Evaluarea legaturilor dintre indicatorii proprietăţii utilizând metoda regresiei multiple Prof.univ.dr. Constantin ANGHELACHE Conf.univ.dr. Elena BUGUDUI Lect.univ.dr. Florin Paul Costel LILEA Universitatea Artifex - București Abstract In this paper, the authors measure, with the help of a multiple regression model, the links between the value of GDP, as resultant variable, and as factorial variables, the overall value of properties, the value of agricultural terrains, inide terrains and infrastructure. The model is applied with the help of Eviews software, the results thus achieved being then interpreted. Key words: multiple regression, GDP, property value, agricultural terrains, inside terrains, buildings, Eviews, parameters Informaţiile obţinute prin utilizarea modelului liniar simplu de regresie nu sunt întotdeauna suficiente pentru a caracteriza evoluţia unui fenomen economic şi, mai ales, pentru a identifica posibila evoluţie ulterioară a acestuia. Un argument semnificativ în acest sens poate fi considerat a fi valoarea destul de mare a termenului liber (ca imagine a factorilor ce nu au fost incluşi în model). Pentru a remedia aceste neajunsuri, în literatura de specialitate au fost introduse modele de regresie multiplă în care evoluţia variabilei dependente este definită în funcţie de două sau mai multe variabile factoriale. Modelul de regresie multiplă poate fi utilizat în acest caz, considerând drept variabilă rezultativă valoarea PIB, iar ca variabile factoriale cele patru mărimi, respectiv valoarea proprietăţilor pe total, valoarea terenurilor agricole, valoarea terenurilor intravilane şi valoarea cladirilor. Sintetizând, evoluţia celor cinci mărimi în perioada 1997 2010 se prezintă astfel: PIB, valoarea proprietăţilor pe total, valoarea terenurilor agricole, valoarea terenurilor intravilane şi valoarea cladirilor în perioada 1997-2010 în România Anul PIB în milioane lei Proprietate total în milioane lei (VPT) terenuri agricole (VTA) teren Intravilan(VTI) Cladiri(VC) 1997 25 529.8 76589.4 24508.6 28338 23742.8 1998 37 055.1 85226.7 27272.5 31533.9 26420.3 206
Anul PIB în milioane lei Proprietate total în milioane lei (VPT) terenuri agricole (VTA) teren Intravilan(VTI) Cladiri(VC) 1999 55 191.4 110382.8 33114.8 41954.5 35313.5 2000 80 984.16 234854. 75153.3 89244.5 70456.2 2001 117 945.8 330248.2 105679.4 125494.3 99074.5 2002 152 017 456051 145936.3 164178.4 145936.3 2003 197 427.6 612025.6 177487.4 226449.5 208088.7 2004 247 368 816314.4 236731.2 318362.6 361220.6 2005 288 954.6 866863.8 286065 320739.6 260059.2 2006 344 650.6 1171812 374979.8 433570.4 363261.8 2007 416 006.8 1664027.2 499208.2 665610.9 499208.1 2008 514 700 1544100 494112 571317 478671 2009 501 139.4 1252848.5 400911.5 438497 413440 2010 522 561.1 1515427.2 500091 575862.3 439473.9 Sursa: Datele sunt prelucrate de autorii lucrării Pe baza acestor informaţii, vom analiza existenţa unei eventuale legături de dependenţă între PIB (variabila rezultat y) şi valoarea proprietăţilor pe total (variabila cauzală x 1 ), valoarea terenurilor agricole (variabila exogenă x 2 ), valoarea terenurilor intravilane (variabila exogenă x 3 ) şi valoarea clădirilor (variabila exogenă x 4 ). Descrierea econometrică a legăturii dintre cele 5 variabile se poate face cu ajutorul a patru modele : 1) Un model unifactorial care să explice variaţia PIB pe baza modificării nivelului valorii proprietăţilor pe total. y i = f(x 1i ) + u 1i 2) Un model unifactorial care să explice variaţia PIB pe baza modificării nivelului valorii terenurilor agricole. y i = f(x 2i ) + u 2i 3) Un model unifactorial care să explice variaţia PIB pe baza modificării nivelului valorii terenurilor intravilane. y i = f(x 3i ) + u 3i 4) Un model unifactorial care să explice variaţia PIB pe baza modificării nivelului valorii clădirilor. y i = f(x 3i ) + u 4i 5) Un model multifactorial care sa explice variaţia PIB pe baza celor patru factori. y i = f(x 1i,x 2i, x 3i, x 4i ) + u i Revista Română de Statistică Trim III/2012- Supliment 207
În ceea ce priveşte primele trei modele prezentate anterior, acestea au făcut obiectul analizei efectuate în cuprinsul altei cercetări, ajungându-se la concluzia că relaţiile dintre indicatori pot fi reflectate cu ajutorul unor modele liniare de regresie. Pe baza celor menţionate anterior putem considera faptul că modelul multifactorial analizat va fi unul liniar, de forma 1 : y i = b 0 + b 1 *x 1i + b 2 *x 2i + b 3 *x 3i + u i Estimarea parametrilor Definim : y1 y2 yn Y = Y vectorul coloană al variabilei endogene, de dimensiune n = 12 1 X11 X1 k 1 X 21 X 2k 1 Xn 1 Xnk X = X matricea variabilelor exogene de dimensiune n*k+1 b0 b1 bk B = B vectorul coloană al parametrilor de dimensiune k + 1 = 3 u1 u2 un U = U vectorul coloană al variabilei aleatoare de dimensiune n = 12 Modelul liniar multifactorial identificat mai sus se poate scrie sub forma matricială astfel: Y = X * B + U 1 Anghelache, C., Mitruţ, C. (coordonatori), Bugudui, E., Deatcu, C. (2009) Econometrie: studii teoretice şi practice, Editura Artifex, Bucureşti 208
y1 1 X11 X1 k b0 u1 y2 1 X 21 X 2k b1 u2 yn 1 Xn 1 Xnk = bk * un + unde: n = 12 numărul observaţiilor disponibile; k = 3 numărul variabilelor exogene. Funcţia de regresie corespunzătoare modelului considerat, scrisă sub forma unei ecuaţii matriceale, este: Y = X * B. Pentru estimarea parametrilor vom utiliza metoda celor mai mici pătrate (MCMMP). Pentru modelul multifactorial liniar aplicarea acestei metode presupune minimizarea funcţiei 2 : n 2 ut F ( B ) = min t1 = min (Y - X = min (Y T Y - 2 B T (X T Y) + B ) 2 B T (X T X) B ) care implică determinarea derivatei funcţiei în raport cu estimatorul acesteia: B şi anularea (X T X) B = X T Y. Pentru a facilita determinarea modelului multiplu de regresie am utilizat pachetul informatic EViews 5.1. În cadrul acestuia, cele cinci variabile definite anterior au fost deschise sub forma unui grup. În cadrul acestui grup, cu ajutorul comenzii Quick Estimate Equation, a fost definită o ecuaţie ce are ca variabilă rezultativă PIB, iar ca variabile factoriale valoarea proprietăţilor pe total, valoarea terenurilor agricole, valoarea terenurilor intravilane şi valoarea clădirilor.. De asemenea, în cadrul modelului de regresie a fost introdus termenul liber c, acesta urmând să reflecte influenţa termenilor ce nu au fost consideraţi la momentul construcţiei modelului 3. 2 Cătălin Deatcu, Adina Elena Stoica (Fetcu), Irina Dincă Model econometric de regresie multifactorială, Scientific Research Themes/Studies Communications at the National Seminary Octav Onicescu, Romanian Statistical Review Trim. 3/2011, pp. 207-215. 3 Raluca Andreea Mihalache Utilizarea modelului de regresie liniară în analiza trecerii de la soldul bugetar la sursele de finanţare, Scientific Research Themes/Studies Communications at the National Seminary Octav Onicescu, Romanian Statistical Review Trim. 3/2011, pp. 191-195. Revista Română de Statistică Trim III/2012- Supliment 209
Valorile de intrare în EViews Am realizat în programul informatic EViews estimarea parametrilor modelului considerat, prin metoda celor mai mici pătrate. Rezultatele obţinute cu ajutorul modelului considerat şi determinate prin intermediul programului informatic EViews 5.1. se prezintă astfel: Dependent Variable: PIB Method: Least Squares Date: 09/11/12 Time: 15:24 Sample: 1997 2010 Included observations: 14 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. VPT 0.407309 0.525959 0.774412 0.4585 VTA 1.509719 0.854823 1.766119 0.1112 VTI -1.787989 0.616814-2.898749 0.0176 VC 0.332348 0.276665 1.201268 0.2603 210
C 6655.911 11038.60 0.602967 0.5614 R-squared 0.988583 Mean dependent var 250109.4 Adjusted R-squared 0.983509 S.D. dependent var 183454.0 S.E. of regression 23558.89 Akaike info criterion 23.24485 Sum squared resid 5.00E+09 Schwarz criterion 23.47308 Log likelihood -157.7139 F-statistic 194.8234 Durbin-Watson stat 1.427952 Prob(F-statistic) 0.000000 Modelul de regresie multiplă determinat anterior poate fi transcris sub formă de ecuaţie astfel: PIB = 6655.911 + 0.407309 VPT + 1.509719 VTA - 1.787989 VTI + 0.332348 VC După cum se poate observa, utilizarea modelului multiplu de regresie confirmă concluzia că valoarea proprietăţilor pe total influenţează evoluţia PIB. Se observă totuşi faptul că, în acest caz, creşterea PIB ocazionată de majorarea cu un l mil. lei a valorii proprietăţilor pe total este de 0,40 mil. lei (uşor mai ridicată decât în cazul regresiei simple) pentru fiecare modificare cu o unitate a variabilei factoriale. Trebuie însă menţionat faptul că, în cadrul modelului considerat, influenţa termenului liber, ca imagine a factorilor ce nu au fost incluşi în model, este una semnificativă. Astfel, putem afirma faptul că factorii ce nu au fost luaţi în considerare la momentul construcţiei modelului econometric dermină o creştere semnificativă a valorii PIB. Din punctul de vedere al testelor statistice ce verifică corectitudinea modelului econometric considerat, se poate observa faptul că valorile aferente testelor R şi respectiv R 2 sunt de peste 98% (R 2 = 98,85%, iar R 2 ajustat = 98,35%), ceea ce ne permite să afirmăm faptul că modelul supus analizei este unul corect şi cu un grad de risc ce poate fi considerat a fi acceptabil în cazul unei analize economice. De asemenea, putem remarca faptul că, introducerea în cadrul modelului a unor noi variabile factoriale a condus la o creştere a gradului de probabilitate a acestuia în comparaţie cu modelul liniar de regresie simplă 4. De asemenea, putem constata faptul că valoarea testului F-statistic (194.8234) este superioară valorii de referinţă tabelată, ceea ce induce ideea că modelul econometric considerat este unul corect, ce poate fi utilizat în analizele economice 4 Mario G.R. Pagliacci, Gabriela Victoria Anghelache,Ioana Mihaela Pocan, Radu Titus Marinescu, Alexandru Manole Multiple Regression Method of Financial Performance Evaluation, ART ECO Review of Economic Studies and Research, Editura Artifex, Vol. 2/No.4/2011, pp. 3-9. Revista Română de Statistică Trim III/2012- Supliment 211
În ceea ce priveşte validarea modelului de regresie prezentat anterior, se remarcă faptul că probabilitatea asociată acestuia este una foarte ridicată (peste 98%), afirmaţie fundamentată pe valorile testelor R 2 şi R 2 ajustat. Nu în ultimul rând, valoarea testului Prob (F-statistic) este zero, ceea ce confirmă afirmaţiile formulate anterior, conform cărora un model econometric de regresie ce utilizează ca variabilă rezultativă PIB, iar ca variabile factoriale valoarea proprietăților pe total și pe elemente componente este unul corect. Bibliografie selectivă Andrei, T., Stancu, S., Iacob A.I., Tusa, E., - Introducere în econometrie utilizând Eviews, Editura Economică, Bucureşti Anghelache, C., Mitruţ, C. (coordonatori), Bugudui, E., Deatcu, C. (2009) Econometrie: studii teoretice şi practice, Editura Artifex, Bucureşti Anghelache, C., (2008) - Tratat de statistică teoretică şi economică, Editura Economică, Bucureşti Biji, M., Biji, E.M., Lilea, E., Anghelache, C., (2002) Tratat de statistică, Editura Economică, Bucureşti 212