Inegalități Variaționale Vectoriale. Rezultate Teoretice și Aplicații REZUMAT

Transcription

1 Universitatea din București Facultatea de Matematică și Informatică Școala Doctorală de Matematică Diana-Elena Vasilescu (Stanciu) TEZĂ DE DOCTORAT Inegalități Variaționale Vectoriale. Rezultate Teoretice și Aplicații REZUMAT Conducător Științific, Prof. Dr. Vasile Preda București Septembrie 2011

2 Cuprins 1. Introducere Motivarea studiului Principalele direcții de cercetare Structura tezei și principalele rezultate 6 2. Aplicații ale analizei spațiului imagine la inegalități variaționale vectoriale Introducere Condiții suficiente de optimalitate Funcții G-semidiferențiabile Condiții necesare de optimalitate Scalarizarea unor clase de inegalități variaționale vectoriale Aplicații la probleme de optimizare vectorială Inegalități vectoriale cu funcții (G,H)-subinvexe Introducere Funcții (G,H)-subinvexe Inegalități vectoriale de tip variational O teoremă de existență a G-soluțiilor slab eficiente în sens generalizat Cazuri particulare Condiții necesare de optimalitate pentru (G,H)-invexitate Semicontinuitatea soluțiilor unei probleme de echilibru Introducere Preliminarii Exemple Continuitatea mulțimii soluțiilor problemei (()) Continuitatea mulțimii soluțiilor aproximative ale problemei (()) Aplicații la probleme de optimizare Cazuri particulare ale problemei (()) Cazul unei probleme de optimizare speciale.16 2

3 4.9 Semicontinuitatea superioara a soluțiilor unei inegalități variaționale vectoriale slabe Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru invexe Introducere Definiții și rezultate preliminare Condiții suficiente pentru -preinvexitate (,, )-preinvexitate O problemă de echilibru duală Algoritmi de rezolvare. Convergența Concluzii 21 Bibliografie 21 3

4 Capitolul 1:Introducere 1.1 Motivarea studiului Inegalitățile variaționale au fost introduse în lucrările lui Stampacchia [80] și Fichera [31] la începutul anilor 60, primul dintre ei fiind motivat de teoria potențialului, iar cel de-al doilea de mecanică. De atunci, datorită largii lor aplicabilități în domenii ca optimizare și control, inginerie, fizică, economie, finanțe, transport și echilibru, teoria inegalităților variaționale a avut o dezvoltare rapidă și a fost obiectul de studiu al multor cercetători. Sub anumite ipoteze, Lee, Kim, Lee, Yen [53], Komlosi [48] și alții au arătat echivalența dintre inegalitățile variaționale de tip Minty și Stampacchia și problemele de optimizare. Astfel, inegalitățile variaționale și generalizările lor au fost utilizate în rezolvarea unor probleme de optimizare matematică. În multe studii a fost făcută presupunerea de convexitate cu privire la problemele de optimizare pentru a demonstra suficiența condițiilor de optimalitate. Recent au fost făcute progrese considerabile pentru a slăbi această ipoteză de convexitate. Prin urmare, au fost propuse câteva noi concepte care generalizează noțiunea de funcție convexă, cum ar fi cele de invexitate, subinvexitate, G-invexitate, G-subinvexitate, V-invexitate, (, )-invexitate. Pentru rezolvarea inegalităților variaționale au fost propuse mai multe metode, cum ar fi tehnica proiecției și variantele sale, ecuațiile Wiener-Hopf, principiul auxiliar, tehnica ecuațiilor rezolutive și proximale. Se știe că tehnica proiecției, ecuațiile Wiener-Hopf și tehnica ecuațiilor rezolutive și proximale nu pot fi extinse și generalizate pentru a dezvolta metode similare de rezolvare a inegalităților aproape variaționale datorită prezenței funcției (, ). Pentru rezolvarea acestor tipuri de inegalități variaționale, ca și pentru rezolvarea problemelor invexe de echilibru, se utilizează tehnica principiului auxiliar introdusă de Glowinski, Lions și Tremolieres [37]. 1.2 Principalele direcții de cercetare a) Generalizări ale inegalităților variaționale 4

5 De-a lungul anilor, inegalitățile variaționale au fost generalizate atât în cazul scalar cât și în cel vectorial, pe spații finit și infinit dimensionale. În 1980 Gianessi [32] a introdus conceptul de inegalitate variațională vectorială pe spații finit dimensionale. Ceva mai târziu, Chen și Cheng [19] definesc această noțiune și pe spații infinit dimensionale. b) Teoreme de existență Prima teoremă de existență a fost demonstrată de Stampacchia pe spații infinit dimensionale [80]. La puțin timp, Lions și Stampacchia [80], Browder [17], Brezis [16] și alții au arătat că ipotezele acestei teoreme pot fi mult slăbite. Totuși, primul rezultat de existență cu adevărat important a fost stabilit de Hartman și Stampacchia pe spații finit dimensionale ( On some nonlinear elliptic differentialfunctional equations, Acta Math. 115, pp , 1966). În demonstrarea rezultatelor de existență pentru inegalitățile variaționale scalare se folosesc, în general, teoreme de tip Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, iar pentru cele vectoriale teoreme de tip Ky Fan. c) Legătura cu probleme de optimizare În ultima perioadă, inegalitățile variaționale și generalizările lor au fost utilizate pentru rezolvarea problemelor de optimizare. De aceea s-a analizat intens echivalența dintre clase de inegalități variaționale și probleme de optimizare. În 1996 Lee, Kim, Lee [52] au redefinit inegalitățile variaționale vectoriale în limbaj de eficiență Pareto și au arătat echivalența dintre anumite clase de inegalități variaționale scalare și optimizarea matematică. Komlosi ( On the Stampacchia and Minty variational inequalities Generalized Convexity and Optimization for Economic and Financial Decisions, Edited by G. Giorgi and F. Rossi, Pitagora Editrice, Bologna, Italy, pp , 1999) a studiat echivalența dintre inegalități variaționale vectoriale de tip Minty, inegalități variaționale vectoriale de tip Stampacchia și probleme vectoriale de optimizare pentru funcții diferențiabile. Lee ( On relations between vector variational inequality and vector optimization problem Progress in Optimization, II: Contributions from Australasia, Edited by X. Q. Yang, A. I. Mees, M. E. Fisher, and L. S. Jennings, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Holland, 2000) a analizat echivalența dintre inegalități variaționale vectoriale de tip Minty și Stampacchia și probleme vectoriale de optimizare pentru funcții convexe nediferențiabile. d) Algoritmi de rezolvare 5

6 De-a lungul anilor, pentru rezolvarea inegalităților variaționale au fost folosite diferite metode, cum ar fi metoda proiecției și variante ale acesteia, ecuațiile Wiener-Hopf, tehnica principiului auxiliar, tehnica ecuațiilor rezolutive și proximale. Pentru rezolvarea anumitor clase de inegalități variaționale care implică funcții neliniare nediferențiabile se folosește tehnica principiului auxiliar introdusă de Glowinski, Lions și Tremolieres [37]. 1.3 Structura tezei și principalele rezultate Această teză aduce contribuții noi și interesante la studiul inegalităților variaționale vectoriale și conține cinci capitole urmate de o bibliografie cuprinzând 99 de titluri. Lucrarea prezintă în mare parte rezultate originale privind unele clase de inegalități variaționale cu aplicatii la probleme de optimizare. De asemenea se studiază proprietăți ale unor clase de soluții și metode de rezolvare pentru probleme de echilibru ce includ și unele inegalități variaționale. Capitolul 1, Introducere, prezintă un scurt istoric al domeniului, din mai multe puncte de vedere: al existenței soluției, al legăturii cu optimizarea matematică și al metodelor de rezolvare. În Capitolul 2, Aplicații ale analizei spațiului imagine la inegalități variaționale vectoriale, s-au obținut, utilizând analiza spațiului imagine, condiții necesare și/sau suficiente de optimalitate pentru o inegalitate variațională vectorială de tip Stampacchia având restricții inferior G-semidiferențiabile definită pe produs de mulțimi. Astfel s-au extins lucrările lui Giannessi, Mastroeni, Pellegrini [35] și Mastroeni, Pellegrini [61]. În Capitolul 3, Inegalități vectoriale cu funcții (G,H)-subinvexe, introducem o nouă clasă de funcții, clasa funcțiilor (G,H)-subinvexe, ca extensie a funcțiilor subinvexe și se deduc proprietăți ale acestor tipuri noi de funcții. În continuare am dat condiții pentru echivalența dintre unele inegalități variaționale vectoriale de tip Minty și Stampacchia și o problemă de optimizare vectorială în ipoteze de (G,H)-subinvexitate. De asemenea, pentru problema de optimizare vectorială neconvexă și nediferențiabilă considerată s-a obținut o teoremă de existență a soluțiilor slab eficiente în sens generalizat utilizând o teoremă de punct fix. Astfel am extins lucrarea lui Ansari și Yao [3] de la cazul problemelor vectoriale subinvexe la cel al problemelor vectoriale (G,H)-subinvexe. În ultimul 6

7 paragraf se dau condiții necesare de optimalitate de tip Fritz John și Karush-Kuhn- Tucker pentru o problemă de optimizare scalară. În Capitolul 4, Semicontinuitatea soluțiilor unei probleme de echilibru, s- a analizat stabilitatea mulțimii soluțiilor unei probleme de echilibru perturbată de un parametru, din punct de vedere al semicontinuității superioare și inferioare. Astfel s-a extins lucrarea lui Lalitha și Bhatia [50] de la cazul inegalităților quasivariaționale parametrice de tip Minty la cazul problemelor parametrice de echilibru, obținându-se noi rezultate. În ultimul paragraf s-a obținut un rezultat nou privind superior semicontinuitatea soluțiilor unei inegalități variaționale vectoriale slabe perturbate cu valori multiple. În prima parte a Capitolului 5, Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru invexe, am dat câteva noi condiții suficiente mai generale pentru preinvexitatea unei funcții local Lipschitziene, slăbind astfel ipotezele date de Lun și Tung [57]. De asemenea, s-a introdus o nouă clasă de funcții B-preinvexe, anume clasa funcțiilor (,, )-preinvexe și s-au dat câteva proprietăți interesante ale acestor tipuri de funcții, după care am obținut noi algoritmi de rezolvare a unor probleme de echilibru invexe utilizând tehnica principiului auxiliar. Capitolul 2:Aplicații ale analizei spațiului imagine la inegalități variaționale vectoriale În Paragraful 2.1 am considerat următoarea inegalitate variațională vectorială de tip Stampacchia având restricții inferior G-semidiferențiabile definită pe un produs de mulțimi: Să se determine un punct astfel încât () \ 0,, (2.1) unde R este un con convex ascuțit cu interiorul nevid, = 7, R, : R pentru toți =1,, iar : = :() 0, h() este mulțimea punctelor admisibile, cu : R R, h: R R si, R, constante. Pentru =1 și = :() 0 se obține problema studiată în [35] și [61]. Considerăm două submulțimi convenabile ale spațiului imagine asociat problemei (2.1) după cum urmează:

8 H (,,, ) R R R R : \ 0, 0, 0, 0, () (,,, ) R R R R : = (), =(), =h(), = h(),. Un punct este o soluție a problemei (2.1) dacă și numai dacă H () =. Urmând ideile din [35] în care s-au obținut funcții de separare pentru submulțimi ale spațiului imagine ale unor probleme de optimizare, în Paragraful 2.2 s-a construit o funcție de separare vectorială și apoi una scalară ale căror mulțimi de nivel conțin pe H, respectiv (). Astfel am obținut două condiții suficiente de optimalitate noi pentru (2.1). Teorema 2.1. Fie. Dacă există \, și, astfel încât pentru orice avem () +() + ( )h() \, atunci este o soluție a lui (2.1), unde =\0, =R, =R. Teorema 2.2. Fie. Dacă există, și, astfel încât pentru orice avem, () +, () +,h(),,, atunci este o soluție a lui (2.1), unde =R, =R. În Paragraful 2.3 am reamintit conceptul de G-semidiferențiabilitate introdus de Giannessi în [34], precum și principalele rezultate ce au fost utilizate în prezenta teză. Utilizând teoreme de separare pentru mulțimi convexe, în Paragraful 2.4 s- au obținut condiții necesare de optimalitate prin separarea lui H de o aproximare convexă a lui (), extinzând astfel Teorema 3.1 și Teorema 3.2 din [61] de la cazul problemelor de optimizare la cazul inegalităților variaționale vectoriale de tip Stampacchia definite pe produs de mulțimi. Pentru aceasta s-a presupus că pentru orice =1,, funcția este inferior G-semidiferențiabilă în și că h() =, unde, (R), iar R. Teorema 2.5. Presupunem că ( ). Dacă este o soluție a lui (2.1), atunci există un vector (,,, ) R R R, cu (,,, ) 0, astfel încât pentru orice să avem: (i) () + (; ) 8

9 + ( ) ( ) 0; (ii) () + h () h () =. Impunând ipoteze suplimentare, condițiile (i) și (ii) din concluzia teoremei anterioare sunt și suficiente pentru optimalitatea lui. Am obținut astfel următoarea teoremă de existență a soluțiilor problemei (2.1) : Teorema 2.6. Presupunem că ( ), este ascuțit și este astfel încât există un vector (,,, ) R R R, cu (,,, ) 0, astfel încât pentru orice să se verifice (i) și (ii) din concluzia Teoremei 2.5. Atunci (i) (ii) dacă rezultă că H () = ; dacă este con deschis și 0 rezultă că H () =. Rezultatul următor dă o condiție necesară de optimalitate de tip Karush- Khun-Tucker. Teorema 2.7. Fie ( ). Presupunem că orice combinație cu 0 este inferior G-semidiferențiabilă în. Dacă este o soluție a lui (2.1), atunci există un vector (,,, ) R R R R, cu (,,, ) 0, astfel încât (,,,, ) este o soluție a următorului sistem: 0 () () + () + h () h () =, 0, 0, 0,() 0, h(),. În Paragraful 2.5 s-a scalarizat problema (2.1), adică s-a determinat o inegalitate variațională scalară și o problemă scalară de optimizare echivalente cu (2.1). Propoziția Fie fixat. Atunci este o soluție a lui (2.1) dacă și numai dacă următorul sistem (în nedeterminata ) este incompatibil:, () >0, (), = 1,, () 0, h(),. Propoziția este o soluție a lui (2.1) dacă și numai dacă este punct de minim global al următoarei probleme de optimizare: 9

10 min (; ) astfel încât (), unde () (), () = R : () (), iar : R R R este dată de (; ), (), cu fixat. În ultimul paragraf al acestui capitol s-a aplicat o parte a rezultatelor obținute aici unei probleme de optimizare exprimată sub forma unei inegalități variaționale. Câteva rezultate din acest capitol sunt cuprinse în [87, 88, 89, 93]. Capitolul 3:Inegalități vectoriale cu funcții (G,H)- subinvexe În Paragraful 3.1 se consideră următoarea problemă de optimizare neconvexă și nediferențiabilă: (), (3.1) unde R este mulțime nevidă, =(,, ):R R, iar, este o familie de conuri convexe din R cu vârfurile în origine și, R, R, pentru orice. Pentru = se obține problema considerată în Ansari și Yao [3]. Am introdus conceptul de G-soluție slab eficientă în sens generalizat, unde : R R este o funcție reală. Astfel, spunem că este o G- soluție slab eficientă în sens generalizat pentru (3.1) dacă () (),, () () 0,. În [5] Antczak a introdus clasa funcțiilor G-invexe ca extensie a unor clase considerate de Hanson [39], dar acest concept nu este o extensie a teoriei invexității deoarece problema de optimizare considerată este una unde funcțiile implicate sunt funcții compuse. Pornind de la această idee, în Paragraful 3.2 am introdus o versiune modificată a G-invexității, numită (G,H)-invexitate, care este o extensie naturală a invexității. Definiția 3.3. Spunem că : R R este (G,H)-invexă în în raport cu o aplicație : R R R, unde :R R și : R R, dacă () () () (),(, ), R. 10

11 Spunem că : R R este (G,H)-invexă pe R în raport cu o aplicație : R R R dacă este (G,H)-invexă în orice punct în raport cu. Având in vedere că () nu este singurul element din R care satisface inegalitatea anterioară cu dat, am construit clasa de funcții (G,H)-subinvexe, unde, :() R, iar : R R. Definiția 3.4. Spunem că : R R este (G,H)-subinvexă în în raport cu o aplicație : R R R dacă există R astfel ca () () (), (, ), R. Spunem că : R R este (G,H)-subinvexă pe în raport cu o aplicație : R R R dacă este (G,H)-subinvexă în orice punct în raport cu. Dacă este funcția identică pe R (adică () =, R) și () =1, R, atunci (G,H)-subinvexitatea se reduce la subinvexitate. Mulțimea vectorilor pentru care se verifică inegalitatea din definiția anterioară am numit-o (,, )-subdiferențiala lui în. Fie,, :R R. În Paragraful 3.3 am considerat noi clase de inegalități variaționale vectoriale, prima dintre acestea fiind de tip Minty, iar celelalte două de tip Stampacchia: (M 1 ) Să se determine astfel încât pentru orice (),(, ),, (),(, ) 0 pentru orice,, (), =1,, (S 1 ) Să se determine astfel încât pentru orice să existe,, (), =1,, cu și (),(, ),, (),(, ) 0 (S 2 ) Să se determine astfel încât există,, (), =1,, cu (),(, ),, (),(, ) 0,. Legat de problemele enunțate anterior, am dat condiții care să asigure echivalența între acestea și s-a obținut o teoremă de existență a G-soluțiilor slab eficiente ale problemei de optimizare vectorială (3.1). 11

12 Teorema 3.1. Fie R mulțime nevidă, convexă și : R o aplicație deschisă, continuă în primul argument și liniar afină în al doilea argument cu (, ) +(, ) =0,,. Dacă :R R sunt aplicații (G, )-subinvexe, =1,, și local Lipschitziene în raport cu, atunci un element din este soluție pentru (M 1 ) dacă și numai dacă este soluție pentru (S 1 ). Teorema 3.2. Dacă au loc ipotezele din Teorema 3.1, atunci este G- soluție slab eficientă în sens generalizat pentru (3.1) dacă și numai dacă este soluție pentru (M 1 ). În Paragraful 3.4 am obținut un rezultat de existență a G-soluțiilor slab eficiente ale problemei (3.1) utilizând o teoremă de punct fix [2]. Pentru aceasta s- au demonstrat mai intâi câteva leme preliminare: Lema 3.2. Fie nevidă și convexă din R, iar : R R R aplicație deschisă și continuă în primul argument. Fie funcții (G, )-subinvexe în raport cu, =1,, iar data de () =R \, aplicație multivocă de la la R cu grafic închis. Fie aplicația multivocă de la la dată de () = :(), (, ) 0,,, () pentru, unde () = (),, (),,, () =,, (),, (), iar, pentru =(,, ) R, (), (, ) = (),(, ),, (),(, ). Atunci (),, este o mulțime închisă în. Lema 3.3. Fie ipotezele din Lema 3.2 și, în plus, (, ) +(, ) =0,,, liniar afină în al doilea argument. De asemenea, mai presupunem că există submulțimile nevide și ale lui, convexă și compactă, iar compactă cu proprietatea că pentru orice,, există și,, ( ), =1,, astfel ca ( ),(, ),, ( ),(, ) 0. Dacă problema (M 1 ) nu are soluție, atunci aplicațiile multivoce și de la la 2 date de () = :,, () (), (, ) 0, 12

13 () = :,, () (), (, ) 0 cu, unde () = (),, (), verifică ipotezele din Lema 3.1. Teorema 3.3. Presupunem că se verifică ipotezele Lemei 3.3. Atunci problema (3.1) are o G-soluție slab eficientă în sens generalizat. În Paragraful 3.5 am analizat câteva cazuri particulare ale problemelor (M 1 ), (S 1 ) și (S 2 ). În ultimul paragraf al acestui capitol sunt stabilite noi condiții necesare de optimalitate de tip Fritz-John și Karush-Kuhn-Tucker pentru o problemă de optimizare în care funcțiile implicate sunt diferențiabile. Considerăm urmatoarea problemă de optimizare matematică neliniară min (), (P) () 0,, unde : R, : R, sunt diferențiabile, =1, 2, și este o submulțime nevidă deschisă a lui R. Problema (, )-Fritz John: Să se determine,, R R (dacă există) astfel incat (G,H FJP) () () + () () () () 0,, 0, 0,,,,, 0 =0, unde și sunt funcții cu valori reale definite pe (), respectiv ( ), iar, sunt funcții cu valori reale definite pe ( ). Teorema 3.4. Fie o soluție optimală pentru problema () astfel încât () 0, iar,, sunt funcții crescătoare. Atunci există R și R astfel încât punctul,, este optimal în problema (G,H FJP). Problema (, )-Karush-Kuhn-Tucker: Să se determine, R (dacă există) astfel încât (G,H-KKTP) () () + () () =0 () () 0,, 0,, 13

14 unde, și sunt funcții cu valori reale definite pe (), ( ), respectiv ( ). Definiția 3.7. Spunem că problema (P) satisface restricția de tipul (,) în dacă, () sunt, -invexe în raport cu aceeași funcție în și, mai mult, există astfel încât () < (), (). Teorema 3.5. Fie o soluție optimală a problemei (). Mai mult, presupunem că este satisfăcută restricția de tipul (,) în, astfel încât () 0,,, sunt funcții crescătoare și (), () au același semn. Atunci există R astfel încât, este soluție optimală pentru problema (,) Karush-Kuhn-Tucker. O parte a rezultatelor obținute în acest capitol extind lucrarea lui Ansari și Yao [3] de la cazul problemelor vectoriale subinvexe la cel al problemelor vectoriale (G,H)-subinvexe. Capitolul 4:Semicontinuitatea soluțiilor unei probleme de echilibru Primele două paragrafe ale acestui capitol sunt introductive și prezintă câteva elemente și rezultate generale privind stabilitatea mulțimii soluțiilor unei probleme parametrice și semicontinuitatea superioară și inferioară în sensul lui Berge. De asemenea am dat cadrul general de lucru, precum și problema parametrică de echilibru studiată in acest capitol: (( )) Să se determine (, ) astfel încât (,, ) 0, (, ), (, ), unde R este nevidă, închisă, =R este nevidă, închisa si convexă, : 2 aplicație cu valori închise, : 2 și : R. În Paragraful 4.3 am dat câteva exemple de probleme de echilibru care ilustrează faptul că anumite condiții din teoremele prezentate aici nu pot fi slăbite. Urmând linia din [50], în Paragrafele 4.4 și 4.5 am dat condiții suficiente de superior și inferior semicontinuitate a mulțimii solutiilor, a mulțimii -solutiilor și 14

15 a mulțimii -solutiilor modificate, obținându-se astfel rezultate noi privind stabilitatea mulțimii soluțiilor problemelor de echilibru. Teorema 4.1. Presupunem că, pentru, sunt satisfăcute următoarele ipoteze: (i) (ii) (iii) (iv) este închisă și B-lsc pe ; este B-lsc pe ; este submulțime compactă a lui ; este continuă în toate argumentele. Atunci este B-usc în, pentru orice 0. Mai mult, ( ) este compactă, iar este închisă în. S-a stabilit că, în ipotezele teoremei anterioare, S este de asemenea B-usc și închisă în λ, iar S (λ ) este compactă pentru orice ε 0. Teorema 4.2. Presupunem că, pentru, sunt satisfăcute următoarele ipoteze: (i) este închisă pe ; (ii) este submulțime compactă a lui ; (iii) (, ), (, ) (, ), dacă există (, ) și (, ) astfel încât (,, ) >0, (4.3) atunci există N, (, ) si (, ) cu proprietatea (,,) >0; (iv) este continuă în toate argumentele. Atunci este B-usc în. Mai mult, ( ) este compactă și este închisă în. Teorema 4.3. Presupunem că, pentru, sunt satisfăcute următoarele ipoteze: (i) (ii) (iii) este B-lsc în, unde () = : (, ); ( ), (, ) (, ), există N, astfel încât (,,) 0, (, ), (, ); este continuă în toate argumentele. Atunci este B-lsc în. 15

16 Teorema 4.4. Presupunem că au loc ipotezele Teoremei 4.1 și că pentru, avem: (i) pentru orice ( ), există (, ) astfel încât pentru orice ( )\ să avem (,,) <0; (ii) este -quasimonotonă pe. Atunci este B-lsc în. Teorema 4.5. Presupunem că au loc ipotezele Teoremei 4.1 și că pentru, avem: (i) pentru orice ( ) există (, ) astfel încât pentru orice ( ), avem (,,) 0; (ii) este -pseudomonotonă pe ; (iii) dacă (,, ) =0 pentru (, ) (, ), atunci =; (iv) (,, ) = (,, ),,,. Atunci este B-lsc în. Teorema 4.9. Presupunem că pentru sunt satisfăcute ipotezele: (i) este B-usc cu valori compacte pe ; (ii) este B-lsc în, unde () = : (, ); (iii) este B-usc cu valori compacte pe ; (iv) este continuă în toate argumentele. Atunci este B-lsc în, pentru orice >0. În Paragraful 4.6 am analizat continuitatea mulțimii soluțiilor unei probleme de optimizare având restricții de tipul problemelor de echilibru. De asemenea, în Paragraful 4.7 am analizat câteva cazuri particulare ale problemei de echilibru (()), reducând-o la cazul unor inegalități quasivariaționale parametrice. În Paragraful 4.8 am aplicat rezultatele anterioare la probleme de optimizare având restricții de tipul unor inegalități variaționale. În ultimul paragraf al acestui capitol am dat condiții suficiente de semicontinuitate superioară a mulțimii soluțiilor unei inegalități variaționale vectoriale slabe perturbate cu valori multiple definite după cum urmează: ( (λ )) Să se determine astfel încât, (, λ ) cu, (, ) 0,, 16

17 unde, și sunt spații Banach, o submulțime nevidă a lui, un con convex închis și ascuțit cu interior nevid, o submulțime nevidă a lui, :, iar : 2 (,) este o aplicație multivocă cu valori nevide. Dacă : (, ) și (, ) =, obținem inegalitatea considerată de Fang și Li [30]. Teorema Fie o submulțime nevidă convexă a lui. Dacă sunt satisfăcute următoarele ipoteze: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (, ) este -hemicontinuă în raport cu și slab -pseudomonotonă în raport cu pe pentru orice ; (, ) este continuă pe pentru orice ; este continuă în al doilea argument; (, ) +(, ) =(, ) pentru orice,, ;, + (, ) = (, ),,, 0,1, atunci ( ) este B-usc pe, unde : 2, iar () reprezintă mulțimea soluțiilor problemei ( ()). Unele rezultate din acest capitol au fost publicate în [81, 90, 91, 92]. Capitolul 5:Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru invexe În Paragraful 5.1 considerăm următoarea problema mixtă quasi invexă de echilibru [71]: Să se determine astfel încât (, ) +(, ) (, ),, (5.1) unde este o submulțime nevidă a unui spațiu real Hilbert, iar : R și : R + sunt aplicații continue. Problema (5.1) este foarte generală în sensul că include, ca și cazuri particulare, probleme de optimizare, inegalități variaționale, probleme minimax, probleme de echilibru Nash în jocuri necooperative și altele. În acest capitol sunt necesare câteva concepte din [79], precum și câteva rezultate de analiză convexă pe care le vom da în Paragraful

18 În Paragraful 5.3 am dat câteva noi condiții suficiente mai generale pentru -preinvexitatea unei funcții local Lipschitziene, slăbind astfel ipotezele date de Lun și Tung [57]. Teorema 5.1. Fie multime invexă în raport cu : în punctul și : R o funcție local Lipschitziană. De asemenea, considerăm funcțiile h: (0, + ), : R și : R. Presupunem că pentru orice, și 0,1 avem: (i) h(, )() () ; (, )+ (, ); (ii) ; (1 )(, ) +(, ) (, ); (iii) (1 ) (, ) + (, ) + (, ) 0, unde =(,, ) =+(, ). Atunci există o funcție reală : 0,1 0,1 cu (,,0) =0 astfel încât să fie -preinvexă în în raport cu și. Dacă în Teorema 5.1 presupunem că ρ =0 și ρ =0, obținem Teorema 4.1 din [57]. Teorema 5.3. Fie mulțime invexă în raport cu : și : R o funcție local Lipschitziană. De asemenea, considerăm funcțiile h: (0, + ), : R, : R și : R. Presupunem că pentru orice, avem: (i) + (, ) () + (, ); (ii),(, ) h(, ),(, ) h(, ) (, ) h(, ), (0,1), + (, ), (); (iii) ; (, ) + (1 )(, ) (, ), 0,1; (iv) (, ) + (1 ) (, ) + (, ) 0, 0,1, unde =(,, ) =+(, ) si (, ) = (, ) (, ) (,). (,) Atunci există o funcție reală : 0,1 0,1 cu (,,0) =0 astfel încât să fie -preinvexă în raport cu și. În Paragraful 5.4 s-a introdus o nouă clasă mai generală de funcții B- preinvexe pe un spațiu Banach, anume clasa funcțiilor (,, )-preinvexe și s-au dat câteva proprietăți interesante ale acestor tipuri de funcții. Fie o funcție reală pe, o funcție reală nenegativă pe, și o funcție reală definită pe 0,1 cu valori în 0,1, cu (,,0) =0, unde este o mulțime invexă în raport cu. 18

19 Definiția 5.7. Spunem că o funcție reală definită pe este (,, )- preinvexă în în raport cu dacă, pentru orice și 0,1, + (, ) 1 (,, )() +(,, )() +(, )(,, )1 (,, )(, ). Spunem că este (,, )-preinvexă pe în raport cu dacă este (,, )- preinvexă în orice în raport cu același. Observăm că pentru 0 o funcție (,, )-preinvexă în raport cu este și -preinvexă în raport cu și. Dacă 0 pe, atunci este slab preinvexă pe în raport cu și și dacă 0 pe, atunci este tare (sau aproximativ) -preinvexă pe în raport cu și. Teorema 5.4. Fie o funcție reală local Lipschitziană definită pe, (,, )-preinvexă în în raport cu. De asemenea, presupunem că pentru orice și (0,1), mulțimea valorilor funcției + (, ), 0,1 este superior semicontinuă. Atunci există () astfel încât, pentru orice, (, )() (),(, ) (, )(, )(, ), unde există și este finită (, ) = (,, ). Teorema 5.5. Fie o funcție reală local Lipschitziană definită pe, (,, )-preinvexă în în raport cu. În plus, presupunem că este regulată în în sensul lui Clarke [21]. Atunci, pentru orice () și, (, )() (), (, ) (, )(, )(, ), unde există și este finită (, ) = (,, ). Teorema 5.6. Fie o funcție reală local Lipschitziană definită pe, (,, )-preinvexă pe. De asemenea, presupunem că pentru orice, și (0,1), mulțimea valorilor funcției + (, ), 0,1 este superior semicontinuă. Atunci există () si () astfel încât,(, ) (, ) +,(, ) (, ) (, )(, ) +(, )(, ) (, )(, ). 19

20 În Paragraful 5.5 am dat o problemă mixtă quasi-invexă de echilibru echivalentă cu (5.1) în ipoteze de pseudomonotonie generalizată și (, )- preinvexitate. Utilizând tehnica principiului auxiliar introdusă de Glowinski, Lions și Tremolieres [37], în Paragraful 5.6 am propus doi algoritmi noi de rezolvare a problemei (5.1), slăbind ipoteza de convexitate tare a funcției impusă de mai mulți autori. Algoritmul 5.1. Pentru dat, se calculează soluția aproximativă a următorului sistem iterativ: (,) + (,) ( ) ( ),(, ) +(, ) (, ) (, ), pentru orice. Teorema 5.7. Presupunem că se verifică ipotezele Propoziției 5.2 și ale Propoziției 5.6. În plus, presupunem că este (, )-pseudomonotonă în raport cu, (, )(, ) = (, )(, ) + (, )(, ) pentru orice,,, și + 0. Atunci soluția aproximativă obținută din Algoritmul 5.1 converge la o soluție a problemei mixte quasi invexe de echilibru (5.1). Algoritmul 5.2. Pentru dat, se calculează soluția aproximativă prin următorul sistem iterativ: (,) + (,) ( ) ( ),(, ) + +(, ) (, ) (, ), pentru orice. Teorema 5.8. Presupunem că se verifică ipotezele Propoziției 5.2 și ale Propoziției 5.7. În plus, presupunem că este (, )-pseudomonotonă în raport cu, (, )(, ) = (, )(, ) + (, )(, ) pentru orice,,, + 0 si + 0. Atunci soluția aproximativă obținută din Algoritmul 5.2 converge la o soluție a problemei mixte quasi invexe de echilibru (5.1). Pentru demonstrarea convergenței celor doi algoritmi nu s-a utilizat tehnica Zhu și Marcotte folosită până acum, ci s-au utilizat noțiuni de analiză convexă. 20

21 În ultimul paragraf se sugerează posibilitatea de extindere a algoritmilor studiați pentru cazul mulțimilor -invexe în raport cu. Câteva din rezultatele din acest capitol au fost publicate în [80]. Bibliografie [1] Abadie, J., On the Kuhn-Tucker theorem, Nonlinear programming, North-Holland, Amsterdam, pp , 1967 [2] Ansari, Q. H., Yao, J. C., A fixed-point theorem and its applications to the system of variational inequalities, Bulletin of the Australian Mathematical Society, Vol. 59, pp , 1999 [3] Ansari, Q. H., Yao, J. C., On nondifferentiable and nonconvex vector optimization problems, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 106, No. 3, pp , september 2000 [4] Ansari, Q. H., Konnov, I. V., Yao, J. C., Characterizations of solutions for vector equilibrium problems, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 113, No. 3, pp , 2002 [5] Antczak, T., New optimality conditions and duality results of G-type in differentiable mathematical programming, Nonlinear Anal., Vol. 66, pp , 2007 [6] Antczak, T., On G-invex multiobjective programming. I. Optimality, Journal of Global Optimization, Vol. 43, No. 1, pp , 2009 [7] Antczak, T., On G-invex multiobjective programming. II. Duality, Journal of Global Optimization, Vol. 43, No. 1, pp , 2009 [8] Aubin, J.P., Ekeland, I., Applied nonlinear analysis, Dover, Mineola, Reprint of the 1984 original, 2006 [9] Baiocchi, C., Capelo, A., Variational and quasivariational inequalities: applications to free boundary problems, Wiley, New York, 1984 [10] Bector, C. R., Singh, C., B-vex functions, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 71, pp , 1991 [11] Bector, C. R., Suneja, S. K., Lalitha, C. S., Generalized B-vex functions and generalized B-vex programming, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 76, pp , 1993 [12] Ben-Israel, A., Mond, B.,What is invexity?, J. Austral. Math. Soc., Ser. B 28, pp. 1 9, 1986 [13] Bensoussan, A., Lions, J.L., Controle impulsionel et inequations quasivariationelles d evolution, C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 276, pp ,

22 [14] Berman, A., Cones, matrices and mathematical programming, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1973 [15] Bianchi, M., Hadjisavvas, N., Schaible, S., Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 92, pp , 1997 [16] Brezis, H., Inéquations variationnelles associées à des opérateurs d'évolution, Theory and applications of monotone operators, Proc. NATO Institute, Venice, pp , 1968 [17] Browder, F.E., Nonlinear variational inequalities and maximal monotone mappings in Banach spaces, Math. Ann. 183, pp , 1969 [18] Chan, D., Pang, J.S., The generalized quasivariational inequality problem, Math. Oper. Res., Vol. 7, pp , 1982 [19] Chen, G.Y., Cheng, G.M., Vector variational inequalities and vector optimization, Lect. Notes in Economics and Math. Systems 285, pp , 1987 [20] Cheng, Y.H., Zhu, D.L., Global stability results for the weak vector variational inequality, J. of Global Optim., Vol 32(4), pp , 2005 [21] Clarke, F. H., Nonsmooth analysis and optimization, John Wiley, New York, 1983 [22] Craven, B. D., Invex functions and constraint local minima, Bull. Austral. Math. Soc. 24, pp , 1981 [23] Craven, B. D., Duality for generalized convex fractional programs, Generalized Concavity in Optimization , S. Schaible si W. T. Ziemba (eds.), Academic Press, New York, 1981 [24] Craven, B.D., Glover, B.M., Invex functions and duality, J. Aust. Math. Soc. Ser.A 39, pp. 1 20, 1985 [25] Crespi, G. P, Ginchev, I., Rocca, M., Existence of solutions and starshapedness in Minty variational inequalities, Journal of Global Optimization, Vol. 32, No. 4, pp , 2005 [26] Dafermos, S., Sensitivity analysis in variational inequalities, Math. Oper. Res. 13, pp , 1988 [27] Ding, X.P., Predictor-corrector iterative algorithms for solving generalized mixed variational-like inequalities, Appl. Math. Comput., Vol. 152, pp , 2004 [28] Dutta, J., Vetrivel, V., Nanda, S., Semi-invex functions and their subdifferentials, Bulletin of the Australian Mathematical Society, Vol. 56, pp , 1997 [29] Egudo, R. R., Efficiency and generalized convex duality for multiobjective programs, J. Math. Anal. Appl., Vol. 138, pp ,

23 [30] Fang, Z. M., Li, S. J., Upper semicontinuity of solution maps for a parametric weak vector variational inequality, Journal of Inequalities and Applications, Vol (1), record no.: , 2010 [31] Fichera, G., Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno, Atti. Accad. Naz. Lincei, VIII. Ser., Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., Vol. 34 (2), pp , 1963 [32] Giannessi, F., Theorems of the alternative, quadratic programs and complementarity problems, Variational Inequalities and complementarity problems, (R. W. Cottle et al.; eds.), J. Wiley, , 1980 [33] Giannessi, F., Theorems of the alternative and optimality conditions, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 42, pp , 1984 [34] Giannessi, F., Semidifferentiable functions and necessary optimality conditions, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 60, pp , 1989 [35] Giannessi, F., Mastroeni, G., Pellegrini, L., On the theory of vector optimization and variational inequalities. Image space analysis and separation, Vector variational inequalities and vector equilibria. Mathematical theories (F. Gianessi; ed.), Kluwer Acad. Publ. Dordrecht, Boston, London, pp , 2000 [36] Gianessi, F., Maugeri, A., Pardalos, P.M., Equilibrium problems: nonsmooth optimization and variational inequality models, Kluwer Academic Publishers, Doordrecht, Holland, 2001 [37] Glowinski, R., Lions, J. L., Tremolieres, R., Numerical analysis of variational inequalities, North Holland, Amsterdam, Holland, 1981 [38] Gong, L., Global stability result for the generalized quasivariational inequality problem, J. Optim. Theory Appl., Vol. 70, pp , 1991 [39] Hanson, M. A., On the sufficiency of Kuhn Tucker conditions, J. Math. Anal. Appl., Vol. 80, pp , 1981 [40] Hanson, M. A., Mond, B., Necessary and sufficient conditions in constrained optimization, Math. Programming 37, pp , 1987 [41] Hanson, M. A., Mond, B., Convex transformable programming problems and invexity, J. Inform. Optimiz. Science, Vol. 8, pp , 1987 [42] Jianghua, F., Renyou, Z., Stability analysis for variational inequality in reflexive Banach space, Nonlinear Anal., Vol. 69, pp , 2008 [43] Khanh, P. Q., Luu, L. M., Lower semicontinuity and upper semicontinuity of the solution sets and approximate solution sets of parametric multivalued quasivariational inequalities, J. Optim. Theory Appl., Vol. 133, pp , 2007 [44] Kien, B. T., On the lower semicontinuity of optimal solution sets, Optimization, Vol. 54, pp , 2005 [45] Kien, B. T., Wong, N. C., Yao, J. C., On the solution existence of generalized quasivariational inequalities with discontinuous multifunctions, J. Optim. Theory Appl., Vol. 135, pp ,

24 [46] Kimura, K., Yao, J.C., Semicontinuity of solution mappings of parametric generalized vector equilibrium problems, J. Optim. Theory Appl., Vol. 138(3), pp , 2008 [47] Kinderlehrer, D., Stampacchia, G., An introduction to variational inequalities and their applications, Academic Press, London, England, 1980 [48] Komlosi, S., On the Stampacchia and Minty variational inequalities, Generalized Convexity and Optimization for Economic and Financial Decisions, Edited by G. Giorgi and F. Rossi, Pitagora Editrice, Bologna, Italy, pp , 1999 [49] Lalitha, C. S., Mehta, M., Characterization of the solution sets of pseudolinear programs and pseudoaffine variational inequality problems, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol. 8, No. 1, pp , 2007 [50] Lalitha, C. S., Bhatia, G., Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty type, J. Optim. Theory Appl. 148, pp , 2011 [51] Lee, G. M., Kim, D. S., Kuk, H., Existence of solutions for vector optimization problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 220, pp , 1998 [52] Lee, G.M., Kim, D.S., Lee, B.S., Generalized vector variational inequality, Appl. Math. Lett., 9(1), pp , 1996 [53] Lee, G. M., Kim, D. S., Lee, B. S., Yen, N. D., Vector variational inequalities as a tool for studying vector optimization problems, Vector variational inequalities and vector equilibria. Mathematical theories (F. Gianessi; ed.), Kluwer Acad. Publ. Dordrecht, Boston, London, pp , 2000 [54] Li, S.J., Chen, C.R., Stability of weak vector variational inequality, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Vol. 70(4), pp , 2009 [55] Li, X. F., Dong, J. L., Liu, Q. H., Lipschitz B-vex functions and nonsmooth programming, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 93, pp , 1997 [56] Lions, J.L., Stampacchia, G., Variational inequalities, Communications on Pure and Applied Mathematics 20 (3), pp , 1967 [57] Lun, D. V., Tung, L. M., B-preinvexity criteria and applications, Indian Journal of Mathematics, Vol. 45, No. 3, pp , 2003 [58] Mangasarian, O. L., Pseudoconvex functions, - SIAM Journal on Control, Vol. 3, pp , 1965 [59] Mangasarian, O. L., Nonlinear programming, McGraw-Hill, New York, 1969 [60] Martin, D. H., The essence of invexity, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 47, pp , 1985 [61] Mastroeni, G., Pellegrini, L., On the image space analysis for vector variational inequalities, Journal of Industrial and management optimization, Vol. 1, No. 1, pp , 2005 [62] Minty, G. J., Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space, Duke Math. J., Vol 29 (3), pp ,

25 [63] Mishra, S. K., Noor, M. A., On vector variational-like inequality problems, J. Math. An. Appl., Vol. 311, pp , 2005 [64] Mohan, S. R., Neogy, S. K., On invex sets and preinvex function, J. Math. Anal. Appl., Vol. 189, pp , 1995 [65] Mond, B., Weir, T., Generalized concavity and duality, in Generalized concavity in Optimization and Economics (S. Schaible and W. T. Ziemba, Eds.), pp , Academic Press, San Diego, 1981 [66] Mosco, U., Implicit variational problems and quasivariational inequalities, In: Nonlin. Oper. Calc. Var. Proc. Summer School, Bruxelles, Lecture Notes in Mathematics, vol. 543, pp , Springer, Berlin, 1976 [67] Muu, L. D., Stability property of a class of variational inequalities, Math. Operationsforsch. Stat. Ser. Optim., Vol. 15, pp , 1984 [68] Noor, M. A., Mixed quasi invex equilibrium problems, Int. J. Math. Sci., Vol , pp , 2004 [69] Noor, M. A., Khalifa, A. K., Al-Bani, K., Khattri, S. K., On trifunction variational inequalities, Int. J. Nonlinear Science, Vol.11, No.1, pp.17-21, 2011 [70] Pappalardo, M., Some calculus rules for semidifferentiable functions and related topics, Nonsmooth optimization. Methods and applications (F. Gianessi; ed.), Gordon & Breach, pp , 1992 [71] Preda, V., On efficiency and duality for multiobjective programs, J. Math. Anal. Appl., Vol. 166, pp , 1992 [72] Preda, V., On nonlinear-programming and matrix game equivalence, J. Austral. Math. Soc. Ser. B 35, pp , 1994 [73] Preda, V., Beldiman, M., Batatorescu, A., On variational-like inequalities with generalized monotone mappings, Generalized Convexity and Related Topics, edited by I. Konnov, D.T. Luc and A. Rubinov, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 583, 469 pp., Springer, 2006 [74] Preda, V., Beldiman, M., Batatorescu, A., A modified predictorcorrector method for a class of equilibrium problems, Proc. Appl. Math. Mech. Vol. 7 (1), 2007 [75] Preda, V., Beldiman, M., A projection method for variational inequalities systems with μ-lipschitz continuous mappings, Math. Reports, Vol. 10(60), pp , 2008 [76] Preda, V., Beldiman, M., Some results and algorithms for a class of invex equilibrium problems, Revue Roum. Math. Pures Appl., Vol. 53, No. 2 3, pp , 2008 [77] Preda, V., Stanciu, D. E., New sufficient conditions for B-preinvexity and some extentions, Proceedings of the Romanian Academy, Series A, Vol. 12, No. 3, pp ,

26 [78] Preda, V., Stanciu, D. E., Upper semicontinuity of solution sets for a class of vector variational inequalities, va apărea în Proceedings of the Romanian Academy [79] Rockefaller, R. T., Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [80] Stampacchia, G., Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes, Comptes rendus de l'académie des Sciences, Paris 258, pp , 1964 [81] Stanciu, D. E., Beldiman, M., Inegalități variaționale vectoriale și inegalități variaționale scalare asociate, a 10-a Conferință a Societății de Probabilități și Statistică din Romania, București, 2007 [82] Stanciu, D. E., Beldiman, M., Some remarks on pseudolinear programming problems and pseudoaffine variational inequalities, a 11-a Conferință a Societății de Probabilități și Statistică din România, București, 2008 [83] Stanciu, D. E., Baibarac E.C., On pseudolinear programming programs and pseudoaffine variational inequality, Analele Universității București, No. 2, pp , 2008 [84] Stanciu, D. E., Beldiman, M., Necessary optimality conditions for vector variational inequalities, The 9 th Balkan Conference on Operational Research, Constanța, 2009 [85] Stanciu, D. E., A lagrangian type optimality condition for vector variational inequality, a 14-a Conferință a Societății de Probabilități și Statistică din România, București, 2011 [86] Stanciu, D. E., Some applications of the image space analysis to the vector variational inequalities, The Seventh Congress of Romanian Mathematicians, Brașov, 2011 [87] Stanciu, D. E., On the continuity of solutions set of a class of quasivariational inequalities, a 15-a Conferință a Societății de Probabilități și Statistică din România, București, 2012 [88] Stanciu, D. E., Semicontinuity of solutions of Minty type quasivariational inequalities, va apărea în Revue Roumaine Math. Pures Appl. [89] Stanciu, D. E., On the stability of a trifunction type variational inequalities, va apărea în Annals of the University of Bucharest (mathematical series) [90] Stanciu, D. E., On a vector variational inequality by analysis of image space, acceptat spre publicare la Journal of Mathematics and System Science, USA [91] Suneja, S. K., Singh, C., Bector, C. R., Generalization of preinvex and b-vex functions, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 76, pp ,

27 [92] Tobin, R. L., Sensitivity analysis for variational inequalities, J. Optim. Theory Appl., Vol. 48, pp , 1986 [93] T. Weir, B. Mond, Preinvex functions in multiobjective optimization, J. Math. Anal. Appl., Vol. 136, pp , 1988 [94] Weir, T., Mond, B., Pre-invex function in multiple objective optimization, J. Math. Anal. Appl., Vol. 136, pp , 1998 [95] Yang, X. Q., Goh, C. J., On vector variational inequalities: application to vector equilibria, J. Optim. Theor. Appl., Vol. 95, , 1997 [96] Yao, J. C., The generalized quasivariational inequality problem with applications, J.Math. Anal. Appl., Vol. 158, pp , 1991 [97] Yu, S. J., Yao, J. C., On vector variational inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 89, No. 3, pp , [98] Zhao, J., The lower semicontinuity of optimal solution sets, J. Math. Anal. Appl., Vol. 207, pp , 1997 [99] Zhu, D. L. and Marcotte, P., Coercivity and Its Role in the Convergence of Iterative Schemes for Solving Variational Inequalities, SIAM Journal of Optimization, Vol. 6, pp ,