Trigonometrie: Die trig funksies vir enige hoek en toepassings (Graad 10) *

Transcription

1 OpenStax-CNX module: m Trigonometrie: Die trig funksies vir enige hoek en toepassings Graad 10 * Free High School Science Texts Project This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License Die Trigonometriese Funksies vir Enige Hoek Tot dusver het ons die trigonometriese funksies gedenieer deur gebruik te maak van reghoekige driehoeke. Ons kan nou hierdie denisies uitbrei na alle hoeke. Ons kry dit reg deur daarop te let dat die denisies nie afhanklik is van die lengtes van die sye van die driehoek nie, maar slegs bepaal word deur die hoekgootte. So, as ons enige punt op die Cartesiese vlak merk en 'n lyn trek vanaf daardie punt na die oorsprong, kan ons werk met die hoek tussen daardie lyn en die x-as. In Figure 1 is punte P en Q gemerk. 'n Lyn is getrek vanaf die oorsprong na elk van die punte. Die stippellyne toon hoe ons reghoekige driehoeke kan konstureer vir elke punt. Nou kan ons hoeke A en B vind. Figure 1 Jy sal vind hoek A is 63, 43. Vir hoek B, moet jy eers vir x = 33, 69 bereken en dan is B = , 69 = 146, 31. Maar, gestel ons dit wil doen sonder om hierdie hoeke uit te werk en vas te stel of ons 180 grade of 90 grade moet bytel of aftrek? Kan ons trigonometriese funksies gebruik om dit te doen? Beskou punt P in Figure 1. Om die hoek te vind, sou jy een van die trigonometriese funksies gebruik het, naamlik tanθ. Let op, die sy wat aangrensend is aan die hoek, is die x-koördinaat en die sy teenoor die hoek is die y-koördinaat. Maar wat van die skuinssy? Ons kan dit vind deur die Stelling van Pythagoras te gebruik aangesien ons die twee reghoeksye van 'n reghoekige driehoek het. As ons 'n sirkel trek met die oorsprong as middelpunt, dan is die lengte vanaf die oorsprong na punt P die radius van die sirkel, wat ons aandui met r. Nou kan ons al ons trigonometriese verhoudings herskryf in terme van x, y en r. Maar hoe help dit ons om B te kry? Vanaf punt Q na die oorsprong is r en ons het die koördinate van Q. Ons gebruik nou eenvoudig ons nuut-gedenieërde trigonometriese funksies om B te bereken! Probeer dit self en bevestig dat jy dieselfde antwoord kry as vantevore. Wanneer ons anti-kloksgewys om die oorsprong beweeg, is die hoeke positief en wanneer ons kloksgewys draai in die Cartesiese vlak, is die hoeke negatief. * Version 1.1: Aug 4, :56 am

2 OpenStax-CNX module: m Ons kry dus die volgende denisies vir die trigonometriese funksies: sinθ = x r cosθ = y r 1 tanθ = y x Gestel die x-koördinaat of die y-koördinaat is negatief. Ignoreer ons dit, of is daar 'n manier om dit in berekening te bring? Die antwoord is dat ons dit nie ignoreer nie: Die teken voor die x- of y-ko ördinaat bepaal of sin, cos en tan positief of negatief is. Die Cartesiese vlak is verdeel in kwadrante en ons gebruik dan Figure 2 om vir ons aan te dui of die trigonometriese funksie positief of negatief is. Die diagram staan bekend as die CAST diagram. Figure 2 Op dieselfde wyse kan ons die denisies uitbrei na die resiprookfunksies: cosecθ = r x secθ = r y 2 cotθ = x y Exercise 1: Die Berekening van hoeke Solution on p. 7. Punt R-1;-3 en punt S3;-3 is aangedui op die diagram hieronder. Vind die hoeke α en β.

3 OpenStax-CNX module: m Figure 3 note: Let op dat in die uitgewerkte voorbeeld hierbo, hoek α eenvoudig die hoek is wat lyn OS maak met die x-as. Dus kan ons trigonometrie gebruik om te bereken watter hoek 'n lyn maak met die x- of y-as. 2 Die Oplossing van Eenvoudige Trigonometriese Vergelykings Deur te gebruik wat ons geleer het omtrent trigonometriese funksies, kan ons nou eenvoudige trigonometriese vergelykings oplos. Ons gebruik ook die beginsels van Equations and Inequalities om ons te help om trigonometriese vergelykings op te los. note: Die is belangrik om daarop te let dat 2sinθ sin 2θ. Met ander woorde, om die verhouding te verdubbel met 2 te vermenigvuldig het 'n ander betekenis as om die hoek te verdubbel.

4 OpenStax-CNX module: m Exercise 2 Solution on p. 7. Los die volgende trigonometriese vergeyking op: 3cos 2x = 2 aside: In grade 11 en 12, sal jy meer leer oor die oplos van trigonometriese vergelykings. 3 Eenvoudige Toepassings van Trigonometriese Funksies Trigonometrie is waarskynlik in antieke beskawings uitgevind om praktiese probleme, byvoorbeeld in die bou- en konstruksiebedryf, asook navigasie met behulp van sterre, op te los. In hierdie afdeling sal ons wys hoe trigonometrie gebruik kan word om 'n paar ander praktiese probleme op te los. 3.1 Hoogte en Diepte Figure 4: Bepaling van die hoogte van 'n gebou deur trigonometrie te gebruik 'n Eenvoudige taak is om die hoogte van 'n gebou te vind met behulp van trigonometrie. Ons sou net 'n maatband van die dak kon laat sak, maar dit is onprakties en gevaarlik by hoë geboue. Dit is baie meer sinvol om 'n afstand op die grond te meet en trigonometrie te gebruik om die hoogte van die gebou te vind. Figure 4 toon 'n gebou waarvan ons nie die hoogte weet nie. Ons het 100 m weg van die gebou gestap en die hoek van die grond tot by die top van die gebou gemeet. Hierdie hoek is 38, 7. Ons noem hierdie hoek die hoogtehoek. Soos jy kan sien van Figure 4, het ons nou 'n reghoekige driehoek. Omdat ons weet wat die lengte van een sy en 'n hoek is, kan ons die hoogte van die driehoek bereken, wat die hoogte van die gebou is wat ons probeer vind. As ons kyk na die guur, sien ons dat ons met die teenoorstaande en die aangrensende sy van die hoogtehoek werk en ons kan skryf: tan38, 7 = teenoorstaande = aangrensend hoogte 100 m hoogte = 100 m tan38, 7 = 80 m 4 Exercise 3: Hoogte van die toring Solution on p. 7. 'n Blok woonstelle is 100m weg van 'n selfoontoring. Iemand staan by B. Hulle meet die hoek van B na die bopunt van die toring E en dit is 62. Dit is die hoogtehoek. Dan meet hulle die hoek van B af na die basis van die toring C en dit is 34. Dit is die dieptehoek. Wat is die hoogte van die selfoontoring korrek tot 1 desimale plek?

5 OpenStax-CNX module: m Figure Kaarte en planne Kaarte en planne is gewoonlik skaaltekeninge. Dit beteken hulle is 'n presiese kopie van die regte ding, maar gewoonlik kleiner. Dus word net lengtes verander, maar al die hoeke is dieselfde. Ons kan dus hierdie idee gebruik om kaarte en planne te gebruik deur inligting van die werklike wêreld by te voeg. Exercise 4: Skaaltekeninge Solution on p. 8. 'n Skip op pad na die Kaapstadhawe bereik punt A op die kaart, reg suid van Pretoria en reg oos van Kaapstad. As die afstand vanaf Kaapstad na Pretoria 1000km is, gebruik trigonometrie om uit te vind hoe ver oos die skip van Kaapstad is, en vind op hierdie manier die skaal van die kaart. Figure 6 Exercise 5: Bouplan Solution on p. 8. Mnr Nkosi het 'n motorhuis by sy huis, en hy besluit hy wil 'n sinkdak aan die kant van sy motorhuis aanlas. Die motorhuis is 4m hoog, en die plaat vir die dak is 5m lank. As hy die dak teen 'n hoek van 5 wil hê, hoe hoog moet hy die muur, BD, wat die dak ophou, bou? Gee die antwoord tot 2 desimale plekke. Figure Toepassings van Trigonometriese Funksies 1. 'n Seun vlieg 'n vlieër en staan 30 m van 'n punt direk onder die vlieër. As die tou van die vlieër 50 m lank is, bepaal die hoogtehoek van die vlieër. Kliek hier vir die oplossing

6 OpenStax-CNX module: m Wat is die hoogtehoek van die son as 'n boom van 7,15 m hoog 'n skadu van 10,1 m lank gooi? Kliek hier vir die oplossing

7 OpenStax-CNX module: m Solutions to Exercises in this Module Solution to Exercise p. 2 Step 1. Ons het die koördinate van punte R en S en ons moet die groottes van die twee hoeke vind. Hoek β is positief en hoek α is negatief. Step 2. Ons gebruik tan om β te vind, aangesien ons slegs x en y het. Ons sien die hoek lê in die derde kwadrant, waar tan positief is. tan β = y x tan β = 3 1 β = tan 1 3 β = 71, 57 Step 3. Ons gebruik tan om α te bereken aangesien ons x en y het. Die hoek is in die vierde kwadrant, waar tan negatief is. Step 4. Hoek α is 45 en hoek β is 71, 57 Solution to Exercise p. 4 Step 1. Step 2. x = 34, 73 Solution to Exercise p. 4 tan α = y x tan α = 3 3 α = tan 1 1 α = 45 3cos 2x + 38 = 2 3 cos 2x + 38 = 1 3 2x + 38 = 107, 46 2x = 107, x = 69, 46 x = 34, 73 Step 1. Om die hoogte van 'n toring te vind, hoef ons net die lengte van CD en DE te vind. Ons sien dat [U+25B5]BDE en [U+25B5]BDC beide reghoekige driehoeke is. Vir elkeen van die driehoeke het ons 'n hoek en ons het die lengte BD. Dus kan ons die sye van die driehoeke bereken. Step 2. Dit word vir ons gegee dat die lengte van AC 100m is. CABD is 'n reghoek, dus BD = AC = 100m. tan C ^B D CD = BD CD = BD tan C ^B D = 100 tan34 Gebruik jou sakrekenaar om te vind dat tan34 = 0, Deur dit te gebruik, vind ons dat CD = 67, 45m.

8 OpenStax-CNX module: m Step 3. tan D ^B E DE = BD DE = BD tan D ^B E = 100 tan62 = 188, 07 m Step 4. Ons het die hoogte van die toring CE = CD + DE = 67, 45 m + 188, 07 m = m. Solution to Exercise p. 5 Step 1. Ons weet reeds die afstand tussen Kaapstad en A in blokke van die gegewe kaart, is 5 blokke. Dus, as ons bereken hoeveel kilometers hierdie afstand is, kan ons bereken hoeveel kilometers elke blok verteenwoordig, en dan het ons die skaal van die kaart. Step 2. Laat ons Kaapstad aandui met C en Pretoria met P. Ons kan sien dat die driehoek AP C reghoekig is. Verder sien ons AC en afstand AP is beide 5 blokke. Dit is dus 'n gelykbenige driehoek en Step 3. A ^C P = A ^P C = 45. Om die skaal uit te werk, sien ons dat CA = CP cos A ^C P = 1000 cos 45 = km 5 blokke = km 1 blok = km Solution to Exercise p. 5 Step 1. Ons sien dat die driehoek ABC 'n reghoekige driehoek is. Aangesien ons een sy en 'n hoek van die driehoek het, kan ons AC bereken. Die hoogte van die muur is die hoogte van die motorhuis minus AC. Step 2. As BC=5m, en hoek A ^B C = 5, dan AC = BC sin A ^B C = 5 sin5 = 5 0, 0871 = m Dus het ons dat die hoogte van die muurbd = 4 m m = 3.56 m.