Frecvenţa absolută. Nici un sistem Macintosh Windows Total 500 1

Transcription

1 Nici un sistem Macintosh Windows Frecventa absoluta LUCRAREA NR. PREZENTAREA GRAFICĂ A ANALIZELOR STATISTICE. Prezentarea lucrării. Prezentarea caracteristicilor calitative Caracteristicile calitative ale unei populaţii, reprezentate printr-un eşantion relevă informaţii despre populaţia respectivă, fără a elabora interpretări, relaţii de conexiune între date sau prognoze de evoluţie. Caracteristicle calitative surprind starea populaţiei la un moment dat, privind un anumit aspect şi sunt utile în luarea unor decizii privind acţiuni de viitor. Variabilele calitative, în general, nu au unităţi măsurabile (se referă la apartenenţa la un loc geografic, preferinţa pentru un sport, o culoare etc.) De exemplu, un vânzător de computere personale, pentru a-şi dimensiona corect, conform cererii pieţei, stocul de calculatoare, face un sondaj pe un eşantion de 500 de persoane, privind utilizarea calculatorului şi a tipului de sistem de operare, în cazul în care repondentul deţine un calculator. Cea mai simplă prezentare a datelor sondajului este cea tabelară (tab..). Din tabelul rezultă următoarele informaţii: din 500 de repondenţi numai 45 (83%) deţin deja un calculator 355 (7%) dintre cei intervievaţi utilizează sistemul de operare Windows 60 (%) de persoane din eşantion preferă sistemul Macintosh Tabelul. Sistem de operare Frecvenţa absolută Frecvenţa relativă Nici un sistem Macintosh Windows Total 500 Aceste date pot fi prezentate mai sugestiv sub diverse forme grafice, ilustrate în figurile următoare (. Grafic de tip bare verticale pentru frecvenţa absolută,. - Grafic de tip bare orizontale pentru frecvenţa absolută,.3 - Grafic de tip linie pentru frecvenţa absolută,.4 - Grafic tip bare orizontale pentru frecvenţa relativă,.5 - Grafic tip pie 3D pentru frecvenţa relativă,.6- Grafic de tip pie pentru frecvenţa relativă, cu exprimare procentuală) Nici un sistem Macintosh Windows Fig.. Grafic de tip bare verticale pentru frecvenţa absolută Frecventa absoluta Fig.. Grafic de tip bare orizontale pentru frecvenţa absolută

2 Frecventa absoluta Nici un sistem Macintosh Windows Fig..3 Grafic de tip linie pentru frecvenţa absolută Windows 0.7 Macintosh 0. Nici un sistem Frecventa relativa Fig..4 Grafic tip bare orizontale pentru frecvenţa relativă Frecventa relativa Nici un sistem Macintosh Windows Fig..5 Grafic tip pie 3D pentru frecvenţa relativă Frecventa relativa 7% % 7% Nici un sistem Macintosh Windows Fig..6 Grafic de tip pie pentru frecvenţa relativă, cu exprimare procentuală. Prezentarea caracteristicilor cantitative Caracteristicile cantitative sunt, în general, rezultatul măsurării unor mărimi (lungime, masă, timp, temperatură, viteză etc.). Sunt descrise, în continuare, prin exemple, câteva dintre cele mai utilizate moduri de prezentare grafică a analizelor statistice. graficul trunchi ramuri În tabelul. este redat un şir de date care reprezintă durata de funcţionare, exprimată ȋn milioane de cicluri, a 3 de produse de acelaşi tip. Tabelul. 37, 33, 33, 3, 9, 8, 8, 3,,,,,,, 0, 0, 9, 9, 8, 8, 8, 8, 6, 5, 4, 4, 4,,, 9, 6 În figura.7 este prezentată o variantă a graficului trunchi ramuri. În partea stângă a graficului este trunchiul, conţinând numărul zecilor. Ramurile, separate de trunchi printr-o bară verticală, se află la dreapta

3 acestuia. De exemplu prima linie a graficului trebuie interpretată ca incluzând numerele 3, 33, 33, 37. Prin ramuri, se realizează o ordonare descrescătoare a numerelor din tabel. Forma graficului este sugestivă pentru distribuţia numerelor din şir Fig..7 Grafic de tip trunchi ramuri Datorită lungimii ramurilor din liniile şi 3 se poate face o rafinare a reprezentării, în care ramurile cu unităţi mai mici, respectiv mai mari decât cinci să apară pe linii separate. În acest fel, se pune mai bine în evidenţă distribuţia datelor (fig..8) Fig..8 Grafic de tip trunchi ramuri rafinat Graficul poate fi utilizat pentru compararea aceleiaşi caracteristici pentru două loturi diferite. De exemplu, în figura.9 sunt comparate performanţele a două loturi de câte 3 de produse de acelaşi tip Fig..9 Garfic trunchi ramuri de tip comparativ histograma Histograma este o formă de reprezentare grafică, utilă în cazul unui număr mare de observaţii, care necesită împărţirea şirului de date în clase (echidistante) şi numărarea unităţilor statistice din fiecare clasă. Spre exemplu, asupra unui eşantion de 64 de unităţi de produs s-au făcut teste de anduranţă, pentru care s-a atribuit, pe diverse criterii, un punctaj cuprins între 46 şi 67. Intervalul de de puncte a fost împărţit în 3 clase cu extinderea de 0 puncte. Pentru fiecare clasă s-au numărat punctajele cuprinse în intervalul corespunzător clasei, rezultând frecvenţa absolută a acesteia (tab..3). Tabelul.3 Limita inferioară a intervalului Limita superioară a intervalului Frecvenţa clasei În figura.0 este transpusă, mai intuitiv, informaţia din tabelul.3. 3

4 Fig..0 Histograma frecvenţelor poligoanele de frecvenţe Poligoanele de frecvenţe, ca şi histogramele, indică forma distribuţiei unei serii de date, dar se mai utilizează şi pentru trasarea poligonului frecvenţelor cumulate, care este intuitiv pentru funcţia de probabilitate. Pentru trasarea poligonului de frecvenţe se procedează similar trasării unei histograme: se împarte şirul în clase echidistante şi se numără unităţile statistice din fiecare clasă. În plus, se calculează valoarea medie a fiecărei clase. Poligonul se trasează prin puncte determinate de media clasei şi frecvenţa asociată clasei. Spre exemplu, se prezintă poligonul frecvenţelor corespunzător histogramei din figura.0, respectiv tabelului.3. Poligonul frecvenţelor cumulate presupune adăugarea frecvenţei unei clase la suma celor anterioare. Ultimul punct al graficului are ordonata egală cu numărul total al produselor testate 64. Fig.. Poligonul frecvenţelor Poligonul frecvenţelor cumulate este reprezentat în figura.. Fig.. Poligonul frecvenţelor cumulate. Desfăşurarea lucrării Pentru datele din tabelul. se realizează 6 tipuri de reprezentări grafice disponibile în programul MS Excel. Pentru datele din tabelul.3 se reprezintă histograma frecvenţelor, poligonul frecvenţelor şi poligonul frecvenţelor cumulate. 4

5 LUCRAREA NR. FUNCŢII DE REPARTIŢIE. INDICATORI STATISTICI. Prezentarea lucrării. Funcţia densitate de repartiţie (probabilitate) şi funcţia de repartiţie (probabilitate) În teoria probabilităţilor, orice rezultat al unui experiment se numeşte eveniment. Fiecărui eveniment i se poate asocia o valoare numerică, numită probabilitate a evenimentului. Probalibilitatea, ca descriere intuitivă, este o măsură a şansei de realizare a unui eveniment. Probabilitatea este o mărime adimensională, normată, notată cu P(x), unde P reprezintă probabilitatea de realizare a evenimentului x. Valorile extreme P(x)= şi P(x)=0 caracterizează un eveniment sigur, respectiv imposibil. Celelalte valori ale probabilităţii, cuprinse în intervalul deschis (0 ) caracterizează evenimente a căror şansă de realizare este egală cu raportul dintre numărul manifestărilor evenimentului în cazurile favorabile şi numărul total al evenimentelor posibile: numarul cazurilor favorabile Px. (.) numarul cazurilor posibile De exemplu, la jocul loto 6 din 49, în cazul alegerii a şase numere există 49 C 6! combinatii (evenimente posibile). Având în vedere faptul că numai o singură 6! 49 6! combinaţie este câştigătoare (reprezintă un eveniment favorabil), rezultă că probabilitatea de a câştiga este P În cazul aplicaţiilor tehnice, studiile sunt preponderent de tip experimental şi se realizează prin efectuarea unor măsurări repetate. Se consideră că evenimentul de interes este valoarea x a unei mărimi fizice, măsurate pe un lot de piese sau într-un proces, în condiţii identice. După eliminarea valorilor afectate de erori aberante şi sistematice, rezultă un şir de n valori, care sunt influenţate numai de erorile aleatoare şi se află într-un interval de valori cuprins între x min şi x max. Împărţind acest interval în clase (subintervale egale) de lăţime x, se poate calcula frecvenţa relativă cu care rezultatele apar în diferite clase: n h i i n x, (.) unde n i este numărul de date cuprinse în intervalul i. Reprezentarea h i =f(x) se numeşte histogramă (fig..). La limită, pentru n şi x0, f(x) este o funcţie continuă, numită funcţia densităţii de repartiţie (fig..). Fig.. Histogramă Fig.. Funcţia densităţii de repartiţie sau densitatea de probabilitate n Funcţia hx lim i se mai numeşte funcţie densitate de probabilitate, având în vedere faptul că prin n n x x0 integrarea ei rezultă funcţia de repartiţie sau funcţia de probabilitate. Probabilitatea ca valoarea măsurată x să se afle în intervalul [x x ] este numeric egală cu suprafaţa cuprinsă între x şi x, respectiv curba densităţii de repartiţie şi axa absciselor. Matematic, această probabilitate se exprimă prin integrala: x x x x hx P dx. (.3) x Probabilitatea ca mărimea x să fie mai mică decât x, respectiv mai mare decât x este: 5

6 x x x hx P dx, (.4) P dx. (.5) x respectiv x x hx Pe întreg domeniul de valori [x min x max ] probabilitatea evenimentului x este egală cu unitatea (evenimentul este sigur, sau cu alte cuvinte, toate valorile se află în şirul de date măsurate: P x hx dx. (.6). Parametri şi indicatori statistici Pentru definirea funcţiilor de repartiţie cu importanţă practică, justificată prin faptul că descriu diverse categorii de procese şi fenomene, este necesară descrierea unor parametri sau indicatori statistici, printre care cei mai utilizaţi sunt: media aritmetică: lim n xi hx xdx. (.7) n n i Media corespunde centrului de greutate al suprafeţei de sub curba densităţii de repartiţie şi reprezintă valoarea cu cea mai mare probabilitate de manifestare. Este totuşi o mărime ideală, având în vedere că, prin definiţie, implică un număr infinit de date în şirul prelucrat. Pentru un număr finit de măsurări se defineşte valoarea medie experimentală, cu expresia matematică: n x x i. (.8) n i În general, mărimile caracteristice pentru o populaţie se numesc parametri şi se simbolizează cu litere greceşti. Pentru un eşantion, se definesc indicatori sau statistici, notate cu litere latine. Astfel, media aritmetică este un parametru, în timp ce media experimentală este un indicator sau o statistică. mediana: xn / pentru n impar x0. 5, (.9) x x / pentru n par n/ n/ unde n este numărul total de elemente ale şirului de date prelucrat statistic, iar x i, cu i, n - valorile elementelui şirului ordonat în sens crescător de la i = la i = n. Valoarea mediană corespunde probabilităţii P(x 0.5 )=0.5. moda: x mo x 3xmax x. (.0) Moda reprezintă valoarea variabilei cu cea mai mare probabilitate de manifestare, respectiv cu un maxim pe curba densităţii de repartiţie. Există densităţi de repartiţie unimodale şi multimodale. În figura.3 este prezentată, spre exemplificare o repartiţie bimodală. Condiţiile de maxim pentru funcţia densităţii de repartiţie sunt: h' xmo 0 h" xmo 0. (.) Fig..3 Repartiţie bimodală Fig..4 Repartiţie simetrică (media = mediana = moda) Pentru repartiţiile unimodale, între medie, mediană şi modă pot exista următoarele relaţii, funcţie de alura curbei de distribuţie a repartiţiei: x0. 5 xmo, (.) 6

7 pentru repartiţiile simetrice (fig..4) x 0.5 xmo sau xmo x0. 5, (.3) pentru repartiţiile asimetrice (fig..5 şi.6) Fig..6 Repartiţie asimetrică (media<mediana<moda) Fig..7 Repartiţie asimetrică (moda <mediana< media) valoarea centrală a şirului de date: x C x max x min. (.4) momentul centrat de ordinul doi (varianţă sau dispersie): n lim xi hx x dx. (.5) n n i Dispersia este o măsură a împrăştierii în cazul repartiţiilor simetrice. De asemenea, are sens numai pentru analize cantitative. abaterea medie pătratică (standard): h x x dx. (.6) Pentru un şir cu număr finit de elemente, abaterea standard este de forma: n S x i x. (.7) n i amplitudinea: R x max x min, (.8) unde x min este valoarea minimă din şir, iar x max reprezintă valoarea maximă. eroarea standard a mediei: S S x. (.9) n abaterea medie absolută: n A m xi x. (.0) n i coeficientul de asimetrie: 3, (.) s 3 n n i unde s x x, iar x i n 3 3 i x. n i Parametrul 3 este momentul centrat de ordinul 3. Se pot defini şi momente centrate de ordin superior, după relaţia generală: n k k xi x. (.) n i De exemplu, momentul centrat de ordinul 4 este utilizat în calculul coeficientului de boltire: 4. (.3) s 7

8 kurtosis: K nn n 4 xi x 3( n ) n n n 3 S n n 3 i. (.4) Parametrul kurtosis este o măsură a abaterii de la forma normală a distribuţiei. K>0 corespunde unor curbe mai ascuţite, pe când K<0 caracterizează curbe mai plate decât cea normală. înclinarea (skewness): n 3 n x i x Sk. (.5) n n i S Înclinarea indică asimetria curbei de repartiţie în jurul valorii medii. Sk>0 arată că partea din dreapta mediei este asimetrică, iar Sk<0 indică asimetria la stânga mediei.. Desfăşurarea lucrării Se consideră şirul x = {-5; -4; -3; -; -; -0; - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - ; - ; 0; ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; ; 3; 4; 5}. Se calculează următorii parametri statistici: media experimentală rel. (.8) mediana rel. (.9) valoarea centrală a şirului rel. (.4) abaterea standard rel. (.7) amplitudinea rel. (.8) eroarea standard a mediei rel. (.9) abaterea medie absolută rel (.0) kurtosis rel (.4) skewness rel. (.5). 8

9 LUCRAREA NR. 3 LEGEA DE DISTRIBUŢIE NORMALĂ (GAUSS LAPLACE). Prezentarea lucrării Frecvent, în procesele de fabricaţie, în special în producţia de masă, în cercetarea ştiinţifică, în funcţionarea produselor tehnice în perioade de îmbătrânire, se manifestă fenomene, operaţii, procese în care legea dominantă de distribuţie este legea normală. Suportul pentru această lege îl constituie teorema limită centrală a teoriei probabilităţii. În virtutea acestei teoreme suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare independente x... x x xn (3.) tinde la limită către repartiţia normală, fiecare termen având media x şi o dispersie finită /n. Mărimile caracteristice legii normale se disting în figura 3., în care: x este variabila independentă, x - mărimea intervalului unei clase, - media populaţiei. Fig. 3. Curba densităţii de repartiţie Gauss Laplace O variabilă aleatoare continuă urmează o lege normală dacă densitatea de repartiţie este dată de relaţia: h( x,, ) e ( x) cu x R, R, Funcţia de repartiţie (probabilitate) în acest caz este de forma: x ( x) x P ( x,, ) e dx h( x) dx x Media populaţiei şi dispersia se pot calcula prin relaţiile: x 0. (3.) (3.3) ( x) x h x dx x e ( ) dx (3.4) respectiv ( x) x h x dx x e ( ) ( ) dx (3.5) Proprietăţile curbelor de repartiţie normală pot fi formulate astfel: - admit un punct de maxim la x =: h (3.6) şi scad asimptotic spre axa absciselor, la stânga şi la dreapta acestuia - sunt simetrice faţă de ordonata corespunzătoare valorii medii (dreapta x = h() fiind axa de simetrie). O reprezentare la scară a unei curbe de densitate de repartiţie normală este prezentată în figura 3.. Se observă că probabilitatea ca o variabilă dintr-un şir cu media şi dispersia să se afle în intervalul este de ~68%. Pentru intervalul, probabilitatea este de ~ 95.4%. Pentru 9

10 intervalul 3, probabilitatea este ~99.6%. Dacă se cunoaşte caracterul normal al distribuţiei unui şir de date este suficient calculul integralei (3.3), cu limitele x şi x dorite, pentru a determina probabilitatea de situare a valorii testate în intervalul [x, x ] Fig. 3. Curba densităţii de repartiţie normale cu indicarea probabilitătţlor pe intervalul 3 - au formă de clopot cu convexitatea orientată în sus, în zona punctului de maxim; curba are două puncte de inflexiune situate la distanţa x = faţa de medie - ordonata funcţiei este cu atât mai mare cu cât valoarea dispersiei este mai mică; dacă creşte curbele se turtesc din ce în ce mai mult (fig. 3.3) până la aplatizare (curbe lepticurtice). Din figură se observă că cele trei curbe cu aceeaşi medie (care este egală cu mediana) au împrăştieri diferite: pentru ha hb hc, la 0. (3.7) - prin modificarea parametrului, curba translatează în lungul abscisei (fig = - ) Fig. 3.3 Aluri diferite ale curbei normale de distribuţie la aceeaşi medie, dar dispersii diferite Probabilitatea ca variabila aleatoare continuă să ia valori cuprinse în intervalul (, ) este: ( x) P(x ) e dx adică pentru x R, P(x) Densitatea de probabilitate h(x) este continuă, nenegativă şi satisface condiţia: (3.8) h ( x) dx P( x) (3.9) Pentru a simplifica operaţia de calcul a funcţiei P(x,, ) se procedează la o schimbare de variabilă: z x, (3.0) o variabilă aleatoare normală, normată. Cu această notaţie, legea normală h(, ) devine h(0,), întrucât =0 şi =. Densitatea de probabilitate a variabilei normale normate, în acest caz se poate scrie: z., (3.) hz 0. e h z 0

11 iar funcţia de repartiţie ia forma: z z p P ( z z p) e dz. (3.) Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare normale respectiv a unei variabile aleatoare normale normate se redă în graficele din figurile 3.4 şi 3.5. Fig. 3.4 Distribuţie normală Fig. 3.5 Distribuţie normală normată 0 Pentru z = 0 h( z 0, 0, ) e 0, Scriind derivata a doua a funcţiei h(z,0,) se obţine: (3.3) h" ( z, 0, ) ( z ) h( z, 0, ), (3.4) de unde rezultă că z = sunt abscisele punctelor de inflexiune ale funcţiei f(z,0,). Valorile densităţii de probabilitate, f(z,0,)=f(z) se indică, de regulă, sub formă tabelară pentru z[0 3(5)], iar ale funcţiei de repartiţie, de asemenea, tot sub formă tabelară pentru z[-5, 5], uzual în domeniul restrâns (0,3) - fig Fig. 3.6 Funcţia de repartiţie a probabiltăţii pentru distribuţia normală Fig. 3.7 Reprezentarea funcţiei Laplace Admiţând cuantila z F, probabilitatea P(z < z F ) [0,]. În acest caz funcţia se poate scrie sub forma: z z z p 0 zp p ( ) ( ) ( ) ( ) P zp h z dz h z dz h z dz e dz ( zp). (3.5) 0 0 Integrala z z p ( z e p) dz (3.6) 0 este funcţia normală normată sau funcţia Laplace şi reprezintă aria haşurată din figura 3.7. Funcţia Laplace are câteva proprietăţi remarcabile: (0)=0, ( ), ( ), ( z) ( z) ( ) Funcţia de repartiţie Gauss se poate exprima cu ajutorul funcţiei Laplace, (z P ): P ) ( z ) (3.) ( zp p

12 În figura 3.8 este redată funcţia probabilitate Gauss Laplace corespunzătoare funcţiilor de densitate de repartiţie din figura 3.7. Fig. 3.7 Funcţia de probabilitate Gauss Laplace pentru diferite valori ale parametrilor şi Aplicaţii MS Excel de statistică descriptivă Pentru activarea modulului de analiză statistică automată în programul MS Excel se procedează astfel: în meniul Tools se selectează submeniul Add-ins (fig. 3.8) se deschide fereastra Add-ins, in care se bifează modulele Analysis Tool Pak şi Solver Add-in (fig. 3.9) Fig. 3.8 Selectarea submeniului Add-Ins din Meniul Tools Fig. 3.9 Activarea modulelor Analysis Tool Pak şi Solver Add-in Fig. 3.0 Apelarea Submeniului Data Analysis Fig. 3. Alegerea modului de lucru din meniul din fereastra Data Analysis pentru operarea efectivă se apelează meniul Tools, submeniul Data Analysis (fig. 3.0), care deschide fereastra Data Analysis (fig. 3.). În meniul derulant al acestei ferestre se pot alege

13 diferite module de calcul. În figura 3. este prezentată fereastra corespunzătoare selectării submeniului Descriptive Statistics această fereastră reclamă introducerea şirului de date (Input range) scris pe coloană sau linie (există opţiunile Columns sau Rows), se poate indica locul de înscriere a rezultatelor (Output range), cu opţiunile de deschidere a unei noi foi (New Worksheet Ply) sau fişier (Workbook). Pentru analiza completă se bifează cerinţele aplicaţiei parametri statistici (Summary statistics), nivelul de încredere al mediei, valorile extreme ale şirului. Fig. 3. Fereastra Descriptive Statistics. Desfăşurarea lucrării Se propune analiza unui eşantion de numere întregi, cuprinse în intervalul [ ]. În figura 3.3 este prezentată secvenţa foii din program cu datele de intrare (coloana x umplere cu culoare galben deschis), parametrii statistici caracteristici (coloanele cu umplere de culoare verde), valorile funcţiei de densitate de repartiţie, h(x), pentru fiecare element al şirului, în ipoteza repartiţiei normale (coloana cu umplere de culoare galben ȋnchis) şi valorile funcţiei repartiţiei de probabilitate, (FC(x)), (coloana cu umplere de culoare albastră). x h(x) FC(x) -5 x Mean (Media) Standard Error (abaterea medie absoluta) Median (Mediana) Mode (Moda) #N/A Standard Deviation (Abaterea standard experimentală) Sample Variance (Dispersie sau Varianţă) Kurtosis Skewness Range (Amplitudinea sirului) Minimum Maximum Sum Count Largest() Smallest() Confidence Level(99.0%)

14 Fig. 3.3 Secvenţă a foii din program cu datele de intrare şi rezultatele analizei statistice automate În fereastra Descriptive Statistics se selectează coloana cu numerele de la -5 la +5 în caseta Input range şi cele două coloane învecinate pentru rezultate (Output range). Se obţin automat media, moda, mediana, dispersia etc. Presupunând distribuţia şirului normală, în jurul mediei = 5 şi cu dispersia = 43.5, se poate calcula pentru fiecare element din şir, valoarea funcţiei densităţii de repartiţie normate, cu relaţia (3.) aplicată pentru determinarea unor valori punctuale: h( x) x e. Figura 3.4 pune în evidenţă utilizarea expresiei de mai sus şi a valorilor fixe şi. Funcţia de repartiţie de probabilitate, calculată ca o funcţie a frecvenţelor cumulate, FC(x), rezultă prin aplicarea instrucţiunii: = NORMDIST(x, mean, variance, cumulative) fig. 3.5 Fig. 3.4 Calculul automat al valorilor discrete pentru funcţia de Fig. 3.5 Calculul punctual al valorilor funcţiei densitate de repartiţie h(x) în ipoteza repartiţiei normale normate de repartiţie de probabilitate Cu ajutorul datelor din coloanele h(x) şi FC(x) se trasează graficele funcţiei densităţii de repartiţie (al cărei maxim trebuie să rezulte ) şi a funcţiei de repartiţie a probabilităţii. Se calculează valorile probabilităţilor ca un element al şirului să se afle în intervalele, şi 3. Media Abaterea standard x x probabilitate (3) <x< % Media Abaterea standard x x probabilitate () <x< % Media Abaterea standard x x probabilitate () <x< % Probabilităţile se calculează prin scăderea valorilor obţinute cu funcţia NORMDIST, aplicată pentru x, respectiv x (fig. 3.6). Fig. 3.6 Calculul probabilităţii ca un element să se afle între două valori x şi x 4

15 LUCRAREA NR. 4 INDICATORI DE FIABILITATE AI ELEMENTELOR NEREPARABILE. Prezentarea lucrării Pentru caracterizarea fiabilităţii unui echipament sau unei componente mecanice, electrice etc., nereparabile (pentru care repararea este neeconomică sau imposibilă) se utilizează un set de parametri, dintre care cei mai importanţi sunt următorii: funcţia de fiabilitate (sau probabilitatea de bună funcţionare): N( t) R( t), (4.) N 0 unde N(t) este numărul produselor aflate în funcţioare la momentul t, dintr-un lot iniţial de N 0 unităţi de produs, corespunzătoare timpului t = 0 de evaluare a fiabilităţii. funcţia de nonfiabilitate (sau probabilitatea de defectare): F n( t) ( t), (4.) N 0 unde n(t) este numărul produselor ieşite din funcţionare (defectate) la momentul t: n(t) = N 0 N(t). (4.3) densitatea de probabilitate a timpului de bună funcţionare (sau densitate defectărilor): n( t) f( t), (4.4) N0t unde n(t) este numărul elementelor defectate în intervalul de timp t. Având în vedere faptul că f(t) este funcţie variabilă, pentru determinarea valorilor sale empirice în mai multe puncte temporale ale studiului, intervalul de timp total dintre momentul căderii ultimului, respectiv primului element, se împarte în subintervale de observare t, după regula: t t t max i min, (4.5) 3, 3log N0 unde t min este timpul la care apare prima defectare, t max = timpul la care se defectează ultimul produs din lotul analizat, t i subinterval de observare de rang i. Între durata de observare şi subintervalele de studiu există relaţia: t tmax tmin i t i. (4.6) Obs. Aplicarea relaţiei (4.5) conduce la obţinerea unei valori care se rotunjeşte la un număr întreg. Prin împărţirea intervalului de studiu t la valoarea rotunjită a subintervalului t i, rezultă un număr i de subintervale, care numai întâmplător poate fi întreg. De regulă, se rotunjeşte la un număr întreg şi se extinde intervalul total de studiu aplicând multiplicarea din ultimul termen al relaţiei (4.6). rata instantanee de defectare: n( t) z( t), (4.7) N( t) t unde N(t) este numărul elementelor aflate în funcţiune la începutul intervalului t, iar n(t) numărul unităţilor defectate în intervalul t. Pentru un subinterval oarecare i: i N t i N0 nt i. (4.8) i media timpului de bună funcţionare: m i t n t imed i MTBF i, (4.9) N0 unde t i med este media timpilor de la capetele subintervalului (t) i, iar n(t) i numărul elementelor defectate în subintervalul (t) i. dispersia (varianţa) timpului de bună funcţionare: timed m n(t i i D ). (4.0) N0 i abaterea medie pătratică (standard): 5

16 D. (4.) Pentru o distribuţie normală a timpului de bună funcţionare, media acestuia se află în intervalul de încredere: m. 96 ; m. 96, (4.) N0 N 0 cu o probabilitate de 95%.. Desfăşurarea lucrării Se consideră cunoscute următoarele date de intrare: numărul total de elemente ale eşantionului de produse studiat, N 0 momentul defectării primului produs, t min momentul ieşirii din uz a ultimului produs din eşantion, t max. Pentru determinarea parametrilor de fiabilitate se parcurg următoarele etape: calculul intervalului total de studiu (rel. 4.6) determinarea mărimii subintervalelor i (rel. 4.5). Rezultatul de calcul se rotunjeşte la un număr întreg. calculul numărului subintervalelor (rel. 4.6) determinarea timpului mediu pe fiecare subinterval atribuirea numărului de defecte pe subintervale stabilirea numărului de elemente valide la începutul fiecărui subinterval (rel. 4.8) stabilirea numărului de elemente defecte la începutul fiecărui interval calculul parametrilor R(t) rel. 4., F(t) rel. 4., f(t) rel. 4.4 şi z(t) rel. 4.7 determinarea mediei timpului de bună funcţionare rel. 4.9, a dispersiei rel. 4.0, a abaterii standard rel. 4. şi a intervalului de încredere a mediei timpului de bună funcţionare rel. 4.. Rezultatele intermediare şi finale se înscriu în tabelele 4. şi 4.. Tabelul 4. N 0 t min t max t calcul t Z i calcul i Z t min recalculat t max recalculat Tabelul 4. i t min t max t med N(t) i n(t) i n(t) i N 0 - n(t) i R(t) i F(t) i f(t) i z(t) i i m = MTBF = D = = = Se trasează variaţia mărimilor aferente coloanelor 4, 5 şi 6 (număr de produse în funcţiune la începutul subintervalelor, numărul defectelor pe subinterval, numărul produselor defecte la începutul subintervalelor) pe acelaşi grafic. Se reprezintă pe acelaşi grafic funcţiile R(t) şi F(t). Se trasează în reprezentări separate funcţiile f(t) şi z(t). 6

17 LUCRAREA NR. 5 INDICATORI DE FIABILITATE AI ELEMENTELOR REPARABILE. Prezentarea lucrării Evaluarea fiabilităţii sistemelor nereparabile presupune analiza statistică a timpilor cumulaţi de utilizare, precum şi a timpilor cumulaţi de reparaţii. Pentru un lot de N 0 unităţi de produs reparabile, parametrii de fiabilitate caracteristici sunt: timpul total de utilizare: T k u t uj, (5.) j unde k este numărul de reparaţii, iar t uj reprezintă timpii de utilizare după reparaţiile aferente numărului de ordine j = k. Pentru fiecare piesă din lotul studiat, timpul total de utilizare este diferit. Din mulţimea acestor timpi se stabileşte valoarea t u min şi t u max. funcţia de fiabilitate, R(t), funcţia de nonfiabilitate, F(t), funcţia densitate a defectărilor, f(t), rata instantanee a defectărilor, z(t), media timpului de bună funcţionare, m u, dispersia timpului de bună funcţionare, D u şi abaterea standard a timpului de bună funcţionare, u - caracteristici relative la durata de utilizare timpul total de reparare: k T r t rj. (5.) j media timpului de reparare, m r, dispersia timpului de reparare, D r şi abaterea standard a timpului de reparare, r - caracteristici relative la durata de reparare.. Desfăşurarea lucrării Se consideră un lot de N 0 piese pentru care s-au urmărit timpii de utilizare t uj, j= k şi timpii de reparaţii t rj, j= k-. Valorile obţinute se înregistrează tabelar (tab. 5.). Tabelul 5. nr.piesa t u t r t u t r t uk T u T r Tu tu tu... tuk Tr tr tr... trk TuN0 tu tu... tuk TrN0 tr tr... trk N 0 Prin însumare pe linie, utilizând relaţiile (5.) şi (5.) rezultă pentru fiecare piesă timpul total de utilizare, respectiv timpul total de reparare. Prin analiza relaţiei de ordine dintre valorile înscrise pe ultimele două coloane ale tabelului se stabilesc: Tui, i N0 Tui, i N0 Tri, i N0 Tri, i N0 T umin min,, (5.3) T, umax max, (5.4) T rmin min,, (5.5) T, rmax max. (5.6) Cu timpii de utilizare T u min şi T u max obţinuţi cu relaţiile (5.3) şi (5.4) se determină parametrii de fiabilitate aferenţi timpului total de utilizare. Intervalul (T u max - T u min ) se împarte în i subintervale de studiu, conform procedurii descrise prin relaţiile (4.5), (4.6). Prin rotunjire, rezultă un număr întreg de subintervale şi o valoare convenabilă a extensiei temporale a subintervalului. Rezultatele se înscriu în tabelul 5.. Se distribuie numărul de defecte pe subintervale şi se calculează parametrii de fiabilitate cu relaţiile (4.), (4.), (4.4) şi (4.7). Centralizarea acestora este ilustrată în tabelul 5.3. Se trasează graficele R(T u ), F(T u ) şi f(t u ), z(t u ). 7

18 Tabelul 5. N 0 T u min T u max T u calcul T u Z i calcul i Z T u min recalculat T u max recalculat Tabelul 5.3 i T u min T u max T u med N(T u) i n(t u) i n(t u) i N 0- n(t u) i R(T u) i F(T u) i f(t u) i z(t u) i i Se calculează m u, D u şi u cu relaţiile (4.9 4.). Pentru determinarea parametrilor de fiabilitate referitori la reparare, se utilizează timpii de reparare obţinuţi cu relaţiile (5.5) şi (5.6). Durata reparaţiilor se împarte în subintervale şi se completează tabelul 5.4. Tabelul 5.4 N 0 T r min T r max T r calcul T r Z i calcul i Z T r min recalculat T r max recalculat Se distribuie numărul pieselor reparate pe subintervale şi se calculează m r, D r şi r cu relaţiile (4.9 4.). Rezultatele intermediare se înscriu în tabelul 5.5. Tabelul 5.5 i T r min T r max T r med N(T r) i n(t r) i n(t r) i N 0- n(t r) i i Pentru aplicaţia numerică se utilizează datele din tabelul 5. Tabelul 5. nr.piesa t u t r t u t r t u3 t r3 t u4 t r4 t u5 t u t r

19 LUCRAREA NR. 6 FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURĂ MIXTĂ. Prezentarea lucrării Pentru calculul de fiabilităţii sistemelor cu structură mixtă (serie paralel), schema sistemului se separă formal în blocuri care au elemente cu acelaşi tip de dispunere. Se efectuează apoi calcule pe ansambluri formate din grupuri dispuse fie în serie, fie în paralel, până la determinarea fiabilităţii întregului sistem. Spre exemplu, sistemul a cărei schemă este redată în figura 6., este format din elemente conectate în structură mixtă. e e e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 0 e Fig. 6. Sistem cu structură mixtă serie paralel Se pot identifica următoarele subansambluri conectate în serie sau paralel, pentru care funcţia de fiabilitate poate fi scrisă direct: R, R R e (structură paralel) (6.) R4, R R e (structură paralel) (6.) R7, 8 R7 R8 e78 (structură serie) (6.3) R 0, R0 R e0, (structură serie) (6.4) Structura echivalentă a sistemului după prima grupare a câte două elemente în serie sau paralel este prezentată în figura 6.. e e 3 e 45 e 6 e 7,8 e 9 e 0, Fig. 6. Structura echivalentă după prima grupare a subansamblurilor serie sau paralel Elementele e, e 3, e 45 şi e 6 sunt legate în serie. Elementele e 78 şi e 9 sunt conectate în paralel, iar ca subansablu sunt grupate cu e 0, în serie. Analitic, se poate scrie: R,,3,4,5,6 R, R3 R4,5 R6 [ R R R 3[ R4 R5 ] R6 (6.5) R R R R R 7,8,9 7, R9 (6.6) R7 R R [ R R R ]R R (6.7),8,9,0, 7,8,9 0,

20 Primul grup (e, e 3, e 45 şi e 6 ) formează o structură paralel cu cel de-al doilea grup (e 78, e 9, e 0, ) fig e,,3,4,5,6 e 7,8,9,0, Fig. 6.3 Structura echivalentă a sistemului după a doua grupare a subansamblurilor serie sau paralel Fiabilitatea structurii echivalente finale (fig. 6.4) va fi: R,,... R,...6 R7,8... (6.8) e,,..., Fig. 6.4 Structura echivalentă finală a sistemului mixt Introducând relaţiile intermediare (6. 6.7) în expresia finală (6.8) rezultă fiabilitatea sistemului dat în figura 6.: R,... R R R4 R5 R7R8 R9 R3R6R0R. (6.9) Funcţie de complexitatea structurii este necesar un număr variabil de grupări intermediare, respectiv de structuri echivalente intermediare.. Desfăşurarea lucrării Pentru structura din figura 6. se calculează fiabilitatea sistemului, cunoscând valorile fiabilităţii elementelor componente (tab. 6.). e e e 6 e3 e 4 e 5 e 7 e 8 e 9 e 0 Fig. 6. Structură mixtă serie paralel Tabelul 6. R 0.90 R R 0.85 R R R R R R R

21 LUCRAREA NR. 7 CALCULUL FIABILITĂŢII SISTEMELOR CU STRUCTURĂ MIXTĂ PRIN APLICAREA FUNCŢIEI PROBABILITĂŢII TOTALE. Prezentarea lucrării În cazul unor sisteme, schemele structurale nu pot fi descompuse exclusiv în grupuri serie sau paralel. În acest caz se aplică relaţia probabilităţii totale: R sis R s / j R j R s / j 0 R j, (7.) unde j este numărul de ordine al elementului care nu permite echivalarea sistemului numai prin grupări de tip serie sau/şi paralel s= convenţional simbolizează starea de bună funcţionare a sistemului j= convenţional semnifică starea de bună funcţionare a elementului j j=0 convenţional se atribuie pentru starea de defectare a elementului j. În figura 7. este redată schema unui sistem cu structură mixtă. Se observă faptul că elementul e 4 nu poate fi încadrat într-un grup serie sau paralel şi necesită o tratare matematică specifică acestei situaţii. e e e 3 e 4 e 5 e 6 Fig. 7. Structură mixtă cu element care nu poate fi încadrat într-un grup de tip serie sau paralel Practic, se consideră două situaţii limită: elementul e 4 se află în stare de funcţionare (s=/j=) fig. 7. elementul e 4 este defect (s=/j=0) fig Fig. 7. Structura sistemului considerând elementul e 4 în stare de funcţionare (R 4=) e e e e 3 e,3 e 5 e 6 e 5,6 Fig. 7.3 a. Structura sistemului considerând elementul e 4 defect b. (R 4=0)

22 Pentru structura echivalentă din figura 7., în care R 4 =, se poate scrie: R s / j R R, 5R3, 6 R R R5 R3 R6 (7.) Pentru structura echivalentă din figura 7.3, în care R 4 =0, rezultă: R s / j0 R R, 3 R5, 6 R RR3 R5R6. (7.3) Aplicând funcţia probabilităţii totale se obţine: Rsis R R R5 R3 R RR3 R5R6 R4 R 6 R4 (7.4). Desfăşurarea lucrării Pentru sistemul cu structură mixtă prezentată în figura 7. se calculează fiabilitatea, cunoscând valorile din tabelul 7.. e e e 6 e3 e 4 e 5 e 7 e 8 e 9 e 0 Fig. 7. Structură mixtă cu element care nu poate fi încadrat într-un grup de tip serie sau paralel Tabelul 7. R 0.90 R R 0.85 R R R R R R R 6 0.9

23 LUCRAREA NR. 8 REDUNDANŢA SISTEMELOR CU FIABILITATE IMPUSĂ. Prezentarea lucrării Creşterea fiabilităţii sistemelor de tip serie poate fi asigurată prin redundanţă, respectiv introducerea în paralel a unor elemente suplimentare, având funcţii similare elementelor din schema de bază. Se consideră un sistem format din cinci elemente înseriate (fig. 8.). R e e e 3 e 4 e 5 Fig. 8. Schema iniţială a sistemului serie Funcţia de fiabilitate a sistemului este: 5 R sisr, R... R5 R R... R5 Ri. (8.) i Dacă R sis < R, unde R este fiabilitatea impusă sistemului, se procedează la dezvoltarea schemei prin introducerea unor elemente similare ca funcţie celor de bază şi respectând regula de conectare în paralel. Redundanţa sistemului, k, este egală cu suma redundanţelor elementelor (de exemplu, dacă este necesară redundarea elementului de două ori şi a elementului 4 o dată, rezultă o redundanţă a sistemului egală cu 3; schema redundată a sistemului va conţine o grupare paralel de trei elemente şi o grupare paralel de două elemente 4). Determinarea redundanţei necesare sistemului pentru asigurarea fiabilităţii impuse se desfăşoară iterativ, parcurgând următorul algoritm de principiu: calculul fiabilităţii iniţiale (corespunzător redundanţei k = 0) şi compararea cu valoarea impusă, R: 0 R ( ) n sis Ri (8.) i dacă R sis < R, se redundeză elementul cu fiabilitatea cea mai mică şi se recalculează fiabilitatea sistemului (corespunzător redundanţei k = ): Ri Rn ( ) ( ) R sis R... Ri... Rn R (8.3) se redundează iterativ elementele sau grupurile echivalente cu fiabilitatea cea mai mică, până când, la o redundanţă k, este îndeplinită condiţia R sis R.. Desfăşurarea lucrării Pentru elementele schemei din figura 8. se cunosc valorile funcţiei de fiabilitate (tab. 8.). Tabelul 8. R 0.85 R 0.80 R R R Se determină redundanţa k pentru valorile impuse R = 0.80; R = 0.85, R = 0.90; R = 0.95; R = Rezultatele calculelor iterative se înscriu în tabelul 8.. Tabelul 8. Element R k k 3