Preparatory Problems 1Se dau punctele coliniare A, B, C, D în această ordine aî AB 4 cm, AC cm, BD 15cm a) calculați lungimile segmentelor BC, CD, AD b) determinați distanța dintre mijloacele segmentelor ABși CD c) determinați distanța dintre mijloacele segmentelor ACși BD 2Se dau punctele A, B, C coliniare aî AB 8 cm, BC cm, CA 2cm a) determinați ordinea punctelor A, B, C b) dacă punctele DE, sunt alese aî BCsă, fie mijloacele segmentelor AD respectiv AE, determinați distanța dintre mijloacele segmentelor AD și BE 3 Se consideră punctele coliniare,,, distanța CD analizând toate cazurile posibile A B C D aî C, D AB A B C D coliniare în această ordine aîab CD 4Se consideră punctele,,, a) arătați că segmentele AD și BC au același mijloc b) să se arate că distanța dintre mijloacele segmentelor segmentelor AD și BC, AB 4 cm, AC 5 cm, AD 6cm Calculați AC și BD este egală cu semidiferența lungimii 5Se consideră punctele D, E, F, G, H coliniare în această ordine aî DF EG FH a) arătați că DE FG și EF GH DH b) arătați că F este mijlocul segmentului c) dacă DG 14 cm, EH 16cm, calculați DH 6Se consideră punctele A, B, C, D, F, G coliniare în această ordine astfel ca AB DF cm, BC FG 14 cm, AG 60cm a) determinați lungimile segmentelor CD, BF, AF b) determinați distanța dintre A și mijlocul segmentului DG 7Se consideră punctele A, B, C, D, F, G coliniare în această ordine aî AG 80 cm, CD 20 cm, AB DF 15 cm, BC FG a) calculați distanțele BC, BF, DG b) determinați distanța AM, M fiind mijlocul segmentului BG 8Se consideră punctele coliniare A1, A2,, A0 coliniare în această ordine aî A1 A2 1, A2 A3 2, A3 A4 3,, A99 A0 99 și pentru orice i 1,2,,98 avem că punctele Ai 1 și Ai 2 sunt de o parte și de alta a punctului A i a) să se stabilească ordinea punctelor pe dreaptă A A, A A, A A,, A A au același mijloc b) să se arate că segmentele 1 2 3 4 5 6 99 0 selected or proposed by Manuela Prajea, PhD in Mathematics Page 1
Standard Level Tests TEST 1 1Se dau patru puncte coliniare A, B, C, D în această ordine Precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) AC AB BC b) AD AB CD c) BC BD CD d) AD AB BC CD e) AD AC BC f) BC AD AB CD 2 Fie segmentul AB cu lungimea de 30 cm Dacă punctul M este mijlocul segmentului AB şi punctul P este mijlocul segmentului AM, atunci lungimea segmentului PB este egală cu cm 3 Dacă T este mijlocul segmentului PQ şi TP 4 cm, atunci lungimea segmentului PQ este egală cu cm 4 Fie A, B, C, D puncte coliniare în această ordine astfel încât 3 AB 4 CD şi 4 AC 5 BD Valoarea raportului AD este BC 5 Dacă B este simetricul lui A faţă de punctul O, iar C este simetricul lui A faţă de B, atunci valoarea raportului OB este BC 6 Punctele A, B, C, D sunt situate pe dreapta d în ordinea dată Valoarea de adevăr a propoziţiei AB CD AD BC AC BD este 7 Pe o dreaptă considerăm punctele coliniare M, N, P în această ordine Dacă MN 8 cm şi NP 4 cm, atunci lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor MP şi MN este egală cu 8 Punctele A, B, C sunt coliniare astfel încât AB 6 cm, AC 2 cm şi BC 8 cm Dacă M este mijlocul segmentului AC, iar N AB astfel încât MN 3 cm, atunci lungimea segmentului NB este egală cu cm I 9 Fie punctele coliniare A 1, A 2, A 3,, A 0 în această ordine, astfel încât A 1 A 2 =1 cm, A 2 A 3 =2 cm, A 3 A 4 =3 cm,, A 99 A 0 =0 cm a) aflaţi lungimea segmentului A 25 A 48 ; b) dacă M este mijlocul segmentului A 50 A 52, determinaţi lungimea segmentului MA 70 Pe semidreapta [OX se consideră punctele A 1, A 2, A 3,, A 0, astfel încât OA 1 =1 cm, A 1 A 2 =2 cm, A 2 A 3 =3 cm,, A 99 A 0 =0 cm Dacă M este mijlocul segmentului [OA 0 ], calculaţi lungimea segmentului OM II 11 Fie A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine astfel încât 2 AC AB AD şi lungimea segmentului BC 33 BD 2 cm Aflaţi 12 Dacă A, B, C, D sunt puncte coliniare, în această ordine, atunci are loc relaţia: AD BC 1 1 BD AB CD AB CD selected or proposed by Manuela Prajea, PhD in Mathematics Page 2
TEST 2 1Dacă O, A, B şi P sunt coliniare, O[AB] şi P este mijlocul [AB], OA 20 cm, OP 30 cm, atunci lungimea segmentului [OB] este egală cu cm 2 Se consideră trei puncte A, B, C astfel încât B AC Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) C AB b) CA CB C AB \ AB d) BC AC c) e) BA BC AB f) CA AB AC 3 Fie punctele A, B, C coliniare în această ordine astfel încât AB BC Dacă punctul M este simetricul lui A faţă de C şi P este mijlocul segmentului BM, atunci valoarea raportului PC este egală cu AM 4 Numărul minim de drepte determinate de 20 puncte este 5 Construiţi două segmente care să aibă acelaşi mijloc I 6 Dacă M P AB este egală cu,, M P astfel încât AM AP BM BP, atunci valoarea număr natural a sumei AM AP PB MB 7 Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine astfel încât AB 14 cm şi 4 BC 3 AC, atunci lungimea segmentului AC este egală cu cm 8 În figura alăturată, AC BD { O} Precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: A ( ac C ( ae D [ bd [ OB ( bd F [ aa ( OB ( bd [ OC [ ag ( OB [ bd ( OG ( ae [ OG [ af ( OG { OG [ OB [ be A, O, C FC OB coliniare [ DF] [ ag ( CG [ AF] II 9 Fie punctele A, B, C coliniare în această ordine şi punctele,, AB, AC Dacă AM 5 cm şi MC 11cm, atunci determinaţi lungimile segmentelor AB, BC, AC, MP şi NP Pe semidreapta (OX se iau în ordine punctele A, B, C şi,, OM ON OP respectiv AB Aflaţi valoarea raportului OA OB OC M N P mijloacele segmentelor BC şi M N P mijloacele segmentelor BC, CA şi 11 Fie un segment AB, punctul O mijlocul său şi un punct M situat pe prelungirea AB Arătaţi că 2 OM MA MB selected or proposed by Manuela Prajea, PhD in Mathematics Page 3
12 Se consideră punctele A 1, A 2, A 3,, A coliniare, în această ordine, astfel încât AA 1 2 1cm, AA 2 3 2cm,, AA 9 9 cm Să se calculeze: a) lungimea segmentului AA b) distanţa dintre mijloacele segmentelor AA şi AA 1 ; 1 4 7 High Level Problems 1 Fie punctele A 1, A 2,, A 25 coliniare și în această ordine aî distanța dintre orice două puncte consecutive este 1 cm Aflați câte segmente având extremitățile în aceste puncte au: a) mijlocul în punctul A 13 b) lungimea egală cu 15 cm c) punctul A13 în interior 2 Se consideră punctele A 1, A 2, A 3,, A coliniare, în această ordine, astfel încât A1A 2 1 cm, A2A 3 2 cm,, A9 A 9 cm Să se calculeze: a) lungimea segmentului AA b) distanţa dintre mijloacele segmentelor AA şi AA 1 ; 3 Punctele A,B,C,D,E,F sunt coliniare, în această ordine, AB CD EF şi BC DE Ştiind că punctul H este mijlocul segmentului AB iar HD 6cm, se cer: alungimea segmentului AF ; blungimile segmentelor AB şi DE ştiind că sunt exprimate în cm prin numere naturale 4 a)pe o dreaptă se iau punctele A,B,C,D în această ordine Ştiind că mărimile AB +BC, BC+CD, CD+AB sunt direct proporţionale cu numerele 4,6,8 şi lungimea segmentului AD=360 cm aflaţi distanţa de la mijlocul segmentului AB la mijlocul segmentului CD b) 2006 puncte distincte au fost fixate pe mai multe segmente deschise si disjuncte obţinându-se 2198 de segmentecâte segmente au fost la început? 5 Fie dreapta d și puncteleo, A1, A2, An d în această ordine aî: OA1 1, A1 A2 2, A2 A3 3, etc Pe semidreapta opusă semidreptei OA 1 se consideră punctele B1, B2,, Bm în această ordine aî OB m, B B m 1, B B m 2, etc Dacă H este mijlocul 1 1 2 2 3 n m 1 4 7 AB și AH 1 3, determinați mn, 6 Se consideră punctele coliniare Ao, A1,, Anaî AA 0 n este număr natural și A1, A2,, An 1 sunt mijloacele segmentelor Ao An, A0 A1,, A0 An 2 Dacă AA 0 n este număr natural și A0 A1 A0 A2 A0 A n 7168 cm, determinați n 7Se consideră punctele A 1, A 2, A 3, aî A1 A2 1, A2 A3 2; pentru orice n4, n avem: A A A A A A Se cere: n1 n 1 2 n2 n1 a) calculați A3 A4, A4 A 5 b) determinați n pentru care An 1An 12288 cm 8 Segmentul AB are lungimea de 20 cm În punctul A se află o lăcustă Aceasta se deplasează de-a lungul segmentului până în punctul B şi înapoi spre punctul A prin sărituri de lungimi diferite două câte două Lungimea oricărei sărituri este de 2 n cm, n a) Câte sărituri îi sunt necesare lăcustei pentru a ajunge în punctul B? b) La înapoiere, se mai poate opri lăcusta exact în punctul A? 9 Pe segmentul AB se consideră punctele M1, M2,, M2012 aî AM1 M1B, M1M2 M2B, M2M3 M3 B,, M2011M 2012 M2012 B selected or proposed by Manuela Prajea, PhD in Mathematics Page 4
Calculați AM1, M1M2,, M2011M 2012 și justificați cu ajutorul configurației obținute egalitatea: 1 1 1 1 1 1 2 3 2012 2011 2 2 2 2 2 Fie A,B,C,D patru puncte coliniare astfel încât AC + CB + BD = AD Dacă M este mijlocul lui AB, N este mijlocul lui CD astfel încât punctele M şi N sunt concomitent în interiorul segmentului [BC] sau în exteriorul segmentului [BC] şi [ CM ] [ NB], arătaţi că [ AC] [ BD] 11 Segmentul AB are lungimea egală cu 55 Punctele M1, M2,, M 9 împart segmentul segmente:,,,,, 1 1 2 2 3 8 9 9 AB în AM M M M M M M M B, ale căror lungimi sunt egale cu numere naturale nenule diferite a) arătați că mijlocul segmentului b) să se arate că există o distribuire a punctelor 1, 2,, 9 cu mijlocul unuia dintre cele segmente AB nu coincide cu niciunul dintre punctele M1, M2,, M 9 M M M astfel încât mijlocul segmentului AB să coincidă 12 a) Fie segmentul AB și punctele C, D, E, F în această ordine pe dreapta AB aî ABsă, fie mijloacele segmentelor CD, EF respectiv Arătați că punctele DEcoincid, și că reuniunea segmentelor CD și EF nu este segment b) Fie segmentul AB și punctul M AB Considerăm trei segmente pe dreapta AB, congruente cu segmentul ( AB ), aî mijloacele celor trei segmente să fie punctele A, B, M Arătați că reuniunea celor trei segmente este un segment 13 Se consideră punctele A1, A2,, A56 coliniare în această ordine Fiecare din segmentele A1 A2, A2 A3,, A55, A 56 are lungimea 3cm sau 5cm a) arătați că mijlocul segmentului AA 1 56 nu coincide cu niciunul din punctele date b) dacă A1 A3 A2 A4 A54 A56, determinați cea mai mică lungime posibilă a segmentului AA 14Fie punctele A1, A2,, A45 în această ordine aî distanța dintre două puncte consecutive să fie 1cm Arătați că oricum am alege puncte din mulțimea de puncte considerate, există patru puncte, notate M, N, P, Q care au proprietatea că segmentele MN și PQ au același mijloc 15Fie punctele A1, A2,, A n în această ordine pe dreapta d aî A0 A1 1, A1 A2 2 A0 A1, A2 A3 3 A1 A2,, An 1An nan 2An 1 Punctele interioare segmentelor AA, AA 2 3, AA se colorează cu roșu iar punctele interioare segmentelor, 4 5 A1 A2, A3 A4, A5 A 6, se colorează cu albastru Dacă punctul Ad și AA0 2012, precizați dacă acest punct este roșu sau albastru 0 1 16Fie punctele A1, A2,, A 0 în această ordine pe dreapta d aî mulțimea tuturor distanțelor dintre aceste puncte are 99 de elemente Determinați numărul de elemente al mulțimii distanțelor dintre mijloacele tuturor segmentelor având extremitățile în punctele A1, A2,, A 0 17* Se consideră un segment si 2011 puncte distincte in interiorul său Extremitățile segmentului dat se colorează cu roșu respectiv cu negru, iar fiecare din cele 2011 puncte considerate se colorează in mod arbitrar cu roșu sau cu negru Arătați că, pentru cele 2012 segmente determinate de alegerea celor 2011 puncte, numărul segmentelor cu extremitațile cu culori diferite nu poate fi egal cu numărul segmentelor cu extremitățile colorate cu aceeași culoare (Manuela Prajea, ViitoriOlimpici,2011) 1 56 selected or proposed by Manuela Prajea, PhD in Mathematics Page 5