1. Transferul de căldură printr-o nervură rectangulară

Transcription

1 1. Transferul de căldură printr-o nervură rectangulară Conform legii conducţiei termice a lui Fourier fluxul de energie transmisă este proporţional cu suprafaţa de transfer căldură. Din acest motiv, în multe aplicaţii, pentru a ajuta la îmbunătăţirea transferului de căldură, sunt folosite suprafeţe extinse. În general, studiul transferului de căldură prin nervură este relativ complicat deoarece în unele cazuri geometria ei poate deveni complexă. În aceste cazuri, pentru a discretiza geometria analizată se foloseşte modelarea cu diferenţe finite cu elemente finite. Dacă se scrie bilanţul energetic pe fiecare volum nodal se obţine un sistem de ecuaţii algebrice simultane. Rezolvarea acestor ecuaţii dă o aproximare discretă a distribuţiei de temperatură din sistem. Din fericire există un număr de cazuri practice de geometrii simple 1-D care pot fi rezolvate analitic. Ipoteza uzuală în care se face în aceste probleme este că transferul de căldură prin conducţie în lungul nervurii este în principal unidirecţional, şi un simplu bilanţ energetic pe un element diferenţial duce la o EDO - adică, bilanţul energetic diferenţial pentru sistem. Rezolvarea acestei EDO împreună cu condiţiile la limită specifice, dă distribuţia 1-D de temperatură din sistemul studiat. Cunoscând profilul de temperatură, se poate determina transferul total de energie, eficienţa nervurii şi alte mărimi de interes. Pentru a ilustra acest proces, să considerăm schiţa unei suprafeţe extinse tipice (din Ref. 1). Pentru un regim staţionar, un bilanţ energetic simplu dă Figura 1 fluxul de energie intrată = fluxul de energie ieşită, folosind notaţiile din diagramă, Pentru probleme 1-D, legea conducţiei termice a lui Fourier poate fi scrisă (1) (2) iar legea răcirii lui a Newton pentru transferul de căldură prin convecţie între suprafaţa unui corp solid şi un fluid este (3) unde A c = aria secţiunii transversale pentru transferul prin conducţie da s = aria suprafeţei elementului diferenţial pentru transferul prin convecţie Dacă în ecuaţia 1-D de bilanţ energetic în regim staţionar folosim pentru q x+dx o reprezentare prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 1 avem Acum, cu expresiile de mai sus pentru q x şi dq conv, avem 1

2 Această EDO de ordinul 2 reprezintă ecuaţia diferenţială 1-D de bilanţ energetic în regim staţionar pentru o suprafaţă extinsă. În general, ea este valabilă pentru orice geometrie 1- D, chiar şi pentru cele cu arie variabilă (adică A c şi A s variabile cu x). Coeficientul de transfer de căldură, h, se presupune a fi constant pentru întreaga suprafaţă. Să considerăm o nervură rectangulară simplă ca în figură. Se poate observa că, în cazul particular special al unei nervuri rectangulare, se aplică următoarele condiţii A c = constant = wt şi da s = Pdx unde P = 2w + 2t este perimetrul. Pentru cazul unei conductivităţi termice k, constante, ec. (4) se reduce la (4) Figura 2 unde m (5) unde m 2 este o constantă folosită pentru scrierea mai simplă a EDO. Această ecuaţie este des studiată în detaliu în textele introductive referitoare la transferul de căldură deoarece poate da multe detalii referitoare legate de transferul de căldură prin nervură. Pentru a obţine o soluţie unică a ec. (5), trebuie să specificăm două condiţii la limită (CL/BCs) pentru problemă. O situaţie comună este cea cu o temperatură fixă a bazei, T b, şi o condiţie de tip convectiv. Din punct de vedere matematic, aceste CL particulare pot fi scrise ca şi (6) Ecuaţiile (5) şi (6) definesc o anumită problemă cu condiţii la limită (PCL/BVP). Deoarece această problemă are coeficienţi constanţi, soluţia este clară după cum urmează Pentru început, pentru a obţine o ecuaţie omogenă să considerăm θ = T - T, unde Deci, ec. (5) şi (6) devin unde (7) şi (8) Acum, deoarece EDO are coeficienţi constanţi şi este omogenă, vom presupune o soluţie de forma θ(x) = e rx, care duce la ecuaţia caracteristică cu rădăcinile r 1,2 = ±m Astfel, soluţia generală a ec. (7) devine 2

3 (9) unde funcţiile hiperbolice sin şi cos se definesc astfel şi co Pentru problemele cu lungime finită, de obicei este mai convenabil să folosim a doua formă. Astfel, aplicând CL la ec. (9) se obţine CL #1 (10) CL #2 adică şi, folosind ec. (10), se poate calcula C 1, care este (11) Introducând constantele C 1 şi C 2 înapoi în soluţia generală se obţine soluţia unică, Relaţia se poate simplifica puţin dacă aducem termenii din membrul drept la acelaşi numitor, Acum, folosind următoarele identităţi pentru funcţii hiperbolice, şi avem, după substituţiile u = ml şi v = mx, expresia finală pentru distribuţia temperaturii, (12) Odată ce am obţinut distribuţia de temperatură dorită, putem face diverse analize. În particular, vom calcula căldura totală transferată, q f, randamentul nervurii, ε f, şi eficienţa nervurii, η f, care se definesc după cum urmează căldura totală transferată, q f 3

4 (13) unde, deoarece ka c eficienţa nervurii, ε f randamentul nervurii, η f (14) (15) unde A f este suprafaţa totală de transfer de căldură a nervurii, A f = PL + A c. Ca o aplicaţie concretă a modelului de mai sus, să considerăm o nervură rectangulară cu următoarele proprietăţi L = 5 cm = 0.05 m; t = 1.0 cm = 0.01 m; w = 1 m (lăţime unitară) T b = 200 ºC; T = 30 ºC; h = 500 W/m 2 ºC şi, ca parte a analizei, vom considera trei valori diferite ale conductivităţii termice k, pentru a reprezenta utilizarea a trei materiale diferite pentru nervură, unde k 1 = 5 W/mºC; k 2 = 50 W/mºC; k 3 = 200 W/mºC; Folosind aceste valori, vom calcula şi trasa distribuţia temperaturii în nervură pentru trei materiale diferite. Scopul propus în paragraful anterior a fost atins prin fişierul MATLAB rect1d_fin_1.m. Programul are trei părţi şi anume mărimile de intrare, calculul, şi prezentarea rezultatelor. Partea de calcul conţine aritmetica vectorilor şi o buclă care tratează cele trei materiale diferite. Deoarece o conductivitate termică ridicată înseamnă că energia poate fi transmisă mai lesne, rezultatele relative din Table 2 şi Fig. 1 sunt cele aşteptate. În mod clar, profilele T(x) indică că, la creşterea lui variaţia de temperatură in nervură este mai mică. In plus, căldura totală transferată, eficienţa nervurii şi randamentul ei sunt mai bune la un k mai mare. Cu toate acestea, chiar cu un k mare, nervura analizată aici nu este foarte eficientă, având în cel mai bun caz un randament mai mic de 70%. Acest lucru este din cauza căderii mari de temperatură de la baza la vârful nervurii - de vreme ce suprafaţa de lângă vârf, cu o temperatură de 120 ºC cedează mult mai puţină energie pe unitatea de lungime decât suprafaţa Fig. 1 Distribuţia temperaturii în nervura rectangulară pentru diferite materiale similară de la baza nervurii (care are aproape 200 ºC). Astfel, pentru un randament bun (adică o utilizare eficientă a materialului nervurii), dorim să minimizăm descreşterea de temperatură de-a lungul înălţimii ei, unde cel mai avantajos caz este cel în care T(x) T b peste tot. In această situaţie, un mod simplu de a mări randamentul ar fi să reducem 4

5 înălţimea nervurii. Acest lucru ar duce bineînţeles, la descreşterea suprafeţei totale de transfer de căldură şi energiei totale transferate de o singură nervură, dar în schimb, pentru a compensa acest efect, pot fi folosite mai multe nervuri cu menţinerea unui randament ridicat. Table 2 Rezultate ale programului rect1d_fin_1.m Parametri independenţi de caz Temperatura bazei (ºC) Temperatura mediului ambiant (ºC) Coef de transfer de căldură (W/m 2 ºC) Înălţimea nervurii (cm) 5.00 Grosimea nervurii (cm) 1.00 Min Căldură Transfer possible (W) Max Căldură Transfer possible (W) Parametri dependenţi de caz Cazul #1 Cazul #2 Cazul #3 Conductivitatea termică (W/m-ºC) Temperatura vârfului (ºC) Căldura transferată pe unit de lung (W) Eficienţa nervurii (adimensională) Randamentul nervurii (adimensional) Numărul Biot (adimensional) În final trebuie să menţionăm calitatea corespunzătoare a aproximaţiei 1-D care a fost făcută pentru obţinerea ecuaţiilor folosite. În esenţă aproximaţia 1-D presupune că variaţia de temperatură în grosimea nervurii (direcţia z din schiţă generală) este neglijabilă - adică T(x,z) T(x). Calitatea aproximaţiei este caracterizată de numărul Biot, care reprezintă raportul dintre rezistenţa termică prin conducţie şi cea prin convecţie pe direcţia studiată (în acest caz direcţia transversală), (16) De obicei, dacă Bi << 1, atunci rezistenţa termică prin conducţie este mică comparativ cu cea prin convecţie. Când se întâmpla acest lucru, distribuţia temperaturii în grosimea nervurii este aproape plană şi aproximaţie 1-D făcută este foarte bună. Dacă numărul Biot este aproape mai mare decât unu, atunci trebuie să punem sub semnul întrebării rezultatele unei analize 1-D - deoarece un număr Biot mare înseamnă că probabil este necesară o analiză 2-D. După cum se vede din Table 2, numărul Biot pentru Cazul 1 cu k = 5 W/m-ºC este exact unu. Astfel, rezultatele obţinute aici pentru Cazul 1 probabil că nu sunt foarte corecte. Celelalte două cazuri, cu Bi = 0.10 şi 0.03, trebuie că sunt mult mai precise comparativ cu o analiză 2-Dmai detaliată. Bibliografie 1. "Fundamentals of Heat and Mass Transfer" 5th Ed. by Incropera şi Dewitt, John Wiley & Sons, (pgs. 129 şi 130). 2. Lecture Notes for Applied Problem Solving With MATLAB by Dr. John R. White, UMass-Lowell (May 2003) 5