Mod Notatios Traditioal ae Cogruece fuctio Traditioal otatio od Matheatica StadardFor otatio Mod, Priary defiitio 04.06.0.0001.01 od od is the reaider o divisio of by. The sig of od for real, is always the sae as the sig of. Exaples: 5 od 1, 8 od 3, 5 od 3 1, 7 Π od 3 1 7 Π, 7 3 od 4 3, fracπ 3 Π,.7 3 od 5.7. Specific values Specialized values 04.06.03.0001.01 0 od 0 ; 0 04.06.03.000.01 od 1 0 ; 04.06.03.0003.01 1 od 1 ; 04.06.03.0004.01 1 od 1 ; 1 04.06.03.0005.01 od ;
http://fuctios.wolfra.co 04.06.03.0006.01 od ; 04.06.03.0007.01 od k ; k k k 1 04.06.03.0008.01 od 0 04.06.03.0009.01 od 0 04.06.03.0010.01 p 1 od p p 1 ; p p 1 p 1 04.06.03.0011.01 od p 3 1 ; p p 3 04.06.03.001.01 B od 1 1 1 od 1,0 1 1 k 3 k Χ k 1 Χ k 1 od 1 Values at fixed poits 04.06.03.0013.01 0 od 1 0 04.06.03.0014.01 1 od 1 04.06.03.0015.01 1 od 3 1 04.06.03.0016.01 od 3 04.06.03.0017.01 3 od 3 0 04.06.03.0018.01 4 od 3 1 04.06.03.0019.01 5 od 3 04.06.03.000.01 1 od 8 4 04.06.03.001.01 3 od 1 04.06.03.00.01 7 10 od 3 19 5 10 04.06.03.003.01 Π od Π
http://fuctios.wolfra.co 3 04.06.03.004.01 Π od 4 Π 04.06.03.005.01 Π od Π 04.06.03.006.01 3 Π od 3 3 1 3 Π 04.06.03.007.01 5. od 3.1.1 Geeral characteristics Doai ad aalyticity od is a oaalytical fuctio; it is a piecewise cotiuous fuctio which is defied over. 04.06.04.0001.01 od Syetries ad periodicities Parity od is a odd fuctio. 04.06.04.000.01 od od Mirror syetry 04.06.04.0005.01 z z 1 Χ Iz Periodicity od is a periodic fuctio with respect to with period. 04.06.04.0006.01 od od 04.06.04.0007.01 k od od ; k Sets of discotiuity The fuctio od is a piecewise cotiuous fuctio with jups o the curves Re k I l ; k, l. The fuctioal property od od 1 akes the behaviour of the od siilar to the behaviour of. 04.06.04.0003.01 od k, k, 1 ; k, k, k, ; k
http://fuctios.wolfra.co 4 04.06.04.0004.01 od, 1 ; k,, ; k k, k k, k 04.06.04.0008.01 li Ε od od ; Re Ε0 0 04.06.04.0009.01 li Ε od od ; Re Ε0 0 04.06.04.0010.01 li Ε od od ; I Ε0 0 04.06.04.0011.01 li Ε od od ; I Ε0 0 Series represetatios Expoetial Fourier series 04.06.06.0001.01 od Π 1 k 1 k si Π k ; Other series represetatios 04.06.06.000.01 od 1 1 si Π k k 1 cot Π k ; 1 Trasforatios Trasforatios ad arguet siplificatios Arguet ivolvig basic arithetic operatios 04.06.16.0001.01 od od 04.06.16.000.01 od od Χ 04.06.16.0003.01 ; od od 1 Χ Re sg Re 1 Χ I sg I 04.06.16.0004.01 od od ;
http://fuctios.wolfra.co 5 04.06.16.0005.01 od Χ od ; 04.06.16.0006.01 od od 1 Χ Re sg Re 1 Χ I sg I 04.06.16.0007.01 od od 04.06.16.0008.01 od Χ I od 04.06.16.0009.01 od Χ Re 1 od 04.06.16.0010.01 od od Χ Re 1 04.06.16.0011.01 od od Χ I 1 04.06.16.001.01 od od 1 Arguet ivolvig related fuctios 04.06.16.0016.01 od 04.06.16.0017.01 od 1 0 04.06.16.0018.01 od 04.06.16.0019.01 od 1 0 04.06.16.000.01 od 04.06.16.001.01 od 1 0 04.06.16.00.01 it od it it
http://fuctios.wolfra.co 6 04.06.16.003.01 it od 1 0 04.06.16.004.01 frac od frac frac 04.06.16.005.01 od od od 04.06.16.006.01 od od 04.06.16.007.01 quotiet, od 1 04.06.16.008.01 quotiet, 1 od 1 0 Additio forulas 04.06.16.009.01 k od od ; k Multiple arguets 04.06.16.0013.01 k1 k od k od j Θ j j 0 k quotiet, 1 Θ j 1 k quotiet, ; k Related trasforatios 04.06.16.0015.01 a b od lc, ; a b od a b od a b Idetities Fuctioal idetities 04.06.17.0001.01 od od 1 04.06.17.000.01 a c od b d od ; a od b od c od d od a b c d Coplex characteristics Real part
http://fuctios.wolfra.co 7 04.06.19.0001.01 Re od Re I Re I Re I Re I I I Re Re I Re Re Iagiary part 04.06.19.000.01 I od I I I Re Re I Re I I Re I Re I Re Re Absolute value 04.06.19.0003.01 od I I I Re Re I Re I I Re I Re I Re Re I Re I Re I Re I Re I I Re Re I Re Re Arguet 04.06.19.0004.01 I Re I Re arg od ta 1 Re I Re I I Re Re I I Re I I Re Re I I Re I Re I Re I Re I Re Re, Cojugate value 04.06.19.0005.01 I Re I Re od Re I Re I I Re Re I I Re Re I I Re Re I I Re I Re I Re I I Re Re Sigu value 04.06.19.0006.01 sg od I Re I Re I Re I I Re Re I Re I Re Re I I I I Re Re I Re I I Re Re I Re I I I Re I Re Re I Re I Re I Re I Re Re I Re I Re I Re I Re I I Re Re I Re Re
http://fuctios.wolfra.co 8 04.06.19.0007.01 sg od sg ; Differetiatio Low-order differetiatio With respect to 04.06.0.0001.01 od 1 04.06.0.000.01 od 0 I a distributioal sese for x. 04.06.0.0003.01 x od x x k x k With respect to 04.06.0.0004.01 od I a distributioal sese for x. 04.06.0.0005.01 od x sgx it x x k,0 x x k k Fractioal itegro-differetiatio With respect to Α od Α 04.06.0.0006.01 With respect to Α 1Α od Α Α 1 Α 04.06.0.0007.01 Α od Α od Α Α Α Α Α Itegratio Idefiite itegratio
http://fuctios.wolfra.co 9 Ivolvig oly oe direct fuctio with respect to 04.06.1.0001.01 od od Ivolvig oe direct fuctio ad eleetary fuctios with respect to Ivolvig power fuctio 04.06.1.000.01 Α1 od Α Α 1 od Α Α 1 04.06.1.0003.01 od 1 log log od Ivolvig oly oe direct fuctio with respect to 04.06.1.0004.01 od 1 od Ivolvig oe direct fuctio ad eleetary fuctios with respect to Ivolvig power fuctio 04.06.1.0005.01 Α1 od Α od Α Α 1 Α 04.06.1.0006.01 od log 1 od Defiite itegratio For the direct fuctio with respect to I the followig forulas a. 04.06.1.0007.01 0 at od t 1 a od a od a 04.06.1.0008.01 0 a t Α1 t od t aα1 Α 1 1 Α a od aα a Α1 Α1 ΖΑ Α1 Ζ Α, 04.06.1.0009.01 1 t Α1 t od t a Α Α 1 Α 1 a od aα a Α1 Α1 Α 1 Ζ Α, a a od a a od ; ReΑ 1 ; ReΑ 0
http://fuctios.wolfra.co 10 04.06.1.0010.01 0 t Α1 t od t Α1 ΖΑ 04.06.1.0011.01 a at od t a Α ; 1 ReΑ 0 For the direct fuctio with respect to I the followig forulas a. 04.06.1.001.01 0 a od tt 1 Ψ1 a od a a a a od a 04.06.1.0013.01 a t Α1 od tt 1 a Α Α od a a Α Α1 Α Ζ Α 1, 0 Α Α a od a a ; ReΑ 1 04.06.1.0014.01 1 t Α1 od tt a Α Α 1 Α od a aα a Α Α Α ΖΑ 1 Α Α Ζ Α 1, 04.06.1.0015.01 0 t Α1 od tt Α1 ΖΑ 1 Α 1 ; 1 ReΑ 0 a od a a ; ReΑ 0 Itegral trasfors Fourier exp trasfors 04.06..0001.01 Π t t od z z Π 1 k 1 k k Π z Π k z Fourier cos trasfors 04.06..000.01 1 z c t t od z z cot Π z Π z Fourier si trasfors 04.06..0003.01 s t t od z Π z Π 1 k 1 k k Π z Π k z Laplace trasfors
http://fuctios.wolfra.co 11 04.06..0004.01 t t od z 1 1 z z z 1 ; Re z 0 Melli trasfors 04.06..0005.01 t t od z z1 Ζz ; 1 Rez 0 z 04.06..0006.01 t od tz z1 Ζz 1 ; 1 Rez 0 z 1 Represetatios through equivalet fuctios With related fuctios With Floor 04.06.7.0001.01 od With Roud For real arguets 04.06.7.0008.01 od 1 ; 04.06.7.0009.01 od 1 ; 04.06.7.0010.01 od Χ 1 ; For coplex arguets 04.06.7.0003.01 1 od Χ 1 Re 1 Χ 1 I 1 With Ceilig For real arguets
http://fuctios.wolfra.co 1 04.06.7.0011.01 od ; 04.06.7.001.01 od ; 04.06.7.0013.01 od Θ Χ 1 ; For coplex arguets 04.06.7.0014.01 od ; Re I 04.06.7.0015.01 od ; Re I 04.06.7.0016.01 od ; Re I 04.06.7.0017.01 od ; Re I 04.06.7.0018.01 od Θ Χ Re 1 Θ Χ I 04.06.7.000.01 od With ItegerPart For real arguets 04.06.7.0019.01 od it ; 0 04.06.7.000.01 od it 1 ; 0 04.06.7.001.01 od it sg Χ Θ 1 ; For coplex arguets
http://fuctios.wolfra.co 13 04.06.7.00.01 od it ; Re 0 I 0 04.06.7.003.01 od it 1 ; 0 Re 0 I 0 04.06.7.004.01 od it ; 0 Re 0 I 0 04.06.7.005.01 od it 1 ; Re 0 I 0 04.06.7.0004.01 od it 1 sg Χ I Θ I sg Χ Re Θ Re With FractioalPart For real arguets 04.06.7.006.01 od frac ; 0 04.06.7.007.01 od frac 1 ; 0 04.06.7.008.01 od frac sg Χ Θ 1 ; For coplex arguets 04.06.7.009.01 od frac ; Re 0 I 0 04.06.7.0030.01 od frac 1 ; 0 Re 0 I 0 04.06.7.0031.01 od frac ; 0 Re 0 I 0 04.06.7.003.01 od frac 1 ; Re 0 I 0 04.06.7.0005.01 od frac 1 sg Χ I Θ I sg Χ Re Θ Re
http://fuctios.wolfra.co 14 With Quotiet 04.06.7.0006.01 od quotiet, With eleetary fuctios 04.06.7.0007.01 od Π ta1 cot Π ; Zeros 04.06.30.0001.01 od 0 ; 0 0 Theores Liear cogruetial rado uber geerator A sequece of pseudorado ubers r k is geerated by r k1 a r k cod, with a, c,, 0, 0 a, 0 c, 0 r 0. Chiese reaider theore Let 1,,, be pairwise relatively prie itegers gcd i, k 1 ; i k. The for give itegers z 1, z,, z there exists a uique (od k ) iteger z such that z od k z k. Legedre theore If a, b, c gcda, b gcda, c gcdb, c 0 a, b, c, the the equatio a x b x c z 0 has otrivial solutios for x, y, z if ad oly if the equatios x b c od a 0 y a c od b 0 z a b od c 0 are solvable. Gauss' Easter forula Easter Suday is the i j 1 th day after the 1st of March, where i 8 h,9 7 h,8 Θa 11 111 h,9 1 h,8 Θa 11, j b 4c6igod 7, h f 19aod 30, a year od 19, b year od 4, c year od 7, d 8year 100 13 5, e year 100 year 400, f 15 e dod 30, g 6 eod 7. History C. F. Gauss (1801) itroduced the sybol od Applicatios iclude pseudo-rado uber geeratio.
http://fuctios.wolfra.co 15 Copyright This docuet was dowloaded fro fuctios.wolfra.co, a coprehesive olie copediu of forulas ivolvig the special fuctios of atheatics. For a key to the otatios used here, see http://fuctios.wolfra.co/notatios/. Please cite this docuet by referrig to the fuctios.wolfra.co page fro which it was dowloaded, for exaple: http://fuctios.wolfra.co/costats/e/ To refer to a particular forula, cite fuctios.wolfra.co followed by the citatio uber. e.g.: http://fuctios.wolfra.co/01.03.03.0001.01 This docuet is curretly i a preliiary for. If you have coets or suggestios, please eail coets@fuctios.wolfra.co. 001-008, Wolfra Research, Ic.