3. Metoda Back Tracking 4. Metoda Programării Dinamice 5. Metoda Branch and Bound 6. Metode. Euristice 7. Algoritmi Genetici

Transcription

1 C11 / Metode de elaborare a algoritmilor 1. Metoda Greedy 2. Metoda Divide et Impera 3. Metoda Back Tracking 4. Metoda Programării Dinamice 5. Metoda Branch and Bound 6. Metode Euristice 7. Algoritmi Genetici 1/17

2 11.1 Metoda Greedy Metoda Greedy (lacom) este una din cele mai eficiente metode, rapiditatea fiind obţinută prin faptul că nu se fac reveniri asupra deciziilor luate. Metoda este folosită în probleme de optimizare în care se poate obţine optimul global (final) prin alegeri succesive ale optimului local (la un moment dat), evident acest lucru trebuie demonstrat teoretic (altfel metoda este euristică). Problemele care se pot rezolva cu această metodă sunt de forma: Se dă o mulţime A. Se cere o submulţime B A care: să îndeplinească anumite condiţii interne (să fie acceptabilă) şi să fie optimală (să realizeze un maxim sau minim). Algoritmul Greedy construieşte soluţia (submulţimea B) plecând de la mulţimea vidă şiadăugând câte un element ales din mulţimea A (considerat optim în acel moment), dacă mulţimea B rămâne acceptabilă. De aceea trebuie verificată următoarea proprietate : dacă B este acceptabilă şic B rezultă căşic esteacceptabilă. 2/17

3 Metoda Greedy Există doi algoritmi generali de tip Greedy prezentaţi în continuare, ambii pleacă de la mulţimea vidă (care este acceptabilă) şi construieşte o mulţime optimală acceptabilă în ficare moment: Algoritmul Greedy este: {1} Date A; B := ; Repetă e := Aleg(A); A := A - {e}; Dacă Acc(B {e}) Atunci B:=B {e} PânăCând A= ; Rezultate B; SfAlgoritm. Algoritmul Greedy este: {2} Date A,n; { a 1,a 2,,a n } B := ; Ordonez(A,n) Pentru i:=1,n Execută Dacă Acc(B {a i }) Atunci B:=B {a n } SfPentru; Rezultate B; SfAlgoritm. Se observă că cel de al doilea algoritm, nu alege de fiecare dată optimul local ci ordonează vectorul A astfel încât elementele să fie tocmai în ordinea preferată. Dacă funcţia Aleg, respectiv procedura Ordonez urmăresc realizarea optimului, funcţia Acc verifică dacă mulţimea construită este corectă (acceptabilă). 3/17

4 Exemplu: Metoda Greedy a) Problema rucsacului. Având un rucsac de o greutate maximă admisă T şi n obiecte caracterizate prin utilitate şi greutate: O i (u i,g i ), se cere să alegem acele obiecte care nu depăşesc greutatea admisăşi realizează utilitatea maximă (egală cu suma utilităţilor). Se dă o mulţime A (A A = multimea tuturor obiectelor). Se cere o submulţime B A (B B = multimea obiectelor din rucsac) care: să îndeplinească anumite condiţii interne (Accept.) şi să fie optimală (Aleg / Ordonez). Aleg : obiectul i pentru care raportul u i /g i este maxim, {1} Ordonez: u i /g i u i+1 /g i+1 (i=1,2,,n-1), {2} Accept. : suma greutatilor obiectelor din rucsac T. {1 şi 2} Metoda asigură optimul numai în cazul umplerii rucsacului. 4/17

5 Exemplu: Metoda Greedy b) Problema numerelor naturale prime şi neprime. Având un set de numere naturale, se cere să alegem dintre acestea cel mult k (dat) numere prime si oricate neprime, astfel încât suma celor prime să depăşească suma celor neprime, iar numarul elementelor alese (prime si neprime) sa fie maxim. Se dă o mulţime A (A A = multimea tuturor numerelor date). Se cere o submulţime B A (B B = submultimea prime si neprime) care: să îndeplinească anumite condiţii interne (Accept.) şi să fie optimală (Aleg / Ordonez). Aleg : cel mai mare numar prim, dacă există, altfel pe cel mai mic, {1} Ordonez: numerele prime descrescător, apoi cele neprime crescător, {2} Accept. : sunt cel mult k numere prime şi suma lor este mai mare. {1 şi 2} 5/17

6 Exemplu R: Metoda Greedy Intr-un hotel cu mxn camere trebuie cazate q familii. Se stie cate persoane (maxim) pot fi cazate in fiecare camera (c ij ). Familia i are p i persoane si poate fi cazata intr-o camera doar daca p i c ij. Cum sunt cazate aceste familii astfel incat numarul de persoane cazate sa fie maxim? Se dă o mulţime A (A A = multimea tuturor familiilor). Se cere o submulţime B A (B B = submultimea familiilor cazate) care: să îndeplinească anumite condiţii interne (Accept.) şi să fie optimală (Aleg / Ordonez). Aleg : pentru fiecare camera aleg familia cea mai numeroasa, {1} Ordonez: descrescător dupa numarul de membrii, {2} Accept. : incape in camera (p i c ij ). {1 şi 2} 6/17

7 Metoda Greedy Program Gr_Hotel; Type Familii = Array[1..100] Of Byte; Camere Mult_f = Array[1..10,1..10] Of Byte; = Set Of Byte; Var A, { Familii de cazat } B : Mult_f; ; { Familii cazate } C, { Capacitati camere } H : Camere; ; { Nr. pers. cazate } P : Familii; ; { Nr. pers./familii } m,n,, { dimensiuni hotel } i,j,, { etaj,, camera/et. } f, { nr. ordine pt.fam.}.} q : Byte; { numarul de familii} 7/17

8 Metoda Greedy Begin ClrScr; Date (C,m,n,P,q( C,m,n,P,q); Tip (C,m,n,P,q,[1..q]); A:=[1..q]; B:=[]; For i:=1 To m Do For j:=1 To n Do Begin f:=aleg(a Aleg(A); (* A:=A-[f] {Extrag{ Extrag} } *) If Accept(B,f) ) Then B:=B+[f B+[f] ] End; Tip (H,m,n,P,q,B( H,m,n,P,q,B); Readln End. 3 4 { m,n... Cij } { q... Pf } { q... Pf } /17

9 Function Aleg(Var A:Mult_f):Byte; Var f,k:byte; Begin f:=1; While (f<=q) And (Not (f In A) Or (P[f( P[f]> ]>C[i,j])) Do Inc(f); If f>q Then Aleg:=0 Else Begin For k:=f+1 To q Do If (k In A) And (P[k]<=C[i,j]) And (P[k]>P[f]) Then f:=k; Aleg:=f; A:=A-[f] End; End; Function Accept(B:Mult_f; f:byte):boolean; Begin If f>0 Then H[i,j]:= ]:=P[f] Else H[i,j]:=0; Accept:=f>0; End; Metoda Greedy 9/17

10 Metoda Greedy Procedure Date (Var( C:Camere; Var m,n:byte; Var P:Familii; Var q :Byte); Var t:text; i,j,f:byte; Rand:String; Begin Assign(t,'Gr_Hotel.Pas'); '); Reset(t); Repeat Readln(t,Rand) ) Until Rand='End.'; Readln(t,m,n); For i:=1 To m Do For j:=1 To n Do Read(t,C[i,j]); Readln(t,q); For f:=1 To q Do Read(t,P[f]); Close (t); End; Procedure Tip(C:Camere; m,n:byte; P:Familii; q:byte; B:Mult_f); Var i,j,f:byte; Tp:Word; Begin Tp:=0; Writeln; For i:=1 To m Do Begin For j:=1 To n Do Write(C[i,j]:3); Writeln End; Writeln; For f:=1 To q Do If f In B Then Begin Write(P[f]:3); Inc(Tp,P[f]) End; Writeln; Writeln(' Total persoane : ',Tp Tp); Writeln; Writeln End; 10/17

11 Metoda Greedy Teme: a) Având n baloane care se deplasează pe verticală se cere să se aleagă un număr cât mai mare dintre acestea astfel încât să nu se lovească între ele. Baloanele sunt considerate cercuri în plan şi se pot deplasa pe verticală în ambele sensuri. b) Fiind date n baloane, se cere să se determine un număr minim de săgeţi necesare pentru a le sparge pe toate. Săgeţile sunt lansate vertical, ca în figura alăturată, unde se poate vedea că numărul minim de săgeţi este3. 11/17

12 11.2. Metoda Divide et Impera Metoda Divide et Impera constă în descompunerea problemei (Split) în mai multe subprobleme de acelaşi tip, rezolvarea acestora, apoi prin combinarea (Combin) rezultatelor obţinute se obţine soluţia problemei iniţiale. Dacă problema este banală (Elementară) se poate rezolva simplu (Direct) fără a mai fi necesară descompunerea ei. Deci, dacă reuşim ca rezultatul unei probleme complexe să îl deducem din rezultatele unor subprobleme de acelaşi tip, atunci putem aplica această metodă. Presupunem că dorim o prelucrare a unei mulţimi date A. Rezultatul prelucrării este furnizat de către funcţia D_I(A). Considerăm că soluţia se poate obţine combinând rezultatele a două subprobleme D_I(B) şi D_I(C), unde B şi C sunt obţinute prin divizarea mulţimii iniţiale A. Funcţia D_I (A) este: Dacă Elementară(A (A) Sf_Dacă Sf D_I. Atunci Altfel D_I := Direct (A) Split (A,B,C); D_I := Combin (D_I (B), D_I (C)) 12/17

13 Exemple: Metoda Divide et Impera a) Problema turnurilor din Hanoi. Având n discuri aşezate (descrescător după dimensiune) pe una din cele trei tije (numerotate cu 1,2,3), se cere să le mutămpealtă tijă luând căte un singur disc (cel de deasupra) de pe o tijăşi mutându-l pe o alta respectând ordinea (nu se poate depune un disc mai greu peste unul mai uşor). Pentru a rezolva problema vom utiliza un subalgoritm care mută primele n-1 discuri de pe tija a pe tija b. Dacă mutăm primele n, înseamnă că le mutămpe toate şi problema este rezolvată. Primele n discuri se mută astfel: se mută primele n-1 discuri de pe tija a pe tija c=6-a-b, apoi se mută discul n (baza) pe tija destinaţie (b), iar în final se mută din nou primele primele n-1 discuri de pe tija c=6-a-b pe tija b. Subalgoritmul Hanoi (n,a,b) este: Dacă n>0 Atunci Hanoi (n-1,a,6-a-b); Mută (a,b); Hanoi (n-1,6-a-b,b); Sf_Dacă Sf Hanoi. a b c a b c 13 13/17

14 Metoda Divide et Impera b) Merge Sort (sortare prin interclasare). Să se ordoneze un vector X cu n componente. Se va apela subalgoritmul MergeSort (X,1,n): Subalgoritmul MergeSort (X,i,j) este: { Ordonează subşirul xi,,xj } Dacă j-i> Sf_Dacă Sf MergeSort. Atunci m:=( :=(i+j)/2; MergeSort (X,i,m); MergeSort (X,m+1,j); Interclasare (X,i,m,, X,m+1,j, X,i,j) c) QuickSort (sortare rapidă). Să se ordoneze un vector X cu n componente. Se va apela subalgoritmul QuickSort (X,1,n) : Subalgoritmul QuickSort (X,i,j) este: { Ordonează subşirul xi,,xj } Dacă j-i> i> Atunci m:= :=Split (X,i,j); QuickSort (X,i,m); QuickSort (X,m+1,j); Sf_Dacă Sf QuickSort. 14/17

15 Teme: Metoda Divide et Impera a) Fiind dat un domeniu [x1,x2] [y1,y2] [z1,z2] şi o mulţime de puncte interzise din R 3, se cere să se determine subdomeniul de volum maxim care să nu conţină nici un punct interzis (în interior). Problema se poate rezolva prin împărţire în şase subprobleme de acelaşi tip. b) Pe cele trei linii de manevra a, b si c se afla trei garnituri de vagoane etichetate cu distanta pâna la destinatie. Aceste vagoane sunt asezate în ordine crescatoare a distantei pe care o are de parcurs (ultimul vagon si poate fi dezlegat). Care sunt manevrele pe care trebuie sa le execute locomotiva pentru a aranja toate vagoanele, în ordine crescatoare a etichetelor, pe o singura linie (precizata)? Prin manevra se întelege mutarea de pe o line pe alta, a primului vagon, aceasta fiind permisa doar daca pe linia destinatie vagoanele vor respecta ordinea precizati (vagonul 9 poate fi mutat pe orice linie, vagonul 8 doar pe linia b, iar vagonul 5 nu poate fi mutat). a b c Locom /17

16 Metoda Greedy Program Tren; ; Uses Crt; Var S:Array[1..3] Of String[9]; Const t:word=1234; Procedure TipVag; Var i:byte; Begin ClrScr; Writeln; For i:=1 To 3 Do Writeln(i:3,' : ',S[i S[i]); Delay(t); If t>100 Then Dec(t,50); End; Procedure Mut(k:Char; a,b:byte); Begin Dec(S[a][0]); S[b]:= ]:=S[b]+k; TipVag End; Function Linia (k:char):byte; Var l:byte; Begin For l:=1 To 3 Do If Pos(k,S[l])>0 Then Linia:=l End; Procedure Man(k:Char; a:byte); Var b:byte; Begin If k>'0' Then Begin b:=linia(k Linia(k); If b<>a Then Begin Man(Pred(k),6-a-b); Mut(k,b,a) ) End; Man(Pred(k),a); ); End; End; Begin ClrScr; S[1]:='753'; S[2]:='42'; S[3]:='61'; TipVag; ; Delay(1234); Man('7',2); Write(' <<< Stop >>> '); Sound(300); Readln; NoSound End. 16/17

17 Succes!... C11 /