Logici de încredere în securitatea informaţiei. Universitatea Al. I. Cuza, Iaşi Facultatea de Informatică Master Securitatea informaţiei

Transcription

1 Logici de încredere în securitatea informaţiei Universitatea Al. I. Cuza, Iaşi Facultatea de Informatică Master Securitatea informaţiei

2 Profesori - 1 Prof. dr. Cristian Masalagiu (Titular Curs/Seminar) mcristy@info.uaic.ro

3 Profesori - 2 Lect. dr. Cosmin Vârlan (seminar) vcosmin@info.uaic.ro

4 Profesori 3 Asist. dr. Vasile Alaiba (seminar) alaiba@info.uaic.ro

5 CERINȚE ȘI NOTĂ - 1 Conform deciziei Rectoratului, sunt, în anul universitar , semestrul II (anii terminali), 15 săptămâni de activitate (între 15 februarie 29 mai): 14 sunt dedicate activității didactice, și o săptămână (a 12-a) este liberă în perioada Sărbătorilor de Paște (2 8 mai) Urmează 2 săptămâni de evaluare (30 mai 12 iunie), apoi 3 săptămâni de practică de specialitate (13 iunie 3 iulie), în scopul pregătirii și susținerii lucrării de disertație În aceeași (ultimă) perioadă, fiecare facultate organizează o sesiune de reexaminări (restanțe/măriri) Cel mai probabil, la Facultatea de Informatică, săptămâna a 8-a (4-10 aprilie) va fi rezervată (și) susținerii unor lucrări (parțiale) de evaluare, caz în care toate activitățile care urmează la cursurile respective se vor decala cu o săptămână (perioada finală de evaluare rămânând doar între 6 12 iunie; sau, posibil, va fi prelungită)

6 CERINȚE ȘI NOTĂ - 2 Pentru voi, totul se termină până pe data amintită de 3 iulie 2015 (de pe 4 iulie începe oricum vacanța de vară) La cursul nostru, primele 7 săptămîni vor fi doar de predare (4 ore/săptămână), iar în săptămâna a 8-a veți susține o lucrare scrisă din materia făcută (fie că această săptămână va fi oficializată ca fiind de evaluare parțială pe Facultate, fie că nu) Începând cu săptămâna a 9-a vom continua cu un program de lecții de tipul curs/seminar/laborator/susținere referate, până pe 30 mai (sau până pe 6 iunie) Modalitatea de a alege/susține referatele precum și conținutul unor lecții le vom fixa împreună, urmărind informațiile și propunerile care vor urma

7 CERINȚE ȘI NOTĂ - 3 Prezenţa este, în principiu, obligatorie (nu fiți Fata Morgana... ) Fiecare coordonator de lecție (seminar/laborator) va stabili însă (și alte) cerinţe proprii; media aritmetică a notelor obţinute la seminarii/laboratoare va conta în proporţie de ¼ din nota finală (nota 2) Nota de la lucrarea de evaluare (din săptămâna a 8-a) va conta ½ din nota finală (nota 1) Restul de ¼ din nota finală (nota 3) se va obține din aprecierea eseului/referatului ales/finalizat și prezentat public ; alte cerințe privind realizarea și aprecierea referatului, urmează

8 CERINȚE ȘI NOTĂ - 4 Fiecare curs vă va fi furnizat în format electronic imediat după ce vă va fi predat (sub formă de slide-uri, evident) Mai exact, materia predată până la un moment dat va putea fi accesată direct printr-un link special, din pagina mea web Este esenţial să treceţi pe la ore, pentru că: nu dau proiecte pe INTERNET; nu accept să nu prezentați public referatul; evitați să rămân singur la ore Unele cursuri se vor încheia și cu indicarea unei bibliografii suplimentare precum şi cu sugerarea unor teme de cercetare (noi) care ar putea constitui baza implicării voastre în (eventuale) proiecte reale...

9 DESPRE REFERATE - 1 Domenii generale/arii în care ar putea fi încadrate referatele (e mai ușor să căutați titluri în limba engleză...): -Specific Problems in Modal, Temporal and Epistemic Logics (MTE) aria 1 -Model Checking for Belief/Non-standard Logics (MC) - aria 2 -Natural Deduction/Deductive Systems for Belief/Non-standard Logics (NDTP) - aria 3 -Logic Programming for Belief/Non-standard Logics (PROBLOG) - aria 4 -Lambda Notation/Calculus for Functional Representation of Belief/Non-standard Logics (LAMBDABL) - aria 5 -Formal Verification of Different (Cryptographic) Protocols using Logics of Belief (VEPBL) - aria 6 -Decidability and Formal Complexity of different classes of Belief/Non-standard Logics (DCBL) - aria 7 -Vulnerabilities in Different Security Protocols Detected by Using Belief/Non-standard Logics (VUPBL) - aria 8 -Altele, propuse de voi, dar în zonă (ALTE) - aria 9 (vezi mai jos)

10 DESPRE REFERATE - 2 Titluri posibile (în engleză): Implementation in Language X for a Y Analyzer of the Z Protocol; Practical Aspects Related to Some Dynamic Epistemic Logics; Logical Attacks for Smartcard (or Mobile) Security, etc. De fapt, poate fi orice conține cuvintele/expresiile cheie belief logics sau/și epistemic logics, în combinație cu security/cryptographic protocol; sau, ceva mai specific/practic, care poate fi încadrat într-una dintre ariile anterior menționate La o temă pot fi angrenate maxim 3 persoane, cu atribuții bine precizate (și șef, pentru discuțiile cu mine) Totul va fi redactat/prezentat de voi în limba română; după ce vă decideți, trimiteți-mi în prealabil (adică înainte de a trece efectiv la lucru) un eseu /sumar (max. 4-8 pagini), prin (obiective, structură, bibliografie principală, sarcini individualizate, etc.); forma finală trebuie să aibă maxim 20 pagini, iar prezentarea pe scurt, min. 10 slide-uri; totul trebuie să fie gata cam cu o săptămână înainte de prezentarea (convenită) în plen (trebuie să dau OK-ul) Programările prezentărilor le voi face (chiar parțial) de îndată ce primesc primele titluri și autorii

11 FINAL CERINȚE, NOTĂ, REFERATE La nevoie, prezentarea referatelor se poate extinde în ultimele 2 (1) săptămâni de evaluare (nu vom mai da altă lucrare de evaluare decât cea din săptămâna a 8-a) Fiecare student va primi 3 note: una la lucrarea de evaluare (numită mai înainte nota 1), una pentru referat (nota 3) și nota 2 pentru activitatea practică, din ultimele săptămâni (media notelor altor profesori posibil implicați în activitatea voastră); ele vor intra în calculul notei finale (modalitatea am prcizat-o deja)

12 DESPRE CURS (STRUCTURĂ, CONȚINUT, SCOP) - 1 Conținutul principal: -Chestiuni recapitulative (concepte, notații, etc. privind logicile clasice LP și LP1 făcute cu C. Masalagiu; PROLOG V. Alaiba; programare funcțională - Ș. Ciobâcă) -Chestiuni (cumva tot recapitulative) legate de anumite logici neclasice (modale, temporale, epistemice făcute cu C. Dima, ș.a.) -Partea principală a cursului va fi legată de logicile de încredere (și aici însă trebuie să vă reactualizați și conținutul anumitor cursuri anterioare cu tematici apropiate, ale colegilor mei: C. Bârjoveanu, F. Țiplea, A. Atanasiu, etc.) Deoarece una dintre expresiile cheie ale Cursului (alături de logici și securitatea informației), este algoritmi de verificare (bazați pe sintaxă și demonstrare automată sau/și pe semantică și model checking), în săptămânile care urmează până la final, după predare (seminarii, laboratoare, susținere referate), intenționăm să punem accentul și pe lucruri legate direct de practică ( amintiri aici: MCMAS C. Vârlan)

13 DESPRE CURS (STRUCTURĂ, CONȚINUT, SCOP) - 2 Vom aborda astfel, atât cât ne va permite timpul (și...nevoia) în final, subiecte privind Isabelle, care este un ATP (Automated Theorem Prover) comercial și MCMAS (A Model Checker for MultiAgent Systems); sau, alternativ: HOL (Higher Order Logic) în loc de Isabelle, respectiv TLA/TLC (Temporal Logic of Actions/TLA model Checker) în loc de MCMAS Tematica concretă a laboratoarelor/seminariilor (precum și a referatelor individuale) va fi fixată aprioric sau pe parcurs

14 DESPRE CURS (STRUCTURĂ, CONȚINUT, SCOP) - 3 Capitolele tematice ale Cursului (ne-exhaustiv) ar fi deci Recapitulare: logica clasică/logici neclasice; criptografie și protocoale de securitate în sisteme multiagent în mediu INTERNET toate cu noi formalizări pentru ceva numit, de acum înainte, SISTEM; logica BAN Burrows, Abadi, Needham, etc. (în funcție de necesități și de ceea ce deja cunoașteți) Logica GNY (Gong/Needham/Yahalom), ca primă extensie a logicii BAN Alte extensii ale BAN și GNY: logica AT (Abadi, Tuttle), logica vo (van Oorschot), logica SvO (Syverson, van Oorschot), etc.; din nou, în funcție de timp Model Checking și demonstrare automată (cu referiri directe la logicile de încredere)

15 DESPRE CURS (STRUCTURĂ, CONȚINUT, SCOP) - 4 Scopurile principale ale Cursului sunt Însuşirea unor cunoștințe de bază pentru a putea gestiona corespunzător SISTEM-ele cu ajutorul unor logici potrivite Înțelegerea modalității de a construi noi logici, specifice caracteristicilor particulare ale unor părți de realitate precizate (ceea ce ar reprezenta o introducere în ceea ce s-ar putea numi logic engineering) Însușirea unor primitive conceptuale pentru învăţarea unor limbaje concrete privind demonstrarea automată (Isabelle/HOL) sau model-checking-ul (MCMAS/TLC)

16 CURSURI ANTERIOARE NECESARE Logică pentru informatică (an I, Licență) Securitatea informaţiei (an III, Licență) Opţional: Programare logică sau Programare funcţională (an II, Licență) Opţional: Calculabilitate, decidabilitate şi complexitate (an III, Licență) Fundamentele algebrice ale informaticii (an I, Licență) Limbaje formale, automate și compilatoare (an II, Licență) Cursuri făcute (sau care se fac în prezent chiar) la MSI, și care sunt legate cumva (voi ar trebui să știți cum!) de cursul de față

17 BIBLIOGRAFIE PRINCIPALĂ (NE-EXHAUSTIVĂ) - 1 (cărţile se găsesc la Biblioteca Facultății sau în format electronic; unele sunt accesibile direct prin link-uri din pagina mea; ordinea de mai jos este aleatoare; alte site-uri INTERNET vă vor fi indicate pe parcurs) 1. C. Masalagiu - Fundamentele logice ale Informaticii, Ed. Universităţii Al. I. Cuza", Iasi, 2004, ISBN X. 2. M. Huth, M. Ryan - Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Cambridge University Press, England, 2000, ISBN R. Stalnaker On Logic of Knoledge and Belief, Springer Verlag, P.C. van Oorschot Handbook of Applied Cryptography, Carleton University, L. Gong, R. Needham, R. Yahalom Reasoning about belief in cryptographic protocols, IEEE Symposium on Research in Security and Privacy, IEEE Computer Society Press, 1990.

18 BIBLIOGRAFIE PRINCIPALĂ (NE-EXHAUSTIVĂ) T. Kwon, S. Lim Automation-Considered Logic of Authentication and Key Distibution, Spinger Verlag, D. Yiqiang An Improvement of GNY Logic for the Reflection Attacks, Springer Verlag, M. Benerecetti, et al. A Logic of Belief and a Model Checking Algoritm for Security Protocols, D. Monniaux Analysis of Cryptographic Protocols Using Logics of Belief: An Overview, Journal of Telecommunications and Information Technology, R. Fagin, et al. Reasoning about Knoledge, M. I. T. Press, J.J. Ch. Meyer, W. van der Hoek - Epistemic Logic for AI and Computer Science, Cambridge Univ. Press, 2004.

19 BIBLIOGRAFIE PRINCIPALĂ (NE-EXHAUSTIVĂ) G. Bella Formal Correctness of Security Protocols, Springer Verlag, E. A. Emerson Temporal and Modal Logic, Handbook of Theoretical Computer Science, North-Holland Pub.Co., UT Austin - Course Material on BAN Logic (online, la cerere) 15. **** - A Logic of Authentication (mirror) - the original paper by Burrows/Abadi/Needham (online, la cerere) 16. D. Monniaux - Decision Procedures for the Analysis of Cryptographic Protocols by Logics of Belief, Proceedings of the 12th Computer Security Foundations Workshop, 1999 (și online, la cerere)

20 BIBLIOGRAFIE PRINCIPALĂ (NE-EXHAUSTIVĂ) R. Needham, M. Schöder Using Encription for Authentication in Large Networks of Computers, Communication of the A.C.M., vol. 21, no. 12, B. Schneier Applied Cryptography (second edition), Wiley & Sons, I. Goriac An Epistemic Logic Based Framework for Reasoning About Information Hiding, Ph.D. Thesis, Universitatea Al. I. Cuza, Iași, România, Altele: desigur, le găsiți (sau le-ați găsit deja) singuri

21

22 RECAPITULARE LP/LP1 1 Începem cu recapitularea logicilor pe care le-am numit clasice : LP și LP1 Facem acest lucru foarte pe scurt; dacă aveți probleme, vă rog să urmăriți, direct din pagina mea web, link-ul la slide-urile dezvoltate (vedeți acolo...) Nu uitați că aveți acces (tot direct, din aceeași pagină) și la orice material privind Logica pentru Informatică, anul I, Licență) Vom vorbi (nu neapărat în această ordine) despre sintaxă, semantică, forme normale, echivalențe, funcții booleene, problema SAT, rezoluție, sisteme deductive, teorii logice

23 RECAPITULARE LP/LP1 2 Pentru că vom lucra în primul rând cu mulțimi, este absolut necesar să vorbim mai întâi despre constructivism De exemplu, putem defini N folosind doar 4 simboluri, să le notăm 0, (, ), și s (deocamdată, neavând semnificație) Pentru aceasta, sunt necesari 3 pași (din care doar doi sunt efectivi ): Baza. 0 N ( zero este număr natural). Pas constructiv (structural). Dacă n N, atunci s(n) N (dacă n este număr natural, atunci succesorul său imediat, de fapt textul s(n), este număr natural). Nimic altceva nu mai este număr natural (textul va fi considerat implicit pentru orice definiție constructivă).

24 RECAPITULARE LP/LP1 3 Ca un prim avantaj al ideii, putem da imediat o definiţie constructivă/algoritmică (structurală, recursivă...) a adunării numerelor naturale Baza. n + 0 = n, pentru fiecare n N (a aduna 0 la orice număr natural înseamnă a-l lăsa neschimbat). Pas constructiv. n + s(m) = s(n + m), pentru fiecare n, m N (dacă ştim să calculăm n + m şi cunoaştem succesorul imediat al numărului natural m, atunci ştim să calculăm şi suma n + s(m); mai exact, aceasta coincide cu succesorul imediat al numărului care reprezintă suma n + m). Calculați (voi; adică s(s(s(0))) + s(s(0)))

25 RECAPITULARE LP/LP1 4 Un al doilea avantaj, şi cel mai important, este posibilitatea folosirii în demonstraţii a principiului inducţiei (matematice, în cazul lui N) Astfel, dacă vrem să arătăm că o anumită proprietate, notată P, este adevărată pentru fiecare n N (adică, vrem să demonstrăm adevărul formulei F = ( n)(p(n))), folosind principiul amintit vom arăta de fapt că este adevărată afirmația G = P(0) (( n)(p(n) P(n + 1))

26 RECAPITULARE LP/LP1 5 Generalizând, orice definiție constructivă a unei mulțimi oarecare M, (cel mult) numărabilă și presupusă a fi vidă pentru început, va avea practic 2 pași (al treilea fiind implicit: Nimic... ) În pasul (inițial), Baza, se introduc (explicit) în M un număr oarecare de elemente de bază ( grupate în mulțimea M ) În Pasul constructiv, se repetă (de câte ori este posibil) unul sau mai multe procedee de introducere de elemente noi în M, folosindu-se elementele vechi, deja existente (procedeu = algoritm/metodă) M este cunoscută aprioric, ca de altfel și mulțimea O, de algoritmi Fiecare algoritm o O este privit în sens determinist, funcțional: aplicat intrării m 1, m 2,..., m k, va genera (unica) ieșire m

27 RECAPITULARE LP/LP1 6 Definiția structurală/constructivă a unei mulțimi oarecare M Baza (elemente inițiale). M M (M conține elementele de bază/inițiale). Pas constructiv (elemente noi din elemente vechi). Pentru fiecare k N*, pentru fiecare m 1, m 2,..., m k M și pentru fiecare o O ( operator de aritate k ), avem o( m 1, m 2,..., m k ) = m M. (Și singura posibilitate de a obține (noi) elemente din M, este de a aplica algoritmii din O)

28 RECAPITULARE LP/LP1 7 Fie acum M orice mulțime definită structural ca mai sus (cu ajutorul lui M și O) și o afirmație generală de tipul Q = ( m)(p(m)), adică proprietatea P privește întreaga mulțime M Fie și afirmația Q, corespunzătoare definiției structurale a lui M, dată prin Q = ( a M )(P(a)) ( k N*)( m 1, m 2,..., m k M)( o O) (P(m 1 ) P(m 2 )... P(m k ) P(m)), unde m = o( m 1, m 2,..., m k )

29 RECAPITULARE LP/LP1 8 Principiul general al inducţiei structurale Admitem că Q este adevărată dacă putem arăta că: Baza. P(a) este adevărată, pentru fiecare a M (P este adevărată pentru elementele de bază). Pas inductiv. Presupunem acum că sunt adevărate P(m 1 ), P(m 2 ),..., P(m k ). Atunci, arătăm că P(m) este adevărată (presupunând că P este adevărată în elementele vechi, arătăm că P este adevărată și în elementele noi). Acest ultim pas trebuie demonstrat presupunând că k N*, m 1, m 2,..., m k M și o O (de aritate k, care satisface o( m 1, m 2,..., m k = m), ele fiind oarecare, dar fixate

30 RECAPITULARE LP/LP1 9 Ideea este cea folosită în cazul N: în loc să arătăm Q, este suficient să arătăm Q (nu întotdeauna...; observație: principiu vs teoremă) Ca o primă concluzie, putem spune că logicile pot fi atât limbaje de programare, cât și limbaje naturale, dar foarte exacte O logică particulară = limbaj (mulțime de...) Logicile modelează realitatea, întâi prin sintaxă (formulă = program), apoi prin semantică/valoare de adevăr (și nu sens lingvistic ) Știm că semnificația unui program este dată (să zicem, în sens imperativ, operațional) de execuțiile sale: pentru intrarea x, se obține ieșirea y (prin efectuarea operațiilor indicate de textul programului, în ordinea precizată, asupra valorilor inițiale și intermediare)

31 RECAPITULARE LP/LP1 10 Semnificația unei formule va fi dată, similar, tot de execuții, adică de procedeele prin care se obțin valorile de adevăr finale, în urma aplicării operatorilor logici prezenți în formulă, în ordinea fixată, valorilor de adevăr precizate la intrare (și a celor intermediare) După cum am explicat deja, ideea de bază va fi aceea de a construi logici pentru studiul coerent al SISTEM-elor, plecând cu logicile cele mai simple și apropiindu-ne cât putem de cele mai potrivite și mai simplu de folosit

32 RECAPITULARE LP/LP1 11 Sintaxa LP Baza (formulele elementare/atomice sunt formule): A LP (A = {A 1, A 2,...}). Pas constructiv (obţinere formule noi din formule vechi): (i) Dacă F LP atunci ( F) LP. (ii) Dacă F 1, F 2 LP atunci (F 1 F 2 ) LP. (iii) Dacă F 1, F 2 LP atunci (F 1 F 2 ) LP. (iv) Dacă F LP atunci (F) LP. Nimic altceva nu mai este formulă. Semantica LP Vorbim despre algebre booleene și noțiunea de asignare

33 RECAPITULARE LP/LP1 12 Teoremă (de extensie). Pentru fiecare asignare S, S : A B există o unică extensie a acesteia, S : LP B (numită și structură sau interpretare), care satisface: (i) S (A) = S(A), pentru fiecare A A (ii) S (( F)) = S'(F ) pentru fiecare F LP (iii) S ((F 1 F 2 ) ) = S (F 1 ) S (F 2 ), pentru fiecare F 1, F 2 LP (iv) S ((F 1 F 2 ) ) = S (F 1 ) + S (F 2 ), pentru fiecare F 1, F 2 LP (v) S ((F)) = S(F), pentru fiecare F LP.

34 RECAPITULARE LP/LP1 13 Definiţie (folosim de-acum S în loc de S ). -O formulă F LP se numeşte satisfiabilă dacă există măcar o structură S (completă) pentru care formula este adevărată (S(F) = 1). Se mai spune în acest caz că S este model pentru F (simbolic, se mai scrie S F) -O formulă este validă (tautologie) dacă orice structură este model pentru ea -O formulă este nesatisfiabilă (contradicţie) dacă este falsă în orice structură (S(F) = 0, pentru fiecare S, sau S F, pentru fiecare S). Restul problematicii (inclusiv formele normale, rezoluție și rezolvarea sintactică a SAT) nu o mai reluăm explicit, nici pe viitor (există în Bibliografie sau în link-uri din pagina mea, dacă nu se regăsește ceva în slide-uri...căutați)

35 RECAPITULARE LP/LP1 14 Teoremă (decidabilitatea pentru LP, a problemei SAT). Satisfiabilitatea (validitatea, nesatisfiabilitatea) formulelor LP este decidabilă în timp exponenţial.

36 RECAPITULARE LP/LP1 15 Sintaxa LP1 Pentru a construi mulţimea de formule a logicii cu predicate de ordinul I, LP1, vom porni cu următoarele mulţimi de simboluri: -X = {x 1, x 2, }: o mulţime cel mult numărabilă de variabile funcţionale sau, pe scurt, variabile -P = {P 0, P 1, }: o mulţime cel mult numărabilă de simboluri predicative (sau predicate, sau relaţii), cu arităţi; la rândul său, fiecare P i este o mulţime cel mult numărabilă de predicate de aritate i (i N); elementele lui P 0 se mai numesc şi variabile predicative

37 RECAPITULARE LP/LP1 16 -F = {F 0, F 1,...}: o mulţime cel mult numărabilă de simboluri funcţionale (sau funcţii) cu arităţi, fiecare F i fiind o mulţime cel mult numărabilă de funcţii de aritate i (i N); elementele lui F 0 se numesc şi constante (funcţionale) -C1 = {,, }: o mulţime de conectori logici (conective logice), la care se pot adăuga, opţional, şi alte simboluri cum ar fi, etc. -C2 = {( x) x X} U {( x) x X}: o mulţime de cuantificatori (cuantori), universali, respectiv existenţiali (( x) se citeşte pentru fiecare x, sau pentru oricare (orice) x, iar ( x) există x, există măcar un x etc.)

38 RECAPITULARE LP/LP1 17 Ca şi în cazul LP, vom porni cu alfabetul total, adică reuniunea mulţimilor precedente, împreună cu parantezele rotunde şi virgula (pe scurt, P): -Alf = X U (UP i ) U (UF i ) U C1 U C2 U P Mulţimile UP i şi UF i vor fi notate tot cu P, respectiv F, atunci când nu există confuzii

39 RECAPITULARE LP/LP1 18 Definiţie (sintaxa LP1). Fie Alf alfabetul fixat anterior. Atunci mulţimea formulelor calculului cu predicate de ordinul I, LP1 Alf, este dată constructiv prin: Baza. Se defineşte mulţimea formulelor atomice, notată cu At, prin: (i) P o At (variabilele predicative sunt formule atomice) (ii) Pentru fiecare n N*, pentru fiecare P P n, pentru fiecare t 1, t 2,, t n T, avem P(t 1, t 2,, t n ) At (iii) Nimic altceva nu mai este formulă atomică. În cele de mai sus, T denotă mulţimea termilor (funcţionali), care este la rândul ei definită constructiv astfel:

40 RECAPITULARE LP/LP1 19 Baza. X T şi F 0 T (variabilele şi constantele sunt termi; se mai numesc şi elementari). Pas constructiv. Pentru fiecare n N*, pentru fiecare f F n, pentru fiecare t 1, t 2,, t n T, avem f(t 1, t 2,, t n ) T. Concluzionăm această (primă) etapă a definiţiei prin: Baza. At LP1 (formulele atomice sunt formule). Continuăm definirea lui LP1 Alf cu partea formule noi din formule vechi : Pas constructiv. (i) Dacă F LP1 atunci ( F) LP1. (ii) Dacă F 1, F 2 LP1 atunci (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ) LP1 (dacă dorim, putem introduce şi (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ) LP1, etc.). (iii) Dacă F LP1 atunci ( x)(f) LP1; punem şi ( x)(f) LP1, pentru fiecare x X. (iv) Dacă F LP1 atunci (F) LP1 Nimic altceva nu mai este formulă.

41 RECAPITULARE LP/LP1 20 Semantica LP1 (rezultate, complemente, legătură sintaxă-semantică) Trecem în revistă Teorema (de extensie), rezoluţie, SAT (practic, toată problematica logicii bivalente clasice sugerată la LP, cu accent pe posibilitățile de generalizare la LP1 și la logicile superioare ) Repetăm că ar trebui cunoscute, mai mult sau mai puțin, măcar la acest nivel (înainte de a aminti de formalizarea unor aspecte legate de securitate, criptografie, protocoale, logica BAN, etc.) : -Teoriile logice și sistemele deductive -Elemente de Programare logică (limbaje de tip PROLOG) -Elemente de Programare funcţională (notația lambda, lambda calculul; un limbaj comercial, implementat) -Problematica privind Model-checking-ul și demonstrarea automată -Elemente de logici superioare (să zicem, modale și temporale) Prezentăm doar un strict necesar, cu insistență pe logicile mai avansate (urmăriți și celelalte link-uri amintite...)

42 RECAPITULARE LP/LP1 21 Teorie logică - concept semantic pentru definirea şi tratarea globală a unei mulţimi de formule: TE O teorie logică este o (sub)clasă de formule închisă la consecinţă semantică Cu alte cuvinte, o mulţime TE de formule (din orice logică) este teorie logică dacă pentru fiecare submulţime T TE şi fiecare (altă) formulă G care este consecinţă semantică din T, avem şi G TE

43 RECAPITULARE LP/LP1 22 Sistem deductiv (de deducţie, de demonstraţie, inferenţial) - concept sintactic pentru definirea şi tratarea globală a unei mulţimi de formule FORM: SD Se numeşte sistem deductiv în FORM, un cuplu SD = <A, R> unde - A FORM este o mulţime de axiome iar - R FORM + C o mulţime de reguli de inferenţă (de deducţie, de demonstraţie)

44 RECAPITULARE LP/LP1 23 În cele de mai sus, FORM + denotă mulţimea relaţiilor de oricâte argumente (cel puţin unul) peste FORM, iar C reprezintă o mulţime de condiţii de aplicabilitate; fiecare regulă de inferenţă r R, are astfel aspectul r = < < G 1, G 2,, G n, G>, (c)>, unde n N, iar G 1, G 2,, G n FORM; (c) C G 1, G 2,, G n sunt ipotezele (premizele) regulii, G reprezintă concluzia (consecinţa) iar c desemnează cazurile (modalităţile) în care regula poate fi aplicată; vom putea scrie chiar r = < < {G 1, G 2,, G n }, G>, c> deoarece ordinea ipotezelor nu este esenţială

45 RECAPITULARE LP/LP1 24 O regulă r = < < {G 1, G 2,, G n }, G>, (c)> va fi scrisă şi ca: G, G,..., G 1 2 n,c G În cazul în care n = 0 şi (c) lipseşte, r poate fi identificată ca fiind o axiomă, după cum rezultă din definiţia care urmează Câteodată, alături de c, sunt explicitate separat şi restricţiile sintactice locale asupra (formei) (meta)formulelor (de ce meta...)

46 RECAPITULARE LP/LP1 25 Definiţie (demonstraţie, deducţie sintactică, raţionament). Fie un sistem deductiv SD = <A, R> în FORM. Se numeşte demonstraţie (pentru F m, pornind cu A) în SD o listă de (meta)formule (D) : F 1, F 2,, F m astfel încât pentru fiecare i [m], fie F i A, fie F i este obţinut din F j1, F j2,, F jn folosind o regulă r = < < {F j1, F j2,, F jn }, F i >, c> R, unde j1, j2,..., jn < i Prin urmare, fiecare element al listei (D) este fie o axiomă, fie este concluzia unei reguli de inferenţă ale cărei ipoteze sunt elemente anterioare din listă; de detaliat și: Teoreme de corectitudine şi completitudine (sau incompletitudine: aritmetica Peano; Presburger; etc.) Sisteme de tip Hilbert şi Gentzen, deducţie naturală, calculul cu secvențe: SD0, SD1, SD3 (măcar); rezoluția ca sistem deductiv, etc.

47 RECAPITULARE LP/LP1 26 Ar urma o altă parte, privind diagramele de decizie binară (eventual, ordonate) poate nu ați făcut-o la timp, la capitolul de logică clasică legată de algebre boolene; dar o regăsiți acum și în slide-urile relative la Logica de anul I Ştim ce înseamnă funcţii booleene (inclusiv algebra booleană B) şi reprezentarea lor cu ajutorul tabelelor de adevăr sau cu expresii (FNCP, de exemplu) O altă reprezentare a elementelor din FB (mulţimea tuturor funcţiilor booleene) se bazează pe diagramele de decizie binare ((O)BDD (Ordered) Binary Decision Diagrams) Alegerea celei mai convenabile reprezentări depinde de context Tot ceea ce vom menţiona aici este că în anumite cazuri o BDD poate fi mai compactă decât o tabelă de adevăr pentru o aceeaşi funcţie (din cauza anumitor redundanţe care pot fi exploatate)

48 RECAPITULARE LP/LP1 27 Renunțăm la explicitarea programării funcționale, continuând cu ceva despre programarea logică Primul pas în scrierea unui program de tip PROLOG (pur), este să formalizăm afirmaţiile (inclusiv interogarea) prin formule din LP1 (de exemplu...) Pentru aceasta, identificăm mai întâi elementele importante din realitatea (lumea, universul) avută în vedere Se pot distinge astfel următoarele elemente: -Obiecte (intuitiv, constante ale lumii reale)

49 RECAPITULARE LP/LP1 28 -Transformări între (mulţimi de) obiecte; acestea s-ar reprezenta prin simboluri funcţionale de aritate mai mare ca 0 -Nume generice pentru obiecte; avem nevoie de acest lucru deoarece există exprimări de genul Lui Adam îi place orice persoană care... ; vom nota cu X mulţimea tuturor acestor nume (care vor fi, intuitiv desigur, variabile) şi vom folosi x, y, X -Relaţii (legături) între (mulţimi de) obiecte; de exemplu, Lui Adam îi place de Eva

50 RECAPITULARE LP/LP1 29 Al doilea pas poate fi descris prin -Construirea Afirmaţiilor adică, în acest moment putem traduce cunoştinţele existente în formule (ale logicii aristotelice...), lucru urmat inevitabil de formularea -Interogării (întrebării); prin aceasta, dorim de fapt să știm dacă o (nouă) cunoștință (formulă) este consecință semantică din baza de cunoștințe pe care am construit-o până acum Al treilea pas constă în a găsi o respingere în LP1, pornind cu clauzele lui F*, folosind (de exemplu) rezoluţia de bază; prin urmare, calculăm mai întâi D(F) şi apoi E(F) (sau/şi E (F)), etc.

51 RECAPITULARE LP/LP1 30 Un program logic (clasic, standard, pur) este format dintr-o mulţime finită de formule program, alcătuită din fapte şi o mulţime de formule suplimentare; un program logic interogat este un cuplu format dintr-un program logic şi o formulă scop; toate formulele implicate sunt formule Horn, aflate în FNSC şi cuantificate universal (clauza scop este la fel doar în urma negării ei)

52 RECAPITULARE LP/LP1 31 Pentru a încheia această primă parte recapitulativă, să spunem că cel mai simplu mod de a vorbi despre calculabilitate și decidabilitate este de a apela la noţiunile intuitive de problemă şi algoritm care rezolvă o problemă Apoi este nevoie de stăpânirea unor concepte formale cum ar fi limbaje formale și automate, mulţimi și funcții recursive și recursiv enumerabile; maşini Türing; Random Access Machines (RAM), etc. Situaţia este şi mai complexă dacă dorim să discutăm, mai mult decât informal, despre eficiență, adică despre (clasele de) complexitate (formală) sau despre (in)tractabilitate (am mai zis: căutați singuri, sau link...)

53

54 RECAPITULARE LOGICI MODALE ȘI TEMPORALE (LMT) 1 Pentru logicile neclasice (în ansamblu) pe care le vom trece în revistă în continuare, vom folosi schema propusă inițial (sintaxă, semantică, eventual forme normale, sisteme deductive, SAT și alte rezultate importante) Avansăm întâi spre logicile de încredere, care sunt cele mai potrivite pentru modelarea simplă a părții/zonei de realitate care ne interesează (comunicarea sigură în sistemele multiagent în INTERNET = SISTEM, după cum am mai precizat) Prin logici neclasice ar trebui înțeles: Modal, Temporal and Epistemic Logics (inclusiv logicile de încredere, de fapt)

55 RECAPITULARE LMT - 2 Logicile temporale pot fi privite drept cazuri particulare ale unor logici modale, deși ele au în acest moment o definiție/existenţă şi o evoluţie/aplicabilitate independentă (ar trebui însă altă formalizare...) Diverse logici modale au, de asemenea, o evoluţie individualizată în anumite ramuri ale informaticii (legate în mod direct de concurenţă și distributivitate, în marea lor majoritate), tratând separat subiecte cum ar fi, de ex., cunoaşterea în sistemele multiagent Într-un final, logicile de încredere sunt (pot fi privite ca) logici epistemice, iar logicile epistemice sunt logici modale temporale (vom reveni...) Modalităţile/modurile principale (operatorii modali) ale logicii modale de bază (clasice, standard) nu sunt mereu/neapărat (mai revenim...) (box/always) şi (diamond/eventually), ci, posibil, (circle/next), U (u/until) sau Ũ (ũ/releases) (sau chiar alții...) Depinzând de relația dintre lumile universului (vezi în continuare), operatorii pot avea și alte semnificații intuitive (ca modalități, sau moduri de adevăr)

56 RECAPITULARE LMT - 3 Astfel, în funcţie context și de diferitele nuanţe (moduri/modalități de adevăr ), înafară de adevărat_în_viitor (se poate chiar înlocui în viitor cu în trecut, dar nu insistăm pe moment; filozofic...), mai putem avea şi adevărat_în_mod_necesar, crezut_a_fi_adevărat, corespunde_cunoştinţelor_agentului_q, etc.; operatorii modali nu se mai citesc prin urmare întotdeauna_în_viitor/cândva_în_viitor ci necesar/posibil, sau crezut_de_toţi/crezut_de_cineva, sau chiar agentul_q_ştie_sigur_că/din_ceea_ce_ştie_agentul_q, etc. Vom nota cu Ф (sau cu MD) mulţimea formulelor logicii modale de bază, definită constructiv (sintaxa MD!) peste alfabetul L = A U P U C 1 U C 2, unde A = {p 1, p 2, } este mulţimea cel mult numărabilă a variabilelor propoziţionale (a literalilor pozitivi), P = {(, )} este mulţimea parantezelor, C 1 = {,,,, } este mulţimea conectorilor booleeni iar C 2 = {, } este mulţimea operatorilor modali (acestea pot fi mai vaste sau mai reduse...)

57 RECAPITULARE LMT - 4 Ā = { p 1, p 2, } va denota mulţimea negaţiilor variabilelor propoziţionale (a literalilor negativi) Nu vom introduce (deocamdată) explicit în L, mulţimea de operatori 0-ari adică constantele (sau simbolurile) {true, false} (posibil a fi notaţi în continuare şi prin - top, respectiv prin - bottom); ei vor fi introduși totuși, dar ca formule atomice, iar negațiile ca formule compuse Ca de obicei, definiţiile structurale pot fi prezentate mai succint dacă utilizăm notația BNF (Backus Naur Form)

58 RECAPITULARE LMT - 5 Definiţie (sintaxa logicii modale de bază: Ф/MD). Baza (formule atomice). (i) true, false Ф. (ii) Pentru fiecare p A, avem p Ф. Pas constructiv (formule noi din formule vechi). (a) Dacă F Ф, atunci ( F) Ф. (b) Dacă F 1, F 2 Ф, atunci (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ) Ф. (c) Dacă F Ф, atunci ( F), ( F) Ф. (d) Dacă F Ф, atunci (F) Ф. (e) Nimic altceva nu mai este în Ф.

59 RECAPITULARE LMT - 6 BNF-ul corespunzător: Ф ::= p ( Ф) (Ф Ф) (Ф Ф) (Ф Ф) (Ф Ф) ( Ф) ( Ф), unde p A (paranteze, priorități, arbori sintactici, gramatici...) Înainte de a furniza şi semantica, să precizăm că diferenţele faţă de logica temporală aleasă de noi (care va urma) sunt minore la nivel strict sintactic, cea mai importantă fiind posibilitatea de a aplica negaţia oricărei formule, încă de la început (devin formule atomice atât literalii pozitivi cât și cei negativi) Alegerile noastre vor fi (în mare parte) justificate pe parcurs Nu ne vom ocupa (acum) de probleme de genul care este numărul minim de conectori astfel încât niciunul să nu poată fi exprimat (semantic) cu ajutorul celorlalţi (alternativ, care sunt bazele minimale pentru această logică ) Bazele sunt importante atunci când lungimea unei formule devine esențială (în algoritmii de model-checking, de ex.)

60 RECAPITULARE LMT - 7 Definiţie (structuri Kripke modale). O structură Kripke modală este un 4-uplu K = <A, W, R, Π>, unde: -A este mulţimea variabilelor propoziţionale (nevidă, cel mult numărabilă) -W este mulţimea stărilor sau lumilor universului (nevidă, cel mult numărabilă; sau, universul este format din lumi...) -R W W este o relaţie de trecere (sau de accesibilitate, sau de legătură între lumi) -Π : W 2 A este o funcţie care va ataşa fiecărei stări mulţimea variabilelor propoziţionale adevărate în acea stare Se mai poate adăuga o mulțime de stări inițiale, W 0 W (și atunci K devine un 5-uplu); de obicei, card(w 0 ) = 1 Cu structurile Kripke am intrat deja în semantică...

61 RECAPITULARE LMT - 8 Definiţie (semantica MD). Fie K = <A, W, R, Π> o structură Kripke modală. Adevărul formulelor din Ф, în K, se obţine în două faze/etape: (I) Adevărul formulelor într-o lume (stare) oarecare. -Baza: (i) Pentru fiecare w W, w true şi w false ( în cuvinte... ). (ii) Pentru fiecare w W, w p dacă şi numai dacă p Π(w), pentru fiecare p A.

62 RECAPITULARE LMT - 9 -Pas constructiv: (a) Pentru fiecare w W, w ( F) dacă şi numai dacă w F (pentru fiecare F Ф). (b) Pentru fiecare w W, w (F 1 F 2 ) dacă şi numai dacă w F 1 şi w F 2 (pentru fiecare F 1, F 2 Ф). (c) Pentru fiecare w W, w (F 1 F 2 ) dacă şi numai dacă w F 1 sau w F 2 (pentru fiecare F 1, F 2 Ф). (d) Pentru fiecare w W, w (F 1 F 2 ) dacă şi numai dacă: dacă w F 1 atunci w F 2 (pentru fiecare F 1, F 2 Ф).

63 RECAPITULARE LMT - 10 (e) Pentru fiecare w W, w (F 1 F 2 ) dacă şi numai dacă: dacă w F 1 atunci w F 2 şi reciproc (pentru fiecare F 1, F 2 Ф). (f) Pentru fiecare w W, w ( F) dacă şi numai dacă avem: w F pentru fiecare w W care satisface <w, w > R (pentru fiecare F Ф). (g) Pentru fiecare w W, w ( F) dacă şi numai dacă avem: există w W care satisface <w, w > R astfel încât w F (pentru fiecare F Ф). (II) Adevărul formulelor în structura dată. O formulă F Ф este adevărată într-o structură Kripke, K, dacă şi numai dacă ea este adevărată în orice lume w W (adică avem K F dacă şi numai dacă w F, pentru fiecare w W; nedeterminism angelic și demonic, există versus orice, etc.); putem scrie (convențional) K(F) = 1 (sau chiar w(f) = 1, sau S(F) = 1,...); putem pune chiar, în situațiile care o cer, K F dacă şi numai dacă w F, pentru fiecare w W 0.

64 RECAPITULARE LMT - 11 Să notăm că, peste tot în cele de mai sus, era mai corect de scris w K F sau <K, w> F Observaţie. (1)Relaţia R nu este presupusă a fi totală; pot exista lumi w care nu mai au succesori; pentru aceste lumi avem, de exemplu, w ( F), pentru fiecare F Ф (inclusiv pentru F = true!); dual, avem w ( F), pentru fiecare F Ф (inclusiv pentru F = false!), deoarece afirmaţia avem (w F pentru fiecare w W care satisface <w, w > R) este adevărată prin lipsă, sau în mod implicit (true by default).

65 RECAPITULARE LMT - 12 (2) Expresia lumea w este legată de lumea w (în K, prin R) trebuie desigur înţeleasă prin aceea că <w, w > R; aceasta ne sugerează în primul rând faptul că logica modală de bază are o interpretare (ca mod de adevăr) pentru / (de genul relația R dă tonul, indiferent de ceea ce înțelegem prin lume): în_toate_lumile_legate/pentru_măcar_o_lume_legată; ceea ce face ca această logică să poată fi privită ca o generalizare a tuturor celor care vor fi abordate de noi, inclusiv a logicilor temporale sau a celor agent dependent (totul depinzând de înțelesul atribuit expresiei lume legată ); în al doilea rând, ar părea natural ca, în lipsa totalităţii, relaţia R să fie măcar reflexivă şi tranzitivă (ceea ce poate schimba chiar afirmațiile simple anterioare; similar, se pot face doar anumite convenții locale, de genul <w, w> R (pentru un anumit w), atunci când ne ocupăm de o semantică concretă; și alte proprietăţi generale pentru R pot fi luate în considerare, lucru care poate conduce la rezultate surprinzătoare faţă de cele presupuse, intuitiv, a fi standard (vezi exemplele din Huth/Ryan). (3) Operatorii şi seamănă atât cu cuantificatorii din LP1 cât şi cu cuantificatorii de cale din CTL (vezi mai jos), dar este evident că diferenţele determină o clară separare în ceea ce priveşte problemele de decizie legate de semantica formală din logicile respective (inclusiv SAT).

66 RECAPITULARE LMT - 13 De acum încolo, dacă nu vom spune altceva, presupunem că R este reflexivă și tranzitivă, dar nu este (neapărat) totală Exemplu. Fie structura Kripke K = <A, W, R, Π>, unde: -A = {p, q,...}. -W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6,...}. -R = {<w 1, w 2 >, <w 1, w 3 >, <w 2, w 3 >, <w 2, w 2 >, <w 3, w 2 >, <w 4, w 5 >, <w 5, w 4 >, <w 5, w 6 >} (construiți graful care reprezintă R; este relația reflexivă?) -Π(w 1 ) = {q}, Π(w 2 ) = {p, q}, Π(w 3 ) = {p}, Π(w 4 ) = {q}, Π(w 5 ) = Ø, Π(w 6 ) = {p} (este adevărat că avem: w 1 q, w 1 ( q), w 1 ( q), w 5 ( p), w 5 ( q), w 5 ( p q), w 5 (p q)?) (graful relațional se etichetează și cu elemente din codomeniul lui Π) Este adevărat că lumile de mai sus care satisfac formula F = (( p) p) sunt doar w 2, w 3, w 4 și w 6? Avem oare K F?; dar în nedeterminismul angelic? (voi, ce nu-i...)

67 RECAPITULARE LMT 13/1 (EXEMPLU; REZOLVĂRI) Graful lui R este orientat, dublu etichetat pe noduri și putem spune că reprezintă întreaga structură K În cazul nostru, el va avea 6 noduri, etichetate cu o primă etichetă care denotă lumea/starea (w 1,...,w 6 ); a doua etichetă a fiecărui nod va fi mulțimea stărilor adevărate în acel nod, adică Π(w i ), i [6] (de exemplu, a doua etichetă a lui w 2 este {p, q} iar a lui w 5 este Ø) Vom avea arc de la w la w ddacă <w, w > R

68 RECAPITULARE LMT 13/2 (EXEMPLU; REZOLVĂRI) Avem w 1 ( q) ddacă există w W care satisface <w 1, w > R, astfel încât w p; lucru adevărat, putând lua w = w 2 sau w = w 3, deoarece p Π(w 2 ) (= {p, q}) și p Π(w 3 ) (= {p}) Pentru ca o stare w (( p) p): fie w ( p), fie (exclusiv) w ( p), dar atunci trebuie să avem și w p Să ne plasăm în a doua situație; pentru a avea w ( p), ar trebui ca pentru fiecare w cu <w, w > R, să avem și w p; dacă luăm w = w 1, atunci afirmația imediat anterioară este adevărată (w = w 2 sau w = w 3, iar p Π(w 2 ) și p Π(w 3 )); dar pentru ca w 1 (( p) p), ne trebuie și w 1 p, ceea ce nu mai este adevărat, deoarece p {q}

69 RECAPITULARE LMT 13/3 (EXEMPLU; REZOLVĂRI) Concluzionăm imediat că w 1 (( p) p) Desigur, rezultă și alte lucruri, în mod similar, dar, posibil, nu cu aceeași concluzie), despre restul stărilor Dacă pornim de la cerința w ( p), caz în care nici nu ne mai interesează ce se întâmplă cu adevărul lui p în vreo stare (deoarece (( p) p) devine implicit adevărată în w): ar trebui ca să existe măcar o stare w cu <w, w > R, astfel încât p Π(w ); niciuna dintre stările noastre nu se află însă în situația de-abia descrisă

70 RECAPITULARE LMT - 14 Există anumite dificultăți legate de definirea constructivă a adevărului în trepte, folosit mai sus (întâi într-o lume, apoi în structura corespunzătoare, apoi...) Definiţie (consecinţă semantică şi echivalenţe în logica modală de bază). Fie F Ф, G Ф şi K = <A, W, R, Π> o structură Kripke. Spunem că G este consecinţă semantică din F în K (pe scurt, F K G) dacă şi numai dacă din w K F (pentru fiecare F F) avem w K G şi aceasta pentru fiecare w W. Două formule F şi G din Ф sunt tare echivalente în K (F K G) dacă şi numai dacă {F} K G şi {G} K F. Putem merge mai departe și vorbi despre tare/slabă echivalență, validitate, satisfiabilitate, etc. (de exemplu, F G dacă şi numai dacă F K G, pentru fiecare K...; F este validă în K...; F este validă; F este satisfiabilă...). În acest cadru (pentru noi, prea) general, nu ne vom ocupa de formele normale pentru formule (necesare, de ex., pentru aplicarea rezoluției, ca metodă sintactică de testare a satisfiabilității) Amânăm și prezentarea unor rezultate importante...

71 RECAPITULARE LMT - 15 Ca și logica modală, logica temporală definită direct (mai corect: logicile temporale) reprezintă, în primul rând, o extensie a logicii clasice bivalente (există și...extensii clasice ale logicilor clasice; comparații: ierarhii, putere de exprimare...), în care timpul (interpretat discret, nu continuu, lucru totuși posibil...) este reprezentat implicit prin anumiţi operatori sintactici şi apoi interpretat explicit așa, în semantică Logicile temporale se constituie într-un limbaj potrivit pentru a descrie proprietăţi importante ale unor secvenţe/cuvinte infinite (sau chiar arbori infiniţi), care pot reprezenta, ca suport, comportările temporale ale unui sistem (concurent) real (este vorba aici inclusiv despre sistemele multiagent)

72 RECAPITULARE LMT - 16 Logica temporală poate fi privită, în același timp, și ca un caz particular chiar al logicii dinamice (altă extensie/restricție a logicii modale; nu insistăm), care au implementări comerciale de succes (relativ la timp, lumile/stările nu prea există aprioric, ca entități primordiale, ci se construiesc în momente succesive de timp, prin programe care convertesc o lume la alta, prin acțiuni sau evenimente care schimbă starea curentă, etc.; scalabilitatea poate fi totuși o problemă...) În logica modală, principala idee era aceea că adevărul unei formule depinde de contextul/lumea/universul în care aceasta este folosită Contextul (privit ca o mulţime nevidă de stări/lumi care inter-relaţionează) îl poate reprezenta însă nu doar acel univers (abstract) înconjurător cu lumile/stările lui, ca mai înainte, ci și timpul (privit ca entitate în sine), clasa de agenți, sistemul de operare în ansamblu, mediul de programare, etc.

73 RECAPITULARE LMT - 17 Structura/interpretarea unei formule în cazul unor asemenea logici (neclasice) temporale (care, pentru fragmentele alese de noi, vor rămâne extensionale, bivalente și bazate pe tertium non datur), va furniza o unică valoare de adevăr pentru fiecare stare, într-un context (moment de timp) dat Relaţia modală R, prin care se stabileau legăturile dintre stări, va fi aici dedusă direct din modul în care va fi privit timpul (liniar sau arborescent) În logica dinamică de ex., relaţia este generată de execuţia unor programe reale, de obicei concurente (acţiuni/evenimente cumva externe universului considerat, dar având propria lor interpretare) Pe scurt, putem privi intuitiv starea ca reprezentând o situație posibilă a sistemului (eventual, multiagent...), la un moment dat de timp; o succesiune temporală de stări corelate va fi o comportare posibilă (în timp) a sistemului; o formulă adevărată, va descrie o proprietate (dorită a fi) satisfăcută de către sistem, etc.

74 RECAPITULARE LMT - 18 Vom începe cu o descriere a sintaxei şi semanticii logicii temporale (propoziţionale) cu timp liniar (LTL/PTL), la nivel intuitiv Dacă ne gândim la sintaxa LP, formulele din LTL vor conţine (înafara variabilelor propoziţionale şi a conectorilor cunoscuţi,,..., cu ajutorul cărora se exprimă adevăruri generale, simple, independente de timp), şi nişte operatori noi, care sunt operatorii temporali de viitor (sintactic, unii dintre aceștia pot să nu difere de operatorii modali întâlniți deja; pot fi și alții înafară de cei pe care-i amintim; trecutul, încă, îl neglijăm) Dintre aceştia (primii trei sunt unari - știm asta - iar ultimii trei, binari) amintim: (sau N, X) circle/next/tomorrow (la_momentul_de_timp_imediat_următor) (G) - box/always/globally) (întotdeauna_în_viitor) (F) - diamond/eventually/finally/sometimes) (cândva_în_viitor) U u/until (până_când_în_viitor) Ũ (R, V) ũ/releases (declanşează/provoacă_în_viitor) W double u/unless/week until (înafară_de_cazul_când_în_viitor) Operatorii absolut necesari sunt aici (i-am ales pentru a constitui o bază; se pot selecta și alții, care se exprimă prin aceștia):,,, U

75 RECAPITULARE LMT - 19 Din punct de vedere semantic se va schimba noţiunea de structură/interpretare (Kripke, modală); desigur că formulele vor primi (tot gradual/constructiv) o valoare de adevăr (0 sau 1), posibil diferită, în funcţie de: secvenţa (de timp) aleasă, de valorile de adevăr ale variabilelor propoziţionale în fiecare element al secvenţei şi de operatorii care intră în componenţa formulelor Elementele/etichetele unei secvenţe (cuvânt infinit) se mai numesc stări, ele identificând (în mod uzual) anumite situaţii care se pot petrece la diversele locuri/momente de timp (timpul, considerat a fi unic și discret, adică liniar în curgerea sa, va fi pur și simplu considerat ca fiind reprezentat de mulțimea N) A alege o secvenţă înseamnă de fapt a alege stările componente (identificate tot prin mulţimea variabilelor propoziţionale adevărate în ea) şi ordinea acestora Să considerăm astfel secvenţa următoare care conţine stările s 0, s 1, s 2, s 3, s 0, s 1, s 2, s 3,, respectiv pe poziţiile/momentele de timp 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ; mai scriem și w = w 0 w 1 w 2... (unde w i este starea de pe poziția i, i N)

76 RECAPITULARE LMT - 20 Dacă s 0 = {p, q}, s 1 = { p, q}, s 2 = { p, q} = s 3, p şi q fiind variabile propoziţionale/formule atomice, putem picta graful (arborele unar...): (de pus cum trebuie în poză ; s 3 este marcată, mai exact starea w 3 care apare la momentul 3; s 0 apare la momentul 0, 4,...; vezi și continuarea...)

77 RECAPITULARE LMT - 21 Este adevărat că (în poză ): formulele F 1 = p q şi F 2 = (p q) sunt adevărate în starea marcată iar F 3 = p este falsă în întreaga secvenţă (voi, sau slide următor)? Reluând, dacă privim totul de sus în jos, adică din perspectiva logicii modale, universul ar fi constituit din clasa tuturor stărilor (privite ca mulțimi de formule atomice, negate sau nu, cu condiția...), iar relația dintre stări pentru o structură va fi practic dedusă din relaţia temporală sugerată de o cale/secvență (vezi mai jos) În acest mod, o secvență, va fi ea însăși privită ca o structură/cale (Kripke temporală/liniară)

78 RECAPITULARE LMT 21/1 (EXEMPLU; REZOLVĂRI) Să arătăm că F 2 = (p q) este adevărată în w 3 (= s 3 ) Acest lucru (mai corect, w 3 ( (p q))), revine (intuitiv!) la w 4 (p q); astfel, atât p, cât și q, trebuie să fie adevărate în starea w 4, imediat succesoare (în timp) stării w 3 ; cum w 4 este de fapt s 0 ( etichetată cu {p, q}), pentru ca F 2 să fie adevărată în starea (momentul) menționată, trebuie ca p {p, q} și q {p, q} (ceea ce este evident)

79 RECAPITULARE LMT - 22 Pentru definiţiile formale, vom porni cu alfabetul logic L = A U Ā U P U C 1 U C 2, unde A = {p 1, p 2, } este mulţimea (nevidă, cel mult numărabilă) a variabilelor/formulelor atomice propoziţionale (sau a literalilor pozitivi), Ā = { p 1, p 2, } este mulţimea negaţiilor variabilelor propoziţionale (adică a literalilor negativi), P = {(, )} este mulţimea parantezelor, C 1 = { - mai altfel,, } este mulţimea conectorilor booleeni iar C 2 = {, U, Ũ} este mulţimea operatorilor temporali

80 RECAPITULARE LMT - 23 Pentru că nu am introdus aici şi cuantificatorii, LTL este mai degrabă (dacă privim de jos în sus ) o extensie a LP decât a LP1 (iar comentarii legate de extensii, fragmente, ierarhii ale logicilor, privite ca mulțimi de fomule; putere de exprimare...) De aceea această mulţime se mai numeşte şi logică temporală propoziţională (Propositional Temporal Logic - PTL) Faptul că LTL este şi cu timp liniar va fi justificat prin semantică (mai exact, prin modalitatea de definire a unei structuri, adică de obţinere a valorii de adevăr pentru o formulă) Logicile temporale studiate în continuare (LTL, CTL*, CTL...), exprimă simplu realitatea noastră identificată până acum, adică clase întregi de proprietăți dorite ale sistemelor (MA) reale, cum ar fi cele de siguranță (safety), permanență/vivacitate (liveness), corectitudine (fairness), etc. (revenim...)

81 RECAPITULARE LMT - 24 Definiţie (sintaxa LTL). Baza (formule atomice). (i) true, false sunt formule atomice şi elemente ale LTL. (ii) Pentru fiecare p A, atât p, cât şi p ( Ā) sunt formule atomice şi elemente ale LTL (prezente însă nu simultan într-o aceeaşi stare; vezi semantica). Pas constructiv (formule noi din formule vechi). (a) Dacă F 1, F 2 LTL, atunci (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ) LTL. (b) Dacă F LTL, atunci ( F) LTL. (c) Dacă F 1, F 2 LTL, atunci (F 1 U F 2 ), (F 1 Ũ F 2 ) LTL. (d) Dacă F LTL, atunci (F) LTL. (e) Nimic altceva nu mai este în LTL. Putem renunța (se va vedea mai clar puțin mai târziu) la folosirea explicită a operatorilor, Ũ, true, false Varianta BNF (voi...)

82 RECAPITULARE LMT - 25 Observaţie. Faţă de cazul clasic, modal am introdus (și) negaţiile variabilelor propoziţionale în mulţimea formulelor atomice, negaţia nemaifiind prezentată explicit ca un conector pentru obținerea formulelor compuse. Acest dezavantaj poate fi eliminat, la fel ca şi absenţa posibilă a altor operatori importanți (cum ar fi,,, true, false, Ũ,...), prin folosirea unor echivalențe ( evidente /naturale, pe care le admitem deocamdată fără demonstrație) și introducerea globală a lui Vom reveni după definirea semanticii formale Nicio modificare de asemenea natură (posibil a fi adoptată chiar prin definiție/convenție) nu schimbă însă esenţial rezultatele principale deja cunoscute/bănuite