LUCRAREA 2 UTILIZAREA PETRI NET TOOLBOX PENTRU INVESTIGAREA MODELELOR DE TIP RETEA PETRI NETEMPORIZATA 1 Consideratii generale, motivatie si obiectiv Modelele logice sau netemporizate permit studierea proprietatilor calitative ale functionarii sistemelor dinamice cu evenimente discrete. O clasa importanta de astfel de modele o constituie retelele Petri netemporizate. Simularea reprezinta un instrument deosebit de util pentru acest studiu, în special în cazul în care reteaua Petri investigata poseda un numar ridicat de noduri. Instrumentul software pe care îl vom utiliza în cadrul sedintelor de laborator este reprezentat de pachetul de programe MATLAB Petri Net Toolbox proiectat special pentru simularea si analiza modelelor de tip retea Petri. Prin parcurgerea acestei sedinte de laborator, studentul va acumula cunostintele necesare folosirii Petri Net Toolbox pentru simularea modelelor de tip retea Petri netemporizata. De asemenea, studentul va dobândi un solid suport intuitiv în întelegerea modului de operare a retelelor Petri netemporizate gratie facilitatilor de animatie puse la dispozitie de acest mediu de simulare. 2. Breviar de terminologie si notatii 2.1. Conceptul de retea Petri netemporizata Definitie: O retea Petri este un cvintuplu, PN= (P,T,F,W,M0 ) în care: P = { p1, p2,..., p m }- multimea finita a pozitiilor; T = t t,..., - multimea finita a tranzitiilor; { } 1, 2 t n F (P T) (T P) este o multime de arce; W:F {1,2,3,...} este o functie de ponderare a arcelor; M o : P {0,1,2,3,...} este functia de marcaj initial. Câteva comentarii sunt necesare pentru a aprofunda detaliile acestei formalizari: 1. Multimile P si T sunt disjuncte P T=. 2. Pentru a asigura obiectul definitiei de mai sus, multimile P si T satisfac conditia P T. 3. O structura de retea Petri N = (P,T,F,W ) fara nici o specificatie referitoare la marcaj se va nota cu N. 4. O retea Petri cu un marcaj initial M0 se va nota prin (N,M 0 ). 5. O retea Petri cu un marcaj oarecare M se va nota prin (N,M ). 2.2. Validarea si executarea tranzitiilor Marcajul unei retele Petri, are semnificatia de stare a retelei si se poate modifica în conformitate cu urmatorul procedeu denumit regula tranzitiei (validare si executare). Se spune ca o tranzitie t este validata (eng. enabled) daca fiecare pozitie de intrare p a lui t este marcata cu cel putin W(p, t) jetoane, unde W(p, t) noteaza ponderea arcului de la p la t. 1
O tranzitie validata poate sau nu sa fie executata sau declansata (eng. fired ), dupa cum evenimentul asociat tranzitiei are sau nu loc. Executarea unei tranzitii validate îndeparteaza W(p, t) jetoane din fiecare pozitie de intrare p a lui t si adauga W(t,p) jetoane la fiecare pozitie de iesire p a lui t, unde W(t, p) este ponderea arcului de la t la p. O tranzitie fara nici o pozitie de intrare se numeste tranzitie sursa (eng. source). O tranzitie fara nici o pozitie de iesire se numeste tranzitie receptor (eng. sink). Modul de operare al acestor tranzitii este urmatorul: O tranzitie sursa este neconditionat validata (fara a fi obligatoriu ca sa se execute). Executarea ei produce jetoane. Executarea unei tranzitii receptor consuma jetoane, fara a produce jetoane. Daca o pozitie p este atât pozitie de intrare, cât si de iesire pentru o tranzitie t, atunci p si t formeaza o bucla autonoma (eng. self -loop). O retea Petri care nu contine bucle autonome se numeste pura. O retea Petri se numeste ordinara daca toate arcele sale au pondere unitara. În teoria retelelor Petri netemporizate se considera ca executarea unei tranzitii nu consuma timp si ca jetoanele pot ramâne în pozitii pentru orice durata de timp (oricât de mica sau oricât de mare). întrucât executarea unei tranzitii este instantanee, se considera ca tranzitiile se executa numai secvential, adica nu se poate vorbi de doua tranzitii executate simultan (sau în paralel). Aceste presupuneri fac ca modelul de tip retea Petri netemporizata sa fie utilizat numai pentru investigarea proprietatilor logice, calitative, care nu depind de timp. 2.3. Retele cu capacitate infinita si finita Pentru regula de validare a unei tranzitii ( ce a fost prezentata anterior), s-a presupus ca fiecare pozitie poate contine un numar nelimitat de jetoane. O astfel de retea Petri se numeste cu capacitate infinita. În modelarea sistemelor fizice este firesc a considera o limita superioara a numarului de jetoane pe care îl poate contine fiecare pozitie. O astfel de retea se numeste cu capacitate finita. Într-o retea cu capacitate finita (N,M 0 ), fiecarei pozitii p i se asociaza capacitatea pozitiei K(p), definita ca numarul maxim de jetoane ce pot fi continute în p. Într-o retea cu capacitate finita, pentru validarea unei tranzitii t este necesara urmatoarea conditie suplimentara : numarul de jetoane în fiecare pozitie de iesire p a lui t nu poate sa depaseasca capacitatea pozitiei respective, K(p), atunci când t s-ar executa. În acest caz regula tranzitiei se va numi regula stricta a tranzitiei spre a o deosebi de cea enuntata în paragraful 2.2, care mai este uneori referita drept regula simpla a tranzitiei. 3. Prezentare de ansamblu a software -lui Petri Net Toolbox Petri Net Toolbox (PN Toolbox ) a fost conceput spre a oferi instrumente specifice pentru simularea, analiza si sinteza sistemelor cu evenimente discrete. Includerea sa ca un modul de sine statator în mediul MATLAB prezinta un deosebit avantaj (în raport cu alte software-uri dedicate formalismului retelelor Petri) prin crearea unor multiple facilitati de calcul algebric si statistic precum si de reprezentari grafice, care exploateaza rutinele disponibile în MATLAB. Schimbul de informatii dintre utilizator si PN Toolbox se face prin intermediul unei interfete grafice (eng. Graphical User Interface - GUI) (The MathWorks, Inc. 2000a, 2000b) care da posibilitate utilizatorului de a desena, salva, încarca si modifica modele de tip 2
retea Petri. De asemenea, permite simularea si analiza retelelor Petri, exploatând toate resursele informationale ale mediului, prin intermediul variabilelor globale pastrate în spatiul de lucru (Workspace) MATLAB. Interfata este lansata în executie prin comanda MATLAB >> pntool Acest GUI consta dintr-o fereastra MATLAB continând opt componente: (1) Menu Bar, (2) Quick Access Toolbar, (3) Drawing Area, (4) Drawing Panel, (5) Simulation Panel, (6) Status Panel, (7) Draw/Explore Switch, (8) Message Box. Figura 2.1 prezinta o captura a ferestrei principale a PN Toolbox, unde sunt vizibile toate partile componente ale interfetei grafice enumerate mai sus. Figura 2.1. Interfata grafica a PN Toolbox Menu bar (plasata orizontal, în partea de sus a ferestrei) afiseaza un set de noua meniuri deunde utilizatorul poate selecta toate facilitatile disponibile si anume: meniul File (care contine submeniurile: New Model, Open Model, Close Model,Save Model, Save Model As.. si Exit PNToolbox) ofera facilitati pentru lucru cu fisiere; meniul Modeling (ce include submeniurile Add Place, Add Transition, Add Arc, Add Token, Add Color Set, Edit Object si Conflicting Transitions) ofera mijloace pentru editarea grafica (pozitii, tranzitii, arce, marcaje si etichete) în zona de desenare (3) si permite specificarea de informatii suplimentare (prioritati si/sau probabilitati) pentru regula tranzitiei folosita în derularea simularii; meniul View, (cu submeniurile: Zoom In, Zoom Out, Show Grid si Arc Weight) permite alegerea conditiilor pentru vizualizare s i simulare; meniul Properties (ce cuprinde submeniurile: Incidence Matrix, Behavioral - Coverability Tree, Structural, Invariants) furnizeaza metode adecvate pentru analiza proprietatilor comportamentale si structurale ale retelelor Petri. meniul Simulation (continând submeniurile: Event, Run slow, Run fast, Breakpoints, Reset, Log File, View History si Preferences) da utilizatorului posibilitatea de a controla progresul simularii si de a înregistra rezultatele; 3
meniul Performance (incluzînd submeniurile: Place Indices si Transition Indices) ofera informatii asupra diferitilor indicatori de performanta globala obtinuti la sfârsitul simularii; meniul Max-Plus (ce cuprinde submeniurile: From PN si From Matrices) ofera instrumente pentru studierea retelelor cu pozitii temporizate, grafuri marcate, cu ajutorul algebrei max-plus; meniul Design permite studierea indicatorilor de performanta în procedura de sinteza; meniul Help (continând submeniurile: Contents and Index, Demos si About PNToolbox) ofera informatii pentru exploatarea PNToolbox de catre utilizator. Quick Access Toolbar (plasat ca o bara orizontala sub Menu bar) contine mai multe butoane ale caror actiuni sunt similare cu unele optiuni din meniul File si din meniul View. Drawing Panel (plasat vertica l în partea stânga a ferestrei din fig. 2.1, sub Quick Access Toolbar) este format dintr-un numar de butoane cu actiuni similare unor optiuni din meniul Modeling. Butonul Edit permite accesarea caracteristicilor nodurilor si arcelor retelei Petri prin intermediul unei ferestre de dialog asociata obiectului selectat în Drawing Area. Aceste proprietati sunt: capacitate, marcaj, informatii legate de temporizare si etichete pentru pozitii; informatii legate de temporizare si etichete pentru tranzitii; pondere si existenta functiei inhibitoare pentru arce. Figura 2.2 reproduce ferestre de dialog asociate cu cele trei elemente mentionate anterior în cazul retelelor Petri netemporizate. Optiunea Color (care apare în toate aceste ferestre, indiferent de natura elementului) creeaza posibilitatea de a atribui culori diferite elementelor introduse în diferite faze ale proiectarii atunci când se face apel la o procedura de sinteza constând în succedarea mai multor etape. Simulation Panel (plasat vertical, în partea stânga a ferestrei în fig. 2.1, sub Drawing Panel) contine un set de butoane ale caror actiuni sunt similare celor din meniul Simulation si asigura facilitati suplimentare pentru vizualizarea evolutiei indicilor de performanta în cazul retelelor temporizate. Status Panel este o tabela de mesaje (plasata în coltul din stânga jos al ferestrei din fig. 2.1) unde PN Toolbox afiseaza valoarea curenta a numarului de evenimente, timpul scurs de la începutul simularii precum si numele fisierului activ. Drawing Area (localizata în centrul ferestrei din fig. 2.1) este o fereastra unde vor fi plasate nodurile si arcele retelei Petri si este prevazuta cu butoane de scroll (în partea dreapta si în partea de jos) pentru deplasare în aceasta fereastra. a b c Figura 2.2. Ferestrele de dialog controlate de butonul Edit din Simulation Panel asociate: pozitiilor (a), tranzitiilor (b) si arcelor (c) în cazul retelelor netemporizate 4
Draw/Explore Switch (plasat imediat sub Drawing Panel) permite comutarea între cele doua moduri ale PN Toolbox : modul de desenare si modul de simulare/analiza. Message Box este utilizat de PN Toolbox pentru a furniza informatii utile catre utilizator. În modul de desenare, este prezentata starea lui Drawing Panel, iar în modul de simulare/analiza sunt afisate mesajele atasate tranzitiilor. 4. Utilizarea Petri Net Toolbox ca mediu de simulare a retelelor Petri 4.1. Crearea unui model nou Constructia unui model nou (crearea fisierului cu extensia.xml) se poate face utilizând editorul grafic prezentat în fig. 2.1 sau cu ajutorul oricarui editor de texte. Spatiul de editare grafica este organizat sub forma unei grile, pe fond gri, cu posibilitatea eliminarii (dupa preferinta) a aceste grile din meniul View optiunea Show grid. Prin apasarea butonului din bara verticala stânga, se intra în regim de editare. Orice modificari ale parametrilor elementelor retelei Petri (pozitie, tranzitie sau arc) corespunzatoare modelului se pot face numai în acest regim. Pentru fiecare tip de element se deschide câte o fereastra corespunzatoare: Edit place (fig 2.2.a), Edit transition (fig 2.2.b) si Edit arc (fig 2.2.c). Aceste ferestre sunt în concordanta cu tipul retelei, parametrii neutilizati sunt inhibati. Toate valorile poseda o setare implicita, da r pot fi modificati dupa preferinta. Cutia de dialog se închide apasând butonul OK. În cazul când în fereastra exista deja un model, spatiul de desenare se elibereaza prin selectarea meniului File, optiunea Close. Înainte de a începe desenarea unui nou model este necesara specificarea tipului retelei utilizând fereastra de dialog care se deschide automat. Pentru a desena pozitii în câmpul grafic, se apasa butonul din bara verticala stânga. Apoi se plaseaza cursorul mouse -ului în regiunea dorita a grile i si se apasa o singura data butonul din stânga al mouse -ului. Pentru a defini marcajul unor pozitii (deja desenate), se apasa butonul din bara verticala stânga, actiune prin care utilizatorul adauga un jeton în pozitia respectiva. Pentru a modifica marcajul retelei, se intra în modul editare prin selectarea butonului, iar apoi plasând cursorul pe pozitia careia dorim sa îi modificam marcajul se apasa butonul stâng al mouse-ului deschizându-se o cutie de dialog de tip Edit place ca în fig. 2.2.a. Optiunea Token a acestei cutii de dialog permite modificarea marcajului unei pozitii. Modul de reprezentare grafica a jetoanelor dintr-o pozitie este sub forma unui numar localizat în interiorul unei pozitii, numar ce reprezinta marcajul pozitiei respective. Pentru a desena tranzitii, se apasa butonul din bara verticala stânga. Apoi se plaseaza cursorul mouse-ului în regiunea dorita a grilei si se apasa o singura data butonul din stânga al mouse -ului. Pentru a trasa arce, se apasa butonul din bara verticala stânga. Un arc se deseneaza apasând butonul stâng al mouse-ului pe nodul de plecare al arcului (pozitie sau tranzitie) si apoi apasând din nou butonul stâng pe nodul de sosire (tranzitie sau pozitie). 4.2. Salvarea unui model nou creat Un model nou creat cu ajutorul editorului grafic se salveaza din meniul File, optiunea Save, drept fisier cu extensia.xml. PN Toolbox salveaza doar informatiile necesare în concordanta cu tipul retelei. Marcajul (tag-ul) radacina este PNToolbox, dupa care urmeaza câteva marcaje comune tutoror tipurilor de modele: Model_name : reprezinta numele modelului (fisierului) incluzând extensia (.XML); 5
Type : tipul retelei Petri (1 netemporizata; 2 cu tranzitii temporizate; 3 cu pozitii temporizate; 4 retele stohastice; 5 retele generalizate stohastic; 7 retele colorate); Seed: starea initiala a generatorului de numere aleatoare din MATLAB (numar întreg). Marcajele corespunzatoare pastrarii informatiilor pentru pozitii sunt: Id identificatorul pozitiei, un sir de caractere care începe cu p urmat de un numar. Acest identificator trebuie sa fie diferit pentru fiecare pozitie în parte; Value o pereche de doua numere care reprezinta pozitia pe care o ocupa pozitia în Drawing Area. Coordonatele trebuie sa fie numere întregi în intervalul [0,49]; Color culoarea MATLAB folosita pentru desenarea pozitiei (valorile permise: black, blue, green, red, cyan, magenta si yellow); Label informatii suplimentare referitoare la reprezentarea grafica care contine urmatoarele marcaje: o Name eticheta atasata pozitiei, vizibila în Drawing Area; o Offset abaterea reprezentarii etichetei de la pozitia initiala (imediat sub cercul corespunzator pozitiei); o Visible valoare booleana care specifica vizibilitatea etichetei (yes vizibila, no invizibila); InitialMarking marcajul initial al pozitiei; Capacity capacitatea pozitiei; Time informatii referitoare la temporizare în cazul retelelor Petri cu pozitii temporizate: o Distribution functia de distributie folosita (valorile pe care le poate lua: constant, cont. uniform, discrete uniform, Poisson, exponential, gamma, normal, lognormal, Weibull, beta, binomial, F, noncentral F, geometric, hypergeometric, neg. binomial, chi-square, nonc. chi-square, Rayleigh, Students t corespunzator functiilor de distributie disponibile în MATLAB Statistics Toolbox); o Parameters parametrii functiei de distributie selectata. Marcajele corespunzatoare tranzitiilor sunt: Id identificatorul tranzitiei, un sir de caractere care începe cu t urmat de un numar. Acest identificator trebuie sa fie diferit pentru fiecare tranzitie în parte; Value o pereche de doua numere care reprezinta coordonatele pozitiei în Drawing Area ; Color culoarea MATLAB folosita pentru desenarea tranzitiei (valorile posibile sunt aceleasi ca la pozitii); Message mesaj afisat de PN Toolbox în cazul simularii în regim Event sau Run Slow în Message Box ; Label informatii suplimentare referitoare la reprezentarea grafica care contine urmatoarele marcaje: o Name eticheta atasata tranzitiei, vizibila în Drawing Area ; o Offset abaterea reprezentarii etichetei de la pozitia initiala (imediat sub patratul corespunzator tranzitiei); o Visible valoare booleana care specifica vizibilitatea etichetei (yes vizibila, no invizibila); Time informatii referitoare la temporizare în cazul retelelor Petri cu tranzitii temporizate, stohastice sau generalizat stohastice: 6
o Distribution functia de distributie folosita (valorile permise sunt identice cu cele de la pozitii); o Parameters parametrii functiei de distributie selectata. o Pentru arce, marcajele corespunzatoare sunt: From nodul de plecare al arcului; To nodul de sosire al arcului; Style tipul arcului (normal, double sau inhibitor); Distribution functia de distributie pentru generarea ponderii (valorile permise sunt identice cu cele de la pozitii/tranzitii); Parameters parametrii functiei de distributie selectata. 4.3. Modificarea unui model existent Un model existent (salvat, în prealabil, ca fisier.xml) se încarca cu optiunea Open din meniul File de pe bara orizontala superioara (numerotata cu 1 în fig. 2.1.). Modificarile se pot efectua în mod grafic sau prin editarea fisierului cu ajutorul unui editor grafic respectând formatul fisierului.xml explicat mai sus. Adaugarea de noi elemente se realizeaza conform celor discutate la crearea unui model nou. Pentru stergerea unui element, se trece în regim de editare (butonul apasat). Cu mouse-ul (butonul stâng) se selecteaza elementul ce urmeaza a fi sters. Ca urmare a acestei actiuni se deschide o cutie de dialog (ca în fig. 2.2.a, b sau c) dupa care se apasa butonul Delete object. Pentru schimbarea valorilor unor parametrii ai unui element oarecare se selecteaza elementul si se opereaza modificarea în cutia de dialog, care va fi ulterior închisa înainte de a selecta un nou element. 4.4. Efectuarea simularii 4.4.1. Variante posibile de efectuare a experimentelor de simulare Simularea se poate executa în mai multe moduri, selectabile prin apasarea butoanelor barei verticale din stânga (numerotata cu 5 în fig. 2.1) sau din meniul Simulation : a) Pas cu pas: Event (butonul ) sau Simulation/ Event b) Run: b.1) Run slow (butonul ) sau Simulation/ Run Slow b.2) Run fast (butonul ) sau Simulation/ Run Fast Simularea în modurile a si b.1 este însotita de animatie. Animatia deplaseaza jetoanele si coloreaza (implicit în rosu, sau o alta culoare selectabila din meniul Simulation / Preferences) tranzitiile în curs de executie. Viteza animatiei este ajustabila din meniul Simulation/Preferences de pe bara verticala superioara (notata cu 1 în fig. 2.1.). În fiecare in aceste doua moduri, la sfârsitul unei simulari se poate obtine un jurnal, utilizând submeniul Log File din meniul Simulation. Jurnalul poate fi salvat ca fisier cu extensia.html si poate fi citit cu orice browser (de exemplu Netscape) sau utilizând optiunea Simulation/View History. Modul de lucru b.2) este adecvat simularii retelelor Petri temporizate. Din meniul Simulation/Breakpoints se poate controla modul de încheiere a simularii ( 4). Implicit simularea se încheie la atingerea unui numar de 1000 de evenimente sau daca nici una dintre tranzitii nu mai poate fi validata. Lansarea oricarui experiment de simulare trebuie precedata de apasarea butonului Reset ( ) din partea de jos a barei verticale (5) din fig. 2.1. În cazul 7
simularii cu optiunea Run Slow, simularea se opreste prin apasarea butonului drept al mouseului. 4.4.2. Modul de progresare al simularii Filozofia de derulare a experimentului de simulare în mediul PN Toolbox este gândita sa satisfaca atât retelele temporizate cât si cele netemporizate, atât retelele cu capacitate finita cât si pe cele cu capacitate infinita. În cazul retelelor temporizate, executarea unei tranzitii dureaza un anumit interval de timp (care în situatia retelelor netemporizate este nul, descris prin optiunea Parameter 1 a ferestrei de dialog Distribution parameters, fereastra ce se deschide în urma modificarilor facute în câmpul Distrib. Din cutia de dialog Edit transition sau Edit place). Din acest motiv simulatorul PN Toolbox se raporteaza la evenimente de tipul transition on (începutul executarii unei tranzitii) si transition off (sfârsitul executarii unei tranzitii). Între evenimentul transition on si evenimentul transition off, jetonul este retinut în pozitia predecesor iar culoarea tranzitiei se schimba în rosu. Astfel, utilizând optiunea a.1 pentru retele netemporizate, se va constata ca, plecând de la un anumit marcaj (când toate tranzitiile sunt pe off), este trecuta pe on o tranzitie care poate fi executata pentru acel marcaj. Apoi aceasta tranzitie aflata pe on este trecuta pe off (trecerea de pe on pe off a unei tranzitii reprezinta un eveniment). Simularea progreseaza prin referire la aceste evenimente si jurnalul raporteaza o astfel de succesiune de evenimente. Dupa petrecerea unui eveniment se ajunge la o situatie când toate tranzitiile sunt pe off, caracterizata printr-un nou marcaj. Asadar, în jurnal jetoanele se gasesc localizate numai în pozitii. 4.4.3. Alte comenzi si facilitati utilizate în efectuarea simularii În partea stânga jos a ecranului se gaseste o caseta (numerotata (6) în fig. 2.1.) ce contine un contor de evenimente Event care functioneaza în toate modurile de simulare si este resetat la zero prin apasarea butonului Reset. În cazul unor simulari de tip Run cu numar mare de evenimente, consultarea jurnalului devine anevoioasa. În aceste situatii exista un rezumat al functionarii complete, furnizând informatii de natura statistica, care, în cazul general al retelelor temporizate permite caracterizarea globala a functionarii tranzitiilor si pozitiilor. Accesul la aceste informatii es te posibil prin selectarea optiunilor Transition Indices si respectiv Place Indices din meniul Performance din bara orizontala superioara. Pentru simularea retelelor Petri netemporizate, prezinta interes numai urmatoarele informatii: Pentru tranzitii Service Sum, care contorizeaza numarul total de executari al fiecarei tranzitii din retea. Pentru pozitii Arrival Sum care contorizeaza numarul total de jetoane ce au intrat în fiecare pozitie din retea si Throughput Sum, care contorizeaza numarul total de jetoane ce au iesit din fiecare pozitie din retea. 5. Probleme propuse Problema 1 Se considera reteaua Petri având topologia din fig. 2.3. Pozitiile au capacitatile K(p 1 )=1 si K(p 2 )=1. 8
Figura 2.3. Topologia retelei Petri din Problema 1 1 Pentru marcajul initial M(p 1 )=1 si M(p 2 )=0, sa se realizeze simularea în variantele: Event si Run Slow. Animatia în varianta Run Slow se va efectua cu o întârziere de o secunda pe eveniment. Se va preciza maniera de modificare a vitezei de animatie. 2 Sa se reia punctul 1, schimbând marcajul initial în M(p 1 )=0 si M(p 2 )=1, fara a redesena topologia retelei. Se va preciza modul cum se asigneaza noul marcaj initial. 3 Pentru marcajul initial de la punctul 2, se va executa simularea în varianta event pentru 15 evenimente. Se va citi jurnalul si se va preciza secventa de executari de tranzitii care are loc pe parcusul simularii precum si marcajele prin care trece reteaua. Problema 2 Se considera reteaua Petri având topologia din fig.2.4. Pozitiile au capacitatile K(p 1 )=4, K(p 2 )=4 si K(p 3 )=4. Figura 2.4. Topologia retelei Petri utilizata în Problema 2 1 Considerând marcajul initial M(p 1 )=2, M(p 2 )=2 si M(p 3 )=0, sa se efectueze simularea în varianta Run Slow cu o întârziere 0,5s pe eveniment. Se va citi jurnalul si se vor preciza marcajele din jurnal. Sa se scrie succesiunea tuturor marcajelor prin care trece reteaua pe parcursul simularii. (Se poate apela si la suportul grafic intuitiv de deplasare a jetoanelor). 2 Se reia punctul 1, considerând marcajul initial M(p 1 )=3, M(p 2 )=1 si M(p 3 )=0. Se va preciza modul cum se asigneaza acest nou marcaj initial, fara a redesena topologia retelei. Problema 3 1 Sa se justifice faptul ca reteaua Petri din Problema 1 modeleaza un server cu doua stari I (iddle) si W (working ). 2 Sa se precizeze cum trebuie modificata reteaua astfel încât sa poata modela un server cu posibilitati de defectare, situatie în care va mai exista o stare D (down ). Se presupune ca serverul nu se poa te defecta decât în timpul lucrului. Se vor avea în vedere urmatoarele doua situatii: a) Servirea clientului aflat în lucru în momentul defectarii poate fi reluata dupa remediere. b) Servirea clientului aflat în lucru în momentul defectarii nu mai poate fi reluata. 9
3 Sa se simuleze în varianta Run Slow modelele de la punctul 2a si 2b cu o întârziere de 0.5 secunde pe eveniment în urmatoarele situatii: a) Probabilitatea defectarii serverului este egala cu a functionarii corecte; b) Probabilitatea defectarii serverului este mult mai mica decât a functionarii corecte (0.01); c) Probabilitatea defectarii serverului este mult mai mare decât a functionarii corecte (0.99). Sa se precizeze prin ce difera modelele de simulare de la subpunctele a), b) si c) ale punctului 3 (Indicatie: utilizati submeniul Modeling? Resolution for Conflicting Transitions). 4 Se reia punctul 3 fara nici o întârziere a evenimentelor (adica, la viteza de lucru a calculatorului) pentru 1000 de evenimente. Sa se precizeze în fiecare caz numarul total de clienti care au început sa fie serviti, numarul total de clienti serviti complet si numarul total de defectari ale serverului. Corelati aceste rezultate cu parametrii modelului folosit pentru simulare. Problema 4 Un sistem de fabricatie este alcatuit din doua masini M1, M2 si un brat de robot R. Orice piesa bruta este prelucrata mai întâi pe M1 si apoi pe M2. Robotul R muta o piesa care a fost prelucrata pe M1, de pe masina M1 pe masina M2. Nu exista depozite care sa preceada M1 sau M2. Încarcarea unei piese pe masina M1 si descarcarea unei piese de pe masina M2 se desfasoara automat. Pentru transportul unei piese, aceasta se fixeaza pe o paleta înainte de încarcarea pe M1 si se desprinde de pe paleta dupa descarcarea de pe M2. Paleta eliberata la descarcarea unei piese de pe M2 este recirculata automat pentru a se fixa pe ea o noua piesa. În fig. 2.5 se prezinta schematizat procesul de prelucrare al pieselor în sistemul de fabricatie. Figura 2.5. Reprezentarea schematizata a sistemului de fabricatie din Problema 4 Se presupune ca exista un numar suficient de mare de piese brute si ca M1, M2 si R functioneaza fara defectare. 1 Sa se elaboreze un model tip retea Petri pentru a studia comportarea de tip logic a sistemului de fabricatie, atunci când se folosesc x palete pentru transport. 2 Sa se simuleze, în varianta Event, functionarea sistemului de fabricatie cu o singura paleta ( x =1). Sa se descrie succesiunea de stari prin care trece sistemul. 3 Se reia punctul 2 pentru x = 4. 4 Exista un optim pentru x? Justificati. 5 De ce nu se poate vorbi despre fenomenul de blocare a lui M1 de catre R si M2 în contextul acestei probleme? 10