VaR (Value at Risk) Model

VaR (Value at Risk) Model Professor Vergil VOINEAGU PhD Danut CULETU, PhD Student Academy of Economic Studies, Bucharest Abstract The VaR model represents a significant progress in risk analysis, among the improvements it brings we can outline the attempt to measure risk itself in terms of an eventual loss, instead of focusing on gain-based approach. Key words: risk, model, monitor, bank, loss, gain Următoarea etapă în cuantificarea riscului după teoria portofoliului a fost Value at Risk(VaR). Aceasta reprezintă o modificare substanţială în direcţia cuantificării riscului datorită următoarelor : - VaR a iniţiat o schimbare de focus în utilizarea măsurătorilor de risc în favoarea unui management al riscului în contextul unei anumite industrii. În 1994 JP Morgan a creat VaR pentru a măsura riscul întregii instituţii printr-o singură modalitate de măsurare a riscului; - Comitetul Basel de monitorizare a băncilor, care standardizează reglementările şi practicile în domeniul bancar, a solicitat băncilor să-şi stabilească capitalul în funcţie de VaR din 1995.Acest lucru a făcut ca VaR să devină popular în ceea ce priveşte măsurarea riscului. - Precedentele metode de măsurare a riscului se axau pe justificarea câştigurilor unui activ bazat pe modele teoretice care legau riscul de câştig (ex CAPM). VaR schimbă focusul încercând să măsoare riscul în sine în termenii unei eventuale pierderi (decât a unui eventual câştig). VaR îşi propune să răspundă la întrebarea "Cât de mult poate pierde un investitor cu o anumită probabilitate, pentru o perioadă de timp". VaR este definit ca: (1) unde F(.) este probabilitatea cumulativa de distribuire a funcţiei Z(T) este pierderea.pierderea este definita ca fiind Z(t) = S(0) - S(t) unde S(t) este preţul acţiunii la timpul t ζ este o probabilitate cumulativă asociată pragului VaR şi distribuţiei pierderilor lui Z(t) Pentru a da un exemplu, să presupunem că un portofoliu ar avea VaR de 10,000,000 USD pentru o zi cu o probabilitate cumulativă de 90 %. Aceasta înseamnă că pierderea asociată portofoliului poate fi de maxim 10,000,000 USD, pentru o zi, cu o probabilitate cumulative de 90 %. O interpretare alternativă ar fi aceea că pierderea la nivelul portofoliului poate fi mai mare de 10,000,000 USD, într-o zi, cu o probabilitate cumulativă de 100-90 = 10%.Uzual ζ este ales 0,90, 0,95 sau 0,99. 328

Măsurarea VaR pentru un portofoliu este o provocare teoretică şi informaţională întrucât este dificil să modelezi evoluţia în timp a unui portofoliu compus din sute de acţiuni. Deşi se bucura de mare interes în mediul academic, cele patru metode principale sunt: - Simularea istorică foloseşte date şi informaţii istorice pentru a previziona rata câştigului la factorii de risc, în locul ipotezei distribuţiei normale pentru factorii de risc. Astfel, colectarea datelor istorice este urmată de măsurarea modificărilor procentuale zilnice ale valorilor factorilor care influenţează valoarea portofoliului în situaţia în care istoria s-ar repeta în viitor. Prin scăderea valorii viitoare a portofoliului din valoarea curentă a acestuia, analistul poate determina valoarea care ar fi pierdută datorită riscului de piaţă, dacă ipotezele sau condiţiile de lucru s-ar repeta. Analiza este repetată pentru fiecare zi de tranzacţionare din perioada pentru care s-au colectat datele istorice, concretizată în trasarea unei distribuţii a rezultatelor posibile la nivelul portofoliului. Când distribuţia este completă, rezultatele posibile sunt ierarhizate în funcţie de nivelul câştigului sau al pierderii şi este ales un nivel de încredere (un nivel al probabilităţii) pentru realizarea estimării. Valoarea respectivului procent în cadrul distribuţiei reprezintă VAR pentru portofoliu. - Simularea Monte Carlo reprezintă o abordare mai riguroasă şi mai complexă comparativ cu simularea istorică, deoarece acordă o importanţă mai mare potenţialului apariţiei de şocuri de piaţă. Ea recurge la modelarea matematică pentru previzionarea şocurilor viitoare. Această metodă presupune utilizarea modificărilor înregistrate în trecut la nivelul factorilor de risc pentru o perioadă istorică, cu scopul generării unui model matematic care cuprinde factorii consideraţi, de obicei sub forma unei regresii multiple. Modelul obţinut este apoi utilizat pentru calcularea valorii viitoare posibile a unui factor de risc, prin simularea comportamentului factorilor de risc consideraţi. Prin repetarea simulării este trasată o distribuţie a valorilor viitoare, de obicei folosind cin număr mare de iteraţii - de exemplu, 10.000. Fiecare dintre valorile obţinute are atribuită o probabilitate de apariţie, valorile portofoliului putând fi ierarhizate ascendent sau descendent şi însoţite de probabilităţile de apariţie. Decidentul selectează un nivel al încrederii pentru estimarea VAR, iar când probabilitatea cumulată a distribuţiei atinge acest nivel valoarea la care se întâmplă acest lucru reprezintă VAR pentru portofoliu. Utilizarea corelaţiilor este de departe abordarea cea mai puţin complexă, deoarece se bazează pe o serie de ipoteze de lucru simplificatoare: distribuţia normală a câştigurilor şi corelaţiile constante între factorii de risc. Ca urmare, ea este cea mai rapidă metodă de calcul. Simularea istorică este o abordare mai complexă, folosind tendinţele înregistrate în preţurile istorice pentru a permite o prezenţă mai mare a şocurilor pieţei în calcularea VAR. Totuşi, ea presupune că preţurile istorice reprezintă previziuni suficient de bune ale preţurilor viitoare şi foloseşte un singur model al evoluţiei preţurilor pentru calcularea VAR, ceea ce poate să nu reprezinte o reflectare corectă a viitorului. Simularea Monte Carlo este cea mai sofisticată modalitate de calcul a VAR, dar s A cea mai flexibilă, ea îmbinând datele istorice cu o serie de constrângeri de natură statistică sub forma unui mod matematic ce ţine cont de mai multe posibilităţi de evoluţie a factorilor de risc. Totuşi, datorită complexităţii sale, aplicarea acestei metode este dificilă, iar costul presupus de calcule poate fi considerat de anumite firme ca fiind exagerat. 329

Metoda varianţei-covarianţei ( cunoscuta ca Metoda Delta Normal) Utilizând aceasta metodă, modelăm distribuţia pierderilor din portofoliu, apelând la următoarele ipoteze: - portofoliu este linear: schimbările în preţul portofoliului V(t) sunt dependente de preţul activului din componenta S(t). Cu alte cuvinte: - activul din componenta are o distribuţie normala a câştigului, ceea ce implica faptul ca şi câştigurile din portofoliu sunt normal distribuite. Este de notat că suma funcţiilor distribuite normal nu este întotdeauna normală. Astfel ipoteza portofoliului linear nu poate garanta câştigul portofoliului ca fiind normal. Având în vedere ipotezele expuse mai sus, care ne dau posibilitatea să descriem pierderea din portofoliu utilizând o distribuţie normală, există numeroase ecuaţii şi metode de distribuţie care pot fi folosite, calcularea VaR devenind astfel mult mai simpla. 5. Măsurarea coerentă a riscului Axiomele măsurării riscului reprezintă o piatră de temelie în măsurarea riscului a fost propunerea lui Artzner referitoare la primele axiome ale măsurării riscului; măsurarea riscului în concordanta cu aceste axiome a fost numită măsurare coerentă a riscului. Axiomele coerenţei au avut asemenea implicaţii încât nu a mai fost posibilă desemnarea arbitrară a unei funcţii de măsurare a riscului, decât cu condiţia respectării acestor axiome, în consecinţa VaR nu a mai fost considerat un indicator adecvat al măsurării riscului. Vom defini acum o măsurare coerenta a riscului ca fiind p(.).fie X şi Y pierderile a doua portofolii, atunci p este coerent daca adera la cele patru axiome: - riscul este monoton: dacă X < Y atunci p(x) p (Y) - riscul este omogen: p(x) = λp(x) pentru λ> 0 - invariaţia translatării activelor fără risc:p(x+χ)= p(x) χ,unde χ este activul fără risc. - riscul este sub-aditiv :p(x+y) p(x) + p(y) Vom explica acum fiecare axiomă în parte. Prima axiomă explică asocierea riscului înalt cu riscul scăzut. Omogenitatea ne asigură că nu putem creste sau descreşte riscul investind sume diferite în acţiuni diferite; cu alte cuvinte riscul este asociat activului în sine şi nu în funcţie de cantitatea cumpărată. Invariaţia translatării poate fi explicată prin faptul ca investiţia într-un activ fără risc aduce probabilitatea pierderii la 1. Astfel vom primi întotdeauna suma iniţial investită. Investiţia iniţială este dedusă pentru că măsurătorile de risc măsoară riscul ca o sumă pozitivă, un asemenea câştig fiind negativ. Subaditivitatea este cea mai importantă axiomă pentru că asigură că o măsurare coerenta a riscului poate avea loc odată cu diversificarea portofoliului. Axioma ne arată că, investind în ambele portofolii, X şi Y, rezultatul este un risc mai mic pe total decât suma riscurilor pentru o investiţie separată în portofoliul X şi portofoliul Y. VaR nu este o măsură coerentă pentru că nu respectă axioma subaditivităţii, şi în consecinţă poate conduce la un risc mai ridicat rezultând din diversificare. Putem spune că măsurarea riscului este de coerenţă redusă dacă este convexă, invariabilă translaţional şi omogenă. Merită să observăm că axiomele coerenţei asigură că măsurarea riscului este convexă şi supusă optimizării informatice. 330

Măsurarea coerenta a riscului Având în vedere introducerea în axiomele coerenţei şi concluzia că VaR nu este coerent, noi măsuri de coerenţă a riscului au fost propuse pentru a capta avantajele VaR. În particular era nevoie de o măsurare "pură" a riscului, simplă de înţeles care ar putea captura toate informaţiile cheie de risc cu cele trei părţi importante ale informaţiei: probabilitate, pierdere şi timp. Pentru a răspunde cu un echivalent coerent la VaR, o varietate de măsuri legate de VaR au fost propuse. Exemplele includ TvaR (tail value at risk), WCE( Worst condiţional expectation) şi CVaR ( condiţional value at risk). CVaR a devenit o modalitate uzuală de măsurare a riscului datorită similarităţii cu VaR dar şi datorită faptului că evaluează "cât de rău pot evolua lucrurile" dacă pierderea VaR este depăşită. CVaR este pierderea aşteptată ca urmare a faptului că VaR este depăşit; este definită ca: O definiţie alternativă a CVaR este media distribuţiilor extreme ale pierderilor VaR.Un alt avantaj al CVaR este ca ponderea în portofoliu poate fi uşor optimizată cu ajutorul programării liniare pentru a minimiza CVaR. Măsurătorile spectrale de risc sunt un grup de măsurători coerente de risc, unde riscul este dat de suma mediei ponderate a rezultatelor. Aceste ponderi pot fi alese pentru a reflecta preferinţa de risc pentru rezultate particulare. Axioma subaditivităţii demonstrează importanţa capturării dependentelor dintre active atunci când se măsoară riscul portofoliului. În consecinţă acest lucru creşte interesul pentru copula: acesta este o funcţie care cartografiază un set de distribuţii marginale într-o distribuţie multivariată şi viceversa. Teorema lui Sklar stă la baza teoriei copula, care demonstrează că pentru o distribuţie multivariată dată există o copula care poate combina toate distribuţiile marginale pentru a da o distribuţie comună. De exemplu, într-un caz bivariat, dacă avem două distribuţii marginale F(x) şi G(y) atunci există o funcţie copula C pentru a da distribuţia multivariată H(x,y): Există o varietate de copula şi exemplele includ şi copula Gaussiană şi pe cea a lui Clayton. Înainte de a fi utilizate în matematica financiară, copula a fost utilizată în Ştiinţele actuariale şi Ingineria civilă şi mecanică. În Teoria Valorilor Extreme copula a devenit deosebit de importantă pentru că nu este posibil sa capturezi dependentele dintre variabile aleatoare utilizând corelaţiile standard. În ciuda numărului mare de copula existente acestea continuă să fie o zonă activă de cercetări întrucât este important să avem copula care capturează tipul corect de dependente dintre active. Tendinţe viitoare privind măsurătorile de risc Măsurarea riscului a fost întotdeauna un domeniu înfloritor de cercetare. O zonă importantă de interes este cea care se referă la identificarea unor metode satisfăcătoare de modelare a dependentelor între active, altele decât corelaţiile. Alternativ, există un interes mare în găsirea formulelor care pot să captureze dependenţa comportamentului în mod semnificativ. Un alt domeniu de cercetare este măsurarea dinamică a riscului. Aceasta implică măsurarea riscului în mod continuu, în loc să aplice distribuţia statică. O altă direcţie importantă în măsurarea riscului este conceperea unor modalităţi de măsurare a riscului specific cum ar fi, măsurarea riscului de credit, măsurarea riscului de lichiditate, etc. Ar fi de notat că asemenea măsurători exista deja în anumite domenii (de 331

exemplu Merton utilizează modelul structural al creditelor neperformante) şi modelul KMV. Bibliografie selectivă Alexander C. (2009) Market Risk Analysis, Volume IV, Value-at-Risk Models, John Wiley & Sons, Ltd.; Jorion P. (2003) Financial Risk Manager Handbook, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.; ESMA (2009) - Risk Management Principle for UCITS; Directiva 2010/43/UE a Comisiei din 1 iulie 2010 de punere în aplicare a Directivei 2009/65/CE a Parlamentului European şi a Consiliului în ceea ce priveşte cerinţele organizatorice, conflictele de interese, regulile de conduită, administrarea riscului şi conţinutul acordului dintre depozitar şi societatea de administrare 332