REłELE NEURONALE DE TIP FUZZY APLICAłIE ASUPRA FIRMELOR DIN ROMÂNIA FUZZY ADAPTIVE NETWORKS CASE STUDY FOR ROMANIAN COMPANIES

Transcription

1 Drd Smaranda STOENESCU (CIMPOERU) Academia de Studii Economice din Bucureşti REłELE NEURONALE DE TIP FUZZY APLICAłIE ASUPRA FIRMELOR DIN ROMÂNIA FUZZY ADAPTIVE NETWORKS CASE STUDY FOR ROMANIAN COMPANIES Abstract In the present paper, we introduce the basic notions concerning a special type of neural networks, that is the fuzzy adaptive networks In order to do this, we first state the fundamentals of fuzzy logic and fuzzy numbers We apply the methodology specific to fuzzy adaptive networks on a sample of small and medium companies in Romania The results are satisfactory, similar to the ones obtained in the specialty literature Key Words: neural networks, fuzzy logic, credit risk Clasificarea JEL: C45, G33, C51 Introducere Cu toate că reńelele neuronale reprezintă un instrumente analitic puternic, a fost observat (Vellido, Lisboa, Vaughan, 1999) că performanńa lor este în creştere în urma asocierii unor tehnici şi complementare, deci prin dezvoltarea aşanumitelor modele hibrid Metodele complementare pot fi: mulțimi fuzzy, algoritmi genetici, etc Spre exemplu, Williamson (1995) propune simularea unui proces genetic pentru automatizarea configurării şi instruirii unui perceptron multi-strat, reńea utilizată într-o aplicańie pentru riscul de credit Utilizarea acestui sistem care aplică un algoritm genetic pentru a rafina reńeaua dă rezultate de acurateńe mai bune decât reńeaua clasică, iar eforturile suplimentare pentru construirea acestui model sunt minime Acest lucru susńine afirmańia lui Vellido et al (1999), conform căreia reńelele neuronale tip hibrid ar da rezultate mai bune decât cele clasice Având în vedere rezultatele bune oferite în practică precum şi manipuarea relativ facilă a acestei tehnici, decidem să prezentăm în continuare câteva aspecte introductive privind logica fuzzy şi construcńia reńelelor neuronale pornind de la aceste principii 1 Logica şi mulńimile fuzzy MulŃimile fuzzy au fost utilizate în probleme privind decizia de creditare sau evaluarea bonităńii firmelor încă din anii 80 (primul studiu de acest tip fiind cel al lui Su, Chen din 1980) Abordarea problemei de stabilire a ratingului de credit şi prin prisma mulńimilor şi a logicii fuzzy permite depăşirea barierelor de imprecizie, incertitudine, ambiguitate, definire neclară a variabilelor Totuşi unei

2 Smaranda Stoenescu (Cimpoeru) abordări fuzzy simple îi lipseşte abilitatea de a învăńa reprezentarea realităńii nu se îmbunătăńeşte pe măsură ce datele devin disponibile A apărut astfel ideea de model hibrid sau mixt, prin punerea împreună a mulńimilor fuzzy şi a reńelelor neuronale, în ceea ce se numeşte reńele adaptive fuzzy Din literatura de specialitate aflăm că această categorie relativ nouă de reńele (primele referiri le regăsim la sfârşitul anilor 90) a fost aplicată pentru modelarea ratingului de credit până acum într-un singur studiu Jiao, Syau, Lee (2007) Motivele pentru care Jiao et al (2007) aleg utilizarea reńelelor adaptive fuzzy pentru modelarea ratingului companiilor Ńin mai ales de natura factorilor luańi în calcul pentru determinarea ratingului Astfel, ei susńin că dificultatea în definirea preciziei, deciderea importanńei variabilelor şi definirea în sine a variabilelor deteremină imprecizia, ambiguitatea şi chiar contrazicerea variabilelor determinante pentru ratingul unei companii În plus, dinamicitatea factorilor induce modificări cu o frecvenńă relativă ridicată în cadrul unui orizont de timp Aceste probleme şi nuanńe ale variabilelor fac dificilă transpunerea lor în limbaj-maşină, soluńia unanim acceptată de instituńiile financiar-bancare fiind includerea expertizei factorului uman în determinarea valorii variabilei de interes Pentru a depăşi aceste probleme, Jiao et al susńin necesitatea existenńei în abordarea aleasă a trei ingrediente : abilitatea de a reprezenta informańia imprecisă în mod corect, abilitatea de a manipula sau de a agrega informańia în scopul de a obńine rezultate şi conculzii pertinente şi abilitatea de a îmbunătăńii reprezentarea realităńii pe măsură ce devin disponibile date suplimentare Conform autorilor, reńelele adaptive fuzzy satisfac toate aceste cerinńe, acestea constituind şi argumentele pentru care au fost aplicate în problema stabilirii ratingului Pentru a înńelege modelul propus de aceştia, introducem câteva nońiuni elementare de mulńimi fuzzy şi logică fuzzy Pentru început, definim funcńia de apartenenńa la o mulńime oarecare A astfel: Definirea mulńimii fuzzy porneşte tocmai de la ideea de nuanńare Aşa cum am definit funcńia de mai sus, aceasta poate lua doar două valori, care semnifică apartenenńa sau nu la o anumită mulńime Pentru a nuanńa trecerea de la o stare la alta şi gradul de apartenenńă la o anumită mulńime, Zadeh (1965) introduce nońiunea de mulńime fuzzy, în care domeniul de valori pe care îl ia funcńia de apartenenńa nu mai este limitată la două valori, ci se extinde la întreg intervalul [0,1] Astfel, mulńimea fuzzy F se defineşte: Unde funcńia de apartenenńă, asociată mulńimii fuzzy, arată gradul în care fiecare element din mulńimea A aparńine mulńimii fuzzy, F Cu cât valoarea funcńiei de apartenenńă este mai apropiată de 1, cu atât este mai puternică apartenenńa la mulńime O definińie echivalentă pentru o mulńime fuzzy este următoarea:

3 ReŃele neuronale de tip fuzzy AplicaŃie asupra firmelor din România Deseori, nońiunea de mulńime fuzzy este interpretată, în mod eronat, ca şi probabilitate Deşi există similarităńi şi puncte comune între mulńimile fuzzy şi nońiunea de probabilităńi, deoarece ambele propun modelarea unui fenomen incert, imprecis, întâlnim şi diferenńe substanńiale Cea mai flagrantă este că gradul de apartenenńă la mulńime nu este o nońiune probabilistică O mulńime fuzzy se numeşte normalizată dacă funcńia de apartenenńă ia valoarea 1 cel puńin o dată Această definińie permite introducerea unui alt concept, foarte des utilizat în lucrul cu mulńimi fuzzy, acela de număr fuzzy DefiniŃie Un număr fuzzy se defineşte ca o mulńime fuzzy convexă şi normalizată Două tipuri de numere fuzzy sunt cel mai des întâlnite în aplicańii: numerele triunghiulare şi numerele trapezoidale Un număr fuzzy triunghiular este dat de: unde reprezintă intervalul de suport, punctul (,1) este numit vârful, fiind punctul în care funcńia atinge valoarea maximă, 1 De obicei, se alege şi atunci numărul triunghiular se numeşte centrat Un număr fuzzy simetric este un număr trigunhiular centrat cu deci Numărul simetric va fi astfel Numărul triunghiular arată distanńa fańă de mijlocul sau centrul Se defineşte prin intermediul capetelor intervalului suport şi centru, astfel: Logica fuzzy reprezintă o arie de cercetare dinamică, în continuă dezvoltare care încă antrenează dezbateri importante în lumea ştiinńifică În logica fuzzy există mai multe metodologii care propun diferite modalităńi de abordare a cunoştinńelor imperfecte, imprecise În contextul logicii clasice, o propozińie poate fi doar adevărată sau falsă, logica clasică fiind, din acest punct de vedere, dihotomică sau binară În 1920, Lukasiewicz generalizează logica clasică la logica cu un număr infinit de valori (poartă şi denumirea de logică Lukasiewicz standard), în cadrul căreia o propozińie poate lua orice valoare din cadrul intervalului [0,1], valoarea 0 fiind reprezentarea pentru fals, 1 pentru adevărat Cu cât valoarea unei propozińii este mai apropiată de 1, cu atât propozińia respectivă este mai apropiată de adevăr EvoluŃia logicii fuzzy din logica lui Lukasiewicz şi din teoria mulńimilor fuzzy a fost dezvoltată de asemenea de părintele mulńimilor fuzzy, L Zadeh Bojadziev (2003) propun scema din figura 1 pentru a descrie relańiile dintre logica clasică logica cu număr infinit de valori, respectiv mulńimi clasice mulńimi fuzzy, pentru a ajunge în cele din urmă la logica fuzzy

4 Smaranda Stoenescu (Cimpoeru) Logica Clasică Logica cu nr infinit de Logica fuzzy MulŃimi Clasice MulŃimi fuzzy Figura 1 RelaŃia între logica clasică şi logica fuzzy Logica fuzzy are fundamentele bazate pe variabilele lingvistice Acestea sunt variabile care au ca valori cuvinte sau structuri de cuvinte, exprimate în limbaj natural sau artificial În sens larg, variabilele lingvistice utilizate pot fi asimilate variabilelor calitative Scopul logicii fuzzy este de a punele bazele unei gândiri, abordări pentru propozińiile imprecise Reflectă ambiguitatea, imperfecńiunea limbajului natural de zi cu zi O regulă fuzzy, numită o regulă de tipul if-then (dacă-atunci) are următoarea formă: unde şi G sunt termeni lingvistici, adică mulńimi fuzzy definite de funcńia de apartenenńă Aceşti termeni lingvistici pot fi de tipul: ridicat, scăzut, mediu sau pozitiv, neutru, negativ, adică expresii vagi, imprecise pentru care nu avem o valoare de referinńă Vectorul şi Y reprezintă variabilele lingvistice de intrare, respectiv de ieşire Observăm diferenńa între nońiunile de variabile şi termeni lingvistici Pentru cazul riscului de credit, variabilele de intrare vor fi factorii cantitavi/calitativi reprezentativi pentru determinarea bonităńii firmei, iar variabila de intrare va fi ratingul sau scorul de credit 2 ReŃele neuronale adaptive de tip fuzzy Au fost introduse pentru prima oară de Cheng, Lee (1999), pornind de la ideea de combinare între un sistem de inferenńă fuzzy şi reńele neuronale în vederea dezvoltării regresiei nonparametrice Sistemul de inferenńă fuzzy reprezintă o metodologie de calcul care se bazează pe conceptele de teoria mulńimilor fuzzy, reguli dacă-atunci (if-then), logică fuzzy Structura de bază a unui sistem de inferenńă fuzzy presupune trei componente conceptuale: o bază de reguli (setul de reguli), baza de date (defineşte

5 ReŃele neuronale de tip fuzzy AplicaŃie asupra firmelor din România funcńiile de apartenenńă utilizate în regulile fuzzy), rańionamentul în baza căruia se produce inferenńa asupra tuturor regulilor fuzzy pentru a rezulta outputul final O reńea adaptivă fuzzy este o reprezentare în reńea a unui sistem fuzzy O astfel de reńea oferă o viziune de ansamblu asupra sistemului şi, ca în cazul unei reńele neuronale, se pot aplica algoritmi de învăńare specifici ReŃeaua este compusă din noduri interconectate adaptive şi ne-adaptive Nodurile adaptive ale reńelei conńin parametrii care se ajustează prin învăńare ReŃeaua fuzzy este o reńea feed-forward cu cinci straturi (dispuse ca în figura 2) nodurile fiecărui strat îndeplinesc o anumită funcńie pornind de la semnalele de intrare Păstrând convenńia autorilor reńelei (Cheng, Lee, 1999), nodurile reprezentate sub formă sunt noduri adaptive, nodurile reprezentate sub formă de cercuri sunt noduri fixe, fără parametrii Strat 1 Strat 2 Strat 3 Strat 4 Strat 5 Figura 2 Arhitectura unei reńele adaptive fuzzy Nodurile din primul strat sunt noduri adaptive (în forma de dreptunghi conform convenńiei figura 2) care reńin funcńiille de apartenenńă Parametrii funcńiilor de apartenenńă, notańi reprezintă parametrii de start (orig: premise parameters ) De exemplu, funcńia de activare poate fi o funcńie gaussiană, astfel:

6 Smaranda Stoenescu (Cimpoeru) Stratul 2 de neuroni operează agregarea primei părńi din regula if-then prin apelarea operatorului fuzzy ŞI Outputul nodurilor din acest strat, servesc ca inputuri pentru nodurile din al treilea strat Acestea din urmă sunt noduri fixe şi funcńia lor este de a normaliza nodurile de output aferente celui de-al doilea strat Nodurile din stratul 4 sunt adaptive notate cu, efectuează următoarea transformare: unde reprezintă outputul nodului l din stratul 4, iar reprezintă în fapt a doua parte a regulilor dacă-atunci (if-then) Această reprezentare sub formă polinomială a regulii fuzzy if-then a fost propusă de Tagaki, Sugeno (1985) Numerele fuzzy poartă denumirea de parametrii de consecinńă şi în cadrul definirii reńelei adaptive fuzzy au fost considerate numere triunghiulare simetrice Nodul unic din stratul 5 este un nod fix care efectuează operańia de agregare asupra tuturor regulilor if-then din stratul 4 Semnalul de output al acestui nod este: Obiectivul reńelei adaptive fuzzy este de a obńine o relańie funcńională între perechele de date de tip input-output Această relańie se determină prin instruirea reńelei, care în cazul de fańă, presupune ajustarea atât a parametrilor de start, cât şi a celor de consecinńă În mod clasic, instruirea reńelei se face tot prin minimizarea erorii, a diferenńei dintre outputul dorit şi cel calculat de reńea: Această distanńa este calculată între numere fuzzy, deci aplicăm regulile de aritmetică corespunzătoare Presupunem, aşa cum am precizat anterior, că şi sunt numere triunghiulare simetrice, notate astfel: şi Asemănător, parametrii de consecinńă vor fi: Din modul în care au fost definite nodurile fiecărui strat, putem scrie: FuncŃia de eroare globală este calculată ca:

7 ReŃele neuronale de tip fuzzy AplicaŃie asupra firmelor din România unde N reprezintă numărul de observańii din mulńimea de instruire Instruirea reńelei este completă când valoarea lui E scade sub un anumit prag aprioric stabilit Algoritmul de instruire presupune ajustarea a două categorii de parametri: parametrii de start pentru ajustarea cărora se aplică o metoda retropropagării erorilor şi parametrii de consecinńă pentru ajustarea acestora se aplică o metodă de programare liniară Pentru determinarea acestora din urmă se rezolvă următoarea problemă de optim cu restricńiile aferente (abordarea Tanaka, 1985): CondiŃiile de mai sus certifică faptul că toate mulńimile de nivel/parametru din eşantionul dat trebuie incluse în mulńimea de nivel a modelului fuzzy Cheng, Lee (1998) schematizează după cum urmează algoritmul de instruire al unei reńele adaptive fuzzy: IniŃializare Setarea nivelului Determinarea valorilor inińiale a parametrilor de start - de manieră subiectivă Pas 1 Identificarea parametrilor de consecinńă, prin rezolvarea problemei de programare liniară expusă mai sus Pas 2 Calcularea măsurii agregate a erorii Dacă aceasta este sub o anumită valoare prestabilită, atunci stop reńeaua este instruită Dacă nu, se continuă cu pasul 3 Pas 3 Ajustarea parametrilor de start prin agloritmul de retropropagare a erorilor Pas 4 Se reia algoritmul de la pasul 1 3 Studiu de caz - reńea adaptivă fuzzy pentru un set de firme din România Pentru a ilustra metodologia prezentată anterior alegem un eşantion de 200 de firme medii din România, cu Cifra de Afaceri la sfârşitul anului 2009 cuprinsă între 1 şi 5 milioane de Euro Datele sunt preluate din bilanńul de la decembrie 2009 al firmelor, date publice disponibile pe Ministerul de FinanŃe/ Registrul ComerŃului

8 Smaranda Stoenescu (Cimpoeru) Setul de 200 de firme este împărńit astfel: 100 de firme sunt solvente, 200 de firme sunt în insolvenńă Ne interesează performanńa reńelei neuronale adaptive în clasificarea corectă a observańiilor în cele două clase Pentru început definim variabilele de intrare (tabel 3): Nr R1 R2 R3 Numele Raportul datorii / capital propriu Profit raportat la activul total ROE (profit raportat la capitalurile proprii) R4 Rata de acoperire a dobânzii R5 Raportul vânzări / active R6 Raportul vânzări / capital propriu R7 Rata de îndatorare R8 Marja profitului curent R9 Perioada de amortizare a datoriei R10 Rata de lichiditate R11 Capital de lucru raportat la active totale R12 Perioada de colectare a creanńelor R13 Capital propriu raportat la active totale R14 Rezultat reportat la active totale Tabel 3 variabilele de intrare asociate setului de date Primul pas în metodologia amintită a fost împărńirea fiecăruia dintre cei 14 factori de intrare (variabilă cantitativă) în câte 5 intervale pe baza cărora se vor construi pentru fiecare rańie 5 numere fuzzy Acest prim pas nu ridică probleme, iar împărńirea pe intervale echidistante va avea următoarea formă: Input Interval 1 Interval 2 Interval 3 Interval 4 Interval 5 R1 (-1,02;-0,01] [0;0,99] [1; 2,01] [2,02; 3,01] [3,01; 4,02] R2 (-1,35;-0,89] [-0,88; -0,44] [-0,43; 0,01] [0,02; 0,47] [0,48; 0,92] R13 (-91,9; -54,5] [-54,4; 17,16] [-17,15; 20,2] [20,2; 57,58] [57,58; 94,95] R14 (-1,76;-1,39] [-1,38; -1,02] [-1,01; -0,66] [-0,65;-0,29] [-0,28; 0,07] Având intervalele construite, pentru fiecare dintre acestea vom construi un număr fuzzy triunghiular Vom avea deci 5 x 14 = 70 de numere fuzzy Acestea se construiesc conform metodei propuse în articolul anterior menńionat Un număr fuzzy triunghiular este definit de 3 coordonate, denumite: stânga, centru şi dreapta Pentru inputurile cu intervalele asociate exemplificate mai sus, vom avea următoarele 20 de numere fuzzy:

9 ReŃele neuronale de tip fuzzy AplicaŃie asupra firmelor din România R1 stanga Centru dreapta i=1-0,5116-0,5116 0,4952 i=2-0,5116 0,4952 1,502 i=3 0,4952 1,502 2,5088 i=4 1,502 2,5088 3,5156 i=5 2,5088 3,5156 3,5156 R2 stanga Centru dreapta i=1-1, , ,66889 i=2-1, , ,21462 i=3-0, , , i=4-0, , , i=5 0, , , R13 stanga Centru dreapta i=1-73, , ,8545 i=2-73, ,8545 1,5185 i=3-35,8545 1, ,8915 i=4 1, , ,2645 i=5 38, , ,2645 R14 stanga Centru dreapta i=1-1,5761-1,5761-1,2103 i=2-1,5761-1,2103-0,84451 i=3-1,2103-0, ,47871 i=4-0, , ,11291 i=5-0, , ,11291 BineînŃeles, numerele fuzzy sunt construite pentru toate cele 14 variabile Cea de-a treia etapă o constituie construcńia scorului financiar În articolul original, autorii au construit trei scoruri: unul aferent dimensiunii economico-financiare a firmei, unul pentru a evalua calitatea managementului şi al treilea pentru competitivitatea produselor Întrucât noi nu dispunem de datele necesare calculării ultimelor două scoruri, vom împărńi variabilele pe patru dimensiuni ale firmei, astfel: - Dimensiunea fianciară a firmei: înglobează inputurile R2, R8, R14, R10, R11, R13 - Îndatorarea firmei R7 şi R9

10 Smaranda Stoenescu (Cimpoeru) - Capitalizarea firmei R1, R3, R6 - EficienŃa: R5,R12 Astfel, pentru fiecare din aceste dimensiuni vom construi câte un scor, urmând apoi agregarea finală a celor patru scoruri într-unul singur Pentru început, vom construi funcńiile de apartenenńă pentru fiecare observańie din cadrul eşantionului la fiecare din cele 5 numere fuzzy aferente celor 14 inputuri Pentru o valoare oarecare a unei rańii, să o notăm cu r, gradul de apartenenńă la un număr fuzzy se calculează în felul următor Mai întâi se identifică căror numere fuzzy aparńine valoarea r Prespunem că aceasta nu este minumul sau maximul seriei de observańii din care face parte, deci se situează în interiorul seriei Am observat mai sus, din construcńia numerelor fuzzy, că două numere alăturate fuzzy sunt de tipul: (a, b, c); (b, c, d) Să presupunem că realiyarea observańiei pe care o luăm cu titlu de exemplu, r, se situează între b şi c În acest caz, realizarea aparńine într-un anumit grad fiecărui număr fuzzy aşa cum le-am definit Gradul de apartenenńă pentru primul număr fuzzy se calculează astfel: Iar pentru al doilea număr: Astfel încât suma gradelor de apartenenńă la cele două intervale să fie unu Acest concept este de o deosebită importanńă în lucrul cu numere fuzzy, ilustrând cel mai bine conceptul de difuzare, de imprecizie O valoare nu se poate asocia unui singur număr fuzzy, ci aparńine într-o anumită măsură la două numere fuzzy Gradul de apartenenńă se calculează pentru cele 100 de observańii din eşantion, pentru fiecare variabila de intrare în parte Pentru exemplificare să luăm următoarul set de observańii (valorile sunt doar pentru rańiile R1, R2, R13, R14 având in vedere că pentru acestea am exemplificat şi numerele fuzzy): O1 : (R1 = 0,027; R2 = 0,08; ; R13 = 19,00; R14 = 0) Pentru această realizare din eşantion, gradele de apartenenńa la numerele fuzzy asociate celor 14 inputuri sunt după cum urmează: Nr Fuzzy 1 Nr Fuzzy 2 Nr Fuzzy 3 Nr Fuzzy 4 R1 0,47 0, R ,34 0,66 0 R ,53 0,47 0 R Grad de apartenenńă Nr Fuzzy 5 Deci, realizarea pentru inputul R1 aparńine în procent de 47% primului număr fuzzy şi în procent de 53% celui de-al doilea număr fuzzy (aşa cum le-am definit anterior) Acelaşi rańionament se repetă pentru fiecare input în parte Având calculate gradele de apartenenńă la fiecare interval, trecem la pasul următor, şi anume calcularea scorurilor agregate care vor servi şi ca noduri de

11 ReŃele neuronale de tip fuzzy AplicaŃie asupra firmelor din România intrare în reńeaua fuzzy adaptivă pe care o vom construi Aşa cum am precizat mai devreme vom calcula, pentru fiecare individ, patru scoruri, după formula: -unde reprezintă scorul unei anumite dimensiuni specifice firmei, k luând valori de la 1 la 5; - reprezintă numărul de variabile incluse în fiecare scor; avem: - scorul fianciar al firmei, înglobează inputurile R2, R8, R13, R14, R10, R11, deci este 6 - scorul îndatorării firmei, cu inputurile R7 şi R9, deci este 2 - scorul de capitalizare al firmei, cu inputurile R1, R3 şi R6, deci este 3 - scorul de eficienńă al firmei, cu inputurile R5 şi R12, deci este reprezintă ponderile asociate fiecărei variabile; în articolul de la care am pornit nu este specificat modul în care au fost alese aceste ponderi Pentru a nu le alege în mod aleator, vom utiliza valorile estimańiilor aferente fiecărei variabile, obńinute în urma aplicaării unei regresii logistice Parametrii respectivi îi standardizăm şi în transformăm în procente, astfel: S1 S3 R2 15,50% R1 53,54% R8 18,06% R3 0,05% R10 17,39% R6 46,41% R11 15,62% R13 16,78% R14 16,65% S2 S4 R7 45,96% R5 50,86% R9 54,04% R12 49,14% Suma ponderilor în cadrul fiecărui scor trebuie să fie egală cu 1 Observăm că din cadrul inputurilor lipseşte R4, având în vedere aportul informańional redus la model - reprezintă gradul de apartenenńă la numărul fuzzy j al rańiei i aferentă scorului k Notăm că pentru rańiile pentru care mai mult înseamnă mai

12 Smaranda Stoenescu (Cimpoeru) rău (cum sunt cele ale îndatorării şi perioada de încasare a creanńelor), sumarea se face nu după j, ci după (5-j+1) Scorurile obńinute le utilizăm în crearea reńelei neuronale adaptive, conform metodologiei În urma instruirii reńelei obńinem următoarele rezultate: Tabelul 4 Rezultatele instruirii reńelei adaptive fuzzy În tabelul de mai sus observăm o rată a clasificării greşite de 25%, deci o acurateńe de 75% a reńelei fuzzy construite De asemenea, reńeaua este instruită dupa approximativ 15 iterańii, conform graficului de convergenńă a erorii În tabelul de mai jos regăsim estimańiile ponderilor sinaptice ale reńelei:

13 ReŃele neuronale de tip fuzzy AplicaŃie asupra firmelor din România Tabelul 5 Estimările ponderilor în urma instruirii reńelei adaptive fuzzy Rezultatele sunt satisfăcătoare, dar nu depăşesc performanńa obńinută pentru reńelele neuronale clasice sau pentru regresia logistică Totuşi, exercińiul este interesant pentru construirea numerelor fuzzy şi lucrul cu nouńiunile ataşate mulńimilor şi logicii fuzzy Concluzii În această lucrare ne-am propus aplicarea metodologiei lui Jiao et al (2007) asupra unui eşantion de firme din România Pentru început am introdus nońiunile de bază logicii şi ale numerelor fuzzy, precum şi etapele construirii setului de date pentru reńeaua adaptivă fuzzy Am exemplificat pe un eşantion de 200 de firme româneşti, utilizând 14 variabile de intrare grupate pe 4 dimensiuni ale firmei Rezultatele sunt bune, asemănătoare cu cele obńinute în cazul aplicării reńelelor neuronale clasice Această lucrare este rezultat al proiectului Doctorat si doctoranzi în triunghiul EducaŃie Cercetare Inovare Acest proiect este cofinanńat din Fondul Social European prin Programul OperaŃional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane, , coordonat de Academia de Studii Economice, Bucureşti

14 Smaranda Stoenescu (Cimpoeru) BIBLIOGRAFIE [1]Bojadziev, G, Bojadziev, M(2003), Fuzzy logic for business, finance and management, World Scientific Press, 232 p; [2]Cheng, CB, Lee, ES(1999), Applying adaptive network to fuzzy regression analysis Computers and Mathematics with Applications 38, pg ; [3]Cover, TM (1965), Geometrical and Statistical properties of systems of linear inequalities with applications in pattern recognition IEEE Transactions on Electronic Computers EC 14, pg ; [4]Haykin, S (1999), Neural Networks: A comprehensive foundation Prentice Hall International; [5]Jiao,Y, Syau, Y-R, Lee, ES (2007), Modelling credit rating by fuzzy adaptive network Mathematical and Computer Modelling, 45, pg ; [6]Lipmann, RP (1987), An Introduction to computing with neural nets IEEE, Vol 3, Nr 4, pg 4-22; [7]Michie, D, Spiegelhalter, DJ, Taylor, C C (1994), Machine learning, neural and statistical classification Prentice Hall; [8]Piramuthu, S (1999), Financial credit-risk evaluation with neural and neurofuzzy systems; European Journal of Operational Research, 112, pg ; [9]Refenes, A-P N, (1994), Comments on Neural networks: Forecasting breakthrough or passing fad by C Chatfield International Journal of Forecasting, nr 10, pg 43 46; [10]Tagaki, T, Sugeno, M (1985), Fuzzy identification of system and its application to modeling and control IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, pg ; [11]Vellido, A, Lisboa, PJG, Vaughan, J (1999), Neural Networks in business: a survey of appliations ( ) Expert System with Applications 17, pg 51-70; [12]Williamson, AG (1995), Refining a neural network credit application vetting system with a genetic algorithm Journal of Microcomputer Applications 18, pg ; [13]Wu, C, Wang, X-M (2000), A neural network approach for analyzing small business lending decisions Review of Quantitative Finance and Accounting, 15, pg