Trigonometrie: Trig identiteite (Graad 11)

Transcription

1 OpenStx-CNX module: m988 Trigonometrie: Trig identiteite (Grd ) Free High School Science Texts Project Bsed on Trigonometry: Trig identities (Grde ) by Free High School Science Texts Project This work is produced by OpenStx-CNX nd licensed under the Cretive Commons Attribution License.0 Trigonometriese Identiteite. Aeiding vn Wrdes vir Trigonometriese Funksies vir : 0, 45 nd 60 Hou in gedgte dt die trigonometriese funksies slegs vn toepssing is op reghoekige driehoeke. Dus kn ons wrdes ei vir trigonometriese funksies vir 0, 45 en 60. Ons sl begin met 45 omdt dit die mklikste is Neem enige reghoekige driehoek met een hoek 45. Dus omdt een hoek gelyk is n 90, moet die derde hoek ook gelyk wees n 45. Ons het dus 'n gelyksydige reghoekige driehoek soos n gedui in Figure. Figure : 'n Gelyksydige reghoekige driehoek As die twee sye gelyk is in lengte n, dn kn die h, soos volg bereken word: Version.: Jul 0, 0 7: m h + () h

2 OpenStx-CNX module: m988 Dus het ons: sin (45 ) teenoorstnde(45 ) () cos (45 ) nliggende(45 ) () tn (45 ) teenoorstnde(45 ) nliggende(45 ) (4) Ons kn iets soortgelyks probeer vir 0 en 60. Ons begin met 'n gelyksydige driehoek en hlveer een hoek soos ngedui in Figure. Dit gee ons die verlngde reghoekige driehoek met een hoek gelyk n 0 en een hoek gelyk n 60. Figure : 'n Gelyksydige driehoek met een hoek gehlveer. As die gelyke sye se lengte gelyk is n, dn is die bsis gelyk n en die lengte vn die vertikle sy v kn dn soos volg bereken word: Dus het ons: v ( ) v 4 4 sin (0 ) teenoorstnde(0 ) cos (0 ) nliggende(0 ) (5) (6) (7)

3 OpenStx-CNX module: m988 tn (0 ) teenoorstnde(0 ) nliggende(0 ) sin (60 ) teenoorstnde(60 ) cos (60 ) nliggende(60 ) (8) (9) (0) tn (60 ) teenoorstnde(60 ) nliggende(60 ) () Jy hoef nie hierdie identiteite te memoriseer nie s jy weet hoe om hulle f te lei. tip: Figure. Alterntiewe denisie vir tnθ Ons weet dt tnθ soos volg gedenieer word: tnθ teenoorstnde nliggende Dit kn soos volg geskryf word: tnθ teenoorstnde nliggende teenoorstnde nliggende Mr ons weet ook dt sinθ soos volg gedenieer word: sinθ teenoorstnde word: nliggende Drom kn ons dit soos volg skryf: () en dt soos volg gedenieer tnθ teenoorstnde nliggende sinθ sinθ () tip: tnθ kn ook soos volg gedenieer word: tnθ sinθ

4 OpenStx-CNX module: m 'n Trignometriese Identiteit Een vn die mees bruikbre resultte vn die trigonometriese funksies is dt hulle verwnt n mekr is. Ons het gesien dt tnθ geskryf kn word in terme vn sinθ en. Net so sl ons wys dt: sin θ + cos θ Ons begin deur te kyk n [U+5B5]ABC, Figure 4 Ons sien dt: sinθ AC AB BC en BC. Volgens die stelling vn Pythgors weet ons dt: AB + AC BC. Drom kn ons die volgende neerskryf: sin θ + cos θ ( AC BC AC BC ) ( + AB ) BC + AB BC AC +AB BC BC BC (volgenspythgors) (4) Exercise : Trigonometriese Identiteite A (Solution on p. 6.) Vereenvoudig deur identiteite te gebruik:. tn θ cos θ. cos θ tn θ Exercise : Trigonometriese Identiteite B (Solution on p. 6.) Bewys: sinx +sinx.. Trigonometriese identiteite. Vereenvoudig die volgende met behulp vn die bsiese trigonometriese identiteite: tnθ. b. cos θ.tn θ + tn θ.sin θ c. tn θ.sin θ d. sinθ..tnθ e. ( sin θ) f. cos θ cos θ cos θ. Bewys die volgende:. +sinθ sinθ b. sin θ + ( tnθ) ( + tnθ) tn θ c. d. (cos θ ) + (+tn θ) tn θ +tn θ tn θ

5 OpenStx-CNX module: m988 5 sinθ e. sinθ+ sinθ + sinθ+ f. ( sinθ + tnθ) sinθ

6 OpenStx-CNX module: m988 6 Solutions to Exercises in this Module Solution to Exercise (p. 4) Step. Step. Solution to Exercise (p. 4) Step. tn θ cos θ sin θ cos θ cos θ sin θ cos θ tn θ cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos θ cos θ LHS sinx sinx +sinx +sinx sin x (+sinx) cos x (+sinx) +sinx RHS (5) (6) (7)