Sesiunea de comunicări ştiinţifice a Comisiei de acustică a Academiei Române Bucureşti, 17-18 octombrie 1995 VIBRAŢII TRANSVERSALE ALE UNEI BARE DUBLU ÎNCASTRATE SOLICITATE LA RĂSUCIRE ÎN MEDIU ELASTIC Ioan Mincă, Dionisie Craifaleanu, Andrei Craifaleanu SUMMARY The present paper is one of a series of studies concerning the ibrations of a straight bar acted on by a torque and by an axial force in an elastic medium, under arious end conditions. In comparison to a preious case, when the extremities were simply supported, now one is built-in and the other one is situated in a long bearing. The eigenfrequencies equation is obtained by means of the Galerkin s method, by choosing adequate expressions for the transerse displacement. Some results, in nondimensional form, are presented in diagrams. 1. GENERALITĂŢI Se consideră că bara, ca şi mediul în care se află, sunt omogene, izotrope şi liniar elastice, iar rigiditatea la încooiere a barei este aceeaşi în toate planele sale longitudinale. Elementele care definesc forma deformată a barei, precum şi forţele care acţionează asupra ei sunt arătate în fig. 1. Conf. dr. ing., Uniersitatea olitehnica Bucureşti, Catedra de Rezisten a materialelor. rof. dr. ing., Uniersitatea olitehnica Bucureşti, Catedra de Rezisten a materialelor. Asist. ing., Uniersitatea olitehnica Bucureşti, Catedra de Mecanică.
17 Ioan Mincă, Dionisie Craifaleanu, Andrei Craifaleanu M t y z x w l A M t z w y µ k µ w kw a. Fig. 1 Nota iile folosite sunt următoarele: l - lungimea barei; EI - rigiditatea la încooiere a barei; Ox - axa longitudinală a barei; Oy, Oz - axele secţiunii transersale; - forţa de compresiune; Mt - momentul de torsiune; µ - masa pe unitatea de lungime a barei; k - rigiditatea mediului; ω - pulsaţia proprie a ibraţiilor laterale; t - timpul; ηc = l/πei - forţa de compresiune adimensională; ηt = Mtl /,8665 πei - momentul de torsiune adimensional; ηk = kl/πei - rigiditatea adimensională a mediului; b. = ωl µ /,6685π EI - pulsaţia proprie adimensională; τ =,6685π EI t / l µ - timpul adimensional;,w - săgeata axei barei în direcţia y, respecti z; i = 1 - unitatea imaginară; r = i w - deplasarea laterală complexă; ξ = πx/l, ξ [,π] - abscisa adimensională.
Vibraţii transersale ale unei bare dublu încastrate solicitate la răsucire în mediu elastic 171. ECUAŢIILE DE MIªCARE [1-] Linia elastică deformată a barei este descrisă de sistemul de ecuaţii diferenţiale EI M w t µ k = w EI M w w µ. kw t = (1) Folosind deplasarea complexă r, mărimile adimensionale ξ, τ, η t, η c, η k şi notând cu accente deriatele în raport cu ξ şi cu puncte pe cele în raport cu τ, sistemul (1) se reduce la unica ecuaţie i r, 8665iη r''' η r'' 51861, && r η r =. t c k (). ECUAŢIA ULSAŢIILOR RORII Inlocuind în () o soluţie de forma r = R(ξ) e iη ν τ se obţine ecuaţia L( R) = R i, 8665iη R R qr, () t ''' ηc '' = în care q = 5,186η ν η. k () unde Se alege pentru ecuaţia () soluţia aproximatiă R R R 1 = R = a1r1 a R a R ξ πξ πsin ξ, = ξ πξ π ξ π sin ξ, 1 18 6 ξ πξ π ξ π ξ π ξ = 7 5 6, (5) sin. (6) care îndeplinesc condiţiile la limite R () = R' () = R ( π) = R' ( π) =, j = 1,,. j j j j (7)
17 Ioan Mincă, Dionisie Craifaleanu, Andrei Craifaleanu Conform metodei lui Galerkin se construiesc ecuaţiile π L( R) R j ( ξ)d ξ =, j = 1,,. Se obţine un sistem algebric liniar şi omogen în necunoscutele a 1, a, a care, pentru a aea soluţii nenule, trebuie să aibă determinantul coeficienţilor nul; dezoltarea acestuia conduce la ecuaţia pulsaţiilor proprii (8) q (66, 899ηc 195, 67)q ( 19, 616ηc 57, 98ηc 1971896, ηt 69717, )q 1898, 15ηcηt 97, 76ηt 757, 75ηc 567111, η 51798, 596η 986, 1 =. c c (9). REZULTATE. CONCLUZII ulsaţiile fundamentale ale ibraţiilor transersale ale barei pentru câtea alori particulare ale rigidităţii mediului sunt prezentate in diagramele din fig.,,, 5. Se remarcă o eroare a metodei de aproximati 1% în cazurile particulare cunoscute. Se mai obseră, aşa cum este şi normal, că frecenţele cresc cu creşterea rigidităţii mediului. FRECVENTA ADIMENSIONALÅ 1. 1.8.6.. RIGIDITATEA ADIMENSIONALÅ A MEDIULUI η k = η c =.75 η c =.5 η c =.5 η c =-.5 η c =....6.8 1 1. Fig.
FRECVENTA ADIMENSIONALÅ Vibraţii transersale ale unei bare dublu încastrate solicitate la răsucire în mediu elastic 17 RIGIDITATEA ADIMENSIONALÅ A MEDIULUI η k= 1 5.5.5.5 1.5 1.5.5 1 1.5.5.5.5 5 Fig. η c =-.5 η c =. η c =.5 η c =.5 η c =.75 η c =1. FRECVENTA ADIMENSIONALÅ 16 1 1 1 8 6 RIGIDITATEA ADIMENSIONALÅ A MEDIULUI η k = 1 η c =-.5 η c =. η c =.5 η c =.5 η c =.75 η c =1. 6 8 1 1 1 16 18 Fig.
17 Ioan Mincă, Dionisie Craifaleanu, Andrei Craifaleanu FRECVENTA ADIMENSIONALÅ 7 6.5 6 5.5 5.5.5 RIGIDITATEA ADIMENSIONALÅ A MEDIULUI η k = 7 6 8 1 1 1 16 18 Fig. 5 η c =.5 η c =. η c =.5 η c =.5 η c =.75 η c =1. BIBLIOGRAFIE 1.Beck, M., Knickung gerader Stäbe durch Druck und konseratie Torsion, Ingenieur-Archi, 195,, 1..Timoshenko,S.., Gere, J. M., Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill Books Company, Inc., New-York, Toronto, London, 1961..Ziegler, H., Knickung gerader Stäbe unter Torsion, ZAM, 195, III.