Capitolul 1. Calcule matematice fundamentale în Matlab

Transcription

1 Capitolul. Calcule matematice fundamentale în Matlab.. Noţiuni de bază în Matlab MATLAB este un pachet de programe de o performanţă remarcabilă care are o vastă aplicabilitate atât în domeniul ştiinţei cât al ingineriei. Pentru lansarea în execuţie a programului se acţionează dublu click pe pictograma Matlab de pe Desktop sau se selectează Start All Programs Matlab. În Figura. se observă apariţia a patru tipuri de ferestre cu care lucrează Matlab. Fig... Ferestrele din Matlab 7.9. Ferestrele din Matlab 7.9 sunt:. fereastra de comenzi Command Window;. fereastra Command History în care sunt stocate comenzile lansate în execuţie în fereastra de comenzi;. fererastra Workspace, ce prezintă variabilele curente din memorie cu numele, valoarea şi tipul acestora; 4. fereastra Current Folder, care afişează conţinutul directorului curent, împreună cu subdirectoarele şi fişierele acestuia.

2 Dintre funcţiile utilizate pentru controlul general al Matlab-ului 7.9 menţionăm: help: listează help-ul din Matlab în fereastra de comenzi; help help: oferă informaţii despre funcţia help; help nume funcţie: furnizează informaţii on-line despre funcţia intitulată nume funcţie; Scriind în dreptul prompter-ului (simbolul ) din Matlab comanda help decbase, lansată în linia de comandă se permite obţinerea informaţiilor despre funcţia decbase. doc nume funcţie: afişează documentaţia html corespunzătoare funcţiei nume funcţie în browser-ul Help; which nume_funcţie: permite localizarea funcţiei nume_funcţie;

3 iskeyword: listează cuvintele cheie din Matlab; lookfor keyword: listează toate comenzile şi funcţiile care conţin cuvântul cheie keyword; who: listează variabilele curente din memorie; whos: listează variabilele curente din memorie, alături de dimensiunea şi tipul acestora; clear listă_variabile: şterge din memorie variabilele existente în lista precizată; clear all: şterge din memorie variabilele existente în lista precizată; save nume_fişier salvează variabilele utilizate într-o sesiune de lucru listă_variabile: sau enumerate în listă, într-un fişierul binar nume_fişier.mat; load nume_fişier listă_variabile: încarcă variabilele enumerate în listă (sau toate variabilele din nume_fişier) din nume_fişier, în sesiunea de lucru; lastwarn returnează ultimul mesaj de avertizare (warning message) semnalat de MATLAB; lasterr returnează ultimul mesaj de eroare (error message) semnalat de MATLAB; helpbrowser: deschide browser-ul Help din Matlab 7.9. Comanda helpbrowser poate fi înlocuită cu selectarea din meniul Help a opţiunii Product Help:

4 Pentru a obţine informaţii on-line despre toate funcţiile din Matlab 7.9 şi despre operatorii utilizaţi de acest program vom accesa: Help Product Help Functions Alphabetical List. Matlab 7.9 utilizează următorii operatori aritmetici (algebrici) între doi scalari: Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9 Adunarea Scăderea Înmulţirea Împărţirea la dreapta Împărţirea la stânga x y x y x y x y x y x y x : y x / y y : x x \ y Ridicarea la putere y x x^ y Matlab 7.9 utilizează următorii operatori relaţionali: Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9 Funcţia echivalentă Mai mic Mai mare Mai mic sau egal Mai mare sau egal Egal Diferit x y x y lt(x,y) x y x y gt(x,y) x y x y le(x,y) x y x y ge(x,y) x y x y eq(x,y) x y x ~ y ne(x,y) 4

5 Ordinea operaţiilor din Matlab 7.9 este aceeaşi cu cea a operaţiilor aritmetice, cunoscute din matematica elementară, adică se efectuează întâi operaţiile cuprinse în paranteze, apoi ridicarea la putere, înmulţirea şi împărţirea, adunarea şi scăderea. Ordinea prestabilită a operaţiilor în calculul unei formule poate fi modificată prin utilizarea parantezelor ( ). Valoarea expresiei 5 se calculează scriind-o în Matlab astfel: ci nu sub forma: Operaţiile logice cu scalari în MATLAB sunt: Nume operator Forma Matlab 7.9 and (şi) and(x,y) x&y or(sau) or(x,y) x y not(negaţie) not(x) ~x exlusive or(sau exclusiv) xor(x,y) Exemplul.. Să se verifice operaţiile logice pentru a 0, b. Sintaxa necesară pentru a apela o funcţie în MATLAB este: [argumente returnate]=nume_funcţie(argumente de intrare) 5

6 Vom prezenta câteva funcţii din Matlab 7.9 utilizate în calcule matematice fundamentale: abs(x): determină modulul unui număr real sau complex x; angle(z): determină argumentul numărului complex z; acos(x): calculează arccos x ; asin(x): calculează arcsin x ; basedec('strn',base): converteşte nr. strn din baza base în baza 0; Exemplul.. Să se scrie numărul 656 din baza 7 în baza 0. [th,rho]=cartpol(x,y): transformă coordonatele carteziene (x,y) în coordonate polare (unghiul th este returnat în radiani); [x,y]=polcart( th,rho): transformă coordonatele polare (th,rho) în coordonate carteziene (unghiul th este dat în radiani); [th,phi,r]=cartsph(x,y,z): transformă coordonatele carteziene (x,y,z) în coordonate sferice (unghiurile th şi phi sunt returnate în radiani) P. Exemplul.. Determinaţi coordonatele sferice ale punctului, 4, [x,y,z]=sphcart(th,phi,r): transformă coordonatele sferice (th,phi,r) în coordonate carteziene (unghiurile th şi phi sunt date 6

7 în radiani); complex(a,b): Construieşte forma algebrică z a ib a numărului complex z ; conj(z): determină conjugatul numărului complex z; real(z) returnează partea reală a numărului complex z; imag(z) returnează partea imaginară a numărului complex z; cos(x): calculează cos x ; cot(x): Calculează cot x decbase(d,base): converteşte numărul d din baza 0 în baza base; decbin(d): converteşte numărul d din baza 0 în baza ; dmsdegreees([d m s]): converteşte în grade un unghi dat în grade (d=degree), minute (m=minutes), secunde(s=seconds) Exemplul.. Transformaţi în grade unghiul de degtorad(d): converteşte în radiani un unghi dat în grade; tan(x): calculează tg x ; Exemplul. 4. Calculaţi tg.4. isprime(x): testează dacă un număr este prim; funcţia returnează valoarea în caz afirmativ şi 0, altfel; gcd(x,y) returnează cel mai mare divizor comun pentru x şi y; lcm(x,y) returnează cel mai mic multiplu comun pentru x şi y; rem(a,b) determină restul împărţirii lui a la b; factor(a) descompune un număr în factori primi; log(x): calculează ln x ; log(x): calculează log x ; 7

8 log0(x): calculează log 0 x ; pow(x): calculează x ; rats(d): aproximează d printr-o fracţie raţională; Exemplul. 5. Să se scrie sub formă de fracţii raţionale numerele:,, 4 4, 5 5, 6 6. exp(x): calculează e x ; floor(x): rotunjeşte valoarea lui x către ; funcţia matematcă corespunzătoare este [x]= partea întreagă a lui x; ceil(x): rotunjeşte valoarea lui x către ; round(x): rotunjeşte valoarea lui x către cel mai apropiat întreg; fix(x): rotunjeşte valoarea lui x către 0; Exemplul. 6. Să se aproximeze cu un număr întreg numărul x folosind funcţiile de rotunjire de care dispune Matlab

9 sin(x): calculează sin x ; sqrt(x): calculează x ; unitsratio(to, from): converteşte unităţi de măsură pentru lungimi şi unghiuri; Matlab 7.9 dispune de funcţia unitsratio, pe care nu o au versiunile precedente versiunii Matlab 7.0. Unitsratio recunoaşte următorii identificatori pentru convertirea unităţilor de lungime: metrul- m, centimetrul- cm, milimetrul- mm, micronul- micron, kilometrul- km, mila nautică- nm, piciorul- ft, inch- in, yard- yd, mila internaţională- mi, etc. Unitsratio recunoaşte următorii identificatori pentru convertirea unghiurilor: gradul- deg, radianul- rad ; rad corespunde unghiului pentru care raportul dintre lungimea arcului şi rază este egal cu. Exemplul. 7. Determinaţi câţi metri are yard. Exemplul. 8. Câţi inci au 0.54 m? Exemplul. 9. Determinaţi câte grade are un radian. vpa(a, n): Afişează variabila A cu o precizie de n cifre. Valoarea implicită pentru n este egală cu ; Exemplul. 0. Să se calculeze cu 4 zecimale valoarea fracţiei:

10 Instrucţiunea >> x=9 constituie o instrucţiune de atribuire în Matlab; apăsând tasta Enter se va afişa x = 9 În cazul când utilizăm punct şi virgulă la sfârşitul instrucţiunii de atribuire nu se va mai afişa rezultatul execuţiei instrucţiunii respective. Expresiile ce conţin variabila x vor utiliza numărul introdus, care este memorat în variabila x. >> +x ans = 0 Matlab-ul face distincţie între literele mari şi mici; de aceea, x şi X sunt variabile distincte. Din punct de vedere al formatului extern de afişare a numerelor pe ecran, Matlab 7.9 pune la dispoziţia utilizatorului funcţia format, a cărei sintaxă este: unde: format( type ) sau format type. Calculatorul stochează un număr real finit x, sub forma: x s e s et 0. a a a m, a 0, 0, t s ; Ν, semnifică baza considerată de calculatorul respectiv; 0 (.)

11 m reprezintă mantisa, lungimea sa t fiind numărul maxim de cifre a i, 0 ai, care sunt memorate; e L, U, L 0, U constituie exponentul. 0 Numerele reprezentate sub forma (.) sunt denumite numere în virgulă mobilă, deoarece poziţia punctului zecimal nu este fixă. Cifrele (cu p t ) sunt primele p cifre semnificative ale lui x. a a a p Standardul IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) stabileşte că reprezentarea datelor în dublă precizie (double) se realizează pe 64 de biţi (8 bytes): bit pentru semn (S); biţi pentru exponent (E); 5 biţi pentru bază (fracţie=f) iar în reprezentarea în simplă precizie (single) se utilizează biţi, astfel: S E E E E E E E E F F F F Reprezentarea numerelor fără semn este asemănătoare reprezentării datelor cu semn dar presupune alocarea bitului corespunzător semnului, pentru fracţie. sunt: Alte tipuri de date (clase) numerice existente în Matlab 7.9 (pe lângă double şi single) int8(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, cu semn, reprezentate pe 8 biţi; int6(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, cu semn, reprezentate pe 6 biţi; int(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, cu semn, reprezentate pe biţi; int64(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, cu semn, reprezentate pe 64 biţi; uint8(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, fără semn, reprezentate pe 8 biţi; uint6(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, fără semn, reprezentate pe 6 biţi; uint(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, fără semn, reprezentate pe biţi;

12 uint64(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, fără semn, reprezentate pe 64 biţi; Determinarea intervalului de valori specific fiecărei clase se poate obţine cu ajutorul funcţiilor: intmin ( clasa_int ): returnează cea mai mică valoare din clasa de întregi clasa_int; intmax ( clasa_int ): returnează cea mai mare valoare din clasa de întregi clasa_int; realmin ( clasa_real ): returnează cea mai mică valoare din clasa reală clasa_real; realmax ( clasa_real ): returnează cea mai mare valoare din clasa reală clasa_real. Observaţia.. Clasa_intint 8, int6, int, int 64, uint 8, uint6, uint, uint 64 Clasa_real double, single. În MATLAB avem: t 5 L 0 U 04. Principalele formate de afişare sunt: Valoarea Rezultat pentru type long 5 cifre semnificative pentru double (numere reprezentate în dublă precizie) şi 7 pentru single (numere reprezentate în simplă precizie). Se observă că celor 5 de cifre semnificative din baza le corespund cele 5 cifre semnificative în baza 0, pe care le afişează formatul long în MATLAB. Exemplu

13 long e formatul long, în notaţie ştiinţifică long g 5 cifre short 4 cifre semnificative short e formatul short, în notaţie ştiinţifică short g 5 cifre semnificative bank număr cu zecimale rat fracţie

14 hex hexazecimal Observaţia.. (i) Notaţia ştiinţifică are următoarea semnificaţie:.5955e (ii) Dacă se doreşte afişarea unui rezultat cu orice precizie trebuie utilizată funcţia vpa. Pe lângă tipurile (clasele) numerice, Matlab 7.9 posedă şi clasele: strings: variabilele de tip string se folosesc pentru a stoca mesaje; arrays: tablouri multidimensionale; cell arrays: tablouri de celule- utilizate pentru gruparea datelor de tipuri diferite într-o singură variabilă, exprimată cu { }; objects: obiecte- folosite în programarea orientată pe obiect. Dintre variabilele şi constantele predefinite din Matlab 7.9 menţionăm: ans variabilă creată automat atunci când unei expresii nu i-a fost asignat un nume; ans este abrevierea cuvântului answer; realmax cea mai mare valoare reală pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică este realmin L- 08 egală cu = ; cea mai mică valoare reală pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică are U t valoarea ; intmax cea mai mare valoare întreagă pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică este egală cu ; intmin cea mai mică valoare întreagă pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică este egală cu ; inf variabilă ce semnifică ; pi PI ; i sau j variabile folosite pentru introducerea numerelor complexe; Exemplul.. Evaluaţi expresia complexă: 4

15 i. i eps constituie toleranţa la eroare pentru operaţiile în virgulă mobilă efectuate în Matlab şi are valoarea egală cu t 5.04e- 06; nan Variabilă care reprezintă un Not-a-Number. Caracterele speciale specifice pentru Matlab 7.9 sunt: % este utilizat pentru scrierea unui comentariu; [ ] perechea de parenteze drepte este necesară definirii tablourilor; apostrof, folosit în două scopuri: pentru transpunerea tablourilor şi respectiv ca delimitator pentru şiruri de caractere; ; simbolul punct şi virgulă are dublă utilitate: separator de instrucţiuni (nu afişează rezultate intermediare) şi pentru liniile unei matrice; permite continuarea scrierii unei instrucţiuni pe linia următoare... Definirea tablourilor în Matlab În Matlab 7.9 definirea tablourilor se poate face prin una din următoarele modalităţi:. introducerea listei de elemente componente. generarea lor cu ajutorul unor instrucţiuni şi funcţii. crearea de fişiere cu extensia.m 4. încărcarea lor din fişiere de date externe. În cazul primei metode de definire a unui tablou (introducerea listei de elemente componente), cea mai utilizată dintre toate, elementele unei linii dintr-un tablou sunt separate prin spaţiu sau virgulă iar liniile se separă prin punct-virgulă. Elementele tabloului sunt cuprinse între paranteze drepte şi pot fi atât numere reale sau complexe cât şi orice expresie din Matlab 7.9. Comanda 5

16 produce matricea de numere reale: iar comanda furnizează matricea complexă: În cazul în care componentele unui vector constituie o reţea echidistantă, tabloul unidimensional poate fi generat printr-o instrucţiune de atribuire, utilizând variabile de interval, definite astfel: unde: v=v :v :v, v reprezintă valoarea iniţială a lui v; v constituie incrementul (pasul); v semnifică valoarea finală a lui v. Dacă termenul v este omis, atunci pasul implicit este. Exemplul.. Să se genereze un vector ale cărui componente iau valorile cuprinse în intervalul [ 0,.], cu pasul 0.. 6

17 Pentru a extrage o submatrice dintr-o matrice se utilizează caracterul special :. Spre deosebire de Mathcad unde este posibilă numai extragerea unor blocuri adiacente dintr-o matrice, MATLAB-ul permite selecţia şi a unor blocuri neadiacente. O matrice A poate fi transformată într-un vector coloană folosind comanda A(:), care are drept rezultat, concatenarea coloanelor matricei A. Exemplul.. Se consideră matricea A Se cere: a) Transformaţi matricea A într-un vector coloană b ; b) Să se extragă din matricea A, submatricea D, 78 ce constă din elementele situate pe ultimele două linii şi coloanele şi 4 ale matricei A. 7

18 În MATLAB se poate realiza simplu concatenarea pe: orizontală: [A B] cat(,a,b) horzcat(a,b); verticală: [A; B] cat(,a,b) vertcat(a,b) a două (sau mai multe) matrice A şi B, de dimensiuni adecvate. Exemplul. 4. Să se concateneze pe orizontală şi respectiv verticală matricele: A 4 5, 6 B Un tablou tridimensional se numeşte tensor şi reprezintă o succesiune, în adâncime, de matrice, denumite paginile tabloului. 8

19 Fig.. Tensor cu linii, 4 coloane şi pagini. Exemplul. 5. Generaţi în Matlab 7.9 tensorul reprezentat în Fig... Elementele unui vector x pot fi identificate prin notaţia x i, semnificând componenta a i-a din vectorul x, i, n, n fiind numărul total de componente; 9

20 unei matrice A pot fi identificate prin notaţia A i, j, semnificând elementul aflat în A, la intersecţia dintre linia i şi coloana j, i, m, j, n, m fiind numărul de linii iar n numărul de coloane ale matricei A ; unui tensor T pot fi identificate prin notaţia T i j, k,, semnificând elementul aflat în T, la intersecţia dintre linia i, coloana j şi pagina k, i, m, j, n, k, p m fiind numărul de linii, n numărul de coloane şi respectiv p numărul de pagini ale tensorului T. Matlab 7.9 utilizează următorii operatori aritmetici (algebrici) pentru matrice: Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9 Adunarea Scăderea Înmulţirea Înmulţirea element cu element X i j Yi, j X Y X Y X Y X Y X Y X Y, X. Y Împărţirea la dreapta X Y X / Y Împărţirea la dreapta element cu element X i j/ Yi, j Împărţirea la stânga, X./ Y X Y Împărţirea la stânga element cu element Y i j/ X i, j Ridicarea la putere Ridicarea la putere a fiecărui element p Observaţia.. (i) (ii) (iii) Transpunerea X \ Y, X. \ Y p X, p scalar X ^ p X i, j t X, p scalar X.^ p Produsul a două matrice este posibil dacă şi numai dacă numărul coloanelor matricei X este egal cu numărul liniilor matricei Y. Transpunerea unui tablou, ce are componente numerice (ci nu simbolice) se realizează folosind operatorul apostrof. MATLAB returnează un mesaj de eroare atunci când se încearcă efectuarea unor operații cu matrice, care au dimensiuni incompatibile. ' X 0

21 Matlab 7.9 utilizează următorii operatori relaţionali (de comparaţie) pentru matrice: Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9 Funcţia echivalentă Mai mic Mai mare Mai mic sau egal Mai mare sau egal Egal Diferit A B A B lt(a,b) A B A B gt(a,b) A B A B le(a,b) A B A B ge(a,b) A B A B isequal(a,b) eq(a,b) A B A ~ B ne(a,b) Operaţiile logice cu matrice (se efectuează element cu element) în MATLAB sunt: Nume operator Forma Matlab 7.9 and (şi) and(a,b) A&B or(sau) or(a,b) A B not(negaţie) not(a) ~A exlusive or(sau exclusiv) xor(a,b) Dintre funcţiile folosite de Matlab 7.9 pentru generarea tablourilor menţionăm: diag(v): generează o matrice diagonală din vectorul v; diag(a): returnează vectorul ce are drept componente elementele de pe diagonala principală a matricei A; diag(v,m): formează o matrice pătratică A, de dimensiune n absm, având elementele vectorului v situate pe a m-a diagonală, de deasupra diagonalei principale

22 (m>0) a lui A ( n fiind lungimea lui v); dacă m este un număr întreg negativ, atunci se consideră elementele vectorului v situate pe a m-a diagonală, de dedesubtul diagonalei principale a lui A. Exemplul. 6. Generaţi matricea a) A ; b) tridiagonală B eye(n): generează o matrice unitate cu n linii şi n coloane; eye(m,n): generează o matrice unitate cu m linii şi n coloane; ones(n): generează o matrice de unu-ri cu n linii şi n coloane; ones(m,n): generează o matrice de unu-ri cu m linii şi n coloane; rand(m,n): generează o matrice ale cărei elemente sunt numere aleatoare, cu distribuiţie uniformă în intervalul 0,; randn(m,n): generează o matrice ale cărei elemente sunt numere

23 aleatoare, cu distribuiţie normală, de medie 0 şi varianţă ; tril(a): extrage partea inferior triunghiulară a matricei A; triu(a): extrage partea superior triunghiulară a matricei A; Exemplul. 7. Să se extragă partea inferior şi respectiv superior triunghiulară a matricei: 5 A vander(v): generează o matrice Vandermonde pe baza elementelor din vectorul v; Exemplul. 8. Generaţi matricea Vandermonde: A

24 zeros(n): generează o matrice nulă cu n linii şi n coloane; zeros(m,n): generează o matrice nulă cu m linii şi n coloane. Observaţia. 4. (i) Transformarea numerelor r distribuite uniform pe intervalul 0, în numerele x distribuite uniform pe intervalul a, b se realizează prin intermediul relaţiei x a b ar. (ii) Transformarea numerelor r distribuite normal N 0, în numerele x distribuite normal N, se realizează prin intermediul relaţiei x r. Vom prezenta câteva funcţii din Matlab 7.9 utilizate în calcule cu tablouri. dot(x,y): calculează produsul scalar al vectorilor x şi y ; cross(x,y): calculează produsul vectorial al vectorilor x şi y ; Exemplul. 9. Calculaţi produsul vectorial al vectorilor u i j k, v j 4k. length(x): returnează lungimea vectorului x; [m,n] = size(x): returnează dimensiunea m x n a matricei X; ndims(a) determină numărul de dimensiuni ale matricei A; funcţia este echivalentă cu length(size(a)); 4

25 isvector(v) returnează o valoare egală cu dacă v este un vector şi 0 în caz contrar; isscalar(v) verifică dacă argumentul său v este un scalar sau nu; isreal(v) testează dacă argumentul său v este real sau nu; isfinite(v) verifică dacă argumentul său v este finit sau nu; isinf(v) verifică dacă argumentul său v este infinit sau nu; isempty(v) verifică dacă argumentul său v este vid sau nu; all(x) testează dacă toate componentele unui vector sau matrice x sunt nenule; all(x op_ relaţional a) testează dacă toate componetele vectorului x îndeplinesc condiţia dată ca argument în raport cu a ; all(a op_ relaţional a) testează dacă toate coloanele matricei A conţin elemente care îndeplinesc condiţia indicată ca argument în raport cu a ; any(x) testează dacă vreun element al vectorului sau matricei x este nenul; any(x op_ relaţional a) testează dacă vreo componentă a vectorului x îndeplinşte condiţia dată ca argument în raport cu a ; any(a op_ relaţional a) testează dacă vreo coloană a matricei A conţine elemente care îndeplinesc condiţia indicată ca argument în raport cu a ; u=find(x op_ relaţional a): returnează în u indicii elementelor din vectorul x, care respectă condiţia precizată ca argument, în raport cu a ; [u,v]=find(x op_ rel a): returnează indicele liniei (vectorul u) şi al coloanei (vectorul v) matricei argument X, care conţin elementele care respectă condiţia precizată ca argument, în raport cu a ; Exemplul. 0. Să se determine indicii elementelor din vectorul a căror valoare este egală cu. x , 5

26 sort(x): sortează în ordine crescătoare componentele vectorului x; [y,i]= sort(x): returnează în vectorul y elementele sortate în ordine crescătoare ale vectorului x iar în I, indicii elementelor sortate; sort(x, descend ): Sortează în ordine descrescătoare elementele vectorului x; Exemplul.. Să se sorteze în ordine descrescătoare elementele vectorului cu precizarea indicelui fiecărui element. x , Observaţia. 5. Specific pentru Matlab 7.9 este opţiunea descend a funcţiei sort; pentru versiunile precedente lui Matlab 7.0, sortarea poate fi realizată numai în ordine crescătoare, neeexistând această opţiune. min(v): determină cel mai mic element al vectorului v; min(a) : determină cel mai mic element de pe fiecare coloană a matricei A; max(v) : determină cel mai mare element al vectorului v; max(a) : determină cel mai mare element de pe fiecare coloană a matricei A; 6

27 sum(v): calculează suma elementelor vectorului v; sum(a): calculează suma elementelor de pe fiecare coloană a matricei A; prod(v): calculează produsul elementelor vectorului v; prod(a): obţine produsul elementelor de pe fiecare coloană a matricei A; mean(x): calculează media aritmetică a componentelor vectorului x; mean(a): calculează media aritmetică a elementelor de pe fiecare coloană a matricei A; std(x): calculează deviaţia standard a setului de date conţinute în vectorul x; std(a): calculează deviaţia standard a elementelor de pe fiecare coloană a matricei A; corrcoef(x,y): furnizează coeficientul de corelaţie dintre vectorii x şi y. Exemplul.. Se consideră datele referitoare la înălţime (în inches) şi vârsta (în ani) pentru 9 indivizi (N.H. Bingham, John M. Fry, 00) : x(vârsta)=(4,,, 4, 4,,, 5,,,, 4,, 5, 6,, 5,, 5), y(înălţime)=(69, 56.5, 65., 6.8, 6.5, 57., 59.8, 6.5, 6.5, 59.0, 5., 64., 56., 66.5, 7.0, 64.8, 67.0, 57.5, 66.5). a) Calculaţi mediile aritmerice corespunzătoare celor două serii de valori observate, adică x, y. 7

28 x x b) Determinaţi varianţa (dispersia) a x- valorilor observate, adică media lui. c) Aflaţi covarianţa dintre x şi y, definită ca media lui x x y y. d) Determinaţi coeficientul de corelaţie r, ce este măsura numerică a puterii de asociere dintre variabila independentă x şi variabila dependentă y. Observaţia. 6. (i) Corelaţia exprima gradul de potrivire al relaţiei liniare. Dreapta de regresie are ecuaţia yˆ a bx, unde: 8

29 S y b r, Sx şi S y fiind deviaţiile standard (deviaţia standard este rădăcina S x pătrată din valoarea varianţei) corespunzătoare valorilor lui x şi respectiv y; a y bx ŷ constituie valoarea estimată a lui y şi reprezintă valoarea lui y obţinută folosind dreapta de regresie. (ii) Coeficientul de corelaţie nu depinde de unităţile de măsură ale caracteristicilor... Definirea funcţiilor în Matlab Ca orice mediu de programare, Matlab 7.9 lucrează fie în modul linie de comandă, fie cu programe conţinute în fişiere. O funcţie poate fi definită în Matlab 7.9 trei moduri: A. modul clasic (întâlnit şi în versiunile precedente), adică într-un fişier de tip function; acesta poate fi construit selectând: File New Function M-file. Sintaxa necesară definirii unei funcţii într-un fişier M-file este: function [lista argumentelor returnate de funcţie]=nume_funcţie(lista argumentelor de intrare) corpul funcţiei; end B. în linia de comandă (facilitate care nu este posibilă la variantele precedente lui Matlab 7.0), folosind: pentru a crea funcţii anonime; Sintaxa de definiţie a unei funcţii anonime, în linia de comandă, în Matlab 7.9 este: nume_funcţie=@(var,,var n ) expresie_funcţie b) funcţii inline. Structura unei funcţii inline este: nume_funcţie=inline( expresie_funcţie, var,,var n ) Funcţiile definite în linia de comandă sunt echivalente celor definite într-un M-file. Numele funcţiei definită într-un fişier de tip function coincide cu numele acelui M-file. Exemplul.. Definiţi în linia de comandă a Matlab-ului (atât ca funcţie anonimă cât şi ca funcţie inline) şi respectiv ca M- function, funcţia 9

30 şi apoi calculaţi f. f x sin x sin Cazul I) Funcţia este considerată funcţie anonimă. x Cazul II) Funcţia este funcţie inline. Cazul III) Funcţia este definită într-un fişier de tip function (intitulat f.m). Funcțiile definite pe ramuri f x expr expr cond cond 0

31 pot fi reprezentate în Matlab 7.9 astfel: expr cond expr cond. Matlab 7.9 dispune de funcții predefinite, care realizează următoarele operații cu funcții matematice: compose(f(x),g(x)): compunerea funcțiilor f(x) și g(x); Exemplul. 4. Se consideră aplicațiile liniare: Să calculeze f g și g f. x x x. f :, f x g :, f inverse(f(x)): returnează inversa funcției f(x)..4. Aplicaţii propuse. Determinaţi numărul complex z cunoscând partea sa reală şi partea imaginară: Re z Im z 5.. Să se calculeze expresiile următoare: a)

32 b) c) A log log 6 log 5 e 6 d) M x x x, pentru x 4 e) N z z z, pentru z i f) g) h) i) i i tg i i log 5 e ln e sin 5 5 log cos log arccos ln( e) 5 x x F, pentru x x B log x, pentru x 7 5 sin xcos x j) ( tgx ctg x), pentru x ; k) C cos x cos x cos 5x cos 7x, pentru x. 8. Calculaţi: a) 4 b) log log 4 c) i d) e) lg cos 0.9 f) ctg Determinaţi valoarea expresiilor următoare:

33 a) b) x u arcsin x, pentru x. sin x xcos x, pentru x. 6 x x e e sin x z z c), pentru z i z z 5. Verificaţi dacă: a) x este soluţie a ecuaţiei x x x x ; b) x este soluţie a ecuaţiei x x 4 0 ; c) u i d) x i x i ; este soluţie a ecuaţiei 0 7 x şi 8 6. Să se efectueze următoarele operaţii: a) b) 6 : x sunt soluţii ale ecuaţiei cos x sin x Determinaţi câţi radiani reprezintă unghiul de Să se genereze: a) o matrice identitate 7x 7 ; b) o matricea nulă 0x 0 ; c) o matrice aleatoare 0x cu elemente distribuite uniform şi normal. 9. Să se sorteze în ordine crescătoare elementele vectorului cu precizarea indicelui fiecărui element. 0. Se consideră matricea x , Calculaţi: t t a) t C, C 0 C b) C C C 4I.

34 4. Se consideră matricele: 0 a, B, C, 7 0 d. Verificaţi care dintre următoarele produse au sens şi în acest caz efectuaţi-le: Ba, ad, da, db, Bd,CB, BC, dc, Cd, ac, Ca, C, dbc, dcb, adc, adbc, adca, a.. Găsiţi matricea A când: a) I A ; b) 0 0 A.. Să se formeze matricea A pe baza vectorilor u şi v. 4. Să se determine indicii elementelor din matricea X a căror valoare este mai mare sau egală cu. 5. Fie matricea A. Să se extragă din matricea A submatricea B. 6. Se consideră vectorul x=[ ], ce conţine rezultatele obţinute prin N=0 determinări experimentale. Să se calculeze abaterea medie pătratică a acestor rezultate, folosind formula

35 sigma N N N xi xi i i N N. 7. Calculaţi f,.5 cu ajutorul unei funcţii Matlab 7.9, definită în linia de comandă, pentru: 8. Verificaţi cu ajutorului Matlab-ului dacă: f x, y x y. a b c b c a c a b Testaţi dacă vectorii următori sunt coplanari: a i j 5k, b i j k, c i 4 j 9k. 5

36 .5. Bibliografie. N.H. Bingham, John M. Fry, Regression. Linear Models in Statistics, Springer, New York, 00.. D.G. Duffy, Advanced Engineering Mathematics with Matlab, Chapman & Hall/CRC, 00.. M. Ghinea, V. Fireţeanu, Matlab: Calcul numeric- Grafică-Aplicaţii, ed. Teora, Bucureşti, I. Iatan, Îndrumător de laborator în Matlab 7.0, Ed. Conspress, Bucureşti, I. Iatan, B. Sebacher, Aplicaţii de laborator în Mathematica şi Mathcad, Ed. Conspress, Bucureşti, A. Jeffrey, Advanced Engineering Mathematics, Harcourt/Academic Press, N. Martaj, M. Mokhtari, Matlab R009, Simulink et Stateflow pour Ingénieurs, Chercheurs et Etudiants, Springer, C. Moler, Experiments with MATLAB, A. Quarteroni, F. Saleri, Scientific Computing with Matlab and Octave, Springer, D. Xue, Y.Q. Chen, Solving Applied Mathematical Problems with Matlab, Taylor & Francis Group,