyrningurinn byrjar svona: (a) Reiknaðu og einfaldaðu: , , og (b) Hvernig er þríhyrningurinn uppbyggður hvað sérðu? (c) Geturðu haldið áfram og fundið út hvernig næsta lína á að vera? 78

83 Til þess að hægt sé að eiga við ýmsa hluti þarf fyrst að þróa skilvirkt táknmál. Til þess að hægt sé að fjalla um þríhyrning Leibniz af viti, þarf að finna leið til þess að tala um einstakar tölur í honum. Við getum til dæmis sagt: talan í röð númer 4, númer frá 1 vinstri er talan 11. Enn betra er að búa til tákn, til dæmis T ( 4,) =. Þarna stendur 1 fyrri talan fyrir röð (upp-niður, efsta er númer 1), og seinni talan fyrir sæti í röð, byrjað frá vinstri. (d) Athugið hvort T ( 4,) = T(5,) + T(5,3). (e) Reyndu að átta þig á því hvað eftirfarandi jafna segir: T ( n, k) = T( n + 1, k) + T( n + 1, k + 1). Er hún rétt? En þessi: T ( n + 1, k + 1) = T( n, k) T( n + 1, k))? 1 1 (f) Prófið að reikna hornalínuna Reiknið nokkra liði til viðbótar, eftir 0 að þið finnið út hvernig hægt er að búa til fleiri liði. Hvað haldið þið að sé að gerast? Fyrir metnaðarfulla nemendur: getið þið sýnt fram á að summan er alltaf minni en 1? Ef þú lærir meira í stærðfræði færðu tækifæri til að kanna hvernig stundum er hægt að leggja saman óendanlega marga liði. Ef þú leggur saman alla liði óendanlegu hornalínunnar færðu summuna 1. Hvað með hinar hornalínurnar? Verkefni 1 Teiknaðu ferning. Reiknaðu ummál ferningsins. Finndu lengd striks frá miðju ferningsins að einum hornpunktinum. Reiknaðu svo hlutfallið milli ummálsins og striksins. Endurtaktu þessa æfingu með að minnsta kosti þremur ólíkum ferningum. Hvað kemur í ljós? Er mögulegt að sýna fram á einhverja staðreynd um hlutfallið? (Til þess þarftu að nota reglu Pýþagórasar). Verkefni Þú veist sennilega að flatarmál fernings með hliðarlengdina x er Hvernig breytist flatarmál fernings ef við tvöföldum hliðarlengdina? Hvaða hlutfall verður milli nýja ferningsins og gamla ferningsins? Hvert verður hlutfallið ef við margföldum hliðarlengdina með k? x. Verkefni 3 Segjum að ferningur hafi hliðarlengd x. Hver er viðbótin á flatarmálinu ef hliðarlengd upphaflega ferningsins er lengd um? Hvert er hlutfall aukningar ( x + ) x 4x + 4 flatarmáls á móti lengdaraukningu? (Svar: = = x +.) Svaraðu sömu spurningu ef hliðarnar eru lengdar um 1. Fylltu í eftirfarandi töflu: 79

84 Lenging hliðar Aukning flatarmáls Hlutfall 4 x + 4 x + 1 0,5 0,1 0,01 0,001 h Seinna lærir þú ef til vill um hugtakið markgildi, en sem dæmi um það væri hægt að spyrja: á hvaða stærð stefnir hlutfallið flatarmálsaukning á móti lengdaraukningu þegar lengdaraukningin stefnir á núll. Verkefni 4 Vatni er dælt í sundlaug gegnum tvær pípur. Ein pípan getur fyllt laugina á 0 klukkustundum, en hin getur það á 30 klukkustundum. Ef við gerum ráð fyrir jöfnu streymi, hve lengi er verið að fylla laugina ef báðar pípurnar eru notaðar samtímis? Geturðu alhæft: hvernig leysirðu dæmið í eitt skipti fyrir öll, til dæmis ef ein pípa fyllir laugina á k klukkustundum, en hin á l klukkustundum? Verkefni 5 Vökvablanda er 99% vatn. Nú gufar eitthvað af vatninu upp, og eftir stendur vökvi sem er 98% vatn. Hve mikið vatn gufaði upp? Geturðu alhæft: ef vökvablanda er p % vatn, og eftir stendur vökvi sem er ( p q) % vatn, hve mikið vatn gufaði upp? Verkefni 6 - Pabbi segir að ef hann keyri á 90 km hraða til Keflavíkur sé hann hálftíma á leiðinni. - Hvað er hann fljótur ef hann keyrir á 100? - Hmmm, bíddu við,... jú hann er 7 mínútur. Það munar ekki svo miklu... - Ef maður keyrir 10 km hraðar, sparar maður þá alltaf 3 mínútur?? - Það fer eftir hraðanum... Verkefnið er: útskýrðu samtalið og alla þá stærðfræði sem þar kemur fyrir. Ef þú veist ekki hvað þú átt að gera eru hérna nokkrar spurningar til þess að hjálpa þér: 80

85 (a) Hve löng er leiðin til Keflavíkur? (b) Ef maður keyrir 10 km hraðar hve mikinn tíma sparar maður? (Ef þú vilt máttu kalla vegalengdina d, hraðann h og tímann t.) (Ekki reyna að rifja upp einhverjar hraðaformúlur, nema hina einu sönnu, sem svarar því hvað hraði er: vegalengd deilt með tíma, eða með þeim táknum sem stungið er upp á í dæminu: og svo framvegis.) d h = (þess vegna er talað um metra á sekúndu, kílómetra á klukkustund, t Verkefni 7 (a) Nú skulum við hugsa okkur að við keyrum fyrst í eina klukkustund á hraðanum 50 km/klst og svo í eina klukkustund á hraðanum 100 km/klst. Hvað höfum við þá keyrt langt? Hve lengi vorum við á leiðinni? Hver var meðalhraði okkar á leiðinni? (Rifjum a + b upp að meðaltal tveggja talna a og b er fundið með því að reikna út stærðina.) (b) Hver er meðalhraðinn ef keyrt er í eina klukkustund á 50 km hraða og í hálftíma á 100 km hraða? (c) Hver er meðalhraðinn ef keyrt er í a klukkustundir á 50 km hraða og í b klukkustundir á 100 km hraða? (d) Hver er meðalhraðinn ef keyrt er í a klukkustundir á x km hraða og í b klukkustundir á y km hraða? (e) Maður keyrði frá Reykjavík til Selfoss á 90 km hraða, en á Selfossi bilaði gírkassinn og hann gat ekki keyrt til baka nema á 60 km hraða. Hver var meðalhraði mannsins? (f) Maður keyrði einhverja leið á x km hraða og svo tilbaka á y km hraða. Hver var meðalhraði mannsins? (Svarið er formúla sem nefnist þýtt meðaltal x og y.) Verkefni 8 - Jæja, hvernig var fyrsti skóladagurinn? - Leiðinlegur! sagði Blær. - Leeeeiðinlegur! sagði Alex. - Nú hvernig stendur á því? spurði pabbi áhyggjufullur. 81

86 1 - Æi, af hinum krökkunum voru stelpur, sagði Blær og andvarpaði Nú? Ég fann það út að 7 5 af hinum krökkunum voru stelpur! sagði Alex. Útskýrið samtalið: hve margar stelpur og strákar voru í skólanum, og hvers kyns eru Alex og Blær? Verkefni 9 Hér er dæmi um krónur og aura: Verðbólga í landi var 8% eitt árið. Hvað minnkaði kaupmáttur á hverja krónu mikið? (Stærðfræðileg skilgreining á 8% verðbólgu er: vörur kosta 8% meira í lok árs en í upphafi árs. Ef kaupmáttur minnkar um 10% þýðir það að fyrir hverja krónu fæst 10% minna af vörum.) Geturðu alhæft um þetta og svarað þessu: Verðbólga í landi var p % eitt árið. Hvað minnkaði kaupmáttur á hverja krónu mikið? Svar við alhæfingu: % p Verkefni 30 Tvö sjúkrahús (Sjúkrahús A og Sjúkrahús B) halda því fram hvert um sig að það sé betra í að lækna ákveðinn sjúkdóm. Sjúkrahús A bendir á að það hafi læknað hærra hlutfall af karlkyns sjúklingum sínum á liðnu ári en Sjúkrahús B, og að það hafi líka læknað hærra hlutfall af kvenkyns sjúklingum sínum en Sjúkrahús B. Á móti bendir Sjúkrahús B á það, að á heildina, þá læknaði það hærra hlutfall af sjúklingum sínum en Sjúkrahús A. Ef gefið er að engin tala sem kemur við sögu er 0, er þetta mögulegt? Á hvoru sjúkrahúsanna vildir þú heldur leita lækningar? Líf þitt liggur við! Verkefni 31 Eftirfarandi jafna lýsir því hve mikið hilla bognar vegna þunga sem á hana er lagður: 3 5 Q l f = 3 E b d (a) Hvernig breytist stærðin f ef stærðin b tvöfaldast? En ef d tvöfaldast? Hvað ef l tvöfaldast? (b) Er þessi hegðun trúleg um raunverulega hillu? 8

87 Verkefni 3 Stundum er talað um að tiltekið efni eða skoðun höfði til lægsta samnefnara. Hvað er átt við? Útskýrðu líkinguna. Hefur þetta eitthvað með stærðfræði að gera? Verkefni 33 Jói og Kalli fundu köku. Jói sagði skiptum henni til helminga, en Kalli heimtaði alla kökuna. Þeir rifust. Opinberlega. Á síðum blaða. Þekktur fjölmiðlamaður, sem var vanur að feta hinn gullna meðalveg, úrskurðaði í málinu. Við skulum gæta hófs, við viljum engar öfgar, Jói fær fjórðung, en Kalli þrjá fjórðu. Þannig mætast þeir á miðri leið. Hver gæti verið merking þessarar sögu? Hver er stærðfræðin í henni? Er hún notuð á viðeigandi hátt? Verkefni 34 Vitnum í rússneska rithöfundinn Tolstoj ( ): Manneskja, er eins og almennt brot, þar sem teljarinn er það sem hún er, en nefnarinn er það sem hún heldur að hún sé. Því stærri sem nefnarinn er, því minna er brotið. Hvað heldur þú um þessa kenningu? Geturðu skrifað hana á táknmáli algebrunar? Ræddu þessa hugmynd við vini þína eða fjölskyldu - útskýrðu hana fyrir þeim sem ekki skilja hana. Verkefni 35 Hér er formúla úr gæðastjórnunarfræðum, fundin í skýrslu Ríkisendurskoðunar frá júní 007 um kostnað, skilvirkni og gæði háskólakennslu í viðskiptafræði, lögfræði og tölvunarfræði afurðir skilvirkni = að föng 83

88 Veltu þessari jöfnu fyrir þér. Flettu upp eða finndu á annan hátt út hver er merking orðanna. Hvaða mælieining skyldi venjulega vera notuð um afurðir og aðföng? Svaraðu svo þessum spurningum: (a) Hvaða áhrif hefur það á skilvirkni ef virði afurða tvöfaldast, en kostnaður við aðföng breytist ekki? (b) Hvað þýðir það fyrir skilvirkni ef kostnaður við aðföng tvöfaldast en virði afurða breytist ekkert? (c) Hvað þýðir það fyrir skilvirkni ef kostnaður við aðföng helmingast en virði afurða breytist ekkert? Verkefni 36 Sölumaður: Sjáðu nú til minn kæri húsfreyr, þessi ryksuga mun gera starf þitt helmingi auðveldara. Húsfreyr: Frábært! Láttu mig hafa tvær. Ef þú vildir vera svo leiðinlegur lesandi að útskýra brandarann með stærðfræði? 84

89 6: Kóngavegur að rúmfræði Einu sinni spurði Ptólemeus Evklíð hvort það væri ekki einhver styttri leið til að læra rúmfræði, en að lesa sig gegnum Frumþættina, og Evklíð svaraði því til að það lægju engir kóngavegir til rúmfræðinnar. - Próklos (Skýringar við Frumþættina) Strepsiades: En hvað er þetta? Nemandi: Rúmfræði. Strepsiades: Til hvers er hún? Nemandi: Til að mæla land. Strepsiades: Lóðaúthlutanir og svona? Nemandi: Nei, heldur allan heiminn. - Aristófanes (Skýin) Til umhugsunar Er alltaf hægt að teikna hring gegnum hornpunkta þríhyrnings, alveg sama hvernig þríhyrningurinn er? Upphaf fræða og vísinda er oft rakið til Grikklands hins forna. Í þessum seinni hluta bókarinnar fjöllum við um þá rúmfræði sem á rætur sínar þar. Þú þekkir eflaust sumar af þeim reglum sem fjallað verður um, en ég get lofað þér að hér er líka ýmislegt sem þú hefur ekki hugsað út í. Þessi fræði eru svo sígild að með því að nema þau ertu að ganga inn í meira en tvö þúsund ára óslitna hefð, gangast inn í samfélag mennta, hugsunar og sköpunar sem getur veitt ómælda ánægju. Við byrjum á hugartilraun. 85

90 Verkefni 1 Reyndu að gera eftirfarandi án þess að teikna neitt eða skrifa. Hugsaðu um þrautina í einhverjar mínútur og íhugaðu svo hvað það var sem fór í gegnum huga þinn þegar þú varst að hugsa um hana. Lokaðu augunum eftir að þú lest leiðbeiningar, ef þér finnst það betra. Ímyndaðu þér hring sem hreyfist um á blaði. Hann getur stækkað og minnkað og hann getur hreyfst um hvert sem er á blaðinu. Hugsaðu þér nú fastan punkt á blaðinu. Hringurinn fer aftur að hreyfast, en punkturinn er fastur, og hringferillinn verður alltaf að fara í gegnum fasta punktinn. Geturðu séð hringinn fyrir þér? Hvert getur hann hreyfst? Gerðu þetta aftur, en núna með tveimur föstum punktum sem verða að vera á hringferlinum. Geturðu séð hringinn fyrir þér? Hvert getur hann hreyfst? Gerðu þetta aftur með þremur punktum. Hvert getur hringurinn hreyfst? Mundu að gera þetta í huganum áður en þú horfir á eitthvað. Lokaðu augunum ef þér finnst það betra. Gerðu þetta fyrst ein en talaðu svo um það sem þú sást fyrir þér við aðra en ekki gefa þeim svarið hjálpaðu þeim að sjá það sem þú getur séð. Mundu að það má ekki teikna, eingöngu tala, og ekki nota hendurnar, það er bannað að benda eða nota hendurnar á nokkurn hátt. Hér er vísbending: Í því tilfelli þegar hringferillinn fer gegnum tvo fasta punkta, getur verið gott að hugsa sér miðju hringsins. Þegar þú hefur gert þetta, breyttu hringnum, en haltu punktunum föstum. Hvar er miðjan núna? Hvar verður miðjan alltaf að vera? Lýstu því núna með orðum hvar hringirnir liggja og það mun hjálpa þér að sjá þá fyrir þér: að orða hlutina og að sjá þá fyrir sér tengjast órjúfanlegum böndum. Ef þú hefur reynt af alvöru við verkefnið og tekist að einbeita þér að því, þá hefurðu verið að stunda stærðfræði í huganum og hugsa um þína eigin hugsun. Jafnvel þó að þú hafir ekki getað svarað spurningunni til fulls getur vel verið að þú hafir verið að hugsa stærðfræðilega að alhæfa, sérhæfa, gera tilgátu, spá, athuga, hrekja, sanna þegar þú veltir þrautinni fyrir þér í huganum. En núna er sennilega rétti tíminn til þess að kanna spurningarnar á pappír eða með rúmfræðiforriti á borð við Geogebra. 86

91 Tilgangurinn með fyrsta verkefninu er meðal annars sá að reyna að vekja hjá þér löngun til þess að teikna. Margir nemendur gera þau mistök að teikna ekki myndir til þess að hjálpa sér. Gerum þá næst nokkrar teikniæfingar. Þær eru til þess að gefa þér tilfinningu fyrir hugtökunum sem fjallað verður um. Best er að nota alveg autt blað (ekki rúðustrikað), ef til vill tvö blöð, og vanda sig mjög vel. Annars er þessi æfing minna gagnleg. En rifjum fyrst upp örfá orð. Horn sem er minna en rétt horn nefnist hvasst horn, en horn sem er stærra en rétt horn nefnum við gleitt horn. Hvasst horn Rétt horn Gleitt horn Verkefni Hvernig er hægt að skilgreina rétt horn? Hvað, nákvæmlega er rétt horn? Ekki nota gráðutölur, við höfum ekki skilgreint þær. Enda verður að skilgreina þær út frá einhverju, til dæmis má ákveða að 90 gráður mæli rétt horn. Verkefni 3 Teikna skal allar myndir án þess að nota reglustiku eða hringfara: 1. Dragðu beina línu og punkt sem er ekki á línunni. Dragðu svo línu gegnum punktinn sem er samsíða upphaflegu línunni. (Línur sem skerast aldrei nefnast samsíða línur.). Dragðu línustrik og reyndu að finna miðpunkt striksins. Mældu svo með reglustiku og gáðu að því hvort þú ert nærri lagi. 3. Teiknaðu þríhyrning og finndu miðpunkta allra hliðanna. Dragðu svo línustrik frá sérhverjum hornpunkti að miðpunkti mótlægrar hliðar. Teiknið tvær ólíkar myndir. Hvað gerist? (Sýnist þér að strikin skerist öll þrjú í sama punktinum?) Þessar línur nefnast miðlínur í þríhyrningi. 87

92 4. Teiknaðu aftur þríhyrning og finndu miðpunkta allra hliðanna. Að þessu sinni skaltu tengja alla miðpunktana saman með beinum línum. Þá koma í ljós fjórir minni þríhyrningar. Er eitthvað hægt að segja um þá, eða stærðir þeirra? 5. Dragðu línu og punkt sem er ekki á línunni. Dragðu svo línu gegnum punktinn sem er hornrétt á upphaflegu línuna. 6. Dragðu hvasst horn. Dragðu hornrétta línu frá punkti öðrum megin við annan arm hornsins í gegnum þann arm. Taktu eftir því hvar sú lína sker hinn arminn. Gerðu þetta með nokkrum mismunandi hornum. 7. Dragðu gleitt horn. Dragðu hornrétta línu frá punkti öðrum megin við annan arm hornsins í gegnum þann arm. Sker sú lína hinn arminn? Gerðu þetta með nokkrum mismunandi hornum. 8. Teiknaðu þríhyrning og teiknaðu hornréttar línur frá öllum hornpunktunum niður á mótlægar hliðar. Teiknaðu nokkra svona þríhyrninga, suma hvasshyrnda og aðra gleiðhyrnda. Þessar línur nefnast hæðir í þríhyrningnum. Sýnist þér að hæðirnar skerist allar í einum punkti? 9. Dragðu línustrik og teiknaðu hornrétta línu gegnum miðpunkt striksins. Seinni línan kallast miðþverill striksins. Hvað er hægt að segja um fjarlægð punkts á miðþverlinum að endapunktum striksins? (Ef þú velur einhvern punkt á miðþverlinum, er einhver munur á því hve langt hann er frá hvorum endapunkti línustriksins?) 10. Teiknaðu þríhyrning og miðþverla allra hliðanna. Hvað er hægt að segja um miðþverlana? Hittast allir miðþverlarnir í sama punktinum? Teiknið bæði hvassa og gleiða þríhyrninga. 11. Teiknaðu þríhyrning og reyndu að draga hring sem fer gegnum alla hornpunkta þríhyrningsins. Er þetta alltaf hægt? Ef svo er, hvernig? Prófið hvassa, gleiða og rétthyrnda þríhyrninga. Athugaðu að vanda þig vel, skrifa niður allar spurningar við réttar myndir, og þín svör, þínar tilgátur. 88

93 Í verkefninu var minnst á miðþveril striks: það er lína sem er hornrétt á strik og fer í gegnum miðjuna á strikinu. Miðþverill hliðarinnar a í þríhyrningi er táknaður með n a, (n stendur fyrir normall, sem er eldra orð fyrir þveril.) A n a a Við spurðum: hvað er hægt að segja um fjarlægð punkts á miðþverlinum að endapunktum striksins? A n a a Brotnu strikin eru jafn löng. Eitt svar við því er: fjarlægðin er alltaf jöfn í báða endapunktana. Þetta kristallar þá staðreynd, að það að læra stærðfræði er það að læra að taka eftir miklu frekar en að læra reglur. Eitt sem við getum tekið eftir er að tvær hliðar og hornið á milli þeirra ákvarða þríhyrning. Það þýðir að ef maður þekkir tvær hliðar og hornið á milli þeirra, getur maður reiknað út lengd þriðju hliðarinnar og hin hornin tvö. Ef merkta hornið og hliðarnar tvær sem eru armar hornsins eru jafnar, þá eru þríhyrningarnir eins. Verkefni 4 Gerðu grein fyrir því hvaða horn eru jöfn og hvaða hliðar jafnar í þrihyrningunum sem mynduðust þegar strik voru dregin úr hornpunktum í einhvern punkt á miðþverlinum. (Þetta eru litlu þríhyrningarnir á myndinni.) 89

94 Hugsum okkur nú að við viljum teikna hring sem fer í gegnum alla þrjá hornpunkta þríhyrnings. Verkefni 5 Hvaða eiginleika þarf miðpunktur hringsins að hafa? A B C Hvaða eiginleika hefur miðja hringsins? Hér er gagnlegt að segja það sem þú sérð, skrá niður allt sem þú tekur eftir. Til dæmis: er fjarlægð miðpunktsins til punktanna A og B sú sama? Hvað er hringur? Sérhver punktur á hring er nákvæmlega jafn langt frá miðju hringsins, sú lengd nefnist geisli eða radíus. Þetta er skilgreining á því hvað við eigum við með orðinu hringur í rúmfræði. Verkefni 6 Teiknaðu nú þríhyrning og tvo miðþverla, þannig að miðþverlarnir skerist í punkti. Hvað er hægt að segja um fjarlægð skurðpunktarins til tveggja horna þríhyrningsins? Geturðu nú lýst því hvernig teikna skal hring sem fer gegnum alla hornpunkta þríhyrnings? Verkefni 7 Er hægt að taka hvaða þríhyrning sem er og teikna hring sem snertir hverja hlið þríhyrningsins í nákvæmlega einum punkti? Hvað heldur þú? Hvaða eiginleika þyrfti miðpunktur hringsins að hafa? Hér er hjálparspurning: hvernig liggur lína L, ef fjarlægð hvaða punkts sem er á línunni er nákvæmlega jafn langt frá báðum örmum hornsins á myndinni? 90

95 L Brotnu strikin eru jafn löng Hver er þín niðurstaða? Lína frá hornpunkti sem skiptir horninu í tvö jafn stór horn nefnist helmingalína hornsins. Hún er einnig sú lína sem gerð er úr þeim punktum sem eru jafn langt frá örmum hornsins. Í rúmfræði, eins og öðrum greinum stærðfræðinnar verðum við að ákveða hvaða orð við ætlum að nota yfir hlutina. Þau verða að vera mjög nákvæmlega skilgreind, það má ekki vera óljóst við hvað er átt. Þó verða alltaf nokkur hugtök eftir óskilgreind, því að þeim verður ekki lýst með neinum einfaldari hugtökum en þeim sjálfum. Venjuleg rúmfræði, eins og í þessari bók, fjallar um eiginleika punkta, lína, og horna, ef við hugsum um þessa hluti eins og þeir birtast okkur á tvívíðum sléttum fleti, svipað og á venjulegu pappírsblaði. Þó hugsum við okkur að blaðið okkar sé óendanlega stórt. Með því er átt við að við getum framlengt öll línustrik eins langt og við viljum. Við hugsum okkur að punktar hafi enga stærð og línur enga þykkt. Ef við höfum tvær línur, í okkar flatarmyndafræði, getur tvennt gerst: annaðhvort skerast þær í einum punkti, eða þær skerast ekki. Línur sem skerast ekki (sem þýðir að þær eiga engan sameiginlegan punkt), nefnum við samsíða línur, en lína telst líka samsíða sjálfri sér. Á eftirfarandi mynd eru línurnar l og m samsíða. l Tákn:l m m Verkefni 8 Er hægt að hugsa sér tvívíðan flöt þar sem engar tvær línur skerist? Eða þannig að þær skerist í tveimur punktum? Hvað með flöt þar sem sérhverjar tvær línur 91

96 skerast í einum punkti (og það eru engar samsíða línur)? Hugsaðu um yfirborð hluta eins og kúlna, eða tvívíða teikningu af þrívíðu rúmi. Detta þér fleiri möguleikar í hug? Til þess að geta haft samskipti og talað um rúmfræði þarf að setja niður fleiri orð. Þegar lína sker tvær aðrar línur, eins og á myndinni, er hefð að tilgreina sambönd milli horna með ákveðnum hætti. y u v x Hornin u og x eru sögð einslæg (við hvort annað), og hornin y og v eru sögð einslæg (við hvort annað). Það er dálítið snúið að orða þetta nákvæmlega, án þess að benda á myndina. Verkefni 9 Reyndu að lýsa því í orðum hvenær tvö horn eru einslæg hvort við annað. Það er ekki svo einfalt! Nokkrar venjur eru til þess að gera teikningar skýrar og skiljanlegar. Til þess að tákna að tvö strik séu jöfn, er venja að merkja þau stundum með örstuttum þverstrikum, eins og hér: Í næsta verkefni verða kynnt nokkur fleiri orð um horn í rúmfræði. Við viljum festa okkur orð yfir ýmiskonar hugsanleg tengsl milli tveggja horna. Við getum notað bæði 9

97 orð og jöfnur til þess að lýsa þessum tengslum. Best er að hafa hvorutveggja á sínu valdi. Verkefni Leitum að tengslum milli hornanna u og v á myndinni: v u Hvaða tengsl eru milli hornanna u og v? (Hvað veistu um hitt hornið ef þú þekkir annað þeirra.) Horn sem þessi eru kölluð topphorn hvors annars. Reyndu að sýna fram á, með óyggjandi hætti, hver tengslin eru.. Finna skal hornið x á myndinni: 60 x Hve stórt er hornið x? Hvernig getum við orðað tengsl hornanna á myndinni? 3. Leitum að tengslum milli hornanna u og v á myndinni: u v Hvaða tengsl eru milli hornanna u og v? Skrifið jöfnu sem tengir þau saman. Reyndu að sýna fram á, með óyggjandi hætti, að jafnan sé sönn. Horn sem þessi eru kölluð grannhorn hvors annars. 4. Finna skal hornið x á myndinni: 93

98 x 60 Hve stórt er hornið x? Hvaða eiginleika beinnar línu notaðirðu til þess að reikna það út? Hvernig getum við orðað tengsl hornanna á myndinni? 5. Leitum að tengslum milli hornanna u og v á myndinni: u v Hvaða tengsl eru milli hornanna u og v? Skrifið jöfnu sem tengir þau saman. Sýndu fram á, með óyggjandi hætti, hver tengslin eru. Horn sem þessi eru kölluð úthorn hvors annars. 6. Finna skal hornið x á myndinni: x Hvaða tengsl eru milli hornanna u og v á myndinni (línurnar eru samsíða): u v Hvaða tengsl eru milli hornanna u og v? Skrifið jöfnu sem tengir þau saman, og sannið jöfnuna. Horn sem þessi eru kölluð frændhorn hvors annars. 8. Finna skal hornið x á myndinni: 94

99 110 x Hve stórt er hornið x? 9. Við leitum að tengslum milli hornanna u og v á myndinni: u v Hvaða tengsl eru milli hornanna u og v? Horn sem þessi eru kölluð lagshorn hvors annars. 10. Finna skal hornið x á myndinni: x 30 Lítum aftur á fyrstu spurninguna í verkefninu að ofan: hver eru tengsl milli topphorna? Þú hefur ef til vill sannfærst um að hornin séu jafn stór, á myndinni er hornið u jafn stórt og hornið v. En hvernig vitum við það? Getum við orðað það mjög nákvæmlega? Er nóg að segjast bara sjá það? Eitt af því sem einkennir fræðigreinina stærðfræði er að allar reglur og niðurstöður hennar eru sannaðar. Ein möguleg sönnun á reglunni um topphorn gæti verið svona: Skoðum eitt horn í viðbót, sem er merkt með w á myndinni. 95

100 m u w v l Hvað sjáum við á myndinni? Við sjáum að ef við leggjum saman hornin u og w myndast bein lína, sem er merkt með l á myndinni, og ef við leggjum saman hornin w og v myndast einnig bein lína, sú sem er merkt með m á myndinni. Því hljóta hornin u og v að vera jöfn. Eða, með öðrum orðum, gilda jöfnurnar: og því er u = v. u + w = 180 v + w = 180 Með því að skoða sönnun, á lesandi að geta skilið hversvegna tiltekin regla er sönn. Sannanir eru einskonar opinber umræðuvettvangur um stærðfræði, þar sem hugmyndir koma fram og eru ræddar. Hægt er að sýna fram á að stærðfræðileg skilgreining sé í samræmi við skilning okkar á því hvað tiltekið hugtak merkir með því að sanna að allir mikilvægir eiginleikar hugtaksins séu afleiðingar skilgreiningarinnar. Þetta er til dæmis meginástæðan fyrir því að við sönnum margar reglur sem virðast hvort sem er augljósar. En engin regla er samþykkt í stærðfræði nema að sett hafi verið fram fullkomin sönnun: röksemdarfærsla sem sýnir fram á með pottþéttum hætti að reglan sé raunverulega sönn. Verkefni 11 Líttu aftur á síðasta verkefni. Reyndu að skrifa sannanir á öllum reglunum, í anda sönnunarinnar hér að ofan. Verkefni 1 Á myndinni eru þrjú pör af samsíða línustrikum. Hvað þarftu að þekkja mörg horn til þess að geta reiknað út öll hornin sem eru á myndinni? Búðu til dæmi með lágmarksupplýsingum, og leystu það svo. 96

101 Verkefni 13 Hér eru nokkrar myndir. Á þeim öllum eru óþekkt horn merkt bókstöfum. Við viljum geta reiknað stærðir þeirra út frá eiginleikum hornanna, það er að segja, út frá tengslum þeirra við önnur horn á myndinni. (a) y x x (b) x x (c) x x y (d) x x Verkefni 14 Í þessu verkefni gerum við ráð fyrir því að báðir vísar á venjulegri klukku hreyfist alltaf með jöfnum hraða. 97

102 (a) Annar armur horns vísar beint á töluna 1 á venjulegri klukku, og leikur hlutverk stóra vísis (sem sýnir mínútur). Hinn armurinn er litli vísir klukkunnar (sem sýnir klukkustundir. Hvert er hornið milli armanna klukkan 3? En klukkan 5? (b) Hvert er hornið milli stóra vísis og litla vísis klukkan 3.30? En klukkan 4.40? (c) Hve margar gráður fer stóri vísirinn á klukkustund? En litli vísirinn? Hve margar gráður fer stóri vísirinn á einni mínútu? Um hve margar gráður færist litli vísirinn á meðan stóri vísirinn færist um eina gráðu? (d) Hvert er hornið milli stóra vísis og litla vísis klukkan 17.38? Verkefni 15 Skoðið meðfylgjandi mynd og finnið hornið x. (Það getur verið gott að teikna aukalínu.) Finnið helst nokkrar mismunandi leiðir til að reikna út hornið x 0 Venja er að nota eftirfarandi aðferð til þess að tákna horn og línustrik: Hornið ABC er hornið sem markast af línustrikum BA og BC. Skurðpunkturinn B nefnist hornpunktur hornsins. A B C Hornið ABC Verkefni 16 Skoðið myndina 98

103 A B C D E Á myndinni er ACB = 60 og BC DE. Hve stórt er hornið EDC? Verkefni 17 Reyndu að gera eftirfarandi án þess að teikna neitt eða skrifa. Hugsaðu um þrautina í einhverjar mínútur og íhugaðu svo hvað það var sem fór í gegnum huga þinn þegar þú varst að hugsa um hana. Lokaðu augunum eftir að þú lest leiðbeiningar, ef þér finnst það betra. Sjáðu fyrir þér ferhyrning. Hugsaðu þér svo hring sem hefur alla hornpunkta ferhyrningsins á ferli sínum. Hvað geturðu sagt um staðsetningu miðju hringsins? Er þetta alltaf hægt, hvernig sem ferhyrningurinn er? Gerðu þetta fyrst ein en talaðu svo helst um það sem þú sást fyrir þér við aðra en ekki gefa þeim svarið hjálpaðu þeim að sjá það sem þú getur séð. Mundu að það má ekki teikna, eingöngu tala, og ekki nota hendurnar, það er bannað að benda eða nota hendurnar á nokkurn hátt. Að endingu skaltu skoða verkefnið með blað og blýant eða með rúmfræðiforriti. Verkefni 18 Hér er annað verkefni til að gera í huganum, svo hafðu leiðbeiningarnar úr síðasta verkefni að leiðarljósi. Ímyndaðu þér línu. Sjáðu hana fyrir þér hreyfast frjálst. Festu svo línuna, og ímyndaðu þér aðra línu sem sker upphaflegu línuna. Ímyndaðu þér nú hring sem snertir báðar línurnar í einum punkti hvora. Hringurinn sker ekki línurnar heldur snertir í einum punkti. Geturðu séð hringinn fyrir þér? Hvert getur hann hreyfst? Ímyndaðu þér nú þriðju línuna sem sker hinar tvær. Línurnar eru fastar en hringurinn getur hreyfst með því skilyrði að hann snertir sérhverja af þessum þremur línum í einum punkti á hverri línu. Hvað geturðu sagt um staðsetningu hringsins? Hve margir mögulegir hringir uppfylla skilyrðið? 99

104 7: Hornasummur og þríhyrningar Það er ekki hægt að skilja eitthvað nema að læra það á marga vegu. - Marvin Minsky Til umhugsunar Eru til ólíkir þríhyrningar sem hafa allar hliðar jafn langar? Í þessum kafla skoðum við nokkrar gamlar og góðar reglur rúmfræðinnar. Fyrstir til þess að sanna reglurnar, svo vitað sé, voru forn-grikkir, fyrir um tvö þúsund og fimm hundruð árum. Verkefni 1 Teiknaðu þríhyrning. Vandaðu teikninguna. Teiknaðu nú línu gegnum einhvern hornpunktanna sem er samsíða mótlægri hlið. Framlengdu hinar hliðarnar aðeins gegnum sama hornpunkt. Þú gætir fengið mynd svipaða þessari: Verkefnið er eftirfarandi: merktu öll hornin með bókstöfum, og notaðu þér eiginleika einslægra horna við samsíða línur og topphorna til þess að reikna út summu allra hornanna í þríhyrningnum. 100

105 Hér er ein hugsanleg lausn: u x y w z v Við vitum að v=x og u=z því þetta eru einslæg horn við samsíða línur, og að w=y því þau eru topphorn. Því er v+w+u=x+y+z=180, því x, y og z mynda beina línu samanlagt. Verkefni (a) Á myndinni eru merkt inn nokkur horn w Hver er stærð hornsins w? (b) Alhæfðu: hvaða regla gildir um hornin u, v og w á myndinni: u v w Hver er reglan? Útskýrðu hvers vegna hún er sönn: sannaðu regluna. Verkefni 3 Teiknaðu þríhyrninga samkvæmt eftirfarandi lýsingum: (a) B = 45, BC = 5, AC = 6 (b) B = 45, BC = 5, AC = 4. (c) B = 45, BC = 5, AC = 3. Hvað er það sama og hvað er ólíkt með þessum þremur tilfellum? Hannaðu og teiknaðu þín eigin dæmi. Hvaða ályktun geturðu dregið? Ein spurning er: er nóg að vita eitt horn og tvær hliðar þríhyrnings til að geta klárað teikninguna? 101

106 Sennilega gastu teiknað fyrsta þríhyrninginn út frá upplýsingunum sem gefnar voru, en tókstu eftir því að tveir ólíkir þríhyrningar uppfylla skilyrðin í (b)? Og það er ómögulegt að teikna þríhyrning samkvæmt (c). Í síðasta kafla minntumst við á þá (ósönnuðu) staðreynd að tvær hliðar og hornið á milli þeirra ákvarða þríhyrning. Ef við vitum að tveir þríhyrningar hafa tvær hliðar jafnar og hornið á milli þeirra, þá eru öll hornin jöfn og allar hliðarnar jafnar. Í síðasta verkefni sástu að það sama er ekki hægt að segja ef maður þekkir eitt horn, eina samliggjandi hlið og eina mótlæga hlið. En hvað er hægt að segja ef maður þekkir tvö horn og hliðina á milli þeirra? Hvað um öll þrjú hornin? Eru tveir þríhyrningar eins ef þeir hafa jafn stór horn? Hvaða upplýsingar skyldu duga til þess að ákvarða þríhyrning? Í raun og veru er erfitt að sanna reglur um það hvað dugar til þess að ákvarða þríhyrning, þær verða að teljast til frumforsendna rúmfræðinnar okkar, þær lýsa hugmyndum okkar um hvað þríhyrningur er. Í þessari bók gilda eftirfarandi reglur um þríhyrninga: 1. Tvær hliðar og hornið á milli þeirra ákvarða nákvæmlega einn þríhyrning. Tvær hliðar og horn á milli þeirra þekkt. Við sjáum að þriðja hliðin (brotna strikið) og þar með þau tvö horn sem vantar, eru alveg ákvörðuð.. Tvö horn og hliðin á milli þeirra ákvarðar nákvæmlega einn þríhyrning. Tvö horn og hliðin á milli þekkt. Við sjáum að þriðja hornið og þær tvær hliðar sem vantar eru alveg ákvörðuð. 3. Þrjár hliðar ákvarða nákvæmlega einn þríhyrning, ef þær geta myndað þríhyrning. 10

107 a c a c b b Hliðarlengdir eru þekktar Þetta er ekki augljóst! Reyndu að sjá fyrir þér að þú reynir að breyta hornunum en haldir hliðarlengdum föstum. Prófaðu að nota penna eða blýanta og setja saman í þríhyrning. Geturðu breytt hornunum? Verkefni 4 Teiknaðu þríhyrninga samkvæmt eftirfarandi lýsingum: (a) AB = 3, BC = 4, AC = 5. (b) AB = 3, BC = 4, AC = 6. Þrjár hliðar (þrjú strik) mynda ekki alltaf þríhyrning. Hvaða skilyrði þarf að gilda um þrjú strik til þess að hægt sé að búa til þríhyrning? Verkefni 5 Eins og þú sást í verkefni hér að ofan dugar ekki að vita eitt horn, eina samliggjandi hlið við hornið og mótlæga hlið við hornið. Gerðu góða skýringarmynd sem sýnir hvernig slíkar upplýsingar geta gefið möguleika á tveimur ólíkum þríhyrningum. Við köllum þríhyrning sem hefur tvær jafn langar hliðar jafnarma þríhyrning. u v Hliðarnar tvær sem merktar eru striki eru jafn langar. Verkefni 6 Hvaða regla gildir um hornin í jafnarma þríhyrningi? Hver eru tengsl hornanna u og v á myndinni? Sýndu fram á tengslin með óyggjandi hætti. Við köllum þríhyrning sem hefur allar hliðar jafn langar jafnhliða þríhyrning. 103

108 Allar hliðar eru jafn langar Verkefni 7 Hvaða regla gildir um hornin í jafnhliða þríhyrningi? Hve stór eru hornin? Verkefni 8 Nú ætlum við að snúa við reglunni um horn í jafnarma þríhyrningum: ef þríhyrningur hefur tvö jafn stór horn, þá er hann jafnarma. Merktu hornin eru jafn stór Sýndu fram á að tvær hliðar séu jafnar. Það gæti borgað sig að draga einhverja hjálparlínu. Verkefni 9 Hér er mynd úr enskri bók (frá 1903), Elementary Geometry Practical and Theoretical, eftir C. Godfrey og A.W Siddons. Myndin lýsir aðferð til að mæla fjarlægðina milli H og G, milli horna í húsi, ef maður kemst ekki inn í húsið. Hvernig? Það þarf að sjálfsögðu að útskýra og rökstyðja svarið. Verkefni 10 Bátur er staddur í sjónfæri við vita sem stendur við strönd. Sæfari mælir hornið x, siglir svo beint áfram og fylgist með vitanum þar til hornið hefur tvöfaldast. 104

109 Hvernig getur sæfarinn metið fjarlægðina til vitans? (Hann getur metið hvað hann siglir langt.) x x Verkefni 11 (a) Á myndinni er þríhyrningur með hornpunkta á hring. Ein hlið þríhyrningsins er miðstrengur hringsins (það þýðir að hliðin fer í gegnum miðpunkt hringsins). Einnig hefur verið dregið strik úr horninu á móti miðstrengnum í miðpunkt hringsins. Finnið stærðir óþekktu hornanna. (Þetta er erfitt nema að maður taki eftir því að sum strik á myndinni eru jafn löng.) y u 50 v (b) Sagan segir að gríski heimspekingurinn Þales hafi uppgötvað sönnun á reglu um horn: Ef þríhyrningur hefur miðstreng hrings fyrir grunnlínu þá er hornið á móti grunnlínunni rétt horn. Sagt er að Þales hafi orðið svo uppnuminn af sönnuninni að hann hafi fórnað nauti í gleðivímunni. Verkefnið er að sanna reglu Þalesar. y u x v Hvað er hornið á móti miðstrengnum stórt? (Skrifaðu stæðu fyrir hornið.) Hvað er hægt að segja um tengsl hornanna x og y (og hvers vegna). En hornanna u og v? Notaðu þér svo að hornasumma þríhyrnings er 180 gráður og dragðu ályktun um hornið á móti miðstrengnum. 105

110 Verkefni 1 Á myndinni er rétthyrningur og hringur sem hefur hliðina BC fyrir miðstreng. A B P D C Ef hliðin BP hefur lengdina 3 og hliðin PC hefur lengdina 4, hvert er þá flatarmál rétthyrningsins ABCD? (Hér þarf að nota reglu Pýþagórasar.) Verkefni 13 Á myndinni eru AB og CD samsíða. Hver er summa hornanna, A + E + C? A B E C D Verkefni 14 Á myndinni er punktur X á striki sem er samsíða QR og strikin QX og RX eru á helminglínum hornanna. P A X B. Q R (a) Ef XQR = 30, hver er þá stærð XAQ? 106

111 (b) Ef PQ = 10, PR = 17 og QR er 15, hvert er ummál þríhyrningsins PAB? (Rifjum upp að ummál er samanlögð lengd hliðanna.) 107

112 8: Sannanir og frumsendukerfi Þessar löngu keðjur af fullkomlega einföldum og auðveldum rökfærslum sem rúmfræðingar nota í sínum erfiðustu sönnunum, höfðu leitt mig á þá skoðun að allt sem getur fallið undir mannlega þekkingu myndi slíka runu; og svo lengi sem við forðumst að samþykkja eitthvað sem sannleika sem er það ekki, og höldum okkur við rétta röð þegar við leiðum einn hlut af öðrum, er ekkert svo fjarri að við náum ekki til þess að lokum, né svo vel falið að ekki sé hægt að uppgötva. - Descartes Þegar ég nota orð, sagði Humpty Dumpty í fyrirlitningartón, þá merkir það einungis það sem ég ákveð að það merki hvorki meira né minna. Spurningin er, sagði Lísa, hvort þú GETUR látið orð merkja svona marga mismunandi hluti. Spurningin er, sagði Humpty Dumpty, hver ræður það er allt og sumt. - Lewis Carroll (Gegnum stækkunarglerið) Til umhugsunar Hvað einkennir sannfærandi röksemdarfærslu? Til hvers eru sannanir í stærðfræði? Í þessum kafla skoðum við nokkrar gamlar og góðar reglur rúmfræðinnar. Fyrstir til þess að sanna reglurnar, svo vitað sé, voru forn-grikkir, fyrir um tvö þúsund og fimm hundruð árum. Allar reglur í stærðfræði eru annaðhvort rökstuddar með sönnun út frá öðrum reglum, eða þær eru látnar ósannaðar, og heita þá frumsendur. Frumsendur eru þá reglur sem annaðhvort liggja í augum uppi eða við lítum svo á að þær skilgreini einfaldlega um hvað er verið að tala. Til dæmis byggir reglan um hornasummu þríhyrninga á frumsendu, nefnilega þessari: Ef þriðja lína sker tvær samsíða línur þá eru einslæg horn jafn stór. (Og einnig gildir: ef einslæg horn eru jafn stór þá eru línurnar samsíða.) 108

113 y x Ef og aðeins ef línurnar eru samsíða erx = y Þessi frumsenda virðist augljóslega rétt í tvívíðri rúmfræði á sléttum fleti. En er hún til dæmis rétt á kúluyfirborði? Til þess að sönnun í stærðfræði sannfæri einhvern þarf sá (sem á að sannfærast) að samþykkja og skilja forsendurnar sem sönnunin hvílir á. Það sem þú ert að lesa um í þessari bók mætti nefna sígilda rúmfræði tvívíðrar sléttu og hún byggir á nokkrum forsendum. Lengi var sagt sem svo að þessar forsendur (sem ekki verða sannaðar út frá einfaldari forsendum) yrðu að vera alveg augljósar. Allir ættu að sjá í hendi sér að þær hlytu að vera sannar. Og það má ef til vill segja að þær séu það, ef miðað er við tvívíðan flöt sem er einhvern veginn eins og slétt pappírsblað eða skautasvell. Þó er stærðfræðilega sléttan óendanleg í allar áttir. Og þessi rúmfræði er ágætt líkan af skika á yfirborði jarðar sem er ekki allt of stór. Það er hins vegar ekki nógu gott líkan af öllu yfirborði jarðar. Til dæmis er yfirborð jarðar takmarkað en ekki óendanlegt, það er frekar eins og yfirborð kúlu en slétta. Frumforsendur sem gengið er út frá í einhverri stærðfræðikenningu nefnast stundum frumsendur. Elsta kennslubókin í stærðfræði sem varðveist hefur heitir Frumþættir eftir Evklíð, frá því um 300 fyrir Krist. Á ensku er hún nefnd The Elements, en á frummálinu, forngrísku, heitir ritið Stóikeia, eða með grískri stafsetningu Στοιχεϊα. Í Frumþáttunum er rúmfræði sett fram með þeim hætti sem síðan hefur tíðkast í stærðfræði: Í upphafi eru settar fram frumsendur og skilgreiningar, og svo eru allar reglur sannaðar með rökvísum hætti út frá frumsendunum. Sannaðar reglur heita setningar í stærðfræði (theorem á erlendum málum). Þannig er kenning byggð upp með afleiðslukerfi. Eitt af því sem er merkilegt við slíkt kerfi, er að þannig má uppgötva raunverulega gagnlega þekkingu með rökhugsun einni saman, án þess að skynjun á hinum ytra heimi komi við sögu! Frumþættirnir voru kenndir við æðri menntastofnanir í meira en 400 ár, og er vinsælasta kennslubók sögunnar og eitt áhrifamesta rit allra tíma. Hún hefur verið fyrirmynd fræðibóka á mörgum sviðum, en sérstaklega í stærðfræði, heimspeki og raunvísindum. 109

114 Hinar sígildu frumsendur Evklíðs voru fimm. Þær eru svona: 1. Gegnum tvo ólíka punkta liggur nákvæmlega ein lína.. Endanlegt línustrik má framlengja óendanlega. 3. Einn punktur og einn geisli ákvarða einn og aðeins einn hring. 4. Öll rétt horn eru jöfn hvert öðru. 5. Skeri bein lína tvær beinar línur þannig að innanverð hornin sömu megin verði minna en tvö rétt horn, þá mætast línurnar tvær þeim megin sem hornin eru minni en tvö rétt horn. Það er þess virði að reyna að átta sig á því hvað síðasta frumsendan segir. Rissum tvær línur, og þriðju línuna sem sker þær. Þá kemur tvennt til greina: línurnar tvær eru samsíða eða ekki samsíða. Ef þær eru samsíða, eins og á myndinni að ofan, eru innanverð hornin samtals 180 gráður (tvö rétt horn eins og Evklíð segir). Ef innanverðu hornin eru minna en 180 gráður samtals, þá skerast línurnar í einhverjum punkti. Finnst þér þetta vera augljóst? Lengi vel töldu margir að það hlyti að vera hægt að sanna þessa staðreynd út frá hinum frumsendunum. Það er hins vegar 110

115 ekki hægt, og nú eru til gagnlegar rúmfræðikenningar þar sem þessi frumsenda er ekki notuð, og hún á ekki við. Reyndar er í mörgum kennslubókum notuð frumsenda sem er einfaldari en jafngild fimmtu frumsendu Evklíðs: Fyrir gefna línu og gefinn punkt sem liggur ekki á línunni er til ein og aðeins ein lína gegnum punktinn samsíða gefnu línunni. Og þetta hljómar vissulega sannfærandi ef við hugsum um tvívítt slétt yfirborð. Verkefni 1 Til umræðu: (a) Sagt er að síðasta frumsendan sem orðuð er hér að ofan sé það sem gerir Evklíðska rúmfræði tvívíða. Passar hún við upplifun okkar af þrívíðu rúmi, ef við hugsum okkur línur í þrívídd? (b) Geturðu hugsað þér tvívítt yfirborð þar sem síðasta frumsendan gildir ekki? Afleiðslukerfi, þar sem bálkur þekkingar er leiddur út með sönnunum, inniheldur 1. Frumhugtök. (Það eru hugtök sem ekki verða skilgreind frekar.). Skilgreiningar. (Hugtök skilgreind út frá áður kynntum hugtökum.) 3. Frumsendur. (Ósannaðar reglur sem gert er ráð fyrir að séu sannar.) 4. Setningar. Það eru allar reglur sem eru sannaðar út frá frumsendum og áður sönnuðum reglum. Í Evklíðskri rúmfræði eru mikilvægustu óskilgreindu hugtökin punktur og lína. Í Frumþáttunum eru þessi hugtök reyndar skilgreind í upphafi (ásamt 3 öðrum hugtökum) og þar segir að punktur sé það sem ekki er hægt að skipta og að lína sé lengd án breiddar. En þessar skilgreiningar kalla á aðrar spurningar, það er til dæmis hægt að spyrja hvað er að skipta einhverju eða hvað er lengd. Á síðari tímum eru alltaf einhver hugtök óskilgreind í afleiðslukerfum, þó svo að hægt sé að gera grein fyrir merkingu þeirra innan kerfisins, með því að taka fram allt sem hægt er að segja um þau. Dæmi um þetta væri að taka fram að um sérhvern punkt og sérhverja línu megi alltaf segja nákvæmlega annað tveggja: punkturinn er á línunni og punkturinn er ekki á línunni. Ef það á að gera þetta með tæmandi hætti verður umfjöllunin lengri og tæknilegri en viðeigandi er á þessu stigi, og geymist til háskólanáms. 111

116 Skilgreiningar leika sérstaklega stórt hlutverk í stærðfræði en skilgreiningar í stærðfræði hafa ekki sama tilgang og skilgreiningar í daglegu máli eða mörgum öðrum fræðum. Venjulegar skilgreiningar snúast um það að segja hvað eitthvað er. Við getum því spurt heimspekilegra spurninga á borð við hvað er ást eða hvað er réttlæti, auk þess sem við viljum hafa nothæfar skilgreiningar á hugtökum í ýmsum efnum, til dæmis lögum og leikjum. Verkefni Semdu og ræddu um að minnsta kosti tvær mögulegar skilgreiningar á eftirfarandi: (a) hvenær líf manneskju kviknar (b) hvenær manneskja telst látin (c) hvað er klám Um venjulegt tungumál lýsir skilgreining því hvernig orð er notað, hvað það merkir í hugum þeirra sem nota orðið, og oft er ágæt leið að lýsa því hvernig hugtak er sögulega tilkomið. Í stærðfræði er þetta ekki þannig. Skilgreining í stærðfræði er samkomulag um merkingu, og hugtak sem hefur verið skilgreint í stærðfræði merkir ekkert annað en það sem stendur í skilgreiningunni. Þetta veldur nemendum oft miklum ruglingi. Í fyrsta lagi samsvara stærðfræðihugtök ekki neinum raunveruleika, það er tilgangslaust, í stærðfræði, að spyrja sig hvað (til dæmis) bein lína sé í raun og veru. Í öðru lagi má ekki, í röksemdarfærslum um stærðfræði (sönnunum), notast við neina eiginleika hugtaka aðra en þá sem fram koma í frumsendum og skilgreiningum. Þegar Evklíð skilgreinir rétt horn, til dæmis, segir hann: Þegar bein lína er reist út frá annarri beinni línu þannig að hornin sem liggja hvort upp að öðru verða jafnstór eru þau nefnd rétt horn. Í þessari skilgreiningu kemur ekkert fram um að rétt horn sé 90 gráður eða spanni fjórðung úr hring. Til þess að mega nota þær staðreyndir þarf að sanna að svo sé. Verkefni 3 Skoðum tilbúið afleiðslukerfi: Frumhugtök: Óskilgreind hugtök eru stelpa, strákur og elska. Skilgreiningar: Einstaklingur er annaðhvort stelpa eða strákur. Ástarsamband inniheldur nákvæmlega tvo einstaklinga þannig að hvor þeirra elskar hinn. Hefðbundið ástarsamband inniheldur nákvæmlega einn strák og eina stelpu þannig að hvort þeirra elskar hitt. 11

117 Frumsendur: 1. Það eru nákvæmlega þrír einstaklingar og að minnsta kosti ein stelpa og einn strákur.. Annaðhvort elskar einstaklingur annan einstakling eða ekki. 3. Allir elska að minnsta kosti einn einstakling. 4. Enginn er í meira en einu ástarsambandi. Setningar: 1. Það er annaðhvort eitt ástarsamband eða ekkert.. Ef sérhver einstaklingur elskar að minnsta kosti einn einstakling af gagnstæðu kyni þá er nákvæmlega eitt hefðbundið ástarsamband og einn einstaklingur sem er ekki í ástarsambandi. (a) Sannaðu setningarnar tvær. (b) Breyttu einhverjum frumsendum eða bættu við og sannaðu einhverja nýja setningu. (c) Finndu upp þitt eigið frumsendukerfi. Verkefni 4 Í orðabókum er að finna skilgreiningar orða eins og þau eru notuð í tungumáli. Þó er aldrei hægt að komast að endanlegum skilgreiningum, því að í hverri skilgreiningu eru notuð önnur orð sem líka þarf að þekkja. Til dæmis, ef leitað er að orðinu punktur gæti staðið hugsaður depill, ákveðinn staður í rúminu. Og ef nú er flett upp orðinu depill fæst blettur, ákveðinn staður. Nú mætti fletta upp orðunum blettur og staður og halda svona áfram, þangað til við komum í hring. Eltu nú orðin lína og hringur í orðabók. Í þessari bók er ekki fylgt ströngustu kröfum um að öll orð (sem ekki eru frumhugtök) séu alveg nákvæmlega skilgreind, enda yrði bókin þá mun lengri og erfiðari í lestri. Við reynum að feta milliveg hæfilegrar nákvæmni. Verkefni 5 Hvernig skilgreinir þú ferhyrning? Skoðaðu nú myndirnar og segðu hvaða myndir falla undir þína skilgreiningu. Þú verður að fara eftir því sem þú skrifaðir, nákvæmlega, en ekki því sem þú sást fyrir þér. 113

118 Þú sérð vonandi að það getur verið erfitt að skilgreina stærðfræðilega hluti nákvæmlega, þannig að ekkert geti misskilist eða verið túlkað á annan hátt en ætlunin var. Þær kröfur sem eru venjulega gerðar til góðrar skilgreiningar í stærðfræði eru 1. Hún lýsir nákvæmlega þeirri hugmynd sem á að skilgreina.. Hún inniheldur einungis orð eða tákn sem allir almennt skilja, hafa verið skilgreind áður, eða eru óskilgreind frumhugtök. 3. Hún inniheldur ekki óþarfa upplýsingar. Síðasta krafan er þó ekki ófrávíkjanleg, sérstaklega í kennslubókum. Verkefni 6 Í bókum um rúmfræði má finna margar mismunandi skilgreiningar á því hvað rétthyrningur er, til dæmis: (a) Rétthyrningur er samsíðungur með fjórum réttum hornum. (b) Rétthyrningur er ferhyrningur með fjórum réttum hornum. (c) Rétthyrningur er samsíðungur með (að minnsta kosti einu) réttu horni. (d) Rétthyrningur er samsíðungur þar sem tvær hliðar eru hornréttar. (e) Rétthyrningur er samsíðungur þar sem hornalínurnar tvær eru jafn langar. Fjallaðu um þessar skilgreiningar. Hver finnst þér best? Reglur sem sannaðar eru í stærðfræði nefnast setningar. Sönnun innan afleiðslukerfis er ekkert annað en pottþétt röksemdarfærsla, þar sem hver fullyrðing er annaðhvort frumsenda eða bein rökrétt afleiðing af skilgreiningum og áður sönnuðum setningum. 114

119 Hér er ein setning til að lesa, með sönnun: Setning. Hornalínurnar tvær í rétthyrningi eru jafn langar. Sönnun: Látum ABCD vera rétthyrning. Við notum algengustu skilgreininguna, sem þýðir að öll hornin eru rétt. Við getum fullyrt að mótlægar hliðar rétthyrningsins eru samsíða (annars myndu þær skerast einhvers staðar ef þær væru framlengdar, og þá kæmi fram þríhyrningur með tveimur réttum hornum, sem er ómögulegt því hornasumma þríhyrnings er 180 gráður). (Teiknið viðeigandi mynd.) Þar sem hornalínan BD fellur á samsíða línur verða hornin ABD og CDB jöfn og hornin ADB og CBD eru jöfn. Þar með eru þríhyrningarnir ABD og BCD eins (þeir hafa sömu horn og sameiginlegu hliðina BD. (Bætið við myndina.) Þess vegna er AB = CD. Lítum þá á þríhyrningana ACD og ABD. (Fullgerið myndina.) Þeir eru eins, vegna þess að þeir hafa jafnt: tvær hliða og hornið á milli þeirra. Það væri reyndar ekki rétt að segja að sannanir í stærðfræði væru alveg svo strangar, að hver einasta fullyrðing sé annaðhvort frumsenda eða bein nauðsynleg afleiðing af skilgreiningum og áður sönnuðum setningum Oft eru notuð ýmis pottþétt rök sem falla ekki alveg undir þessa ströngu kröfu. Meira að segja Evklíð sjálfur notar víða alls konar augljósa eiginleika út frá myndum sem ekki eru teknir fram sem frumsendur. Til dæmis, í setningu I.1, segir hann: Tökum línustrik AB. Teiknum hring með miðju í A og geisla AB og annan hring með miðju í B og geisla AB. 115

120 Látum C vera skurðpunkt hringjanna. Svo heldur sönnunin áfram, en hún sýnir hvernig hægt er að teikna jafnhliða þríhyrning með hringfara og stiku. En þessi síðasta lína er ekki samkvæmt neinni frumsendu, því það kemur ekkert fram í þeim um það hvenær hringir skerast. Hvernig vitum við þá að þessir hringir skerast? Þeir hljóta vissulega að gera það, en ef við ættum að halda okkur við strangasta skilning á afleiðslukerfi er ekki leyfilegt að draga þá ályktun. Allt verður að koma fram í frumsendunum. Þó svo að Evklíð hafi ekki alveg staðið undir nútímaskilning á því hvernig setja eigi fram kenningu með afleiðslukerfi, og þó að það sé bæði óþarft og fyrirhafnarsamt að útbúa algerlega fullkomið afleiðslukerfi, þá er stendur það fyrir sínu sem fyrirmynd. Fyrir lesendur þessarar bókar er hægt að segja um sönnun, að hún á að vera: 1. Útskýring. Með því að skoða sönnun, á lesandi að geta skilið hversvegna tiltekin regla er sönn.. Samskiptaleið. Sannanir eru einskonar opinber umræðuvettvangur um stærðfræði, þar sem hugmyndir koma fram og eru ræddar. 3. Réttlæting fyrir skilgreiningum. Hægt er að sýna fram á að stærðfræðileg skilgreining sé í samræmi við skilning okkar á því hvað tiltekið hugtak merkir með því að sanna að allir mikilvægir eiginleikar hugtaksins eru nauðsynlegar afleiðingar skilgreiningarinnar. Þetta er til dæmis aðalástæðan fyrir því að sanna reglur sem virðast hvort sem er,,augljósar''. 116

121 4. Rökstuðningur fyrir nýja reglu: Engin regla er samþykkt í stærðfræði nema að sett hafi verið fram sönnun, röksemdarfærsla sem sýnir fram á með óyggjandi hætti að reglan sé raunverulega sönn. Þegar þú ert beðinn að útskýra, sanna eða sýna fram á eitthvað er ágætt að hafa í huga eftirfarandi skref: 1. Fyrst sannfærirðu sjálfan þig,. svo sannfærirðu vin, 3. að lokum sannfærirðu vantrúaðan lesanda. Flestar setningar stærðfræðinnar má orða sem skilyrðissetningu á forminu ef... þá. Til dæmis segjum við ef tvær oddatölur eru lagðar saman þá er útkoman slétt tala, eða ef A, B og C eru horn í þríhyrningi þá er summan A + B + C = 180. Í stærðfræði gilda ströng regla um ef... þá setningar, sem eru ekki alltaf alveg eins og við skiljum þær í venjulegu máli. Þegar við segjum ef A þá B í stærðfræðitexta meinum við að ef A er satt, þá er B örugglega satt. Þessu má ekki snúa við, við megum ekki draga neina ályktun um það hvort A er satt, þó að við vissum að B væri satt. Verkefni 7 Látum A tákna fullyrðinguna x y = 0 og látum B tákna fullyrðinguna x = 0 og y = 5. Segið hverjar af eftirfarandi fullyrðingum eru nauðsynlega sannar, og útskýrið: (a) ef A þá B (b) ef B þá A (c) ef ekki A þá ekki B (d) ef ekki B þá ekki A Tókstu eftir því að það er samhengi milli fullyrðinga (a) og (d) í verkefninu? Til eru nokkur mismunandi orðasambönd til að tjá fullyrðinguna ef A þá B. Meðal annars er hægt að segja: A er nægjanlegt skilyrði fyrir B (vegna þess að það nægir okkur að vita A til að geta dregið ályktunina B) eða B er nauðsynlegt skilyrði fyrir A (vegna þess að ef B er ósatt, þá getur A ekki verið satt). 117

122 Verkefni 8 Fræg er fullyrðing franska heimspekingsins Rene Descartes, ég hugsa þess vegna er ég til. (Fjallað verður meira um Descartes síðar í bókinni.) Að hugsa er því nægjanlegt skilyrði fyrir því að vera til. En er það nauðsynlegt? Í afleiðslukerfi á semsagt að vera hægt að sanna allar setningar með keðju af fullyrðingum, þannig að allar fullyrðingar eru nauðsynlegar afleiðingar þeirra fullyrðinga sem komnar eru áður í keðjunni. Kostir þess að setja kenningu fram með afleiðslukerfi eru ýmsir. Meðal þeirra mætti nefna: (a) Forsendur kenningarinnar koma skýrt fram í frumsendunum. (b) Hægt er að sanna með óyggjandi hætti hvaða afleiðingar forsendurnar hafa í för með sér. (c) Oft er hægt að kanna með tilraunum eða könnunum hvort kenningin er röng, því ef tilraunaniðurstöður koma ekki heim og saman við sannaðar niðurstöður, þá geta forsendurnar ekki verið réttar. (Athugið þó að aldrei er hægt að sanna að kenning sé rétt, tilraunin sem hrekur hana gæti alltaf leynst handan hornsins.) (d) Ef vel tekst til, fegurð. Hver sem er á því að geta lesið um kenninguna frá fyrstu síðu og kannað réttmæti niðurstaða. Kenningar stærðfræðinnar henta vel til slíkrar framsetningar, en þar er c- liðnum reyndar ofaukið þar sem sannleikur frumsenda í stærðfræði má liggja milli hluta. Verkefni 9 Látum A tákna fullyrðinguna x = 16 og x er heil tala og látum B tákna fullyrðinguna x = 4. Segið hverjar af eftirfarandi fullyrðingum eru nauðsynlega sannar, og útskýrið: (a) ef A þá B (b) ef B þá A (c) ef ekki A þá ekki B (d) ef ekki B þá ekki A 118

123 Frumþættir Evklíðs í menningunni Frumþættir Evklíðs hafa orðið mörgum innblástur, bæði til lista, vísinda og hagnýtra verka. Abraham Lincoln ( ), sextándi forseti Bandaríkjanna, lagðist yfir bókina í því skyni að bæta rökvísi sína. In the course of my law reading I constantly came upon the word "demonstrate". I thought at first that I understood its meaning, but soon became satisfied that I did not. I said to myself, What do I do when I demonstrate more than when I reason or prove? How does demonstration differ from any other proof? I consulted Webster's Dictionary. They told of 'certain proof,' 'proof beyond the possibility of doubt'; but I could form no idea of what sort of proof that was. I thought a great many things were proved beyond the possibility of doubt, without recourse to any such extraordinary process of reasoning as I understood demonstration to be. I consulted all the dictionaries and books of reference I could find, but with no better results. You might as well have defined blue to a blind man. At last I said,- Lincoln, you never can make a lawyer if you do not understand what demonstrate means; and I left my situation in Springfield, went home to my father's house, and stayed there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight. I then found out what demonstrate means, and went back to my law studies. ( Sjálfstæðisyfirlýsing Bandaríkjanna frá Bretlandi frá 1776 hefur framsetningu Evklíðs að fyrirmynd. Skjalinu mætti reyndar lýsa ágætlega með því að þar sé um einskonar stærðfræðilega sönnun að ræða, út frá þremur frumsendum er sannað að nýlendurnar hafi rétt á því að stofna sjálfstætt ríki. Eftir stuttan inngang eru frumsendurnar kynntar: We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, that among these are Life, Liberty and the pursuit of Happiness.... ( Það væri því ekki ofsögum sagt að kennslubók Evklíðs hafi verið mönnum fyrirmynd um uppbyggingu nákvæmra og rökréttra texta. Auk þess var lestur á henni (eða hluta hennar) talin nauðsyn þeim sem vildu komast til æðri mennta, og má jafnvel segja að hún hafi verið notuð sem hindrun, eða það sem kallað er sía í dag, og nokkuð víst að margir hafa ekki notið þessa náms. Ein regla Evklíðs hlaut meira að segja sérstakt nafn, setning númer fimm í fyrsta bindinu var kölluð asnabrúin (pons asinorum), vegna þess að sagt var að þar færu hinir lakari nemendur að finna fyrir erfiðleikum. Skýringarmyndin við regluna getur minnt á brú, og hér sjáum við regluna með sönnun 119

124 úr stórkostlegri útgáfu Oliver Byrne frá 1847, þar sem að notast er við liti og myndir í stað bókstafa til þess að tákna hugtök: Skoða má útgáfu Byrne á Enskt skáld, Andrew Marvell ( ), notar sér hugmyndina um samsíða línur í ástarljóðinu Definition of Love: As lines so Loves oblique may well Themselves in every angle greet: But ours so truly parallel, Though infinite can never meet. (Hartshorne, 6) oblique: óbeinn greet: heilsa, taka á móti parallel: samsíða infinite: óendanlegur 10

125 Og bandaríska skáldið Edna St. Vincent Millay ( ) orti svo um Evklíð (sem heitir Euclid á enskri stafsetningu): Euclid alone has looked on Beauty bare. Let all who prate of Beauty hold their peace, And lay them prone upon the earth and cease To ponder on themselves, the while they stare At nothing, intricately drawn nowhere In shapes of shifting lineage; let geese Gabble and hiss, but heroes seek release From dusty bondage into luminous air. O blinding hour, O holy, terrible day, When first the shaft into his vision shone Of light anatomized! Euclid alone Has looked on Beauty bare. Fortunate they Who, though once only and then but far away, Have heard her massive sandal set on stone. bare: nakinn prate: þvaðra prone: flatur, cease: hætta að ponder: íhuga intricately: flókið lineage: ætt gabble and hiss: babla og hvæsa bondage: þrælkun, luminous: ljós shaft: geisli anatomized: krufið, greint í smáatriðum -- Edna St. Vincent Millay Verkefni 10 Til er saga af Evklíð og einum nemenda hans sem var búinn að læra eina rúmfræðisetningu. Hann spurði þá: Hvað fæ ég í aðra hönd ef ég læri þessa hluti? Evklíð sagði þá þræli sínum að gefa honum pening, úr því að hann verður að græða á því sem hann lærir. (Þorstein Vilhjálmsson, 166) Verkefni þitt er að hugsa um og ræða þessa sögu. Mjög margar útgáfur og þýðingar eru til af Frumþáttum Evklíðs. Elstu varðveittu handritabrotin eru frá því um einni öld eftir upphaf tímatals okkar, en meðal nýrri útgáfa ætti að telja net-útgáfu með gagnvirkum skýringarmyndum, sem sjá má á slóðinni Enn sem komið er (009) hefur engin íslensk þýðing verið gefin út. 11

126 9: Þríhyrningar: nánari kynni Stærðfræði er ekki sköpuð grein heldur grein til að skapa. - Hans Freudenthal Til umhugsunar Er hægt að mæla lengdir úr fjarlægð? Þessi mynd frá 16. öld sýnir þríhyrningamælingu á breidd fljóts. Þríhyrningar eru minnstu marghyrningarnir, það er að segja marghyrningar með fæstu hornin. Hægt er að skipta öllum marghyrningum í þríhyrninga. Þetta er ein af ástæðum þess að þríhyrningar eru fyrirferðamiklir í hefðbundinni rúmfræði. Við táknum þríhyrning oft með stórum bókstöfum, tölum um þríhyrninginn Δ ABC eða bara ABC, og þá tákna bókstafirnir hornpunktana eða (hornin sjálf). Venja er að tákna hliðina á móti horninu A með a. Við segjum stundum að hliðin a sé mótlæg við hornið A. C b a A c ÞríhyrningurABC B 1

127 Þegar við teiknum þríhyrning án þess að vita um neina sérstaka eiginleika hans, reynum við að teikna ekki neina sérstaka eiginleika á myndina: við höfum hann ekki jafnarma eða rétthyrndan. Rifjum nú upp orðin hæð, miðlína, helmingalína og miðþverill, og lærum hvernig þessar línur eru táknaðar í þríhyrningi: Verkefni 1 (a) Teiknaðu þríhyrning. Rifjum upp að hæð í þríhyrningi er línustrik (eða lína, ef við á) úr einu horni hornrétt niður á mótlæga hlið. Við táknum hæð á hliðina c með því að rita h c, ef það þarf að gera greinarmun á hæðunum, og á samsvarandi hátt á hinar hliðarnar. Dragðu eina hæð í þríhyrningnum. Það myndast tveir minni þríhyrningar í upphaflega þríhyrningum. Er eitthvað hægt að segja um þá, eða hornin í þeim, eitthvert einkenni? Merkjum hornin. Getum við tengt saman summurnar af hornunum, x + y og u + v? Hvernig? Hvers vegna? C y v h c A x Einhvern veginn svona gæti þríhyrningurinn litið út. u B (b) Rifjum upp að miðlína í þríhyrningi er lína úr hornpunkti í gegnum miðpunkt mótlægrar hliðar. Miðlína frá horninu A yfir á hliðina a er oft táknum með m. A a m a C Þríhyrningur og miðlína. B Hvað sýnist þér um flatarmál litlu þríhyrninganna sem myndast? Geturðu sýnt fram á eitthvað um þá? (c) Rifjum upp að lína frá hornpunkti sem skiptir horninu í tvö jafn stór horn nefnist helmingalína hornsins. Helmingalína hornsins A er stundum táknuð með v A. Eins og 13

128 við komumst að í verkefni að ofan, er fjarlægð hvaða punkts sem er á línunni nákvæmlega jafn langt frá báðum örmum hornsins. A v a C Þríhyrningur og helmingalína horns. Manstu eftir einhverjum áhugaverðum eiginleika helmingarlína þríhyrnings? Athugaðu verkefnið að teikna hring sem snertir hverja hlið þríhyrningsins í nákvæmlega einum punkti (sjá verkefni að ofan). B (d) Rifjum upp að miðþverill á hlið er hornrétt lína á hliðina sem fer í gegnum miðpunkt hennar. Miðþverill á hliðina a er oft táknaður með n a. A n a a Þríhyrningur og miðþverill á hlið. Manstu eftir einhverju áhugaverðum eiginleika miðþverla? Hvernig var miðja hrings gegnum alla hornpunktana fundin? Verkefni Hugsum aðeins um eftirfarandi línur í þríhyrningi: hæðir, miðþverla, miðlínur og helmingalínur. (a) Hvað geta í mesta lagi verið margar mismunandi línur af þessu tagi í einum þríhyrningi? (Ef tvær línur falla saman teljum við bara eina línu.) (b) Hvað geta í minnsta lagi verið margar svona línur? Í hvers konar þríhyrningi gerist það? (c) Er hægt að nota allar tölur á milli talnanna sem fást í liðum a og b? Rökstyðjið og útskýrið svörin með skýringarmyndum. Verkefni 3 Ef tvö horn í þríhyrningi eru þekkt, er þá hægt að reikna út hornin milli hvaða tveggja lína sem er? (Hér er átt við sjálfar hliðar þríhyrningsins, hæðir, miðþverla, miðlínur og helmingalínur.) Lýstu því eins vel og þú getur hvernig maður 14

129 getur reiknað svona dæmi. Búið til einhver dæmi og reiknið þau. Nákvæmlega hvaða aðferðir og reglur notarðu? Hér væri hugsanlega gott að staldra við og gera yfirlit yfir línur í þríhyrningi. Þú gætir fyllt út í þessa yfirlitstöflu (hér eða í þína eigin stílabók). Ekki gleyma að ljúka við teikningarnar. Nafn Skilgreining Eiginleikar Mynd Hæð á hlið Tákn: Miðþverill á hlið Tákn: n a Miðþverill á hlið er hornrétt á hana og fer í gegnum miðpunkt hennar. Frá hverjum punkti á miðþverli hliðar er jafn langt í bæði horn hliðarinnar. Hringur gegnum alla hornpunktana fæst með því að hafa miðju hrings í skurðpunkti miðþverla. A a n a Helmingalína horns Tákn: Miðlína á hlið Tákn: - Einshyrndir þríhyrningar - Við ætlum núna að gefa okkur aðra frumsendu, og hún er um einshyrnda þríhyrninga: Tveir þríhyrningar eru einshyrndir þá og því aðeins að hlutföll tilsvarandi hliða séu jöfn. 15

130 Reyndar er hægt að sanna þetta út frá frumsendum Evklíðs, en það tæki svolítið meiri tíma en ætlaður er í rúmfræði í áfanganum STÆ 103. Við getum táknað að þríhyrningar séu einshyrndir: Δ A1 B1C 1 ~ ΔA BC þýðir að um hornin gildir 1 A A =, B 1 = B og C 1 = C. Við athugum að skrifa röð hornanna þannig að samsvarandi horn séu jöfn. Frumsendan segir: Ef Δ A1 B1C 1 ~ ΔA BC þá gildir að A 1 A =, 1 B B1 B C1 C B C = og 1 C =. A1 A Með þessari reglu er mögulegt að leysa ótal verkefni, og hún hefur nýst í tækni og vísindum frá örófi alda. Verkefni 4 Að finna vegalengd án þess að mæla hana. m 10 m 30 m Hver er fjarlægðin frá trénu að manneskjunni hinum megin við fljótið? Verkefni 5 Að finna hæð húsa og fjalla: Lýstu því hvernig hægt er að reikna hæð hvaða hlutar sem er með einshyrndum þríhyrningum: 16

131 Merktu öll strik sem þú þarft inn á myndina til að tákna vegalengdir. Lýstu því í samfelldu máli með skýrum útreikningum hvernig þú getur fundið hæðina. Hægt er að hugsa sér að brotna línan sé sólargeisli, þannig að endapunktur láréttu línunnar við fót manneskjunnar sé endir skuggans. Þessi kýr hefur verið þríhyrninguð, sem er grundvallaraðferð í tölvugrafík. (Mynd fengin á Verkefni 6 Hér er mynd af þríhyrningi. Hann er jafnarma, með AB = AC. Punkturinn D er skurðpunktur hliðarinnar AC og helmingalínu hornsins B. Lengd BC er 1. Hornið í A er

132 a) Finndu stærðir allra horna í þríhyrningum. b) Útskýrðu hvers vegna AD = DB = BC. c) Setjum x = AC. Notaðu einshyrnda þríhyrninga til að sýna fram á að x = x d) Athugaðu hvort x = er lausn á þessari jöfnu. Þetta hlutfall er stundum nefnt gullna hlutfallið (e. golden ratio), og þú getur flett ýmsu upp um það með því að leita á netinu, þó að sumt af því kunni að vera vafasamar upplýsingar. e) Teiknaðu reglulegan fimmhyrning (allar hliðar jafnar og öll horn jöfn.) Teiknaðu síðan allar hornalínur. Hve marga jafnarma þríhyrninga geturðu fundið með topphorn sem er 36 að stærð? Verkefni 7 Á myndinni er rétthyrndur þríhyrningur þannig að allir punktar hans eru á hliðum þríhyrningsins. ΔPQR en PDEF er ferningur, (a) Ef PQ = 4 og PR = 4 (b) Ef PQ = 3 og PR = 4 (c) Ef, hver verður hliðarlengd ferningsins?, hver verður hliðarlengd ferningsins? PQ = a og PR = b, hver verður hliðarlengd ferningsins? (Svar: ab a + b ) Verkefni 8 Á myndinni er hálfhringur og miðstreng hans er skipt í strik sem hafa lengdirnar 1 og x. Þverill er dreginn þar sem strengnum er skipt. 1 x (a) Ef x =, hver er þá lengd þverilsins, það er að segja lengdin y? (b) Alhæfið: hver er lengd þverilsins, miðað við strikið sem hefur lengdina x? y 18

133 (Vísbending: hægt er að nota reglu Þalesar og svo þarf að taka vel eftir og finna einshyrnda þríhyrninga.) Verkefni 9 Á myndinni er strikið CQ samsíða strikinu AB. Strikið BQ er á helmingalínu hornsins ABC. (Það gæti þá staðið, með táknum: CQ AB og BQ liggur á v A.) B A P C Q (a) Eru þríhyrningarnir Δ ABP og Δ CQP einshyrndir? Hér verður að tilgreina nákvæmlega hvernig maður fær niðurstöðuna. AB BC (b) Að því gefnu að Δ ABP og Δ CQP séu einshyrndir, segðu hvers vegna =. AP PC (c) Skoðaðu fyrri liði dæmisins og skrifaðu niður samfellda og skýra sönnun á eftirfarandi reglu: Um þríhyrning Δ ABC gildir: Ef P er skurðpunktur helmingalínu AB BC hornsins B og mótlægrar hliðar hornsins þá er =. AP PC Verkefni 10 Tökum þríhyrning (framlengdar ef þarf) í punktunum D, E og F. Δ ABC og látum línuna m skera hliðar þríhyrningsins 19

134 (a) Teiknaðu línu gegnum A sem er samsíða BC. Skurðpunktinn við línuna m nefnum við G. (b) Notaðu einshyrnda þríhyrninga til að sýna fram á að AE = AG CE CF. Ekki gleyma að rökstyðja. AD BD = og AG BF AD BF CE (c) Sýndu fram á að = 1. Þessi snyrtilega jafna nefnist setning BD CF AE Menelaus. 130

135 10: Flatarmál Það er dýrð rúmfræðinnar að af svo fáum lögmálum, sem fengin eru að utan, skuli hún afreka svo mikið. - Isaac Newton. Til umhugsunar Hvaða skyggðu svæði hafa mesta flatarmálið? Eitt af þeim mikilvægu hugtökum sem stærðfræði fjallar um er flatarmál. Þú veist sjálfsagt eitthvað um flatarmál (enda hefur verið minnst á það í nokkrum dæmum.) Verkefni 1 Skrifaðu niður hvað þú veist um flatarmál nú þegar. Flatarmál hvers konar mynda kanntu að reikna? Gætirðu útskýrt hvers vegna þau eru fundin eins og þau eru fundin? Hvað er flatarmál? Eiga allar flatarmyndir sér flatarmál? Grunnhugmyndin er einföld: við hugsum okkur að ferningur sem hefur hliðarlengdina 1, hafi flatarmálið 1. Við gætum nefnt slíkan ferning einingarferning. Fyrir hvaða flatarmynd sem er reynum við að meta stærð hennar út frá því hve margir einingarferningar komast fyrir í myndinni. Ef flatarmyndin er einföld, er þetta tiltölulega einfalt, annars getur þurft að hugsa sig talsvert um. 131

136 Einfalt Flóknara Við reiknum flatarmál rétthyrnings með því að margfalda saman hliðarlengdirnar, lengd sinnum breidd, eins og það er stundum orðað. Verkefni Á myndinni er dökki ferningurinn með hliðarlengdina 1. Utan um hann er stærri ferningur, en hann er þannig að svæðið utan um, hefur líka flatarmálið 1. Hver er hliðarlengd þess fernings? Til þess að reikna flatarmál hvaða marghyrnings sem er, er nóg að vita hvernig hægt er að finna flatarmál þríhyrnings. Því það er alltaf hægt að skipta marghyrningi niður í þríhyrninga. (Marghyrningur hefur bara hliðar sem eru bein línustrik.) Marghyrningi skipt í þríhyrninga Við sammælumst um að flatarmál hafi slíka merkingu að flatarmál rétthyrnings sé margfeldi hliðarlengdanna. Skoðum næst, hvernig við reiknum flatarmál samsíðungs. Samsíðungur er ferhyrningur þar sem gagnstæðar hliðar eru samsíða. Verkefni 3 Skoðið mynd af rétthyrningi ABCD og samsíðungi EBCF. 13

137 (a) Berið saman þríhyrningana eins? Δ AEB og Δ DFC. Geturðu sannað að þeir eru (b) Nú er hægt að reikna flatarmál ferhyrningsins AFCB á tvo vegu: með því að leggja saman rétthyrninginn ABCD og þríhyrninginn leggja saman samsíðunginn EBCF og þríhyrninginn sjá má að flatarmál ABCD er jafnt flatarmáli EBCF. Δ DFC, eða með því að Δ AEB. Útskýrið hvernig Verkefni 4 Á myndinni hér að ofan náði samsíðungurinn út fyrir rétthyrninginn, en það þarf ekki að gerast. Skoðaðu mynd af því tilfelli þegar það gerist ekki, og reyndu að skrifa skýra röksemdarfærslu til að sýna að sama regla gildir: flatarmál samsíðungsins er jafnt flatarmáli rétthyrningsins. Og þá er komið að þríhyrningum. Lítum á þríhyrning Δ ABC : Við drögum línu gegnum A samsíða BC, og línu gegnum C samsíða AB. Þá myndast samsíðungurinn ABCD og við sjáum að þríhyrningurinn er nákvæmlega helmingurinn af honum. Sá samsíðungur hefur sama flatarmál og rétthyrningur með hliðarlengdir h og b eins og sjá má á myndinni. Þess vegna fæst: 133

138 flatarmál Δ ABC = g h Verkefni 5 Byrjum með þríhyrning Δ ABC með flatarmálið 6. Drögum línustrik gegnum miðpunkta tveggja hliða. Það strik verður samsíða einni hlið þríhyrningsins. Hvert er flatarmál minni þríhyrningsins? Reyndu að alhæfa um þetta: hvað ef punktarnir eru ekki miðpunktar, heldur skipti þeir hliðum í einhverju öðru hlutfalli. Verkefni 6 Við byrjum með ferning. Svo tengjum við hvern hornpunkt við miðpunkt einnar hliðar. Hvert er flatarmál skyggða ferhyrningsins sem myndast? Þú mátt gefa þér einhverja tölu fyrir hliðarlengd, en spurningin er um hlutfall hve stór er innri ferhyrningurinn miðað við upphaflega ferninginn. Það eru margar leiðir til að sjá þetta, ekki vera hrædd við að teikna aukalínur. Verkefni 7 Teiknaðu ferhyrning sem hefur flatarmálið 4. Teiknaðu svo annan ferhyrning sem hefur sama flatarmál. Og enn annan. Hafa þeir allir sama ummál? Verkefni 8 Segðu um hverja af eftirfarandi fullyrðingum, hvort hún er alltaf sönn, stundum sönn eða aldrei sönn: (a) Fyrir sérhvern rétthyrning með tiltekið flatarmál er til annar rétthyrningur með sama flatarmál en stærra ummál. (b) Fyrir sérhvern þríhyrning með tiltekið flatarmál er til annar þríhyrningur með sama flatarmál en stærra ummál. (c) Fyrir sérhvern rétthyrning með tilteknu ummáli er til annar rétthyrningur með minna flatarmál. (d) Fyrir sérhvern þríhyrning með tilteknu ummáli er til annar þríhyrningur með minna flatarmál. 134

139 Verkefni 9 Anna og Bjarni eiga landskika hvort um sig. Skikarnir eru afmarkaðir með girðingu eins og sést á myndinni. Nú stendur til að endurnýja girðinguna og Anna og Bjarni vilja hafa hana eins ódýra og hægt er. Þau vilja því finna leið til að afmarka löndin með einni beinni línu, en flatarmál hvors þeirra um sig má ekki breytast. Getur þú hjálpað þeim? Bjarni Anna Vísbending: Hér er gagnlegt að draga hjálparlínur. Verkefni 10 Á myndinni eru ferningar. Ysta ferningnum er skipt í fjóra minni. Einum af þessum fjórum er aftur skipt eins og svo koll af kolli. (a) Lýstu því hvað er á myndinni. Skrifaðu lýsingu sem þú gætir sagt einhverjum til að lýsa myndinni í síma. Sýndu öðrum myndina og berið saman lýsingarnar. Sáu þið myndina eins? (b) Ef hliðarlengd ysta ferningsins myndin er fengin með sex skiptingum, hvert er þá flatarmál hvers af minnstu ferningunum? (c) Myndina má nota til þess að rökstyðja það að ef við leggjum saman óendanlega marga liði, vegna? Hvað finnst þér? fáist útkoman 3 1. Geturðu séð hvers 135

140 Verkefni 11 Byrjum með jafnarma rétthyrndan þríhyrning. Svo teiknum við tvo minni, einslaga þríhyrninga, hvor um sig með helmingi styttri langhlið. Höldum svona áfram. (a) Hvert er ummál fyrsta þríhyrningsins? En flatarmál? (b) Hvert er heildar ummál þriðju myndarinnar? En flatarmál? (a) Hvað ef við höldum áfram með sama hætti? Hvert verður heildar ummálið. En hvert verður flatarmálið? Skrifið stæðu fyrir flatarmál myndar númer n. 1 (b) Ef ég vil fá mynd með flatarmál sem er minna en 00 hvað þarf ég þá að taka mörg skref? -Hringir- Við höfum nú hugsað um flatarmál marghyrninga, svæða sem afmarkast af beinum línum. En hvað með annars konar svæði, til dæmis hring? Það er dálítið flókið að rökstyðja nákvæmlega hvernig hægt er að reikna flatarmál hrings. Arkímedes (87-1 f.k) sýndi fram á að flatarmál hrings liggur á milli flatarmáls innri marghyrningsins og ytri marghyrningsins eins og sýndir eru á myndunum: Hann sýndi líka fram á að ummál hringsins liggur á milli ummáls innri og ytri marghyrninganna. Með því að reikna flatarmál og ummál reglulegs 96-hyrnings, fékk 136

141 hann góðar nálganir á flatarmáli og ummáli hrings. Áður höfðu forn-grikkir sýnt fram á að hlutfallið milli flatarmáls hrings og geislans í öðru veldi væri hið sama fyrir hvaða tvo hringi sem er. Þetta hlutfall þekkjum við nú sem töluna π. Arkímedes fékk 10 1 með sínum mælingum að π væri stærri tala en 3 en minni en Verkefni 1 Teiknum hring. Drögum tvo miðstrengi, hornrétt hvor á annan. Teiknum svo helmingalínur hornanna sem myndast í miðju hringsins. Hugsum okkur að við endurtökum þessa hornskiptingu aftur og aftur. (Á myndinni sést bara hvernig eitt horn er helmingað nokkrum sinnum.) Lítum svo á sneiðarnar sem myndast. Við getum litið svo á að hver sneið sé gerð úr þríhyrningi og lítilli aukasneið sem afmarkast af hringboga og einni hlið þríhyrningsins. Eftir því sem sneiðunum fjölgar þeim mun minni verður aukasneiðin. Hugsum okkur að við röðum sneiðunum upp hlið við hlið. (Við skiptum hringgeirunum alltaf í tvennt, svo við getum parað þá svona saman, tvo og tvo.) (a) Hvernig má finna nálgun fyrir grunnlínu samsíðungsins sem myndast úr öllum sneiðunum? (b) Hver er hæðin í samsíðungnum, og hvert er þá flatarmál hans? Vonandi komstu að því að flatarmál samsíðungsins er um það bil U r, þar sem r táknar geisla hringsins, og U er ummál hans. Látum F tákna flatarmálið, og þá höfum við jöfnuna U F F = r. Eins og áður kom fram er π = (sama hvaða tiltekni hringur r er notaður) og þá getur maður fengið með bókstafareikningi venjulegu jöfnuna fyrir flatarmál hrings sem stendur í bókum: 137

142 F = πr Ég tek fram að hér hefur alls ekki verið fjallað um flatarmál eða ummál hrings með fullnægjandi hætti enda er ekki rúm til þess hér. 138

143 11: Rétthyrndir þríhyrningar og Pýþagóras Hvaða kjáni sem er getur vitað. Það sem máli skiptir er að skilja. - Albert Einstein Það er ekki hægt að kenna neinum neitt, það er einungis hægt að hjálpa honum að uppgötva það í sjálfum sér. -Galileo Galilei Til umhugsunar Hvað er langt út að sjóndeildarhring? Verkefni 1 Lítum á mynd: (a) Hvað sérðu á þessari mynd? Taktu tíma í að horfa og hugsa. Sjáðu fyrst heildarmyndina en reyndu svo að taka eftir þeim tengslum og eiginleikum sem búa í henni. (Það eru engin brögð í tafli, það sem virðist hornrétt er hornrétt, og það sem virðist jafn langt er jafn langt.) 139

144 (b) Sagt er að myndin sýni að það er til ferningur með flatarmálið. Gerir hún það? Best er að hugsa og rökræða það eingöngu út frá því sem sést á myndinni og ekki notast við neina reikninga. (c) Í raun og veru lýsir þessi mynd einu sértilfelli af reglu Pýþagórasar. Geturðu útskýrt hvernig? Í samræðunni Menón eftir Platon spyr Sókrates þræl nokkurra spurninga um ferning og flatarmál. Spurningin er: hvernig er hægt að teikna ferning sem hefur tvöfalt flatarmál gefins fernings? Hann leiðir þrælinn áfram að myndinni hér að ofan, og það lítur út fyrir að hinn ómenntaði þræll svari af eigin rammleik og án þess að Sókrates eða neinn annar segi honum svörin. Af þessu dregur Sókrates þá ályktun að þekkingin hafi búið í drengnum frá upphafi og hann hafi einungis þurft að rifja þær upp. Þetta er síðan kallað upprifjunarkenningin um nám, en í raun og veru er þversögn Menóns enn óleyst, það er að segja: hvernig er nám yfirhöfuð mögulegt, eða eins og Menón orðar það: Hvernig getur þú grennslazt eftir því, Sókrates minn, sem þú alls ekki veizt hvað er? Að hverju, af öllu því sem þú ekki þekkir, ætlar þú að leita? Eða þótt þú rataðir einhvern veginn á þann hlut sem þú ert að leita að, hvernig geturðu þá vitað að það er hann fyrst þú ekki áður þekktir hann? (Platon, Menón, Hið íslenzka bókmenntafélag, Reykjavík, 1985, bls. 80D.) Verkefni Lítum á tiltekinn rétthyrndan þríhyrning, þar sem C er rétta hornið: C v y A 50 H u B Finndu stærðir allra óþekktu hornanna: u, y, og v. Verkefni 3 Lítum á almennan rétthyrndan þríhyrning, þar sem C er rétta hornið: 140

145 C b v y a A x c u B (a) Hvers vegna eru hornin x og y jöfn, og hornin u og v jöfn? Finndu þrjá einshyrnda þríhyrninga. (b) Minni þríhyrningarnir tveir falla ofan í stóra (upphaflega) þríhyrninginn. Skrifaðu jöfnu um flatarmál þessara þriggja þríhyrninga, einfaldaðu jöfnuna og sýndu með þeim hætti fram á Pýþagórasarregluna: a = + b c. Verkefni 4 Merkjum nú inn á sama þríhyrning svonefnd ofanvörp hliðanna a og b á hliðina c, og nefnum ofanvörpin e og f (sjá mynd). C b h a A f H e B (a) Notaðu þér frumsenduna um einshyrnda þríhyrninga (reiknaðu viðeigandi hlutföll) til að sýna fram á jöfnurnar a = ec og b = fc. Byrjaðu til dæmis á að finna hvaða hlutfall í þríhyrningnum ABC svarar til hlutfallsins a e. (b) Leggðu þessar tvær jöfnur saman og notaðu svo þekkingu þína á bókstafareikningi til að sanna aftur Pýþagórasarregluna: a + b = c. Vísbending: Er hægt að taka út fyrir sviga? Hvað er e + f? Regla Pýþagórasar er merkileg regla því að hún lýsir einhverju djúpu grundvallaratriði um heiminn eins og við skynjum hann, og er þar að auki einföld og sannanleg með hreinni rökhugsun við þurfum ekki að mæla einn einasta raunverulega þríhyrning til þess að geta verið alveg viss um að hún er sönn. Hún er grundvallaratriði í bæði sígildri eðlisfræði og afstæðiskenningunni auk þess sem hún nýtist húsasmiðum og hönnuðum. Til að skilja hana betur og njóta, höfum við í þessum kafla nokkrar sannanir, en það eru til ennþá fleiri, eins og lesa má sér til um á netinu. 141

146 Verkefni 5 Lítum á mynd, sem er fengin með því að taka rétthyrndan þríhyrning, teikna hann fjórum sinnum eins og sýnt er, og mynda þannig ferning. Við sjáum að hljótum að fá stærri ferninginn með þessum hætti, en við þurfum að sýna fram á að það myndast minni ferningur innan í honum. (a) Hvernig vitum við að hornin í litla ferhyrningnum eru rétt horn? (b) Hvert er flatarmál stærri ferningsins á myndinni? (c) Hvert er flatarmál minni ferningsins á myndinni? (d) Hvert er flatarmál eins þríhyrnings á myndinni? (e) Leggðu saman flatarmál minni ferningsins og allra þríhyrninganna. (f) Hvernig tengist stærðin í lið d, flatarmálinu í lið 1? Berið þessi svör saman. Þú átt að geta notað svörin þín við liðum a-f til að búa til aðra sönnun á Pýþagórasarreglu. Verkefni 6 Hér er enn ein sönnun á Pýþagóras, sönnun sem er eignuð J.A. Garfield, en hann var forseti Bandaríkjanna á árunum 188 Við höfum rétthyrndan þríhyrning, með skammhliðum a og b og langhlið c. Teiknum tvö eintök af þríhyrningnum, eins og á myndinni: b a c b c Reiknum nú út flatarmál allrar myndarinnar (trapisunnar) á tvo vegu: með því að leggja saman þríhyrninga, og með formúlu fyrir flatarmáli trapisu. (a) Hvert er samanlagt flatarmál þríhyrninga þriggja? 14 a

147 (b) Reiknið flatarmál trapisunnar: (Flatarmál trapisu er fengið með því að leggja saman lengdir samsíða hliða, deila með tveimur í þá stærð og margfalda svo með lengd hæðarinnar. Þetta tvennt er jafnt, og þá fæst aftur regla Pýþagórasar. Verkefni 7 Hve langt er út að sjóndeildarhringnum? Eða hve langt er hægt að sjá á jörðinni, ef maður hefur fullkomna sjón, og fjarlægðin sem slík skiptir ekki máli. Jörðin er nálægt því að vera kúla með geisla m, og það skiptir máli í hvaða hæð augun eru. Til vísbendingar mætti draga upp mynd: Á myndinni táknar h hæð augna yfir jörðu, og d er þá lengd sjónlínunnar, sem þú getur reiknað út. Fjarlægð eftir yfirborði jarðar er svo ekki nákvæmlega sú sama. Þú ættir að búa til jöfnu sem má nota til þess að reikna út sjónlínu út frá hvaða hæð sem er, og jafnvel útbúa skjal í töflureikni sem reiknar lengdina sjálfvirkt. Saga reglu Pýþagórasar eru löng, en hún er kennd við Pýþagóras sem tilheyrði hinni fornu grísku menningu. Hann var uppi um 500 árum fyrir krist. Lítið er vitað um líf hans eða verk þó svo að ýmsar hugmyndir séu raktar til hans, nemenda hans og samstarfsmanna. Ekkert hefur varðveist af hans eigin skrifum, og allar heimildir um hann eru mun yngri en hann sjálfur. Talið er að reglan sjálf hafi verið þekkt fyrir hans daga, en ekki er vitað hvenær hún var fyrst sönnuð. Fyrsta þekkta sönnunin er sönnun Evklíðs sem er að finna í bók hans Frumþáttum. Til eru ótal heimildir um upplifun manna og notkun á reglu Pýþagórasar, og hér er ein um heimspekinginn Thomas Hobbes ( ): Hann las setninguna. Guð minn góður, sagði hann, þetta er ómögulegt! Svo hann les sönnunina á henni, sem vísar honum aftur á slíka sönnun; sem 143

148 vísar á aðra, sem hann las líka.... að lokum sannfærðist hann algerlega um sannleika hennar. Þetta gerði hann ástfanginn af rúmfræði. (Brief Lives, John Aubrey, 1694.) Hobbes er þar fyrir utan þekktastur fyrir stjórnmálaheimspeki og fleyg er setning hans um að líf manna í náttúrunni, án stjórnvalda, væri einmannalegt, fátæklegt, grimmt og stutt. Albert Einstein lýsti upplifun sinni af því að sanna regluna sjálfur með einshyrndum þríhyrningum: Fyrir hvern þann sem upplifir [þessar tilfinningar] í fyrsta skipti, skrifaði Einstein, er það nógu ótrúlegt að maðurinn skuli vera fær um að ná slíkri vissu tærleika í hreinni hugsun. (Albert Einstein: Philosopher-Scientist, Paul Arthur Schilpp, 1951.) Verkefni 8 Á myndinni er rétthyrningur: A F B E D C a) Ef gefið er, að AB = 8 og BC = 6, finnið lengd allra strika á myndinni. b) Segjum að AB = b, og BC = a, og b > a. Finnið stæður (formúlur með bókstöfunum a og b) fyrir lengdir allra strikanna, eða eins margra og þú getur. (Sem dæmi fæst að DB + = a b ). 144

149 Verkefni 9 Á myndinni er ABCD er rétthyrningur og hornið DEF er rétt horn. A E B F D C (a) Ef hornið ADE = x, finnið þá formúlur fyrir stærðir hornanna DEA og FEB. (Þannig að ef maður þekkir hornið x þá geti maður reiknað hin.) (b) Segjum að DC = 1, AD = 8 og AE = 4. Finnið lengdir DE og EF. (c) Hvert er flatarmál tala!) Δ DEF? (Áfram er DC = 1, AD = 8 og AE = 4. Svarið er heil Verkefni 10 Á myndinni er rétthyrndur þríhyrningur, og á hliðum hans eru hálfhringir. A C B (a) Hver eru flatarmál hálfhringanna? (Rifjið upp að flatarmál hrings er π r þar sem r táknar radíus (geisla) hringsins). (b) Hvernig tengjast flatarmál minni hálfhringjanna flatarmáli stóra hálfhringsins? (c) Hvað ef á hliðunum eru ekki hringir, heldur einhver önnur mynd, þríhyrningar af einhverju tagi, eða annað? Verkefni 11 Á myndinni er jafnarma rétthyrndur þríhyrningur. 145

150 (a) Ef langhliðin hefur lengdina 1, hverjar eru þá lengdir skammhliðanna? (b) Ef langhliðin hefur lengdina x, hverjar eru þá lengdir skammhliðanna? Verkefni 1 Á myndinni er rétthyrndur þríhyrningur, með hornastærðirnar 30, 60 og 90, og spegilmynd hans um aðra skammhliðina (a) Ef langhliðin hefur lengdina 1, hverjar eru þá lengdir skammhliðanna? Ef þetta reynist erfið spurning er rétt að byrja á að horfa á myndina, og segja (skrifa) allt sem maður tekur eftir við hana. Segðu það sem þú sérð, og dragðu ályktanir. (b) Ef langhliðin hefur lengdina x, hverjar eru þá lengdir skammhliðanna? Verkefni 13 a) Sýnið að hornalínan í ferningi með hliðarlengdina 1 er. b) Sýnið að hornalínan í ferningi með hliðarlengdina x er x. 3 c) Sýnið að hæð í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengdina 1 er. 3 b) Sýnið að hæð í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengd x er x. Verkefni 14 Reiknaðu ummál, flatarmál og lengd hornalínu í ferningi, reglulegum sexhyrningi og reglulegum átthyrningi. Reiknaðu svo hlutfall ummáls og hornalínu, og hlutfall flatarmáls og helmings hornalínu í öðru veldi (ef F táknar flatarmál og d 146

151 F hornalínu er þetta hlutfallið ). Reiknaðu líka ummálið í öðru veldi og hlutfall ( d ) flatarmáls og ummáls í öðru veldi. Best væri að gera sér töflu á borð við Form Ummál (U) Lengd hornalínu (d) U d Flatarmál (F) ( d ) F U ( d ) F U Ferningur... Reiknaðu að lokum sömu hlutföll, en núna fyrir hring. Kemur eitthvað á óvart? Verkefni 15 Teiknum jafnhliða þríhyrning. Teiknum ferninga út frá hliðum þríhyrningsins. Tengjum hornpunkta hvers fernings við næsta hornpunkt næsta fernings. Þá myndast þrír nýir þríhyrningar. (c) Hvaða þríhyrningur er stærstur af þeim fjórum sem eru á myndinni? (d) Skiptir máli að upphaflegi þríhyrningurinn er jafnhliða? Prófaðu að skoða aðra þríhyrningar og sjá hvort þú kemst að einhverju. Verkefni 16 Byrjum með jafnarma rétthyrndan þríhyrning. Svo teiknum við tvo minni, einslaga þríhyrninga, hvor um sig með helmingi styttri langhlið. Höldum svona áfram. 147

152 (c) Hvert er ummál fyrsta þríhyrningsins? En flatarmál? (d) Hvert er heildar ummál þriðju myndarinnar? En flatarmál? (e) Hvað ef við höldum áfram með sama hætti? Hvert verður heildar ummálið. En hvert verður flatarmálið? Skrifið stæðu fyrir flatarmál myndar númer n. 1 (f) Ef ég vil fá mynd með flatarmál sem er minna en 00 hvað þarf ég þá að taka mörg skref? Verkefni 17 Gefinn er rétthyrningur ABCD, og punktur P innan réttyrningsins. A D P B C (a) Ef PA = 3, PB = 4 og PC = 5, finnið lengd PD. (b) Breytið einhverju við dæmið. (Til dæmis: hvað ef gefinn er þríhyrningur, óreglulegur ferhyrningur eða punkturinn utan rétthyrningsins?) Regla Pýþagórasar má orða svo: Ef þríhyrningur er rétthyrndur þá er summan af öðrum veldum lengda skammhliðanna jöfn langhliðinni í öðru veldi, eða með bókstöfum, ef þríhyrningur er rétthyrndur og skammhliðarnar heita a og b, og langhliðin heitir c, þá er a = + b c. Flestar reglur í stærðfræði má orða með þessum almenna hætti: ef... þá.... Annað dæmi um þetta form væri að segja ef x = þá er x = 4. Stundum má snúa slíkum fullyrðingum við, það er að segja: stundum er bæði satt að ef A þá B og ef B þá A, en það er alls ekki alltaf. Verkefni 18 Hér er listi af ef A þá B fullyrðingum. Sumar eru sannar, aðrar ósannar. Segðu hvort er, og snúðu þeim svo við, skrifaðu þær sem ef B þá A og segðu hvort þær eru sannar. Þetta verkefni er tilvalið að gera tvö og tvö saman, rökræða um spurningarnar. Ef x = þá er x = 4. Ef x = 3 þá er ( x + )( x 3) = 0. Ef tveir þríhyrningar hafa allar hliðar jafn langar þá eru þeir einshyrndir. 148

153 Ef punkturinn C er jafn langt frá punktinum A og B, þá er C á miðju línustrikinu AB. Sagt er að fullyrðingin ef B þá A sé umhverfa fullyrðingarinnar ef A þá B. Verkefni 19 Hvað heldurðu um umhverfu Pýþagórasarreglu? Hún er eftirfarandi: Ef um hliðar þríhyrnings Δ ABC gildir að rétthyrndur, með rétta horninu í C. a = + b c, þá er þríhyrningurinn Verkefni 0 Látum Δ ABC vera þríhyrning, þannig að a = + b c. Drögum línu hornrétt á b í gegnum C, og setjum á hornréttu línuna punktinn D þannig að Getur verið að hornið þessari stöðu svona: CD = CB. ACB sé ekki rétt horn? Þá væri hægt að teikna myndina af Dragið eitt aukastrik og notið Pýþagórasarregluna til þess að sýna fram á að hornið ACB er rétt horn, og umhverfa reglunnar gildir. 149

154 1: Horn og hringir Augun sjá það sem hugurinn er tilbúinn að sjá. - Henri Bergson Til umhugsunar Hugsum okkur fullt af línum gegnum punktinn A. Teiknum svo þverla frá punktinum B á sérhverja línu. Á hvernig ferli liggja skurðpunktarir? Verkefni 1 Gefinn er hringur, með miðpunkt O, og punkta á hringnum A, B, C og D. Hornið OAB er 30 og hornið OAC er 0 eins og kemur fram á myndinni. B O x C 30 0 A y D Finnið hornin x og y. Vísbending: hægt er að nota sér að mörg strik á myndinni eru jöfn geisla hringsins. Verkefni Gefinn er hringur, með miðpunkt O, og punkta á hringnum A, B, C og D. 150

155 B O x C A u v y D Finnið stæður sem hægt er að nota til þess að reikna út hornin x og y, ef hornin u og v eru þekkt. Horn sem hefur oddpunkt sinn á hringferli, og strengi fyrir arma, nefnist ferilhorn. Horn sem hefur oddpunkt sinn í miðju hrings, og geisla fyrir arma, nefnist miðhorn. Ferilhorn Miðhorn Verkefni 3 Finnið stærð hornsins x + y á myndinni: 151

156 B A x y u v w C D (a) Finndu stærð ferilhornsins x + y ef w = 110 (b) Finndu aðferð til þess að reikna út ferilhornið ef þú þekkir w. Vonin er sú að þú hafir náð að setja fram setninguna um ferilhorn: Ferilhorn er helmingurinn af boganum sem það spannar. Verkefni 4 Hér er æfing í því að nota setninguna: Á myndinni er fjórðungur úr hring með miðju í O. Finna á hornið ACB. Verkefni 5 Gefinn er hringur, og tveir hringstrengir, AB og CD sem skerast í punktinum P. Auk þess hafa verið teiknuð tvö hjálparstrik. A C P B D (a) Hvernig veistu að hornin ABC eru jöfn? DAB og DCB eru jöfn, og að hornin ADC og 15

157 (b) Skrifaðu jöfnu fyrir stærð hornsins APC, út frá stærðum hornanna PDA. PAD og (c) Hvað færðu út sem lýsir sambandi hornsins APC við bogana AC og BD? (d) Ef AP =, PB = 4 og CP =, 5, hve langt er þá strikið PD? (e) Er þessi jafna alltaf rétt: AP PB = CP PD? Verkefni 6 Gefinn er hringur, og horn utan við hringinn, með arma sem skera hringinn. Auk þess hefur verið teiknað hjálparstrik. B A P D C (a) Hverjar eru stærðir hornanna (b) Finnið stæðu til þess að reikna út hornið BAC og ACD. (Miðað við einhverja hringboga.) PAC. (c) Notið regluna um hornasummu þríhyrnings til þess að reikna út hornið P. Tjáðu svo svarið miðað við bogana tvo, BC og AD. (d) Sýndu að PA PB = PD PC. 153

158 13: Rétthyrndir þríhyrningar og hornaföll Ekkert hefði orðið grískum stærðfræðingi til jafn mikillar undrunar og sú staðreynd að allur almenningur í Evrópu kann deilingu. - A. N. Whitehead Svo, verkefnið er, ekki svo mikið að sjá eitthvað sem enginn hefur ennþá séð, heldur að hugsa það sem enginn hefur áður hugsað, um það sem allir sjá. - Erwin Schrödinger Til umhugsunar (Úr bók frá 1896) Skipið sigldi frá B til C. Vitinn er 0 metra hár. Ef γ = 10 og γ ' = 11 og hornið við vitann er 17, hve löng er fjarlægðin BC? Verkefni 1 Lítum á tvo einshyrnda rétthyrnda þríhyrninga: B 1 c B c 1 a 1 A a A 1 b 1 C 1 (a) Ef a b = 0,75, og b 1 = 4 hvað er þá a 1? b C 154

159 (b) Ef a b = 0,75, hvað er þá a b? Verkefni Skoðum þríhyrninga með hornin 30, 60 og 90. Segjum að skammhliðin á móti 30 horninu í Δ ABC hafi lengdina 1. E = 60 B = 60 c a = 1 A 30 b C D 30 F Við reiknuðum út í verkefni í síðasta kafla, með því að spegla þríhyrninginn um hliðina b, að c = og (með reglu Pýþagórasar) að b = 3. EF (a) Hvert er hlutfallið milli hliðanna EF og DF, reiknið. DF EF (b) Reiknið hlutfallið. DE DF (c) Reiknið hlutfallið. DE Verkefni 3 Segjum að við séum með skráð um rétthyrndan þríhyrning: eitt hornið er 36 gráður, og hlutfallið milli mótlægrar skammhliðar og aðlægrar skammhliðar er talan 0,765. Gefinn er rétthyrndur þríhyrningur með horni sem er 36 gráður, og skammhliðin á móti því horni hefur lengdina 4. (a) Hver er lengd hinnar skammhliðarinnar? (b) Hver er lengd langhliðarinnar? Vegna þess að hlutföll milli hliða í einshyrndum þríhyrningum eru þau sömu, hafa sum þeirra verið reiknuð út og eru geymd í töflum og reiknivélum. Hér er ein pínulítil tafla: B c a A b C Stærð horns A í gráðum a b a c b c 155

160 1 0, , , , , , , , , , , ,6365 0, , ,8996 0, , Verkefni 4 Þessi hlutföll eru stundum nefnd tangens, kósínus, og sínus af hornunum. (Þetta eru gömul heiti úr latínu). Upplýsingar um hlutföll í rétthyrndum þríhyrningum eru geymdar í mjög stórum og nákvæmum töflum í reiknivélum. Út frá þeim er þá ekki bara hægt að finna hlutfall milli hliða ef hornið er þekkt, heldur líka öfugt: hægt er að fletta upp á því hvaða horn á við hvaða hlutfall. Af hverju skyldu það bara vera rétthyrndir þríhyrningar sem fá slíka meðferð? Orðið sínus er komið langa krókaleið. Upphaflega merkti orðið hálfur strengur á máli hindúa, og er skrifað eitthvað í áttina að ardha-jya, en það var stundum stytt í jya. Þegar arabar þýddu stærðfræðirit hindúa létu þeir orðið halda sér. Hins vegar er hefð í arabísku að skrifa ekki sérhljóða, þeir eiga að skiljast af samhenginu, og því var orðið yfirleitt borið fram eins og jiba eða jaib, sem þýðir brjóst, felling, eða vík. Þegar ritin voru þýdd yfir á latínu var orðið einfaldlega þýtt yfir í samsvarandi orð, sem er sinus. Það er enn þann dag í dag hið alþjóðlega orð, sem er stytt á reiknivélum og formúlum í sin. Hálfi strengurinn sem orðið á við sést á þessari mynd: 156

161 r O α α r Lítum á hornið α : stjörnufræðingar Hindúa sáu gagnsemi þess að þekkja lengd helmings strengsins sem myndast. Þeir mældu og reiknuðu miklar töflur, þar sem þeir létu radíus hringsins vera töluna Hvers vegna einmitt þá tölu? Jú vegna þess að þeir vildu að ummál hringsins væri sem næst tölunni = 1600, þannig að hægt væri að skipta hverri gráðu í 60 mínútur. Og ummál hrings með radíus 3438 er einmitt:. Svo töflurnar innihéldu horn og lengdir hálfstrengja í hring með radíus Fylltu eina línu í töflunni: Horn (í gráðum) Lengd viðeignadi hálfstrengs í hring með r = Skoðum aðra mynd: Teiknaður hefur verið hringur með radíus r, og jafnarma þrihyrningur, OAB, þar sem miðhornið er α. Svo hefur verið dregin lína sem er samsíða grunnlínunni AB, sem snertir hringinn í nákvæmlega einum punkti, sem er merktur með P. 157

162 A C r O α α P r B D Verkefni 5 (a) Skrifið formúlu fyrir sin α, það er að segja skrifið hvernig hægt er að reikna sin α ef maður þekkir lengdir strikanna. Leysið þessa jöfnu fyrir lengd striksins, AB, fáið jöfnu þar sem stendur AB =... (b) Skrifið sambærilega formúlu fyrir tan α, og strikið CD. Orðið tangens, kom ekki til fyrr en þúsund árum eftir að orðið sinus hafði náð fótfestu. Það er dregið af latneska orðinu tangere sem er sögnin að snerta. Dansinn tango dregur einnig nafn sitt af snertingu. Ástæðuna má sjá af verkefninu hér að ofan. Hvernig eru hornaföll notuð til þess að reikna fjarlægð til stjarna? Jörðin fer einn hring í kringum sólu á einu ári. Það er hægt að fylgjast með því hvernig stjörnurnar færast smám saman á þessum tíma. Þannig er valin einhver stjarna, staða hennar á himninum skráð, og breytingin mæld með mjög nákvæmum gráðuboga. Þegar hálft ár er liðið er jörðin nákvæmlega hálfnuð á ferð sinni um sólu, og þá má gera sér eftirfarandi mynd af innbyrðis stöðu jarðar, sólar og stjörnu, þar sem tvær jarðir eru teiknaðar inn, þær tákna staðsetningu jarðar með hálfs árs millibili: 158

163 α α d Jörð 1 Sól Jörð Verkefni 6 Ef við þekkjum hornið α, og fjarlægð jarðar frá sólu, getum við reiknað fjarlægð stjörnu frá jörðu. Hvernig? Verkefni 7 Fjarlægð jarðar frá sólu er nálægt því að vera km (fjarlægðin er ekki alltaf sú sama, braut jarðar er ekki hringur heldur sporbaugur.) Þýski stærðfræðingurinn og stjörnufræðingurinn Friedrich Wilhelm Bessel ( ) mældi hornið α til að finna fjarlægð til stjörnunnar 61 Cygni, árið Mæling hans sýndi að hornið væri sekúndur (ein sekúnda er 1/3600 af einni gráðu). Hvað er stjarnan þá langt frá jörðu? Í stjörnumælingum getur nákvæmni skipt töluverðu máli. Verkefni 8 (a) Útskýrið hvers vegna sin 90 = 1 (b) Jói prófaði að reikna sin 60, cos 60 og tan 60. Hann tók eftir því að útkoman sin 60 úr deilingunni var sú sama og ef hann reiknaði tan 60. Er það rétt? Skyldi cos 60 þetta vera tilviljun? Útskýrið. Verkefni 9 Hér er þríhyrningur: 159

164 x L y Ef maður þekkir hornin x og y, og lengdina L, þá er hægt að reikna út allt annað í þessum þríhyrningi, þriðja hornið, hinar tvær hliðarnar. (a) Segjum að x = 35, y = 45 og að L = 8. Finnið hinar tvær hliðarnar. (b) Finnið hæðina á L, með því að nota bara bókstafi, ekki tölur. Þetta verkefni leiðir hugann að þeirri áhugaverðu spurningu: hvað þarf að gefa upp miklar upplýsingar til að ákvarða algerlega þríhyrning? Um þetta var fjallað áður, en samkvæmt þríhyrningafrumsendum eru tveir þríhyrningar eins ef þeir hafa jöfn: tvö horn og hliðina á milli þeirra (þetta sést í dæminu hér að ofan), þrjár hliðar (og ekkert horn!) eða tvær hliðar og hornið milli þeirra. Þess vegna er hægt að reikna út allar stærðir þríhyrnings ef maður hefur upplýsingar um þessa sem nefndir eru. En eins og þú sérð ef þú hugsar um það dugar ekki að þekkja þrjú horn (en enga hlið). Verkefni 10 Á myndinni er rétthyrndur þríhyrningur með hæð dregna á langhliðina. Litlir bókstafir standa fyrir lengdir strika. b h a A x y c 160

165 (a) Finnið hlutfall af lengdum einhverra tveggja strika sem er jafnt sin A. (b) Finnið annað hlutfall af lengdum einhverra tveggja strika sem er jafnt sin A. (c) Finnið þriðja hlutfallið af lengdum einhverra tveggja strika sem er jafnt sin A. (Jú, það er þarna!) Verkefni 11 Á myndinni er hvasshyrndur þríhyrningur, með hæð dregna á eina hliðina. Litlir bókstafir standa fyrir lengdir strika, stórir standa fyrir hornpunkta. C b h a A x y B c (a) Finnið hlutfall einhverra tveggja línustrika sem er jafnt (b) Skrifið jöfnu fyrir h sem inniheldur stærðirnarsin A og b. sin A. (c) Hvert er flatarmál þríhyrningsins ABC? Skrifið jöfnu fyrir flatarmálið, sem inniheldur stærðirnar b, c og sin A. (d) Teiknið aðra mynd af sama þríhyrningi, en dragið núna hæðina á hliðina a, það er að segja hæðina h a. Skrifið svo jöfnu fyrir lengd h a sem inniheldur stærðirnarsin B og c. (e) Skrifið jöfnu fyrir flatarmálinu sem inniheldur stærðirnar a, c og sin B. Verkefni 1 Á myndinni er hvasshyrndur þríhyrningur, með hæð dregna á eina hliðina. Litlir bókstafir standa fyrir lengdir strika, stórir standa fyrir hornpunkta. 161

166 C b h a A x y B (a) Skrifið tvær jöfnur fyrir hæðina h: í einni eiga að vera stærðirnar hinni eiga að vera stærðirnar (b) Skoðið a-lið. Er það satt að sin B og a. c a sin B = b sin A? (c) Notið sama þríhyrning, eða teiknið nýjan til þess að sýna að sin A og b, í c sin B = b sin C. Útskýrið í nákvæmu samfelldu máli. (Hér gæti borgað sig að teikna aðra hæð.) a b c (d) Sýnið að eftirfarandi jafna gildir: = =. Þetta er stundum nefnt sin A sin B sin C sínusreglan. Verkefni 13 Á myndinni er hvasshyrndur, með hæð dregna á eina hliðina. Litlir bókstafir standa fyrir lengdir strika, stórir standa fyrir hornpunkta. C b h a A x D y B c (a) Finnið hlutfall sem er jafnt stærðinni cos B. (b) Skrifið jöfnu fyrir lengd striksins y, sem inniheldur stærðirnar a og 16 cos B. (c) Hvað segir regla Pýþagórasar um þríhyrninginn ACD? En þríhyrninginn BCD? (d) Notið niðurstöðuna í c-lið til þess að fá út jöfnu fyrir b a. (e) Skrifið jöfnu fyrir x út frá c og y.

167 (f) Notið jöfnurnar í d- og e-lið til þess að fá út jöfnu fyrir b sem inniheldur einungis bókstafina a, c, og y. (Þið ættuð að fá, eftir nokkra útreikninga, b = a + c yc.) (g) Notið núna niðurstöður b- og f-liðar til þess að fá út regluna b = a + c ac cos( B). Þetta er stundum nefnt kósínusreglan. Verkefni 14 Á myndinni er rétthyrndur þríhyrningur ABC: B c a A b C (a) Hvað er sin A og hvað er cos A í þessum þríhyrningi? (b) Reiknið (sin A ). Hefð er fyrir því að rita þessa stærð sem (cos A ), sem venja er að tákna með s A co. sin A. Reiknið líka (c) Hvað segir Pýþagórasarregla í þessum þríhyrningi? d) Reiknið út summuna sin A + cos A, og notið c-lið til þess að einfalda eins og hægt er. Hver er útkoman? (Það er einhver ein tala!) Í verkefnum kaflans hefurðu kynnst eftirfarandi reglum um hvasshyrndan þríhyrning ABC. Flatarmál þríhyrnings er b c sin A Sínusreglan a sin A = b sin B = c sin C Kósínusreglan b = a + c ac cos( B) Þessar reglur geta verið þægilegar til þess að reikna út stærðir í þríhyrningum. Verkefni 15 Í þessum dæmum er þríhyrningur ABC. (a) Gefið er að þríhyrningur hefur hornin A = 46, B = 39 og hliðina c = 3. Finnið þriðja hornið, og þær tvær hliðar sem óþekktar eru. 163

168 (b) Gefið er að þríhyrningur hefur hornið B = 55, hliðarnar a = 3, c = 5. Finnið þriðju hliðina, og þau tvö horn sem óþekkt eru. (c) Gefið er að þríhyrningur hefur hliðarnar a = 35, b = 56 og c = 4. Finnið hornin. Reglan sin A + cos A = 1 er mikilvæg fyrir þau sem halda í lengra nám í stærðfræði eða raunvísindum. Vægi hennar felst til dæmis í því að hún tengir saman hornaföllin sínus og kósínus. Verkefni 16 Ef vitað er að að reikna út hornið? 1 sin A =, hvað er þá hægt að segja um cos A, án þess Verkefni 17 h h (a) Sýnið að jafnan a = b gildir um allar jákvæðar tölur. a b (b) Teiknið þríhyrning með hliðar a, b, og hæðina h dregna frá hornpunktinum þar sem hliðarnar tvær mætast. Hvað segir jafnan í a-lið núna (ef þið notið sin alls staðar þar sem hægt er að koma því við)? Verkefni 18 Á myndinni er hringur með geisla 1, og hringnum er skipt jafnt í 1 geira. Út frá einum punkti á hringnum er dregin hæð, eins og sést á myndinni. Svo drögum við hæð aftur niður frá fótpunkti fyrstu hæðarinnar á næstu línu sem afmarkar geira. Og svo framvegis. (a) Hvert er hornið í fyrsta rétthyrnda þríhyrningnum? Hver er lengd hæðarinnar? (b) Hverjar eru þá lengdir hæðar númer, 3, og svo framvegis? Hver er lengd n-tu hæðarinnar? Munið einslögun. (c) Eru einhver takmörk á samanlagðri lengd hæðanna? Hvað með flatarmálið (sem afmarkast innan þríhyrninganna)? 164

169 14: Hnitakerfi Ég vona að seinni tímar muni dæma mig mildilega, ekki einungis vegna þeirra hluta sem ég hef útskýrt, heldur líka vegna þeirra sem ég sleppti viljandi til þess að leyfa öðrum að njóta þess að uppgötva. - Descartes (úr bók hans, La Geometrie.) Til umhugsunar Hvernig er tölvugrafík hönnuð? Skyldi stærðfræði koma við sögu? Skoðum mynd af venjulegu hnitakerfi. Inn í það hafa verið færðir tveir punktar, A = (,1) og B = (3,4). Eins og þú hefur sjálfsagt séð áður er venja er að skrifa hnit punkta með þessum hætti, að x-gildið er skrifað vinstra megin, og y-gildið hægra megin. 5 4 y B 3 1 A x

170 Verkefni 1 Hver er fjarlægðin milli punktanna A og B? Vísbending: hvað segir regla Pýþagórasar? Verkefni Hver er fjarlægð eftirfarandi punkta frá miðju hnitakerfisins? A = (3,4), B = ( 3,4), C = ( 3, 4) og D = ( 3, 4). Eftir hverju tekurðu? Hvernig gætum við sett fram einhverja almenna reglu? Verkefni 3 Hver er fjarlægð eftirfarandi punkta frá punktinum (3,4)? A = (4,5), B = (4,3), C = (,3) og D = (,5). Eftir hverju tekurðu? Hvernig gætum við sett fram einhverja almenna reglu? Til dæmis: hver er fjarlægðin milli punktanna ( x, y) og ( x + 1, y + 1)? Verkefni 4 Hvernig má reikna út fjarlægðina milli punktanna ( x, y) og ( u, v)? Verkefni 5 Inn í hnitakerfi hafa verið færðir tveir punktar, A = (,1) og B = (4,3). 5 y 4 3 B 1 A x (a) Hver er miðpunktur striksins AB? (b) Geturðu fundið aðferð til þess að reikna út miðpunkt striksins AB milli punktsins A = ( x, y) og punktsins B = ( u, v)? Verkefni 6 Teiknaðu tvo punkta í hnitakerfi, og skráðu hnitin. Köllum punktana A = ( x, y) og B = ( u, v). Nú notum við strikið AB sem eina hlið fernings. Teiknaðu slíkan ferning, og finndu hnit hinna hornpunktanna. Reiknaðu út almenna formúlu til þess að finna hornpunktana. 166

171 Vísbending: það getur hjálpað að teikna ferning utan um þinn ferning, eins og á þessari mynd: [Svar: það eru auðvitað tveir möguleikar á að teikna ferning. Einn möguleikinn er að annað hnitið sem vantar sé ( x ( v y), y + ( x u)) ] Beinar línur í hnitakerfi Eins og við vitum ákvarða tveir punktar nákvæmlega eina línu. En á línu eru óendanlega margir punktar. Hvernig getum við náð utan um alla punktana í einu? Við skulum teikna eina línu í hnitakerfi, og gera töflu yfir hnit punkta á þessari línu, svonefnda gildistöflu. x y , ,5 1 3,

172 Verkefni 7 Lýstu þessari línu á eins marga vegu og þú getur. Skoðaðu töfluna og segðu eftir hverju þú tekur. Verkefni 8 Lýstu þessum línum með orðum eins vel og þú getur. Best er að gera þetta verkefni í pörum, þannig að annar lýsir línu og hinn teiknar hana eftir lýsingunni, án þess að sjá línuna. 168

173 Meðal hugtaka sem notuð eru til þess að tala um línur í hnitakerfi, er skurðpunktur við x-ás, skurðpunktur við y-ás, og hallatala. Vandinn við að nota gildistöflu yfir hnitin er að þar eru aldrei öll hnit línunnar, þau eru óendanlega mörg. Verkefni 9 Í hnitakerfinu hér að neðan eru tveir punktar og strikið á milli þeirra. Nú viljum við framlengja strikið, teikna línu. Hún er sýnd með punktalínu. (a) Finndu fleiri punkta sem væru á framlengingu striksins. (b) Hvaða punktur á línunni hefur x-hnitið 10? Hvaða punktur hefur y-hnitið 10? (c) Er punkturinn ( 5,6) á línunni? Hvað með punktinn ( 10,1)? En ( 100,5)? (d) Hver er skurðpunktur línunnar við x-ás og hver er skurðpunkturinn við y-ás? Verkefni 10 Hvað er sameiginlegt með þessum línum á myndinni og hvað er ólíkt? 169

174 Verkefni 11 Hvað er sameiginlegt með þessum línum á myndinni og hvað er ólíkt? Ef til vill hefur þú nú rifjað upp hugtök sem notuð eru til þess að tala um línur í hnitakerfi: skurðpunktur við x-ás, skurðpunktur við y-ás, og hallatölu. Jafna einhverrar flatarmyndar í hnitakerfi er jafna með tveimur óþekktum stærðum. Yfirleitt nefnum við óþekktu stærðirnar x og y. Ef við teiknum í hnitakerfi öll hnit af tölum ( x, y) sem gera jöfnuna sanna fæst mynd af ferli, línurit. Þannig er punkturinn ( 7,3) á línuriti jöfnunnar y = x 11 vegna þess að 3 = 7 11, en punkturinn ( 3,5) er ekki á sama línuriti, vegna þess að Til þess að teikna línurit jöfnu gerir maður oft gildistöflu eins og sýnt var í upphafi umfjöllunar um beinar línur. Hægt er að láta tölvuforrit fylla út gildistöflu og/eða teikna línuritið. Það er þó alltaf spurning hvernig á að tengja milli punktana sem maður reiknar út, því að á milli þeirra eru óendanlega margir aðrir punktar! 170

175 Verkefni 1 Teiknaðu línurit samkvæmt jöfnunum (a) y = x (d) y = x (b) (c) y = x (e) y = x y = 3x (f) y = 3x (g) Teiknaðu þessar línur og fleiri línur af sömu gerð í hnitakerfið. Alhæfðu. Hér eru margir möguleikar á að alhæfa. Verkefni 13 Teiknaðu línurit samkvæmt jöfnunum (a) y = x (d) y = x + 3 (b) y = x + 1 (e) y = x 1 (c) y = x + (f) y = x (g) Teiknaðu þessar línur og fleiri línur af sömu gerð í hnitakerfið. Alhæfðu. Hér eru margir möguleikar á að alhæfa. Verkefni 14 Hvað er hægt að segja um myndina af línunni tölurnar h og q um línuna? Teiknaðu skýringarmynd. y = hx + q? Hvað segja Þú hefur vonandi séð að lýsa má beinni línu með jöfnunni y = hx + q, þar sem h er hallatala og ( 0, q ) er skurðpunktur línunnar við y-ás, og að hallatölu má hugsa sér sem þá viðbót sem fæst við y-gildi ef x-gildið er hækkað um 1. En hér er eitt verkefni til þess að hugsa um það hvers vegna þetta er svona: Verkefni 15 Við teiknum línuna l í hnitakerfið. Línan fer gegnum punktana A = ( 1, 3) og B = (1,1 ). Teiknum svo rétthyrndan þríhyrning, með því að teikna lárétt strik gegnum C = ( 0, 1) og lóðrétt strik gegnum B = ( 1, 1), eins og á myndinni. 171

176 (a) Reiknaðu út hlutfallið milli lengda skammhliðanna, það er að segja hlutfallið BD. CD (b) Láttu nú punktinn B færast eftir línunni, og punktinn D fylgja honum eftir, þannig að Δ BCD verði alltaf rétthyrndur. Þú gætir gert þetta í rúmfræðiforriti, eða á blaði, eða hugsað þér þetta. Stöðvaðu nú B á línunni, og notaðu það hnit BD til þess að reikna. Breytist hlutfallið? CD (c) Teiknaðu línu í hnitakerfið sem er samsíða línunni l. Veldu einhverja tvo punkta á línunni og teiknaðu rétthyrndan þríhyrning svipað og á myndinni. Reiknaðu sama hlutfall: lengdina á lóðrétta strikinu deilt með lengdinni á lárétta strikinu. Hvað kemur í ljós? (d) Veldu punkt á línunni þinni og teiknaðu rétthyrndan þríhyrning þar sem lárétta skammhliðin hefur lengdina 1. Reiknaðu sama hlutfall. Hvað kemur í ljós? Það sem þú átt að fá meiri tilfinningu fyrir með því að vinna síðasta verkefni, er að hallatala er hlutfallið milli mismunar á y-hnitum og mismunar á x-hnitum. Hægt er að miða við hvaða tvo punkta sem er á línunni, segjum að þeir séu A = x 1, y ) og ( 1 y1 y B = ( x, y). Þá er hallatalan h =. Ef við veljum x 1 og x þannig að x x 1 munurinn á þeim sé 1, þá sést að hallatölu má hugsa sér sem þá viðbót sem fæst við y- gildi ef x-gildið er hækkað um 1. 17

177 Verkefni 16 Finndu hallatölu línunnar sem fer gegnum (a) ( 4,3) og ( 1,8) (e) ( 4,3) og ( 1,4) (b) ( 4,3) og ( 1,7) (f) ( 4,3) og ( 1,3) (c) ( 4,3) og ( 1,6) (g) ( 4,3) og ( 1,) (d) ( 4,3) og ( 1,5) (h) ( 4,3) og ( 1,1) (j) Eftir hverju tekurðu? (i) Teiknaðu línurnar í sama hnitakerfi. Verkefni 17 Punktar ( 3,5) og (,4) liggja á línu. Óðinn notar formúluna h y x 1 = til að finna hallatölu línunnar en Þór notar formúluna 1 y x þeir báðir haft rétt fyrir sér? Útskýrðu. h y x 1 =. Geta y x 1 Verkefni 18 Týr reiknar út að hallatala línu sé h = 1. Iðunn lítur á línuritið hér að neðan og segir þetta getur ekki verið án þess að reikna neitt. Útskýrðu. Verkefni 19 Finndu jöfnu línunnar sem fer gegnum (a) ( 10,0) og ( 0,10) (d) ( 7,0) og ( 0,7) (b) ( 9,0) og ( 0,9) (e) ( 6,0) og ( 0,6) (c) ( 8,0) og ( 0,8) (e) ( 5,0) og ( 0,5) (g) Teiknaðu þessar línur og fleiri línur af sömu gerð í hnitakerfið. Alhæfðu. Rökstyddu hér sem annars staðar. Verkefni 0 Gefin er lína með jöfnunni y = x + 1. Finnið jöfnu línu sem fer í gegnum punktinn ( 4,3) og er samsíða þessari línu. 173

178 Verkefni 1 Finndu jöfnu línunnar sem fer gegnum (a) ( 10,0) og ( 0,1) (d) ( 7,0) og ( 0,4) (b) ( 9,0) og ( 0,) (e) ( 6,0) og ( 0,5) (c) ( 8,0) og ( 0,3) (f) ( 5,0) og ( 0,6) (g) Teiknaðu þessar línur og fleiri línur af sömu gerð í hnitakerfið. Alhæfðu. Hér eru margir möguleikar á að alhæfa. Verkefni Finndu einhverjar tvær tölur sem samanlagt gefa útkomuna 3. Finndu aðrar tvær. Og enn aðrar. Notaðirðu neikvæðar tölur? Teiknaðu nú lausnirnar þínar í hnitakerfi nefndu fyrri töluna x og seinni töluna y og notaðu hnitin ( x, y). Eftir hverju tekurðu? Teiknaðu fleiri lausnir á jöfnunni. Finndu svo tölur sem samanlagt gefa útkomuna -3, teiknaðu lausnir í hnitakerfi. Stundum er þægilegt að tala um línu með því að nefna hallatölu línunnar og skurðpunkt við y-ás, enda má lesa þessar stærðir beint út frá forminu y = hx + q. En það er alls ekki eina leiðin. Í sjálfu sér má nefna hvaða punkt sem er, í stað skurðpunktar við y-ás, en þá höfum við ekki samsvörun við þessa sömu jöfnu. Annað form sem algengt er að nota er formið ax + by + c = 0. Þú gerðir einfalda útgáfu af því í síðasta dæmi. Verkefni 3 Teiknaðu línur samkvæmt jöfnunum (a) x + y = 0 (d) x + y = 3 (b) x + y = 1 (e) x + y = 4 (c) x + y = (f) x + y = 5 (g) Teiknaðu þessar línur í hnitakerfið. Alhæfðu: hvers konar lína hefur jöfnuna x + y = k þar sem k er einhver föst tala? Verkefni 4 Teiknaðu línur samkvæmt jöfnunum (a) x + y = 0 (d) x + y = 3 (b) x + y = 1 (e) x + y = 4 (c) x + y = (f) x + y = 5 174

179 (g) Teiknaðu þessar línur í hnitakerfið. Alhæfðu. Hvað geturðu sagt um línu af taginu ax + y = k þar sem a og k eru einhverjar fastar tölur? Verkefni 5 Hvað er hægt að segja um myndina af línunni ax + by + c = 0? Hvað segja tölurnar a, b og c um línuna? Teiknaðu skýringarmynd. Verkefni 6 (a) Nú förum við aftur í bókstafareikning. Hvað er líkt og hvað er ólíkt með þessum þremur jöfnuhneppum: (i) x y = 5 x + y = 7 (ii) x y = 5 x y = 8 (iii) x y = 5 x y = 10 (b) Teiknið línurnar í hverjum lið fyrir sig í sama hnitakerfi. Hvað kemur í ljós? Markmiðið er að tengja saman í huganum myndræna merkingu jöfnuhneppanna og lausnirnar sem hægt er að reikna út. Hvernig tengist þetta? Verkefni 7 Finnið skurðpunkta tveggja lína í hverjum lið, ef hægt er. y = 3x + 1 (i) (ii) y = 6x + y = 3x + 1 y = 4x + y = 3x + 1 (iii) y = 3x + Teiknið línurnar í hverjum lið fyrir sig í sama hnitakerfi. Hvað kemur í ljós? Hnitarúmfræði er tenging rúmfræði við bókstafareikning. Með þeirri tengingu opnast nýr heimur og ný hugsun: það má nota myndir í hnitakerfi til þess að átta sig á alls konar jöfnum, og tengslum milli stærða, og það má nota bókstafareikning til þess að fá nákvæm svör og draga ályktanir um eiginleika alls konar flatarmynda. Í síðasta verkefni sástu hvernig flokka má jöfnuhneppi og gefa þeim myndræna merkingu. Nú ætlum við að skoða hvernig rúmfræðilegur eiginleiki, það að tvær línur séu hornréttar hvor á aðra, hefur reikningslega túlkun. Verkefni 8 Skoðið myndina. 175

180 (a) Finnið öll hornin sem vantar ef v = 40. (b) Útskýrðu hvers vegna hornin eru ennþá rétt.) AD = AC BE DB. (Stærð hornsins v skiptir ekki máli, en réttu Verkefni 9 Skoðið svipaða mynd, en nú er AD = EB. (a) Hvers vegna er (b) Reiknið margfeldið AC = DB AD BE AC DB Og nú ætlum við að finna reglu um línur sem eru hornréttar hvor á aðra: Verkefni 30 Skoðið svipaða mynd, en nú er um að ræða tvær línur n og m. Þær eru hornréttar hvor á aðra og skerast í punktinum D. 176

181 (a) Finnið samband milli hallatölu línunnar n og hallatölu línunnar m. (b) Alhæfið um samband milli hallatalna tveggja lína sem eru hornréttar hvor á aðra. (Athugið að það er eitt undantekningartilvik hvernig er það?) Verkefni 31 Teiknið línuna y = x + 1 í hnitakerfi. Teiknið líka línurnar : (a) y = 1 x (b) y = 1 x + 1 (c) y = 1 x + Reiknið skurðpunkta þessara lína við upphaflegu línuna. Verkefni 3 Gefin er lína með jöfnunni y = x + 1. Finnið jöfnu línu sem fer í gegnum punktinn ( 4,3) og er hornrétt á þessa línu. Verkefni 30 Línan fer gegnum ( 0,0) og sker aðra línu hornrétt í ( 5,). Hvar er skurðpunktur hornréttu línunnar við x- 177

182 Verkefni 33 Teiknaðu punktinn ( 5,) í hnitakerfi. Teiknaðu svo einhverja línu gegnum ( 5,) sem sker báða ása hnitakerfisins. Kallaðu skurðpunktinn við y-ás ( 0, a ) og skurðpunktinn við x-ás (b,0). Dragðu strikin svo þú sjáir þríhyrninginn sem hefur hornpunktana ( 0,0), ( 0, a ) og (b,0). (a) Hvert er flatarmál þessa þríhyrnings? (b) Hugsaðu þér að við megum hreyfa línuna gegnum punktinn ( 5,), en samt þannig að punkturinn verði áfram á línunni. Með öðrum orðum má snúa línunni. Látum skurðpunktana við ásana ennþá heita ( 0, a ) og (b,0). Geturðu fundið stæðu sem sýnir flatarmál þríhyrningsins? (c) Hvernig væri hægt að finna þann þríhyrning (eins og í b-lið) sem hefur mesta mögulega flatarmálið? Hér gæti verið gagnlegt að nota tölvuforrit. Verkefni 34 Á myndinni er línan y = x og almennur punktur á þeirri línu er merktur með D. Nú teiknum við ferning: Teiknum lóðrétta línu frá D á x-ásinn og nefnum skurðpunktinn E. Þarmeð fáum við hlið ferningsins.teiknum svo ferninginn þannig að hann sé undir línunni, nefnum hinn hornpunktinn á x-ás F og fjórða hornpunktinn G. (a) Hvernig er hægt að skrifa hnit punkts sem er á línunni (Svar: Til dæmis sem ( x,x) ) (b) Finnið jöfnu línu gegnum ( 0,0) og G. (c) Alhæfðu: reiknaðu svona dæmi fyrir almenna línu y = x (almennt)? y = ax + b. Verkefni 35 Á myndinni er þríhyrningur sem hefur verið lagður í hnitakerfið með eina hliðina á x-ás og horn í ( 0,0). EDGF er ferningur. 178

183 (a) Ef AB liggur á línunni y = x og BC liggur á línunni y = x + 10, hvert er þá hnit G? (b) Ef ABC er þríhyrningur geturðu þá alltaf teiknað svona ferning, þannig að tveir hornpunktar séu á einni hlið þríhyrningsins en hinir tveir á sitthvorri hliðinni? Hvernig? (c) Reyndu að leysa b-lið án þess að nota hnitakerfi. Verkefni 36 - Viltu heyra um nýjustu uppfinninguna mína? - Hef ég eitthvert val? - Það er auðveld leið til þess að margfalda saman tölur. - Meinarðu að ná í reiknivél? - Segjum að þú viljir margfalda saman og 3. - Já, hver vill það ekki? - Tengdu saman punktana (,4) og ( 3,9) með línu. - Bíddu, hvaðan koma þessir punktar? - Þetta eru ( a, a ) og ( b, b ). - Ókei. - Hvar sker línan y-ásinn? - Frábært! Virkar þetta alltaf? Verkefni 38 Finndu línuna gegnum punktinn ( 3,4) sem afmarkar minnsta flatarmálið í fyrsta fjórðungi hnitakerfisins. (Fyrsti fjórðungur er sá hluti þar sem bæði x-hnit og y-hnit eru jákvæð. Á myndinni er ein slík lína sýnd, og flatarmálið skyggt. 179

184 Athugaðu: Leystu þrautina hvernig sem þú vilt, hvort sem þú finnur nákvæma lausn eða einhverja nálgun. Taktu vel eftir ferlinu og þeim aðferðum sem þú notar. Haltu utan um það hvernig þú hugsaðir um verkefnið og alla innsýn og hugmyndir sem kvikna við það að hugsa um þær aðferðir sem þú notaðir. Geymdu allar aðferðir og sjónarhorn sem þú reyndir, líka þær sem virkuðu ekki. Spurningar til að hjálpa þér við þetta: Hvað ákvarðar jöfnu línu? Hvernig finnur maður skurðpunkta við ása? Geta skurðpunktarnir hjálpað við að leysa verkefnið? Verkefni 40 Þú ert stödd í óþekktum punkti ( x, y) en ert með tæki sem nemur merki frá staðsetningarvitum. Viti A = (5,4) er í km fjarlægð. og viti B = (6,8) er í 5 km fjarlægð. (a) Hvar gætirðu verið stödd í hnitakerfinu? (b) Ef þú veist að auki að viti B = (6,8) er í 5 km fjarlægð og viti C = (3,7) er í 3 km fjarlægð, geturðu þá staðsett þig nákvæmlega? Síðasta verkefni sýnir reyndar hvernig staðsetningarkerfi á borð við GPS virka. Staðsetningarvitarnir eru reyndar gervihnettir sem senda boð til GPS-tækja, og þau hafa líka oft innbyggð kort í samræmi við hnitakerfi. (Með samræmdum klukkum hægt að meta fjarlægð tækis sem sem sendir boð. Hvað er langt í tækið ef þú færð send boðin klukkan er 15:19:34 og hraði boðanna 3000 m/sek og þín klukka er 15:0.34 þegar þú móttekur sendinguna?) 180

185 Söguleg þróun hnitakerfisins Einn frægasti heimspekingur og vísindamaður sögunnar er frakkinn René Descartes ( ). Við hann er rétthyrnda hnitakerfið kennt á mörgum tungumálum (á ensku er það oft kallað the Cartesian coordinate system.) Hann setti reyndar ekki fram hornrétta hnitakerfið sem við notum í dag, en það sem hann gerði, sem öllu máli skiptir, er að hann fann leið til að nota viðmiðunarlínu með lengdareiningu (eins og hnitaás) og algebru til að rannsaka flatarmyndir. Hann fann leið til að tala um myndir með bókstafareikningi. Og hann frelsaði reikning undan þeirri rúmfræðilegu túlkun sem lögð var í reikniaðgerðirnar. Áður hafði til dæmis annað veldi einungis rúmfræðilegu merkinguna ferningur, það var ekki til tala í öðru veldi, og eins merkti þriðja veldi tening. Fjórða veldi hefði verið merkingarlaust, ekki til. En fyrir Descartes var annað veldi bara tala margfölduð með sjálfri sér, og gat táknað lengd línustriks, og þurfti ekki að tákna ferning. Það er ef til vill dálítið skrítið fyrir okkur í dag sem erum vön því að nota tölur og reikna með þeim, en ef við hugsum okkur nánar um, þá kemur í ljós að það er ekkert endilega augljóst að sama talnahugtakið geti átt við tvö gersamlega ólík form skynjunar og hugsunar, nefnilega það að annars vegar telja fjölda og hins vegar það að mæla lengdir, flatarmál og rúmmál. Með þessu lagði Descartes grunn að þeim aðferðum sem notaðar eru til þess að lýsa raunveruleikanum í vísindum í dag, með táknkerfi og tungumáli bókstafareiknings. Hann fann auk þess upp á því að skrifa veldi eins og gert er í dag og að nota bókstafinn x fyrir óþekkta stærð. Annar franskur stærðfræðingur sem áður hefur verið 181

186 minnst á í þessari bók, og samtímamaður Descartes, Pierre Fermat, var sá fyrsti sem benti á að það væri hægt að teikna jöfnur. Eða með hans eigin orðum: Hvenær sem tvær óþekktar stærðir koma fram lokajöfnu, fáum við leg, þar sem mörk einnar óþekktu stærðarinnar eru á beinni línu eða ferli. (Berlinghoff, Gouvea, 171.) Descartes og Fermat deila heiðrinum að því að hafa fundið upp aðferðina sem þróaðist yfir í hnitakerfi vorra daga. Þeir tveir höfðu reyndar lítil eða engin samskipti að því er talið er. Og hvorugur þeirra hafði tvo rétthyrnda ása, né heldur notuðu þeir neikvæðar tölur, því þeir litu svo á að neikvæðar tölur stæðu ekki fyrir raunverulegar stærðir. Rúmfræðibók Descartesar, La Géométrie, var viðauki við heimspekirit sem hefur verið nefnt Orðræða um aðferð á íslensku. Markmið hans var að finna aðferð til þess að leita sannleikans í öllum málum, um alla hluti. Fyrirmynd hans voru Frumþættir Evklíð hann vildi byggja aðferðina á pottþéttum afleiðslum frá augljósum frumsendum. Frægasta setningin sem höfð er eftir honum er cogito ergo sum, sem er latína og merkir ég hugsa, þess vegna er ég, og á að sýna fram á að maður geti ekki efast um eigin tilvist: ef ég hugsa þá er ég til. Þessi orð eru talin grundvallaratriði og hornsteinn hefðbundinnar vestrænnar heimspeki þó svo að þau (og einkum og sér í lagi þær hugmyndir sem leynast að baki) hafi verið gagnrýnd af mörgum á seinustu áratugum. Descartes skrifaði setninguna reyndar upphaflega á frönsku (sem var óvenjulegt vegna þess að alþjóðlegt mál fræðimanna þess tíma var latína) : Je pense donc je suis. Þessi hugsun hafði verið sett fram löngu áður, til dæmis gerði Forngrikkinn Aristóteles (384 3 f.k.) það í Siðfræði Nikkómakkusar, en Descartes gerði hana að útgangspunkti fyrir alla sína rannsókn á eðli sjálfsins og heimsins. Verkefni 41 Fyrsta rúmfræðimyndin í La Géométrie er svona: 18

187 Svo segir Descartes að hann láti AB tákna einingu, það strik hafi semsagt lengdina 1, og að þá verði lengdin BE jöfn margfeldi lengda BD og BC. Sýndu fram á það. Það sem Descartes gerði fyrstur var að teikna mynd þar sem miðað var út frá einingu. Eins og í síðasta verkefni sýndi hvernig mátti reikna með línustrikum, þannig að til dæmis væri hægt að reikna margfeldi tveggja talna, a og b með því að leggja strik með lengd a í einn ás, og strik með lengd b í annan ás. Síðar varð venja að hafa ásana hornrétta hvor á annan. Verkefni 4 (a) Finndu jöfnu línu í gegnum ( 0,1) og (a,0). (b) Reiknaðu jöfnu línu gegnum ( 0, b ) sem er samsíða fyrri línunni. (c) Finndu skurðpunkt seinni línunnar við x-ás, og sýndu með því hvernig við finnum margfeldið ab. 183

188 Síða úr bók Descartesar, La Géométrie Hnitarúmfræði opnaði leið til að rannsaka og hugsa um heiminn á nýjan hátt og gerði mögulegt að þróa örsmæðareikning (það er sú grein stærðfræðinnar sem fjallar um hraða og hreyfingar) og þar með aflfræði (eðlisfræði krafta). Í dag er hnitarúmfræði, með tilheyrandi bókstafareikningi, grunnur að öllum náttúruvísindum. Hún er notuð til þess að búa til staðsetningartæki (GPS), hermilíkön af náttúrufyrirbærum, til að stjórna 184

189 flugvélum, hanna tölvuleiki, gera teiknimyndir, setja bækur og blöð og margt fleira. Í vísindum eru ekki bara notuð tvívíð hnitakerfi, heldur líka þrívíð og fjórvíð, og jafnvel óendanlega víð. Hnitarúmfræði hefur líka þróast sem hrein stærðfræðigrein og hún er rannsökuð út frá ýmsum sjónarhornum í diffurrúmfræði, algebrulegri rúmfræði og grannfræði, svo eitthvað sé nefnt. Mynd úr kennslubók Abrahm Bosse í rúmteikningu frá Þarna má sjá þrívítt hnitakerfi teiknað með fjarvídd eins og þau sem notuð eru til þess að hanna og forrita tölvuleiki og aðra tölvugrafík. Í þessari bók er hins vegar ekki færi á því að fjalla nánar um hnitarúmfræði, þó að vart hafi verið snert á yfirborðinu. Vonandi átt þú eftir að læra meira um hnitarúmfræði. Verkefni 43 Ræðið eftirfarandi bút úr viðtali: Það var fyrst þegar ég byrjaði að forrita tölvur til að búa til teikningar og myndir sem ég lærði að meta gagnsemi stærðfræðinnar. Margföldun varð það sama og kvörðun, deiling skapaði sjónhorf; sínus og kósínus sneru hlutum, 185

190 tangensar framleiddu skekkingu, og rúmfræði og hornafræði veittu tól til þess að greina og leysa alls konar vandamál. Flettið upp orðunum kvörðun (scaling), sjónhorf (perspective), skekking (shearing) á netinu, til dæmis á Wikipedia, og munið að þið eruð að leita að merkingu orðanna í stærðfræði (mathematics). Verkefni 44 Flettið upp orðunum kvörðun (scaling), sjónhorf (perspective), skekking (shearing) á netinu, til dæmis á Wikipedia, og munið að þið eruð að leita að merkingu orðanna í stærðfræði (mathematics). 186

191 15: Verkefni, verkefni Mikla uppgötvun þarf til að leysa mikla þraut, en það felst frækorn uppgötvunnar í lausn á hverri þraut. Þrautin getur verið hófleg að þyngd, en ef hún ögrar forvitni þinni, og dregur fram skapandi hæfileika þína, og ef þú leysir hana upp á eigin spýtur, þá geturðu upplifað spennuna og notið þess sigurs að hafa uppgötvað eitthvað. - George Polya 1. Skrifaðu stæðu sem merkir: (a) Bættu 8 við n og margfaldaðu útkomuna með 3. (b) Margfaldaðu n með 3, bættu svo 8 við. (c) Bættu við n, deildu svo í útkomuna með 4. (d) Margfaldaðu n með n, margfaldaðu svo útkomuna með 5. (e) Margfaldaðu n með 6, margfaldaðu svo útkomuna með útkomunni.. Sumar tölur eru jafnar einhverri summu talna í röð, tveggja og/eða fleiri: 5 = = = (a) Finndu einhvern eiginleika talna sem eru summur tveggja talna í röð. (b) Finndu einhvern eiginleika talna sem eru summur þriggja talna í röð. (c) Alhæfðu: finndu einhvern eiginleika talna sem eru summur n talna í röð. (d) Hvaða tölur eru ekki summur neinna svona talnaraða? Í öllum liðum á að útskýra svörin vel og vandlega, og gott gæti verið að nota bókstafareikning. 3. Kalli kennari ætlar að búa til dæmi fyrir próf, til að athuga hvort nemendur geta notað sviga og hvort þeir muni í hvaða röð á að reikna. Hann setur niður dæmið Einfaldið 7 (3 4 + ( (3 9) + 3)). Reiknið þetta dæmi, en búið líka til annað dæmi, sem er að minnsta kosti jafn flókið, og reiknið það. 4. Semdu bragð til hugsanalesturs. Láttu þann sem hugsar sér tölu reikna nýja tölu að minnsta kosti fimm sinnum. (a) Hann á að enda aftur á þeirri tölu sem hann byrjaði með. 187

192 (b) Hann á að enda með töluna. 5. Segðu um eftirfarandi fullyrðingar: hún er alltaf sönn, hún er stundum sönn (og þá í hvaða tilfelli) eða hún er aldrei sönn. Sýndu fram á að svar þitt sé rétt. [Ekki gefa þér nein stig fyrir að giska á rétta svarið.] (a) Ef vara hækkar um 10% og lækkar svo um 10%, þá kostar hún það sama og í upphafi. (b) Ef vara hækkar um 10% og lækkar svo um 11,11%, þá kostar hún það sama og í upphafi. p (c) Ef vara hækkar um p% og lækkar svo um %, þá kostar hún það p sama og í upphafi. 6. Fingraæfingar: (a) Liðaðu og einfaldaðu stærðirnar 3( x + y)( y + ) og a b a( ab b) + ab. (b) Þáttaðu stærðirnar x 10x 8 og ab ax + b y x y (c) Leystu jöfnurnar 37 x 9 = x og 4x + 3x x =. 6 (d) Jói og Kiddi fóru saman á útsölu í Tækjabúðinni. Jói keypti fjögur spliff og tvær gengjur en Kiddi keypti þrjú spliff og fjórar gengjur. Kiddi þurfti að greiða kr. sem var kr. meira en Jói greiddi. Hvert er stykkjaverðið á gengjunum og hvert er stykkjaverð á spliffunum? 7. Skoðaðu jöfnurnar og segðu hvort þær eru alltaf sannar, stundum (hvenær?) eða aldrei. Rökstyðja svörin, hér eins og alltaf. (a) ( x + )( x ) = ( x + 1)( x 4) (b) ( x + )( x ) = x + 4 (c) ( x + )( x ) = 0 8. Liðið (a) ( 1+ x)(1 x) (b) (1 + x + x )(1 x) 188

193 3 (c) (1 + x + x + x )(1 x) (d) Hvernig væri næsta dæmi? Hvernig væri dæmi númer 100? Alhæfðu: útskýrðu n hvernig má reikna dæmi númer n, liðaðu margfeldið (1 + x + x + + x )(1 x). 9. Berið saman eftirfarandi jöfnur. Hver hentar best til að leysa? Hvernig tengjast þær? 1 1 (a) ( x + )( x ) = (b) ( x + 1)(3x 1) = 0 (c) 6x + x 1 = Búðu til jöfnu sem hefur fjórar ólíkar lausnir, og komdu henni á þannig form að hvorki félagar þínir né kennarinn geti leyst hana. Þú átt hins vegar að geta sýnt lausnirnar. 11. Sumir nota jöfnuna + = 4 sem dæmi um eitthvað sem er algerlega öruggt og pottþétt. En hvers vegna er það svona pottþétt? Hvernig væri hægt að sanna að þetta er rétt jafna? Við þurfum fyrst að vita hver merking táknanna er, og samkvæmt venju er = 1+ 1 (þessi jafna lýsir því bara hvað táknið stendur fyrir). Á sama hátt getum við skilgreint 3 = + 1 og 4 = (Hér erum við bara að segja það sem við segjum börnunum: þrír er næsta tala á eftir tveimur, og svo framvegis.) Hvaða regla (eða reglur) er nauðsynlegt að nota ef við viljum sanna + = 4? Geturðu skrifað slíka sönnun? (Dæmið felst ekki síst í því að lesa og átta sig á textanum.) 1. Túlkaðu myndina sem jöfnu það er ekki endilega eitt rétt svar, heldur fleiri. a b 13. Hvernig myndir þú útskýra mínus sinnum mínus jafnt og plús fyrir jafningja þínum? 14. Hugsaðu þér talnalínu þar sem búið er að merkja 0 og 1 inn á, en engar aðrar tölur. Hugsaðu þér einhvern punkt, x, á línunni. Sjáðu fyrir þér punktinn færast fram og aftur 189

194 á línunni. Bættu nú við öðrum punkti, sem er staðsettur í x. Hvar er hann miðað við fyrsta punktinn? Sjáðu fyrir þér hvernig punkturinn þinn færist fram og aftur og hvernig seinni punkturinn færist í samræmi. Bættu svo við þriðja punktinum, 1 x. Er hann hægra megin eða vinstra megin við x? (Sem fer eftir því hvar x er.) Hugsaðu þér svo að punktarnir hreyfist, en samt þannig að fyrsti punkturinn sé í x, næsti í x og sá þriðji í 1 x. Geturðu fundið einhvern stað þar sem allir punktarnir falla saman, mætast? Þegar þú hefur gert þetta í huganum skaltu reikna þetta út. 15. Hvaða sérstöku eiginleika hafa tölurnar 0 og 1? Geturðu skrifað almennar reglur, jöfnur, sem lýsa þessum sérstöku eiginleikum. Vísbending: Hvernig virka tölurnar 0 og 1 í reikningi? 16. Sýndu fram á að ab = a b, ef a og b eru jákvæðar stærðir. Sannfærðu sjálfan þig, og rökstyddu þannig að efasemdarmaður myndi sannfærast. 17. Aha ég get bara reiknað a + b = a + b segir Lalli. Hvað segirðu Lalla? Stenst þetta hjá honum? 18. Sýndu fram á að a n a m = a n + m, ef a og b eru jákvæðar stærðir. Sannfærðu sjálfan þig, og rökstyddu þannig að efasemdarmaður myndi sannfærast. 19. Reiknaðu án þess að ruglast (og án reiknivélar!) (a) (-) (b) (c) (-1) 0000 (d) (-1) (e) -4 ( + 6 ) 3 0. Einfaldaðu með veldareglum (a) (b) ( a b) ( a b ) 1 1 ( a b ) ( a b 3 ) 3 190

195 k (c) ( a b ) ( a b k+ 3 m k k+ 3 m+ 1 ) (d) Hvað er líkt og hvað er ólíkt með liðunum þremur á undan? 1. Einfaldaðu stæðurnar (a) 1+ (b) 1+ (c) 1+ (d) x x x 1 1+ x. Af hverju er A B C D verður að vera svona. A D =? Útskýrðu með þínum eigin orðum hvers vegna þetta B C 3. (a) Haukur Már átti að reikna 1 a + 1 b og fékk út 1. Er þetta rétt reiknað? a + b Útskýrðu. Er mögulegt að einhverjar tölur a og b geti gert þetta að jöfnum stærðum? Finndu þá einhverjar slíkar tölur, helst allar. (b) Eiríkur Örn átti líka að reikna 1 a + 1 b en hann fékk. Er þetta rétt? Útskýrðu. a + b Er mögulegt að einhverjar tölur a og b geti gert þetta að jöfnum stærðum? Finndu þá einhverjar slíkar tölur, helst allar. 4. Tölurnar a b og c d nefnum við grannatölur ef teljari mismunar þeirra, ad bc bd jafn 1 eða (-1), það er að segja, ef ad bc = ±1. er (a) Eru 3 4 og 3 grannatölur? Hvað með 1 og 4 5? (b) Búið til einhverjar grannatölur. (c) Geturðu rökstutt að bæði brotin a b og c d verði að vera fullstytt til að geta verið grannatölur? 191

196 5. Þegar tala er rituð sem summa af brotum sem öll hafa teljarann 1, en ólíka nefnara, er hún sögð vera skrifuð með egypskum hætti. Til dæmis væri hægt að skrifa 5 6 = = og þá er maður búinn að skrifa 5 6 (a) Geturðu skrifað brotin 3, 3 10 og 3 7 með egypskum hætti? með egypskum rithætti. (b) Er þetta almenn regla: 1 n = 1 n ? Gilda einhver takmörk um töluna n (n + 1) n? (c) Geturðu, með því að nota b-lið, ritað 5 6 á fleiri vegu með egypskum hætti? 6. (a) Finnið hornin x og y á myndinni, ef línurnar r og s eru samsíða (b) Öll merktu hornin eru eins. Finnið stærðir allra horna á myndinni, og rökstyðjið. (c) Hér koma tvær fullyrðingar. Um hvora fyrir sig á að segja: er hún alltaf sönn, stundum sönn eða aldrei sönn. Útskýrðu svörin. Ef línan l er samsíða línunni m og línan m er samsíða línunni n, þá er línan l samsíða línunni n. Ef línan l er hornrétt á línuna m og línan m er hornrétt á línuna n, þá er línan l hornrétt á línuna n. 19

197 7. Er til þríhyrningur með hliðarlengdir 3, 4 og 8? Útskýrðu svarið. 8. Hugsaðu þér ferhyrning. Hugsaðu þér ferhyrning sem er ekki rétthyrningur. Geturðu hugsað þér ferhyrning þar sem mótlægar hliðar liggja á línum sem eru hornréttar hvor á aðra? (Mótlægar hliðar eru hliðar sem liggja ekki saman.) Geturðu hugsað þér ferhyrning þar sem bæði pörin af mótlægum hliðum liggja á línum sem eru hornréttar hvor á aðra? Fyrst skaltu reyna að hugsa þér þetta, en svo máttu teikna, annaðhvort á blað, eða í tölvu. 9. Teikniæfing: fyrsta þríhyrningateikning Evklíðs. (Hér þarf annaðhvort hringfara eða tölvuforrit). (a) Teiknaðu línustrik. Teiknaðu svo hring með miðju í öðrum endapunktinum, og geisli hringsins á að vera jafn langur strikinu. Teiknaðu annan slíkan hring með miðju í hinum endapunktinum. Hvað skerast hringirnir í mörgum punktum. (b) Teiknaðu nú línustrik milli endapunkts striksins og einhvers skurðpunkta hringanna. Teiknaðu línustrik milli hins endapunktsins og sama skurðpunkts hringanna. Þá kemur fram þríhyrningur. Hvað er hægt að segja um þennan þríhyrning? Hefur hann einhverja sérstaka eiginleika? 30. Teikniæfing (með hringfara eða tölvuforriti.) (a) Teiknaðu þrjú strik a, b og c, þannig að ekkert þeirra sé lengra en hin tvö lögð saman. (b) Taktu eitt strikið, til dæmis c og teiknaðu í sinnhvorn endapunkt þess hringi með geisla sem er annars vegar lengd striksins a og hins vegar lengd striksins b. Skerast hringirnir? Tengdu nú skurðpunkt hringanna við endapunkta striksins c. Þá kemur fram þríhyrningur. Hverjar eru hliðarlengdir þessa þríhyrnings? 31. Búðu til þitt eigið dæmi um fullyrðingar A og B, þannig að fullyrðingin ef A þá B verði nauðsynlega sönn, en fullyrðingin ef B þá A verði nauðsynlega ósönn. 3x Látum A tákna fullyrðinguna = 3 og látum B tákna fullyrðinguna x + 1 x 1. Segið hverjar af eftirfarandi fullyrðingum eru nauðsynlega sannar, og útskýrið: 193

198 (a) ef A þá B (b) ef B þá A (c) ef ekki A þá ekki B (d) ef ekki B þá ekki A 33. Látum A tákna fullyrðinguna p og q eru oddatölur og látum B tákna fullyrðinguna talan ( p + q)( p q) er í fjórum-sinnum töflunni. Segið hverjar af eftirfarandi fullyrðingum eru nauðsynlega sannar, og útskýrið: (a) ef A þá B (b) ef B þá A (c) ef ekki A þá ekki B (d) ef ekki B þá ekki A 34. Hver er munurinn á skilgreiningu í stærðfræði og skilgreiningu í venjulegu máli? 35. Skoðið frumsendurnar í upphafi sjálfstæðisyfirlýsingar Bandaríkjanna. Eru þessar frumsendur augljós sannindi í þínum huga? Útskýrðu út frá þínum eigin hugmyndum. 36. Á myndinni eru þríhyrningur ABC, og strikið DE sem er samsíða BC. (a) Ef AB = 4, BC = 5 og AD = 3, finnið lengd DE. (b) Ef AB = 4, AD =. 5 og DE = 3, finnið lengd BC. (c) Ef AB = 4, AD = og EC = 3, finnið lengd AC. 37. (a) Við Háskóla Íslands eru ljóskastarar við jörðina sem lýsa upp húsið. Þegar ég stóð mitt á milli kastarans og hússins, var ég þrjá metra frá kastaranum (og húsinu). Ég er 188 sentímetrar á hæð. Hve hár var skugginn af mér á veggnum? 194

199 (b) Teiknaðu ferning sem hefur hliðarlengdina 1. Dragðu hornalínurnar tvær. Þá koma fram nokkrir minni þríhyrningar, sem allir eru rétthyrndir. Sýndu, með því að bera saman einshyrnda þríhyrninga, og nota hlutföll, að lengd hornalínanna er. (c) Gefinn er rétthyrndur þríhyrningur ABC. Hæðin er dregin frá rétta horninu C, niður á mótlæga hlið, og fótpunktinn (skurðpunkt hæðar og mótlægrar hliðar) nefnum við E. AE CE Sýnið að =. (Ef lengdirnar AE og EB eru gefnar, nefnist stærðin CE, sem CE EB uppfyllir þessa jöfnu, rúmfræðilegt meðaltal þeirra.) 38. Þríhyrningur Δ ABC hefur hornin A = 50 og B = 60. (a) Rissaðu mynd af svona þríhyrningi, og teiknaðu inn á hann hæðina h b og helmingalínuna v C. (b) Finndu hornið milli h b og v C. 39. Drögum miðlínurnar m a og við mótlægar hliðar (fótpunkta þeirra) heita tveggja heita G. Sýndu fram á að m b í þríhyrningi ABC. Látum skurðpunkta miðlínanna M a og M b og skurðpunkt miðlínanna AG = GM a, semsagt að miðlínan skiptist í hlutföllunum :1. Vísbending: dragðu línustrikið M og finndu einshyrnda M a b þríhyrninga. 40. Finna á hlutfall skyggða svæðisins, að því gefnu að um er að ræða ferning og miðpunkta á hliðunum. Er öruggt að skyggða svæðið sé ferningur? Hvers vegna? 41. Á myndinni er ferningur með hliðarlengdina 1, og annar ferningur sem teiknaður er með því að nota hornalínu fyrsta ferningsins sem hliðarlengd. Hvert er flatarmál seinni ferningsins, og hver er þá lengd hornalínu fyrsta ferningsins? 195

200 4. Gefinn er þríhyrningur með flatarmálið 1. Dregnar eru línur gegnum punkta á hliðunum sem eru fimmtung ( 5 1 af hliðarlengdinni) frá hornpunktunum. Hvert er flatarmál innri þríhyrningsins sem myndast? 43. Á myndunum á að finna (a) geisla gráu og hvítu hringanna, ef flatarmál svæðanna allra eru jöfn og flatarmál dekksta hringsins er π r. (Það má til dæmis prófa að gefa sér að r = 1, og sjá hvað gerist þá. Svo þarf að gera grein fyrir því hvað breytist og hvað breytist ekki, ef við breytum gildinu á r.) (b) hliðarlengd stærri ferningsins, ef flatarmál ljósara svæðisins er jafnt flatarmáli minni ferningsins, sem er x. 196

201 44. Á myndinni er ferningur og hlutar úr hringum. Lýstu myndinni með orðum. Finndu svo samanlagt flatarmál tunglanna, það er skyggðu svæðanna. Ekki nota tölulega nálgun fyrir π, notaðu bara bókstafinn sjálfan þar sem það á við. 45. Útvarpsmastur er 56 metrar á hæð. Það brotnar í fárviðri, þannig að efri hlutinn hangir á neðri hlutanum, en snertir jörðina 1 metra frá fæti mastursins. Í hvaða hæð yfir jörðinni brotnaði mastrið? 46. Látum a og b vera tvær tölur, þannig að a > b. Teiknum rétthyrndan þríhyrning a+ b a með skammhliðum sem hafa lengdirnar og. Reiknið lengd langhliðarinnar og b rökstyðjið svo út frá mynd ójöfnuna a + b ab. 47. Lítum á mynd af rétthyrndum þríhyrningi, Δ ABC, þar sem C er rétta hornið. Við drögum önnur línustrik, þannig að CE AB (CE er hæðin á AB), AD CB, DB AC, og FA CE GB. Notið myndina til að sanna reglu Pýþagórasar. 48. Í bókinni Furðulegt háttalag hunds um nótt eftir Mark Haddon kemur þessi setning fram: Þríhyrningur með hliðarlengdirnar n + 1, n 1 og n, þar sem n > 1, er rétthyrndur. Er þetta satt? Útskýrðu. 197

202 49. Á myndinni er rétthyrndur þríhyrningur og þrír hálfhringir, hver þeirra er með eina hlið rétthyrnda þríhyrningsins fyrir miðstreng. Sagt er að flatarmál tunglanna (óskyggðu svæðin utan þríhyrningsins) sé jafnt flatarmáli þríhyrningsins. Er það satt? Útskýrðu. (Þessi svæði nefnast stundum tungl Hippókratesar.) Örfá svardrög: 6. (a) x = 53 y = 17 (b) Öll hornin eru jafn stór, samkvæmt eiginleikum horna við samsíða línur, og þar sem þrjú slík horn samanlagt mynda 180 horn, þá eru þau öll 60. (c) Fyrri er alltaf sönn ef línurnar eru allar ólíkar, seinni er alltaf ósönn. Þetta má rökstyðja með myndum, eða, ef maður vill vera alveg nákvæmur má til dæmis segja um fyrri fullyrðinguna: Fyrst l og m eru samsíða, eiga þær engan sameiginlegan punkt. Eins eiga m og n engan sameiginlegan punkt. Ef l og n ættu sameiginlegan punkt P þá væru komnar fram tvær ólíkar línur l og n gegnum sama punktinn P sem væru báðar samsíða m. Er það mögulegt? Það er ekki leyfilegt í venjulegri flatarmyndafræði, en er reyndar mögulegt á annars konar flötum, til dæmis kúluyfirborði! Svo svarið er í raun háð ákveðnum forsendum. 7. Nei, sérhverjar tvær hliðar geta ekki verið samanlagt styttri en þriðja hliðin. 8. Ferhyrningur þar sem bæði pörin af mótlægum hliðum liggja á línum sem eru hornréttar hvor á aðra er mögulegur, til dæmis getur hann litið einhvern veginn svona út: 198