Introducere în algebra computationala

Transcription

1 Horváth Alexandru Introducere în algebra computationala aplicatii în teoria numerelor, criptografie, singularitati EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ, R.A.

2

3 Memoriei părinţilor mei

4

5 Prefaţă Ccartea de faţă se înscrie în seria celor două volume apărute anterior la această editură sub acelaşi titlu principal: "Introducere în algebra computaţională". Diferenţa este reprezentată de subtitlul volumului, de această dată fiind alese alte trei capitole însemnate ale matematicii spre a fi subiectul unei abordări computaţionale: teoria numerelor, teoria ecuaţiilor diferenţiale şi teoria singularităţilor. Simpla enumerare a acestor trei capitole vaste ale matematicii arată că în dimensiunea restrânsă a prezentului volum nu poate fi vorba decât de o prezentare cu caracter introductiv. Cu toate acestea autorul are speranţa că modul de abordare cu accentele computaţionale aduse în prim plan, care merg până la prezentarea unor aplicaţii concrete relevante, este în măsură să confere atât o justificare a prezentării materialului sub această formă, cât şi să ofere cititorului o perspectivă modernă şi atrăgătoare. Aceste idei au o dezvoltare suficient de largă în capitolul introductiv. În cadrul acestei scurte prefeţe în conformitate cu tradiţia deja încetăţenită autorul găseşte potrivit să reia textual câteva din ideile principale din prefaţa celor două volume anterioare. Acestea exprimă punctul de vedere al autorului şi spiritul în care se abordează conţinutul volumului de faţă. Termenul "computaţional" acoperă în percepţia autorului nu atât calcul numeric, cât mai degrabă simbolizează strădania de a face efective rezultatele clasice sau noi ale întregii matematici. Cititorul este invitat a se gândi de data aceasta spre exemplu la problema calculului factorilor unui număr natural cu multe cifre, la calculul formulei funcţiei care constituie soluţia unei ecuaţii diferenţiale în opoziţie cu valorile numerice ale acestei funcţii într-un set de puncte ale domeniului său de definiţie, sau la "calculul" structurii topologice deci ale unor invarianţi asociaţi unor obiecte geometrice complicate cum sunt singularităţile izolate ale unor hipersuprafeţe complexe. Strădania de a face construcţiile ideatice ale matematicii cât mai operaţionale este favorizată cu succes de mijloacele de calcul din ce în ce mai performante de care dispunem astăzi. Aceste mijloace ne permit, pe de o 5

6 6 parte, implementarea unor algoritmi din ce în ce mai sofisticaţi, pe de altă parte, lărgesc esenţial aria experimentărilor în cercetarea fundamentală matematică. Autorul s-a străduit ca acest impact al calculelor efective să constituie o caracteristică dominantă şi a prezentului volum. Algebra computaţională reprezintă un capitol relativ nou al matematicii, dar sintagma simbolizează o direcţie de dezvoltare recentă deosebit de viguroasă a întregii matematici. În clasificarea capitolelor matematicii, promovată de AMS, Societatea de Matematică Americană, se poate constata că în recenta versiune a clasificării MSC2010 apare deja de peste 40 de ori sintagma "computaţional", în legătură cu, practic, toate capitolele majore ale matematicii, sugerând o amploare deosebită a studiului aspectelor computaţionale. Sintagma "algebră computaţională" se extinde generic, într-o oarecare măsură, asupra tuturor acestora, fapt care justifică apariţia în paginile unui aceluiaşi volum a diversităţilor de aplicaţii, aşa cum se întâmplă şi în cazul volumului de faţă. Cartea conţine, în afara unui capitol introductiv, trei capitole majore dedicate câte unui domeniu de aplicaţie a algebrei computaţionale. Primul capitol, este o incursiune în teoria computaţională a numerelor. Se prezintă mai întâi conceptele de bază conceptele de bază ale teoriei clasice ale numerelor, câteva noţiuni şi rezultate importante legate de numere prime, divizibilitate, congruenţe şi resturi pătratice. Exemplele concrete sunt calculate în mediul oferit de un sistem de calcul simbolic consacrat. Aplicaţiile relevante destul de numeroase includ teste de primalitate atât probabilistice cât şi deterministe factorizarea numerelor întregi, ecuaţii diofantice particulare, calculul logaritmului discret. Al doilea capitol se ocupă de criptografie. Criptografia studiază metode de codificare a informaţiei cu scopul de a o proteja, de a o face neinteligibilă, indescifrabilă pentru toţi cei pentru care nu i se adresează. Prezentăm în acest capitol metoda de criptare simetrică cu chei publice RSA. Ne limităm la prezentarea principiilor şi algoritmilor matematici. Implementările cocrete, standardele utilizate în practică DES, AES etc. pot fi conoscute din documentaţiile existente publice de pe internet. Aplicaţii ale metodelor de criptarea cu chei publice, sunt vitale în asigurarea securităţii înformaţei în format electronic. Al treilea capitol este dedicat unui domeniu dificil: teoria singularităţilor. Acesta se află la intersecţia unor domenii clasice şi vaste care includ geometria şi topologia algebrică, analiza complexă multidimensională, geometrie şi topologie diferenţială, pentru a aminti câteva dintre acestea. Singularităţile izolate ale hipersuprafeţelor complexe sunt descrise de spaţii topologice complicate, caracterizate de invarianţi topologici şi analitici. Aceşti invarianţi sunt reprezentaţi în grafurile de rezoluţie. Scopul acestui capitol este de a

7 7 prezenta acest subiect până la înţelegerea a câtorva calculelor efective posibile în pachetul dezvoltat special pentru acest domeniu, pachetul Singular. Capitolele şi ale acestui volum sunt relativ independente. Puntea de legătură între ele şi caracteristica generală a întegului text este prezenţa în fiecare capitol a aplicaţiilor computaţionale. Exemplele concrete sunt numeroase, ele fiind realizate în pachetele de programe care sunt dintre cele mai potrivite pentru problema respectivă. În felul acesta cititorul este invitat implicit ca în loc să se lase pradă unor prejudecăţi care se formează involuntar prin câştigarea unei dexterităţi în utilizarea confortabilă dar exhaustivă a unui mediu de programare anume, să îşi păstreze curiozitatea deschisă spre alegerea soluţiei cel mai performante pentru problema respectivă. Cartea nu conţine nici de data aceasta iniţiere în utilizarea acestor programe, documentaţiile care însoţesc aceste pachete sunt oricum accesibile de pe internet. Capitolele sunt însoţite de un număr mic de probleme propuse, care au fost compuse cu un ochi spre rezolvarea lor sprijinită de aceste programe. În încheierea acestei scurte prefeţe, voi repeta şi aici mărturisirea făcută în prefaţa primului volum: cartea de faţă nu se naşte neapărat şi exclusiv din imperativul de a comunica experienţe acumulate, ci şi din propria nevoie a autorului de a învăţa. Autorul împărtăşeşte ideea că încercarea de a-i învăţa pe alţii este o cale de aprofundare a cunoştinţelor proprii. Consider aşadar fiecare cititor al acestor pagini drept un partener, care mă însoţeşte în călătoria sper fascinantă pe care o propun prin rândurile de faţă. Autorul

8

9 Cuprins Introducere 11 1 Teoria numerelor Fundamente teoretice Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid extins Numere prime. Teorema fundamentală a aritmeticii Inelul întregilor lui Gauss Şiruri recurente. Numerele lui Fibonacci Congruenţe. Teorema chinezească a resturilor Teorema lui Fermat, Wilson, şi Euler Resturi pătratice Curbe eliptice Teste de primalitate Testul Fermat Testul Miller-Rabin Testul Agrawal-Kayal-Saxena Teste bazate pe curbe eliptice Factorizarea numerelor Metoda ρ a lui Pollard Metoda p 1 a lui Pollard Algoritmul ECM al lui Lenstra Probleme propuse Criptografie Criptare RSA Criptare ElGamal Probleme propuse Teoria singularităţilor Introducere Topologia lui (X, x)

10 10 CUPRINS Nodul lui (X, x) Clasificarea topologică a fibrărilor de drepte complexe peste suprafeţe compacte Riemanniene Preliminarii analitice Singularităţi complexe Singularităţi cât Rezoluţia singularităţilor Graful de rezoluţie Rezoluţia lui f : (X, x) (C, 0) Graful de rezoluţie scufundată al f : (X, x) (C, 0) Proprietăţile topologice ale lui Y Comentarii şi exemple Matricea de intersecţie Singularităţi ale curbelor Construcţia tubulară Fibratul de disc tubular Invarianţi topologici ai lui L X via graful de rezoluţie Exemple Graful lui (f(x, y) z n = 0, 0) Proprietăţi ale grafului de rezoluţie al lui (f(x, y) z n = 0, 0) Exemple Aplicaţii Probleme propuse Bibliografie 178 Listă de figuri 186 Glosar 189

11 Introducere Obiectele cele mai simple studiate în matematică sunt numerele naturale. Ce poate fi mai simplu decât un număr întreg? La o vârstă fragedă ne familiarizăm cu numerele întregi, aranjate frumos în sir crescător, 1, 2, 3, 4..., 1000, etc. Apoi ne obişnuim cu operaţia de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire. Împărţirea de obicei are şi rest, dar dacă numărul pe care-l împărţim a fost confecţionat în prealabil din două numere înmulţite între ele, atunci acesta poate fi împărţit şi fără rest la măcar câteva numere. Şi uite aşa apar şi primele dificultăţi: cum recunoaştem dacă un număr nu are nici un divizor (în afară de 1, şi de el însuşi bineînţeles)? Dacă numărul este mic, să zicem 23, testăm împărţirile cu numerele mai mici decât el. Dar dacă numărul este: Poate părea surprinzător dar există metode, algoritmi suficient de performanţi care pot decide şi despre acest număr. El nu are nici un divizor, este 11

12 12 Introducere cel mai mic număr prim cu 1000 de cifre. Dacă descoperim însă că un număr nu este prim, există metode care certifică acest fapt, fără a arăta concret un factor al numărului atunci poate urma problema mai grea: cum arată descompunerea numărului respectiv în factori? Poate părea din nou paradoxal, dar această problemă este mult mai grea. Iată aici spre exemplu un număr cu "doar" 92 de cifre: Ei bine, ştim precis că acest număr este compus, are divizori proprii, dar nu suntem în stare să-i aflăm pe aceştia. Problema descompunerii în factori este mult mai grea. Atât de grea încât o putem folosi paradoxal, cum şi neştiinţa poate fi utilă uneori în construirea unor "lacăte" care ascund bine informaţia pe care dorim să o protejăm, pentru a fi inteligibilă doar celui căruia i se adresează... Considerăm, că aceste puţine exemple sunt suficiente pentru a motiva continuarea studiului paginilor ce urmează.

13 Capitolul 1 Teoria numerelor Numărul este un concept fundamental în matematică. Evoluţia acestui concept coincide cu evoluţia întregii matematici: în cartea intitulată Numbers [88] autorii urmăresc evoluţia conceptului, de la număr natural la număr raţional, real, complex, apoi cuaternionii lui Hamilton, numerele Cayley, şi sunt evocate numeroase teoreme de structură, printre care teoremele lui Frobenius, Hopf şi Gelfand- Mazur. Numerele p-adice, şi numerele reale nonstandard sunt amintite şi ele, însă subiectul nu este de departe epuizat, spre exemplu nu sunt tratate numerele algebrice, sau "numerele" construite ca elemente ale corpurilor finite, care şi-au câştigat dreptul la existenţă prin numeroasele lor aplicaţii (vezi printre altele şi volumul I al prezentei introduceri [89]). În acest capitol obiectul de studiu este doar mulţimea numerelor întregi, cu structura conferită de operaţiile de adunare şi de înmulţire existentă între numere întregi. 1.1 Fundamente teoretice Î n această secţiune reamintim conceptele de bază necesare investigării proprietăţilor întregilor. Relaţia fundamentală între numerele întregi care ne interesează este relaţia de divizibilitate. Să ne reamintim că proprietăţile adunării (asociativitatea şi comutativitatea, existenţa elementului nul 0, existenţa elementului opus n pentru fiecare număr întreg n), proprietăţile înmulţirii (asociativitatea şi comutativitatea, existenţa elementului neutru 1), împreună cu distributivitatea înmulţirii faţă de adunare, fac din mulţimea numerelor întregi un inel (comutativ) notat cu Z. În acest inel doar numerele 1 şi 1 au invers, adică împărţirea necondiţionată este posibilă doar cu 13

14 14 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR aceste două numere. Prin urmare "tot" ce se întâmplă interesant în universul întregilor este legat de divizibilitate. Definiţia Fie n, m Z. Spunem că n îl divide pe m sau m este divizibil cu n, dacă există un unic p Z astfel încât np = m. Vom nota acest fapt m n sau n.m. Se observă că dacă acceptăm această definiţie, atunci 0 este divizibil cu orice număr nenul, dar nu divide nici un număr. Relaţia de divizibilitate între numere întregi are un număr de proprietăţi, care se demonstrează foarte simplu dacă ţinem cont de teorema împărţirii întregi. Teorema (Teorema împărţirii întregi). Fie a, b Z, b > 0 (să-l numim pe a deîmpărţit, iar pe b, împărţitor). Atunci există două numere întregi q, r Z, (numite cât, q respectiv rest, r) astfel ca 1. a = b q + r, 2. 0 r < b, şi aceste două numere sunt şi unice cu aceste proprietăţi. Evident, dacă restul r este nul, atunci b a, şi invers, dacă b a, atunci restul este nul. Să enumerăm acum proprietăţile relaţiei de divizibilitate între numere întregi. Proprietăţi 1. Relaţia de divizibilitate între numere întregi are următoarele proprietăţi: 1. a a pentru orice număr nenul a Z (reflexivitate) 2. dacă a b şi b a, atunci a = b sau a = b (antisimetrie, pentru numere pozitive) 3. dacă a b şi b c, atunci a c (tranzitivitate) 4. dacă 1 a şi 1 a pentru orice număr a Z 5. dacă a b şi a c, atunci a b ± c 6. dacă a b, atunci a bc pentru orice număr c Z 7. dacă a b, atunci ac bc pentru orice număr c Z

15 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 15 Dacă a b şi b a are loc simultan, atunci a şi b se numesc asociaţi prin divizibilitate. În cazul numerelor întregi, aceste numere pot diferi doar prin semn, întrucât singurele numere care divid orice alt număr sunt 1 şi 1. Din primele trei proprietăţi rezultă faptul că relaţia de divizibilitate este o relaţie de ordine între numerele întregi pozitive, compatibilă cu înmulţirea, conform cu ultima proprietate. Proprietăţile 5. şi 6. se pot interpreta astfel: numerele întregi divizibile cu un număr întreg a dat, formează un ideal în Z. Este valabilă şi afirmaţia reciprocă: orice ideal în inelul întregilor este format de toţi multiplii ai unui număr întreg dat a (pentru demonstraţie vezi spre exemplu volumul I, pp. 26, [89]). Încheiem această secţiune cu cea mai importantă definiţie legată de divizibilitatea numerelor întregi: conceptul de număr prim. Fie a şi b două numere nenule, diferite 1 şi 1. Numărul c = a b îl vom numi număr compus sau număr reductibil, iar a şi b factori (proprii) ai lui c. Să observăm că a, b c, dar c a şi c b. Să mai observăm că 1 şi 1 sunt factori ai oricărui număr, tocmai de aceea facem distincţia spunând că factorii care sunt diferiţi de aceştia şi de numărul însuşi (respectiv de opusul acestuia) sunt factori proprii. Mai clar: "descompunerea" unui număr întreg a într-un produs de genul a = ( 1) ( 1) a, o vom considera ca fiind neinteresantă, şi prin factor vom înţelege în general factor propriu. Definiţia Vom numi un număr întreg p număr prim, dacă nu este compus. Să observăm că singurii divizori ai unui număr prim p sunt ±1 şi ±p, altfel spus, un număr este prim dacă nu are factori proprii. Trebuie să mai comentăm puţin această definiţie. O definiţie nu este niciodată lipsită de conexiuni, de raportări la un anumit context mai particular sau mai general. O definiţie bună este susceptibilă întotdeauna la generalizări, ea trebuie să sugereze atât căile de generalizare, cât şi limitele valabilităţii sale. Termenul cel mai adecvat în definiţia anterioară era de indecompozabil sau ireductibil. Astfel definiţia ar fi "funcţionat" în mod natural în contexte mai generale: în speţă şi în alte inele decât inelul numerelor întregi. Practic, în inele generale proprietatea invocată în definiţie trebuie numită şi este numită ireductibilitate. În contexte mai generale, denumirea de element prim este rezervat pentru o altă proprietate, care în acest context particular de altfel coincide cu ireductibilitatea. Vom puncta mai jos la locul potrivit această distincţie încă o dată.

16 16 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid extins Dacă un număr a îl divide atât pe b cât şi pe c spunem că este un divizor comun. Relaţia de divizibilitate fiind o relaţie de ordine (pentru numere pozitive), numărul a este mai "mic" atunci decât b dar şi decât c. Este natural să ne întrebăm, dacă printre aceste numere există un "cel mai mare". Definiţia Fie a, b Z două numere întregi (nu ambele nule). Un număr d Z se va numi un cel mai mare divizor comun al celor două numere, dacă 1. d a şi d b, 2. dacă e a şi e b, atunci e d. Se observă că în formularea acestei definiţii am fost precauţi: nu am sugerat unicitatea celui mai mare divizor comun. Întradevăr, din start se observă că odată cu d şi d va verifica cele două proprietăţi, prin urmare nu există "un" singur cel mai mare divizor comun. Abaterea de la unicitate nu este însă esenţială: două numere care sunt ambii cel mai mare divizor comun pentru două numere nu diferă dacât eventual prin semn, ele sunt asociate prin divizibilitate. Să arătăm acest lucru. Fie d 1 şi d 2 ambii cel mai mare divizor comun pentru a şi b. Atunci respectiv d 1 a, şi d 1 b, d 2 a, şi d 2 b. Pentru d 1 considerându-l pe d 2 în postura lui e, avem d 2 d 1. Reciproc, pentru d 2 considerându-l pe d 1 în postura lui e, avem şi d 1 d 2. În consecinţă, conform punctului 2 din lista de proprietăţi 1 de la pagina 14, d 1 şi d 2 nu diferă, dacât eventual prin semn. Prin urmare cel mai mare divizor comun a două numere întregi dacă există este şi unic, abstracţie făcând de semn. În ceea ce priveşte existenţa, putem raţiona în felul următor. Numărul 1 este divizor comun pentru cele două numere a şi b, oricare ar fi ele. Prin urmare mulţimea divizorilor comuni nu este vidă. Proprietatea a doua din definiţia

17 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 17 celui mai mare divizor comun dispune deci de obiecte la care se referă. Dacă nici un număr diferit de 1 şi 1 nu verifică proprietatea 2 din definiţie, atunci numărul 1 o verifică, deci un cel mai mare divizor comun există oricum. În treacăt fie spus, nici un divizor comun nu poate avea valoare absolută mai mare decât valoarea absolută a lui a şi a lui b, prin urmare mulţimea divizorilor comuni este o mulţime finită. Aspectul acesta însă nu joacă nici un rol aici. Raţionamentul de mai sus privind existenţa celui mai mare divizor comun pentru două numere întregi date, este unul tipic neconstructivist. Un raţionament constructivist care se materializează şi printr-un algoritm de calcul este cel numit algoritmul lui Euclid. Să prezentăm acest algoritm pentru două numere pozitive, nenule, direct în varianta sa extinsă. Fie a, b N, două numere întregi pozitive, nenule, a > b. Cel mai mare divizor comun al lor pozitiv d se notează d = (a, b). Să observăm mai întâi, că din proprietăţile divizibilităţii 1 de la pagina 14 avem: d = (a, b) d = (a b, b). Întradevăr, dacă notăm d 1 = (a, b) şi d 2 = (a b, b), avem d 1 a, d 1 b deci d 1 a b, prin urmare d 1 d 2. Reciproc, dacă d 2 = (a b, b) atunci d 2 a, d 2 b deci d 2 (a b) + b, adică d 2 a, prin urmare d 2 d 1. Aşadar d 1 şi d 2 sunt asociaţi prin divizibilitate, şi fiind pozitivi, coincid, d 1 = d 2, deci (a, b) = (a b, b). (1.1) Fie acum q şi r, restul şi câtul împărţirii lui a la b, daţi de teorema împărţirii întregi de la pagina 14. Aplicând repetat relaţia 1.1, deducem unde (a, b) = (a b, b) = (a 2b, b) =... = (a qb, b) = (r, b) = (b, r), (1.2) a > b > r. (1.3) Repetând împărţirea pentru perechea (b, r), b > r, obţinem un rest nou r 1 mai mic, şi deci prin iterarea acestui pas, cel mai mare divizor comun a celor două numere de la început a şi b este exprimat cu ajutorul celui mai mare divizor comun a două numere, din ce în ce mai mici. Aceştia formează un şir strict descrescător de numere a > b > r > r 3 > r 4 >... (1.4) şi avem şi "perpetuarea" celui mai mare divizor comun (a, b) = (b, r) = (r, r 3 ) = (r 3, r 4 ) =... = (r k, r k+1 ) =... (1.5)

18 18 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Acest şir nu poate fi infinit, la un anumit pas vom obţine rest 0, să spunem r n+1 = 0. Să observăm acum că dacă a > 0, atunci (a, 0) = a (evident), deci ultimul rest nenul, r n > 0 este şi cel mai mare divizor comun al celor două numere a şi b. Aşadar (a, b) =... = (r n, r n+1 ) = (r n, 0) = r n = d. (1.6) Acesta este algoritmul lui Euclid. Varianta extinsă a acestui algoritm calculează mai mult: calculează şi două numere întregi x şi y, cu ajutorul cărora cel mai mare divizor comun se exprimă ca o combinaţie liniară a celor două numere date, mai precis d = a x + b y. (1.7) Iată cum funcţionează aceasta. Fie deci a şi b două numere întregi pozitive, nenule, şi să presupunem ca mai înainte a > b. a = b q 2 + r 2 b = r 2 q 3 + r 3 r 2 = r 3 q 4 + r 4... r k 2 = r k 1 q k + r k (1.8) r k 1 = r k q k+1 + r k+1 r k = r k+1 q k+2 + r k+2... r n 1 = r n q n În paralel avem exprimările succesive ale resturilor, obţinute din aceste relaţii pe rând, din prima, a doua etc. r 2 = a b q 2 ( a) r 3 = b r 2 q 3 r 4 = r 2 r 3 q 4... r k = r k 2 r k 1 q k r k+1 = r k 1 r k q k+1 r k+2 = r k r k+1 q k+2... r n = r n 2 r n 1 q n 0 = r n 1 r n q n+1, ( ) (1.9)

19 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 19 sau r 2 = a x 2 + b y 2 ( b) r 3 = a x 3 + b y 3... r k = a x k + b y k r k+1 = a x k+1 + b y k+1 (1.10) r k+2 = a x k+2 + b y k+2... r n = a x n + b y n. Prin înlocuirea lui r k, r k+1, r k+2 în relaţia marcată cu (*) şi identifcarea coeficienţilor lui a şi b se citesc din aceste relaţii următoarele relaţii de recurenţă x k+2 = x k q k+1 x k+1 y k+2 = y k y k+1 y k+1, (1.11) care apoi se verifică simplu prin inducţie. Pentru a desăvârşi partea formală, notaţiile se impun, ele realizează simetria perfectă a relaţiilor a = r 0 b = r 1 (1.12) r = r 2 r k = r k+1 q k+2 + r k+2 (1.13) valabile acum pentru k = 0, 1, 2,..., n, adică încă doi indici. În ceea ce priveşte "iniţializarea" valorilor lui x k şi y k, avem din prima relaţie x 2 = 1 y 2 = q 2 (1.14) Pentru a avea o "iniţializare" cât mai simplă facem un "pas inapoi" prin care se "codifică" prin b = a 0 + b (1.15) r 1 = r 0 q 1 + r 1 (1.16)

20 20 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR unde evident r 1 = b şi q 1 = 0, de unde obţinem o extindere a valorilor lui x k şi y k, pentru k = 1, şi anume x 1 = 0 y 1 = 1. (1.17) Astfel recurenţele 1.11 pot fi lansate cu 1.17 şi Toate acestea pot fi adunate într-un tabel de genul următor. k a b q r x y r = ax + by 1 b a 0 b 0 1 b = a 0 + b 1 2 a b q r 1 q r = a 1 b q k r k 2 r k 1 q k r k x k y k r k = a x k + b y k r k 1 r k q k+1 r k+1 x k+1 y k+1 r k+1 = a x k+1 + b y k+1 r k r k+1 q k+2 r k+2 x k+2 y k+2 r k+2 = a x k+2 + b y k n r n 2 r n 1 q n r n = d x n = x y n = y d = a x + b y r n 1 r n q n+1 0 Aici avem q k şi r k câtul respectiv restul împărţirii luir k 2 la r k 1, şi x k = x k 2 q k 1 x k 1 y k = y k 2 y k 1 y k 1, (1.18) cu "iniţializările" citite din primele două linii ale acestui tabel. Se cuvine să dăm şi un exemplu concret pentru a clarifica până la capăt algoritmul. Fie a = 491 şi b = 149. Iată tabelul completat: k a b q r x y r = ax + by = = ( 3) = 491 ( 3) = ( 23) = 491 ( 10) = ( 56) = 491 ( 44) În concluzie (491, 149) = ( 44) = 1

21 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 21 Evident, toate acestea se regăsesc în formă implementată în pachete de calcul numeric şi simbolic. Vom alege de data aceasta pentru exemplificare pachetul comercial Mathematica al firmei Wolfram Research. Iată instrucţiunea care se tastează într-un fişier de tip notebook (file.nb). ExtendedGCD[491, 149] Evaluarea are ca rezultat: {1, { 44, 145}} adică cel mai mare divizor comun este 1, iar valorile lui x şi y sunt 44 respectiv 145 (nici o surpriză). Prin urmare verificarea cerută prin program 491*(-44) + 149*145 == 1 va afişa T rue Iată şi un exemplu mai sălbatic, pentru a ilustra capabilităţile Mathematica. a = 2^ ^200; b = 5^500; {d, {x, y}} = ExtendedGCD[a, b]; d x y a*x + b*y == d De data aceasta cel mai mare divizor comun d, valoarea lui x şi y sunt (verificare întoarce bineînţeles valoarea True) ,

22 22 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Algoritmul lui Euclid ne asigură existenţa celui mai mare divizor comun a oricărei perechi de numere întregi nenule. El furnizează şi un procedeu efectiv de calcul (eficient) al celui mai mare divizor comun. Definiţia Fie a şi b două numere întregi. Dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1, atunci numerele se numesc relativ prime. Propoziţia Două numere întregi a şi b sunt relativ prime dacă şi numai dacă există numerele întregi x, y astfel ca ax + by = 1. (1.19) Demonstraţie. Algoritmul lui Euclid extins ne asigură pentru două numere relativ prime exprimarea celui mai mare divizor comun al lor, adică al lui 1, sub forma ax + by = 1. Invers, să presupunem că pentru numerele a şi b avem o exprimare a lui 1 de forma ax + by = 1. Atunci orice divizor comun d al lui a şi b este un divizor şi a lui 1, deci este 1. Prin urmare singurul divizor comun, deci şi cel mai mare, este 1, adică (a, b) = 1. (1.20) Numere prime. Teorema fundamentală a aritmeticii Ce este un număr prim, a fost definit deja în pe pagina 15. Spuneam că studiul numerelor prime ocupă un loc central în teoria numerelor. Ele sunt "cărămizile" din care sunt construite toate celelalte numere: fiecare număr este un produs de numere prime, şi această reprezentare a numerelor este şi unică pentru fiecare număr, dacă facem abstracţie de ordinea factorilor acesta este conţinutul teoremei fundamentale a aritmeticii. Să analizăm puţin mai îndeaproape aceste fapte. Numerele întregi le considerăm în cele ce urmează pozitive, fără a pierde din generalitatea raţionamentelor pe care le vom face. Mai întâi să observăm că orice număr este sau prim, sau are un divizor propriu prim. Întradevăr, dacă numărul nu este prim, el este compus, deci produs de două numere mai mici divizori proprii ale sale. Dacă unul din acesta este prim, am terminat raţionamentul. Dacă nici unul nu e prim, continuăm descompunerea unuia dintre factori: el este un produs de două numere mai mici. Ambii aceşti divizori sunt şi divizori ai numărului dat. Dacă unul dintre aceştia este prim, am terminat. Dacă nici unul nu este... continuând astfel construim un şir de divizori proprii stric descrescător al numărului dat. Acest şir nu poate fi infinit. Ultimul termen al lui este un divizor propriu indecompozabil, deci prim al numărului dat. Să reamintim un fapt important demonstrat deja în cărţile lui Euclid.

23 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 23 Teorema Mulţimea numerelor prime este infinită. Demonstraţie. Numărul 2 este prim, neavând alţi divizori în afară de 1 şi el însuşi. Numărul 3 este prim, din acelaşi motiv. Numărul 4 nu este prim, el se descompune în produsul 4 = 2 2. Numărul 5 este deasemenea prim. Dacă avem un număr finit de numere prime, să spunem atunci numărul p 1, p 2,..., p k (1.21) N = p 1 p 2 p k + 1 (1.22) este sau prim, sau are un divizor prim. Dacă este prim, e clar că nu figurează în lista Dacă este compus, atunci divizorul său prim este un număr prim care nu figurează în lista 1.21, deoarece numerele prime din listă nu-l divid pe N (restul împărţirii lui N cu oricare din ele este 1). În ambele cazuri avem încă un număr prim cu care putem alungi lista numerelor prime considerate. Lista numerelor prime este aşadar infinită. Să considerăm un număr întreg pozitiv nenul şi diferit de 1. Să ne reamintim că numărul 1 este neutru la înmulţire, el poate fi considerat factor al oricărui număr, prin urmare este neinteresant din punctul de vedere al proprietăţilor de divizibilitate a numerelor întregi. Dacă numărul considerat este prim, deci indecompozabil, atunci evident el constituie şi unicul mod de a-l scrie ca un produs de numere indecompozabile. Aprioric însă trebuie să ne punem problema că dacă un număr apare ca un produs de mai multe numere indecompozabile atunci această exprimare a numărului este unică sau nu (evident nu facem distincţie între două descompuneri în care aceiaşi factori figurează în altă ordine). Întrebarea este justificată nu doar datorită problemei analoage pentru adunare unde evident descompunerea nu este unică, 8 = = =... ci şi de faptul că există mulţimi de numere în care descompunerea în factori ireductibili nu este unică! Pentru a nu incita curiozitatea cititorului amintim fără demonstraţie faptul că în inelul numerelor de forma a+bi 5, unde a şi b sunt numere întregi, inel care se notează Z[i 5], avem două descompuneri esenţial diferite în factori ireductibili ai numărului 6, 6 = 2 3 = (1 + i 5) (1 i 5). (1.23)

24 24 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Aceste două descompuneri sunt esenţial diferite, deoarece factorii unei descompuneri nu sunt asociaţi în divizibilitate cu factorii celelilalte descompuneri, cu alte cuvinte, factorii uneia din descompuneri diferă de factorii celeilate descompuneri altfel decât prin "unităţi". Unităţile, aşa cum am mai menţionat sunt factori inversabili, corespondenţi ai lui ±1 din inelul întregilor. În treacăt fie spus elementele inversabile ale acestui inel sunt tot numai numerele ±1 = ±1 + 0i 5. Detaliile acestei demonstraţii nu le amintim aici, dar menţionăm că elementele acestui inel nu pot fi ordonate liniar spre deosebire de numerele întregi, în schimb o "măsură" a mărimii lor poate fi definită de funcţia φ(a + bi 5) = a 2 + 5b 2, (1.24) funcţie care îşi descreşte strict valoarea pentru divizorii proprii ai numărului a + bi 5. Cu ajutorul acestei funcţii se demonstrează că factorii lui 6 din cele două descompuneri, numerele 2, 3, 1+i 5, 1 i 5 sunt toţi patru ireductibili. Iată şi un exemplu în care diferă chiar şi numărul factorilor ireductibili în două descompuneri ale aceluiaşi număr. În inelul Z[i 29] al numerelor de forma a + bi 29, unde a şi b sunt numere întregi, numărul 30 se descompune astfel: 30 = = (1 + i 29) (1 i 29). (1.25) Toţi factorii sunt ireductibili, şi diferă până şi numărul acestora în cele două descompuneri. În inelul întregilor are loc proprietatea exprimată în următoarea propoziţie. Propoziţia Fie p Z un număr întreg nenul, diferit de ±1. Următoarele două afirmaţii sunt echivalente: 1. p este ireductibil, 2. dacă p ab, atunci p a sau p b, deci dacă p divide un produs, atunci divide unul din factorii acestuia. Demonstraţie. Fie p un întreg ireductibil. Să presupunem că p ab, dar p a. Cel mai mare divizor comun al numerelor p şi a este divizor al lui p deci este ori 1 ori p însuşi. Deoarece p a, rezultă că (p, a) = 1. Algoritmul lui Euclid extins ne asigură existenţa a două numere x, y Z astfel ca 1 = px + ay. (1.26)

25 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 25 De aici obţinem b = pbx + aby. (1.27) Ambii termeni ai acestei sume sunt divizibili cu p, deci şi suma, adică b este divizibil cu p, ceea ce demonstrează afirmaţia 2. Reciproc, să presupunem că are loc proprietatea 2 din propoziţie. Aplicând de mai multe ori această proprietate, va rezulta că p divide un factor ireductibil q al său, prin urmare este asociat în divizibilitate cu un număr ireductibil, p q, q p. Rezultă că p este ireductibil. Observaţiile În general, în inele care sunt domenii de integritate (fără divizori ai lui 0) are loc doar implicaţia: dacă un element este prim, atunci este ireductibil. Întradevăr, fie p un element prim, şi să presupunem că el se descompune în p = ab. Atunci avem p a sau p b, şi schimbând la nevoie notaţia putem presupune p a. Atunci avem a = pc, deci ab = pcb sau p = pcb. Aceasta se mai scrie 0 = pcb p = p(cb 1), şi inelul neavând divizori ai lui 0, unul din factori este 0, anume cb 1 = 0. Aşadar bc = 1, deci b este inversabil, prin urmare p nu are descompuneri în care ambii factori să fie neinversabili, deci p este ireductibil. Se vede deci că în contraexemplele de mai sus numerele ireductibile nu sunt şi prime. Proprietatea a doua din propoziţia precedentă serveşte de fapt la definiţia elementului prim al unui inel (integru, adică fără divizori ai lui 0). Conform propoziţiei, un număr întreg este indecompozabil exact atunci când este prim, aşadar pentru numere întregi distincţia între elemente ireductibile şi prime nu poate fi făcută. Acesta era motivul pentru care am definit numerele prime direct ca numere indecompozabile. În general însă distincţia trebuie făcută. Unicitatea descompunerii în factori ireductibili este asigurată tocmai în inelele în care are loc echivalenţa celor două proprietăţi din propoziţia precedentă.

26 26 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Să mai facem o observaţie simplă cu caracter technic. Observaţia Fie p un număr prim. Dacă p a 1, a 2,..., a k, atunci (p, a 1 a 2 a k ) = 1, adică dacă un număr prim nu divide nici unul din factorii unui produs, atunci este relativ prim cu produsul. Întradevăr, dacă am avea (p, a 1 a 2 a k ) = d 1, atunci deoarece d p, ar rezulta d = p. Acum deoarece p este prim şi divide un produs, rezultă că divide unul din factori, în contradicţie cu ipoteza. Aşadar p este relativ prim cu produsul numerelor. Putem enunţa acum şi teorema fundamentală a aritmeticii. Teorema (Teorema fundamentală a aritmeticii). Orice număr întreg n se descompune unic, abstracţie făcând de ordinea factorilor într-un produs de numere prime, deci unde p i sunt numere prime. Dacă n = ±p 1 p 2 p k, (1.28) unde p i şi q j sunt numere prime, atunci şi după o eventuală renumerotare n = p 1 p 2 p k = q 1 q 2 q l, (1.29) k = l p i = q i, pentru orice i = 1, 2,..., k. Demonstraţie. Mai întâi se observă că putem presupune toate numerele pozitive, dacă numărul dat n este negativ, vom analiza n, fără a pierde din generalitate. Existenţa descompunerii a fost deja discutată: dacă n este prim nu mai avem nimic de analizat. Dacă n este compus, el are un divizor prim p 1, şi n = p 1 n 1. Continuând cu n 1, până la urmă într-un număr finit de paşi avem o descompunere a lui n ca un produs de numere prime, n = p 1 p 2 p k. Să arătăm unicitatea acestei descompuneri. Fie n = p 1 p 2 p k = q 1 q 2 q l, (1.30)

27 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 27 două descompuneri ale lui n în factori primi. Conform observaţiei de mai înainte, dacă p 1 nu ar divide nici unul din numerele q 1, q 2,..., q l, atunci ar fi relativ prim cu produsul lor, adică cu n, ceea ce nu se poate, întrucât p 1 n. Prin urmare p 1 divide unul dintre aceste numere, şi după a eventuală renumerotare a acestora, putem spune că p 1 q 1. Dar q 1 fiind şi el prim, rezultă p 1 = q 1, şi se continuă analiza cu n 1 = p 2 p 3 p k = q 2 q 3 q l, deoarece egalitatea 1.30 se poate simplifica cu p 1. După k paşi avem 1 = q k+1 q k+2 q l, (1.31) ceea ce nu este posibil decât dacă l = k. Astfel am demonstrat şi unicitatea descompunerii în factori primi. Menţionăm, că un inel fără divizori ai lui 0, în care orice element se descompune unic în elemente ireductibile se numeşte inel factorial. Inelul întregilor este deci inel factorial. Inelele de numere Z[i 5] şi Z[i 29] nu sunt inele factoriale. Printre rânduri din cele de mai sus se poate citi faptul că un inel este factorial exact atunci când orice element se descompune în produs de factori ireductibili şi orice element ireductibil este prim (primalitatea elementelor ireductibile asigură unicitatea descompunerii în elemente ireductibile). Se vede prin urmare şi faptul că un inel este factorial exact atunci, când orice element se descompune într-un produs de elemente prime. În ceea ce priveşte algoritmul lui Euclid, într-un inel A fără divizori ai lui 0, aşa cum am sugerat deja, existenţa celui mai mare divizor comun se poate asigura cu ajutorul unei ipoteze care imită teorema împărţirii întregi, unde "micşorarea" restului este măsurat de o funcţie cu valori numere naturale. Astfel de inele se numesc inele Euclidiene, şi în aceste inele există cel mai mare divizor comun pentru orice pereche de elemente nenule, iar algoritmul lui Euclid se poate reformula în acest context mai general pentru a-l calcula. Se cuvine în acest moment să vedem ca şi un prim aspect global cum se descurcă calculatoarele cu factorizarea numerelor întregi. Apelăm tot la pachetul Mathematica. Comenzile:

28 28 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR FactorInteger[10^26+1] FactorInteger[10^90+1] ne dau rezultatele într-o clipă: {{101, 1}, {521, 1}, { , 1}} {{61, 1}, {101, 1}, {181, 1}, {3541, 1}, {9901, 1}, {27961, 1}, { , 1}, { , 1}, { , 1}, { , 1}, { , 1}} altfel spus, respectiv = (1.32) = (1.33) În schimb, nu este idee bună în acest an (2012) încercarea factorizării lui Inelul întregilor lui Gauss Limitele pe care ni le-am impus în acest text cu caracter introductiv nu ne permit să părăsim universul strict al numerelor întregi. Totuşi viaţa nu cunoaşte aceste limite, şi se întâmplă des în matematică faptul că un context mai general permite descoperirea unor fapte care apoi au reflexii concrete nemijlocite în contextul mai particular, adică permit formularea unor rezultate care în limitele stricte ale acelui context nu ar putea fi atinse şi explicate. O ilustrare a acestei situaţii este posibilă printr-o scurtă incursiune în universul întregilor lui Gauss. Definiţia Mulţimea Z[i] = {a + bi a, b Z} se numeşte mulţimea întregilor lui Gauss.

29 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 29 Este uşor de văzut că această mulţime de numere complexe formează un inel. Ne propunem să vedem cum arată numerele prime ale acestui inel de numere, respectiv să vedem dacă acest inel este factorial, deci să vedem cum se descompun întregii lui Gauss în produs având factori ireductibili şi care sunt numerele prime în acest inel. Pentru aceasta definim funcţia φ : Z[i] N, φ(a + bi) = a 2 + b 2. (1.34) Avem deci φ(z) = zz, pentru orice z = a + bi Z[i], de unde se vede faptul că φ este o funcţie multiplicativă: φ((a + bi)(c + di)) = φ(a + bi)φ(c + di). (1.35) Întradevăr, dacă notăm w = c + di, avem φ(z w) = zw zw = zzww = φ(z)φ(w). Mai direct, proprietatea se bazează pe identitatea lui Lagrange, anume (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ). Dacă un întreg z = a + bi al lui Gauss este inversabil, zw = 1, atunci φ(z)φ(w) = φ(zw) = φ(1) = 1, prin urmare φ(z) = 1, (1.36) adică 1.36 este condiţie necesară pentru inversabilitatea lui z. Mai în detaliu această condiţie înseamnă a 2 + b 2 = 1, ceea ce înseamnă că poate fi vorba doar de patru perechi de valori pentru numerele întregi (a, b): (1, 0), ( 1, 0), (0, 1), (0, 1).

30 30 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Corespunzător, avem patru numere, z = 1, 1, i, i, toate patru fiind inversabile: 1 1 = 1, 1 i = i, 1 = i. (1.37) i Ca o primă observaţie să notăm faptul că orice întreg a Z fiind şi un întreg al lui Gauss, a = a+0i Z[i], orice descompunere în factori în Z este şi o descompunere în Z[i]. În inelul întregilor lui Gauss însă se întâmplă şi alte descompuneri, imposibile în Z, spre exemplu 5 = (2 + i)(2 i) = (1 + 2i)(1 2i), (1.38) şi nici unul din factorii acestor descompuneri nu este unitate. Pe de altă parte factorii acestor descompuneri sunt ireductibili, ceea ce se vede imediat, dacă ne gândim la "măsurarea" acestora cu funcţia φ: dacă un factor w ar fi reductibil, factorii acestuia ar furniza o descompunere a numărului întreg φ(w) în factori proprii. Dar φ(2 + i) = φ(2 i) = φ(1 + 2i) = φ(1 2i) = 5, (1.39) iar 5 este număr întreg prim, nu are factori proprii. În fine, să ne grăbim să îndepărtăm şi posibila iluzie că am avea de a face cu două descompuneri diferite. În realitate factorii celor două descompuneri nu diferă esenţial, ele diferă doar printr-un factor inversabil, deci sunt asociaţi prin divizibilitate. Mai precis 2 + i = i (1 2i) şi 2 i = i (1 + 2i). (1.40) Faptul că orice element are o descompunere în factori ireductibili se cuvine să arătăm în contextul puţin mai general, deoarece mecanismul care asigură această proprietate a fost deja practic dezvăluit. Considerăm un inel A domeniu de integritate (i.e. fără divizori ai lui 0) şi o funcţie φ : A N, (1.41) care are proprietatea că dacă a, b A, şi a b astfel ca a este divizor propriu al lui b, atunci φ(a) < φ(b). (1.42)

31 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 31 Propoziţia Fie A un inel, şi funcţia φ definită ca în 1.41 şi Atunci orice element a A are o descompunere în elemente ireductibile. Demonstraţie. Dacă elementul a este ireductibil suntem gata. Dacă se descompune într-un produs atunci avem şi a = a 1 a 2, (1.43) φ(a) = φ(a 1 ) φ(a 2 ). (1.44) Continuând analiza factorilor, aceştia sunt ori ireductibili, ori se descompun, şi odată cu ei şi valoarea funcţiei φ. Valorile acestei funcţii sunt însă numere naturale nenule, divizori ai lui φ(a). Prin urmare numărul factorilor reductibili poate fi doar un număr finit. Enunţăm pentru moment fără demonstraţie două proprietăţi ale inelului întregilor lui Gauss. Propoziţia Inelul întregilor lui Gauss este inel factorial. Propoziţia În inelul întregilor lui Gauss elementele ireductibile deci elementele prime sunt: 1 + i numerele prime de forma 4k + 3, cei doi divizori existenţi din Z[i] ai numerelor prime de forma 4k + 1. În legătură cu întregii lui Gauss se cuvine să amintim un rezultat al lui Euler, cu câteva comentarii de interes local. Teorema (Fermat,Euler). Un număr prim p impar este sumă de pătrate dacă şi numai dacă este de forma 4k + 1. Demonstraţie. Partea uşoară este faptul că dacă p este impar şi sumă de pătrate, atunci este de forma 4k + 1. Întradevăr, dacă p este impar şi p = a 2 + b 2, atunci exact unul dintre numerele a şi b este par iar celălalt este impar. Atunci evident p are forma 4k + 1. Invers, să presupunem că numărul prim p este de forma 4k + 1. Atunci conform propoziţiei anterioare în care sunt descrise elementele ireductibile ale

32 32 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR întregilor lui Gauss, rezultă că în acest inel p se descompune în exact doi factori ireductibili, deci Atunci avem p = p 1 p 2, unde p 1, p 2 Z[i]. p 2 = φ(p) = φ(p 1 ) φ(p 2 ), şi cum nici unul din cei doi factori nu este inversabil (unitate), valorile numerelor întregi φ(p 1 ), φ(p 2 ) nu este 1. Prin urmare Acum dacă îl scriem pe atunci va rezulta φ(p 1 ) = φ(p 2 ) = p. p 1 = a + bi, unde a, b Z, p = a 2 + b 2, conform definiţiei funcţiei φ pentru întregii lui Gauss. Câteva comentarii merită făcute pe marginea acestei teoreme. Se pare că teorema a fost formulată pentru prima oară de A. Girard, dar istoria matematicii pomeneşte cel mai frecvent sub numele lui Fermat, întrucât el o comunicase în 1640 într-o scrisoare scrisă lui Mersenne. Euler dăduse o demonstraţie în 1754 cei drept lungă de 55 de pagini aşa cum reiese dintr-o scrisoare a lui Farkas Bolyai din 1854 către fiul său János Bolyai, în care îl şi invită să încerce o scurtare a demonstraţiei. János în scrisoarea de răspuns trimite patru (!) demonstraţii scurte, acre se întind pe numai două pagini. Aceste demonstraţii folosesc teoria întregilor lui Gauss (cum ne exprimăm noi astăzi), dezvoltată de János Bolyai independent de Gauss ([91]). Cea mai scurtă demonstraţie a acestei teoreme are... o singură frază. Este datorată lui D. Zagier, şi a apărut în The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p O reproduc aici: Afirmaţia Involuţia definită pe mulţimea finită S = {(x, y, z) N 3 x 2 + 4yz = p} prin (x + 2z, z, y x z), dacă x < y z (x, y, z) (2y x, y, x y + z), dacă y z < x < 2y (x 2y, x y + z, y), dacă x > 2y are exact un singur punct fix, deci S este impar şi involuţia definită de (x, y, z) (x, z, y) are de asemenea un punct fix.

33 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 33 Toate acestea evident se regăsesc printre facilităţile oferite de Mathematica. Iată comenzile respective. Descompunerea în factori primi ai lui 2, se face cu ajutorul comenzii: FactorInteger[2, GaussianIntegers -> True] Rezultatul este cel aştepta: {{-I, 1}, {1 + I, 2}} adică 2 = i (1 + i) 2. Prin urmare, făcând abstracţie de un factor inversabil ( i), numărul 2 este un pătrat perfect, este pătratul numărului 1 + i, prim în inelul întregilor lui Gauss. Putem investiga primalitatea cu ajutorul unei comenzi, apoi doar în cazul în care numărul nu este prim să cerem descompunerea lui. PrimeQ[101] PrimeQ[101, GaussianIntegers -> True] FactorInteger[101, GaussianIntegers -> True] Obţinem True False {{-I, 1}, { I, 1}, {10 + I, 1}} adică 101 este prim ca număr întreg, dar se descompune în doi factori primi ca întreg al lui Gauss. 101 = i (1 + 10i) (10 + i). Iată şi descompunerea exemplelor anterioare mai mari. FactorInteger[10^26 + 1, GaussianIntegers -> True] FactorInteger[10^90 + 1, GaussianIntegers -> True] Cu rezultatele: {{I, 1}, { I, 1},{10 + I, 1},{ I, 1}, { I,1}, { I,1},{ I,1}}

34 34 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR {{I, 1}, { I, 1}, {5 + 6 I, 1}, {6 + 5 I, 1}, { I,1}, {10 + I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I,1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I, 1}, { I,1},{ I,1}, { I,1},{ I,1}} Întâmplător, toţi factorii primi au fost de tipul 4k + 1, prin urmare toţi se descompun în inelul întregilor lui Gauss în câte două numere prime complex conjugate = i (1 + 10i) (10 + i) ( i) ( i) ( i) ( i) (1.45) = i (1 + 10i) (5 + 6i) (6 + 5i) (9 + 10i) (10 + i) (10 + 9i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) (1.46) Şiruri recurente. Numerele lui Fibonacci Şirurile definite de relaţii de recurenţă joacă un rol important în evaluarea performanţei algoritmilor. În situaţia tipică în care avem un algoritm definit recursiv, cu dimensiunea datelor de intrare n, evaluarea numărului de operaţii făcut de algoritm conduce la o formulă definită prin intermediul unei relaţii de recurenţă. Să amintim aici cele mai importante şiruri definite de relaţii de recurenţă. Definiţia (Progresia aritmetică şi geometrică). Cele mai des întâlnite şiruri numerice sunt: Şirul definit de relaţia a n+1 = a n + r, a 1 = a se numeşte progresie aritmetică. Termenul general are formula a n = a + (n 1) r.

35 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 35 Suma primilor n termeni S n = a 1 + a a n = n a + r n(n 1). 2 Şirul definit de relaţia a n+1 = a n r, a 1 = a se numeşte progresie geometrică. Termenul general are formula Suma primilor n termeni (r 1) a n = a r n 1. S n = a 1 + a a n = a rn 1 r 1. Analizând algoritmului lui Euclid în cazul cel mai defavorabil se observă că numărul cel mai mare de operaţii se face atunci când fiecare împărţire are câtul cel mai mic posibil, adică 1. Atunci împărţirea întreagă este de fapt o scădere: a = b 1+r, adică r = a b. În acest caz particular a şi b, deîmpărţitul şi împărţitorul vor forma termenii consecutivi ai şirului definit recurent prin relaţia a n+1 = a n + a n 1. Definiţia (Şirul lui Fibonacci). Şirul definit de relaţia de recurenţă a n+1 = a n + a n 1, şi "iniţializarea" a 0 = a 1 = 1 se numeşte şirul lui Fibonacci. Relaţia de recurenţă este o relaţie liniară, cu coeficienţi constanţi. Tipic o astfel de relaţie admite soluţii de tip progresie geometrică, raţia r a acesteia este rădăcină a polinomului caracteristic λ 2 = λ + 1. Cele două progresii geoemtrice care rezultă vor avea deci raţia λ 1 = respectiv λ 1 = În treacăt fie spus, λ 1 este celebrul raport de aur, care se regăseşte în numeroase construcţii naturale şi artificiale constituind un reper numeric pentru exprimarea armoniei în artă şi arhitectură. Literatura legată de raportul de aur este imensă, astfel ca putem să ne permitem să facem doar o trimitere generală la aceasta pentru alte detalii.

36 36 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Termenul general al şirului lui Fibonacci se deduce observând că şirurile care verifică o relaţie de recurenţă liniară cu coeficienţi constanţi formează un spaţiu vectorial de dimensiune egală cu gradul polinomului caracteristic, în cazul nostru 2, în care progresiile având raţia dată de aceste rădăcini formează o bază. Identificând coeficienţii unei combinaţii liniare ale acestor progresii cu ajutorul condiţiilor iniţiale date se obţine formula generală a termenului general căutat. În cazul şirului lui Fibonacci se obţine a n = λn 1 λn 2 λ 1 λ 2, sau mai explicit a n = ( ) n ( ) n = ) n 5, (1.47) unde am notat prin [a] întregul cel mai apropiat de numărul real a. O tratare mai elegantă care conţine implicit şi cazul rădăcinilor confundate, trecute sub tăcere în analiza sumară de mai sus se poate face prin folosirea notaţiei matriciale. Să amintim pe scurt această abordare. Fie relaţia de recurenţă a n+k = b 1 a n+k 1 + b 2 a n+k b k 1 a n+1 + b k a n, (1.48) unde b i sunt constante. Primii k termeni a 1, a 2,..., a k se consideră date, următorii se calculează din relaţia de recurenţă punând n = 1, 2,... Scriind a n+k = b 1 a n+k 1 + b 2 a n+k b k 1 a n+1 + b k a n a n+k 1 = a n+k 1... a n+2 = a n+2 a n+1 = a n+1 apoi introducând notaţiile (1.49) v n = a n+k a n+k 1. a n+2 a n+1 (1.50)

37 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 37 şi A = b 1 b 2... b k 1 b k relaţia de recurenţă 1.48 are următoarea transcriere matricială: (1.51) v n = A v n 1, (1.52) unde v 0 se consideră date, componentele acestui vector fiind primii k termeni ai şirului, a k, a k 1,..., a 2, a 1. Acum este simplu de dedus formula termenului general: v n = A v n 1 = A 2 v n 2 =... = A n v 0. (1.53) Fie D forma canonică Jordan a matricii A, astfel ca A = CDC 1, pentru o matrice C inversabilă potrivită. Această matrice D are pe diagonală valorile proprii ale lui A, adică exact rădăcinile ecuaţiei caracteristice λ k = b 1 λ k 1 + b 2 λ k b k 1 λ + b k, (1.54) şi astfel avem la dispoziţie un algoritm de calcul efectiv al termenului general al şirului, a n. Fiecare celulă Jordan de dimensiune egală cu multiplicitatea algebrică a rădăcinii respective în cazul în care are dimensiune strict supraunitară, va modifica formula de tip progresie geometrică cu un factor polinomial în n de grad egal cu dimensiunea celului minus 1. Detaliile acestui calcul pot fi găsite în numeroase tratate despre şiruri. Fibonacci în Mathematica? Evident nu lipseşte. Table[Fibonacci[n], {n, 65}] { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, , , , , , , , , , , , , , , ,

38 38 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,...} Numărul cifrelor creşte liniar cu n, deci a n are o creştere exponenţială (vezi şi formula 1.47). O relaţie între termenii şirului: FullSimplify[Fibonacci[n + 1] Fibonacci[n - 1] - Fibonacci[n]^2, n > 0 && n \[Element] Integers] este (-1)^n. Şi bineînţeles avem şi limita Limit[Fibonacci[n]/Fibonacci[n - 1], n -> Infinity] calculată prin program 1/2 (1 + Sqrt[5]). adică raportul de aur Congruenţe. Teorema chinezească a resturilor Congruenţele constituie un mod ingenios şi eficace de a transforma mulţimea infinită a întregilor într-o mulţime finită de întregi, cu păstrarea tuturor proprietăţilor celor două operaţii între întregi. Fie n un număr întreg pozitiv, n 2. Cel mai simplu mod de a privi congruenţele mod n, este de a considera reprezentarea întregilor în baza n, apoi a renunţa la toate cifrele reprezentării, exceptând ultima cifră. Se constată că operaţiile de adunare şi înmulţire existentă între numerele întregi, văzută doar pe ultima cifră a numerelor, îşi păstrează toate proprietăţile avute: adunarea este asociativă, există element nul, 0, fiecare număr k, (0 k n 1) are opus ( 0 = 0 respectiv k = n k), şi aşa mai departe. Ba chiar proprietăţile se pot îmbunătăţi: dacă modulul n este ales număr prim, atunci devine posibilă şi împărţirea necondiţionată. Toate acestea în versiunea formalizată tradiţională se prezintă astfel.

39 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 39 Definiţia Fie n 2 un număr întreg. Relaţia între numerele întregi, definită prin x y dacă n x y, (1.55) este o relaţie de echivalenţă compatibilă cu adunarea şi înmulţirea întregilor, numită relaţie de congruenţă modulo n. Clasele de echivalenţă se numesc clase de resturi modulo n, iar apartenenţa la aceeaşi clasă se mai notează x y mod n. (1.56) Deoarece în general este preferabil să apară modulul n explicit în fiecare congruenţă notaţia mai simplă pe care o vom adopta noi nu va produce nici o confuzie: x = y mod n. (1.57) Compatibilitatea cu adunarea şi înmulţirea întregilor înseamnă (modulul n fixat): x 1 y 1 şi x 2 y 2 implică x 1 + x 2 y 1 + y 2 x 1 y 1 şi x 2 y 2 implică x 1 x 2 y 1 y 2 (1.58) Datorită acestei compatibilităţi, operaţia de adunare şi înmulţire între clase de echivalenţă prin intermediul a câte unui reprezentant arbitrar ales al clasei, funcţionează, este bine definită: altfel spus, nu depinde de alegerea reprezentanţilor claselor. Prin urmare congruenţele modulo n au următoarele proprietăţi: Proprietăţi 1. Fie n un număr întreg fixat n 2. Atunci 1. x = x mod n pentru orice număr întreg x, 2. x = y mod n dacă şi numai dacă y = x mod n, pentru orice numere întregi x, y 3. dacă x = y mod n şi y = z mod n atunci x = z mod n, pentru orice numere întregi x, y, z 4. x 1 = y 1 mod n şi x 2 = y 2 mod n implică x 1 + x 2 = y 1 + y 2 mod n 5. x 1 = y 1 mod n şi x 2 = y 2 mod n implică x 1 x 2 = y 1 y 2 mod n 6. x = 0 mod n înseamnă x = kn pentru o valoare potrivită a lui k, sau pur şi simplu n x.

40 40 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Demonstraţia acestor proprietăţi este o simplă reinterpretare a proprietăţilor divizibilităţii între numere întregi, prin urmare este lăsată pe seama cititorului. Cazul în care modulul congruenţei este număr prim este deosebit: toate clasele de resturi nenule devin inversabile. Propoziţia Fie n un număr întreg, n Dacă a Z este relativ prim cu n, adică (a, n) = 1, atunci există un număr întreg b Z astfel încât ab = 1 mod n. 2. Dacă n = p este număr prim, atunci pentru orice a nedivizibil cu p, p a, există b astfel ca ab = 1 mod n. Demonstraţie. Pentru punctul 1, fie deci a, astfel ca (a, n) = 1. Atunci propoziţia de la pagina 22 asigură existenţa a două numere întregi, să le notăm b, k, astfel ca ab + nk = 1. Avem deci n ab 1, deci ab 1 = 0 mod n, adică ab = 1 mod n. Punctul 2 al afirmaţiei din propoziţie este cazul particular în care n = p este număr prim. Atunci evident orice număr a nedivizibil cu p este relativ prim cu p, şi se aplică punctul 1. Cu ajutorul relaţiei de congruenţă putem formula ecuaţii. Cea mai simplă ecuaţie este cea liniară. Problema Considerăm un număr n, întreg, n 2. Fie a, b două numere întregi. Să se găsească toate numerele întregi x astfel ca ax = b mod n. (1.59) Soluţie. Pentru a rezolva această problemă, să observăm mai întâi că dacă relaţia 1.59 scrisă astfel (a, n) = d, ax b = nk, (1.60) pentru un număr întreg k potrivit ales, sau sub forma ax nk = b, implică faptul că d b.

41 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 41 Aşadar pentru existenţa lui x avem o condiţie necesară (a, n) b. (1.61) Să presupunem că această condiţie necesară este îndeplinită. Împărţind egalitatea 1.60 cu d = (a, n) şi după rebotezarea câturilor lui a, b, n tot cu aceste litere, avem de rezolvat aceeaşi congruenţă în ipoteza Fie y, k astfel ca (a, n) = 1. ay + nk = 1, daţi de propoziţia de la pagina 22. Această relaţie înmulţită cu b ne dă sau dacă notăm avem ax 0 b = nkb, ceea ce înseamnă n ax 0 b sau ayb + nkb = b, (1.62) x 0 = yb, (1.63) ax 0 = b mod n. Revenind la ecuaţia iniţială, toate soluţiile acesteia se obţin acum scriind Iată câteva exemple numerice: x = x 0 + k n d. (1.64) Problemele Să se rezolve următoarele congruenţe: 1. 4x = 7 mod x = 7 mod x = 10 mod 15 Rezolvare. 1. Avem (4, 15) = 1 şi 1 7, deci există soluţii. Algoritmul lui Euclid extins ne dă pentru reprezentarea 4y + 15k = 1, valorile y = 4 şi k = 1. Conform metodei deduse în propoziţia anterioară, x = 4 7 mod 15 = 28 mod 15 deci x = 13 mod 15.

42 42 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR 2. Acum (5, 15) = 5 şi 5 7, deci nu există soluţii. 3. Avem (5, 15) = 5 şi 5 10, deci soluţii există. Simplificând ecuaţia cu 5, avem de rezolvat x 0 = 2 mod 3, ceea ce s-ar rezolva ca la punctul 1, dacă... nu ar fi deja rezolvată. Toate soluţiile ecuaţiei date sunt x = 2 + k 15 5 mod 15, adică: x = 2 + 3k mod 15, unde k este un întreg arbitrar. Un set complet urmare x {2, 5, 8, 11, 14}. mod 15 de soluţii este prin Urmează evident prezentarea acestor calcule în Mathematica. Iată programul scris. n = 15; Reduce[Mod[4 x, n] == Mod[7, n] && 0 <= x < n && x \[Element] Integers, x] Reduce[Mod[5 x, n] == Mod[7, n] && 0 <= x < n && x \[Element] Integers, x] Reduce[Mod[5 x, n] == Mod[10, n] && 0 <= x < n && x \[Element] Integers, x]...şi cele trei rezultate obţinute: x == 13 False x == 2 x == 5 x == 8 x == 11 x == 14 Cea mai simplă extindere a problemei ecuaţiilor de congruenţe cu doar o necunoscută şi mai multe module este următoarea problemă:

43 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 43 Problema Se dau numerele întregi n 1, n 2,..., n k, n i 2. Să se găsească numărul întreg x toate, dacă sunt mai multe astfel ca x = r 1 mod n 1 x = r 2 mod n 2 x = r 3 mod n 3 (1.65)... x = r k mod n k unde r 1, r 2,..., r k sunt numere date. Problema se numeşte problema chinezească a resturilor şi soluţia ei se bazează pe teorema cu acelaşi nume. Teorema (Teorema chinezească a resturilor). Fie numerele întregi n 1, n 2,..., n k, n i 2, relativ prime două câte două. Atunci există numere întregi x astfel ca x = r 1 mod n 1 x = r 2 mod n 2 x = r 3 mod n 3 (1.66)... x = r k mod n k unde r 1, r 2,..., r k sunt numere date. Oricare două astfel de numere sunt congruente mod n 1 n 2 n k. Demonstraţie. Considerăm perechile de numerele întregi relativ prime: n 1 n 2 n 3 n 4 n k, n 2 n 1 n 3 n 4 n k, n 3 n 1 n 2 n 4 n k, (1.67)... n k n 1 n 2 n 3 n k 1. Există atunci câte o combinaţie liniară a lor egală cu 1 pentru fiecare pereche. Coeficienţii acestora sunt x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3, (1.68)... x k y k, prin urmare l 1 n 1 + y 1 n 2 n 3 n 4 n k = 1, l 2 n 2 + y 2 n 1 n 3 n 4 n k = 1, l 3 n 3 + y 3 n 1 n 2 n 4 n k = 1,... l k n k + y k n 1 n 2 n 3 n k 1 = 1. (1.69)

44 44 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR De aici deducem x 1 = y 1 n 2 n 3 n 4 n k = 1 mod n 1, x 2 = y 2 n 1 n 3 n 4 n k = 1 mod n 2, x 3 = y 3 n 1 n 2 n 4 n k = 1 mod n 3,... x k = y k n 1 n 2 n 3 n k 1 = 1 mod n k. (1.70) dar în acelaşi timp x 1 = 0 mod n 2, n 3, n 4,..., n k, x 2 = 0 mod n 1, n 3, n 4,..., n k, x 3 = 0 mod n 1, n 2, n 4,..., n k,... x k = 0 mod n 1, n 2, n 3,..., n k 1, (1.71) Acum soluţia problemei este x = x 1 r 1 + x 2 r 2 + x 3 r x k r k mod n, (1.72) unde am notat n = n 1 n 2 n 3 n k. Se vede din construcţia lui x că x = r i mod n i pentru orice i = 1, 2,..., k. Iată şi un exemplu numeric simplu. Problema Să se găsească cel mai mic număr întreg pozitiv x astfel ca x = 1 mod 3 x = 3 mod 4 (1.73) x = 3 mod 5. Soluţie. Avem, cu ajutorul algoritmului lui Euclid extins: ((4 5) 1 mod 3) 4 5 = = 40 ((3 5) 1 mod 4) 3 5 = = 45 ((3 4) 1 mod 5) 3 4 = = 36 Prin urmare soluţia este: x = mod = 283 mod 60 = 43 mod 60. Toate soluţiile sunt de forma k, cea mai mică soluţie fiind 43. (1.74) (1.75)

45 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 45 Fireşte vom realiza aceste calcule şi în Mathematica. Nu este o surpriză faptul că Mathematica are o comandă pregătită pentru a furniza soluţia unei probleme de tipul resturilor chinezeşti. Aşadar comanda ChineseRemainder[{1, 3, 3}, {3, 4, 5}] va da rezultatul direct sub forma celui mai mic întreg care verifică congruenţele date. 43 Proprietăţile demonstrate până acum au şi o formulare mai "elegantă" care foloseşte proprietăţi structurale. Mai precis avem următoarele: Inelul întregilor Z este inel factorial: orice număr întreg se descompune unic în produs de numere prime (este valabilă teorema fundamentală a aritmeticii). Inelul întregilor Z este inel euclidian: orice număr întreg se poate împărţi cu orice întreg nenul, astfel ca este valabilă "proba" împărţirii, iar câtul şi restul sunt unici, dacă restul este între 0 şi modulul împărţitorului minus 1 (este valabilă teorema împărţiri întregi). Inelul întregilor este inel cu ideale principale: orice ideal este format din toţi multiplii unui număr. În inelul întregilor orice pereche de numere (nu ambele nule) are un cel mai mare divizor comun (şi un cel mai mic multiplu comun). Mulţimea claselor de resturi modulo n (n 2) formează un inel. El este inelul factor al întregilor cu idealul generat de n. Acest inel se notează cu Z n. În inelul claselor de resturi Z n un element este inversabil dacă şi numai dacă (a, n) = 1, adică dacă este relativ prim cu modulul. Dacă modulul n = p este număr prim, atunci inelul factor Z p este corp: toate elementele nenule sunt inversabile. Invers toate elementele nenule din Z n sunt inversabile, doar dacă n este prim. Dacă n 1, n 2,..., n k sunt relativ prime două câte două, atunci inelele Z n Z n1 Zn2... Znk, sunt izomorfe, unde am notat n = n 1 n 2 n k. Aceasta este o reformulare a teoremei chinezeşti a resturilor.

46 46 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Teorema lui Fermat, Wilson, şi Euler Fie p un număr prim. Dacă 0 k, l < p atunci pentru orice număr a nedivizibil cu p avem dacă ka = la mod p atunci k = l. (1.76) Întradevăr, dacă ka = la mod p atunci ka la = 0 mod p, deci (k l)a = 0 mod p, sau p (k l)a. Dar p este prim şi nu divide a, prin urmare p k l. Dar k l < p, deci nu rămâne decât alternativa k = l. Fie acum din nou a un număr nedivizibil cu p. Conform celor de mai sus numerele 1 a, 2 a, 3 a,..., (p 1) a, (1.77) sunt p 1 numere care se află în clase de echivalenţe nenule diferite două câte două modulo p, astfel ele reprezintă tot cele p 1 clase de echivalenţă modulo p reprezentate şi de numerele 1, 2, 3,..., (p 1), (1.78) eventual într-o ordine diferită. Rezultă însă de aici că produsele celor p 1 numere reprezintă clase de echivalenţă egale, deci 1 a 2 a 3 a... (p 1) a = (p 1) mod p. (1.79) Simplificând congruenţa cu produsul (p 1), număr evident nedivizibil cu numărul prim p, obţinem: a p 1 = 1 mod p. (1.80) Am demonstrat relaţia cunoscută sub numele de teorema lui Fermat. Teorema (Teorema lui Fermat). Fie p un număr prim, şi fie a un întreg nedivizibil cu p. Atunci a p 1 = 1 mod p. (1.81) Se pune imediat întrebarea: este reciproca teoremei lui Fermat adevărată? Adică, dacă pentru orice a relativ prim (a, n) = 1 cu un număr n dat, avem a n 1 = 1 mod n, atunci rezultă oare de aici că numărul n este prim? Să observăm, că dacă pentru un număr a < n avem d = (a, n) 1, atunci n automat nu este prim, deci testul de primalitate prin intermediul reciprocei teoremei lui Fermat se pune cu condiţionarea alegerii lui a relativ prim cu numărul testat n. De altfel dacă a < n şi d = (a, n) 1, atunci a n 1 = 1 mod n este automat falsă.

47 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 47 Dacă reciproca teoremei lui Fermat ar fi adevărată, am avea în principiu un test de primalitate exact pentru numere întregi. Reciproca însă nu este adevărată. Un contraexemplu îl constituie n = 561 = , pentru care a 560 = 1 mod 561, (1.82) pentru orice număr întreg (a, 561) = 1, relativ prim cu 561. Asupra acestor aspecte vom mai reveni. Enunţăm acum Totuşi teorema lui Fermat este deosebit de importantă pentru testarea primalităţii unui număr dat p... mai bine zis în primul rând în testarea faptului că numărul este compus, deci testarea non-primalităţii. Ne putem limita la testarea numerelor impare, deoarece numerele pare sunt compuse, fiind divizibile cu 2. Teorema lui Fermat are o formulare echivalentă dată mai jos: Teorema (Reformularea echivalentă a Teoremei lui Fermat). Fie n un număr întreg impar, diferit de 1. Dacă există un număr întreg a relativ prim cu n, (a, n) = 1, astfel ca atunci n este compus. a n 1 1 mod n, (1.83) Demonstraţie. Nu este cazul să mai dăm o demonstraţie, dar repetăm totuşi raţionamentul: dacă n = p ar fi prim, atunci ar fi relativ prim cu orice număr a nedivizibil cu el, şi conform teoremei lui Fermat, am avea a n 1 = 1 mod n, în contradicţie cu ipoteza teoremei. Utilitatea practică a acestei reformulări în testarea non-primalităţii lui n este dat de cel puţin trei fapte. Le prezentăm aici sumar, pentru a avea o imagine de ansamblu asupra acestei problematici, urmând să revenim cu amănunte acolo unde contextul va cere o dezvoltare a ideilor respective. Primul fapt este existenţa unui algoritm de ridicare la putere modulo n rapid: pentru calculul lui a n mod p este suficient să îl scriem pe n în baza 2, să-l calculăm pe a 2 mod p, (a 2 ) 2 = a 22 mod p, (a 22 ) 2 = a 23 mod p,... (1.84) ceea ce înseamnă un număr de înmulţiri (şi împărţiri) proporţional doar cu numărul cifrelor (binare, deci şi zecimale ale) lui n, apoi să mai facem un număr de înmulţiri, corespunzător cu poziţiile în care cifra în baza 2 a lui n este 1, adică în total încă cel mult un număr de înmulţiri modulo n egal cu numărul cifrelor minus 1 al lui n.

48 48 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Pe de altă parte numărul numerelor a, care "trădează" non-primalitatea lui n nu este mic dacă există astfel de numere (!). Acest lucru se vede din următorul raţionament simplu. Fie a un "complice" pentru n, adică şi fie b un "trădător", adică a n 1 = 1 mod n, b n 1 1 mod n. Atunci ab este tot un "trădător". Întradevăr, dacă am avea (ab) n 1 = 1 mod n, atunci am avea şi 1 = (ab) n 1 mod n = a n 1 b n 1 mod n = (a n 1 mod n) (b n 1 mod n) = b n 1 mod n, adică b n 1 = 1 mod n, o contradicţie. Prin urmare dacă avem un singur "trădător", el transformă în "trădător" orice "complice" prin înmulţire cu acesta, deci orice număr de "complici" am avea şi un singur "trădător", automat avem şi un număr de "trădători" egal cu numărul acestor "complici". Un număr mai mic decât n este sau "complice" sau "trădător", prin urmare cel puţin jumătate dintre aceştia sunt "trădători" repetăm, doar dacă există cel puţin un "trădător". În consecinţă, la o alegere succesivă aleatoare a numerelor a, pentru testarea nonprimalităţii lui n, este extrem de improbabilă nimerirea unei secvenţe lungi de "complici" pentru n. La fiecare pas probabilitatea ca şirul "complicilor" să se lungească scade la cel puţin jumătate. În fine, în al treilea rând se constată că numărul numerelor compuse care nu au nici un "trădător" acestea se numesc numere Carmichael este extrem de mic. Distribuţia acestor numere ca şi distribuţia numerelor prime nu intră pentru moment în atenţia noastră. Înainte de a trece la generalizarea teoremei lui Fermat datorată lui Euler, să dăm o formulare mai algebrică teoremei lui Fermat. Propoziţia Fie p un număr prim (impar). Considerăm corpul finit de numere Z p. Atunci toate elementele nenule ale lui Z p sunt rădăcini ale polinomului f = x p 1 1 (cu coeficienţi în Z p ), prin urmare avem şi descompunerea în factori x p 1 1 = (x 1)(x 2)(x 3) (x (p 1)). (1.85)

49 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 49 Demonstraţie. Teorema lui Fermat afirmă tocmai faptul că orice clasă de echivalenţă a nenulă mod p are proprietatea că a p 1 1 = 0, deci este rădăcină a polinomului cu coeficienţi în Z p, f = x p 1 1. Pe de altă parte teorema lui Bezout, valabilă pentru polinoame cu coeficienţi întrun corp, spune că dacă un număr a este rădăcină a polinomului f, atunci f se divide la (x a), deci f(x) = (x a) g(x). Aplicând acest fapt pentru toate rădăcinile lui f se obţine descompunerea în factori Avem acum o minge ridicată la fileu prea uşoară ca să nu o valorificăm. Teorema (Teorema lui Wilson). Fie p un număr prim impar. Atunci (p 1) + 1 = 0 mod p. (1.86) Demonstraţie. Scriind relaţiile lui Viete pentru ecuaţia din 1.85, din propoziţia , rezultă imediat că produsul rădăcinilor ecuaţiei este ( 1) p 1 ( 1), deci (p 1) = 1 mod p, (1.87) ceea ce este este tocmai afirmaţia teoremei lui Wilson. Să observăm în treacăt faptul că reciproca teoremei lui Wilson este de asemenea adevărată. Întradevăr, relaţia 1.86 poate fi citită şi astfel (vezi şi propoziţia 1.1.6, de la pagina 22): (a, p) = 1, pentru toate numerele a = 1, 2, 3,..., (p 1), deci p este relativ prim cu toate numerele mai mici ca el, prin urmare nu are divizori proprii, deci p este prim. Aşadar proprietatea 1.86 este un test exact de primalitate pentru numărul p. Numărul mare de înmulţiri implicat face însă aplicarea acestui criteriu total nepractic. Pentru a enunţa teorema lui Euler avem nevoie de o funcţie pe care o definim acum. Definiţia Fie n un număr întreg nenul. Numărul numerelor relativ prime cu n mai mici decât el se numeşte funcţia lui Euler şi se notează φ(n). Orice funcţie odată definită, devine utilă doar dacă este calculabilă. Proprietatea fundamentală a funcţiei lui Euler, care permite calculul lui efectiv (a se înţelege, în cazul în care dispunem de o factorizare completă a numărului n) este multiplicativitatea. În cele ce urmează vom analiza succint proprietăţile funcţiilor aritmetice multiplicative.

50 50 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Definiţia Fie f : N C se numeşte funcţie aritmetică multiplicativă, dacă f(a b) = f(a) f(b), dacă (a, b) = 1. (1.88) Dacă proprietatea are loc fără restricţia ca a şi b să fie relativ prime, funcţia f se va numi complet multiplicativă. Funcţia constantă f(n) = 1 pentru orice n N sau funcţia identitate f(n) = n pentru orice n N sunt evident multiplicative, dar exemplele interesante de funcţii aritmetice multiplicative putem bănui că sunt legate de proprietăţile de divizibilitate ale numerelor întregi. Propoziţia care urmează pregăteşte terenul în această direcţie. Propoziţia Fie f : N C o funcţie multiplicativă şi fie funcţia g : N C definită astfel g(n) = d n f(d). (1.89) Atunci funcţia g este o funcţie aritmetică multiplicativă. Demonstraţie. Fie n, m N, astfel ca (n, m) = 1. Atunci avem g(n m) = f(d) = = d nm d=d 1 d 2,d 1 n,d 2 m d 1 n,d 2 m f(d 1 d 2 ) f(d 1 )f(d 2 ) = f(d 1 ) f(d 2 ) d 1 n d 2 m (1.90) = g(n) g(m). Astfel, dintr-o funcţie aritmetică multiplicativă putem construi o altă funcţie aritmetică multiplicativă. Din două funcţii aritmetice multiplicative f şi g putem construi o altă funcţie multiplicativă în felul următor: Propoziţia Fie f şi g două funcţii aritmetice multiplicative. Atunci funcţia F (n) = ( ) n f(d) g = ( ) n f g(d) (1.91) d d d n d n este o funcţie aritmetică multiplicativă.

51 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 51 Demonstraţie. Fie n, m N astfel ca (n, m) = 1. Atunci, ca şi mai înainte un divizor d al produsului nm are o exprimare unică sub forma unui produs d = d 1 d 2, unde d 1 n, d 2 m, şi bineînţeles n/d 1 şi m/d 2 rămân relativ prime. Aşadar calculul următor este pur şi simplu impus de regulile definite: F (n m) = ( ) nm f(d)g d d nm ( ) nm = f(d 1 d 2 )g d d=d 1 d 2,d 1 n,d 2 m 1 d 2 = ( ) ( ) n m f(d 1 )f(d 2 )g g (1.92) d1 d2 d 1 n d 2 m = ( ) n f(d 1 )g ( ) m f(d 2 )g d1 d2 d1 n d2 m = F (n) F (m). Având la dispoziţie aceste modalităţi de a defini noi funcţii aritmetice multiplicative din funcţii anterior definite să vedem câteva aplicaţii imediate. Definiţia Fie n N un număr întreg pozitiv. 1. Funcţia τ(n) = d n calculează numărul divizorilor pozitivi ai numărului n. 1, (1.93) 2. Funcţia σ(n) = d n d, (1.94) calculează suma divizorilor pozitivi ai numărului n. Funcţiile τ şi σ sunt funcţii aritmetice multiplicative, fiind construite pe baza propoziţiei 1.89 din funcţia multiplicativă constantă 1 respectiv din funcţia identitate. Pe baza proprietăţii de multiplicativitate putem da uşor formule explicite pentru ambele funcţii, dacă avem la dispoziţie o descompunere a lui n în factori primi. Dacă descom- Propoziţia Fie n N, un număr întreg pozitiv. punerea lui n în factori prim distincţi este atunci n = p k 1 1 pk 2 2 pk 3 3 pkm m, (1.95)

52 52 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR numărul divizorilor lui n este τ(n) = (k 1 + 1) (k 2 + 1) (k 3 + 1) (k m + 1), (1.96) iar suma divizorilor lui n este σ(n) = m i=1 p k i+1 i 1 p i 1, (1.97) Demonstraţie. Totul se reduce la următoarea observaţie. Dacă p este un număr prim atunci toţi divizorii lui p k sunt Numărul acestora este iar suma acestora este 1, p, p 2, p 3,..., p k. k + 1 p k+1 1 p 1. De aici rezultă formulele de mai sus folosind multiplicativitatea. O funcţie aritmetică mai intim legată de structura de descompunere în produs de numere prime al numărului n este funcţia lui Möbius. Definiţia Fie n un număr întreg pozitiv. Funcţia lui Möbius, notată µ(n) este definit astfel 1, dacă n = 1 µ(n) = 0, dacă p 2 n, p este prim (1.98) ( 1) k, dacă n = p 1 p 2 p k factori primi distincţi. Observaţia Funcţia lui Möbius este o funcţie aritmetică multiplicativă. Întradevăr, fie n şi m două numere întregi relativ prime. Atunci pătratul unui număr prim divide produsul nm exact atunci când divide unul (şi numai unul) din cei doi factori, aşadar multiplicativitatea se verifică, valoarea funcţiei şi a produsului valorilor funcţiei fiind 0. Dacă ambele numere au o descompunere în factori primi distincţi diferiţi, şi evident şi cele două seturi sunt disjuncte între ele, atunci numărul factorilor produsului este exact suma numerelor factorilor celor două numere. Şi în acest caz deci proprietatea multiplicativităţii se verifică. Să aplicăm acum pentru această nouă funcţie aritmetică multiplicativă construcţia din propoziţia de la pagina 50, adică formula Avem atunci următorul rezultat.

53 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 53 Observaţia Funcţia aritmetică multiplicativă ν(n) = d n µ(d), are formula ν(n) = { 1, dacă n = 1 0, dacă n 1. Întradevăr, ν(1) = µ(1) = 1. Datorită multiplicativităţii, e suficient să verificăm formula pentru puteri ale numerelor prime. Avem ν(p k ) = µ(1)+µ(p)+µ(p 2 )+µ(p 3 )+...+µ(p k ) = 1+( 1) = 0. Funcţia lui Möbius este o parte componentă a unei formule importante, numită formula de inversare Möbius. Teorema (Formula de inversare a lui Möbius). (vezi şi teorema de la pagina 140 din vol I, [89]) Fie f o funcţie aritmetică arbitrară, şi fir funcţia g definită prin g(n) = d n f(d). (1.99) Atunci f(n) se poate exprima în funcţie de g(n) astfel f(n) = ( ) n µ g(d) = ( ) n µ(d)g. (1.100) d d d n d n Reciproc, dacă f(n) = ( ) n µ g(d) = ( ) n µ(d)g. (1.101) d d d n d n atunci g(n) se poate exprima în funcţie de f(n) astfel g(n) = d n f(d). (1.102) Demonstraţie. Avem următorul calcul simplu:

54 54 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR d n ( ) n µ g(d) = ( ) n µ(d)g d d d n = µ(d)f(c) d n c n d = µ(d)f(c) aici c şi d se pot permuta c n d n c = f(c) µ(d) c n d n c = f(c) 0 dacă c n, c n sau 1 dacă c = n (1.103) = f(n). Reciproc, se aplică implicaţia demonstrată pentru perechea de funcţii ( ) n f( ) µ g( ) ( ) (1.104) g( ) f( ) şi se obţine direct ţinând cont şi de µ(1) = 1 g(n) = d n f(d). (1.105) Ca o aplicaţie imediată, să aplicăm formula de inversare Möbius celor două funcţii din definiţia de la pagina 51, funcţia care dă numărul (1.93) respectiv suma (1.94) divizorilor unui număr n. Obţinem relaţiile care nu par prea simple ceea ce arată deja puterea formulei de inversare Möbius: respectiv d n d n ( ) n µ τ(d) = 1, d ( ) n µ σ(d) = n, d Ne întoarcem acum la funcţia lui Euler. Să observăm că funcţia lui Euler este o funcţie construită din funcţia constantă 1 astfel: φ(n) = 1 (1.106) 1 k<n, (k,n)=1

55 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 55 Să construim un tabel al numerelor de la 1 la n şi al celui mai mare divizor comun al acestora cu n. Fie d un divizor al lui n. Atunci acest divizor apare în acest tabel pe coloana celui mai mare divizor comun al unui număr k cu numărul n exact în poziţiile în care n/d este relativ prim cu k/d, iar acest fapt se întâmplă de φ(n/d) ori. Astfel numerele din lista {1, 2, 3,..., n} se partiţionează după toţi divizorii d ai lui n, şi fiecare asemenea parte conţine φ(n/d) elemente. Am demonstrat astfel n = ( ) n φ d d n Aceasta însă mai poate fi scrisă şi astfel: n = d n φ(d). Să aplicăm şi acesteia formula de inversare Möbius. Obţinem φ(n) = d n µ(d) n d (1.107) Am demonstrat deci următorul rezultat: Propoziţia Funcţia lui Euler se exprimă prin φ(n) = n d n µ(d) d. (1.108) Acum funcţia constantă f(n) = 1, funcţia identitate f(n) = n şi funcţia lui Möbius sunt funcţii aritmetice multiplicative, iar produsul şi câtul a două funcţii multiplicative evident este de asemenea multiplicativă. În plus dacă f(n) este multiplicativă, atunci g(n) = d n f(d) este multiplicativă conform propoziţiei de la pagina 50. Am demonstrat aici prin urmare primul punct al propoziţiei care urmează: Propoziţia Funcţia lui Euler are următoarele proprietăţi. 1. Dacă (a, b) = 1 atunci φ(ab) = φ(a) φ(b), altfel spus funcţia lui Euler este o funcţie multiplicativă. 2. φ(p k ) = p k p k 1 pentru orice număr prim p şi întreg k Dacă descompunerea lui n în factori primi distincţi este n = p k 1 1 pk 2 2 pk 3 3 pk m m,

56 56 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR atunci φ(n) = n (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) ( 1 1 ). p1 p2 p3 p m Demonstraţie. Mai avem de arătat punctul 2 şi 3. Să observăm că multiplii cu numărul prim p ai celor p k numere 1, 2, 3,..., p k 1, p k, sunt exact numerele divizibile cu p între 1, 2, 3,..., p k+1 1, p k+1, ceea ce demonstrează punctul 2. Punctul 3 este o consecinţă naturală a multiplicativităţii lui φ, φ(n) = (p k 1 1 pk )(p k 2 2 pk )(p k 3 3 pk ) (p k m m p k m 1 m ). Urmează în mod natural realizarea funcţiilor aritmetice în Mathematica. Acest pachet are un set impresionant de funcţii aritmetice implementate. Să exemplificăm pe cele pe care le-am abordat şi noi în această secţiune. Fie n un număr întreg. Fie {1, d 1, d 2,..., d m 1, d m = n} lista tuturor divizorilor lui n. acestor divizori, Dacă notăm cu S k (n) suma puterilor k ale atunci avem numărul divizorilor suma divizorilor S k (n) = 1 k + d k 1 + d k d k m 1 + n k, τ(n) = S 0 (n), σ(n) = S 1 (n), suma pătratelor divizorilor S 2 (n), suma cuburilor divizorilor S 3 (n) şi aşa mai departe. Mathematica are această funcţie generală implementată cu numele DivisorSigna[k,n], astfel pentru n = 20 avem Divisors[20] FactorInteger[20]

57 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 57 iar programul afişează divizorii şi descompunerea în factori ai lui 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20} {{2, 2}, {5, 1}} Acum DivisorSigma[0, 20] DivisorSigma[1, 20] DivisorSigma[2, 20] DivisorSigma[3, 20] ne dă numărul, suma, suma pătratelor şi cuburilor divizorilor lui 20: ceea ce se poate şi verifica pe acest exemplu simplu. Funcţia lui Möbius se apelează cu sintaxa MoebiusMu[20] MoebiusMu[1731] MoebiusMu[10^10 + 1] şi se obţine aici Funcţia lui Euler are sintaxa EulerPhi[20] EulerPhi[10^ ] EulerPhi[200!] valorile pentru aceste numere sunt

58 58 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR În sfârşit să enunţăm generalizarea teoremei lui Fermat, datorată lui Euler. Teorema (Teorema lui Euler). Fie n un număr întreg pozitiv, şi fie a un întreg astfel ca (a, n) = 1. Atunci a φ(n) = 1 mod n. (1.109) Demonstraţie. Putem face un raţionament similar cu cel din demonstraţia teoremei lui Fermat. Să notăm lista completă a numerelor relativ prime şi mai mici decât n cu r 1 = 1, r 2, r 3,..., r k, unde k = φ(n), datorită definiţiei funcţiei lui Euler. Ele reprezintă clase de congruenţă distincte două câte două. Atunci numerele ar 1 = a, ar 2, ar 3,..., ar k, sunt de asemenea relativ prime cu n, şi reprezintă aceleaşi clase de congruenţe. Arătăm acest lucru în cele ce urmează. Să observăm mai întâi că dacă ax = ay mod n, atunci a(x y) = ax ay = 0 mod n, deci n a(x y), şi deoarece (a, n) = 1 rezultă n x y, adică x = y mod n. Prin urmare ar i ar j mod n, pentru orice i j.

59 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 59 Pe de altă parte, dacă (a, n) = 1, şi (b, n) = 1 atunci şi (ab, n) = 1. Întradevăr, din relaţiile ax + nu = 1 (1.110) by + nv = 1 rezultă (ab)(xy) + n(uby + v) = 1, (1.111) ceea ce se traduce prin faptul că produsul a două numere relativ prime cu n este de asemenea un număr relativ prim cu n. În concluzie, funcţia definită pe clasele de resturi modulo n a tuturor reprezentanţilor relativ primi mai mici decât n astfel f : {r 1, r 2, r 3,..., r k } {r 1, r 2, r 3,..., r k }, f(x) = ax, (1.112) este bine definită şi este o funcţie bijectivă, ceea ce înseamnă, întradevăr, că mulţimile de clase de resturi coincid. De aici putem deduce că {ar 1, ar 2, ar 3,..., ar k } = {r 1, r 2, r 3,..., r k } (1.113) ar 1 ar 2 ar 3... ar k = r 1 r 2 r 3... r k mod n, (1.114) şi simplificând cu produsul tuturor claselor de resturi obţinem a k = 1 mod n. (1.115) Mai avem doar să ne reamintim valoarea lui k = φ(n). Toate acestea pot fi formulate în termeni mai algebrici, care accentuează mai mult aspectele structurale, în consecinţă sunt mai elegante. Iată cum arată aceste formulări. În inelul Z n al claselor de resturi modulo n elementele inversabile sunt exact clasele de resturi reprezentate de numere relativ prime cu n. Ele se notează U(Z n ), şi se mai numesc unităţile inelului. U(Z n ) este un grup multiplicativ. Ordinul grupului multiplicativ U(Z n ) este φ(n). Într-un grup finit ordinul fiecărui element este un divizor al ordinului grupului (teorema lui Lagrange), prin urmare a φ(n) = 1, în inelul claselor de resturi modulo n, pentru orice a U(Z n ), ceea ce constituie o reformulare a teoremei lui Euler.

60 60 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR U(Z p ), unde p este un număr prim, este un grup ciclic (vezi demonstraţia unei variante mai generale, pentru orice corp finit în vol I, Propoziţia , pag. 129, [89]). ordinul oricărui element din U(Z p ), unde p este un număr prim, este un divizor al lui φ(p) = p 1. Grupul fiind ciclic, există un element care are ordinul maxim, adică ordinul grupului. Cel mai mic multiplu comun al ordinelor elementelor grupului i.e. ordinul cel mai mare al elementelor din grupul finit se numeşte exponentul grupului. Conform tot cu teorema lui Lagrange, exponentul grupului este un divizor al ordinului grupului. Aşadar grupul este ciclic exact atunci când exponentul grupului coincide cu ordinul grupului. Terminăm această secţiune cu încă o funcţie aritmetică, numită funcţia lui Carmichael, care se notează λ(n). Pentru pregătirea definiţiei acestei funcţii aritmetice să considerăm inelul Z 8, al claselor de resturi modulo 8. Numerele relativ prime cu 8, mai mici decât 8, sunt numerele impare 1, 3, 5, 7, aşadar φ(8) = 4, în concordanţă cu formula stabilită deja φ(8) = φ(2 3 ) = = 8 4 = 4. Putem afirma conform teoremei lui Euler că a 4 = 1 mod 8, pentru toate valorile a = 1, 3, 5, 7. Care este însă cel mai mic exponent k, pentru care avem a k = 1 mod 8 pentru cele patru numere? Calculul direct ne spune 1 1 = 1 mod 8, 3 2 = 1 mod 8, 5 2 = 1 mod 8, 7 2 = 1 mod 8, aşadar numai exponenţi 1 şi 2, deci cel mai mic multiplu comun al acestora fiind tot 2, avem a 2 = 1 mod 8, pentru toate valorile a = 1, 3, 5, 7. Se vede deci că funcţia lui Euler nu dă ceea mai mică valoare posibilă a exponentului k pentru care a k = 1 mod n, pentru toate valorile lui a, cu (a, n) = 1. Funcţia lui Carmichael se defineşte tocmai ca fiind cel mai mic exponent cu această proprietate.

61 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 61 Definiţia Fie n un număr întreg pozitiv, n 2. Atunci funcţia lui Carmichael, notată λ(n) se defineşte ca fiind cel mai mic exponent pentru care a λ(n) = 1 mod n, pentru orice număr a, relativ prim cu n, (a, n) = 1. Din cele de mai sus rezultă imediat că λ(n) φ(n), pentru orice număr n. Exemplul de mai sus arată şi faptul că există numere n pentru care λ(n) φ(n), un astfel de exemplu fiind chiar n = 8. O descriere exactă a valorilor lui lui λ(n) este dată de teorema care urmează, pe care o reiterăm aici fără demonstraţie. Teorema (Teorema lui Carmichael). Fie n un număr întreg pozitiv. Atunci funcţia lui Charmichael are valoarea λ(n) = φ(n), dacă n = p, prim impar dacă n = 2p, p prim impar dacă n = 2 sau 4 φ(p k ), dacă n = p k p, prim impar 1 2 φ(2k ), [ ] dacă n = 2 k k 3 λ(p k 1 1 ),..., λ(pk m m ) dacă n = p k 1 1 pk 2 2 pk m m (1.116) Ultima linie a definiţiei funcţiei este formula de "recurenţă": funcţia lui Carmichael al unui produs de puteri de numere prime impare este cel mai mic multiplu comun al valorilor funcţiei pe puterile de prime impare. În final să menţionăm aceste rezultate în formularea "structurală". Teorema lui Carmichael descrie de fapt structura grupului multiplicativ U(Z n ) al unităţilor claselor de resturi modulo n. Exponentul grupului U(Z n ) este funcţia lui Carmichael, λ(n). Programare în Mathematica: CarmichaelLambda[8] EulerPhi[8] 2 4 Rezultat:

62 62 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Pentru 10 numere consecutive, pentru comparaţie: CarmichaelLambda[{91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}] EulerPhi[{91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}] cu rezultatul {12, 22, 30, 46, 36, 8, 96, 42, 30, 20} {72, 44, 60, 46, 72, 32, 96, 42, 60, 40} Pentru numere prime cele două funcţii au aceeaşi valoare. exemple. Iată câteva Table[CarmichaelLambda[Prime[k]], {k, 991, 1000}] Table[EulerPhi[Prime[k]], {k, 991, 1000}] Aceste valori sunt: {7840, 7852, 7866, 7872, 7876, 7878, 7882, 7900, 7906, 7918} {7840, 7852, 7866, 7872, 7876, 7878, 7882, 7900, 7906, 7918} Resturi pătratice Am studiat deja ecuaţii de congruenţe liniare de forma ax + b = 0 mod n, (1.117) în secţiunea Pasul următor natural este problema ecuaţiilor în congruenţe pătratice. Considerând cel mai simplu polinom de gradul 2, suntem conduşi la ecuaţia x 2 = a mod n, (1.118) adică la problema următoare: dat un număr întreg pozitiv n, ce numere a sunt resturi pătratice modulo n? Spre exemplu, fie n = 7. Dacă ridicăm la pătrat x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, adică toate resturile posibile modulo 7, obţinem x 2 = 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1. Dacă îl punem pe 0 deoparte, lista este simetrică, ceea ce nu este o surpriză: (n x) 2 = x 2 mod n pentru orice x.

63 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 63 Se constată deci că 0, 1, 2, 4 sunt resturi pătratice modulo 7, (1.119) în timp ce 3, 5, 6 nu sunt resturi pătratice modulo 7. (1.120) Exprimându-ne oarecum tautologic putem deci spune că ecuaţia în congruenţe pătratică are soluţie numai dacă a este rest pătratic modulo 7. Pentru a nu forţa bunul simţ logic, să facem această echivalare la nivelul terminologiei, aşadar vom numi numărul a rest pătratic modulo n, dacă ecuaţia în congruenţe x 2 = a mod n are soluţie. Cu această definiţie a restului pătratic, se observă imediat că 0 şi 1 sunt resturi pătratice pentru orice modul n, deoarece avem 0 2 = 0 şi 1 2 = 1. Cu această observaţie am şi rezolvat studiul pentru resturilor pătratice pentru modulul n = 2: ecuaţia are întotdeauna soluţii. Cazul a = 0 este deasemenea clar, dacă ne gândim la descompunerea lui n în factori primi: x trebuie să conţină toţi factorii primi ai lui n, la puteri mai mari decât jumătate din exponentul cu care factorul prim respectiv figurează în descompunerea lui n. Dacă n = p este număr prim impar, se poate observa imediat un aspect valabil pentru orice p, şi anume: x mod p şi x mod p nu sunt egali, exceptând cazul x = 0 mod p. Întradevăr, dacă ar fi egali, atunci ar rezulta 2x = 0 mod p, sau x = 0 mod p. Prin urmare ecuaţia pătratică x 2 = a mod p, cu a 0, dacă are soluţie, atunci acestea sunt diferite. Pe de altă parte orice număr x = 1, 2, 3,..., p 1 (1.121) este soluţie pentru exact una din congruenţele x 2 = 1 mod p x 2 = 2 mod p x 2 = 3 mod p... x 2 = p 1 mod p, (1.122) şi aşa cum am observat ele se grupează câte doi pentru o ecuaţie. Prin urmare exact jumătate din aceste ecuaţii are, iar cealaltă jumătate nu are soluţii. Această constatare este deci valabilă pentru module de tip număr prim impar. Pentru aceste module Euler a formulat un criteriu pentru a decide dacă numărul a este sau nu rest pătratic modulo p.

64 64 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Teorema (Criteriul lui Euler). Fie p un număr prim impar. Atunci un număr a nedivizibil cu p (a 0 mod p) este rest pătratic modulo p dacă şi numai dacă a p 1 2 = 1 mod p. (1.123) Demonstraţie. Mai întâi să observăm că din Teorema lui Fermat rezultă că pentru orice număr a avem a p 1 1 = 0 mod p. Dar p 1 este număr par, prin urmare diferenţa de pătrate se descompune (a p 1 p 1 2 1)(a 2 + 1) = 0 mod p. Prin urmare p divide un produs, dar fiind prim, divide unul din factori de fapt exact unul din factori. Aşadar pentru orice număr a avem a p 1 p = 0 mod p sau a = 0 mod p, şi nu pot avea loc ambele relaţii, deoarece atunci prin scăderea celor două ar rezulta p 2, fals. Acum să presupunem că a este rest pătratic modulo p. Atunci a = b 2 p 1 mod p, de unde rezultă pentru expresia a 2 1 a p 1 p = (b 2 ) 2 1 = b p 1 1 = 0 mod p, prin urmare prima relaţie este valabilă. Invers, să presupunem că are loc a p = 0 mod p. (1.124) Întrucât grupul multiplicativ al corpului Z p este ciclic, există un generator b al acestui grup, cu ajutorul căruia orice element, deci şi elementul a se scrie sub forma a = b k, pentru un exponent k potrivit. Substituind în obţinem (b k ) p = 0 mod p, (1.125) de unde ţinând cont că b este generator, adică cea mai mică putere la care are loc această congruenţă este p 1 rezultă că

65 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 65 k p 1 = 0 mod p 1. (1.126) 2 Aceasta însă are loc doar dacă k este par, deci k = 2m, de unde se vede că x = b m este soluţie pentru x 2 = a mod p, deci a este rest pătratic modulo p. Pentru numere compuse situaţia poate fi mult diferită, aşa cum arată exemplul următor. Fie n = 15 = 3 5. Cele 15 clase de resturi ridicate la pătrat modulo 15 sunt x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, x 2 = 0, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4, 4, 6, 10, 1, 9, 4, 1, în total doar 6 valori distincte. Prin urmare cele 9 clase de resturi reprezentate de numerele 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, care nu sunt resturi pătratice, definesc ecuaţii care nu au soluţii. Deşi ridicarea la putere modulo p este o operaţie algoritmic rapidă, şi testul lui Euler ar putea să ne satisfacă, există metode mai eficiente de a decide dacă un număr este rest pătratic sau nu. Această metodă va fi descoperită în urma unei analize mai profunde a proprietăţilor resturilor pătratice. În formularea acestor analize este util să introducem o notaţie prescurtată pentru exprimarea faptului că un număr este sau nu rest pătratic în raport cu un altul un simbol care permite efectuarea de calcule convenabile. Definiţia Fie p un număr prim impar, şi fie (a, p) = 1, adică a un număr relativ prim ( ) cu p, deci nedivizibil cu p. Atunci definim simbolul lui a Legendre, notat, astfel p ( ) a = p { 1, dacă a este rest pătratic modulo p 1, dacă a nu este rest pătratic modulo p (1.127) Cu acest simbol relaţiile respectiv de la pagina 63 se exprimă astfel ( ( ( = = = 1 7) 7) 7) ( ( ( = = = 1 7) 7) 7) Proprietăţile simbolului lui Legendre care facilitează evaluarea lui, îl fac pe acesta util în problema deciderii dacă un număr este rest pătratic sau nu în raport cu un modul dat.

66 66 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Teorema Fie p un număr prim impar, şi fie a şi b întregi relativ primi, adică (a, p) = 1 şi (b, p) = 1. Atunci ( ( ) 1 a 2 1. = 1, precum şi = 1, p) p ( ) a 2. dacă a = b mod p, atunci = p ( b p), ( ) p 1 a = a 2 mod p, p ( ) ( ) ( ab a b =, p p p) ( ) 1 = p { 1, dacă p = 1 mod 4 1, dacă p = 3 mod 4. Demonstraţie. 1. În primul rând avem 1 2 = 1 şi a 2 = a 2 pentru orice a, ceea ce demonstrează acest punct. 2. Dacă a = b mod p atunci evident sunt echivalente relaţiile x 2 = a mod p x 2 = b mod p, deci ecuaţiile au simultan soluţii. De aici rezultă ( ) a = p ( b p). 3. Aceasta este reformularea criteriului lui Euler, cu folosirea simbolului lui Legendre. 4. Folosind punctul precedent, avem ocazia să vedem pentru prima dată eficienţa simbolului lui Legendre în acţiune. ( ) ab p = (ab) p 1 2 mod p p 1 p 1 = a 2 b 2 mod p p 1 p 1 = a 2 mod p b 2 mod p = ( a p ) ( b p). (1.128)

67 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE Din nou, aplicăm doar criteriul lui Euler: Acum doar trebuie să observăm că ( ) p 1 1 = ( 1) 2 mod p. p p 1 2 = { 0 mod 2, dacă p = 1 mod 4 1 mod 2, dacă p = 3 mod 4. Regulile de calcul de mai sus nu sunt încă destul de puternice pentru a servi şi ca un algoritm de calcul al simbolului lui Legendre. Un pas de clarificare teoretică este adus de următorul rezultat. Lema (Lema lui Gauss). Fie p un număr prim impar, şi fie a un întreg pozitiv relativ prim adică (a, p) = 1. Fie k numărul acelor elemente din mulţimea {1a, 2a, 3a,..., p 1 a}, (1.129) 2 ale căror cel mai mic rest pătratic pozitiv este mai mare decât p 2. Atunci ( ) a = ( 1) k. (1.130) p Demonstraţie. Trebuie să observăm mai întâi că cele p resturi pătratice mod p posibile, reprezentate de numerele pot fi reprezentate şi de numerele 0, 1, 2, 3,..., p 1, p 1 2, p 3 p 3,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., 2 2, p 1 2. (1.131) dar şi de numerele respectiv p 1 2 Elementele din lista 0, 1a, 2a, 3a,..., (p 1)a, 3 p 3 a, p a,..., 2a, 1a, 0, 1a, 2a,..., 2 2 a, p 1 2 a. 1a, 2a, 3a,..., p 1 2 a

68 68 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR ale căror cel mai mic rest pătratic pozitiv este mai mare decât p, au rest pătratic negativ în mulţimea Observaţia crucială este simplă: doi multiplii 2 ma şi na din mulţimea reduse modulo p în mulţimea nu numai că nu coincid, dar nu pot fi puse unul celuilalt. Întradevăr, dacă ar fi unul opusul celuilalt, atunci am avea ma + na = 0 mod p, adică m + n = 0 mod p, ceea ce este imposibil. Astfel în această mulţime a resturilor reduse fiecare număr din lista 1, 2, 3,..., p 1 2 apare exact odată, cu semnul + sau, şi prin ipoteză numărul semnelor este k. Prin înmulţire obţinem atunci 1a 2a 3a... p 1 2 a = p 1 ( 1) k. 2 De aici prin simplificare avem a p 1 2 = ( 1) k mod p, ceea ce conform criteriului lui Euler înseamnă ( a p ) = ( 1) k mod p, dar ambele numere pot fi doar ±1, deci avem egalitate (fără mod p). O aplicaţie a Lemei lui Gauss imediată este clarificarea următoarei întrebări: pentru ce numere prime este 2 rest pătratic? Propoziţia Numărul 2 este rest pătratic pentru numere prime de forma 8k ± 1 şi nu este rest pătratic pentru numere prime de forma 8k ± 3. Mai criptic, dar în termenii simbolului lui Legendre ( p 2 = ( 1) p) (1.132) Iată şi o aplicaţie, pentru a vedea cum funcţionează regulile stabilite până acum. Exemplul Numărul 297 este sau nu rest pătratic modulo 17? Altfel spus, are ecuaţia x 2 = 297 mod 17 soluţii?

69 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 69 Soluţie. Calculăm simbolul lui Legendre ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 = = = = = ( 1) ) 36 = 1, prin urmare 297 este rest pătratic modulo 17, deci congruenţa are soluţii. Exemplul acesta lasă de înţeles că proprietăţile simbolului Legendre nu sunt suficient de puternice pentru a decide solubilitatea congruenţelor ( pătratice în toate cazurile posibile. Spre exemplu ce am face cu simbolul, sau 3 17) cu un simbol în care modulul congruenţei nu este prim? Ajutorul vine de la Gauss şi se numeşte legea reciprocităţii pătratice. Proprietatea a fist conjecturată încă de Euler şi Legendre, dar prima demonstraţie a ei se datorează lui Gauss. Gauss a publicat nu mai puţin de 6 demonstraţii, iar importanţa teoremei este relevată şi de faptul că teorema are deja peste 200 de demonstraţii. Teorema (Legea reciprocităţii pătratice). Fie p şi q două numere prime impare, distincte. Atunci ( ) ( (p 1)(q 1) p q = ( 1) 4. (1.133) q p) Demonstraţie. Schiţăm aici demonstraţia poate cea mai elementară, care foloseşte evident Lema lui Gauss. Ideea este că prin Lema lui Gauss avem ( ) p = ( 1) k, (1.134) q unde k este numărul punctelor planul (x, y) cu coordonate întregi care verifică relaţiile 0 < x < q 2 şi q < px qy < 0. 2 Rezultă din aceste inecuaţii că y < px q < p Prin urmare k este numărul punctelor cu coordonate întregi din dreptunghiul 0 < x < q 2 şi 0 < y < p 2, (1.135) care verifică şi relaţia q 2 < px qy < 0. Similar, ( q = ( 1) p) l, (1.136)

70 70 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR unde l este numărul punctelor planul (x, y) cu coordonate întregi, din dreptunghiul care verifică relaţiile p 2 < qx py < 0. Teorema rezultă dacă arătăm că numărul (p 1)(q 1) 4 (k + l) este par. Se observă că (p 1)(q 1) 4 este tocmai numărul de puncte cu coordonate întregi, care verifică şi inegalităţile px qy < q 2 sau qx py < p 2. Inegalităţile de mai sus au mulţimi de soluţii disjuncte, şi conţin acelaşi număr de puncte cu coordonate întregi. Acest ultim aspect se deduce din faptul că relaţiile x = q x, şi y = p y constituie o transformare bijectivă între aceste două mulţimi disjuncte. Este clar acum că legea reciprocităţii pătratice ( ) oferă toate tehnicile care a lipseau pentru a calcula simbolul lui Legendre, pentru orice număr prim p impar. Relaţiile de calcul pe care le putem folosi sunt deci următoarele: 1. ( 1 = 1, p) ( ) a 2 = 1, p ( ) ( a a mod p = p p ( ) a = a p ), p 1 2 mod p, ( ) ( ) ( ab a b =, p p p)

71 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE ( ) p 1 1 = ( 1) 2 mod p, p ( p 2 = ( 1) p) 2 1 8, ( ) (p 1)(q 1) ( p q = ( 1) 4. q p) Este momentul să vedem un exemplu concret. Exemplul Se dă ecuaţia Se cere studiul rezolvabilităţii. x 2 = 101 mod 13. Soluţie. Numărul 13 este prim. Vom calcula simbolul lui Legendre Avem succesiv ( ) Prin urmare ecuaţia are soluţii. ( ) ( ) 103 mod = = ( ) 13 ( ) ( ) = = ( ) ( ) 5 5 = ( 1) 8 = ( 1) 21 ( = 13) (5 1)(13 1) ( ) ( ) = ( 1) 4 = ( 1) 12 ( ) ( mod 5 3 = = 5 5) (5 1)(3 1) ( ( ) 5 5 = ( 1) 4 = ( 1) 3) 2 ( ) 3 5 mod 3 = 3 ( 3 2 = = ( 1) 3) = ( 1) 1 = 1. ( )

72 72 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Ce se poate spune în cazul claselor de resturi modulo un număr compus? Simbolul lui Legendre se extinde formal la simbolul lui Jacobi. Definiţia Fie n = p k 1 1 pk 2 2 pkm m descompunerea numărului întreg pozitiv n > 1 în factori primi distincţi. Pentru Orice număr întreg nenul a definim simbolul lui Jacobi notat identic cu simbolul lui Legendre prin ( ( ) a a k1 ( ) a k2 ( ) a km =. (1.137) n) p1 p2 Proprietăţile simbolului lui Jacobi sunt formal identice cu cele ale lui Legendre. Demonstraţia următoarei propoziţii este un exerciţiu simplu. Propoziţia Fie n, m întregi impari, nu neapărat primi. Fie de asemenea a, b întregi relativ primi cu n. Atunci proprietăţile simbolului lui Jacobi se exprimă astfel: ( 1 1. = 1, n) p m ( ) a 2 = 1, n ( ( ) a a mod n =, n) n ( ) ( ) ( ab a b =, n n n) ( ) ( ) ( a a a =, nm n m) ( ) n 1 1 = ( 1) 2, n ( 2 = ( 1) n) ( n = ( 1) m) n 2 1 8, (n 1)(m 1) ( ) m 4. n Este important de remarcat faptul că simbolul lui Jacobi nu dezvăluie faptul că a este rest pătratic modulo n, în schimb dezvăluie dacă nu este rest pătratic. Mai concret:

73 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 73 ( a dacă = 1, atunci a poate să fie sau să nu fie rest pătratic modulo n) n, în schimb ( a dacă = 1, atunci a nu este rest pătratic modulo n, n) Cum arată toate acestea in Mathematica, vom vedea în câteva exemple, care urmează. Întrucât simbolul lui Jacobi îl suprascrie simbolul lui Legendre, acesta din urmă nici nu apare explicit printre funcţiile aritmetice implementate. Proprietăţile sunt identice, doar aria de acoperire este mai mare a simbolului lui Jacobi, astfel acesta apelat cu număr prim impar calculează de fapt simbolul lui Legendre. Simbolul Legendre JacobiSymbol[101, 13] 1 are valoarea Fie ( ), calculat mai sus, a = , şi p = al lea număr prim. ( ) a Să calculăm simbolul lui Legendre. p a = 2^ p = Prime[ ] JacobiSymbol[a, p] Rezultatul este prin urmare a este rest pătratic modulo p şi congruenţa are soluţii. x 2 = mod ,

74 74 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR Curbe eliptice Curbele eliptice sunt curbe plane definite de ecuaţii polinomiale implicite de gradul trei, în două variabile. Ele sunt obiecte deopotrivă algebrice şi geometrice, dar proprietăţile lor permit aplicaţii şi în teoria numerelor: marea teoremă a lui Fermat, a fost demonstrată de Andrew Wiles prin intermediul unei conjecturi legate de curbe eliptice. Proprietatea crucială a curbelor eliptice este faptul că între punctele sale pot fi algebrizate, se poate defini o operaţie numită adunare între punctele curbei eliptice. Această operaţie conferă punctelor curbei structura unui grup aditiv. În felul acesta teoreme străvechi de geometrie proiectivă teorema lui Pappus şi Pascal, se reînvie ca formulări geometrice ale proprietăţii structurale de asociativitate a acestei operaţii de adunare a punctelor curbei eliptice. Se numeşte curbă eliptică, o curbă descrisă de o ecuaţie de forma y 2 = x 3 + ax + b. În mod intenţionat am omis specificaţii asupra numerelor x, y, a, b. Ele pot fi numere complexe, atunci ecuaţia descrie în esenţă suprafaţa unui tor această suprafaţă sugerează cel mai bine posibilitatea definirii adunării între punctele ei numere reale, raţionale, sau chiar clase de resturi modulo un număr prim, adică elemente ale unor corpuri finite. Definiţia Fie deci K unul din corpurile C, R, Q, sau F q, q = p α. Fie a, b K. Se numeşte curbă eliptică peste corpul K mulţimea punctelor din "plan" (x, y), x, y K, care dacă caracteristica corpului este diferită de 2 şi de 3 (p 2, p 3) atunci verifică ecuaţia E : y 2 = x 3 + ax + b, (1.138) unde polinomul de gradul 3 în x nu are rădăcini multiple, împreună cu un punct O E, aflat "la infinit". dacă caracteristica corpului este 2 (p = 2), atunci verifică una din ecuaţiile E :y 2 + cy = x 3 + ax + b, E :y 2 + xy = x 3 + ax 2 + b, (1.139) împreună cu un punct O E, aflat "la infinit". Aici polinomului în variabila x nu mai punem nici o condiţie.

75 1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 75 dacă caracteristica corpului este 3 (p = 3) atunci verifică ecuaţia E : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, (1.140) unde polinomul de gradul 3 în x nu are rădăcini multiple, împreună cu un punct O E, aflat "la infinit". Să menţionăm fără detalii de calcul faptul că orice polinom de gradul 3 în două variabile x, y poate fi transformat printr-o schimbare de variabile raţională (funcţii de tip fracţii raţionale în variabilele sale) în forma 1.138, aşadar definiţia practic este generală. Curbe eliptice se pot defini şi peste Z n, unde n nu este prim, în felul următor. Definiţia Fie n un întreg pozitiv relativ prim cu 6, (n, 6) = 1. Se numeşte curbă eliptică peste Z n mulţimea punctelor (x, y), x, y Z n, care verifică ecuaţia E : y 2 = x 3 + ax + b, (1.141) unde a, b Z astfel ca (n, 4a b 2 ) = 1, completată şi aici de un punct O E, aflat "la infinit". Imaginea topologică a unei curbe eliptice peste corpul numerelor complexe este un tor. Figura 1.1: Curbă eliptică peste C.