Topologiei Algebrice şi Teoriei Formei la Facultatea de Matematică a Universităţii Al. I. Cuza din Iaşi

Transcription

1 Cercetarea ştiinţifică în domeniile Topologiei Diferenţiale, Topologiei Algebrice şi Teoriei Formei la Facultatea de Matematică a Universităţii Al. I. Cuza din Iaşi I. POP Introducere. Termenul de TOPOLOGIE a fost pentru prima dată folosit în literatura germană (derivat din termenii greceşti topos -loc şi logos -studiu), de către Listing ( ). Acesta a fost precedat de termenul latin ANALYSIS SITUS folosit prima dată de către Leibniz ( ), şi a fost apoi ales de către Poincaré ( ) ca titlu pentru faimoasa sa serie de memorii publicate între anii Cei doi termeni, topologie şi analysis situs, au fost ambii folosiţi până aproximativ în 1930, când Lefschetz ( ) a consacrat termenul de topologie. Pentru a distinge studiul topologic al mulţimilor geometrice de cel al mulţimilor abstracte au fost folosiţi termenii de topologie combinatorie şi respectiv topologie generală. Cu timpul topologia combinatorie a devenit topologia algebrică (studiul spaţiilor topologice cu ajutorul unor structuri algebrice), cu ramurile principale teoria omotopiei şi teorii de omologie şi coomologie, şi in plus au apărut ramuri noi în direcţia geometriei, ca topologia geometrică (studiul varietăţilor şi scufundărilor acestora), teoria formei ( extinderea rezultatelor teoriei omotopiei la spaţii arbitrare) şi topologia diferenţială ( studiul funcţiilor diferenţiable pe varietăţi). Deşi topologia algebrică modernă a fost creată încă de la sfârşitul secolului al XIX-lea de către Henri Poincaré, aceasta nu a găsit prea repede mulţi cercetători care să i se dedice, cu excepţia remarcabilă a lui Brouwer ( ). Chiar şi în Franţa preocupările erau mai mult de geometrie diferenţială decât de topologie. Dar spre sfarşitul primului sfert al sec. al XX-lea, Europa Centrală devine un adevărat laborator de cercetări în topologie, focarul fiind la Univ. din Viena, unde lucrau sau făceau studii Wirtinger ( ), Menger ( ), Reidemeister ( ), Tietze ( ), Hurewicz ( ), Vietoris ( ) ş.a. Dar nu acelaşi lucru s-a intâmplat în partea răsăriteană a Europei, unde atracţia a fost mai mare pentru topologia generală şi mai puţin pentru topologia combinatorie, geometrică sau diferenţiala. Dar o separare categorică dintre combinatorişti şi generalişti nu s-a făcut mult timp, cel puţin fiindcă combinatoriştii nu puteau să nu fie şi destul de buni generalişti. Probabil ca generaliştii nu erau prea interesaţi de topologia combinatorie, care adeseori impunea anumite restricţii spaţiilor studiate. Pentru topologia generală Polonia a devenit un adevărat bastion prin Sierpinski ( ) şi Kuratowski ( ). În contrapondere, Borsuk ( ) şi şcoala sa au dezvoltat teoria retractelor şi teoria formei, care ţin de topologia combinatorie; în Rusia şi fosta Uniune Sovietică topologia algebrică este reprezentată (printre mulţi alţi mari matematicieni) de către P.S. Alexandrov ( ) şi Pontriaghin ( ); în fosta Iugoslavie Sibe Mardešić( ) a format o puternică scoală în topologia geometrică şi teoria formei. Şi în România primele cercetări şi lucrări sunt în domeniul topologiei generale (cu aplicaţii): Simion Stoilow ( ) şi Miron Nicolescu ( ), dar apar şi preocupări de topologie geometrică la Gheorghe Călugareanu ( ) (teoria nodurilor), iar pe la mijlocul anilor 60 ai secolului trecut la Bucureşti începe să se formeze o scoală serioasă de topologie algebrică mai întai, prin Tudor Ganea ( ), Aristide Deleanu (1932) şi Kostake Teleman( ), dar şi una de topologie diferenţiala prin T. Hangan, D. Burghelea, H. Moscovici şi A. Verona. Deşi la Iaşi existau alte domenii foarte bine consolidate, în special în geometrie, lucrurile nu au stagnat nici în domeniul mai nou al topologiei. În cursurile de geometrie şi funcţii de variabilă complexă ale Profesorului Octav Mayer ( ) au apărut destul de timpuriu, spre şi imediat după mijlocul secolului trecut, elemente de topologie 1

2 aplicată în geometrie. Astfel, în cursul de Geometrie Proiectivă publicat postum, în anul 1970, în Editura Academiei RSR, [26], găsim un capitol intitulat Noţiuni de topologie generală cu privire specială la spaţiile proiective. Pe lângă noţiunile de toplogie generală inerente (spaţii topologice, spaţii Hausdorff, spaţii regulate, spaţii normale, spaţii metrizabile, spaţii compacte, spaţii cu baza numărabilă, reprezentări(aplicaţii) continue ş.a), găsim construcţii şi rezultate specifice topologiei combinatorii : spaţii de identificare, simplexe, numărul Lebesgue al unei acoperiri şi teorema lui Lebesque, lema simplicială Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, teorema de punct fix a lui Brouwer şi teorema de invarianţă a dimeniunii. Odată cu noua generaţie de profesori ai facultaţii şi elevi ai acestora, apar primele seminarii de informare ştiinţifică în domeniul topologiei algebrice. Aceste seminarii, initiate la imboldul Profesorului Adolf Haimovici, un adevărat maestru şi mare om de şcoală, au fost ţinute în facultate in anii ai secolului trecut de către Radu Miron (1927) (după cartea lui A. H. Wallace-Introduction to Algebraic Topology, N.Y. Pergamon, 1957), Dan I. Papuc (1930) (după cartea lui N. E. Steenrod- Topology and Fibre Bundles, Princeton, 1951) şi Mordehai Epstein (toplogie generală dupa Kuratowski). La seminariile acestea participau şi profesorii mai maturi, conscraţi deja în alte domenii, cum au fost Gheorghe Gheorghiev ( ) şi Adolf Haimovici ( ). Primul curs pentru studenţi a fost cursul special de Toplogie şi varietăţi algebrice ţinut în anul univ de către Dan I. Papuc studenţilor din anul V ai secţiei de matematică. Au fost prezentate elemente de teoria omotopiei şi grupul fundamental, şi câteva elemente de geometrie algebrică. Pentru autorul referatului de faţă acest curs a fost hotărâtor pentru alegerea domeniului de cercetare. Pornind de la plăcerea de-a fi audiat acest curs şi profitând de faptul că tocmai apăruse în librarii cartea lui C. Teleman Elemente de topologie şi varietaţi diferenţiabile, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964, subsemnatul m-am înscris la doctorat în domeniul topologiei algebrice la Profesorul Gheorghe Galbură ( ) de la Facultatea de Matematică a Universităţii Bucureşti. Profesorul Galbură era specilist în geometria algebrică, dar fiindcă în topologia algebrică înca nu era în ţară un specialist cu titlul de profesor universitar care să aibă conducere de doctorat, i-a fost ataşată in obligaţie şi această disciplină. Deşi ar fi dorit să scape de ea şi a încercat să mă convingă să aleg geometria algebrică, m-a acceptat în cele din urmă aşa cum am dorit eu, încredinţându-mă ca elev al conferenţiarului ( pe atunci şi încă mult timp dupa aceea) Costake Teleman. Ajutat de acesta, am reuşit să susţin in toamna anului 1970, la Facultatea de Matematică a Univ. Bucureşti, teza de doctorat intitulată Teoreme de clasificare pentru fibrări şi cvasi fibrări. Teza a fost publicată in extenso în Studii şi Cercetări Matematice [70]. Devenind în 1971 membru al Catedrei de Geometrie a Facultăţii de Matematică din Iaşi, aceasta primea formal un specialist în domeniul toplogiei algebrice. De fapt, acolo exista deja un specialist şi în acest domeniu, Profesorul Izu Vaisman, care mi-a fost profesor şi conducător al lucrării de diplomă (dar cu o temă de geometrie ) şi pe care l-am consultat şi în perioada elaborării tezei mele de doctorat. Acesta a ramas, până la plecarea d-sale din tară, adevăratul catalizator al activităţii de informare în domeniul topologiei algebrice şi diferenţiale. Astfel, prin 1967 d-sa a ţinut în Catedră referate despre fascicule şi coomologia Čech; cu studenţii, la cursul de geometrie algebrică (seria Liliana Maxim), a facut, dupa cartea Toplogical methods in algebraic topology a lui F. Hirzebruch, fascicule, fibrări, clase caracteristice etc; în anii a initiat un seminar la care au fost expuse atât materiale de mecanică cuantică de către fizicieni (Ioan Gottlieb, Gh. Zet, Maftei) cât şi materiale de topologie algebrică, şi unde d-sa a expus un articol Applications of an isotopy theorem de Fotiadi-Froissart-Lascoux-Pham, dedicat unor aplicaţii la integrale Feynman, material publicat în [113]. În cadrul seminariilor acestora conduse şi susţinute în primul rând de către Profesorul Vaisman a început să se formeze Jack Weinstein, care în 1974 şi-a susţinut doctoratul în topologia algebrică la Facultatea de Matematică din Bucureşti sub conducerea Conf. Dr. Costake Teleman [114]. Deşi în perioada respectivă ( ) domnul Jack Weinstein făcea parte din Institutul de Matematică al Academiei Filiala Iaşi, el participa efectiv la activitatea de informare ştiinţifica a Catedrei de Geometrie. Pană la desfiinţarea Institutului şi transferul său la Centrul de Calcul, unde a fost nevoit să se recalifice în domeniul informaticii, domnul Jack Weinstein a mai lucrat în topologia algebrică, fie pentru el, [115] şi [116], fie pentru alţii, colegi şi studenţi, fiindcă în mod indiscutabil domnul Jack Weinstein era o minte enciclopedică şi un om de o rară generozitate. Autorul referatului de faţă îşi aminteşte că Jack a fost în stare să demonstreze în mod uimitor un rezultat important, necesar cuiva 2

3 la un moment dat, numai punând cap la cap o serie de alte rezultate pe care le avea în minte. Tot de la Jack Weinstein referentul a aflat pentru prima dată de infinite homotopy theory şi de ends of toplogical spaces şi despre multe altele, într-o perioadă în care informarea ştiinţifică era o problema la noi în ţară. În sfârşit, domnului Jack Weinstein îi datorează Seminarul Matematic Alexandru Myller, adică beneficiarii acestuia, îmbogaţirea cu toate cărţile de topologie algebrică şi diferenţială (şi evident că nu numai) care apăreau, fie în occident fie la ruşi. Topologia diferenţială. Revenind la Profesorul Vaisman, unele din lucrările d-sale publicate până la plecarea din ţară, deşi în esenţă de geometrie, aşa cum precizează d-sa, au avut aspecte de topologie diferenţială. Aşa au fost lucrările [101] şi [102] în care subiectul era o noţiune de pseudocomplex de colanţuri căruia i se pot asocia complexe şi spaţii de coomologie, cu un număr de exemplificări în geometria diferenţială, în particular la diferenţiala exterioară covariantă. Lucrările [103] şi [104] au fost folosite în articole publicate de S. Goldberg şi N. Petridis, iar coomologia descoperită de Vaisman a fost apoi redescoperită independent şi amplu dezvoltată de către S. Halperin şi D. Lehmann în lucrarea Cohomologies et classes caractristiques des choux de Bruxelles, [Differ. Topol. Geom., Proc. Colloq. Dijon 1974, Lect. Notes Math. 484, (1975)]. În 1993 I. Vaisman a revenit asupra acestui subiect, început la Iaşi cu doua decenii în urmă, în lucrarea [105]. Alte contribuţii ale Profesorului Izu Vaisman cu aspecte de topologie diferenţială au fost în teoria foliaţiilor:[106], [107], [108], [109], în care au fost demonstrate leme de tip Poincaré şi Dolbeault, şi s-au calculat spaţiile de coomologie ale unei varietăţii cu coeficienţi in fascicule de forme foliate. În [110] I. Vaisman a introdus noţiunea de complex dublu semi- pozitiv şi a asociat acestuia un şir spectral. Ca urmare a cursurilor şi lucrărilor anterioare, în 1973 Profesorul Vaisman a publicat excelenta monografie [111], care conţine capitole de teoria categoriilor, fascicule, fibrări şi coomologia varietăţilor diferenţiable complexe şi foliate. În sfârşit, mentionăm tot din activitatea perioadei ieşene a Profesorului Vaisman lucrarea [112], apărută la scurt timp după plecarea d-sale din ţară, în 1976, în care este dată o variantă topologică a teoremei de descompunere a lui de Rham pentru varietăţi riemanniene reductibile. Un alt nume important în matematica romanească fost membru al Catedrei de Geometrie a Facultăţii de Matematică din Iaşi este Profesorul Mircea Craioveanu. Absolvent la Iaşi în 1965, domnul Craioveanu şi-a facut doctoratul, sub conducerea Profesorului Gheorghe Gheorghiev, în geometrie, [4]. Dar sunt câteva capitole din teză şi mai multe lucrări ale sale, apărute în perioada ieşeană, înainte de plecarea sa la Universitatea din Timişoara, care vizează probleme importante de topologie diferenţială. Astfel, în [6] şi [7] sunt tratate subiecte de coomologie diferenţială, iar în [8]- [11] sunt generalizate o serie de teoreme importante asupra coomologiei varietăţilor foliate cu coeficienţi în fasciculul formelor foliate de la cazul finit dimensional la cazul infinit dimensional. Rezulatele generalizează sau rafinează rezultate ce aparţin unor matematicieni cunoscuti ca I. Vaisman, N. Steenrod, B. L. Reinhart, R. Hermann, C.J. Earle, J. Eells, Jr.. Teza de doctorat, susţinută în octombrie 1970 la Facultatea de Matematică a Universităţii Al. I.Cuza din Iaşi, a fost citată de I. Vaisman în monografia [111] şi de L. Maxim-Răileanu în articolul [15]. Articolele [8], [9], [10] şi [11] au fost citate de către C. Godbillon în monografia Feuilletages, Etudes geometriques, Birkhäuser Verlag, 1991, şi Ph. Tondeur în monografiile Foliations on Riemannian Manifolds, Springer-Verlag, 1988, şi Geometry of Foliations, Birkhäuser Verlag, 1997, iar articolul [10] de către I. Tamura, în monografia The Topology of Foliations (traducerea în limba rusă in Editura Mir, 1979), precum şi într-un articol de V. A. Igoshin şi Ya. L. Shapiro. Prin plecările la alte universităţi ale unor matematicieni din cei mai importanţi, Dan I. Papuc, Mircea Craioveanu şi Izu Vaisman, şi prin dispariţia prematură a eminentului Octavian Nanu, Catedra de Geometrie a avut mult de pierdut. Dar, cum viaţa merge înainte, au venit la catedră alţi colegi, mai tineri, printre care, lucrând la acea vreme în topologia algebrică şi diferenţială, domnul Dumitru Motreanu. Acesta şi-a susţinut doctoratul, în anul 1978 sub conducerea Prof. Radu Miron, cu o teză în acest domeniu [52]. Prin prezenţa domnului Motreanu în catedră, activitatea de cercetare şi cu studenţii în domeniile topologiei algebrice şi diferenţiale s-a revigorat substanţial. Acesta a publicat un mare număr de lucrări, parte dintre acestea axate pe probleme de topologie algebrică sau diferenţială. În acestea au fost studiate spaţiile subcarteziene [53], au fost introduse varietăţile preinelate şi coomologia acestora [54], a fost dată o caracterizare a unei anumite relaţii de omotopie, 3

4 [55], şi a fost facut un studiu asupra transversalităţii pentru distribuţii [56]. Alte lucrări ale domnului Profesor Dumitru Motreanu din perioada cât a activat la Catedra de Geometrie se referă la aplicaţii importante ale geometriei şi topologiei diferenţiale în probleme de ecuaţii pe varietăţi şi optimizare. Un loc cu totul special în activitatea de cercetare în domeniul topologiei diferenţiale de la facultatea noastră, şi chiar din ţară, îl ocupă Doamna Liliana Maxim-Răileanu. Într-o serie de lucrări d-sa s-a ocupat cu probleme de prelungire: ale fibrărilor Banach [15], ale varietăţilor Banach foliate şi ale fibratelor foliate [16]. Lucarea [16] a fost citată de către Philippe Tondeur în Bibliography on Foliations. Un alt subiect de succes al autoarei a fost coomologia algebroizilor Lie [17]. Lucrarea a fost recenzată în MR deosebit de favorabil de către Raymond Barre şi a fost citată în patru lucrări de către J. Kubarski, M. Karasev et colab. Lucrările [18], [19], [20] au fost recenzate în MR deosebit de favorabil de către recunoscuţi specialişti în domeniu, respectiv J. E. Marsden, P. Ver Eecke şi J. Eeells. Lucrarea [21], publicată în Buletinul Academiei Poloneze, a fost citată de către O. Pekonen într-un articol publicat în aceeasi revistă de mare prestigiu. În lucrarea [22] a fost dată o teoremă de tip Hodge pentru varietăţi Morey. O altă lucrare menţionata de către Philippe Tondeur în a sa Bibliography on Foliations este lucrarea [23], în care autoarea extinde unele rezultate ale lui L. A. Favaro la cazul varietăţilor foliate cu bord şi al morfismelor adecvate între asemenea varietăţi. Ultima lucrare a doamnei Liliana Maxim- Răileanu găsită recenzată este lucrarea [24], în care autoarea introduce noţiunea de F -stabilitatea infinitezimală pentru aplicaţii foliate, şi în care se demonstreaza că C F -stabilitatea implică C F -stabilitatea infinitezimală. Un alt mare număr de lucrări ale doamnei Liliana Maxim-Răileanu aparţin altor domenii ale matematicii, cum ar fi geometria diferenţiala şi analiza globală. În legătură cu activitatea didactică şi de îndrumare ştiiţifică a studenţilor în domeniul topologiei diferenţiale, Doamna Maxim-Răileanu a ţinut cursuri din această disciplină, a publicat o monografie excelentă cu acest conţinut, [25], care numai datorită unor împrejurari nefericite nu a putut să apară în Editura Academei, aşa cum din punct de vedere ştiinţific fusese aprobata şi inclusă în programul editurii. A lucrat mult şi cu mare pasiune cu studenţii d-sale, îndrumând mai multe lucrări de cercetare studenţească în domeniul topologiei diferenţiale, şi conducând mulţi ani, alături de Domnul Dumitru Motreanu, cercul studentesc de pe lânga Catedra de Geometrie. Prin retragerea la pensie, prematură şi autoimpusă, a Doamnei profesoare Liliana Maxim-Răileanu, Catedra de Geometrie şi Faculatea de Matematică din Iaşi, dar şi topologia diferenţială ca domeniu de cercetare şi ca disciplină de învătământ, au avut, după părerea referentului, mult de pierdut. Lucrările Profesorului Vasile Oproiu la interscţie cu tema referatului de faţă aparţin topologiei algebrice pe varietăţi. Într-un prim grup de lucrări, [57]-[60], s-au obtinut estimări ale codimensiunii de nescufundare ale varietăţilor Grassmann în spatii euclidiene. În primul rând, s-a obţinut o expresie pentru clasa Stiefel-Whitney totală duală a fibratului tangent al unei varietăţi Grassmann. Apoi s- a determinat clasa Stiefel-Whitney nenulă de ordin maxim şi s-au dedus în consecinţă teoremele de nescufundare. În [58] s-a făcut acelaşi lucru pentru varietăţile Grassmann G 2,n şi G 3,n ale 2-planelor din R n+2 şi ale 3-planelor din R n+3, iar în lucrarea [60] s-a obţinut rezultatul general, dându-se estimari ale codimensiunii de nescufundare pentru varietatea Grassmann G m (R m+n ). Alte rezultate auxiliare au fost obţinute în [57]şi [59]. Un al doilea grup de lucrări, [61]-[64], se referă la proprietaţi ale claselor caracteristice ale unor varietăţi reale şi complexe. Se ştia că clasele Pontriaghin ale varietăţilor riemanniene de curbură secţionala constantă sunt nule. S-au obţinut rezultate similare pentru varităţi kähleriene de curbură secţională olomorfă constantă, unde clasele Chern sunt puteri ale primei clase Chern, pentru varietăţile sasakiene de curbură φ-secţională constantă unde clasele Chern ale fibratului complex asociat sunt puteri ale primei clase Chern,şi pentru varietăţi quaternionice kähleriene (hyper kähleriene) de curbură Q-secţională constantă unde clasele Pontriaghin sunt puteri ale primei clase Pontriaghin. În lucrările [65] şi [66] au fost definite clasele caracteristice Dolbeault. Toplogia algebrica. Primele lucrări pe care le-am găsit publicate în acest domeniu de către un matematician ieşan sunt trei articole ale domnului Dan Brânzei [1]-[3]. Dar se pare ca acestea nu au avut o continuare nici în preocupările lui Dan Brânzei şi nici ale altor autori. Preocupările în Catedra de Geometrie a Facultăţii pentru topologia algebrică în sens mai strict, să zicem teoretic, au început odată cu încadrarea ca lector a lui Ioan Pop. În teza de doctorat a acestuia, deja menţionată, a fost în primul dată o demonstraţie riguroasă a unei teoreme a lui James Stasheff [ A classification theorem for 4

5 fiber spaces, Topology 2, (1963)], privind clasificarea fibrărilor Hurewicz având spaţiul bază B de tipul de omotopie al unui CW-complex fixat şi fibrele de tipul de omotopie al unui CW-complex finit F. De asemenea s-au stabilit rezultate analoage pentru cvasifibrări (aplicatii p : E B pentru care homomorfismele p : π i (E, p 1 (b)) π i (B, b) sunt izomorfisme pentru orice i, orice x B, şi orice e p 1 (b)) şi pentru fibrările geometrice introduse de către C. Teleman [ Connetions and bundles I-II, Indag. Math., 32, No. 1, (1969)]. Lucrarea [70] a fost citată de către K. Tsukiyama în Hiroshima Math. J. 12 (1982), O bună perioadă de timp preocupările lui I. Pop în studiul fibrărilor şi spaţiilor de acoperire au continuat. Au fost publicate mai multe lucrări în acest sens: asupra aplicaţiei principale asociate unei cvasi fibrări [Bul.Inst. Polit.Iaşi, 1969], asupra fibrărilor în categoria perechilor [Bul. Inst. Polit. Iaşi, 1971], asupra cofibrărilor cu spaţiile bază şi total Hausdorff local compacte [Bul. Inst. Polit. Iaşi, 1972], asupra proprietăţilor HL şi HE pentru şiruri de aplicaţii continue [An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, 1973], asupra spaţiilor de acoperire ale varietăţilor cu bord, fibratelor vectoriale, fibratelor geometrice şi fibrărilor Hurewicz (colab. cu Fulga Pop, în Bul. Inst. Polit. Iaşi, 1974, 1976, 1977, şi [71]), asupra fibratului drumurilor, o generalizare la fibrări Hurewicz a construcţiilor spaţiilor de acoperire [Bul. Inst. Polit. Iaşi, 1979]. În [72]s-a demonstrat, utilizând teoria Morse, că pentru o acoperire netedă cu un număr finit de foi există o aplicaţie de acoperire echivalentă omotopic în categoria CW-complexelor. În [73]s-au introdus noţiunile de fibrare şi cofibrare în sens omotopic, lucrarea fiind citată de catre câţiva autori, printre care R. W. Kieboom [ Bull. de la Soc. Math. Belgique, vol 32, fasc. 1, Ser. B, 1980, 83-95], şi a fost recenzată favorabil în ZB de către R. Cauty. În [74] a fost introdusă noţiunea de bicofibrare care este o generalizare a sumei topologice şi include uniunea a doua complexe simpliciale. Lucrarea a fost citată de catre L. D. Mdzinarishvili [ Proc. Conf., Dubrovnik/Yugosl. 1986, Lect. Notes Math. 1283, (1987)] şi R. W. Kieboom [ Bull. Soc. Math. Belgique, Vol 35, Fasc. II, Ser. B, 1983, ; Vol.36, Fasc. II, Ser.B, 1984, ]. Lucrarea [75] este în afara tematicii de mai sus şi se referă la prelungirea unei aplicaţii f : A Y, la un poliedru simplicial X A, cu ajutorul unui sistem local de coeficienţi, fără ipoteza obişnuită de spaţiu simplu asupra lui Y. Alte două lucrări, [76] şi [77], se referă la probleme de localizare în topologia algebrică. Un spaţiu toplogic se numeşte n-simplu, n 1, dacă π 1 (X) acţioneză trivial pe π n (X). În [76], pentru o mulţime l de numere prime, se definesc noţiunile de grup l-local şi spaţiu l-local, care generalizează noţiunile de grup şi de spaţiu simplu. Se stabilesc teoreme de izomorfism în omologia şi coomologia cu coeficienţi în sisteme l-local constante de grupri de omotopie. În [77] se continuă studiul acesta şi se demonstrează că: 1) dacă f : X Y este o l-localizare omotopică şi X este l-simplu, atunci f este de asemenea o l-localizare omologică; 2) pentru orice l-spaţiu simplu X, există un spaţiu l-local X l şi o aplicaţie continuă u : X X l care este o l-localizare. Lucrarea [76] a fost citată de către Carles Casacuberta[ Arch. Math. Vol. 53, ]. În legatură cu topologia combinatorie în sens clasic, s-a dat pentru formula lui Künneth în cazul unui produs de poliedre o demonstraţie simplicială, utilizându-se structura simplicială a produsului [An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Mat. 35 (1989), 27-31]. Tot asupra complexelor simpliciale sunt şi două lucrări privitoare la inelul Stanley-Reisner. Acest inel se asociază unui complex simplicial, şi printre aplicaţiile acestuia se află rezolvarea (de catre J. Munkres) a aşa numitei Upper Bound Conjecture pentru sfere (T. S. Motzkin, 1957), care se referă la o estimare a numărului maxim de simplexe într-o dimensiune dată pentru orice triangulare a unei sfere (mai general a unui poliedru arbitrar). Prima dintre aceste lucrări ale lui I. Pop [Lucr. Conf. Nat. Geom. Top. Timişoara, 2-7 iulie 1984] studiază inelul Stanley-Reisner al suprafeţelor arbitrare şi al spaţiilor proiective, şi se demonstreză că singura suprafaţa Cohen-Macaulay (CM) este sfera S 2 ; că singura suprafaţa cu bord CM este discul 2-dimensional; si că singurul spaţiu proiectiv complex CM este dreapta proiectivă complexă. În cea de a doua lucrare, [78], se arată că n-suspensia S n a unui complex simplicial finit este CM (sau dublu CM, sau Gorenstein) dacă şi numai dacă este astfel, şi că dacă S n, pentru un n 1, este un complex simplicial Buchsbaum, atunci trebuie sa fie la fel. Lucrurile au fost continuate apoi de către Corina Sava(Mohorianu), in [32], care s-a ocupat de inelul Stanley-Reisner al unei uniuni de complexe simpliciale 1 2, şi a demonstrat că daca termenii uniunii sunt CM( 2-CM, ACM, Gorenstein, sau Buchsbaum) atunci 1 2 are proprietatea respectivă. Articolele [32] şi [78] au fost citate de catre Ralf Fröberg [ Manuscripta Math. 60, (1988)]. 5

6 O altă lucrare în zonă, dar de topologie combinatorie diferenţială este lucrarea [67] a Profesorului Dan I. Papuc. Aceasta conţine un rezultat cu importante aplicaţii în teoria secţiunilor spaţiilor fibrate şi în teoreme de rigiditate. Rezultatul principal al lucrării afirmă că o varietate triangulată finit dimensională admite, şi poate fi construită, o submulţime deschisă contractibilă (la un punct prescris) şi care este densă în varietate. Trecând spre o zonă mai teoretică, împreună cu Profesorul Radu Miron, şi din iniţiativa acestuia, a fost dezvoltată o teorie a omologiei şi coomologiei Čech abstracte, a sistemelor inductive şi respectiv proiective, care pentru un prefascicul pe un spaţiu topologic conduce la coomologia Čech topologică. După schiţarea progrmului în [28], teoria a fost dezvoltată şi aplicată la cazul topologic în monografia [29]. Pentru cotribuţia la scrierea acestei cărţi şi pentru alte doua lucrări aparute în 1974, I. Pop a primit Premiul Gheorghe Lazăr al Academiei RSR. Teoria coomologiei Čech abstracte a fost aplicată de către Gheorghe Pitiş în teza sa de doctorat, [69], sub conducerea Prof. Radu Miron, şi ulterior de către acelaşi în [ An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, N. Ser., Sect. I a 25, Suppl., (1979) şi Bull. Math. Soc. Sci. Math. Rpub. Soc. Roum., Nouv. Sr. 28(76), (1984)], iar de către I. Pop în [79], pentru a calcula grupurile de coomologie cu coeficienţi într-un fascicul celular simplu pentru un simplex standard, fără a apela la teoreme de K-teorie, cum se face în mod obişnuit. La colaborarea pentru scrierea monografiei [29] s-a ajuns ca urmare a colaboarii celor doi coautori în activitatea cu studenţii. La inceputul anilor 1970 cursul de topologia algebrică era ţinut de către Prof. Radu Miron, iar seminarul era condus de către I. Pop. În felul acesta s-a ajuns la o primă colabororare materializată într-o carte pentru studenti [27], iar ulterior la cele menţionate mai sus. O altă colaborare în domeniul topologiei algebrice în cadrul catedrei a fost cea a doamnei Corina Sava (Mohorianu) cu I. Pop. Aceştia au colaborat mai întâi la relizarea unei culegeri de probleme de topologie algebrică, [31], la care coautor a fost şi domnul He Zhen Xu, studentul nostru pe atunci, ajuns ulterior un important matematician chino-american. Culegerea a cuprins de fapt rezolvarea tuturor exerciţiilor şi problemelor din cartea Algebraic Topology de C.R. F. Maunder (Cambridge 1980), în cadrul cercului de topologie algebrică al catedrei. Culegerea noastră a fost văzuta de către Maunder care ne-a trimis o scrisoare de apreciere. Revenind la Corina Sava (Mohorianu), trebuie sa spunem că deşi a fost o studentă care a terminat cu media 10 facultatea şi care a făcut anul V de specializare, în domeniul algebrei si geometriei, la Facultatea de Matematică a Univ. Bucureşti, a ajuns foarte greu în Catedră, după mai mulţi ani de navetă şi de activitate la Institutul de Chimie Petru Poni din Iaşi. Ca să nu lungim vorba, să spunem doar că aşa au fost timpurile! Dar chiar şi în acele condiţii (până în 1991, cand fost încadrată la Facultate) cercul nostru de topologie algebrică se baza în principal pe dumneaei şi pe He Zheng- Xu. Pe lângă lucrarea deja mentionată asupra inelui Stanley-Reisner, a colaborat cu subsemnatul pentru lucrările [33] si [34], care conţin rezultate din teoria omotopiei şi omologiei algebrice. În ceea ce il priveste pe He Zheng- Xu ( atunci aparţinător în principal Catedrei de Geometrie, fiindcă a început sa lucreze cu I. Pop înca din anul I de studii şi a continuat cu el până la examenul de licenţa), acesta a reuşit să publice ca student, într-o prestigioasă revistădin Italia, două lucrări, [12] şi [13], din teoria omotopiei modulelor în sens Eckmann-Hamilton. He Zheng -Xu avea sa devină, nu peste mult timp de la absolvire, doctorand şi colaborator al laureatului Premiului Fields Michael H. Friedman de la Univ. California, San Diego, USA. Probabil ca He Zheng -Xu a fost cel mai strălucit student al cercului nostru de topologie algebrică, dar ne fac cinste şi ne sunt apropiati în acest sens şi alte nume de actuali profesori universitari sau cercetători cunoscuţi: Bertha Weinstein (Israel), Cătălina Davideanu (I. P. Iaşi), Marin Guţan (Franţa), Dragoş Hrimiuc (Canada), Corina Sava, Alexandra Dragomirna (Franţa), Oana Agrigoroaiei (doctorand Informatică, Iaşi), Oana Pocovnicu (bursieră a Guvernului francez pentru un doctorat la Paris). O precupare mai nouă în domeniul topologiei algebrice şi mai depărtata de suportul geometric, dar cu multe aplicaţii în diverse domenii ale matematicii este topologia algebrică necomutativa. Descoperită de către Alain Connes, în jurul anului 1980, aceasta este studiul topologic al C -algebrelor. Studiul unor probleme de toplogie algebrică necomutativă a constituit tematica unui grant de cercetare cu CNCSIS, desfaşurat pe trei ani, având ca titulari pe Corina Mohorianu şi Ioan Pop şi care a inclus şi câţiva studenţi. A fost ţinut în Catedră un seminar cu această tematică, iar ca rezultat au fost realizate: de către Mohorianu şi Pop lucrările [49], [50] şi [51], iar de către studenta Oana Agrigoroaiei o lucrare 6

7 publicată [A noncommutative interpretation of homotopy groups of a compact space. An. Şt.. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Ser. Noua, Mat. 52, No. 1, (2006)], recenzată favorabil de către Ivan Ivanšić. Apoi, domnişoara Alina Tofan şi-a susţinut teza de doctorat, [99], cu o temă de toplogie algebrică necomutativă. În teza sa Alina Tofan a adaptat şi a studiat în context necomutativ notiunile de fibrare şi de cofibrare (cu variantele slabe şi bi-), noţiuni fundamentale în topologia algebrică clasică. Din teza sa, Alina Tofan a publicat două lucrări singură [în An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Vol 43, No. 1 (2007), p şi p ] şi una în colaborare cu I. Pop, [100]. O alta încercare de diversificare a preocupărilor cu trimitere spre aplicaţii ale toplogiei algebrice este lucrarea lui I. Pop, [80], asupra spaţiilor directionate, în al caror studiu algebrico -topologic se iau în consideraţie numai anumite drumuri (şi nu neapărat şi inversele acestora). Tematica respectivă a fost dezvoltată în ultimii ani (chiar după 2000) de către Marco Grandis, L. Fajstrup, E. Goubault şi M. Raussen în legătură cu probleme de computer science. Este o tematică care ar putea atrage pentru colaborare şi informaticieni teoreticieni. Într-o lucrare mai recentă, [94], este abordat un subiect de omotopie echivariantă. Utilizand proprietatea categoriei omotopice a CW-complexelor liniar conexe puncate de a fi balansată, proprietate stabilită de către E. Dyer şi J. Roitberg[ Top. and Appl. 46(1992), ], şi o condiţie de echivalenţa omotopică echivariantă a lui I. M. James şi G. B. Segal [Topology, 17 (1978), ], în articol se demonstrează o conditie suficientă ca un bimorfism omotopic echivariant între CW-complexe puncate să fie echivalenţa omotopică. În sfârşit, o lucrare cu caracter de fundamente în domeniul teoriei omotopiei axiomatice, de unde ar putea pleca noi directii concrete, este o lucrare mai recentă a lui I. Pop, [97]. Pentru o I -categorie (C, cof, I, ) se consideră categoria omotopică hc şi functorul de omotopie H : C hc, şi se studiază reflectarea prin functorul acesta a proprietăţilor de I -categorie ale categoriei C la categoria hc. Se obţin rezultate intersante pentru o clasa particulara de I -categorii, anume acelea care satisfac o aşa numită ipoteză a bisecţiei omotopiei (HBH). Această ipoteză este verificată de I-categoriile topologice uzuale Top, Topp şi End, dar nu este verificată de I-categoria complexelor de lanţuri. În încheierea acestei secţiuni trebuie să subliniem că activitatea bună (după părerea referentului) în domeniul topologiei algebrice la facultatea noastră s-a datorat şi faptului că până în urmă cu doi ani de zile, când a început implementarea aşa numitului program de la Bologna, disciplina aceasta a figurat în programa de învătământ cu unul, două sau chiar trei cursuri, fie acestea obligatorii, optionale sau faculative (dar care şi-au găsit şi acestea amatori). Aceste cursuri au fost ţinute dealungul timpului de catre Dan I. Papuc, Vasile Crucianu, Radu Miron, Ioan Pop şi Corina Mohorianu. Din pacate la ora actuală nu există un asemenea curs la nici un an studii şi sub nici o formă. Şi din câte ştiu nu există în Facultate de asemenea nici un curs de topologie diferenţială. Prezenţa unor asemenea cursuri a fost la vremea respectivă şi un stimulent de cercetare (v. de ex. cazul coomologiei Čech abstracte ) şi pentru scrierea unor monografii în edituri centrale de prestigiu (v. [29], [81], [111] şi [25]), dar mai ales a fost o cale de a atrage studenţi şi doctoranzi. Teoria formei. Teoria formei(shape theory) poate fi privită ca o extensie a teoriei omotopiei de la CW-complexe la spaţii topologice arbitrare. Această extensie se bazează pe asocierea la un spaţiu topologic a unui sistem invers de CW-complexe în categoria omotopică şi prin înlocuirea aplicaţiilor continue dintre doua spaţii cu nişte clase de morfisme între sistemele proiective asociate. Mai sugestiv spus, un spatiu topologic este aproximat cu un sistem invers de CW-complexe şi o aplicaţie continuă este aproximată cu un morfism de sisteme inverse. În felul acesta, o serie de rezultate valabile în teoria omotopiei numai pentru CW-complexe primesc niste analoage pentru spaţii arbitrare. Dacă rezulatele clasice se exprimă, de exemplu, în termeni de grupuri, analoagele apar în termeni de progrupuri (sisteme inverse de grupuri) sau limite ale acestora (shape groups). Teoria formei moderne a început în 1968 cu o lucrare a lui Karol Borsuk intitulată Concerning homotopy properties of compacta [Fund. Math. 62(1968), ]. Teoria formei a fost apoi dezvoltată, generalizată şi abstractizată de către foarte mulţi matematicieni importanţi, printre care: Sibe Mardešić, Jack Segal, Kiiti Morita, M. Artin, B. Mazur, Yu. T.Lisica, T. Porter, Aristide Deleanu, P. J. Hilton, Yu. Smirnov ş.a. Activitea în acest domeniu a fost începuta la facultatea noastră în 1980 prin publicarea de către Ioan Pop a două lucrări, [82] şi [83], în care a fost construită o teorie a formei pentru algebre cu 7

8 închidere (algebre Boole σ-complete şi cu un operator de închidere), pornind de la modelul topologic al lui K. Morita. Lucrările au fost recenzate favorabil în toate revistele de referate (MR, ZB şi RŽ) şi sunt menţionate de către Sibe Mardešić in History of Shape Theory, din Handbook of the History of General Toplogy, vol. 3, Kluwer Acad. Press, 2001, p În articolul [84] este construită o teorie shape pentru aşa numite spaţii cu doua topologii (în sens Mostow). Lucrarea a fost recenzată favorabil în MR de către Mardešič. Dar lucrarea, în acest domeniu, a lui I. Pop cea mai citată a fost [85]. Aceasta a fost recenzată favorabil de catre F. Bauer in ZB şi de catre L. Rubin în MR şi a fost citată de catre:1) Yu. Smirnov [ Usp. Mat. Nauk 40, No.2 (242), ]; 2) S. A. Antonyan and S. Mardešić [ Fund. Math. 127, (1987)];3) Takao Matumoto [Tsukuba J. Math. 13, No.1, (1989)]; 4) V. H. Baladze [ Császár, Á. (ed.), Topology. Theory and applications II. 6th Colloquium, Pécs, Hungary, 7th - 11th August Amsterdam: North- Holland. Colloq. Math. Soc. János Bolyai. 55, (1993)]; 5) M. G. Dzhermakyan [Usp. Mat. Nauk 41, No.6(252), (1986)]; 6) Zvonko Čerin [ Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1985, 117, ]; 7) A. Gaszak [ Glas. Mat., III. Ser. 24(44), No.2-3, (1989)]. Urmatorele trei lucrări, [86], [87] şi [88], sunt în legătura cu preocupările mai vechi ale autorului, asupra fibrărilor şi spaţiilor de acoperire, transpuse însa în contextul teoriei formei. În [86] se arată că o fibrare slabă în sensul lui Dold, p : E B, cu E şi B compacte ANR s, este o fibrare aproximativă în sens D. S. Coram and P. F. Duvall [Rocky Mountain J. Math. 7, (1977; Zbl )]. Lucrarea a fost recenzată favorabil, în ZB de către F. Cohen iar în MR de către Paul F. Duvall. Studiul acesta a fost continuat împreună cu profesorul belgina R. W. Kieboom în [87]. În articolul [88] se defineşte conceptul de acoperire shape care este în mod natural aliată cu noţiunea de -fibrare introdusă de către S. Mardešić şi T. B. Rushing [General Topol. Appl. 9, (1978; Zbl )]. Mai precis, se dovedeşte că fiecare aplicaţie de acoperire shape este o -fibrare. Autorul recenziei din ZB, S. Singh, apreciaza ca conceptul este într-adevar util deoarece pastrează multe dintre proprietaţile clasice ale aplicaţiilor de acoperire. Alte doua lucrări, [89] şi [90], se referă la monomorfisme şi epimorfiseme slabe în context de pro-categorii şi teoria formei. Un morfism f într-o categorie C cu obiecte zero este un monomorfism slab dacă f u = 0 implică u = 0. În mod dual, f este un epimorfism slab dacă u f = 0 implică u = 0. În categoria omotopică a spaţiilor punctate exemple de monomorfisme slabe care nu sunt monomorfisme au fost date de către Tudor Ganea [Topology 6, (1967)] iar exemple de epimorfisme slabe care nu sunt epimorfisme au fost date către J. Roitberg [Pac. J. Math. 121, (1986)]. În primul dintre articole sunt studiate monomorfismele şi epimorfismele în categotria pro-grupurilor. Se arată că în această categorie monomorfismele slabe sunt monomorfisme şi sunt caracterizate epimorfismele slabe. În plus, este definită şi studiată în categoria pro-grupurilor o noţiune de şir slab exact. În cel de al doilea articolul, [90], se dă o caracterizare a monomorfismelor şi epimorfismelor slabe în pro-categoria pro HT OP omotopica a spaţiilor topologice punctate, când unul dintre obiecte este un sistem rudimentar, aceasta generalizand rezultatele lui Ganea şi ale lui Roitberg. Una din problemele importante în teoria formei este aceea a mobilitaţii, şi în cadrul grupului nostru i s-a acordat atenţie, fiind elaborată incusiv o teză de doctorat cu aceasta temă. Borsuk a definit un spaţiu compact X, considerat scufundat în cubul lui Hilbert Q, ca fiind mobil dacă vecinătăţi suficient de mici ale lui X pot fi deformate în interiorul unor vecinătăţi ale lui X date arbitrar. O definiţie alternativă bazată pe ANR-sisteme a fost dată de către Mardešić şi Segal. Fiecare continuum în planul R 2 este mobil; solenoizii sunt exemple de spaţii ne-mobile. Spaţiile shape dominate de spaţii ANR sunt mobile. Mobilitatea prezintă interes deoarece prin ipoteze de mobilitate se pot dovedi anumite teoreme de tip Whitehead în condiţii mai relaxate decât în cazul general. În 2003 matematicianul rus P. S. Gevorgyan a introdus [Glas. Mat., III. Ser. 38, No. 1, (2003)] noţiunea de categorie mobilă şi a arătat că un spaţiu topologic X este mobil dacă şi numai dacă comma categoria lui X este o categorie mobilă. Urmând acest model, I. Pop a definit în [92] noţiunea de categorie uniform mobilă şi a obţinut în condiţii ceva mai speciale o teorema de mobilitate uniformă pentru spaţii toplogice. Ulterior, într-o lucrare în colaborare cu Gevorgyan, [95], s-a modificat uşor definţia pentru a obţine un rezultat general, similar cu cel din cazul mobilităţii simple. Activitatea de cercetare în domeniul teoriei formei în cadrul catedrei s-a îmbogaţit consistent odată cu înscrierea la doctorat cu o temă din acest domeniu a doamnei Corina Mohorianu. În anul 8

9 1998 dumneaei şi-a susţinut teza de doctorat, [30], sub conducerea Prof. Ioan Pop (de fapt, după terminarea progrmului de pregătire, conducerea a fost absolut numai de formă din cauza îmbolnăvirii conducatorului ). În teza doamnei Mohorianu au fost prezentate teoria formei şi teoria formei tari şi au fost definite aproximări echivariante de tip rezoluţii, dezvoltări tari şi dezvoltări coerente. Cu ajutorul acestora s-a construit o teorie echivariantă a formei tari pentru spaţii şi perechi topologice echivariante. Pentru aceste categorii s-au definit G-Ssh omologia şi G-Ssh coomologia şi s-au dedus noi invarianţi în teoria formei tari echivariante. Au fost studiate de asemenea fibrările şi cofibrările în acest context strong shape equivariant şi s-au demonstrat teoreme de tip Hurewicz în teoria formei tari. Rezultatele intersante obţinute de către Corina Mohorianu au fost remarcate de către Sibe Mardešić care a inclus lucrarea [40] în celebra sa monografie Strong Shape and Homology, Springer-Verlag 2000, în capitolul Strong homology of spaces, p Trebuie remarcat faptul că, cu o singură excepţie, [96], lucrările doamnei lector dr. Corina Mohorianu, [40], [43], [48], sunt (din câte am putut verifica) singurele lucrări ale unui roman în domeniul teoriei formei tari. Pe lângă lucrările în acest domeniu care au fost deja publicate, doamna Corina Mohorainu a prezentat mai multe comunicări la sesiuni ştiinţifice ale Univ. Al. I. Cuza din Iaşi ( [36], [37], [39], [41], [45], [46], [50]), trei la alte universităţi din ţară ([38],[42], [44]), şi una în străinătate, [47]. Din păcate toată această activitate ştiinţifică, mai mult decât meritorie, nu fost încununată până acum şi de obţinerea de către autoare a unei funcţii universitare corespunzatoare. Dacă motivele ţin numai de dumneaei, referentul speră că acestea vor fi înalturate şi că, un cadru didactic devotat şi util Facultăţii de Matematică, aşa cum este doamna Corina Mohorianu, va fi promovat la functia didactică pe care o merită. Alte două teze de doctorat din domeniul teoriei formei au fost ţinute ( sub conducerea lui I. Pop) în anii 2007 şi 2008, de către domnul Marius-Gabriel Paşa [68] şi de către domnişoara Amalia Patricia Romila [98]. În teza sa Marius Paşa a introdus şi studiat, dupa modelul Gevorgyan-Pop, mobiltatea categorială tare, mobilitatea cilindrului unei aplicaţii, utilizând extensia shape construită de I. Pop in [91], şi a introdus noţiunile de functor mobil şi de morfism mobil. Rezultatele principale au fost publicate în două lucrări din An. St.Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Tom 52, s. I. Mat., 2006, pp , Teza domnişoarei Amalia Romila aparţine teoriei formei categoriale şi a cuprins: încadrarea teoriei formei Mardešić-Segal în teoria formei functoriale Cordier-Porter, contribuţii la teoria formei slabe în sens Bilan-Uglešić(2007) şi functori între teorii ale formei functoriale. Principalele rezultate au fost publicate în două articole din An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Tom 54, s. I. Mat., 2008, f. 2, pp , În încheierea acestei secţiuni menţionam că a existat în Facultate, timp de vreo doi ani ( ), şi un curs de teoria formei şi că a fost scrisă o carte pentru ajutorul studenţilor [93]. În loc de încheiere. Probabil că este mai greu de apreciat ca deosebită activitatea în domeniile prezentate aici, ale topologiei diferenţiale, topologiei algebrice şi teoriei formei, la Facultatea de Matematica din Iaşi, comparativ cu alte domenii mult mai vechi şi mult mai înfloritioare în facultatea noastra. Totuşi, consider că fiecare dintre aceste discipline ar trebui să-şi găsească loc şi în viitor în tematica de cercetare şi în programele de învătământ din Faculatea de Matematică din Iaşi, asa cum se întamplă la alte facultăţi de matematică din ţară şi din străinătate. Iar argumentele simple pe care referentul le aduce în sprijinul acestei recomandări sunt următoarele : 1. Mai întâi un citat: Quant à moi, toutes les voies diverses où je m étais engagé successivement me conduisaient à l Analysis Situs, Henri Poincaré. 2. Găsim frecvent în revistele de matematică sau în publicaţii ale altor ştiinţe titluri sau anunţuri ca acestea: An application of algebraic topology to solid modeling in molecular biology (Michael L. Connolly); An application of algebraic topology to numerical analysis: On the existence of a solution to the network problem (J. P. Roth); Algebraic Topological Methods in Computer Science 2008; Algebraic Topology in Applied Mathematics; Some Applications of Algebraic Topology in Field Theory (N. Kalogeropoulos); Applied Algebraic Topology (Instructors: Gunnar Carlsson Mathematics, Stanford University Robert Ghrist Mathematics/Electrical and Systems Engineering, University of Pennsylvania); 9

10 Quantum algebraic topology (R. Brown) Postdoc in Algebraic Topology at Department of Mathematics (The position is funded by the Norwegian Research Council and the Faculty of Mathematics and Natural Sciences). 3. Începand cu Congresul International al Matematicenilor (CIM) din anul 1954, când Jean-Pierre Serre a fost încoronat cu Medalia Fields, şi până la CIM din 2006, când acest cel mai mare premiu i-a revenit lui Grigori Perelman, pentru rezolvarea Conjecturii lui Poincaré, Medalia Fields a fost acordată la nu mai puţin de 13 topologişti. Având în vedere ca de la instituirea premiului, în 1936, şi până în prezent au fost premiaţi 48 de matematicieni, rezultă pentru specialiştii în topologie un procent de aproape 30%, ceea ce înseamnă enorm, având în vedere câte discipline matematice există la ora actuală. Bibliografie [1] D. Brânzei-Sur une généralisation de la théorie d homotopie, C. R. Acad. Sci., Paris, Sr. A 263, (1966). [2] D. Brânzei-Sur les supports d homotopie, C. R. Acad. Sci., Paris, Sr. A 263, (1966). [3] D. Brânzei- Sur la theorie axiomatique de l homologie.(romanian) An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, N. Ser., Sect. I a 13, (1967). [4] Mircea Craioveanu- Contribuţii la studiul unor structuri geometrice pe varietăţi infinit dimensionale, Teză de doctorat, Univ. Al. I. Cuza Iaşi, octombrie, [5] M. Craioveanu- Asupra unei clase de fibrări diferenţiabile, An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, T. XV (1969), [6] M. Craioveanu- Remarks on a homological duality of abstract Banach manifolds, An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, T. XV (1969), [7] M. Craioveanu - Sur un théoreme de de Rham pour les fibrés intégrables, An. Univ. Bucureşti, Mat.-Mec., 19 (1970), no. 2, [8] M. Craioveanu- Sur une classe de fibrations différentiables, Congrès International des Mathématiciens á Nice, 1970, Les 265 communications individuelles, p. 73. [9] M. Craioveanu- Variétés banachiques feuilletées I, Analele Universităţii din Timişoara, Vo. IX, Fasc. 1 (1971), [10] M. Craioveanu- Sur les sous-feuilletages d une structure feuilletée, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 272 (1971), [11] M. Craioveanu- Variétés banachiques feuilletées II, Analele Universităţii din Timişoara, Vo. XIII, Fasc. 1 (1975), [12] He Zheng-Xu- Some results on homotopy theory of modules, Atti Accad Naz. Lincei, VIII Ser., Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 74, (1983). [13] He Zheng-Xu- On weak i-homotopy equivalences of modules, Atti Accad Naz. Lincei, VIII Ser., Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 76, (1985). [14] Liliana Maxim- Prelungiri ale varietatilor infinit-dimensionale, Teză de Doctorat, Univ. Al. I. Cuza Iaşi, iunie [15] Liliana Maxim- The geometry of the prolongations of Banach fibrations (Romanian. French, Russian summary), An. Univ. Bucureşti Mat-Mec., 19 (1970), no. 2, [16] Liliana Maxim- On the prolongations of the foliate Banach manifolds and of the foliate fibre bundles, An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Sect. I a Mat. (N. S.), 21 (1975), [17] Liliana Maxim-Răileanu- Cohomology of Lie algebroids, An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Sect. I a Mat. (N. S.), 22 (1976), no. 2, [18] Liliana Răileanu-On the global geometric structure of simple bodies, An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Sect. I a Mat. (N. S.), 23 (1977), no. 1,

11 [19] Liliana Maxim-Răileanu-The Weil homomorphism for almost principal fibre bundles, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 26 (1981), no. 2, [20] Liliana Maxim-Răileanu- Critical sections of a Riemannian fibre bundle, An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Sec/ I a Mat. (N. S.), 27 (1981), no. 1, [21] Liliana Maxim-R aileanu- Slices for action of group Diff(M) on the manifold of almost complex structures on the compact manifold M, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math., 29 (1981), no. 9-10, [22] Liliana Maxim Răileanu-Hodge-de Rham theory for pseudo-riemannian manifolds with boundary, (Romanian) Proceedings of national conference on geometry and toplogy (Piatra Neamt, 1983), , Univ. Al. I. Cuza Iaşi, [23] Liliana Maxim Răileanu - Smooth mappings between foliated manifolds wuth boundary, An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Sect. I a Mat., 37 (1991), no. 1, [24] Liliana Maxim Răileanu- Stability of mappings between foliated manifolds, Bol. Soc. Mat. Mexicana, (2) 38 (1993), no. 1-2, [25] Liliana Maxim Răileanu- Varietati topologice si diferentiale, Ed. Universitatii Al. I. Cuza Iaşi, Iaşi, [26] O. Mayer-Geometrie Proiectivă, Editura Academiei RSR, Bucuresti, [27] R. Miron, I.Pop- Introducere in topologia algebrică, Univ. Al. I. Cuza Iaşi, [28] R. Miron, I. Pop- On the abstract Čech homology and cohomology, Proc. Inst. Math. Iaşi, 1974, 57-60(1976). [29] R. Miron, I. Pop- Topologie algebrică. Omologie. Omotopie. Spaţii de acoperire, Ed. Academiei RSR, Bucureşti, [30] Corina Mohorianu- Extinderea metodei lui Sullivan a modelului minimal în teoria formei echivariante, Teză de Doctorat, Univ. Al. I. Cuza Iaşi, [31] Corina Sava (colab. I. Pop si He Z. Xu)- Topologie algebrică. Exerciţii rezolvate (culegere de probleme), Tipografia Univ. Al. I. Cuza Iaşi, [32] Corina Sava- On the Stanley-Reisner ring of a join, An. S. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Tom XXXI, s. I a, Mat., 1985, [33] Corina Sava (colab. I. Pop)- On weak equivalence of modules, Proc. of the Conf. in Algebra, Preprint Nr. 9 (1986), Univ. Babeş-Bolyai Cluj-Napoca, p [34] Corina Sava (colab.i. Pop)- On weak equivalence of modules, Demonstratio Matematica, 26 (1993), no. 3-4, [35] Corina Mohorianu- Topological spaces of shape finite type over Q, Proc. of the 24 th Nat. Conf. Geom. and Top., Timişoara, July 5-9, 1994, Part two.communications. Timisoara, Ed. Mirton 1996, [36] Corina Mohorianu- Diverse moduri de construcţie a teoriei formei, Comunicare la Zilele Univ. Al;. I. Cuza Iaşi, Oct [37] Corina Mohorianu- Teorii tari de omologie, Comunicare la Zilele Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Oct [38] Corina Mohorianu- Localizari în pro-categorii, Comunicare la Conf. Nat. de Geom. şi Top. Iaşi, [39] Corina Mohorianu-Teoria echivariantă a formei tari,comunicare la Zilele Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Oct [40] Corina Mohorianu- Comparison between strong shape groups and shape groups for a pointed topological space, An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, 43 (1996), No. 1, [41] Corina Mohorainu-G-Ssh omologie, Comunicare la Zilele Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Oct [42] Corina Mohorianu- Strong homotopy for arbitrary topological spaces, Conf. Nat. Geom. Top., Bucureşti, sep [43] Corina Mohorianu- Equivarinat strong shape (I), An. St. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, 44 (1998), No.2, [44] Corina Mohorianu- Teoria formei- o teorie de aproximare pentru spaţii topologice, Conf. SSMR, Cluj, Mai