Caracterizarea texturilor color pentru segmentarea imaginilor de psoriazis Color texture characterization for psoriasis image segmentation

Transcription

1 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane Axa prioritară 1 Educaţie şi formare profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere Domeniul major de intervenţie 1.5. Programe doctorale şi post-doctorale în sprijinul cercetării Titlul proiectului: Burse doctorale pentru dezvoltare durabila BD-DD Numărul de identificare al contractului: POSDRU/107/1.5/S/76945 Beneficiar: Universitatea Transilvania din Braşov Universitatea Transilvania din Brasov Scoala Doctorală Interdisciplinară Departament: ELECTRONICĂ ȘI CALCULATOARE Ing. Alexandru E. CĂLIMAN Caracterizarea texturilor color pentru segmentarea imaginilor de psoriazis Color texture characterization for psoriasis image segmentation Conducător ştiinţific Prof. dr. ing. Gheorghe TOACȘE BRAȘOV,

2 MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV BRAŞOV, B-DUL EROILOR NR. 29, , TEL , FAX RECTORAT D-lui (D-nei)... COMPONENŢA Comisiei de doctorat Numită prin ordinul Rectorului Universităţii Transilvania din Braşov Nr din PREŞEDINTE: CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC: REFERENŢI: - Conf. univ. dr. ing. Carmen GERIGAN DECAN Facultatea de Inginerie Electrică și Știința Calculatoarelor - Prof. univ. dr. ing. Gheorghe TOACȘE Universitatea Transilvania din Brașov - Prof. univ. dr. ing. Constantin VERTAN Universitatea Politehnica din București - Conf. univ. dr. ing. mat. Bebe Ion BUCUR Universitatea Politehnica din București - Conf. univ. dr. ing. Mihai IVANOVICI Universitatea Transilvania din Brașov Data, ora şi locul susţinerii publice a tezei de doctorat: , ora 11.00, sala NII1. Eventualele aprecieri sau observaţii asupra conţinutului lucrării vă rugăm să le transmiteţi în timp util, pe adresa alexandru.caliman@gmail.com. Totodată vă invităm să luaţi parte la şedinţa publică de susţinere a tezei de doctorat. Vă mulţumim. 2

3 CUPRINS (lb. romana) Pg. Pg. teza rezumat 1. Introducere Segmentarea imaginilor Noțiuni generale Evaluarea performanțelor segmentării Metode de segmentare a imaginilor Segmentare orientată pe contururi Segmentare orientată pe regiuni Caracterizarea texturilor Noțiuni generale Metode statistice Metode bazate pe mărimi fractale Metode bazate pe mărimi morfologice Segmentare pe baza mărimilor texturale Concluzii Obiective Mărimi fractale pentru caracterizarea texturilor color Sinteza imaginilor fractale Mărimi fractale pentru imagini color Dimensiunea box counting Lacunaritatea și mărimi derivate din aceasta Dimensiunea de corela ție Concluzii și contribuții originale Morfologie matematică pentru imagini color Extinderea la imagini color Pseudo-morfologie probabilistică Imagini în nivele de gri Extinderea PMMP la domeniul color Evitarea culorilor false

4 4.3 Aplicații în caracterizarea texturilor color Concluzii și contribuții originale Aplicații în segmentarea imaginilor de psoriazis Evaluarea afecțiunii psoriazis Mărimi texturale pentru imagini în nivele de gri Mărimi texturale pentru imagini color Concluzii și contribuții originale Concluzii finale și contribuții originale Contribuții originale Direcții viitoare de cercetare Bibliografie ANEXE A Sinteza fractalilor probabilistici A.1 Mișcare Browniană A.2 Funcții de două variabile B Analiza componentelor principale Scurt Rezumat (romana/engleza) CV (lb. română) CV (lb. engleză)

5 CUPRINS (lb. engleza) Pg. Pg. teza rezumat 1. Introduction Image segmentation General notions Segmentation performance assessment Image segmentation methods Contour-based segmentation Region-based segmentation Texture characterization General notions Statistical methods Methods based on fractal measures Metods based on morphological measures Texture-based segmentation Conclusions Objectives Fractal measures for color texture characterization Fractal image synthesis Fractal measures for color images Box counting dimension Lacunarity and measures derived from it Correlation dimension Conclusions and original contributions Mathematical morphology for color images Extension to color images Probabilistic pseudo-morphology Grey-level images PMMP extension to color images False colors avoiding

6 4.3 Applications in color texture characterization Conclusions and original contributions Applications in psoriasis image segmentation Psoriasis assessment Textural measures for grey-level images Textural measures for color images Conclusions and original contributions Final conclusions and original contributions Original contributions Future research directions Bibliography APPENDIX A Probabilistic fractal synthesis A.1 Brownian motion A.2 Two-variable functions B Principal Component Analysis Abstract (romanian/english) CV (romanian) CV (english)

7 1. Introducere Prin analiza imaginilor se înțelege procesul de extragere de informații din imagini, în urma căruia se pot lua anumite decizii. Prin urmare, tehnicile de analiză a imaginilor au devenit din ce în ce mai populare, fiind utilizate în diverse aplicații. Printre operațiile utilizate în procesele de analiză a imaginilor se regăsesc extragerea de contururi, segmentarea sau calculul de mărimi texturale, operații pe baza cărora se pot realiza măsurători ale diverselor mărimi, recunoaştere de obiecte sau diverse evaluări ale parametrilor obiectelor din imagini (arii, perimetre, distanțe, etc.). Segmentarea imaginilor reprezintă o tehnică de analiză prin care imaginile sunt descompuse în părțile lor constituente, informațiile despre acestea putând fi ulterior utilizate în recunoaşterea de obiecte sau pattern-uri. Apariția obiectelor cu proprietăți texturale poate îngreuna operațiile de analiză deoarece acestea reprezintă suprafețe complexe, cu multe contururi, ce pot fi interpretate greşit printr-o abordare inedecvată. Au apărut astfel, tehnicile de analiză a texturilor, în care sunt analizate regiuni ale imaginilor, sau chiar imagini întregi, cu scopul de extrage informații ce pot fi utilizate ulterior în operații mai complexe. Dat fiind faptul că tehnicile de analiză a imaginilor au fost dezvoltate inițial în contextul imaginilor în nivele de gri, una din problemele apărute în acest domeniu este apariția şi utilizarea la scară din ce în ce mai largă a imaginilor color, în ultimul timp îmbunătăținduse în mod constant calitatea acestora. Problema constă în faptul că majoritatea operațiilor de analiză introduse pentru imagini în nivele de gri nu pot fi extinse în mod direct la imagini color, din cauza naturii vectoriale a valorilor pixelilor din aceste imagini. Aşadar, în ultimul timp s-a urmărit propunerea de metode de analiză care să abordeze imaginile color ținând cont de natura vectorială a informației color. Pe această direcție se încadrează şi cercetările realizate în cadrul prezentei teze de doctorat, prin investigarea oportunităților de a propune noi metode de analiză texturală, care să țină cont de natura vectorială a datelor din imaginile color. Obiectivul tezei Principalul obiectiv al prezentei lucrări este de a propune diverse metode de analiză a texturilor color care să ia în considerare faptul că imaginile color reprezintă funcții vectoriale. În acest sens, vor fi investigate oportunitățile introducerii unor mărimi texturale noi, sau extinderea celor existente pentru imagini în nivele de gri, astfel încât abordările rezultate să fie de natură vectorială. Cercetările se vor concentra asupra mărimilor ce consideră imaginea ca fiind un obiect cu proprietăți fractale, dat fiind faptul că modelarea imaginilor color prin funcții cu caracter fractal a fost introdusă recent, existând puține studii în această direcție. De asemenea, se are în vedere investigarea mărimilor bazate pe operații din morfologia matematică, extinderile acestei teorii la domeniul color prezentând unele dezavantaje. Evaluarea mărimilor propuse se va realiza în contextul unei aplicații medicale privind segmentarea imaginilor texturale color conținând leziuni de psoriazis. Dat fiind faptul că segmentările imaginilor reprezintă operații ambigue, ale căror rezultate sunt, în general, evaluate în mod subiectiv, se are în vedere utilizarea unor segmentări de referință pentru compararea rezultatelor obținute pe baza mărimilor introduse în prezenta lucrare. 7

8 2. Segmentarea imaginilor Imaginile digitale sunt din ce în ce mai des utilizate în aplicații automate de detecție a obiectelor sau diverse sisteme de decizie bazate pe informații extrase din spectrul vizibil sau invizibil. Una din cele mai importante operații în cadrul unui astfel de sistem, ce are ca scop identificarea obiectelor de interes este segmentarea. În acest capitol sunt prezentate câteva noțiuni generale despre segmentarea imaginilor, fiind descrise principalele tehnici de segmentare. Apoi urmează o prezentare a câtorva mărimi texturale clasice şi o prezentare a modului în care acestea pot fi utilizate în segmentarea imaginilor. Capitolul se încheie cu o secțiune de concluzii şi cu prezentarea obiectivelor prezentei teze de doctorat. 2.1 Noțiuni generale Operația de segmentare a imaginilor este utilizată adesea în sistemele automate de analiză a imaginilor. Prin segmentare, domeniul imaginii este divizat, astfel încât imaginea să fie împărțită în regiuni de sine stătătoare, fiecare cu o semnificație proprie. Matematic, modelând imaginea ca o funcție f : D f S, unde D f reprezintă un domeniu bidimensional (ex. o submulțime din R 2 ) iar S este mulțimea valorilor pixelilor unei imagini, segmentarea acesteia este definită ca partiționarea completă a domeniului D f, într-un ansamblu de mulțimi disjuncte, nevide şi conexe D fi, numite segmente, ce satisfac fiecare un anumit criteriu C; acest criteriu nu este respectat pentru reuniunea oricăror două elemente ale partiției [21]. Au fost propuse diverse operații de segmentare ale unei imagini [24][40], cum ar fi metode bazate pe extragerea contururilor, pe creşterea regiunilor, pe histogramă, pe trăsături locale, pe fuziunea regiunilor rezultate în urma unei suprasegmentări, ş.a.m.d. În literatură, acestea au fost grupate în două mari clase, în funcție de modalitatea de abordare a fiecărei metode: metode orientate pe contururi şi metode orientate pe regiuni. Metodele de segmentare orientate pe contururi urmăresc detecția frontierelor obiectelor din imagine, acestea fiind caracterizate de schimbări semnificative ale valorilor pixelilor într-o vecinătate spațială. Dezavantajul major al acestor metode este dat de faptul că, din cauza zgomotului sau a altor efecte nedorite, acestea nu garantează obținerea unor contururi închise în jurul obiectelor. Metodele de segmentare bazate pe regiuni urmăresc extragerea regiunilor din imagine ce respectă un anumit criteriu de uniformitate. Acest criteriu poate fi aplicat direct asupra valorilor pixelilor din imagine sau asupra unor mărimi caracteristice derivate, ce pot fi calculate incluzând şi pixeli din vecinătatea pixelului curent. Considerând spațiul caracteristicilor ca fiind spațiul valorilor pixelilor din imagine, putem clasifica astfel tehnicile de segmentare bazate pe histogramă ca o sub-categorie a metodelor de segmentare bazate pe regiuni. Imaginile texturale pot fi segmentate cu ajutorul acestor metode, dacă spațiul caracteristicilor este constituit din mărimi de caracterizare a texturilor. În concluzie, metodele de segmentare propuse se pot grupa în două mari clase, în funcție de metodologia abordată: detecția contururilor şi extragerea directă a regiunilor. Cu toate că există numeroase metode propuse pentru segmentare, acestea sunt de obicei 8

9 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 9 metode ad hoc, introduse pentru rezolvarea unor probleme specifice. Evaluarea performanțelor unei metode de segmentare întâmpină anumite dificultăți, datorate în principal lipsei unei referințe obiective cu care să fie comparat rezultatul obținut. 2.2 Evaluarea performanțelor segmentării O evaluare cantitativă a rezultatelor generate de către un algoritm de segmentare este în general dificil de realizat, dată fiind diversitatea aplicațiilor în care este necesară o astfel de operație. În [36] a fost realizat un experiment în care mai multe imagini au fost propuse pentru a fi segmentate manual. S-a constatat că, din cauza caracterului general al imaginilor, au apărut situații în care aceeaşi imagine a fost segmentată în mod diferit de către oameni diferiți. Prin urmare, evaluarea rezultatelor unei segmentări depinde de evaluator, fiind realizată în mod subiectiv de către fiecare om în parte. În [52] au fost prezentate trei clase de evaluări ale unei operații de segmentare: metode analitice, metode bazate pe evaluarea calității segmentării şi metode bazate pe evaluarea discrepanței dintre diferite segmentări ale aceleiaşi imagini. Dintre acestea, cele mai populare sunt metodele bazate pe evaluarea discrepanțelor dintre rezultatul unui algoritm dat şi o segmentare de referință. Se pot utiliza mărimi cantitative pentru evaluarea acestei discrepanțe, cum ar fi numărul şi/sau poziția pixelilor segmentați greşit, numărul segmentelor rezultate, etc. Această metodă are însă dezavantajul necesității unui rezultat de referință care, după cum a fost prezentat anterior poate fi obținut în mod subiectiv. În [15] au fost propuse mai multe metode de evaluare ale unor operații de segmentare aplicate pe imagini satelitare. Considerând operația de segmentare ca o clasificare a pixelilor în diferite clase reprezentând obiectele din imagine, una dintre aceste metode se bazează pe numărul pixelilor incorect clasificați. Această metodă compară segmentarea rezultată utilizând un anumit algoritm de segmentare cu o segmentare de referință, calculând procentul pixelilor incorect clasificați. 2.3 Metode de segmentare a imaginilor Metodele de segmentare au fost clasificate, în funcție de abordarea propusă, în metode bazate pe contururi şi metode bazate pe regiuni. În continuare, vor fi prezentate pe scurt, câteva metode reprezentative din fiecare clasă Segmentare orientată pe contururi Algoritmii de segmentare urmăresc detecția obiectelor din imagine prin determinarea frontierelor dintre acestea. Aceste frontiere, denumite contururi, sunt caracterizate de variații semnificative ale valorilor pixelilor într-o vecinătate spațială. Dat fiind faptul că imaginile sunt modelate matematic ca funcții cu domeniul de definiție bidimensional, variațiile valorilor pixelilor pot fi analizate prin intermediul gradientului funcției imagine, ce poate fi obținut printr-o filtrare liniară de derivare. Dacă amplitudinea acestui gradient este mai mare decât un anumit prag, atunci pixelul respectiv este considerat ca fiind pixel de contur. De obicei, pentru diminuarea artefactelor introduse din cauza zgomotului din

10 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 10 imagine, filtrele de derivare sunt combinate cu filtre de netezire. Au apărut astfel, filtrele de extragere de contururi bazate pe gradient (ex Prewitt, Izotrop şi Sobel) [30]. Principalul dezavantaj al acestor metode este că în regiunile în care tranziția dintre obiecte este mai lentă, magnitudinea gradientului scade şi astfel, printr-o comparare cu un prag fix rezultă întreruperi ale contururilor detectate. Acestea pot apărea şi din cauza zgomotului sau a iluminării neuniforme a obiectelor. O soluție a acestei probleme poate fi utilizarea metodelor de segmentare bazate pe extragerea directă a regiunilor din imagine Segmentare orientată pe regiuni Metodele de segmentare orientată pe regiuni urmăresc caracterizarea fiecărei regiuni de sine stătătoare pe baza unor trăsături definitorii ale acelei regiuni. Cea mai simplă proprietate a unui obiect dintr-o imagine este dată de valorile pixelilor ce compun acel obiect. Astfel, au apărut metodele de segmentare bazate pe prăguirea histogramei. Segmentare pe baza histogramei Atunci când valorile pixelilor sunt definitorii pentru obiectele din imagine, acestea pot fi utilizate drept criteriu pentru realizarea unei segmentări, histograma imaginii având o structură de moduri dominante. Pixelii având valori corespunzătoare unui mod sunt considerați ca aparținând unei clase de obiecte. O astfel de segmentare este caracterizată prin faptul că segmentele nu sunt întotdeauna conexe. Au fost introduse şi metode de alegere automată a pragurilor, cum ar fi metoda Bhattacharya [6] sau tehnici automate de clustering, ce pot fi aplicate şi în cazul imaginilor color. Unul din principalele dezavantaje ale acestei metode este dat de faptul că nu se iau în considerare relațiile spațiale existente între pixeli. Astfel, din cauza iluminării neuniforme, a apariției umbrelor sau a zgomotului, unii pixeli pot fi considerați ca aparținând în mod eronat unei anumite clase. Pentru a lua în considerare distribuția spațială a pixelilor în imagine, au fost propuse metode de segmentare în suportul imaginii [49]. Una dintre cele mai populare astfel de metode este creşterea regiunilor [24]. Creşterea regiunilor Pornind de la anumiți pixeli din imagine, numiți semințe, aflați în interiorul obiectelor, se grupează în jurul acestora pixelii cu proprietăți similare. Există deci, două etape: alegerea semințelor şi creşterea regiunilor. Procesul se opreşte atunci când toți pixelii din imagine au fost asociați unui anumit obiect sau când nu mai există pixeli similari cu cei inițiali. Dezavantajul unei astfel de metode este că dacă se doreşte segmentarea unei imagini cu variații mari ale valorilor pixelilor în interiorul obiectelor, acestea nu vor permite regiunilor să "crească" foarte mult. Se poate concluziona deci, că o metodă de segmentare bazată exclusiv pe valorile pixelilor nu generează întotdeauna rezultate satisfăcătoare. O soluție la această problemă este includerea unei vecinătăți din jurul fiecărui pixel în procesul de segmentare. Astfel, fiecărui pixel i se asociază una sau mai multe valori care să caracterizeze atât pixelul în sine, cât şi relația spațială pe care acesta o are cu pixelii vecini. Unele dintre cele mai populare mărimi caracteristice, utilizate în segmentare sunt mărimile texturale.

11 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR Caracterizarea texturilor Imaginile ce conțin variații mari ale valorilor pixelilor sunt dificil de segmentat utilizând doar informații privitoare la valorile respective ale pixelilor. Aceste regiuni poartă numele de texturi. În ultimii 30 de ani au fost propuse numeroase încercări de a extrage mărimi care să caracterizeze proprietăți ale texturilor din punct de vedere numeric, astfel încât acestea să fie utilizate în aplicații de clasificare, indexare sau segmentare a imaginilor. În secțiunile următoare sunt descrise o serie de astfel de abordări Noțiuni generale Texturile reprezintă variația datelor din imagine la o scală mai mică decât scala de interes [41]. În Figura 2.1d este prezentată o imagine ce conține trei texturi: textura penelor păsării, iarba şi pădurea din fundal. Texturile se pot grupa în trei clase: regulate, semi-regulate şi neregulate. În cele regulate, un anumit element textural, numit texel, se repetă periodic, formând o structură deterministă. În texturile neregulate nu există un astfel de element, acestea fiind compuse dintr-o variație a datelor într-un mod probabilistic. Clasa texturilor semi-regulate, este o clasă intermediară, în care există texeli, însă aceştia au poziții şi mărimi aleatoare. Aceste tipuri de texturi sunt exemplificate în Figura 2.1. Au fost propuse numeroase abordări de caracterizare a texturilor. În [48] acestea au fost clasificate în metode geometrice, statistice, bazate pe anumite modele ale imaginii şi bazate pe tehnici din domeniul prelucrării semnalelor. Metodele geometrice se referă la descrierea texturilor regulate şi semi-regulate prin forma şi poziția texel-ilor [41]. Metodele (a) Textură regulată (b) Textură semi-regulată (c) Textură neregulată (d) Imagine texturală Figura 2.1: Exemple de texturi.

12 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 12 statistice sunt bazate pe distribuții de ordinul 2 sau funcții de autocorelație [26]; acestea sunt adecvate pentru analiza texturilor neregulate, dată fiind structura aleatoare a acestora. Metodele bazate pe construcția unui model al imaginii sunt caracterizate prin utilizarea unui model matematic ce poate fi aplicat atât pentru descrierea texturii, cât şi pentru sinteza acesteia (ex. fractali, câmpuri aleatoare Markov). Metodele bazate pe tehnici din prelucrarea semnalelor se referă în special la filtre ce pot fi utilizate pentru extragerea unor informații texturale din imagini (ex. filtre Gabor, filtre neliniare din domeniul morfologiei matematice). În cele ce urmează este descris câte un exemplu din fiecare categorie, exceptând metodele geometrice, deoarece acestea au ca principal obiectiv detecția şi descrierea texelilor, aceştia neexistând în toate tipurile de texturi Metode statistice Texturile nu pot fi descrise utilizându-se doar valorile pixelilor, fiind necesară o abordare care să ia în considerare o vecinătate din jurul fiecărui pixel. Aşadar, mărimile statistice de ordinul unu sunt insuficiente pentru descrierea texturilor, existând texturi diferite cu aceeaşi histogramă [45]. Prin urmare, au fost introduse mărimi statistice de ordinul doi, care să ia în considerare, pe lângă statistica privind variația a doi pixeli, informații privind relația spațială a acestora. Matricea de coocurență reprezintă o astfel de mărime, fiind o funcție de densitate de probabilitate de ordinul doi ce caracterizează perechi de pixeli din regiunea studiată [26]. Matricea de coocurență nenormată este definită ca: C d (i, j) = Card{(x, y) (I(x, y) = i) (I(x + dx, y + dy) = j)} (2.1) unde x şi y reprezintă coordonate spațiale, i şi j sunt valorile posibile ale pixelilor, iar d = (dx, dy) este un vector bidimensional de translație, ce determină relația spațială dintre pixelii analizați. Pentru a reprezenta o densitate de probabilitate, această matrice este normată, rezultând matricea N d. Matricea de coocurență, poate fi utilizată direct pentru descrierea texturilor. Totuşi, pentru extragerea unor valori numerice, care să fie utilizate mai uşor în comparații, au fost introduse mai multe mărimi statistice, obținute pe baza acestei matrici, numite adesea mărimile Haralick [26]: energia, corelația, contrastul, omogenitatea, etc. Deşi matricile de coocurență au devenit foarte populare, acestea au un mare dezavantaj: sunt practic imposibil de aplicat în mod direct pentru imagini color. Acest lucru este o consecință a numărului foarte mare de culori existente în imaginile actuale (aproximativ 16.7 milioane); din această cauză, ar rezulta matrici de coocurență cu dimensiuni foarte mari, imposibil de manipulat utilizând maşinile de calcul uzuale actuale. Un alt dezavantaj al matricii de coocurență este invarianța la anumite transformări ale imaginii, cum ar fi schimbări de scală sau variații ale iluminării. În continuare sunt prezentate o serie de mărimi ce posedă aceste tipuri de invarianță, fiind bazate pe abordări multirezoluție Metode bazate pe mărimi fractale Termenul de fractal a fost introdus de către Mandelbrot, în anul 1983 [33]. Principala proprietate vizuală a obiectelor fractale este autosimilaritatea. În funcție de aceasta, există două tipuri de fractali: determinişti şi probabilistici. In cazul fractalilor determinişti,

13 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 13 există o autosimilaritate exactă, obiectele fiind compuse din copii fidele ale lor, dar scalate cu o anumită valoare; fractalii probabilistici sunt compuşi din submulțimi pentru care mărimile probabilistice sunt aceleaşi cu ale mulțimii inițiale, de asemenea, scalate cu o anumită valoare. Imaginile texturale au fost modelate şi analizate pe baza teoriei fractale, existând numeroase lucrări legate de acest subiect [39] [31]. Mandelbrot a definit noțiunea de fractal ca fiind o mulțime cu dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea sa topologică. Dimensiunea topologică a unei mulțimi este dată de cel mai mic întreg n, astfel încât, dacă se acoperă respectiva mulțime cu o familie de mulțimi deschise, să nu existe mai mult de n + 1 astfel de mulțimi cu elemente comune [19]. Astfel, o curbă are dimensiunea topologică 1, o suprafață dimensiunea 2, etc. Dimensiunea Hausdorff porneşte de la definiția mărimii Hausdorff H. Dacă F R n şi s R +, oricare ar fi δ > 0, se defineşte Hδ(F s ) = { } U i s : F U i, U i < δ, (2.2) i=1 unde reprezintă extragerea infimum-ului unei mulțimi şi U i reprezintă diametrul mulțimii U i [20]. Mărimea H s (F ) = lim Hδ s (F ) se numeşte mărimea Hausdorff s-dimensională. δ 0 A fost demonstrat că H s (F ) este o funcție descrescătoare în raport cu s. Mai mult, există o valoare s 0 pentru care { dacă 0 s H s s0 (F ) = (2.3) 0 dacă s > s 0 Această valoare critică în care funcția "sare" de la la 0 poartă numele de dimensiunea Hausdorff, notată dim H F. O astfel de definiție este dificil de utilizat în mod direct, în implementări practice fiind utilizate aproximări ale acestei dimensiuni: (i) dimensiunea box counting, (ii) dimensiunea de corelație, (iii) dimensiunea Minkowski-Bouligand. Fiecare din acestea este denumită generic dimensiune fractală (DF ) în anumite articole. Cu toate acestea, Mandelbrot a definit dimensiunea Hausdorff ca dimensiune fractală. (i) Algoritmul pentru determinarea dimensiunii box counting urmăreşte acoperirea spațiului în care se află obiectul fractal cu mulțimi de dimensiune cunoscută, denumite cutii (eng. box), şi numărarea cutiilor ce acoperă obiectul. Această etapă se repetă pentru diferite dimensiuni ale cutiilor. În cazul unui obiect fractal F, numărul cutiilor rezultate N(δ) variază în funcție de dimensiunea δ a acestora după relația i=1 N δ (F ) = δ dim BF, (2.4) unde dim B F se numeşte dimensiunea box counting. Rezultă că log N δ (F ) = dim B F log δ. (2.5) Prin urmare, dimensiunea box counting poate fi determinată practic, ca fiind panta dreptei de regresie dată de numărul de cutii cu care este acoperită mulțimea fractală, în funcție de mărimea acestora, în coordonate logaritmice. În aplicații, pentru măsurarea dimensiunilor box counting a funcțiilor cu caracter fractal (ex. mişcare Browniană) sau a imaginilor în nivele de gri, au fost propuse diverse modalități de calcul sau estimare a numărului de cutii, cum ar fi metoda diferențelor propusă în [43] sau metoda probabilistică introdusă de [50]. Utilizând metoda probabilistică,

14 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 14 se poate calcula şi o altă mărime fractală: lacunaritatea. Termenul de lacunaritate a fost introdus de Mandelbrot ca o măsură a eterogenității unui obiect fractal. (ii) O altă modalitate de a estima dimensiunea Hausdorff este prin dimensiunea de corelație, introdusă în [25] şi care se bazează pe calculul integralei de corelație C(δ): C(δ) = 2q δ N(N 1), (2.6) unde q δ reprezintă numărul de perechi de puncte din mulțimea fractală aflate la o distanță mai mică decât δ. Dimensiunea de corelație, dim C F a unui obiect fractal F este dată de: log C(δ) dim C F = lim. (2.7) δ 0 log δ (iii) O a treia metodă practică de estimare a dimensiunii Hausdorff este algoritmul covering blanket. Acesta se bazează pe ideea de a calcula lungimea L a unei curbe F prin dilatarea acesteia utilizând un disc de rază ε, urmată de calculul ariei A(ε), a mulțimii dilatate; lungimea curbei F va fi egală cu L(F ) = lim ε 0 A(ε) 2ε. (2.8) Dacă F este un fractal atunci lungimea calculată variază în funcție de ε: L ε (F ) = c lim ε 0 ε (1 dim MBF ) dim MB F = lim ε 0 (2.9) unde c este o constantă, iar dim MB F reprezintă dimensiunea Minkowski-Bouligand a obiectului F. Aceasta poate fi calculată în modul următor [7]: ( ) 2. (2.10) dim MB F = lim ε 0 log A(ε) log ε Conceptul a fost extins la calculul dimensiunilor obiectelor fractale din R n [33]: ( dim T F + 1 log V (ε) log ε ), (2.11) unde dim T F reprezintă dimensiunea topologică a obiectului fractal F R n, iar V (ε) reprezintă hipervolumul ce încadrează obiectul fractal, la distanța ε. Pentru analiza semnalelor şi a imaginilor această tehnică a fost formalizată utilizând concepte din morfologia matematică, rezultând algoritmul covering blanket [35]. Alături de acest procedeu pentru calculul dimensiunii Minkowski-Bouligand ce poate fi utilizată ca mărime de caracterizare a texturilor în cadrul morfologiei matematice au fost definite şi alte mărimi texturale. Toate acestea sunt prezentate în secțiunea următoare Metode bazate pe mărimi morfologice Morfologia matematică (MM) reprezintă o ramură a matematicii utilizată pentru extragerea de informații cu privire la formele obiectelor din imagini [44]. MM a fost introdusă pentru imagini binare, care pot fi considerate mulțimi de puncte bidimensionale; prin urmare, operațiile elementare din MM sunt bazate pe teoria mulțimilor. Extinderea

15 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 15 la imagini în nivele de gri a introdus o generalizare a operațiilor morfologice de bază, care au fost compuse ulterior în operații mai complexe [47]. Pentru definirea operațiilor morfologice de bază este necesară introducerea conceptului de element structurant. Acesta reprezintă o mulțime, de obicei de dimensiuni reduse, utilizată pentru extragerea de informații din imaginea de analizat. Acestei mulțimi i se asociază o origine, cu ajutorul căreia elementul structurant este poziționat în fiecare punct al imaginii, prin operații de translație. Astfel, pentru o imagine binară F şi utilizând elementul structurant B, cele două operații de bază din morfologia matematică, erodarea ε B (F ) şi dilatarea δ B (F ), se definesc în modul următor: ε B (F ) = {x B x F } ; δ B (F ) = {x B x F } (2.12) unde B x reprezintă translația elementului structurant B în punctul x al imaginii inițiale. Aceste două operații respectă proprietatea de dualitate: ε B (F ) = ( δ B (F C ) ) C şi δb (F ) = ( ε B (F C ) ) C (2.13) unde F C reprezintă complementara imaginii F. Erodarea şi dilatarea determină ca obiectele din imagine fie să se micşoreze, fie să crească în dimensiune. Pentru a corecta aceste efecte şi a aduce obiectele la forma inițială, au fost introduse operațiile de deschidere γ B (F ) şi închidere morfologică φ B (F ): γ B (F ) = δ ˇB [ε(f )] ; φ B (F ) = ε ˇB [δ(f )] (2.14) unde ˇB reprezintă simetricul lui B în raport cu originea. Aceste operații determină ca obiectele mari să fie aduse la mărimea şi forma inițială, generând şi un efect de netezire a contururilor. Deschiderea şi închiderea sunt, de asemenea operații duale. În plus, acestea respectă o altă proprietate importantă, şi anume idempotența: γ B (γ B (F )) = γ B (F ) şi φ B (φ B (F )) = φ B (F ). (2.15) Această proprietate este importantă în cazul filtrării imaginilor deoarece garantează că o imagine nu va fi modificată de mai multe ori prin iterații multiple ale aceleiaşi transformări. Extinderea acestor operații la imagini în nivele de gri s-a realizat utilizând conceptul de umbră a unei funcții U(f), ce permite trecerea de la o funcție la o mulțime şi invers [34]. Pentru a reveni la funcția f, a fost definită transformarea top a unei mulțimi T(A). Între cele două transformări, top şi umbră, există relația T (U(f)) = f. Extinderea operațiilor morfologice la funcții reale de o variabilă (semnale) sau două variabile (imagini în nivele de gri) s-a realizat prin transformarea acestora în mulțimi: ε g (f) = ε U(g) (U(f)); δ g (f) = δ U(g) (U(f)), (2.16) unde g se numeşte de asemenea element structurant sau funcție structurantă. O formalizare a acestor operații a fost realizată utilizându-se teoria laticilor [42]. O latice este o mulțime, căreia i se asociază o ordine parțială şi pentru care fiecare două elemente au un infimum şi un supremum. Infimum-ul unei mulțimi reprezintă cel mai mare element, mai mic sau egal decât fiecare element al mulțimii respective; supremum-ul mulțimii este cel mai mic element, mai mare sau egal decât elementele mulțimii. Pentru f : D f S şi g : D g S unde S este o latice, erodarea şi dilatarea au fost definite în modul următor:

16 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 16 [ε g (f)] (x) = ( ) f(x + z) g(z), x Df ; z D g (2.17) [δ g (f)] (x) = ( ) f(x z) + g(z), x Df, z D g (2.18) unde şi sunt operatorii de calcul a infimum-ului şi a supremum-ului. Pentru a se evita confundarea unităților spațiale din domeniul de definiție al funcției, D f, cu valorile funcției f(x) S, foarte des se utilizează elemente structurante de tip plat (eng. flat), definite ca g(x) = 0, x D g. Pornind de la cele patru operații morfologice prezentate, se pot defini operații mai complexe de extragere de trăsături din imagini. Pentru extragerea de informații texturale dintr-o imagine, utilizând operații morfologice, au fost propuse mai multe abordări: Algoritmul covering blanket. Scopul acestei abordări este de a calcula lungimea, în cazul semnalelor, sau ariei în cazul suprafețelor ce modelează imagini în nivele de gri, utilizând operații morfologice pentru obținerea unei învelitori a obiectului. În cazul imaginilor, această învelitoare este determinată de suprafețele imaginilor generate prin dilatare şi erodare. Se poate aplica apoi ecuația 2.11 pentru calculul dimensiunii Minkowski-Bouligand, variind dimensiunea elementului structurant. Granulometria este o funcție reprezentând evoluția volumului unei imagini, după efectuarea operației de deschidere morfologică, în funcție de mărimea elementului structurant. Imaginile în tonuri de gri pot fi considerare ca fiind suprafețe, z = f(x, y), în spațiul tridimensional, valorile pixelilor pentru fiecare coordonată spațială (x, y) din imagine reprezentând înălțimi ale suprafeței. Volumul unei astfel de suprafețe se poate calcula ca suma tuturor pixelilor din imagine. În [46] a fost propusă noțiunea de pseudo-granulometrie, constând în utilizarea operației morfologice de erodare în loc de deschidere. Covariația morfologică este definită ca variația volumului unei imagini în urma erodării cu un element structurant P 2,d format din două puncte, aflate la distanța d unul față de celălalt, în funcție de această distanță. Calculând funcția pentru diferite orientări ale vectorului d, putem forma un vector de trăsături texturale ce poate fi folosit în operații de clasificare, segementare, indexare, etc. Toate aceste mărimi pot fi utilizate pentru descrierea locală a unei imagini texturale, conducând la asocierea fiecărui pixel al imaginii cu un vector de trăsături texturale. Segmentarea unei astfel de imagini se poate realiza apoi ținând cont de aceste trăsături. 2.5 Segmentare pe baza mărimilor texturale Segmentarea imaginilor nu generează întotdeauna rezultate satisfăcătoare atunci când este bazată doar pe valorile pixelilor. De cele mai multe ori se urmăreşte să se ia în considerare şi informații privind relația spațială pe care pixelii o au între ei. Astfel, se calculează anumite mărimi de descriere a unei vecinătăți, acestea utilizându-se în procesul

17 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 17 de segmentare. Mărimile de descriere a texturii fac parte din această categorie, contribuind la descrierea regiunii analizate prin mărimi scalare sau vectoriale. Una dintre cele mai populare metode de segmentare bazată pe mărimi texturale color este metoda JSEG [18]. Aceasta se bazează pe calculul mărimii J, ce reflectă omogenitatea unei regiuni, atât din punctul de vedere al culorilor cât şi al texturii. JSEG combină o metodă de segmentare bazată pe detecția contururilor date de mărimea J calculată local cu o metodă bazată pe regiuni creşterea de regiuni. Prin urmare, algoritmii prezentați în Secțiunea 2.3 pot fi aplicați şi în cadrul texturilor, însă nu direct, utilizând valorile pixelilor, ci în spațiul caracteristicilor determinat de mărimile texturale. Astfel, pentru o segmentare utilizând mărimile texturale definite în Secțiunea 2.4 se poate utiliza o metodă de clustering (ex. k-means) care să clasifice pixelii din imagine în funcție de textura din care aceştia fac parte. Procedeul este ilustrat în Figura 2.2: un bloc de extragere de caracteristici texturale, la nivel local, urmat de o clasificare a acestor trăsături. Avantajul acestui procedeu este că permite compararea diferitelor abordări de extragere a informațiilor texturale, acestea fiind utilizate în aceeaşi operație de analiză a imaginilor (segmentare), utilizând aceeaşi tehnică de clasificare. Figura 2.2: Segmentarea texturilor utilizând clasificarea caracteristicilor texturale. 2.6 Concluzii În acest capitol s-a realizat o prezentare sistematică a metodelor utilizate în segmentarea imaginilor. Această prezentare a avut ca scop analiza critică a metodelor actuale şi evidențierea aspectelor ce pot constitui teme de dezvoltare pentru obținerea unor performanțe mai bune. Concluziile care decurg din această analiză şi care constituie puncte de plecare pentru prezenta lucrare sunt prezentate în continuare: La nivelul actual în domeniul segmentării imaginilor există două mari clase de metode: bazate pe contururi şi bazate pe regiuni: segmentarea bazată pe contururi nu generează tot timpul rezultate satisfăcătoare, existând situații în care, din cauza condițiilor de iluminare, nu se obțin contururi închise în jurul obiectelor; segmentarea bazată pe regiuni, în care se iau în calcul doar valorile pixelilor, poate produce rezultate greşite atunci când în imagine există variații de lumină sau obiecte cu proprietăți texturale.

18 CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 18 O abordare frecventă este de a lua în considerare informații privind aranjamentul spațial al pixelilor determinate prin intermediul mărimilor texturale. Metodele de segmentare a imaginilor ce conțin texturi se bazează pe următoarele categorii de mărimi texturale: statistice; bazate pe mărimi fractale; bazate pe operații morfologice. Algoritmii clasici de segmentare pot fi aplicați şi în cadrul texturilor, utilizându-se spațiul caracteristicilor. Spațiul caracteristicilor este determinat de mărimile texturale calculate la nivel local. Una din problemele apărute în utilizarea mărimilor texturale pentru segmentare este că foarte puține au fost extinse astfel încât să fie utilizate în analiza imaginilor color, în abordări care să țină cont de natura vectorială a pixelilor din aceste imagini. De multe ori, extinderea s-a realizat marginal. Totuşi, în astfel de abordări nu se ține cont de corelațiile ce există între canale în anumite spații de culoare, ceea ce poate conduce la rezultate ambigue, cum ar fi segmentări diferite rezultate prin aplicarea unei tehnici de segmentare pe fiecare canal de culoare în parte. De asemenea, o abordare marginală poate genera, în anumite cazuri, apariția unor elemente care să îngreuneze procesul de analiză, cum ar fi culorile false introduse de morfologia matematică aplicată marginal. Lucrarea de față îşi propune să rezolve problemele menționate anterior, prezentând câteva abordări de extindere la imagini color a mărimilor fractale şi a celor bazate pe morfologia matematică.

19 3. Mărimi fractale pentru caracterizarea texturilor color Dintre numeroasele metode de caracterizare numerică a texturilor, mărimile fractale au avantajul de a fi invariante la schimbări de scală sau variații ale iluminării, acestea fiind obținute în urma unei analize multirezoluție a imaginii. În [39] este argumentat că majoritatea suprafețelor texturale din natură pot fi considerate, în anumite limite, fractali; imaginile de intensitate ale acestor suprafețe texturale au de asemenea proprietăți fractale. Pe baza acestei ipoteze au fost propuse numeroase metode de analiză în care imaginile texturale în nivele de gri sunt privite din perspectiva obiectelor fractale, urmărindu-se calculul sau estimarea unor mărimi caracteristice. Totuşi, majoritatea abordărilor propuse se referă la imagini în nivele de gri, modelate prin funcții bidimensionale reale şi deci, privite ca suprafețe în spațiul tridimensional. Acest capitol prezintă o clasă de funcții cu proprietăți fractale mişcare browniană împreună cu modalități de sinteză a acestora, aceste tehnici de sinteză putând fi utilizate pentru generarea imaginilor de tip fractal. Pe baza acestei tehnici de generare a imaginilor fractale color, a fost propusă o extindere a algoritmului probabilistic de estimare a dimensiunii box counting şi a lacunarității imaginilor sintetizate [29] [28]. Pornind de la funcția lacunaritate obținută, am propus diferite mărimi scalare calculate pe baza acesteia, ce pot fi utilizate pentru discriminarea texturilor color [9]. De asemenea, am propus o extindere la domeniul color a calculului dimensiunii de corelație [8]. 3.1 Sinteza imaginilor fractale Pentru calibrarea diferitelor tehnici de estimare a mărimilor fractale, au fost introduse metode prin care se pot sintetiza astfel de imagini cu parametri cunoscuți. În continuare este prezentată funcția mişcare Browniană, utilizată drept model pentru generarea unor semnale sau imagini cu proprietăți fractale [38]. Particulele de materie solidă suspendate într-un lichid au o mişcare neregulată. Această mişcare, restricționată la o singură dimensiune, poate fi modelată prin funcția X(t), ale cărei valori au o variație aleatoare. Incremenentele X(t 2 ) X(t 1 ) au o distribuție normală şi o medie pătratică proporțională cu diferența în timp (t): (X(t 2 ) X(t 1 )) 2 t 2 t 1 (3.1) unde, X(t) 2 reprezintă media pătratică a semnalului aleator X(t). Astfel că X(t 0 + t) X(t 0 ) şi 1 r (X(t 0 + rt) X(t 0 )) (3.2) au aceleaşi distribuții pentru orice constantă de scalare r > 0. O generalizare a fost introdusă utilizându-se un parametru care poate ajusta complexitatea semnalului generat. Astfel, a fost propusă o funcție pentru care (X(t 2 ) X(t 1 )) 2 t 2 t 1 2H (3.3) 19

20 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE 20 unde H (0, 1) se numeşte parametrul Hurst, iar X(t) se numeşte mişcare Browniană 1 fracționară [38]. Se poate demonstra că cele două funcții X(t) şi X(rt) sunt identice r H din punctul de vedere al proprietăților statistice. A fost demonstrat că parametrul H controlează dimensiunea fractală (DF ) a funcției: DF = 2 H Pentru generarea unui astfel de semnal au fost propuse mai multe metode: random midpoint displacement, integrarea zgomotului alb, metode bazate pe sinteză în domeniul spectral, etc. Aceste metode pot fi extinse astfel încât să rezulte suprafețe modelate prin funcții reale bidimensionale cu proprietăți fractale. Aceste suprafețe pot fi considerate imagini în nivele de gri reprezentând texturi cu trăsături fractale. Dimensiunea fractală, în cazul unor astfel de funcții bidimensionale, este de asemenea cunoscută: DF = 3 H, rezultând astfel o generalizare pentru cazul funcțiilor reale n-dimensionale: DF = n + 1 H. (3.4) Metoda random midpoint displacement a fost extinsă recent pentru generarea de imagini fractale color [29]. Extinderea a fost realizată marginal, în spațiul de culoare RGB, considerând cele trei canale de culoare ca fiind independente şi aplicându-se algoritmul de generare pe fiecare canal de culoare în parte. În Figura 3.1 sunt prezentate trei imagini fractale color generate pe baza acestui algoritm. Se observă că parametrul H are rolul de a ajusta complexitatea texturilor generate. Metodele de sinteză amintite generează semnale cu o dimensiune fractală cunoscută. Au fost propuse însă şi proceduri de generare a unor funcții cu lacunaritate ajustabiă. De exemplu, Saupe a propus modificarea algoritmului random midpoint displacement [38]: în cazul algoritmului original, rezoluția semnalului generat se îmbunătățeşte cu un factor r = 1 la fiecare iterație; Saupe a propus modificarea valorii lui r, susținând că aceasta 2 poate controla lacunaritatea. Totuşi, dat fiind faptul că lacunaritatea este o funcție, ajustarea acesteia nu se poate realiza utilizându-se doar un parametru. În literatură nu există însă, o analiză cuprinzătoare a acestei probleme. Aşadar, în cele ce urmează am realizat un experiment în scopul studierii comportamentului funcțiilor generate şi a dimensiunii fractale a acestora, în funcție de parametrul ce controlează lacunaritatea. Utilizând extinderea propusă de Saupe, în care parametrul r controlează lacunaritatea, (a) H = 0.1 (b) H = 0.5 (c) H = 0.9 Figura 3.1: Imagini texturale color, cu proprietăți fractale, generate utilizând extinderea algoritmului random midpoint displacement, propusă în [29].

21 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE 21 au fost sintetizate câte 50 de funcții bidimensionale reale, modelând imagini în nivele de gri, pentru fiecare combinație de parametri r şi H, cu valori între 0.1 şi 0.9, cu increment de 0.2. În Figura 3.2 sunt prezentate câte un exemplu de imagine generată cu H şi r având valorile 0.1, 0.5 şi 0.9. Se poate observa că parametrul H controlează complexitatea texturilor, la nivel de vecinătate: o valoare apropiată de 0 a acestui parametru determină o complexitate mare, cu variații mari ale pixelilor vecini, în timp ce pentru valori apropiate de 1, pixelii vecini sunt corelați, existând tranziții lente între aceştia. Influența parametrului r se poate observa cel mai bine în imaginile generate cu H = 0.9: (a) H = 0.1, r = 0.1 (b) H = 0.1, r = 0.5 (c) H = 0.1, r = 0.9 (d) H = 0.5, r = 0.1 (e) H = 0.5, r = 0.5 (f) H = 0.5, r = 0.9 (g) H = 0.9, r = 0.1 (h) H = 0.9, r = 0.5 (i) H = 0.9, r = 0.9 Figura 3.2: Imagini texturale în nivele de gri, cu proprietăți fractale, generate utilizând generalizarea algoritmului random midpoint displacement pentru obținerea funcțiilor cu lacunarități variabile, pentru trei valori ale parametrilor H şi r.

22 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE 22 o valoare apropiată de 0 a acestuia determină apariția unor variații ale valorilor pixelilor, dar la o scală mai mare decât vecinătatea imediată a acestora. De exemplu, imaginea din Figura 3.2g, deşi este de complexitate mică, pixelii vecini având valori apropiate, prezintă totuşi o eterogenitate perceptuală, dată de variația pixelilor la o scală mai mare. Spre deosebire de aceasta, imaginea din Figura 3.2i, are un aspect omogen atât la nivel de vecinătate a pixelilor, cât şi privită la o scală mai mare. Pentru cele 50 de imagini generate cu parametrii H şi r având valori între 0.1 şi 0.9 cu increment de 0.2, au fost estimate dimensiunile fractale cu ajutorul algoritmului covering blanket, descris în Secțiunea În Tabelul 3.1 sunt prezentate mediile acestor dimensiuni, obținute pentru fiecare pereche de valori a paremetrilor. Teoretic, dimensiunea fractală depinde numai de H, după ecuația (3.4). Totuşi, în tabel se poate observa că dimensiunile fractale măsurate depind şi de valoarea parametrului r, variind descrescător în funcție de acesta. Experimentul a fost repetat utilizând algoritmul de generare propus de Musgrave [37], care de asemenea introduce un parametru pentru controlul lacunarității. Rezultatele au fost asemănătoare. În concluzie, problema generării de funcții cu dimensiune fractală şi lacunaritate controlabile şi independente rămâne deschisă; propunerile existente, deşi corecte din punct de vedere teoretic, generează rezultate inexacte. Acest lucru poate fi o consecință a naturii discrete a funcțiilor generate, obiectele fractale ideale fiind definite în domeniul continuu. În continuare sunt prezentate o serie de mărimi fractale definite pentru imagini color în contextul discriminării texturilor. Pornind de la extinderea algoritmului de generare a imaginilor fractale color, introdusă în [29], a fost propusă extinderea algoritmului probabilistic introdus în [50], pentru estimarea dimensiunii box counting. În plus, pe baza mărimilor probabilistice utilizate, a fost introdusă lacunaritatea pentru imagini color. O extindere a dimensiunii de corelație pentru imagini color este de asemenea prezentată. 3.2 Mărimi fractale pentru imagini color Analiza imaginilor utilizând mărimi fractale a fost, pentru o lungă perioadă de timp, limitată la cazul particular al imaginilor în nivele de gri, acestea fiind modelate ca funcții reale cu domeniul bidimensional. În [29] a fost prezentată extinderea algoritmului probabilistic de estimare a numărului de cutii, ce are ca scop calcularea dimensiunii box counting. Utilizându-se acelaşi cadru de lucru, a fost introdusă şi mărimea fractală complementară dimensiunii: lacunaritatea imaginilor color [28]. Pe baza acestei metodologii, în [8] am propus o extindere a dimensiunii de corelație, pentru a fi aplicată imaginilor color. Tabelul 3.1: Mediile dimensiunilor fractale ale imaginilor generate cu parametrii H şi r variabili. r = 0.1 r = 0.3 r = 0.5 r = 0.7 r = 0.9 H = H = H = H = H =

23 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE Dimensiunea box counting Algoritmul box counting probabilistic urmăreşte definirea unor hipercuburi de dimensiune δ care să fie centrate în fiecare punct al unui obiect fractal şi numărarea punctelor fractalului existente în interiorul acelor hipercuburi. În abordarea extinsă, imaginile color sunt considerate ca fiind obiecte în spațiul 5-dimensional determinat de cele două coordonate spațiale (x, y), cu care se pot identifica local pixelii în cadrul imaginii şi cele trei componente de culoare (R, G, B), în cazul utilizării spațiului de culoare RGB. Pentru stabilirea punctelor din interiorul unui hipercub, în [29] a fost utilizată distanța Cebîşev, care pentru doi vectori p 1 şi p 2 este definită ca: d C (p 1, p 2 ) = max i ( p 1i p 2i ) (3.5) unde p 1i şi p 2i sunt componentele vectorilor p 1 şi p 2. Pentru o imagine color în spațiul RGB, un pixel p = (x, y, f r (x, y), f g (x, y), f b (x, y)) se află în interiorul unui hipercub de latură δ, centrat în pixelul p 0, dacă distanța d(p, p 0 ) este mai mică decât δ. 2 Dimensiunea box counting (dim B ) pentru imagini color poate fi utilizată în discriminarea texturilor color. În Figura 3.3 sunt prezentate trei texturi, împreună cu dimensiunile box counting corespunzătoare. Se poate observa că dimensiunile rezultate reflectă gradul de complexitate perceptuală al texturii, acestea putând fi utilizate în operații de clasificare, indexare sau segmentare a imaginilor texturale color. Dimensiunea box counting a unui obiect fractal este dată de panta dreptei de regresie determinată de punctele (log δ, log N δ ), unde N δ reprezintă numărul de cutii de dimensiune δ cu care este acoperit fractalul. Pentru fractalii ideali, din domeniul continuu, aceste puncte sunt situate pe o dreaptă. Totuşi, imaginile texturale reale nu fac parte din categoria fractalilor ideali; în cazul texturilor reale, numai o parte din punctele respective se vor situa pe o dreaptă. Prin urmare, pentru caracterizarea unei texturi reale se poate utiliza direct funcția log(n δ ) sau chiar N δ. În [50] a fost subliniat faptul că pot exista obiecte fractale având aceeaşi dimensiune, însă aspect diferit. Astfel, a fost introdusă o mărime fractală complementară dimensiunii, lacunaritatea, ce reflectă eterogenitatea unui fractal. În secțiunea următoare este prezentată o extindere a acestei mărimi la imagini color. (a) Textura1 (dim B = 3.21) (b) Textura2 (dim B = 3.48) (c) Textura3 (dim B = 3.82) Figura 3.3: Trei imagini texturale color şi dimensiunile box counting estimate.

24 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE Lacunaritatea şi mărimi derivate din aceasta Lacunaritatea Λ(δ) a fost definită ca o funcție ce descrie eterogenitatea fractalilor. În [28] a fost propus conceptul de lacunaritate pentru imagini color, concluzionându-se că această mărime poate fi utilizată pentru discriminarea texturilor cu diferite complexități. În Figura 3.4 sunt prezentate funcțiile lacunaritate rezultate pentru cele trei texturi color din Figura 3.3. Funcțiile rezultate reflectă gradul de eterogenitate al texturilor, în funcție de scală, dată de mărimea cutiilor utilizate pentru acoperirea imaginii. Se observă că "Textura1" şi "Textura2" prezintă un grad mare de eterogenitate în jurul valorii δ = 10, dat de mărimea elementelor texturale din imagine; în schimb, pentru "Textura3", gradul de eterogenitate rămâne ridicat şi la scale mai mari, reflectând diferențele mari de culoare din întreaga imagine. Vectorii formați din valorile acestor funcții pot fi utilizați în mod direct pentru caracterizarea texturilor color. Figura 3.4: Funcțiile lacunaritate Λ(δ) ale celor trei texturi color din Fig Totuşi, pentru extragerea unor valori numerice, care să fie utilizate mai uşor în comparații, în [9] am introdus patru mărimi scalare, extrase în mod empiric din această funcție şi care au fost utilizate în segmentarea imaginilor texturale: aria suprafeței cuprinse între graficul funcției Λ(δ) şi axa x, raportul dintre aria jumătății din stânga şi cea din dreapta a graficului funcției lacunaritate, momentul probabilistic de ordin 3 al funcției normalizate şi poziția valorii maxime. În continuare sunt prezentate fiecare din aceste mărimi: Aria suprafeței cuprinse între graficul funcției şi axa x. Valoarea acestei arii poate fi calculată prin însumarea valorilor funcției A(δ min, δ max ) = δ max k=δ min Λ(k), (3.6)

25 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE 25 unde δ min şi δ max reprezintă dimensiunile minimă şi respectiv maximă a cutiilor utilizate. Această mărime integratoare reflectă eterogenitatea globală a imaginii, fiind o sumă a gradelor de eterogenitate pentru fiecare scală dată de valoarea δ. Raportul dintre aria jumătății din stânga şi cea din dreapta a graficului funcției: R(δ min, δ max ) = m Λ(k) k=δ min, (3.7) δ max Λ(k) unde m = δmax+δ min 2 reprezintă media aritmetică a dimensiunilor maximă şi minimă a cutiilor. Această mărime este cu atât mai mare cu cât gradul de eterogenitate pentru scalele mici este mai pronunțat decât cel pentru scalele mari. Momentul probabilistic de ordin 3 al funcției normalizate este derivat din calculul unei astfel de mărimi pentru o funcție densitate de probabilitate: S Λ = δ max k=m k=δ min (k Λ) 3 Λ n (k), (3.8) unde Λ este media distribuției Λ n, obținute prin normarea funcției lacunaritate. Acestă mărime reflectă gradul de asimetrie al unei distribuții. poziția valorii maxime a lacunarității este dată de P M = arg max [Λ(k)] (3.9) k şi reprezintă scala pentru care obiectul fractal are cel mai mare grad de eterogenitate. În Tabelul 3.2 sunt prezentate aceste mărimi, calculate pentru cele trei texturi prezentate în Figura 3.3. Se poate observa că fiecare din aceste mărimi poate fi utilizată pentru discriminarea celor trei texturi, reflectând forma graficului funcției lacunaritate. Tabelul 3.2: Mărimile scalare introduse, calculate pentru texturile color din Figura 3.3. Mărime Textura1 Textura2 Textura3 Aria Raportul ariilor Skewness Poziția maximului În concluzie, aceste patru mărimi scalare introduse pot fi utilizate în operații de clasificare a texturilor, cum ar fi indexare sau segmentare pe baza trăsăturilor locale. Funcția lacunaritate prezentată este calculată pe baza mărimilor probabilistice propuse de Voss, în scopul estimării dimensiunii box counting. În continuare este prezentată extinderea unei alte dimensiuni fractale pentru a fi aplicată imaginilor color: dimensiunea de corelație.

26 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE Dimensiunea de corelație Dimensiunea de corelație este o mărime prin care se estimează dimensiunea Hausdorff a unui obiect fractal, în anumite cazuri particulare acestea fiind identice [4]. Dimensiunea de corelație este calculată pe baza integralei de corelație. În [8] am propus aplicarea acestei dimensiuni în cazul imaginilor color, considerându-le ca fiind obiecte 5-dimensionale. Spațiul de culoare utilizat este spațiul uniform perceptual CIELAB, caracterizat prin faptul că distanța perceptuală dintre două culori poate fi exprimată prin distanța euclidiană dintre respectivele culori, modelate ca puncte tridimensionale, având coordonatele date de componentele L, a şi b [51]. În Figura 3.5a sunt prezentate dimensiunile de corelație rezultate pentru nouă texturi color generate utilizând algoritmul random midpoint displacement, cu parametrul H luând valori de la 0.1 la 0.9. Se poate observa că, în cazul acestei dimensiuni, valorile rezultate sunt mai mici decât cele obținute pentru dimensiunea box counting. Totuşi, acestea variază monoton descrescător în funcție de H, ceea ce înseamnă că această mărime poate fi utilizată în clasificarea texturilor în funcție de complexitatea acestora. Figura 3.5b prezintă histogramele distanțelor rezultate pentru imaginile texturale color din Figura 3.3. Se poate observa că acestea pot fi utilizate direct pentru descrierea cantitativă a unei texturi color. Dimensiunile de corelație ale celor trei texturi din Figura 3.3 sunt 1.78 pentru "Textura1", 2.12 pentru "Textura2" şi 2.34 pentru "Textura3". Dimensiunea de corelație a fost utilizată cu succes în [8] pentru evaluarea calității unei secvențe video. În cazul unei pierderi de informație în procesul de transmisie al fluxului video, cadrele sunt afectate prin apariția unor culori artificiale şi a unor iregularități, generându-se un aspect texturat. Mărimile fractale prezentate au fost folosite pentru caracterizarea obiectivă a acestor degradări. (a) Dimensiunea de corelație în funcție de H (b) Histogramele distanțelor Figura 3.5: Dimensiunile de corelație pentru imagini fractale color generate utilizând algoritmul random midpoint displacement cu parametrul H având valori de la 0.1 la 0.9 (partea stângă). Histogramele distanțelor rezultate pentru imaginile texturale color din Figura 3.3 (partea dreaptă).

27 CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE Concluzii şi contribuții originale În acest capitol au fost prezentate noțiuni despre sinteza imaginilor fractale împreună cu o extindere a unei astfel de metode de sinteză la imagini color. Au fost efectuate experimente în cazul sintezei imaginilor fractale în nivele de gri, pentru evidențierea dependenței dimensiunii fractale de parametrul introdus pentru controlul lacunarității. De asemenea, au fost prezentate extinderea la imagini color a mărimilor fractale dimensiune box counting şi lacunaritate. În vederea extragerii unor valori numerice din funcția lacunaritate, care să fie utilizate mai uşor în operații de clasificare, în [9] am introdus patru mărimi scalare calculate pe baza acestei funcții. În plus, pentru discriminarea texturilor color, am propus extinderea dimensiunii de corelație la imagini color, aceasta fiind utilizată în [8] pentru evaluarea calității unei secvențe video. Prin urmare, contribuțiile originale aduse prin intermediul acestui capitol sunt: Evidențierea dependenței dimensiunii fractale de lacunaritate. În acest sens, am efectuat două experimente în care a fost analizată variația dimensiunii fractale în funcție de parametrul introdus pentru ajustarea lacunarității imaginilor fractale în tonuri de gri; a rezultat faptul că deşi dimensiunea fractală şi lacunaritatea unei imagini sintetizate sunt controlate prin parametri diferiți, acestea nu sunt independente, parametrul de control al lacunarității influențând valoarea dimensiunii fractale. Introducerea a patru mărimi scalare în vederea discriminării texturilor color [9]. Cele patru mărimi scalare, calculate pe baza lacunarității imaginilor color sunt: aria suprafeței cuprinse între graficul funcției şi axa x; această mărime reflectă eterogenitatea globală a texturii analizate; raportul dintre aria jumătății din stânga şi cea din dreapta a graficului funcției; acesta creşte în funcție de gradul de eterogenitate pentru scalele mici utilizate în analiză, relativ la acelaşi grad de eterogenitate pentru scalele mari; momentul probabilistic de ordin 3 al funcției normalizate; acest moment determină gradul de asimetrie şi direcția acestei asimetrii pentru graficul funcției lacunaritate; poziția valorii maxime a lacunarității; aceasta reprezintă scala pentru care textura analizată are cel mai mare grad de eterogenitate. Extinderea mărimii texturale dimensiune de corelație la imagini color [8]. Am prezentat utilitatea acestei mărimi în contextul discriminării între texturi color având diverse complexități. Această mărime texturală a fost utilizată cu succes în evaluarea calității unei secvențe video, pe baza analizei complexității texturale a cadrelor video. Mărimile utilizate pentru caracterizarea texturilor vor fi utilizate în Capitolul 5 în contextul segmentării imaginilor texturale. În capitolul următor vor fi introduse noi mărimi texturale color, bazate pe morfologia matematică şi în special pe extinderi ale acestei teorii la imagini color.

28 4. Morfologie matematică pentru imagini color Pentru a extrage informații utile dintr-o imagine adesea aceasta trebuie transformată astfel încât aceste informații să fie mai uşor de extras. Morfologia matematică ce aparține tehnicilor de prelucrare neliniară a fost introdusă şi studiată în ultimii 40 de ani. În cadrul morfologiei matematice, imaginea este modelată ca o latice, necesitând existența unei relații de ordine parțială între elementele acesteia. Morfologia matematică a fost definită pentru imagini binare şi în nivele de gri, pentru care structurile de latice se pot obține relativ simplu. Extinderea morfologiei matematice la domeniul color a întâmpinat anumite dificultăți din cauza naturii vectoriale a pixelilor color. În acest capitol sunt prezentate pe scurt cele mai populare abordări de extindere a morfologiei matematice la domeniul color şi problemele apărute pentru fiecare din acestea. Pornind de la faptul că fiecare din aceste abordări prezintă anumite dezavantaje, am introdus două noi propuneri de a extinde operațiile morfologice, ce pot fi utilizate cu succes în analiza texturală. 4.1 Extinderea la imagini color Morfologia matematică reprezintă o ramură a matematicii ce se ocupă cu analiza formelor din imagini, pe baza unor tehnici de prelucrare neliniară. Formalizarea operațiilor morfologice în contextul teoriei laticilor a permis extinderea acestora de la prelucrări ale imaginilor binare la imagini în nivele de gri. O latice L reprezintă o mulțime căreia i se asociază o relație de ordine parțială, astfel încât pentru fiecare submulțime nevidă P L există un infimum, P şi un supremum, P [17]. Din definiția laticii, rezultă că pentru a fi o latice, o mulțime trebuie să aibă asociată o relație de ordine parțială. O relație binară R reprezintă o ordine parțială într-o mulțime S dacă respectă următoarele proprietăți: reflexicitate, tranzitivitate şi antisimetrie. Dacă sunt respectate doar primele două proprietăți, R se numeşte pre-ordonare parțială. Dacă, în plus, se respectă şi proprietatea de totalitate, adică fiecare două elemente din mulțime să fie comparabile, ordonarea se numeşte totală. Există şi pre-ordonări totale, pentru care se respectă condițiile de reflexivitate, tranzitivitate şi totalitate. Mulțimea numerelor reale R este o latice şi deci, operațiile din morfologia matematică pot fi aplicate imaginilor în nivele de gri modelate ca funcții reale f : D f S R. Se urmăreşte ordonarea valorilor pixelilor determinați de poziția elementului structurant, alegându-se apoi valoarea minimă (corespunzătoare operației de erodare) şi respectiv maximă (corespunzătoare dilatării) dintre acestea. Imaginile color sunt, însă, funcții vectoriale (S R 3 ) şi pentru aplicarea operațiilor morfologice este necesară stabilirea unei relații de ordine parțială între date de tip vectorial. În [5] ordonările vectorilor au fost grupate în 4 clase: de tip M (marginal), de tip R (redus), de tip P (parțial) şi de tip C (condițional), însă, toate acestea prezintă unele dezavantaje atunci când sunt utilizate pentru construcția unei morfologii color. De exemplu, ordonarea marginală generează culori false, ordonările reduse şi parțiale nu respectă, în general, proprietatea de antisimetrie, 28

29 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 29 în timp ce ordonarea condițională necesită stabilirea unei priorități între componentele vectorilor de culoare, determinând astfel apariția unor neliniarități perceptuale. Pe lângă abordările de extindere a operațiilor morfologice ce utilizează relațiile de ordine între vectori, au mai fost introduse şi metode care au ca scop calculul direct al valorilor infimum şi supremum ale unei mulțimi de vectori. Acestea se bazează pe faptul că operațiile morfologice nu necesită în mod explicit existența unei relații de ordine, ci doar extragerea unor astfel de valori extreme din mulțimea dată. O astfel de abordare poartă numele de pseudo-morfologie din cauza nerespectării cadrului teoretic utilizat în formalizarea morfologiei matematice, şi anume existența unei structuri de latice. În plus, această evitare a utilizării unei structuri de latice determină nerespectarea unor proprietăți ale operațiilor morfologice. Cu toate acestea, pseudo-morfologiile pot avea o aplicabilitate practică. De exemplu, în [3] este introdusă o pseudo-morfologie derivată din morfologia construită pe baza ordinii lexicografice: vectorii sunt ordonați în funcție de una dintre componente; este utilizat un parametru ce determină procentul de vectori reținut după această ordonare; vectorii rămaşi, sunt ordonați după a doua componentă; procesul se repetă până când sunt utilizate toate componentele, sau rămâne un singur vector. Această abordare poartă numele de pseudo-morfologie α-trimmed şi este utilizată în filtrarea imaginilor şi în clasificarea texturilor. În concluzie, există numeroase abordări de extindere a morfologiei matematice la imagini color, fiecare având anumite avantaje, dar şi dezavantaje. În secțiunea următoare este prezentată o pseudo-morfologie bazată pe mărimi probabilistice, în care cele două extreme (infimum şi supremum) necesare operațiilor de erodare şi dilatare sunt estimate prin mijloace probabilistice. 4.2 Pseudo-morfologie probabilistică În [27] am propus estimarea celor două extreme pe baza inecuației lui Cebîşev, ce permite exprimarea probabilității ca dintr-o anumită distribuție să existe date într-un interval centrat în valoarea medie a distribuției respective [16]. Fie o variabilă aleatoare ξ având media µ ξ şi dispersia σ ξ, inecuația lui Cebîşev este exprimată în modul următor: P { ξ µ ξ kσ ξ } 1 k 2. (4.1) Această inegalitate este valabilă pentru orice distribuție, atâta timp cât media şi dispersia au valori finite. Cu ajutorul parametrului k, se pot genera intervale simetrice în jurul valorii medii, apropierea extremelor acestui interval de valoarea minimă şi maximă a distribuției depinzând de valoarea lui k. Limitele acestor intervale sunt date de relația (4.2). Definim aceste limite ca fiind pseudo-extremele probabilistice ale distribuției, E + şi E, în sensul inecuației lui Cebîşev: { E + = µ ξ + kσ ξ E = (4.2) µ ξ kσ ξ În continuare este prezentată aplicarea directă a acestei abordări în morfologia matematică pentru imagini în nivele de gri.

30 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ Imagini în nivele de gri În [13] am propus utilizarea inecuației lui Cebîşev şi a pseudo-extremelor probabilistice determinate cu ajutorul acesteia în obținerea unei pseudo-morfologii matematice probabilistice (PMMP) aplicate pentru imagini în nivele de gri. Astfel, considerându-se o imagine f : D f S R, şi un element structurant plat g având domeniul de definiție D g, am definit operațiile de pseudo-erodare şi pseudo-dilatare ca: [ε g (f)](x) = f(x + z) = µ ξ kσ ξ, x D f z D g (4.3) [δ g (f)](x) = f(x z) = µ ξ + kσ ξ, x D f z D g (4.4) unde ξ reprezintă o variabilă aleatoare ce modelează valoarea nivelului de gri al pixelilor determinați de D f D g. Prin urmare, media µ ξ şi dispersia σ ξ sunt calculate la nivel local, într-o vecinătate determinată poziția elementului structurant. În cele ce urmează, este prezentată o analiză calitativă a rezultatelor obținute pentru trei valori ale parametrului k: 0.2 (pentru care se generează pseudo-extreme apropiate de valorile medii ale distribuțiilor locale), 2 (o valoare apropiată de valoarea optimă în cazul distribuției globale) şi 4 (mai mare decât valoarea optimă): k = 0.2. Pseudo-extremele probabilistice calculate pentru valori mici ale lui k sunt apropiate de valorile medii ale distribuțiilor locale, determinate de poziția elementului structurant în cadrul imaginii. Prin urmare, comportamentul operațiilor definite în cadrul PMMP este similar cu cel al unui filtru de mediere (v. Figurile 4.1a şi 4.2a). În acest caz, operațiile pseudo-morfologice prezintă un comportament mai apropiat de cel al unor filtre liniare de netezire decât de al unor filtre neliniare morfologice clasice. k = 2. Comparând calitativ imaginile din Figurile 4.1b şi 4.2b cu cele din Figurile 4.1c şi respectiv 4.2c se poate observa că pentru o astfel de valoare a parametrului k se generează rezultate similare utilizând abordările PMMP şi morfologia matematică clasică, în nivele de gri (GLMM). Totuşi, apar şi anumite deosebiri, cum ar fi faptul că morfologia clasică introduce anumite artefacte, datorate distribuțiilor locale particulare (ex. vârful pălăriei în Fig. 4.1c). Datorită filtrării statistice intrinseci abordării PMMP, imaginea rezultată în urma pseudo-erodării nu prezintă astfel de artefacte şi totodată, forma elementului structurant nu este vizibilă în cadrul rezultatelor. k = 4. În cazul în care k are o valoare mare, valorile extreme generate pentru fiecare prelucrare locală vor fi foarte depărtate de valoarea medie. Ținând cont, însă, de faptul că aceste extreme reprezintă valori ale unor pixeli şi deci, este necesar ca acestea să se afle într-un interval mărginit, nivelele de gri reprezentate de aceste valori vor fi repartizate către nuanțele extreme: negru şi alb (Figura 4.3). Această situație poate fi asociată cu morfologia matematică clasică, în cazul utilizării unui element structurant non-plat.

31 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 31 (a) PMMP, k = 0.2 (b) PMMP, k = 2 (c) GLMM Figura 4.1: Pseudo-erodări PMMP pentru două valori ale parametrului k şi erodări GLMM rezultate utilizând un element structurant plat de mărime (a) PMMP, k = 0.2 (b) PMMP, k = 2 (c) GLMM Figura 4.2: Pseudo-dilatări PMMP pentru două valori ale parametrului k şi erodări GLMM rezultate utilizând un element structurant plat de mărime (a) Pseudo-erodare (b) Pseudo-dilatare Figura 4.3: Pseudo-erodare şi pseudo-dilatare PMMP pentru k = 4 utilizând un element structurant plat de mărime

32 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 32 Pentru realizarea unei analize cantitative a influenței parametrului k asupra rezultatelor PMMP, în Figura 4.4 este prezentată eroarea medie dintre imaginile generate prin pseudo-erodare şi pseudo-dilatare şi cele generate cu ajutorul morfologiei matematice clasice, în funcție de acest parametru. Nivelele de gri ale pixelilor sunt reprezentate pe 8 biți şi deci au valori între 0 şi 255. Se poate observa că, pentru fiecare tip de operație morfologică, există o valoare optimă a parametrului, pentru care imaginea generată utilizând abordarea PMMP este mai apropiată de imaginea generată utilizând abordarea clasică. Aceste valori optime sunt apropiate de valoarea 2, care este o valoare optimă şi pentru histograma întregii imagini, în cazul imaginii "Lena", utilizată în această analiză. Astfel că, un mod de calcul a valorii parametrului k utilizată în prelucrările PMMP locale determinate de ecuațiile 4.3 şi 4.4 poate fi prin analiza histogramei întregii imagini. Se mai poate observa că erorile dintre rezultatele celor două abordări diferă în funcție de mărimea elementului structurant, crescând odată cu aceasta. Figura 4.4: Eroarea medie dintre rezultatele generate de PMMP şi cele generate de GLMM, în funcție de parametrul k Extinderea PMMP la domeniul color Imaginile color pot fi modelate ca funcții vectoriale f : D f S R 3. Pentru a evalua în mod obiectiv varianța datelor vectoriale în scopul aplicării inecuației lui Cebîşev pe aceste date, în [13] am propus utilizarea metodei Principal Component Analysis (PCA) aplicată pe valorile pixelilor color. Date fiind corelațiile existente între canalele de culoare pentru anumite spații de culoare (ex. RGB), PCA permite evaluarea corectă a varianței datelor color de-a lungul primei componente principale. Astfel că, cele două pseudoextreme ale unei mulțimi de date vectoriale pot fi estimate ca fiind pseudo-extremele determinate cu ajutorul inecuației lui Cebîşev (ecuația 4.2), aplicate pe prima componentă principală rezultată în urma PCA. Totuşi, această abordare nu poate fi aplicată direct pentru extinderea PMMP la imagini color din cauza unui dezavantaj al algoritmului PCA: acest algoritm determină numai direcția de-a lungul căreia varianța datelor este maximă. Totuşi, pentru a stabili o ordine între două puncte pe o anumită direcție, este necesar ca acelei direcții să i se asocieze un

33 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 33 sens (ex. direcția orizontală, sensul de la stânga la dreapta). Nu este posibil, însă, să asociem în mod automat un sens pentru fiecare vector propriu generat în cadrul algoritmului PCA, deoarece direcțiile vectorilor proprii respectivi sunt obținute în urma unor rotații, rezultate printr-o transformare liniară; aceste rotații pot fi efectuate fie într-un sens, fie în celălalt, în jurul unei axe date. Prin urmare, în [13] am propus ca pseudo-extremele generate pe prima componentă principală a unei mulțimi de date vectoriale din spațiul n-dimensional, să fie ordonate utilizând n perechi de vectori de referință n-dimensionali, pentru care o ordine este cunoscută a priori în cadrul fiecărei astfel de perechi. Procedeul este ilustrat în Figura 4.5, unde se cunoaşte a priori o ordonare între referințe, R + > R şi deci rezultă că între pseudo-extremele E α şi E β va fi stabilită relația E α > E β. Figura 4.5: Ordonarea E α şi E β în funcție de referințele ordonate R şi R +. În cadrul extinderii pseudo-morfologiei matematice probabilistice la imagini color, este necesară estimarea unor pseudo-extreme locale, într-o vecinătate determinată de poziția elementului structurant; în plus, este necesar ca aceste pseudo-extreme să fie ordonate, pentru ca unul din ele (cel mai mic) să fie asociat operației de pseudo-erodare iar celălalt, operației de pseudo-dilatare. Această ordonare poate fi efectuată utilizându-se trei perechi de vectori de referință calculați pentru întreaga imagine şi pentru care o ordine este stabilită a priori în cadrul fiecărei perechi. În [14], aceşti vectori de referință au fost calculați într-un mod automat, ca fiind pseudo-extremele generate cu ajutorul inecuației lui Cebîşev, pe fiecare componentă principală rezultată în urma aplicării algoritmului PCA pe întreaga distribuție a imaginii color. Au rezultat astfel trei perechi de referințe, ( R 1, R 1 + ) (, R 2, R 2 + ) (, R 3, R 3 + ), cu R, ordonate în funcție de poziția proiecției lor pe axa determinată de culorile negru şi alb. Utilizând aceste referințe, cele două operații pseudo-morfologice pot fi definite în cazul imaginilor color f, utilizându-se elementul structurant g cu domeniul de definiție D g, în modul următor: [ε g (f)](x) = f(x + z) z D g x D f [ R 0 R = i < R + i arg min 0 R + 0 i], i {E α, E β } i = arg min[ R1 R 1 + R1 i], i {E α, E β } dacă R0 R 0 + E α E β = 0 (4.5) i arg min[ R2 R 2 + R1 i], i {E α, E β } dacă R0 R 0 + E α E β = R1 R 1 + E α E β = 0 i

34 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 34 [δ g (f)](x) = f(x z) z D g x D f = arg max[ R0 R 0 + R0 i], i {E α, E β } i = arg max[ R1 R 1 + R1 i], i {E α, E β } dacă R0 R 0 + E α E β = 0 (4.6) i arg max[ R2 R 2 + R1 i], i {E α, E β } dacă R0 R 0 + E α E β = R1 R 1 + E α E β = 0 i unde E α şi E β reprezintă pseudo-extremele datelor locale dintr-o regiune determinată de poziția elementului structurant g. În Figura 4.6 sunt prezentate rezultatele generate pentru imaginea color "Lena", utilizând extinderea PMMP propusă. Toate operațiile au fost aplicate în spațiul de culoare RGB deoarece cele trei canale, reprezentând componentele vectorilor de culoare, sunt puternic corelate şi deci, adecvate pentru aplicarea PCA. Se poate observa că parametrul k, intrinsec inecuației lui Cebîşev apare şi in cazul imaginilor color. Influența acestui parametru asupra rezultatelor este similară cazului imaginilor în nivele de gri: o valoare mică a lui k generează imagini apropiate celor generate în urma unei filtrări de mediere vectorială, în timp ce, cu cât k este mai mare, cu atât efectul neliniar al celor două operații morfologice este mai pronunțat. Astfel, parametrul k poate fi utilizat pentru ajustarea gradului de neliniaritate al operațiilor pseudo-morfologice obținute. Totuşi, în cazul imaginilor color, valori foarte mari ale parametrului k pot genera extreme depărtate de distribuția inițială, rezultând culori false ce nu au legătură cu cele inițiale, sau mai mult, aceste extreme pot fi chiar în afara spațiului de culoare utilizat. Operațiile propuse nu se pot numi morfologice din cauza faptului că abordarea nu necesită ordonarea tuturor vectorilor din mulțimea inițială, adică a tuturor valorilor pixelilor dintr-o imagine, şi prin urmare nu există o structură de latice în cadrul imaginii. În plus, din cauza utilizării distribuțiilor locale în estimarea pseudo-extremelor, operațiile de deschidere şi închidere morfologică rezultate nu respectă proprietatea de idempotență (ecuația 2.15). Cu toate acestea, caracterul dual al operațiilor propuse permite aplicarea acestora în algoritmi de analiză a imaginilor, cum ar fi calculul unor mărimi de caracterizare a texturilor (prezentat în Secțiunea 4.3). (a) ε(f), k = 1.5 (b) ε(f), k = 0.2 (c) Lena (d) δ(f), k = 0.2 (e) δ(f), k = 1.5 Figura 4.6: Pseudo-erodări şi pseudo-dilatări ale imaginii color "Lena", utilizând un element structurant plat de dimensiune şi două valori pentru parametrul k.

35 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 35 Din cauza estimării pseudo-extremelor cu ajutorul inecuației lui Cebîşev, este posibil ca acestea să nu aparțină mulțimii inițiale, apărând astfel efectul nedorit de culori false (culori ce nu există în imaginea inițială). În secțiunea următoare este introdusă o metodă prin care acest efect este evitat Evitarea culorilor false Unul din dezavantajele extinderii PMMP la imagini color este introducerea de culori false. În [14] am propus o metodă de evitare a acestui efect, prin alegerea ca extreme ale unei mulțimi vectoriale pe vectorii ale căror componente principale au valorile minimă şi respectiv maximă. Ordonarea acestor vectori a fost realizată în mod similar cu ordonarea pseudo-extremelor probabilistice, utilizându-se vectori de referință. În Figura 4.7 sunt prezentate rezultatele obținute utilizând această metodă în extinderea morfologiei matematice la imagini color, utilizându-se un element structurant de dimensiune Spațiul de culoare folosit este RGB, pentru a se putea realiza o comparație cu rezultatele generate de PMMP. Se poate observa că efectul de culori false este înlăturat, însă reapar dezavantajele existente în cadrul morfologiei matematice clasice (v. Figurile 4.1c şi 4.2c): forma elementului structurant este vizibilă în cadrul rezultatelor iar structurile morfologice din imagine nu sunt conservate la fel de bine ca în cazul PMMP. În continuare sunt prezentate trei mărimi texturale pentru imagini color, calculate pe baza extinderii PMMP la imagini color şi a abordării prezentate în această secțiune. (a) ε(f) (b) Lena (c) δ(f) Figura 4.7: Pseudo-erodare şi pseudo-dilatare a imaginii color "Lena", obținute utilizând un element structurant plat de dimensiune Aplicații în caracterizarea texturilor color Algoritmul covering-blanket utilizează operațiile morfologice de dilatare şi erodare pentru calculul învelitorii unei suprafețe ce modelează o imagine în nivele de gri. Acest algoritm este utilizat pentru estimarea dimensiunii Minkowski-Bouligand a imaginilor, această dimensiune putând fi folosită în discriminarea texturilor, reflectând complexitatea acestora. Algoritmul poate fi extins în mod direct la imagini color utilizând abordările pseudo-morfologice propuse: pseudo-morfologia matematică probabilistică (PMMP) şi

36 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 36 pseudo-morfologia bazată pe calculul extremelor unei mulțimi de date vectoriale utilizânduse prima componentă principală a datelor (aceasta va fi notată în continuare cu PM-PCA) [13] [14]. Pentru evaluarea estimărilor acestei dimensiuni utilizând atât PMMP cât şi PM-PCA, am generat nouă imagini texturale color, utilizând algoritmul random midpoint displacement pentru imagini color, cu parametrul H având valori de la 0.1 la 0.9 cu increment de 0.1. În Figura 4.8 sunt prezentate estimările dimensiunilor fractale ale imaginilor generate. Acestea sunt obținute utilizând algoritmul covering-blanket aplicat pe baza a patru abordări de extindere a morfologiei matematice la color: PMMP, PM-PCA, morfologie bazată pe ordonarea lexicografică, aplicată în spațiul HSV cu V având cea mai mare prioritate, urmată de S şi H [32] şi pseudo-morfologia α-trimmed [3], aplicată în spațiul RGB, cu R având cea mai mare prioritate, urmată de G şi B. Se observă că toate aceste abordări pot fi utilizate pentru discriminarea texturilor color, însă metoda PMMP determină cea mai mare gamă dinamică a valorilor obținute. O altă mărime texturală ce poate fi calculată pe baza operațiilor morfologice este granulometria. Aceasta foloseşte operația de deschidere morfologică, urmărind calculul volumul imaginii rezultate după o astfel de operație în funcție de mărimea elementului structurant. În [10] am argumentat faptul că extinderea operației de deschidere morfologică la imagini color întâmpină anumite probleme. Scopul operației de deschidere morfologică este de a reface structurile distorsionate în urma operației de erodare. În cazul imaginilor în nivele de gri, această refacere a structurilor are la bază faptul că pixelii pot lua valori doar pe axa negru-alb, acestea fiind "mutate" de către erodare şi dilatare de-a lungul acestei axe: dacă erodarea modifică valorile pixelilor înspre negru, dilatarea se realizează în aceeaşi manieră, însă modificând valorile în sens opus, spre alb. Pe de altă parte, în cazul imaginilor color, schimbarea valorilor pixelilor poate fi realizată de-a lungul oricărei direcții din spațiul tridimensional determinat de spațiul de culoare utilizat. Prin urmare, calculul granulometriei utilizând operații de deschidere pentru imagini color poate genera rezultate irelevante, obținute în urma analizei unor culori diferite de cele din imaginea inițială. Din această cauză, în [10] am propus utilizarea pseudo- Figura 4.8: Dimensiunile fractale (Minkowski-Bouligand) pentru nouă imagini fractale color, generate utilizând algoritmul random midpoint displacement cu parametrul H având valori de la 0.1 la 0.9.

37 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 37 granulometriei pentru discriminarea între texturi color; aceasta utilizează operația de erodare în loc de deschidere morfologică. În Figura 4.9 sunt prezentate funcțiile de pseudo-granulometrie rezultate pentru 15 dimensiuni ale elementului structurant, de la 3 3 la 31 31, pentru imaginile texturale color din Figura 3.3. Funcțiile sunt obținute utilizând cele două pseudo-morfologii propuse, PMMP şi PM-PCA. Se observă că această mărime poate fi utilizată în discriminarea texturilor, volumele obținute în urma erodărilor şi variația acestora în funcție de dimensiunea elementului structurant fiind diferite de la o textură la alta. (a) PMM (b) PM-PCA Figura 4.9: Funcțiile de pseudo-granulometrie obținute pentru imaginile din Figura 3.3, utilizând 15 dimensiuni ale elementului structurant, pe baza PMMP şi PM-PCA. În [10] am propus o nouă modalitate de exprimare a pseudo-granulometriei, prin evaluarea diferenței dintre volumul imaginii inițiale şi cea obținută în urma erodării. O astfel de evaluare a volumului poate evita anumite situații nedorite, în cazul imaginilor color. De exemplu, aplicând operația de erodare pe anumite regiuni diferite, se pot genera culori diferite, dar având acelaşi volum. Cu toate acestea, variația volumului relativ la imaginea inițială poate fi diferită, determinând ca diferența volumelor să fie adecvată, într-un astfel de caz, pentru o eventuală discriminare între regiunile respective. Covariația morfologică reprezintă, de asemenea, o mărime texturală bazată pe operații morfologice. În [13] am propus extinderea acestei mărimi la domeniul color utilizând abordarea PMMP. Din cauza faptului că pseudo-morfologiile necesită o mulțime de date pentru calculul celor două pseudo-extreme, în [3] a fost propus ca în locul celor două puncte utilizate drept element structurant compus, să fie folosite două elemente structurante, situate la o distanță variabilă. Am aplicat această abordare pentru cele trei imagini texturale din Figura 3.3, utilizând cele două pseudo-morfologii introduse (PMMP şi PM-PCA), cu două elemente structurante de dimensiune 3 3. Distanța dintre cele două elemente structurante a fost modificată de-a lungul a patru direcții (0, 45, 90, 135 ), efectuându-se 25 de modificări ale acestei distanțe pe fiecare direcție şi deci, rezultând un vector de covariație morfologică

38 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 38 de lungime 100 pentru fiecare imagine analizată. Acest vector conține volumele imaginilor erodate, obținute pentru fiecare din cele 25 de iterații, pe fiecare direcție. Rezultatele obținute sunt prezentate în Figura Se observă obținerea unor vectori de covariație morfologică diferiți, în fiecare caz, pentru cele trei texturi analizate. (a) PMM (b) PM-PCA Figura 4.10: Vectorii de covariație morfologică obținuți pentru texturile din Figura 3.3, utilizând 25 de modificări ale distanței între elementele structurante, pe patru direcții (0, 45, 90, 135 ), calculați pe baza PMMP şi PM-PCA. 4.4 Concluzii şi contribuții originale În acest capitol au fost prezentate principalele tehnici de extindere a morfologiei matematice la imagini color. În acest context, am propus două abordări pseudo-morfologice: o pseudo-morfologie probabilistică, în care două pseudo-extreme ale unei mulțimi de date vectoriale sunt estimate prin mijloace probabilistice şi o pseudo-morfologie ce are ca scop evitarea apariției culorilor false, în care cele două valori extreme sunt alese din mulțimea inițială. Utilitatea acestor abordări este demonstrată prin prezentarea extinderilor a trei mărimi texturale la imagini color: dimensiunea fractală exprimată prin dimensiunea Minkowski-Bouligand, pseudo-granulometria şi covariația morfologică. Aşadar, acest capitol cuprinde următoarele contribuții originale: Introducerea conceptului de pseudo-morfologie matematică probabilistică (PMMP) pentru imagini în nivele de gri şi color [13]. Acest concept determină o abordare ce presupune estimarea extremelor unei mulțimi de date scalare, pe baza inecuației lui Cebîşev. Rezultă astfel două pseudo-extreme ce pot aproxima valorile extreme reale ale distribuției. Am realizat extinderea la imagini color prin aplicarea inecuației lui Cebîşev pe prima componentă principală a vectorilor, generată prin intermediul algoritmului Principal Component Analysis

39 CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 39 (PCA). Ordonarea pseudo-extremelor rezultate a fost realizată utilizându-se vectori de referință, pentru care se cunoaşte o ordonare a priori. Propunerea unei abordări pseudo-morfologice (PM-PCA) care să evite generarea de culori false, carecteristice pseudo-morfologiei probabilistice [14]. Principalul dezavantaj al PMMP este reprezentat de introducerea de culori false. Am propus o metodă de evitare a acestui efect, prin alegerea extremelor unei mulțimi de date vectoriale pe baza calculului valorilor minime şi maxime de pe prima componentă principală, generată cu ajutorul algoritmului PCA. Extinderea la color a mărimilor texturale dimensiune Minkowski-Bouligand, pseudogranulometrie şi covariație morfologică. [13] [10]. Am extins aceste mărimi utilizând cele două pseudo-morfologii propuse (PMMP şi PM-PCA), utilitatea lor fiind prezentată în contextul discriminării între texturi color, ce se poate realiza pe baza vectorilor rezultați. Evidențierea irelevanței operației de deschidere morfologică, în cazul imaginilor color [10]. Scopul operației de deschidere morfologică este de a reface structurile distorsionate în urma operației de erodare. Cu toate acestea, în cazul imaginilor color pot exista situații în care, în urma deschiderii, să rezulte culori diferite de cele din imaginea inițială. Pentru evitarea acestei probleme, am propus ca pentru analiza texturilor color, în locul granulometriei să se utilizeze operația de pseudo-granulometrie, ce foloseşte erodarea în locul deschiderii morfologice. Propunerea utilizării diferenței volumelor pentru exprimarea pseudo-granulometriei şi a covariației morfologice [10]. Cele două mărimi texturale au fost propuse inițial pe baza evaluării volumului unei imagini obținute în urma operației morfologice de erodare. Totuşi, în cazul imaginilor color pot apărea situații în care după aplicarea operației de erodare pe anumite regiuni diferite, să rezulte culori diferite, dar având acelaşi volum. Variația volumului imaginii rezultate, relativ la imaginiea inițială poate fi însă diferită. Aşadar, am propus exprimarea mărimilor texturale pseudo-granulometrie şi covariație morfologică utilizându-se această variație a diferenței volumelor, în locul volumului imaginii rezultate în urma erodării. În capitolul următor mărimile texturale pentru imagini color, prezentate şi propuse în acest capitol şi în cel precedent vor fi utilizate în contextul segmentării imaginilor texturale reprezentând leziuni dermatologice.

40 5. Aplicații în segmentarea imaginilor de psoriazis În acest capitol, utilitatea mărimilor texturale introduse în Capitolele 3 şi 4 va fi discutată în cadrul unei aplicații medicale, în contextul segmentării imaginilor color ce conțin leziuni de psoriazis. Evaluarea rezultatelor din acest capitol se va realiza utilizându-se metoda propusă în [15], în care procentul pixelilor corect clasificați este utilizat drept criteriu de evaluare a segmentării. Este nevoie, deci, de o referință, obținută prin segmentare manuală, care să fie utilizată pentru comparații. În continuare, este realizată o scurtă descriere a afecțiunii psoriazis, urmată de prezentarea segmentărilor rezultate utilizând mărimi texturale existente şi propuse, toate acestea fiind comparate cu segmentările de referință. 5.1 Evaluarea afecțiunii psoriazis Psoriazisul este o afecțiune cronică, cu evoluție de lungă durată, caracterizată prin apariția unor plăci roşii, proeminente, acoperite de scuame albe-sidefii (v. Figura 5.1). Cea mai folosită modalitate pentru măsurarea severității leziunilor de psoriazis este indicele PASI (Psoriasis Area and Severity Index). Evaluarea ariei leziunilor de psoriazis şi a parametrilor de severitate necesari calculării indicelui PASI este însă realizată în mod subiectiv de către fiecare medic dermatolog putând, deci, apărea erori [22]. Recent, au fost propuse modalități automate de a măsura diferiți parametri necesari în evaluarea indicelui PASI, însă nici una din aceste metode nu s-a impus deocamdată [1] [23]. Aceste metode automate presupun fotografierea leziunilor, separarea regiunilor lezionate de pielea sănătoasă prin metode de segmentare şi calculul diferiților parametri pe zonele segmentate. O problemă importantă în automatizarea acestui proces apare în etapa de segmentare a leziunii din cauza complexității leziunilor ce determină un caracter textural al imaginii. Din acest motiv, metodele bazate pe valorile pixelilor nu generează rezultate satisfăcătoare. În [2] a fost propusă utilizarea mărimilor texturale pentru imagini în nivele de gri pentru caracterizarea leziunilor de psoriazis. (a) Psoriazis1 (b) Psoriazis2 (c) Psoriazis3 Figura 5.1: Trei leziuni de psoriazis. 40

41 CAPITOLUL 5. APLICAȚII 41 În cele ce urmează voi realiza o comparație între segmentări generate pe baza a diferite mărimi texturale: mărimi clasice, calculate pe baza imaginilor în nivele de gri şi mărimile pentru imagini color propuse în prezenta lucrare. Acestea sunt utilizate în metoda de segmentare ilustrată în Figura 2.2. Clasficarea în spațiul caracteristicilor este realizată utilizându-se algoritmul nesupervizat k-means. Segmentările rezultate sunt evaluate cantitativ, relativ la o segmentare manuală a respectivei leziuni. Pentru teste, vor fi utilizate cele trei imagini de psoriazis din Figura 5.1 împreună cu segmentările manuale, prezentate în Figura 5.2. (a) Psoriazis1 (b) Psoriazis2 (c) Psoriazis3 Figura 5.2: Segmentările manuale ale leziunilor de psoriazis din Figura 5.1. În secțiunea următoare sunt prezentate segmentările rezultate utilizând mărimi texturale calculate pe baza imaginilor în nivele de gri. 5.2 Mărimi texturale pentru imagini în nivele de gri În Capitolul 2 au fost prezentate mai multe mărimi de descriere a texturilor ce pot fi extrase din imaginile în nivele de gri. În continuare acestea sunt utilizate în contextul segmentării imaginilor texturale conținând leziuni de psoriazis. Mărimile Haralick În Secțiunea a fost prezentat calculul mărimilor texturale utilizând metode statistice. Una dintre cele mai populare astfel de abordări este utilizarea matricii de coocurență (relația 2.1) pentru calculul mărimilor Haralick [26]. În cele ce urmează am realizat o segmentare a imaginilor din Figura 5.1: Am extras componenta de luminanță din fiecare imagine color; Am fixat dimensiunea unei ferestre de calcul a fiecărei mărimi texturale; dată fiind dimensiunea imaginilor ( ), am ales ca dimensiunea ferestrei să fie de 31 31, dimensiunea pe fiecare direcție reprezentând aproximativ 10% din dimensiunea imaginii pe direcția respectivă; Poziționând fereastra pe fiecare pixel al imaginii, am calculat cele patru mărimi Haralick utilizând valorile luminanțelor pixelilor determinați de poziția ferestrei; dat fiind faptul că matricea de coocurență depinde de direcția vectorului d, am

42 CAPITOLUL 5. APLICAȚII 42 utilizat patru astfel de direcții (0, 45, 90, 135 ), rezultând astfel câte un vector de 16 mărimi texturale pentru fiecare pixel; Am clasificat vectorii rezultați utilizând metoda k-means, cu k = 2 reprezentând cele două clase de pixeli din imagine: leziune şi piele sănătoasă; Am aplicat o metodă de extragere a contururilor pe hărțile de segmentare rezultate în urma clasificării; contururile rezultate reprezintă segmentarea finală. Rezultatele sunt prezentate în Figura 5.3, împreună cu procentul de pixeli corect clasificați (PPCC), corespunzător fiecărui rezultat [15]. Se observă că rezultatul segmentării imaginii "Psoriazis2" este cel mai bun, din punctul de vedere al procentului de pixeli corect clasificați, în timp ce rezultatul obținut pentru imaginea "Psoriazis3" este cel mai puțin satisfăcător. Aceste rezultate pot fi corelate cu percepția vizuală a celor trei leziuni, cea din imaginea "Psoriazis2" fiind cea mai bine delimitată din cele trei, pe când în imaginea "Psoriazis3" conturul dintre leziune şi pielea sănătoasă nu este atât de evident. (a) Psoriazis1, PPCC: % (b) Psoriazis2, PPCC: % (c) Psoriazis3, PPCC: % Figura 5.3: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând mărimile Haralick, împreună cu procentul de pixeli corect clasificați (PPCC). Dimensiunea Minkowski-Bouligand Pe baza algoritmului covering blanket se poate estima dimensiunea Minkowski-Bouligand a unei imagini. Această dimensiune se poate calcula la nivel local, într-o fereastră centrată în fiecare pixel al imaginii şi poate fi utilizată în clasificarea pixelilor, rezultând astfel o segmentare. Utilizând aceeaşi mărime a ferestrei ca în cazul precedent (31 31), imaginile în nivele de gri rezultate prin calculul luminanței şi cinci dimensiuni ale elementului structurant folosit pentru generarea dilatărilor şi erodărilor, se obțin segmentările din Figura 5.4. Se observă că, din punctul de vedere al procentului pixelilor corect clasificați, această abordare generează rezultate mai bune decât cele obținute în cazul precedent. Totuşi, după cum a fost prezentat în Secțiunea 3.2.1, imaginile texturale reale nu reprezintă fractali ideali, acestea prezentând limitări din cauza caracterului discret. Dimensiunea Minkowski-Bouligand este o mărime integratoare, ce nu ia în considerare acest aspect. Prin urmare, am propus realizarea unei segmentări pe baza volumelor utilizate în calculul acestei dimensiuni. Aceste volume sunt introduse într-un vector care poate fi utilizat direct pentru segmentare, într-o abordare bazată pe clasificare de mărimi vectoriale. Calculând aceşti vectori la nivel local şi aplicând o clasificare k-means, în mod similar abordărilor precedente, se obțin rezultatele din Figura 5.5. Se poate observa că rezultatele sunt mai bune, din punctul de vedere al procentului de pixeli corect clasificați, decât în cazul utilizării dimensiunii Minkowski-Bouligand.

43 CAPITOLUL 5. APLICAȚII 43 (a) Psoriazis1, PPCC: 97.06% (b) Psoriazis2, PPCC: % (c) Psoriazis3, PPCC: % Figura 5.4: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând dimensiunea Minkowski-Bouligand. (a) Psoriazis1, PPCC: % (b) Psoriazis2, PPCC: % (c) Psoriazis3, PPCC: % Figura 5.5: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând volumele necesare estimării dimensiunii Minkowski-Bouligand. Granulometria, pseudo-granulometria şi covariația morfologică Operațiile morfologice pot fi utilizate şi în extragerea unor mărimi texturale: granulometrie, pseudo-granulometrie şi covariație morfologică. Acestea au ca scop analiza variației volumului unei imagini rezultate în urma unor operații morfologice, în funcție de anumite proprietăți ale elementului structurant. Segmentările imaginilor de psoriazis din Figura 5.1, rezultate pe baza acestor mărimi, sunt prezentate în Figura 5.6. Mărimile au fost calculate la nivel local, pe imaginile în nivele de gri obținute din componenta de luminanță a imaginilor color. Se observă că aceste mărimi determină segmentări mai slabe, din punctul de vedere al procentului de pixeli corect clasificați, decât cele din Figura 5.5, obținute utilizând volumele necesare estimării dimensiunii Minkowski-Bouligand. În secțiunea următoare segmentările obținute pe baza mărimilor texturale pentru imagini în nivele de gri sunt comparate cu rezultatele obținute utilizând mărimile texturale pentru imagini color, propuse în Capitolele 3 şi Mărimi texturale pentru imagini color În această secțiune mărimile propuse sunt utilizate în contextul segmentării imaginilor de psoriazis printr-o clasificare k-means realizată în spațiul caracteristicilor, determinat de aceste mărimi texturale, calculate la nivel local.

44 CAPITOLUL 5. APLICAȚII 44 (a) Psoriazis1, PPCC: 95.24% (b) Psoriazis2, PPCC: % (c) Psoriazis3, PPCC: % (d) Psoriazis1, PPCC: % (e) Psoriazis2, PPCC: % (f) Psoriazis3, PPCC: % (g) Psoriazis1, PPCC: % (h) Psoriazis2, PPCC: % (i) Psoriazis3, PPCC: 86.78% Figura 5.6: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând mărimile texturale bazate pe morfologia matematică pentru imagini în nivele de gri: granulometrie (primul rând), pseudo-granulometrie (al doilea rând) şi covariație morfologică (al treilea rând). Dimensiunea box counting şi lacunaritatea Am utilizat dimensiunea box counting şi lacunaritatea imaginilor color în segmentarea imaginilor de psoriazis din Figura 5.1, într-o abordare bazată pe clasificarea acestor mărimi calculate la nivel local [11] [12]. Segmentările obținute prin clasificarea utilizând algoritmul k-means sunt prezentate în Figura 5.7. Se poate observa că aceste mărimi texturale nu conduc la rezultate satisfăcătoare într-o astfel de abordare, existând erori de clasificare între cele două clase de pixeli. Mai mult, în aceste rezultate apare vizibil principalul dezavantaj al unei metode de segmentare bazate pe clasificare, şi anume că pot rezulta segmente care nu sunt conexe. Rezultatele ar putea fi îmbunătățite prin diverse metode, cum ar fi utilizarea unui alt clasificator, realizarea unei suprasegmentări utilizând mai mult de două clase, urmată de o fuziune a segmentelor obținute, sau prin filtrarea hărților de segmentare. Totuşi, pentru efectuarea unei comparații între diferitele mărimi texturale prezentate şi propuse, am ales păstrarea aceluiaşi cadru experimental: calcului mărimilor texturale la nivel local, urmat de o clasificare k-means utilizând două clase.

45 CAPITOLUL 5. APLICAȚII 45 (a) Psoriazis1, PPCC: % (b) Psoriazis2, PPCC: % (c) Psoriazis3, PPCC: 78.4% (d) Psoriazis1, PPCC: % (e) Psoriazis2, PPCC: % (f) Psoriazis3, PPCC: % Figura 5.7: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând dimensiunea box counting (rândul de sus) şi lacunaritatea (rândul de jos) pentru imagini color, împreună cu procentul de pixeli corect clasificați. În Secțiunea am introdus patru mărimi scalare calculate pe baza funcției lacunaritate. Totuşi, în contextul segmentării imaginilor de psoriazis pe baza clasificării k-means, aceste mărimi, nu generează rezultate satisfăcătoare, segmentările fiind similare cu cele din Figura 5.7. Aceste mărimi pot fi, însă, utilizate în discriminarea dintre texturi, utilizând un clasificator adecvat, după cum a fost prezentat în Secțiunea Dimensiunea de corelație Utilizând extinderea dimensiunii de corelație la imagini color drept mărime texturală calculată local, în scopul realizării unei segmentări prin clasificare în spațiul caracteristicilor, se obțin rezultatele din Figura 5.8. Se observă că rezultatele sunt mai bune decât cele din Figura 5.7, atât din punctul de vedere al unei analize vizuale a segmentărilor obținute, cât şi în privința procentului de pixeli corect clasificați. Alături de extinderea la color a mărimilor texturale bazate pe modelarea imaginilor ca obiecte fractale (v. Capitolul 3), în prezenta lucrare au mai fost introduse mărimi de caracterizare a texturilor color calculate pe baza operațiilor din morfologia matematică şi a extinderilor la color introduse în Capitolul 4. În continuare, acestea sunt aplicate în contextul segmentării imaginilor color conținând leziuni de psoriazis. Mărimi texturale bazate pe operații morfologice În secțiunea precedentă a fost arătat că volumele necesare estimării dimensiunii Minkowski- Bouligand, pentru imagini în nivele de gri, pot fi utilizate direct ca mărime texturală, aces-

46 CAPITOLUL 5. APLICAȚII 46 (a) Psoriazis1, PPCC: % (b) Psoriazis2, PPCC: 97.53% (c) Psoriazis3, PPCC: % Figura 5.8: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând extinderea la color a dimensiunii de corelație (rândul de sus). tea conducând la segmentări mai bune decât cele rezultate utilizându-se doar dimensiunea Minkowski-Bouligand. Acest lucru se întâmplă şi în cazul imaginilor color. În Figura 5.9 sunt prezentate segmentările obținute în cazul utilizării acestei dimensiuni fractale şi în cazul utilizării volumelor necesare estimării acestei dimensiuni, pentru PMMP. Rezultatele generate pentru PM-PCA sunt similare. Se observă că segmentările obținute pe baza dimensiunii Minkowski-Bouligand sunt mult mai slabe decât cele obținute utilizând volumele necesare estimării acestei dimensiuni, spre deosebire de cazul imaginilor în nivele de gri, unde rezultatele generate prin cele două abordări sunt asemănătoare. Procentele pixelilor corect clasificați, rezultate în urma segmentării realizate pe baza volumelor, sunt în general mai mari decât cele din cazul imaginilor în nivele de gri (Figura 5.5). Rezultă deci, că luându-se în considerare caracterul vectorial al datelor din informațiile color, se pot realiza discriminări între texturi cu o acuratețe mai mare decât în cazul utilizării doar a componentei de luminanță extrasă din aceste imagini. Pseudo-granulometria şi covariația morfologică au fost, de asemenea, utilizate drept mărimi texturale ce pot fi folosite în segmentarea imaginilor. Acestea sunt bazate tot pe operații morfologice, fiind extinse la color în Secțiunea 4.3, pe baza celor două pseudomorfologii introduse (PMMP şi PM-PCA). Am utilizat aceste extinderi pentru segmentarea imaginilor de psoriazis, într-o abordare similară cu cele precedente. Rezultatele sunt prezentate în Figura 5.10, pentru cele două mărimi obținute pe baza PMMP. Rezultatele obținute pe baza PM-PCA sunt similare. Se poate observa că segmentările sunt realizate cu o acuratețe mai mare decât dacă se utilizează aceleaşi mărimi texturale dar definite pentru imagini în nivele de gri (v. Figura 5.6). Se poate concluziona că, luând în considerare informația color din imagini şi calculând anumite mărimi texturale ținând cont de această informație, se pot obține rezultate mai bune în segmentarea imaginilor ce conțin texturi color, decât în cazul în care am utiliza doar informația de luminanță. Cu toate acestea, există cazuri în care mărmile texturale propuse nu pot fi utilizate direct în operații de segmentare pe baza clasificării. Totuşi, aceste mărimi pot fi utilizate în operații de indexare sau clasificare între texturi dacă se utilizează un clasificator adecvat.

47 CAPITOLUL 5. APLICAȚII 47 (a) Psoriazis1, PPCC: % (b) Psoriazis2, PPCC: % (c) Psoriazis3, PPCC: % (d) Psoriazis1, PPCC: % (e) Psoriazis2, PPCC: % (f) Psoriazis3, PPCC: % Figura 5.9: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând dimensiunea Minkowski-Bouligand (rândul de sus) şi volumele necesare estimării acestei dimensiuni (rândul de jos) calculate prin intermediul PMMP. (a) Psoriazis1, PPCC: % (b) Psoriazis2, PPCC: % (c) Psoriazis3, PPCC: % (d) Psoriazis1, PPCC: % (e) Psoriazis2, PPCC: % (f) Psoriazis3, PPCC: % Figura 5.10: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând pseudogranulometria (rândul de sus) şi covariația morfologică (rândul de jos) bazate pe PMMP.