Inductances of coaxial helical conductors

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1 Compute Appctos Eectc Egeeg Iuctces of co ec couctos stof Buk, Wojcec Mccńsk Poń Uvest of Tecoog Poń, u. Potowo 3, e-m: Wojcec Twstg of couctos s commo use vous fes of eectc stumets mesuemet sstems oe to euce te eectomgetc tefeece EMI. owege of uctces fo ec couctos s eee fo fumet eectomgetc ccutos, e.g. eectomgetc comptbt stues. I te ppe, ccuto meto bse o te Neum s fomu s ppe fo te uctce ccuto of co ec couctos of fte egt. Te eemp ccutos e so pesete.. Itoucto Hec couctos o cos ve bee commo use vous eectc stumets mesuemet sstems, e.g. twste bf es, twste couctos, cug supecouctg compostes mutst cbes, Fg Fg.. Twste-we p ow-votge powe cbe Gee, te effect of twstg c be ute we te mgetc fe s pobem. Twstg of couctos ps s we kow meto use teepoe commuctos oe to euce te eectomgetc tefeece EMI mme stk mog es bue cbes. Ae pctce s twstg of sute g-votge tee pse powe cbes sge-pse stbuto cbes s we. Iuctce ccutos fo ec couctos e eee fo fumet eectomgetc ccutos. Te uctce ccuto of ec couctos s bee stue tc umec, usg te teg epesso fo te vecto potet of fte og ec coucto -3. I te fu tc epesso fo te mutu uctce of og co ec t couctos ve bee stue usg Neum s fomu fo te woe ge fom to of te ptc egt. I to, ppomte epesso fo te sefuctce fo og ec ou coucto s bee eve usg te summto of ete te uctces. Few ppes tke up te pobem of fte egt ec couctos. Te wok 7 es wt umec etemto

2 of sef mutu uctces of oube-e cos. Pmetc escpto of ppopte e teg s bee use to eteme te uctce b evutg te vecto potet teg og te ege of te twste couctos. A ttempt to evute te mutu uctce s fe oweve ue to computto pobems coecte wt mutpe umec tegto. I 8, 9 te ccuto uctces of fte egt twste couctos s bee tcke. I te ppe te mutu uctce fomu of og co ec couctos s pesete te ccuto of te mutu uctce of fte egt bot gte eft-e co ec t couctos, Fg., s stue usg te Neum s fomu. A moe gee cse of two co ec couctos wt ffeet egts, ffeet wg, ffeet ptc stces s cocee. Fom te epesso eve, te ete uctce of ec ou coucto wt fte egt s ccute s ppomte te me of te mutu uctces of te fmet t te e o oute ege of te coucto te cet fmet. I to, ppomte epesso fo te sef-uctce fo fte egt ec ou coucto s obte usg te summto of te ete te uctces. Futemoe te uctve coupg betwee twste wes cbes wt goue coucto s cosee te votge uce b pse cuets te potectve et PE coucto s ccute. Fg.. Left-e gt-e e. Mutu uctce of co ec couctos Cose two ec couctos octe co te Ctes co-ote sstem,,, Fg.3. Te mutu uctce betwee te ec cuet es c be compute usg te oube teg Neum s fomu : c c M c c 359

3 c I c I c c φ φ φ 36 Fg. 3. Two co ec cuet es Hee, s sow Fg. 3, c c e te cotous of te fmet stuctues, espectve, c c e ftesm sm tegto eemets, s te stce betwee e eemets c c ; te smbo µ eotes te mgetc pemebt of te vcuum π 7 H/m... Ifte og co ec couctos A tc epesso fo te mutu uctce of fte og co ec t couctos ve bee stue usg Neum s fomu fo te woe ge fom to of te ptc egt 6. Te ppomte fomu fo te mutu uctce of gt-e Ω = / eft-e Ω = -/ t ec couctos s bee eve usg wt Neum s fomu. Wt te coto >> > te tegto c be pefome fte some mtemtc tetmet tc 5 te esut s obte te fom of fte sees. Ts tc epesso fo te mutu uctce ccog to 6 tkes te fom:

4 M I I I v ue te coto tt = = = = >> ; I e te mofe Besse fuctos of te oe, Ω = /... Fte egt co ec couctos Te moe gee cse coceg two co gt-e ec couctos wt ffeet egts, ffeet wg, ffeet ptc stces, s Fg.3, c be tcke usg umec tegto of. Te ccuto meto w be epe te foowg. Deotg te wg us of te -t I =, e b, te ptc stce of te e b te φ co-ote of te pot wee te e tesects te pe = b φ, te pmetc equtos of te -t ec e wt espect to te pmete φ φ φ / +φ wt φ e: X Y Z,, I oe to pp te fomu, we ve to f sutbe epessos s c φ. B ookg t Fg.3, tkg to ccout te eq.3: c s,, wee,, e ectgu ut vectos. Te sc pouct we we e gve te Ctes compoets of te two vectos tkes te fom: wee c c c c c c c c

5 36,, s c c c 6 Remembeg tt Z Z Y Y X X 7 t foows fom 3 tt: s s 8 F, te mutu uctce betwee two co ec couctos wt ffeet fte egts, ffeet ptc stces ffeet wg, tkes te fom: M 9 Te teg fomu 9 s to be sove umec. Cose et te cse of two co eft-e ec couctos wt ffeet egts, ffeet wg, ffeet ptc stces. Deotg te wg us of te -t =, e b, te ptc stce of te e b te φ co-ote of te pot wee te e tesects te pe = b φ, te pmetc equtos of te -t ec e wt espect to te pmete φ φ φ / +φ wt φ e:,, s Z Y X I oe to pp te fomu, we ve tkg to ccout te eq.:,, s c wee,, e ectgu ut vectos. Te sc pouct we we e gve te Ctes compoets of te two vectos tkes te fom:

6 363 c c c c c c c c wee,, s c c c 3 Remembeg tt Z Z Y Y X X t foows fom tt: s s 5 F te mutu uctce betwee two eft- e co ec couctos wt ffeet fte egts, ffeet ptc stces ffeet wg, tkes te fom: M 6 Note tt te teg fomu 6 s etc s te fomu 9. Cose et te sstem of gt-e eft-e co ec couctos wt ffeet egts, ffeet wg, ffeet ptc stces, s sow Fg.. Deotg te wg e of b, te ptc stces b, te φ co-ote of te pot wee te e tesects te pe = b φ φ, of te gt-e eft-e ec es espectve, te pmetc equtos of te ec es c be epesse s foows: s Z Y X 7 fo te gt-e,

7 s Z fo te eft-e ec coucto. X Y 8 c I c I c c φ φ φ Fg.. Two co ec cuet es c gt-e c eft-e Te sc pouct te fomu s gve b: c c 9 te stce betwee e eemets c c : s s Tus, te mutu uctce betwee te gt-e eft- e co ec couctos wt ffeet fte egts, ffeet ptc stces ffeet wg, s fom, 9 : 36

8 M 3. Sef-uctce of ec coucto Cose et te ccuto of te sef-uctce of sge ec ou coucto, Fg.5. Oe smpe ppomte meto s to ccute te sef-uctces s te sum of te ete te uctces: L L e L φ φ 3.. Ifte og ec coucto Fg. 5. Fte egt ec ou coucto Te Neum s eto cot be use to eteme te ete uctce uess te fte us of te ec we s tke to ccout. Let us ssume tt te us of te ec ou coucto s. If te ete uctce L e s ppomte b te me of two eteme mutu uctces of te e ec fmet octe t -, φ, = te cet ec fmet of te coucto pssg toug, φ, =, te oute ec fmet pssg toug +, φ, = te cet ec fmet s tke, te ete uctce of og, t gt-e o eft-e ec coucto c be estmte, usg s foows, 6: 365

9 366 8 e I I I I I I L 3 Te te uctce L ccute fom te mgetc eeg wt te ec ou coucto wt egt, wg us coucto us ccog to c be obte ppomte usg te fomu: 8 L wee te s-secto spe pepecu to te cet s of te ec coucto s ws ssume s ccu wt te us. 3.. Fte egt ec coucto I te gee cse of te ec coucto wt fte egt, te ete uctce c be ccute s ppomte te me of te mutu uctces of te fmet t te e o oute ege of te coucto wt te us te cet fmet usg te epesso 9. I ts cse te equtos 6 tke te fom: s s c c c c c c 5 te stces betwee e eemets c c c be epesse s:

10 367 s s s s 6 Tus, tkg to ccout te eto 9: e L 7 e L 8 te ete uctce of te ec coucto c be obte s foows: / e e e L L L 9 Te sef-uctce of te gt-e o eft-e ec couctos c be et ccute ccog to fomus,, 7, 8 9. It sou be pote out tt cse, te ec e cuet egeetes to couctg ccu oop couctg we wt te us bet to ccu oop of me us, pce smmetc te pe wt te cete octe t te og, cue te cuet I. Evuto of te e.g. teg 7 sows tt fte some gebc mputos te ete uctce of te ccu oop c be wtte te fom: E k k k L e 3 wee k 3 / s k k 3

11 s te compete eptc teg of te fst k, / E E k k s s te compete eptc teg of te seco k. 33. Votge uce PE coucto b pse cuets twste coucto cbe wt fte egt Mut-coe ow votge powe cbes cosst of te pse couctos of eut coucto /o potectve et PE coucto. Te vu sute couctos e twste togete ec coucto c be epesete b ec e. I twste powe cbes wt PE couctos commo moe votge s uce b cuets te pse couctos. Ts s v eve te cse of bce cuets ue to te fct tt te PE coucto s cet geometc smmet wt espect to te pse couctos. Te votge uce te PE coucto c be ccute fom te eto: U j M I M I M I PE L PE L PE L3 PE wee I s pso cuet te -t pse, M L-PE epeset mutu uctce betwee pse coucto te PE coucto. Te votge uce to te PE-oop ccog to s bout. μv/a/m/h, wt ws so vefe b epemet vestgtos. Ts vue, te cse of bce tee pse sstem, c be obte fom te smpfe etosp fo uce votge U PE s foows: U f I PE M NET 35 wee M NET s te et mutu uctce eve fom te supeposto of te vu mutu uctces betwee pse coucto te PE coucto M L-PE. It sou be oweve pote out, tt te bove efto s ot pecse: te et mutu uctce M NET sou be ccute te cse of bce cuets s te mouus of te sum of compe umbes fom te etosp: M NET M L M ep j / 3 M ep j /3 PE L PE L3 PE 36 Te vue of te votge uce. μv/a/m/h gves fo te fequec f = 5 H te et mutu uctce M NET = 7 H pe A pe mete egt U PE = μv. 5. Moe vto ccuto empes 5. Mutu uctce betwee two co soeos Mutu uctce pe ut egt betwee two co soeos of te sme ptc egts wt wg of mm te mut gu ffeece of

12 π/6 s bee ccute. It foows fom te ccutos tt te mutu uctce betwee te soeos s bout μh/m f te ptc egt s mm. Te ccutos ccog to te fomu 9 ve bee cue out fo te foowg pmetes: = mm, = mm, = = mm, = = 5 cm, φ =, φ = 3, gvg: M = 5. μh. Sce te mutu uctce s. μh/m. Te geemet betwee te esuts s eceet. 5.. Sef-uctce of ec coucto Sef-uctce pe ut egt of sge ec coucto wt te us,5 mm, Ω = 3. mm - wg mete.8 mm s bee ccute. It foows fom te ccutos tt te sef-uctce of te coucto s bout.75 μh/m. Te sef-uctce of te ec coucto s bee ccute ccog to fomus,, 7, 8 9. Te ccutos of te ete uctce ve bee cue out fo te foowg pmetes: =.75 mm, =. mm, = = mm, = = m, φ =, φ = π, =. mm, =.665 mm, = = mm, = = m, φ =, φ = π ccog to te fomus 7 8 espectve, gvg: L e =.6 μh L e =.79 μh. Sce te ete uctce s fom 9 L e =.75 μh. Te te uctce of te coucto, ccog to, s L =.83 μh. Tus te sef-uctce of te coucto s L =.79 μh. Te geemet betwee te esuts s eceet Iuctve coupg betwee wes cbes wt goue coucto Te ccutos of te mutu uctces M L-PE ccog to te fomu 9 eve te ppe ve bee cue out fo m og twste cbe 5 mm. m ptc egt, fome b fou wes octe 9 spt egees fom ec ote s. Te mutu uctces ve bee ccute umec ccog to te fomu 9 fo foowg pmetes: = = 3 = = =.565 cm. cm, = = 3 = = = cm, = = 3 = = cm, φ =, φ = 9, φ 3 = 8, φ = 7, te votges fo I = I = I 3 = I = A. Te esuts of ccutos e sow te Tbe. It foows fom te ccutos tt te votge uce to te PE-oop t f =5 H te et mutu uctce e goo geemet wt te esuts obte. It s be oweve metoe, tt te smpfe ppoc - eto 35 s v te cse of bce cuets o. I ote cses te use of te eto 35 c e to mpope esuts. Eemp, te cse of sgt smmet of pse cuets: I =.3 A, I =.97 A, I 3 =. A, te uce votge te PE coucto obte fom te eto 3 t f = 5 H, wt te mutu uctces pevous ccute, s U PE = 33.6 μv = 5.65 mm U PE = 3 μv = mm. Te esuts e sgfct w fom te vue μv. 369

13 Tbe. Mutu uctces betwee pse couctos te PE coucto te uce votge te PE coucto b bce pse ut cuets He us Resuts ccog to 9, 36 3 Resuts ccog to = 5.65 mm M L-PE =97 H M L-PE =836 H M L3-PE =866 H M NET = 6.7 H/A/m U PE = 9. μv/a/m f =5 H = mm M L-PE =776 H M L-PE =73 H M L3-PE =73 H M NET = 63.5 H/A/m U PE = 9.9 μv/a/m f =5 H M NET = 7 H/A/m U PE = μv/a/m f =5 H 5.. Mutu uctce betwee co gt- eft-e soeos Te use of te fomus obte te ppe ows oe to ccute te mutu uctces moe compe sstem of co ec couctos. Eemp cose te sstem of gt-e eft-e co ec soeos wt ffeet egts, ffeet wg, ffeet ptc stces. Te ccutos of te mutu uctce ve bee cue out fo te foowg pmetes: = mm, = mm, = cm, φ = gt-e e = mm, = mm, = 5 cm, φ = π/6 eft-e e, ccog to te fomu, gvg: M = 9.7 μh. It sou be metoe tt te ppomte tc umec metos - 7 e ot be to tcke suc pobems. 6. FINAL REMARS Metos of te etemto of te uctces bot fo fte og fte egt twste bf e e pesete. Te fomus bse o te Neum s eto fo ccutg te mutu uctce fo fte egt gt eft-e eces wt ffeet egts, ffeet wg, ffeet ptc stces e eve. Vefcto of te meto pesete es compso of ccuto esuts wt ccuto esuts vbe te tetue. Te fomus eve ow ccutos of te mutu uctce of two-we e, s we s te ete uctce of sge ec coucto wt fte us, c be use b softwe too we te mgetc fe s pobem, e.g. eectomgetc comptbt stues we te uctve coupg betwee twste wes cbes wt goue coucto s cosee te votge uce b pse cuets te potectve et PE coucto s to be ccute. 37

14 Refeeces Tomk T., Iuctce ccuto fo ec couctos, Supecoucto Scece Tecoog, 8 5, pp.. Tomk T, Vecto potet fo sge ec cuet coucto, Nuce Istumets Metos Pscs Resec, A 53, pp Tomk T., Cb Y., Low fequec uctce fo twste bf e, Jou of Pscs, D: App. Ps. 37, pp Tomk T., Sef- mutu uctces of og co ec couctos, Supecoucto Scece Tecoog, 8, pp.. 5 Tomk T., Vecto potet fo sge ec cuet coucto, Nuce Istumets Metos Pscs Resec, A 53, pp Tomk T., Cuet fe stbutos of supecouctg powe tsmsso cbe compose of ec tpe couctos, Supecoucto Scece Tecoog, 9, pp.. 7 Fek J., o M., Detemto of sef mutu uctces of oube-e co, Jou of Eectc Egeeg, vo. 6, o. 5, 9, pp Buk., Mccńsk W., Ccuto of uctces fo twste bf e, XXXV Iteto Cofeece o Fumets of Eectoteccs Ccut Teo, IC-SPETO, Gwce-Ustoń, , pp Buk., Mccńsk W., Mutu uctce of fte egt twste-we p, Po Uvest of Tecoog Acemc Jous. Eectc Egeeg, ssue 69, Po, pp Jeke B. W., Iuctve coupg betwee wes cbes wt goue coucto, Pogess Eectomgetcs Resec Smposum PIERS, Moscow, Russ, August 8-, 9, PIERS Poceegs, pp Gffts D. J., Itoucto to Eectomcs, Petce H, Egewoo Cffs, N.J., 989. Abmowt M., Stegu I. A., Hbook of Mtemtc Fuctos, New Yok: Deve,